Oljefondet som logistisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kilde: Modellen bygger på tallmateriale fra http://no.wikipedia.org/wiki/Statens_pensjonsfond (06.05.2011)

Ifølge én modell vil størrelsen på Statens pensjonsfond utland («Oljefondet») følge funksjonen gitt ved

f(x) = \frac{3236}{1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}}

Her er $x$ antall år etter 1996, og $f(x)$ er størrelsen på Oljefondet i milliarder kroner.

Hvor stort vil Oljefondet være i 2012 ifølge modellen?

Bruk kjerneregelen og regelen for derivasjon av en brøk til å vise at

f'(x) = \frac{46394{,}6 \cdot e^{-0{,}3763x}}{\left(1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}\right)^2}

Bestem $f'(4)$ . Hva forteller dette tallet oss?

En økonom sier at Oljefondet alltid vil vokse. Forklar hvordan vi ut fra den gitte modellen kan støtte denne uttalelsen.

Bestem hvilket år Oljefondet har størst vekst ifølge denne modellen.

Fasit

$\underline{\underline{f(16) \approx 2962 \, \mathrm{mrd.\,kr}}}$

Se utledning. $\underline{\underline{f'(4) \approx 115 \, \text{mrd.\,kr/år}}}$

Telleren $46394{,}6 \cdot e^{-0{,}3763x} > 0$ og nevneren $(1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x})^2 > 0$ for alle $x$ , så $f'(x) > 0$ alltid.

$\underline{\underline{x \approx 9{,}67}}$ , dvs. år $\underline{\underline{2006}}$ har størst vekst ifølge modellen.

LøsningsforslagKI-generert

År 2012 er $x = 2012 - 1996 = 16$ år etter 1996. Vi setter inn i funksjonsuttrykket:

f(16) = \frac{3236}{1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763 \cdot 16}}

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne verdien.

GeoGebra CAS – f(16) og f'(4)

Oljefondet vil ifølge modellen være på ca. $\underline{\underline{2962 \, \mathrm{mrd.\,kr}}}$ i 2012.

Vi skal derivere $f(x) = \dfrac{3236}{1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}}$ ved hjelp av brøkregelen og kjerneregelen.

Vi setter $u(x) = 3236$ (konstant) og $v(x) = 1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}$ .

Kjerneregelen gir $v'(x)$ : den ytre funksjonen er $e^{\square}$ og den indre er $-0{,}3763x$ :

v'(x) = 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x} \cdot (-0{,}3763) = -14{,}347 \cdot e^{-0{,}3763x}

Brøkregelen $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ gir:

f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot v(x) - 3236 \cdot \left(-14{,}347 \cdot e^{-0{,}3763x}\right)}{\left(1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}\right)^2}

= \frac{3236 \cdot 38{,}1 \cdot 0{,}3763 \cdot e^{-0{,}3763x}}{\left(1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}\right)^2} = \frac{46394{,}6 \cdot e^{-0{,}3763x}}{\left(1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}\right)^2}

(siden $3236 \cdot 38{,}1 \cdot 0{,}3763 \approx 46394{,}6$ ). Dette er det samme som det oppgitte uttrykket. $\square$

Vi beregner $f'(4)$ med GeoGebra CAS (se skjermbilde over):

f'(4) \approx \mathbf{115 \, \text{mrd.\,kr/år}}

$f'(4) \approx \underline{\underline{115 \, \text{mrd.\,kr/år}}}$ betyr at Oljefondet i år 2000 ( $x = 4$ ) vokste med ca. 115 milliarder kroner per år.

Fra det deriverte uttrykket

f'(x) = \frac{46394{,}6 \cdot e^{-0{,}3763x}}{\left(1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}\right)^2}

ser vi at:

Telleren $46394{,}6 \cdot e^{-0{,}3763x} > 0$ for alle $x$ , siden eksponentialfunksjonen alltid er positiv.
Nevneren $\left(1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}\right)^2 > 0$ for alle $x$ , siden det er et kvadrat av et positivt tall.

Dermed er $f'(x) > 0$ for alle $x$ , og $f$ er strengt voksende. Dette støtter påstanden om at Oljefondet alltid vokser ifølge denne modellen.

Størst vekst betyr at $f'(x)$ har sitt maksimum. Vi finner dette ved å løse $f''(x) = 0$ med GeoGebra CAS.

GeoGebra CAS – Løs(f''(x)=0)

CAS gir $x \approx 9{,}67$ .

Vi kan også bekrefte med grafen:

Graf av f(x) (blå) og f'(x) (grønn) med maksimum for vekstraten markert

Toppen av den grønne kurven ( $f'$ ) er ved $x \approx 9{,}67$ , som tilsvarer år $1996 + 9{,}67 \approx 2006$ .

Oljefondet har størst vekst i år $\underline{\underline{2006}}$ ifølge modellen (ca. 304 mrd. kr/år).

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2011, del 2, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering

Oljefondet som logistisk funksjon

Sync på tvers av enheter

Oljefondet som logistisk funksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave