Figurmønster med sirkler 2P-Y H20

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1, 2 og 3 i et mønster av sirkler

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av sirkler. Sara vil fortsette å tegne figurer etter samme mønster.

Hvor mange sirkler vil det være i figur 4?

Sara synes det er lettere å se et mønster dersom hun fargelegger noen av sirklene. Nedenfor ser du figur 2 etter at Sara har fargelagt den.

Figur 2 med fargede sirkler for å vise mønster

Bestem et uttrykk for antallet sirkler i figur $n$ uttrykt ved $n$ .

Hvor mange sirkler vil det være i figur 20?

Fasit

$\underline{\underline{49 \mathrm{~sirkler}}}$

$\underline{\underline{f(n) = 2n^2 + 4n + 1}}$

$\underline{\underline{881 \mathrm{~sirkler}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall sirkler i de tre figurene:

Figur $n$	Antall sirkler
1	7
2	17
3	31

Vi ser at veksten fra figur til figur øker:

17 - 7 = 10 \qquad 31 - 17 = 14

Veksten øker med $4$ fra figur til figur. Det betyr at figur 4 har $14 + 4 = 18$ sirkler mer enn figur 3:

31 + 18 = 49

Figur 4 har $\underline{\underline{49 \mathrm{~sirkler}}}$ .

Sara fargelegger figur 2 for å se mønsteret tydeligere. Figuren kan deles opp i et stort kvadrat med sidekant $n+1$ ( $(n+1)^2$ sirkler), et lite kvadrat med sidekant $n$ ( $n^2$ sirkler) og to «haler» med $n$ sirkler hver.

Vi kan også finne uttrykket reint algebraisk. Den andre differensen er konstant lik $4$ , så formelen er et andregradsuttrykk:

f(n) = an^2 + bn + c

Vi setter inn de tre kjente verdiene:

f(1) = a + b + c = 7

f(2) = 4a + 2b + c = 17

f(3) = 9a + 3b + c = 31

Fra de to første likningene:

4a + 2b + c - (a + b + c) = 17 - 7

3a + b = 10

Fra den andre og tredje likningen:

9a + 3b + c - (4a + 2b + c) = 31 - 17

5a + b = 14

Vi trekker fra:

(5a + b) - (3a + b) = 14 - 10

2a = 4 \implies a = 2

Så $b = 10 - 3 \cdot 2 = 4$ og $c = 7 - 2 - 4 = 1$ .

\boxed{f(n) = 2n^2 + 4n + 1}

Vi kontrollerer: $f(1) = 2 + 4 + 1 = 7$ ✓, $f(2) = 8 + 8 + 1 = 17$ ✓, $f(3) = 18 + 12 + 1 = 31$ ✓

Dette stemmer også med oppdelingen: $(n+1)^2 + n^2 + 2n = n^2 + 2n + 1 + n^2 + 2n = 2n^2 + 4n + 1$ .

Antall sirkler i figur $n$ er $\underline{\underline{f(n) = 2n^2 + 4n + 1}}$ .

Vi setter inn $n = 20$ :

f(20) = 2 \cdot 20^2 + 4 \cdot 20 + 1 = 2 \cdot 400 + 80 + 1 = 800 + 80 + 1 = 881

Figur 20 har $\underline{\underline{881 \mathrm{~sirkler}}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2020, del 1, oppgave 6
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Figurtall, Mønstre, Tallfølger

Figurmønster med sirkler 2P-Y H20

Sync på tvers av enheter

Figurmønster med sirkler 2P-Y H20

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave