For at $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar i $x = -2$ og $x = 1$, må det midterste uttrykket $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ oppfylle fire krav:

• Kontinuitet i $x = -2$: $g(-2) = f_1(-2)$
• Deriverbarhet i $x = -2$: $g'(-2) = f_1'(-2)$
• Kontinuitet i $x = 1$: $g(1) = f_3(1)$
• Deriverbarhet i $x = 1$: $g'(1) = f_3'(1)$

Beregn grenseverdiene fra de kjente uttrykkene:

$f_1(x) = -9x - 15 \implies f_1(-2) = 18 - 15 = 3$ og $f_1'(-2) = -9$

$f_3(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} \implies f_3(1) = \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = -4$ og $f_3'(x) = x - 1 \implies f_3'(1) = 0$

Sett opp likningssystemet med $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ og $g'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$:

$$\begin{cases} g(-2) = -8a + 4b - 2c + d &= 3 \\ g'(-2) = 12a - 4b + c &= -9 \\ g(1) = a + b + c + d &= -4 \\ g'(1) = 3a + 2b + c &= 0 \end{cases}$$

Løs i GeoGebra CAS:

Løs({-8a1 + 4b1 - 2c1 + d1 = 3, 12a1 - 4b1 + c1 = -9,
     a1 + b1 + c1 + d1 = -4, 3a1 + 2b1 + c1 = 0}, {a1, b1, c1, d1})

GeoGebra gir:

$$a = -\frac{13}{27}, \quad b = \frac{7}{9}, \quad c = -\frac{1}{9}, \quad d = -\frac{113}{27}$$

Det midterste uttrykket er altså:

$$g(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}$$

Hele funksjonsuttrykket er:

$$\underline{\underline{f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27}\text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} & x \ge 1 \end{cases}}}$$