2P-Y — alle oppgaver
Kunnskapsgrunnlag for KI-assistenter: alle 540 oppgaver i 2P-Y (Påbygging) fra matematikkoppgaver.no, samlet som markdown. Oppgavene er sortert fra nyeste eksamen. Matematikk er skrevet i LaTeX ($…$ og $$…$$).
Denne versjonen har ikke fasit eller løsningsforslag. Samme samling med løsningsforslag: https://matematikkoppgaver.no/2p-y-raadata-losning/
Matematikk 2P-Y er praktisk matematikk for påbygging til generell studiekompetanse, og handler om å beskrive forhold i samfunnet gjennom matematisk modellering. Faget vektlegger praktisk bruk av matematikk og forbereder til videre studier og arbeidsliv.
## Om innholdet
- Eksamensoppgavene er offentlige og kommer fra Utdanningsdirektoratet (UDIR).
- Løsningsforslagene er laget for matematikkoppgaver.no og kan inneholde feil. Nettadressen under hver oppgave går til oppgavesiden med figurer og ferdige formler.
- Bilder står som markdown-bilder med bildetekst og nettadresse.
- Læreplan LK20: https://www.udir.no/lk20/mat06-04/kompetansemaal-og-vurdering/kv47?lang=nob
- Læreplan LK06 (utgått): https://www.udir.no/kl06/MAT6-03/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-2p-y
- Sist generert: 2026-09-27
## Forklaring på feltene
- **Eksamen:** eksamensperioden og læreplanen (LK20 er gjeldende, LK06 er den forrige).
- **Del:** del 1 løses uten hjelpemidler, del 2 med hjelpemidler som digitale verktøy.
- **Nivå:** vanskegrad fra 1 (lett) til 3 (krevende), klassifisert av KI.
- **Kompetansemål:** mål fra læreplanen som oppgaven dekker, med kode i parentes.
---
## V2026 del 1 oppgave 1 — Brune egg fra bonden 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $20 \, \%$ av $5200$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brune-egg-fra-bonden/
### Oppgavetekst
En bonde leverer $5200$ egg til et pakkeri. $20 \, \%$ av eggene er brune.
Hvor mange egg er brune?
---
## V2026 del 1 oppgave 2 — Sentralmål og relativ frekvens for togvogner 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt, variasjonsbredde og typetall, og finne og tolke relativ frekvens for et tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-og-relativ-frekvens-for-togvogner/
### Oppgavetekst
En dag registrerer Anita hvor mange vogner det er på togene som passerer der hun bor. Resultatene ser du nedenfor.
$$
3 \quad 1 \quad 5 \quad 30 \quad 5 \quad 6 \quad 1 \quad 6 \quad 20 \quad 6
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden og typetallet for antall vogner.
b) Bestem den relative frekvensen for $6$ vogner. Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## V2026 del 1 oppgave 3 — Vekstfaktor og prosentvis endring i tabell 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Konvertere mellom vekstfaktor og prosentvis endring i tabellrader.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekstfaktor-og-prosentvis-endring-i-tabell/
### Oppgavetekst
Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn verdiene som mangler.
Table: {.grid}
| **Vekstfaktor** | **Prosentvis endring** |
| :-------------: | :--------------------: |
| $1{,}05$ | $+5 \, \%$ |
| $1{,}4$ | |
| | $+17{,}5 \, \%$ |
| | $-28 \, \%$ |
| $0{,}67$ | |
| $2$ | |
---
## V2026 del 1 oppgave 4 — Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for at $0{,}80 \cdot 1{,}20 = 0{,}96$ gir lavere pris enn opprinnelig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-ned-og-opp-med-20-prosent/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare settes ned med $20 \, \%$. Litt senere settes prisen opp igjen med $20 \, \%$.
Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.
---
## V2026 del 1 oppgave 5 — Tolke uttrykk for tre prisendringer 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Tolke at uttrykket viser pris etter ett påslag på $5 \, \%$ og to nedganger på $15 \, \%$, med ny pris $40\,000$ kr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolke-uttrykk-for-tre-prisendringer/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare har endret seg tre ganger i løpet av det siste året. Uttrykket nedenfor viser prisen for varen før prisendringene.
$$
\frac{40\,000}{1{,}05 \cdot 0{,}85^2}
$$
Hva forteller uttrykket om prisendringene?
---
## V2026 del 1 oppgave 6 — Renteendring i prosentpoeng og prosent 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentpoeng, Prosentregning, Rente
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Skille prosentpoeng fra prosentvis endring for renten satt ned fra $6 \, \%$ til $5{,}46 \, \%$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/renteendring-i-prosentpoeng-og-prosent/
### Oppgavetekst
En bank har i løpet av et år satt ned renten på boliglån fra $6 \, \%$ til $5{,}46 \, \%$.
a) Hvor mange prosentpoeng er renten satt ned med?
b) Hvor mange prosent er renten satt ned med?
---
## V2026 del 1 oppgave 7 — Multiplikasjon av store og små tall 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere $3 \cdot 10^6$ med $2{,}5 \cdot 10^{-5}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/multiplikasjon-av-store-og-sma-tall-2p-y-v26/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
3\,000\,000 \cdot 0{,}000\,025
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 8 — Sortere potens- og rotuttrykk 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Kvadratrøtter
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sju potens- og rotuttrykk og sortere dem i stigende rekkefølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sortere-potens-og-rotuttrykk/
### Oppgavetekst
Gjør beregninger og sorter tallene i stigende rekkefølge.
---
## V2026 del 1 oppgave 9 — Hyttetur med leieutgift og matkostnad 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omvendt proporsjonalitet, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463); Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Klassifisere antall elever og pris per elev som omvendt proporsjonale og sette opp $P(x) = \frac{15000}{x} + 250$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hyttetur-med-leieutgift-og-matkostnad/
### Oppgavetekst
En gruppe elever skal på tur og har leid en hytte for $15\,000$ kroner. Elevene som deltar på turen, skal dele leieutgiftene likt mellom seg. I tillegg må hver elev betale $250$ kroner for mat.
a) Avgjør om antall elever og pris per elev er
- proporsjonale størrelser
- omvendt proporsjonale størrelser
- ingen av delene
Husk å begrunne svaret.
b) Sett opp et funksjonsuttrykk som viser prisen $P(x)$ kroner per elev når $x$ elever deltar på turen.
---
## V2026 del 1 oppgave 10 — Figurmønster med grønne sirkler 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Formler, Tallfølger
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Identifisere mønster i figurer (rutenett + diagonal) og generalisere til figur $n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-gronne-sirkler/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av grønne sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange grønne sirkler vil det være i figur $5$? Hvor mange grønne sirkler vil det være i figur $10$?
b) Lag en formel for antallet grønne sirkler i figur $n$.
---
## V2026 del 1 oppgave 11 — Kyllingfilet som proporsjonal størrelse 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Måleenheter
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Regne ut pris for $1{,}4 \mathrm{~kg}$ og $250 \mathrm{~g}$ kyllingfilet når kiloprisen er $120$ kr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kyllingfilet-som-proporsjonal-storrelse/
### Oppgavetekst
En butikk selger ulike pakker med kyllingfilet. $1 \mathrm{~kg}$ kyllingfilet koster $120$ kroner.
Hvor mye skulle $1{,}4 \mathrm{~kg}$ og $250 \mathrm{~g}$ kostet dersom pris og vekt hadde vært proporsjonale størrelser?
---
## V2026 del 1 oppgave 12 — Python-program for gjennomsnitt 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Tolke at programmet beregner gjennomsnittet av tallene i listen $L$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/python-program-for-gjennomsnitt/
### Oppgavetekst
Kari har laget programmet nedenfor.
```python ln
L = [2, 4, 8, 16, 20] # L er en liste med tall
a = len(L) # Antall tall i listen L
s = sum(L) # Summen av tallene i listen L
g = s/a
print("Resultat:")
print(g)
```
```
Resultat:
10.0
```
Hva forteller verdien som skrives ut når programmet kjøres?
---
## V2026 del 1 oppgave 13 — Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kumulativ frekvens, Sentralmål, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Tolke koordinatene til et punkt på en kumulativ frekvenskurve og estimere medianalderen grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kumulativ-frekvenskurve-for-aldersfordeling/
### Oppgavetekst
Tabellen til høyre viser aldersfordelingen for de $200$ personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.
| Alder (år) | Frekvens |
|:------------:|:--------:|
| $[0, 10\rangle$ | $40$ |
| $[10, 20\rangle$ | $20$ |
| $[20, 30\rangle$ | $60$ |
| $[30, 50\rangle$ | $20$ |
| $[50, 60\rangle$ | $20$ |
| $[60, 80\rangle$ | $40$ |
| Sum | $200$ |
Aurora har laget diagrammet nedenfor.
a) Hva forteller koordinatene til punkt $A$ om aldersfordelingen i blokk Z?
Aurora kan bruke diagrammet til å finne en verdi hun kan anta er medianalderen.
b) Hvilken verdi er dette, og hvilken antakelse må hun gjøre? Husk å begrunne svaret.
---
## V2026 del 2 oppgave 1 — Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Utlede vekstfaktor fra halveringskrav, tolke modellen $U(x) = 16000 \cdot 0{,}89^x$ og beregne gjennomsnittlig endring per år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-utslippsreduksjon/
### Oppgavetekst
En bedrift har fått krav om å redusere utslippet av et miljøskadelig stoff.
- I dag er utslippet $16\,000$ tonn per år.
- Kravet er at utslippet skal halveres for hvert sjette år. Det betyr at utslippet skal være $8000$ tonn per år om $6$ år, $4000$ tonn per år om $12$ år, og så videre.
Ledelsen mener funksjonen $U$ gitt ved
$$
U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x
$$
vil være en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år om $x$ år dersom bedriften klarer å innfri kravet.
a) Vis hvordan ledelsen kan ha kommet fram til modellen.
b) Hvor mange prosent vil utslippet reduseres med per år, ifølge modellen?
c) Hvor mange tonn vil utslippet i gjennomsnitt reduseres med per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen?
---
## V2026 del 2 oppgave 2 — Tre medlemskap i mekkeklubb 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Kostnadsfunksjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineære kostnadsfunksjoner $B(x)$, $S(x)$, $P(x)$ og finne brytpunkt der Standard blir billigere enn Basis.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-medlemskap-i-mekkeklubb/
### Oppgavetekst
Sondre og Sindre har startet en mekkeklubb. De leier et gammelt verksted og har kjøpt en del verktøy. Alle som melder seg inn i klubben, kan bruke verkstedet og verktøyene. Samtidig kan de få hjelp og gode råd.
For å dekke utgifter og samtidig gi medlemmene fleksibilitet tilbyr klubben tre ulike medlemskap.
| Medlemskap | Månedsavgift (kroner) | Pris per time i verkstedet (kroner) |
|:---|:-----:|:-----:|
| Basis, $B$ | $150$ | $70$ |
| Standard, $S$| $300$ | $40$ |
| Premium, $P$ | $1000$ | $0$ |
La $x$ være antall timer et medlem bruker verkstedet i løpet av en måned.
a) Bestem tre uttrykk $B(x)$, $S(x)$ og $P(x)$ som viser de totale kostnadene per måned for hvert av de tre medlemskapene.
b) Hvor mange timer må et medlem bruke på verkstedet per måned for at det skal lønne seg å velge et standard medlemskap?
---
## V2026 del 2 oppgave 3 — Sammenligning av sykefravær mellom to bedrifter 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål, Kumulativ frekvens
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454); Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sentralmål og standardavvik for fraværsdager, tolke kumulativ frekvens, og sammenligne to bedrifter ut fra gitte opplysninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligning-av-sykefravaer-mellom-to-bedrifter/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange fraværsdager hver av de $15$ ansatte i bedrift A hadde i $2025$.
$$
2 \quad 0 \quad 0 \quad 5 \quad 4 \quad 1 \quad 1 \quad 12 \quad 15 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 1
$$
a) Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for antall fraværsdager.
b) Bestem den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager. Gi en praktisk tolkning av svaret.
Bedrift B har også $15$ ansatte.
- Gjennomsnittet for antall fraværsdager i $2025$ er det samme for bedrift B som for bedrift A.
- Medianen er høyere for bedrift B.
- Standardavviket er lavere for bedrift B.
c) Hva forteller disse opplysningene om fraværet i bedrift B sammenlignet med fraværet i bedrift A?
Kari påstår at den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A.
d) Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.
---
## V2026 del 2 oppgave 4 — Presentasjon av nyhetsundersøkelser 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Presentasjon av data, Diagram, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454); Lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om samfunnsfaglege tema og tema frå lokalmiljøet, gjere berekningar knytte til dette og presentere og argumentere for resultata (KM456)
- **Kort beskrivelse:** Gjøre egne beregninger og sammenligninger på to nyhetstabeller og lage ulike diagrammer som passer til presentasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/presentasjon-av-nyhetsundersokelser/
### Oppgavetekst
Hvert år undersøker Reuters Institute, Universitetet i Bergen og Stiftelsen Fritt Ord hvordan vi får med oss nyheter, og i hvilken grad vi unngår nyheter. Dersom vi unngår nyheter over tid, kan vi gå glipp av viktig informasjon og få en svakere tilknytning til samfunnet. Forskerne er derfor spesielt opptatt av dette.
Nedenfor ser du noen resultater fra undersøkelsene.
**Hvordan nordmenn får med seg dagens første nyheter i 2019 og 2025**
*Prosentandel som oppgir hver kilde*
| Kilde | $2019$ | $2025$ |
|:---------------|:---------:|:---------:|
| Smarttelefon | $32 \, \%$| $50 \, \%$|
| Radio | $19 \, \%$| $14 \, \%$|
| PC | $15 \, \%$| $12 \, \%$|
| TV | $13 \, \%$| $11 \, \%$|
| Nettbrett | $6 \, \%$ | $5 \, \%$ |
| Papiravis | $7 \, \%$ | $2 \, \%$ |
| Ingen av disse | $4 \, \%$ | $4 \, \%$ |
| Vet ikke | $4 \, \%$ | $2 \, \%$ |
---
**Nyhetsunngåelse i Norge 2025**
*Hvor ofte nordmenn aktivt unngår nyheter*
| Svar | $2025$ |
| :------------- | :--------: |
| Aldri | $37 \, \%$ |
| En gang iblant | $29 \, \%$ |
| Noen ganger | $23 \, \%$ |
| Ofte | $7 \, \%$ |
| Vet ikke | $4 \, \%$ |
Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.
Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike diagrammer som du kan bruke i en presentasjon.
---
## V2025 del 1 oppgave 1 — Elever i klassen basert på prosentandel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Finne totalantall elever fra at 12 % tilsvarer 3 elever via en-prosentmetoden.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y vår 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elever-i-klassen-basert-pa-prosentandel/
### Oppgavetekst
$88\,\%$ av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er $3$ elever som ikke deltar i undersøkelsen.
Hvor mange elever er det i klassen?
---
## V2025 del 1 oppgave 2 — Median og gjennomsnitt i heiskø
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Beregne median og gjennomsnitt fra liste med 10 tall; finne kumulativ frekvens og tolke den praktisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-i-heisko/
### Oppgavetekst
Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatene ser du nedenfor:
$$
6\qquad 3\qquad 2\qquad 4\qquad 4\qquad 6\qquad 2\qquad 7\qquad 8\qquad 8
$$
a) Bestem medianen og gjennomsnittet.
b) Bestem den kumulative frekvensen for $6$ personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## V2025 del 1 oppgave 3 — Omvendt proporsjonal klassefest
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omvendt proporsjonalitet, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Lese av pris ved 20 elever på omvendt proporsjonal graf og bestemme $f(x)=k/x$ med $k=8000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omvendt-proporsjonal-klassefest/
### Oppgavetekst
Elevene i klasse 3PBB vil leie et lokale for å arrangere klassefest. De vil spleise på utgiftene. Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f$. Grafen viser sammenhengen mellom hvor mange elever som blir med på festen, og prisen hver elev må betale:
a) Hvor mye må hver elev betale dersom $20$ elever blir med på festen?
b) Bestem funksjonsuttrykket $f(x)$.
---
## V2025 del 1 oppgave 4 — Prosentvis framgang for to partier
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne to prosentvise endringer med samme absolutt økning på 4 prosentpoeng.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-framgang-for-to-partier/
### Oppgavetekst
I en kommune fikk Høyre $24\%$ av stemmene ved forrige valg. Fremskrittspartiet fikk $16\%$. En meningsmåling viser at begge partiene har økt sin oppslutning med $4$ prosentpoeng siden valget.
Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang? Husk å begrunne svaret.
---
## V2025 del 1 oppgave 5 — Få størst mulig svar
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potensregning
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Utforske hvilke sifre som maksimerer $10^{\Box}\cdot \Box - \Box \cdot 10^{\Box}$ — gjøre første ledd størst mulig og andre ledd minst mulig ved å velge høyeste eksponent og høyeste sifferfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fa-storst-mulig-svar/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du bruke fire av tallene $1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Hvert tall kan bare brukes én gang.
Skriv av og fyll inn ett tall i hver av de fire rutene i regnestykket nedenfor slik at svaret blir størst mulig:
$$
10^{\Box}\times \Box \;-\; \Box\times 10^{\Box} \;=\;
$$
---
## V2025 del 1 oppgave 6 — Figurtall 2PY v2025
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Telle grønne kvadrater, utlede formel for hvite $H_n=3n-2$, og formel for grønne via rektangelstørrelse minus hvite.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-2py-v2025/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små hvite og grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur $5$?
b) Lag en formel for antallet hvite kvadrater i figur $n$.
---
## V2025 del 1 oppgave 7 — Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Grupperte data, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Finne gjennomsnitt og median fra klassedelt aldersfordeling, og forklare antakelsen (jevn fordeling innen klasser) som gir Trines verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-fra-klassedelt-alder/
### Oppgavetekst
I tabellen nedenfor finner du informasjon om alderen til $100$ personer som er medlemmer på et treningssenter:
| Alder (år) | Antall medlemmer |
| :-------------: | :--------------: |
| $[16,20\rangle$ | $20$ |
| $[20,40\rangle$ | $40$ |
| $[40,60\rangle$ | $30$ |
| $[60,90\rangle$ | $10$ |
Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. $38$ år, og at medianalderen er ca. $35$ år.
Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige. Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse.
---
## V2025 del 1 oppgave 8 — Program for reduksjon av matsvinn
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Tolke en while-løkke som reduserer matsvinnet med 13 % per år inntil halvering, og forklare årstall- og mengde-utskriftene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/program-for-reduksjon-av-matsvinn/
### Oppgavetekst
Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn. Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. $160\text{ kg}$ mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.
```python ln
matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87
år = 2025
while matsvinn > mål:
matsvinn = matsvinn * vf
år = år + 1
print(år)
print(matsvinn)
```
Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:
```
2030
79.74734731199999
```
Forklar hva Sofie ønsker å finne ut.
Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?
---
## V2025 del 2 oppgave 1 — Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Geogebra, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Tolke og drøfte utslippsmodellen $U(x)=5000\cdot 0{,}95^x+1000$ - halveringstid, prosentvis endring, gjennomsnittlig endring og om $800$-tonns-grense er mulig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modell-for-reduksjon-av-utslipp/
### Oppgavetekst
Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene. I dag har bedriften to produksjonsprosesser:
1. Den ene slipper ut $5000\mathrm{~tonn}$ per år
2. Den andre slipper ut $1000\mathrm{~tonn}$ per år.
Ledelsen mener funksjonen
$$
U(x)=5000\cdot0{,}95^x+1000
$$
er en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år etter $x$ år.
a) Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.
b) Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?
c) Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter $10$ år ifølge modellen?
d) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0,U(0))$ og $(30,U(30))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
Myndighetene har krevd at utslippet skal reduseres til $800\text{ tonn}$ per år.
Vurder om det ifølge modellen $U$ er mulig å oppfylle dette kravet.
---
## V2025 del 2 oppgave 2 — Burj Khalifa standardform
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Beregne antall kronestykker ved enhetsskifte (mm til m) og skrive resultatet på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/burj-khalifa-standardform/
### Oppgavetekst
Skyskraperen Burj Khalifa i Dubai er $825\text{ m}$ høy. Et kronestykke er $1{,}7\text{ mm}$ tykt. Tenk deg at du skal bygge et tårn av kronestykker like høyt som Burj Khalifa.
Omtrent hvor mange kronestykker vil du trenge? Skriv svaret på standardform.
---
## V2025 del 2 oppgave 3 — Påstander om gjennomsnitt og median i et rom
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Vurdere to påstander om median og gjennomsnitt når en ellevte person kommer inn; løse likning for hvilken alder som gir snittet 30 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-gjennomsnitt-og-median-i-et-rom/
### Oppgavetekst
I et rom er det $10$ personer. Nedenfor ser du alderen til hver person:
$$
12,\,14,\,40,\,42,\,70,\,67,\,5,\,5,\,28,\,30
$$
> Påstand 1
> Dersom det kommer en ny person inn i rommet, vil medianalderen endres.
a) Er denne påstanden riktig? Begrunn.
> Påstand 2
> Dersom det kommer en ny person inn i rommet, kan gjennomsnittsalderen bli $30$ år.
b) Er denne påstanden riktig? Begrunn.
---
## V2025 del 2 oppgave 4 — Proporsjonal pris på antibac
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Regne pris per ml fra referanseflaske og multiplisere med mengde for andre flaskestørrelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/proporsjonal-pris-pa-antibac/
### Oppgavetekst
Antibac-hånddesinfeksjon selges i flere størrelser. Flasken med $600\text{ ml}$ koster $114\text{ kr}$.
Hva skulle den store kannen ($4\text{ l}$) og den lille sprayflasken ($100\text{ ml}$) ha kostet dersom pris og mengde var proporsjonale?
---
## V2025 del 2 oppgave 5 — Modell for lengde av skjerf
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Modellering
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær modell fra to punkter ($(0,8)$ og $(25,40)$) og løse $1{,}28x+8=17$ for å finne ukene til 17 meter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modell-for-lengde-av-skjerf/
### Oppgavetekst
Elevene ved en folkehøyskole holder på å strikke et langt skjerf.
I dag er skjerfet 8 meter langt.
- Elevene ønsker å organisere strikkingen slik at lengden av skjerfet øker med like mange centimeter hver uke.
- Målet er at skjerfet etter 25 uker skal være 40 meter langt.
a) Sett opp en modell som viser hvor langt skjerfet vil være etter $x$ dersom elevene klarer å organisere strikkingen slik de ønsker, og når målet.
b) Hvor mange uker vil det gå før skjerfet er 17 meter langt, ifølge modellen i oppgave a)?
---
## V2025 del 2 oppgave 6 — Halvert fuglebestand
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Regresjon, Vekstfaktor
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell halveringsmodell $F(x)=12\,000\cdot 0{,}87^x$ — verifisere halvering hvert 5. år, beregne $F(7)$, og finne $x$ når bestanden er redusert 35 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halvert-fuglebestand/
### Oppgavetekst
En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene.
I dag er det 12 000 fugler i bestanden.
Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.
a) Vis at funksjonen $F$ gitt ved $F(x)=12\,000 \cdot 0{,}87^{x}$ er en god modell for antallet fugler etter $x$ år.
b) Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?
c) Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen?
---
## V2025 del 2 oppgave 7 — Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Presentasjon av data, Prosentregning, Diagram
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454)
- **Kort beskrivelse:** Åpen presentasjonsoppgave – velge diagramtyper og beregne prosentvise endringer i fødselsrate, dødsrate og samlet fruktbarhetstall 1983–2023.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lag-presentasjon-som-viser-dods-og-fodselsrate/
### Oppgavetekst
| År | Antall<br> fødte | Antall døde | Fødselsrate | Dødsrate | Samlet fruktbarhetstall |
| :--: | :-------: | :------: | :------: | :-----: | :-------------: |
| 1983 | 49 937 | 42 224 | 12,1 | 10,2 | 1,66 |
| 1993 | 59 678 | 46 597 | 13,8 | 10,8 | 1,86 |
| 2003 | 56 458 | 42 478 | 12,4 | 9,3 | 1,80 |
| 2013 | 58 995 | 41 282 | 11,6 | 8,1 | 1,78 |
| 2023 | 51 980 | 43 803 | 9,4 | 7,9 | 1,40 |
Datamaterialet ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrås nettsider.
- Fødselsrate og dødsrate er antall fødte og døde per 1000 innbyggere.
- Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag.
Title
Gjør relevante sammenlikninger og beregninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon.
Presentasjonen skal inneholde
- diagrammer som illustrerer utviklingen gjennom perioden fra 1983 til 2023
- beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023
---
## H2025 del 1 oppgave 1 — Prosentvis prisøkning 2P-Y H25
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentvis endring, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Prosentvis økning fra 300 kr til 315 kr via $\frac{15}{300} \cdot 100\,\% = 5\,\%$.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-prisokning-h25/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare settes opp fra 300 kroner til 315 kroner.
Hvor mange prosent settes prisen opp med?
---
## H2025 del 1 oppgave 2 — Standardform og studentkort 2P-Y H25
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Anslå årlig totalpris for studentmånedskort ved overslagsregning og skrive svaret på standardform.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-og-studentkort/
### Oppgavetekst
- I Bergen er det omtrent 40 000 studenter.
- Et månedskort med kollektivtransport koster 496 kroner for studenter.
Anta at alle studentene kjøper 10 månedskort i løpet av et år.
Omtrent hvor mye betaler studentene til sammen for kollektivtransport i løpet av et år dersom antagelsen stemmer? Skriv svaret på standardform.
---
## H2025 del 1 oppgave 3 — Sortering av tall 2P-Y H25
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Standardform, Røtter, Tallregning
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Evaluere potenser, røtter og standardform til desimaltall og sortere tallene stigende.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sortering-av-tall/
### Oppgavetekst
Sorter tallene nedenfor i stigende rekkefølge.
Husk å argumentere for at rekkefølgen er riktig.
$$
\sqrt{ 2 } \quad 0{,}02 \cdot 10^{2} \quad 3^{2} \quad 2^{0} \quad \sqrt{ 80 } \quad 3 \cdot 10^{-1} \quad 4^{-1}
$$
---
## H2025 del 1 oppgave 4 — Pariserhjul statistikk 2P-Y H25
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Fra frekvenstabell vise antall tomme vogner, beregne gjennomsnitt og median, og tolke kumulativ frekvens.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pariserhjul-statistikk/
### Oppgavetekst
I et pariserhjul er det 20 vogner. Det er plass til 4 personer i hver vogn. Nedenfor ser du hvor mange personer det var i vognene på et tidspunkt.
| Antall personer i vognen | Antall vogner |
| :----------------------: | :-----------: |
| 0 | |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
Stine påstår at fem vogner var tomme.
a) Vis at påstanden er riktig.
b) Bestem gjennomsnittet og medianen for antallet personer i hver vogn.
c) Bestem den kumulative frekvensen for to personer i hver vogn, og gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## H2025 del 1 oppgave 5 — Proporsjonalitet fra grafer 2P-Y H25
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Funksjoner, Graftolkning, Omvendt proporsjonalitet
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Identifisere proporsjonal og omvendt proporsjonal graf blant fire, og bestemme funksjonsuttrykkene $q(x)=150x$ og $r(x)=1200/x$.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/proporsjonalitet-fra-grafer-h25/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafene til fire funksjoner $p$, $q$, $r$ og $s$.
a) Hvilken av grafene ovenfor er grafen til en funksjon som beskriver sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser? Begrunn svaret. Bestem funksjonsuttrykket for denne funksjonen.
b) Hvilken av grafene ovenfor er grafen til en funksjon som beskriver sammenhengen mellom to omvendt proporsjonale størrelser? Begrunn svaret. Bestem funksjonsuttrykket for denne funksjonen.
---
## H2025 del 1 oppgave 6 — Trekantmønster og programmering 2P-Y H25
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Programmering, Figurtall
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459); Utforske korleis ulike premissar vil kunne påverke korleis matematiske problem frå samfunnsliv og arbeidsliv blir løyste (KM461)
- **Kort beskrivelse:** Figurtall: finne antall pinner i figur 4 og 10, finne formel $P(n)=2n+1$, og tolke akkumulasjonsprogram.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantmonster-og-programmering/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av pinner.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange pinner vil det være i figur 4?
Hvor mange pinner vil det være i figur 10?
b) Lag en formel for antallet pinner i figur $n$.
Vivian har laget programmet nedenfor.
```python ln
n = 0
total = 0
figur = 3
grense = 1000
while total <= grense:
n = n + 1
total = total + figur
figur = figur + 2
print("Resultat:")
print(n)
print(total)
```
```
Resultat:
31
1023
```
c) Hva vil Vivian finne ut?
Hva forteller verdiene som skrives ut?
Husk å begrunne svaret ditt.
---
## H2025 del 2 oppgave 1 — Eksponentiell vekst nettbutikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Prosentvis endring, Prosentvis endring i flere perioder
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon for omsetningsdata; tolke vekstfaktor; løse $f(x)=20000$; finne nødvendig månedlig vekstfaktor fra $2032\cdot x^6=20000$.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-vekst-nettbutikk/
### Oppgavetekst
Alex lager hårspenner og annen hodepynt. I februar 2025 åpnet han en liten nettbutikk. Tabellen nedenfor viser omsetningen de første fem månedene etter at nettbutikken åpnet.
| Måned | Februar | Mars | April | Mai | Juni |
| :----------------- | :-----: | :--: | :---: | :--: | :--: |
| Omsetning (kroner) | 1267 | 1431 | 1619 | 1788 | 2032 |
a) Lag en modell på formen $f(x)=a \cdot b^{x}$ for omsetningen $f(x)$ kroner $x$ måneder etter februar 2025.
b) Omtrent hvor mange prosent øker omsetningen med per måned, ifølge modellen?
Alex har som mål å omsette for 20 000 kroner per måned.
c) Når kommer Alex til å nå målet, ifølge modellen?
d) Hvor mange prosent må omsetningen øke med per måned etter juni 2025 dersom Alex skal nå målet i løpet av desember 2025?
---
## H2025 del 2 oppgave 2 — Befolkningsstatistikk tettsteder
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Spredningsmål, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454); Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sentralmål og spredningsmål for tettstedstall, vurdere best sentralmål ved skjevfordeling, og sammenligne med dansk statistikk.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/befolkningsstatistikk-tettsteder/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge i 2024.
| | **Tettsted** | **Innbyggere** |
| --: | :-------------------- | -------------: |
| 1 | Oslo | 1 098 061 |
| 2 | Bergen | 272 125 |
| 3 | Stavanger/Sandnes | 239 055 |
| 4 | Trondheim | 198 777 |
| 5 | Drammen | 124 540 |
| 6 | Fredrikstad/Sarpsborg | 121 679 |
| 7 | Porsgrunn/Skien | 96 695 |
| 8 | Kristiansand | 67 372 |
| 9 | Tønsberg | 55 939 |
| 10 | Ålesund | 55 684 |
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, standardavviket og variasjonsbredden for innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge.
Kine og Håkon diskuterer hvilket sentralmål som er best å bruke for å beskrive datamaterialet.
Håkon mener det er best å bruke gjennomsnittet. Kine mener det er best å bruke medianen.
b) Hvem er du mest enig med?
Husk å begrunne svaret ditt.
Gjennomsnittet, medianen og standardavviket for de ti største tettstedene i Danmark er gitt i tabellen nedenfor.
| Gjennomsnitt | Median | Standardavvik |
| :----------: | :----: | :-----------: |
| 235 549 | 67 832 | 388 000 |
c) Hva kan du si om folketallet i de danske tettstedene sammenliknet med de norske ut fra tallene i tabellen og resultatene fra oppgave a)?
---
## H2025 del 2 oppgave 3 — Internettbruk i aldersgrupper
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Presentasjon av data, Diagram, Utforskning, Prosentvis endring
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454)
- **Kort beskrivelse:** Utforske aldersfordelt internettbruk med absolutt og prosentvis endring 2020–2024; lage diagrammer og trekke fram funn.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/internettbruk-i-aldersgrupper/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange minutter nordmenn i ulike aldersgrupper brukte på internett en gjennomsnittsdag i årene 2020 til 2024.
| | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
| :------: | :------------------: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 9–15 år | 180 | 198 | 256 | 273 | 245 |
| 16–24 år | 318 | 340 | 408 | 388 | 440 |
| 25–44 år | 245 | 269 | 294 | 312 | 338 |
| 45–64 år | 177 | 181 | 226 | 218 | 260 |
| 65–79 år | 60 | 77 | 111 | 109 | 127 |
Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.
Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.
Lag en oppsummering der du trekker fram to interessante funn ut fra beregningene du har gjort, og diagrammene du har laget.
---
## H2025 del 2 oppgave 4 — Investeringer og avkastning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentvis endring, Vekstfaktor, Sparing, Økonomi
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Sluttverdi etter 5 år for aksjefond (engangsvekst 36 %), sparekonto (rentes rente $1{,}057^5$) og aksjer (produkt av fem ulike vekstfaktorer).
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/investeringer-og-avkastning/
### Oppgavetekst
I januar 2020 hadde Fatima, Adrian og Vegard 100 000 kroner hver.
Fatima plasserte pengene sine i et aksjefond. I januar 2025 hadde verdien steget med 36 %.
Adrian satte pengene sine inn på en sparekonto med en årlig rente på 5,7 %.
Vegard investerte pengene sine i ulike aksjer hvert år.
- I 2020 steg verdien av aksjene med 20 %
- I 2021 falt verdien med 11 %
- I 2022 falt verdien med 10 %
- I 2023 steg verdien med 23 %
- I 2024 steg verdien med 17 %
Gjør beregninger og lag en oversikt som viser hvor mye penger hver av de tre har ved starten av 2025.
---
## H2025 del 2 oppgave 5 — Gjennomsnittsalder i Åseral
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grupperte data, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Grupperte data — diskutere nødvendige antagelser, beregne gjennomsnitt via midtpunkter, og finne prosentandel eldre enn snittet via interpolasjon i intervallet som inneholder snittet.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittsalder-i-aseral/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen i Åseral kommune i 2024.
| Alder (år) | Antall personer |
| :---------------: | :-------------: |
| $[0, 18 \rangle$ | 188 |
| $[18, 50\rangle$ | 347 |
| $[50, 67\rangle$ | 237 |
| $[67, 80\rangle$ | 103 |
| $[80, 90\rangle$ | 33 |
| $[90, 100\rangle$ | 15 |
a) Hvilke antagelser må du gjøre for å kunne bruke tabellen til å bestemme ulike sentralmål for innbyggerne i Åseral kommune i 2024?
b) Bestem gjennomsnittsalderen for innbyggerne i Åseral kommune i 2024.
c) Hvor mange prosent av befolkningen i Åseral kommune var eldre enn gjennomsnittsalderen i kommunen i 2024?
---
## H2025 del 2 oppgave 6 — Proporsjonalitet i julepynt
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Omvendt proporsjonalitet
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for/mot elevpåstander om proporsjonalitet (juletre + kuler) og omvendt proporsjonalitet (spleising).
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/proporsjonalitet-i-julepynt/
### Oppgavetekst
3PBB ønsker å pynte klasserommet til jul. De vil kjøpe et juletre, og julekuler til å pynte treet med.
I en matematikktime ber læreren elevene ta utgangspunkt i denne situasjonen og diskutere begrepene proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet.
> **Nils sier:**
> «Jeg tror antallet julekuler vi kjøper, og prisen vi må betale til sammen for juletreet og julekulene, vil være proporsjonale størrelser. Jo flere kuler vi kjøper, jo mer må vi betale. Eller?»
> **Hanne sier:**
> «Jeg tror beløpet hver av oss må betale, er omvendt proporsjonalt med hvor mange som blir med å dele på utgiftene. Er det riktig?»
Svar på spørsmålene Nils og Hanne stiller, og forklar begrepene proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet med utgangspunkt i situasjonen som er beskrevet i oppgaveteksten.
---
## V2024 del 1 oppgave 1 — Proporsjonale størrelser i kiosk
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Sjekke om forholdet pris/antall er konstant i en tabell og begrunne at størrelsene er proporsjonale.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/proporsjonale-storrelser-i-kiosk/
### Oppgavetekst
Er antall sjokolader du kjøper, og prisen du betaler for hver sjokolade proporsjonale størrelser i denne kiosken?
Husk å begrunne svaret ditt.
