Modeller for personbiler og elbiler 2008–2021

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Diagram over antall registrerte personbiler i Norge i perioden 2008–2021

Bruk diagrammet ovenfor og lag en modell $P$ som viser antallet registrerte personbiler i perioden 2008–2021. Hva forteller modellen $P$ om hvordan antallet registrerte personbiler har endret seg i denne perioden?

Diagram over antall registrerte elbiler i Norge i perioden 2008–2021

I 2008 var det 1693 registrerte elbiler i Norge.

Bruk diagrammet ovenfor og lag en modell $E$ som viser antallet registrerte elbiler i perioden 2008–2021. Hva forteller modellen $E$ om hvordan antallet registrerte elbiler har endret seg i denne perioden?

Hvor mange registrerte personbiler og hvor mange registrerte elbiler vil det være i 2025, ifølge modellene $P$ og $E$ ? Kommenter svarene dine og vurder gyldighetsområdet til hver av modellene.

Fasit

$\underline{\underline{P(x) \approx 2\,218\,000 + 52\,800 \cdot x}}$ (lineær modell, $x$ = år etter 2008)

$\underline{\underline{E(x) \approx 1\,693 \cdot 1{,}54^x}}$ (eksponentiell modell)

$\underline{\underline{P(17) \approx 3\,116\,000}}$ personbiler og $\underline{\underline{E(17) \approx 2\,610\,000}}$ elbiler i 2025 ifølge modellene

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ betegne antall år etter 2008, slik at $x = 0$ svarer til 2008 og $x = 13$ svarer til 2021.

Vi leser av punkter fra diagrammet (antall registrerte personbiler) og legger dem inn i GeoGebra:

År	$x$	Antall personbiler (avlest)
2008	0	2 200 000
2009	1	2 250 000
2010	2	2 300 000
2011	3	2 375 000
2012	4	2 450 000
2013	5	2 500 000
2014	6	2 555 000
2015	7	2 610 000
2016	8	2 660 000
2017	9	2 720 000
2018	10	2 750 000
2019	11	2 800 000
2020	12	2 810 000
2021	13	2 880 000

Diagrammet viser en tilnærmet rett linje, så vi bruker lineær regresjon i GeoGebra.

GeoGebra gir modellen:

P(x) \approx 2\,218\,000 + 52\,800 \cdot x

Lineær regresjonsmodell for registrerte personbiler 2008–2021, med prediksjon for 2025

Hva forteller modellen? Koeffisienten $52\,800$ betyr at antallet registrerte personbiler økte med omtrent $52\,800$ per år i perioden 2008–2021. Dette er en lineær (jevn) vekst.

Oppgaven opplyser at det var $1\,693$ elbiler i 2008, så modellen må ha $E(0) = 1\,693$ .

Vi leser av fra diagrammet at det i 2021 ( $x = 13$ ) var omtrent $460\,000$ elbiler.

Diagrammet viser en kurve som vokser stadig raskere – dette er typisk for eksponentiell vekst. Vi setter opp en eksponentiell modell på formen $E(x) = 1\,693 \cdot k^x$ og finner vekstfaktoren $k$ fra avlesningen:

k = \left(\frac{460\,000}{1\,693}\right)^{\frac{1}{13}} \approx 1{,}54

Modellen blir:

E(x) \approx 1\,693 \cdot 1{,}54^x

Vi kontrollerer: $E(13) = 1\,693 \cdot 1{,}54^{13} \approx 464\,000 \approx 460\,000$ ✓

Eksponentiell regresjonsmodell for registrerte elbiler 2008–2021, med prediksjon for 2025

Hva forteller modellen? Vekstfaktoren $1{,}54$ betyr at antallet registrerte elbiler økte med omtrent $54 \,\%$ per år i perioden. Dette er en eksponentiell (stadig raskere) vekst.

Vi bruker modellene til å beregne verdiene for 2025, det vil si $x = 17$ :

Personbiler:

P(17) = 2\,218\,000 + 52\,800 \cdot 17 \approx \textcolor{steelblue}{3\,116\,000}

Elbiler:

E(17) = 1\,693 \cdot 1{,}54^{17} \approx \textcolor{seagreen}{2\,610\,000}

$\underline{\underline{P(17) \approx 3\,116\,000 \text{ personbiler og } E(17) \approx 2\,610\,000 \text{ elbiler i 2025}}}$

Kommentar og gyldighetsområde:

Modellen $P$ er lineær og passer godt for perioden 2008–2021 (jevn vekst). For 2025 gir modellen ca. 3,1 millioner personbiler. Det er usikkert om den lineære veksten fortsetter, men prediksjonene for noen år frem kan likevel være rimelige.
Modellen $E$ er eksponentiell og passer godt for perioden 2008–2021 (kraftig vekst i elbilsalget). For 2025 gir modellen ca. 2,6 millioner elbiler. Det er helt urealistisk – det tilsvarer nesten like mange elbiler som det finnes personbiler totalt. Eksponentiell vekst kan ikke fortsette uendelig, og modellen $E$ har svært begrenset gyldighetsområde utenfor 2008–2021.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2022, del 2, oppgave 4
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Regresjon, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner, Graf

Modeller for personbiler og elbiler 2008–2021

Sync på tvers av enheter

Modeller for personbiler og elbiler 2008–2021

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave