Avstand mellom to funksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ovenfor har Sara tegnet grafene til funksjonene $f$ og $g$ gitt ved

f(x) = 2x + 8

g(x) = x^3 - x^2 - 4x + 8

Sara sine grafer til f og g

Linjen $x = 1$ skjærer grafen til $f$ i punktet $P$ og grafen til $g$ i punktet $Q$ .

Bestem avstanden fra $P$ til $Q$ .

Sara skal tegne en ny linje $x = a$ der $a \in \langle 1, 3 \rangle$ i koordinatsystemet. Hun vil kalle skjæringspunktet mellom linjen og grafen til $f$ for $R$ og skjæringspunktet mellom linjen og grafen til $g$ for $S$ .

Bestem $a$ slik at avstanden fra $R$ til $S$ blir størst mulig. Oppgi svaret eksakt.

Fasit

$\underline{\underline{PQ = 6}}$

$\underline{\underline{a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgaven.

CAS-utregning for oppgave 5

Vi definerer $f$ og $g$ og beregner funksjonsverdiene ved $x = 1$ (linje 3–4 i CAS):

f(1) = 2 \cdot 1 + 8 = 10 \quad \Rightarrow \quad P = (1,\, 10)

g(1) = 1^3 - 1^2 - 4 \cdot 1 + 8 = 4 \quad \Rightarrow \quad Q = (1,\, 4)

Siden $P$ og $Q$ ligger på den vertikale linjen $x = 1$ , er avstanden

PQ = |f(1) - g(1)| = |10 - 4| = \mathbf{\underline{\underline{6}}}

For $a \in \langle 1, 3 \rangle$ er $f(a) > g(a)$ , så avstanden fra $R$ til $S$ er

d(a) = f(a) - g(a)

CAS forenkler dette til (linje 5–6):

d(a) = -a^3 + a^2 + 6a

Vi finner ekstremalstedene ved å derivere og sette $d'(a) = 0$ (linje 7–8):

d'(a) = -3a^2 + 2a + 6 = 0

CAS gir løsningene $a = \dfrac{-\sqrt{19}+1}{3}$ og $a = \dfrac{\sqrt{19}+1}{3}$ .

Siden $a \in \langle 1, 3 \rangle$ er det kun $a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3} \approx 1{,}79$ som er aktuell.

Vi kontrollerer at det er et maksimum: $d''(a) = -6a + 2$ , og ved $a \approx 1{,}79$ er $d''(a) < 0$ , så det er et maksimumspunkt.

Maksimal avstand fra $R$ til $S$ oppnås når

\mathbf{\underline{\underline{a = \frac{1 + \sqrt{19}}{3}}}}

(Maksimumsverdien er $d\left(\dfrac{1+\sqrt{19}}{3}\right) = \dfrac{2}{27}\left(19\sqrt{19}+28\right) \approx 8{,}21$ .)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2023, del 2, oppgave 5
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Optimering, Funksjoner
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Avstand mellom to funksjoner

Sync på tvers av enheter

Avstand mellom to funksjoner

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave