Derivasjon av tre funksjoner S2 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = \dfrac{1}{x^2}

g(x) = 5(x-1)^5

h(x) = \dfrac{e^{-2x}}{x-3}

Fasit

$\underline{\underline{f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}}}$

$\underline{\underline{g'(x) = 25(x-1)^4}}$

$\underline{\underline{h'(x) = \dfrac{(5-2x)e^{-2x}}{(x-3)^2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $f(x)$ med negativ eksponent og bruker potensregelen $\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$ :

f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}

f'(x) = -2x^{-3} = \mathbf{-\dfrac{2}{x^3}}

$f'(x) = \underline{\underline{-\dfrac{2}{x^3}}}$

Vi bruker kjerneregelen med ytre funksjon $u^5$ og kjerne $u = x-1$ :

g(x) = 5(x-1)^5

g'(x) = 5 \cdot 5(x-1)^4 \cdot (x-1)' = 25(x-1)^4 \cdot 1

$g'(x) = \underline{\underline{25(x-1)^4}}$

Vi bruker kvotientregelen $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ med

u = e^{-2x}, \quad v = x-3

Kjerneregelen gir $u' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$ , og $v' = 1$ .

h'(x) = \frac{-2e^{-2x}(x-3) - e^{-2x} \cdot 1}{(x-3)^2}

Vi faktoriserer $e^{-2x}$ i telleren:

h'(x) = \frac{e^{-2x}\bigl(-2(x-3) - 1\bigr)}{(x-3)^2} = \frac{e^{-2x}(-2x + 6 - 1)}{(x-3)^2}

$h'(x) = \underline{\underline{\dfrac{(5-2x)e^{-2x}}{(x-3)^2}}}$

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter