Bruke definisjonene av sinus og cosinus til å sette opp forhold

I en trekant med vinkler $30\degree$ , $60\degree$ og $90\degree$ er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten. Hypotenusen $AC$ i trekanten nedenfor er 10 cm lang.

Trekant ABC

En elev ser på figuren og stiller seg to spørsmål:

Gjør beregninger og svar på spørsmålene til eleven. Husk å begrunne svarene dine.

Fasit

Spørsmål 1: $\sin 30° = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{10} = 0{,}5$ Spørsmål 2: $AB = \cos 30° \cdot 10 = 0{,}87 \cdot 10 = 8{,}7 \, \mathrm{cm}$

Løsningsforslag

I en 30-60-90-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten (siden motstående 30°).

Spørsmål 1 – finne $\sin 30°$ :

Siden hypotenusen $AC = 10 \, \mathrm{cm}$ og er dobbelt så lang som den korteste kateten, må:

BC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \mathrm{cm}

Sinus er definert som motstående katet delt på hypotenus. Vinkelen ved $A$ er $30°$ , og motstående katet er $BC$ :

\sin 30° = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{10} = \underline{\underline{0{,}5}}

Spørsmål 2 – finne lengden $AB$ :

Cosinus er hosliggende katet delt på hypotenus. Vinkelen ved $A$ er $30°$ , og hosliggende katet er $AB$ :

\cos 30° = \frac{AB}{AC} \implies AB = \cos 30° \cdot AC = 0{,}87 \cdot 10 = \underline{\underline{8{,}7 \, \mathrm{cm}}}

Lengden $AB$ er $\underline{\underline{8{,}7 \, \mathrm{cm}}}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

I utgangspunktet skal det gis 1 poeng for hver boks. For gul boks kreves det bruk av korrekt definisjon av sinus, samt bruk av opplysningen i teksten om at hypotenus er dobbelt så lang som minste katet, samt vist fremgangsmåte.

For grønn boks må korrekt definisjon av cosinus benyttes, og uttrykket løses for å finne lengden av AB. Dersom noen mot formodning benytter Pytagoras eller andre fremgangsmåter og finner at lengden av AB er $\sqrt{75}$ cm gis det poeng.

Sensor kan gi 1 poeng hvis kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å svare riktig på ett av de to spørsmålene med begrunnelse, eller ved å sette opp riktige definisjon av sinus og cosinus uten å komme i mål med riktige svar, eller ved å oppgi riktige svar på begge spørsmålene uten å vise fremgangsmåte.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P-Y EL H2024, del 1, oppgave 5
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens, tolke definisjonane grafisk og knyte dei til døme frå elektro og datateknologi
Bruke trigonometri til å rekne ut lengder, vinklar og areal i trekantar i problemløysing innanfor elektro og datateknologi

Bruke definisjonene av sinus og cosinus til å sette opp forhold

Sync på tvers av enheter

Bruke definisjonene av sinus og cosinus til å sette opp forhold

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave