Lufttrykk og høyde over havet modeller og sammenlikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved havets overflate er lufttrykket ca. $1\,000 \mathrm{~hPa}$ (hektopascal).

I denne oppgaven skal vi bruke sitater fra ulike nettsider og se på noen modeller for hvor stort lufttrykket er $x$ kilometer over havets overflate.

Fire sitater om lufttrykk og høyde

Forklar at vi ut fra sitat 1 kan sette opp en modell $f$ der $f(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x$ . Tegn grafen til $f$ for $0 \le x \le 10$ .

Sitat 2 gir tabellen nedenfor.

Høyde over havoverflaten (km)	0	5,5	11	16,5
Lufttrykk (hPa)	1 000	500	250	125

Forklar at sitat 2 gir tabellen nedenfor. Bruk regresjon, og vis at opplysningene i tabellen gir en modell som er tilnærmet lik modell $f$ . Gi denne modellen navnet $g$ . Tegn grafen til $g$ for $0 \le x \le 10$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$ .

Bruk sitat 3 til å bestemme en modell $h$ . Tegn grafen til $h$ for $0 \le x \le 10$ i samme koordinatsystem som du har brukt tidligere i oppgaven. Kommenter siste setning i sitat 3.

Bruk hver av de tre modellene $f$ , $g$ og $h$ til å bestemme lufttrykket 8 848 meter over havoverflaten. Sammenlikn svarene du får, med sitat 4, og kommenter.

Fasit

$f(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x$

$g(x) = 1000 \cdot 0{,}8816^x$ (tilnærmet lik $f$ )

$h(x) = 1000 - 125x$ , kun gyldig for $0 \le x \le 8$

$f(8{,}848) \approx \underline{\underline{323 \, \mathrm{hPa}}}$ , $g(8{,}848) \approx \underline{\underline{328 \, \mathrm{hPa}}}$ , $h(8{,}848) \approx \underline{\underline{-106 \, \mathrm{hPa}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Sitat 1 sier at lufttrykket avtar med 12 % per kilometer man stiger. Det betyr at for hver kilometer beholder man $100\,\% - 12\,\% = 88\,\%$ av lufttrykket fra kilometeren under.

Vi starter med $f(0) = 1000 \, \mathrm{hPa}$ ved havoverflaten. Etter $x$ kilometer er lufttrykket multiplisert med $0{,}88$ nøyaktig $x$ ganger:

f(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x

Grafen til $f$ er en synkende eksponentialkurve som starter i $(0,\, 1000)$ og nærmer seg null. Den er bratt i starten og flater gradvis ut. For $x = 10$ gir modellen $f(10) = 1000 \cdot 0{,}88^{10} \approx 279 \, \mathrm{hPa}$ .

Sitat 2 sier at lufttrykket halveres for hver 5,5 km man stiger. Starter man på $1000 \, \mathrm{hPa}$ ved havoverflaten, gir det:

Høyde (km)	Lufttrykk (hPa)
$0$	$1000$
$5{,}5$	$500$
$11$	$250$
$16{,}5$	$125$

Vi bruker eksponentiell regresjon på disse fire punktene. I regnearket (eller med kalkulator) finner vi:

g(x) = 1000 \cdot 0{,}8816^x

Vi kan også skrive dette som $g(x) = 1000 \cdot 0{,}5^{x/5{,}5}$ , siden $0{,}5^{1/5{,}5} \approx 0{,}8816$ .

Sammenlikning med $f$ : Begge modellene har startverdien $1000$ . Grunntallets er $0{,}88$ i $f$ og $0{,}8816$ i $g$ — en forskjell på kun $0{,}0016$ . Ved tabellpunktene er avvikene svært små (ved $x = 5{,}5$ gir $f$ ca. $495 \, \mathrm{hPa}$ mot $g$ sin $500 \, \mathrm{hPa}$ ). De to modellene er tilnærmet like.

Grafen til $g$ er en eksponentialkurve nesten identisk med grafen til $f$ , men ligger litt over $f$ for alle $x > 0$ .

Sitat 3 sier at lufttrykket avtar med $125 \, \mathrm{hPa}$ per kilometer. Dette er en lineær sammenheng. Vi starter på $1000 \, \mathrm{hPa}$ :

h(x) = 1000 - 125x

Grafen til $h$ er en rett linje som starter i $(0,\, 1000)$ og krysser $x$ -aksen i $x = 8$ (det vil si $8 \, \mathrm{km}$ ).

Kommentar til siste setning i sitat 3: Sitat 3 selv påpeker at modellen bare er gyldig «nær havoverflaten». Det ser vi tydelig i grafen: for $x > 8$ gir $h(x)$ negativt lufttrykk, noe som er fysisk umulig. Modellen er bare realistisk for lave høyder (kanskje $0 \le x \le 3$ – $4 \, \mathrm{km}$ ).

Eksponentiell og lineær modell for lufttrykk mot høyde

Vi setter inn $x = 8{,}848 \, \mathrm{km}$ (tilsvarer $8848 \, \mathrm{m}$ , høyden til Mount Everest):

f(8{,}848) = 1000 \cdot 0{,}88^{8{,}848} \approx \mathbf{323 \, \mathrm{hPa}}

g(8{,}848) = 1000 \cdot 0{,}8816^{8{,}848} \approx \mathbf{328 \, \mathrm{hPa}}

h(8{,}848) = 1000 - 125 \cdot 8{,}848 = 1000 - 1106 = \mathbf{-106 \, \mathrm{hPa}}

Sitat 4 sier at lufttrykket på Mount Everest er omtrent $\frac{1}{3}$ av trykket ved havoverflaten:

\frac{1}{3} \cdot 1000 \approx 333 \, \mathrm{hPa}

Kommentar:

$f$ gir $323 \, \mathrm{hPa}$ , som er ca. $10 \, \mathrm{hPa}$ lavere enn sitat 4. Avviket er lite — modellen er rimelig god.
$g$ gir $328 \, \mathrm{hPa}$ , enda nærmere sitat 4. Bare $5 \, \mathrm{hPa}$ avvik.
$h$ gir $-106 \, \mathrm{hPa}$ , som er meningsløst. Den lineære modellen er ikke gyldig for høyder over ca. $8 \, \mathrm{km}$ , og kan ikke brukes her.

De eksponentielle modellene $f$ og $g$ stemmer godt overens med sitat 4, mens den lineære modellen $h$ er helt ubrukelig på denne høyden.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2016, del 2, oppgave 7
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Regresjon, Lineære funksjoner, Argumentasjon

Lufttrykk og høyde over havet modeller og sammenlikning

Sync på tvers av enheter

Lufttrykk og høyde over havet modeller og sammenlikning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave