Algoritme for figurmønster med små kvadrater

Tre figurer av små kvadrater i et katte-aktig mønster — Figur 1 er minst, Figur 3 er størst

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små kvadrater.

Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Lag en algoritme som du kan bruke til å bestemme hvor mange små kvadrater du totalt trenger for å lage de $100$ første figurene.

Bruk algoritmen og bestem hvor mange små kvadrater du trenger.

Fasit

Se algoritmen under.

$\underline{\underline{692\,050 \text{ kvadrater}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall kvadrater i de tre figurene:

Vi kan dele opp figuren i tre deler som vokser med figurens nummer $n$ :

Hode (øverst til venstre): et $n \times n$ -kvadrat med $n^2$ kvadrater
Kropp (midtre rektangel): et $n \times (n+2)$ -rektangel med $n(n+2) = n^2 + 2n$ kvadrater
Hale og bein (trapp oppe til høyre og bein nede): $n + 2$ kvadrater

Antall kvadrater i figur $n$ er:

f(n) = n^2 + n(n+2) + (n+2) = 2n^2 + 3n + 2

Vi sjekker: $f(1) = 2 + 3 + 2 = 7$ , $f(2) = 8 + 6 + 2 = 16$ , $f(3) = 18 + 9 + 2 = 29$ . ✓

Algoritme (pseudokode):

sum ← 0
for n from 1 to 100:
    antall ← 2·n² + 3·n + 2
    sum ← sum + antall
print sum

Eller som Python-program:

sum = 0
for n in range(1, 101):
    antall = 2*n**2 + 3*n + 2
    sum = sum + antall
print(sum)

Vi bruker algoritmen og summerer for $n = 1, 2, \ldots, 100$ :

\sum_{n=1}^{100} f(n) = \sum_{n=1}^{100} (2n^2 + 3n + 2)

= 2 \cdot \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} + 3 \cdot \frac{100 \cdot 101}{2} + 2 \cdot 100

= 2 \cdot 338\,350 + 3 \cdot 5\,050 + 200

= 676\,700 + 15\,150 + 200 = \underline{\underline{692\,050}}

Du trenger totalt 692 050 kvadrater for å lage de 100 første figurene.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter