Tangent til tredjegradsfunksjon gjennom eksternt punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har følgende resultat:

Anta at grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ skjærer en linje $\ell$ i tre punkter med $x$ -koordinater $x_1$ , $x_2$ og $x_3$ . La $m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .

Da vil tangenten til grafen til $f$ i punktet $(m, f(m))$ gå gjennom punktet $(x_3, f(x_3))$ .

Vis at resultatet stemmer for funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3

og linjen $y = 2x - 1$ når $x_1 = -2$ , $x_2 = 1$ og $x_3 = 2$ .

La $g$ være en tredjegradsfunksjon. Anta at en linje $y = ax + b$ skjærer grafen til $g$ i $(x_1, f(x_1))$ , $(x_2, f(x_2))$ og $(x_3, f(x_3))$ .

Forklar at vi kan skrive $g$ på formen

g(x) = k(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) + (ax + b), \quad \text{der } k \in \mathbb{R}.

Vis at tangenten til grafen til $g$ i $m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ går gjennom $(x_3, g(x_3))$ .

Gitt funksjonen $h(x) = x^3 - 2x + 1$ og punktet $P(2, 5)$ . Vi ønsker å tegne en tangent til grafen til $h$ som går gjennom $P$ .

Forklar hvordan vi kan bruke linjen $y = 2x + 1$ til å bestemme tangeringspunktet.

Fasit

Tangenten i $m = -\tfrac{1}{2}$ er $y = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{7}{2}$ , som gir $y = 3$ ved $x = 2 = x_3$ . ✓

$g(x) - (ax+b)$ er et tredjegradspolynom med røtter $x_1, x_2, x_3$ , altså $= k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ .

Vist algebraisk: $g(x_3) - g(m) = g'(m)(x_3 - m)$ .

Tangeringspunktet er $(-1,\, 2)$ ; tangenten er $y = x + 3$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $f(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3$ , $x_1 = -2$ , $x_2 = 1$ , $x_3 = 2$ og

m = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 1}{2} = -\frac{1}{2}

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne $f(m)$ , $f'(m)$ og $f(x_3)$ :

GeoGebra CAS – del a

Fra CAS (linje 3–6): $f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{29}{8}$ , $f'(x) = 3x^2 - 2x - 2$ , $f'\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{4}$ .

Tangentlinjen i punktet $\left(-\tfrac{1}{2},\, \tfrac{29}{8}\right)$ er (linje 5):

\ell(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{7}{2}

Vi sjekker verdien ved $x_3 = 2$ (linje 6): $\ell(2) = 3$ .

Fra CAS (linje 7): $f(2) = 3$ .

Siden $\ell(x_3) = f(x_3) = 3$ , går tangenten gjennom $(x_3,\, f(x_3)) = (2,\, 3)$ . $\square$

Siden $g$ er en tredjegradsfunksjon og $y = ax + b$ er en linje, er differansen

p(x) = g(x) - (ax + b)

et tredjegradspolynom. Fordi linjen skjærer grafen til $g$ i punktene $(x_1, g(x_1))$ , $(x_2, g(x_2))$ og $(x_3, g(x_3))$ , har $p$ røttene $x_1$ , $x_2$ og $x_3$ .

Et tredjegradspolynom med tre røtter faktoriserer som

p(x) = k(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3), \quad k \in \mathbb{R}.

Derfor er

\boxed{g(x) = k(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) + (ax + b).}

Vi bruker formen fra b). La $s = x_1 - x_2$ og $m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ . Da er

m - x_1 = -\frac{s}{2}, \qquad m - x_2 = \frac{s}{2}, \qquad (m-x_1)(m-x_2) = -\frac{s^2}{4}.

Verdien av $g$ i $x_3$ og $m$ :

g(x_3) = k \underbrace{(x_3 - x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_3)}_{= \,0} + (ax_3 + b) = ax_3 + b

g(m) = k\left(-\frac{s^2}{4}\right)(m - x_3) + (am + b)

Den deriverte i $m$ :

g'(x) = k\bigl[(x-x_2)(x-x_3) + (x-x_1)(x-x_3) + (x-x_1)(x-x_2)\bigr] + a

Ved $x = m$ :

\begin{aligned} (m-x_2)(m-x_3) &= \frac{s}{2}(m-x_3) \\ (m-x_1)(m-x_3) &= -\frac{s}{2}(m-x_3) \\ (m-x_1)(m-x_2) &= -\frac{s^2}{4} \end{aligned}

De to første leddene kansellerer:

g'(m) = k\!\left(\frac{s}{2}(m-x_3) - \frac{s}{2}(m-x_3) - \frac{s^2}{4}\right) + a = a - \frac{ks^2}{4}

Vi viser at $g(x_3) - g(m) = g'(m)(x_3 - m)$ :

\begin{aligned} g(x_3) - g(m) &= (ax_3 + b) - \left[k\!\left(-\frac{s^2}{4}\right)(m-x_3) + am + b\right] \\ &= a(x_3 - m) + \frac{ks^2}{4}(m - x_3) \\ &= (x_3 - m)\!\left(a - \frac{ks^2}{4}\right) \\ &= g'(m)\cdot(x_3 - m). \quad \square \end{aligned}

Dette viser at tangentlinjen til $g$ i $(m, g(m))$ går gjennom $(x_3, g(x_3))$ .

Vi observerer at $h(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + 1 = 5$ , så $P(2, 5)$ ligger på grafen til $h$ . Punktet $P$ er altså ikke et eksternt punkt, men et punkt på kurven selv.

Vi sjekker at $P$ også ligger på linjen $y = 2x + 1$ : $2 \cdot 2 + 1 = 5$ . ✓

Linjen $y = 2x + 1$ skjærer grafen til $h(x) = x^3 - 2x + 1$ i tre punkter. Fra GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – del d

Skjæringspunktene er ved $x_1 = -2$ , $x_2 = 0$ og $x_3 = 2$ (linje 4). Siden $P = (x_3, h(x_3))$ , kan vi bruke resultatet fra c):

Tangenten til $h$ i midtpunktet $m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-2 + 0}{2} = -1$ vil gå gjennom $(x_3, h(x_3)) = P(2, 5)$ .

Fra CAS (linjene 2–6): $h'(x) = 3x^2 - 2$ , $h'(-1) = 1$ , $h(-1) = 2$ , og tangentlinjen er $y = x + 3$ .

Vi bekrefter: tangenten $y = x + 3$ ved $x = 2$ gir $y = 5$ (linje 6). ✓

Fremgangsmåten for å finne tangeringspunktet er:

Finn skjæringspunktene til $y = 2x + 1$ og $h(x) = x^3 - 2x + 1$ .
Bekreft at $P(2, 5)$ er ett av disse punktene (dvs. $x_3 = 2$ ).
De to øvrige skjæringspunktene er ved $x_1 = -2$ og $x_2 = 0$ .
Tangeringspunktet er $m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -1$ , og tangenten går gjennom $P$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 E2021, del 2, oppgave 7
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjoner

Tangent til tredjegradsfunksjon gjennom eksternt punkt

Sync på tvers av enheter

Tangent til tredjegradsfunksjon gjennom eksternt punkt

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave