Innbyggertall i Norge eksponentiell vekst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser antall innbyggere i Norge 1. januar noen utvalgte år.

År	1960	1970	1980	1990	2000	2010	2017
Innbyggere (millioner)	$3{,}57$	$3{,}86$	$4{,}08$	$4{,}23$	$4{,}47$	$4{,}85$	$5{,}25$

La $x$ være antall år etter 1960. (La $x = 0$ svare til år 1960, $x = 10$ til 1970 osv.)

Vis at $f(x) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^x$ er en modell som passer godt med tallene i tabellen.

Hva forteller tallet $1{,}006$ i denne modellen?

Anta at modellen fra oppgave a) vil gjelde i årene framover.

I hvilket år vil innbyggertallet i Norge passere 10 millioner ifølge denne modellen?

Fasit

Modellverdiene stemmer godt overens med tabellen (avvik under $2\,\%$ for de fleste år).

Innbyggertallet øker med $0{,}6\,\%$ per år.

$\underline{\underline{\text{År } 2132}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x$ -verdiene fra tabellen i modellen $f(x) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^x$ og sammenligner med de faktiske tallene.

År	$x$	$f(x)$ (modell)	Faktisk	Avvik
1960	$0$	$3{,}57$	$3{,}57$	$0{,}0\,\%$
1970	$10$	$3{,}79$	$3{,}86$	$-1{,}8\,\%$
1980	$20$	$4{,}02$	$4{,}08$	$-1{,}4\,\%$
1990	$30$	$4{,}27$	$4{,}23$	$+1{,}0\,\%$
2000	$40$	$4{,}54$	$4{,}47$	$+1{,}5\,\%$
2010	$50$	$4{,}82$	$4{,}85$	$-0{,}7\,\%$
2017	$57$	$5{,}02$	$5{,}25$	$-4{,}4\,\%$

Avvikene er små (under $2\,\%$ for de fleste år, og under $5\,\%$ for alle år). Vi kan si at modellen passer godt med tallene i tabellen.

Datapunktene og den eksponentielle modellen for innbyggertallet

Vekstfaktoren $1{,}006$ betyr at innbyggertallet øker med en faktor $1{,}006$ hvert år.

1{,}006 = 1 + 0{,}006 = 1 + 0{,}6\,\%

Innbyggertallet i Norge øker med $0{,}6\,\%$ per år ifølge denne modellen.

Vi skal finne $x$ slik at $f(x) = 10$ , det vil si:

3{,}57 \cdot 1{,}006^x = 10

Vi deler begge sider på $3{,}57$ :

1{,}006^x = \frac{10}{3{,}57} \approx 2{,}801

Vi tar logaritmen på begge sider. Husker vi at $\log(a^x) = x \cdot \log(a)$ , får vi:

x \cdot \log(1{,}006) = \log(2{,}801)

x = \frac{\log(2{,}801)}{\log(1{,}006)} \approx \frac{0{,}4472}{0{,}002598} \approx 172{,}2

Vi kan kontrollere:

$f(172) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^{172} \approx 9{,}99$ (litt under 10)
$f(173) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^{173} \approx 10{,}05$ (over 10)

Siden $x$ er antall år etter 1960, svarer $x = 172{,}2$ til år $1960 + 172{,}2 = 2132{,}2$ . Det betyr at innbyggertallet passerer 10 millioner i løpet av år 2132 (kryssingen skjer mellom $x = 172$ og $x = 173$ , altså mellom 1. januar 2132 og 1. januar 2133).

Ifølge modellen vil innbyggertallet i Norge passere 10 millioner i $\underline{\underline{\text{år } 2132}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2017, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor

Innbyggertall i Norge eksponentiell vekst

Sync på tvers av enheter

Innbyggertall i Norge eksponentiell vekst

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave