Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-d} \qquad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R}

Påstand: Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote $x = d$ .

En funksjon $g$ er gitt ved

g(x) = e^{x-3} \qquad \text{der } x \in \mathbb{R}

Påstand: Den omvendte funksjonen til $g$ er gitt ved $g^{-1}(x) = \ln(x)+3$ der $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$ .

Fasit

USANN – telleren kan ha $x = d$ som nullpunkt slik at brøken forkortes.

SANN – $g^{-1}(x) = \ln(x) + 3$ med $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$ .

LøsningsforslagKI-generert

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$ .

En vertikal asymptote ved $x = d$ oppstår bare hvis $x = d$ er et nullpunkt i nevneren som ikke kan forkortes med telleren. Hvis telleren $ax^2 + bx + c$ også har $x = d$ som nullpunkt, kan faktoren $(x - d)$ forkortes, og det oppstår ingen asymptote – kun et punkt der funksjonen er udefinert.

Moteksempel: La $a = 1$ , $b = -d$ , $c = 0$ (dvs. $b = -d$ og $c = 0$ ). Da er

f(x) = \frac{x^2 - dx}{x - d} = \frac{x(x-d)}{x-d} = x \qquad (x \neq d)

Denne funksjonen har ingen vertikal asymptote ved $x = d$ – bare en «hull»-punkt (fjernbar singularitet). Dermed gjelder ikke påstanden for alle funksjoner på den gitte formen.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{sann}}}$ .

Vi finner den omvendte funksjonen ved å løse $y = e^{x-3}$ for $x$ :

\begin{aligned} y &= e^{x-3} \\ \ln y &= x - 3 \\ x &= \ln y + 3 \end{aligned}

Bytter vi om $x$ og $y$ får vi

g^{-1}(x) = \ln(x) + 3

Definisjonsmengde: $D_{g^{-1}}$ er lik verdimengden til $g$ . Siden $g(x) = e^{x-3} > 0$ for alle $x \in \mathbb{R}$ , er verdimengden til $g$ alle positive reelle tall, det vil si $\langle 0, \to \rangle$ .

Dermed er $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$ , og påstanden er sann.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidaten må argumentere riktig dersom det skal gis poeng. Å vise med et konkret moteksempel gir full uttelling.

1 poeng for å begrunne uttrykket og 1 poeng for å begrunne definisjonsmengden.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 1, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Omvendt funksjon, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26

Sync på tvers av enheter

Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave