Eksponentiell vekstmodell for verdensbefolkning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser folketallet i verden noen utvalgte år.

Årstall	1927	1961	1974	1987	1999	2011
Folketall (milliarder)	$2{,}0$	$3{,}0$	$4{,}0$	$5{,}0$	$6{,}0$	$7{,}0$

La $x$ være antall år etter 1900 (i 1900 er $x = 0$ , i 1901 er $x = 1$ , og så videre).

Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = 1{,}27 \cdot 1{,}016^x$ kan brukes som modell for å beskrive hvordan folketallet i verden har endret seg i årene 1927–2011.

Hvor mange prosent øker folketallet med per år ifølge modellen i a)?

Når var folketallet $4{,}6$ milliarder ifølge modellen i a)?

Hvor lang tid går det ifølge modellen i a) mellom hver gang folketallet fordobles? Hvordan stemmer dette med tallene i tabellen ovenfor?

FN har utarbeidet prognoser som sier at folketallet i verden skal passere 8 milliarder i 2025 og 9 milliarder i 2045.

Vurder om modellen i a) passer med disse prognosene.

Fasit

Regresjonen gir $f(x) \approx 1{,}27 \cdot 1{,}016^x$ — se graf.

Folketallet øker med $\underline{\underline{1{,}6 \,\%}}$ per år.

Ifølge modellen var folketallet $4{,}6$ mrd rundt $\underline{\underline{1981}}$ .

Dobbleringstid $\approx \underline{\underline{43{,}7 \text{~år}}}$ — passer godt med tabellen (ca. 47 år fra 2 til 4 mrd).

Modellen gir $\approx 9{,}2$ mrd i 2025 og $\approx 12{,}7$ mrd i 2045 — modellen overvurderer framtidig vekst sammenlignet med FNs prognoser.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn punktene fra tabellen i GeoGebra, der $x$ er antall år etter 1900:

$x$ (år etter 1900)	$27$	$61$	$74$	$87$	$99$	$111$
Folketall (mrd)	$2{,}0$	$3{,}0$	$4{,}0$	$5{,}0$	$6{,}0$	$7{,}0$

Vi kjører eksponentiell regresjon på punktene. GeoGebra gir modellen:

f(x) \approx 1{,}27 \cdot 1{,}016^x

Grafen nedenfor viser at kurven passer godt med alle datapunktene.

Graf med datapunkter og eksponentiell modell

De røde punktene er tallene fra tabellen. Den blå kurven er modellen $f(x) = 1{,}27 \cdot 1{,}016^x$ . Kurven treffer punktene godt, og vi kan bekrefte at modellen er en god tilnærming til dataene.

Modellen $f(x) = 1{,}27 \cdot 1{,}016^x$ passer godt til tabellverdiene.

I modellen $f(x) = 1{,}27 \cdot 1{,}016^x$ er vekstfaktoren $1{,}016$ .

Vekstfaktor $1{,}016$ betyr at folketallet multipliseres med $1{,}016$ hvert år, altså øker med

1{,}016 - 1 = 0{,}016 = 1{,}6 \,\%

Ifølge modellen øker folketallet med $\underline{\underline{1{,}6 \,\%}}$ per år.

Vi skal finne $x$ når $f(x) = 4{,}6$ :

1{,}27 \cdot 1{,}016^x = 4{,}6

1{,}016^x = \frac{4{,}6}{1{,}27}

x = \frac{\ln\left(\dfrac{4{,}6}{1{,}27}\right)}{\ln(1{,}016)} \approx \frac{\ln(3{,}622)}{\ln(1{,}016)} \approx \frac{1{,}287}{0{,}01587} \approx 81{,}1

$x \approx 81$ tilsvarer årstallet $1900 + 81 = 1981$ .

Ifølge modellen var verdens befolkning $4{,}6$ milliarder rundt år $\underline{\underline{1981}}$ .

Dobbleringstid $T$ er den tiden det tar før befolkningen dobles, altså når $f(x + T) = 2 \cdot f(x)$ .

Vi setter opp:

1{,}016^T = 2

T = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}016)} \approx \frac{0{,}6931}{0{,}01587} \approx 43{,}7 \text{~år}

Ifølge modellen tar det ca. $\underline{\underline{43{,}7 \text{~år}}}$ mellom hver dobling.

Vi kan sammenligne med tabellen. Fra 2 til 4 mrd gikk det fra 1927 til 1974, altså $74 - 27 = 47$ år. Fra 3 til 6 mrd gikk det fra 1961 til 1999, altså $99 - 61 = 38$ år. Modellens dobbleringstid på ca. 44 år stemmer rimelig godt med disse observasjonene, selv om de faktiske dobleringstidene varierer noe.

Vi regner ut $f(125)$ (år 2025) og $f(145)$ (år 2045):

f(125) = 1{,}27 \cdot 1{,}016^{125} \approx 1{,}27 \cdot 7{,}274 \approx 9{,}2 \mathrm{~mrd}

f(145) = 1{,}27 \cdot 1{,}016^{145} \approx 1{,}27 \cdot 10{,}02 \approx 12{,}7 \mathrm{~mrd}

FNs prognoser: ca. $8$ mrd i 2025 og $9$ mrd i 2045.

År	FN-prognose	Modellen $f(x)$
2025	$8{,}0$ mrd	$\approx 9{,}2$ mrd
2045	$9{,}0$ mrd	$\approx 12{,}7$ mrd

Modellen overvurderer framtidig vekst. Den gir et for høyt tall for 2025 ( $9{,}2$ mot FNs $8{,}0$ mrd), og spesielt for 2045 ( $12{,}7$ mot FNs $9{,}0$ mrd). Dette tyder på at veksten i verdensbefolkningen faktisk er i ferd med å avta, og at en modell med konstant prosentvis vekst ikke passer like godt for fremtiden.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2012, del 2, oppgave 9
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Eksponentialfunksjon, Regresjon, Modellering

Eksponentiell vekstmodell for verdensbefolkning

Sync på tvers av enheter

Eksponentiell vekstmodell for verdensbefolkning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave