En bedrift selger en vare og ønsker å finne en optimal pris per enhet. De har foretatt en markedsanalyse og funnet ut at når prisen er $p$ kroner per enhet, får de solgt $x$ enheter slik tabellen nedenfor viser.

Pris $p$	12	16	20	24	28	32	36
Antall solgte enheter $x$	1 153	1 001	839	690	490	380	190

a)

Bruk regresjon til å finne en modell for antall solgte enheter som funksjon av prisen $p$.

Videre i oppgaven går vi ut fra følgende modell for antall solgte enheter

$$x = -40p + 1600$$

når prisen er $p$ kroner per enhet.

Bedriften ønsker å sette prisen så høyt som mulig, men ikke høyere enn at de får solgt alle enhetene de produserer.

b)

Vis at inntekten ved salg av $x$ enheter er

$$I(x) = -0{,}025x^2 + 40x$$

Bedriften har kommet fram til at kostnadene ved å produsere $x$ enheter er

$$K(x) = 0{,}002x^2 + 10x + 4\,000, \quad x \in \langle 0,\, 1200 \rangle$$

c)

Avgjør om bedriften får et overskudd dersom de produserer og selger 1 000 enheter.

d)

Tegn grafene til funksjonene $K$ og $I$ i samme koordinatsystem.

e)

Vis at overskuddet ved produksjon av $x$ enheter er gitt ved

$$O(x) = -0{,}027x^2 + 30x - 4\,000$$

f)

Hva må prisen per enhet være for at overskuddet skal bli størst mulig?