---
## V2024 del 1 oppgave 2 — Prosentvis prisreduksjon bagetter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Enhetskostnad
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Finne pris per bagett i to tilbud (16 og 12 kr) og regne prosentvis reduksjon $\frac{16-12}{16} = 25\,\%$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-prisreduksjon-bagetter/
### Oppgavetekst
Nora skal kjøpe bagetter.
Hvor mange prosent lavere blir prisen per bagett dersom hun kjøper fire i stedet for to?
---
## V2024 del 1 oppgave 3 — Vannforbruk i Oslo
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere $700\,000\cdot 150\cdot 30$ og skrive svaret på standardform.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y vår 2024
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vannforbruk-i-oslo/
### Oppgavetekst
I Oslo bor det ca. 700 000 mennesker. Hver person bruker i gjennomsnitt 150 liter vann hvert døgn.
Omtrent hvor mange liter vann blir dette i løpet av én måned?
Skriv svaret på standardform.
---
## V2024 del 1 oppgave 4 — Figurtall 2P-Y v2024
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Forlenge mønster med overlappende kvadrater og utlede formel $2(n+1)^2-1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-2p-y-v2024/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4 og i figur 9?
b) Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$.
---
## V2024 del 2 oppgave 1 — Hytteleie omvendt proporsjonal funksjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omvendt proporsjonalitet, Funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
- **Kompetansemål:** Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460); Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Omvendt proporsjonal modell $H(x)=18\,000/x$ — tolke modellparametre, finne grafisk skjæring med $y=2250$, og beregne stigningstall mellom $(6, H(6))$ og $(12, H(12))$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hytteleie-omvendt-proporsjonal-funksjon/
### Oppgavetekst
Noen venner vil leie ei hytte en uke i sommerferien.
Funksjonen $H$ gitt ved
$$
H(x) = \frac{18\,000}{x} \quad , \quad 1 \le x \le 12
$$
er en modell for prisen $H(x)$ kroner hver av vennene må betale i leie dersom $x$ venner blir med på hytteturen.
a) Hva kan du ut fra denne modellen si om hytta vennene vil leie?
b) Tegn grafen til $H$, og bestem skjæringspunktet mellom grafen og den rette linjen $y = 2250$. Gi en praktisk tolkning av koordinatene til skjæringspunktet.
c) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(6, H(6))$ og $(12, H(12))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## V2024 del 2 oppgave 2 — Fastrenteinnskudd og renteinntekter
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Prosentregning, Prosentvis endring
- **Kompetansemål:** Lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om samfunnsfaglege tema og tema frå lokalmiljøet, gjere berekningar knytte til dette og presentere og argumentere for resultata (KM456); Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Skille mellom prosentpoeng og prosentvis endring for to rentesatser; beregne renteinntekter på fastrenteinnskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fastrenteinnskudd-og-renteinntekter/
### Oppgavetekst
Malin har 450 000 kroner på en sparekonto. Hun vil sette beløpet over på en konto med fastrenteinnskudd. Hun finner informasjonen nedenfor.
> **Info**
> Fastrenteinnskudd
>
> - Med fastrenteinnskudd binder du pengene for en periode på 3, 6 eller 12 måneder.
> - I hele bindingstiden beholder du samme rente, uavhengig av om renten endres i markedet.
>
> Vilkår for fastrenteinnskudd:
>
> | Periode | Rente |
> |-----------|---------------|
> | 3 måneder | 5,15 % per år |
> | 6 måneder | 5,25 % per år |
> | 1 år | 5,4 % per år |
Malin vurderer om hun skal binde pengene i 3 måneder eller i 1 år.
a) Hvor mange prosentpoeng og hvor mange prosent høyere er renten dersom hun velger 1 år i stedet for 3 måneder?
b) Hvor mye får Malin i renteinntekter dersom hun velger å binde pengene i 1 år?
---
## V2024 del 2 oppgave 3 — Skiturstatistikk Solveig og Miriam
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne gjennomsnitt og standardavvik med venninne via Excel, og lese antall felles turer ut av kumulative frekvenser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skiturstatistikk-solveig-og-miriam/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange timer Solveig brukte på hver av de 20 skiturene hun gikk vinteren 2024.
Table: Solveigs skiturer {.noborders}
| 8 | 4 | 7 | 5 | 10 | 3 | 12 | 6 | 8 | 9 |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 6 | 5 | 8 | 9 | 11 | 5 | 3 | 7 | 9 | 8 |
Solveigs venninne, Miriam, gikk også 20 skiturer vinteren 2024. I gjennomsnitt brukte Miriam 4,7 timer per tur. Medianen var 4, og standardavviket hennes for antall timer per tur var 4,2.
a) Hva kan du ut fra dette si om skiturene til Miriam sammenliknet med skiturene til Solveig?
Solveig og Miriam gikk noen av skiturene sammen. Tabellen nedenfor viser den kumulative frekvensen for antallet timer disse skiturene varte.
| Lengde turer sammen (timer) | Kumulativ frekvens |
| :-------------------------: | :----------------: |
| 0 | 10 |
| 3 | 11 |
| 5 | 14 |
| 8 | 17 |
| 9 | 19 |
| 12 | 20 |
b) Argumenter for at hver av de to påstandene nedenfor er riktig.
1\) Miriam og Solveig gikk 3 skiturer på 5 timer sammen.
2\) Miriam var ikke med alle gangene Solveig gikk en skitur på 8 timer.
---
## V2024 del 2 oppgave 4 — Instagram-følgere eksponentiell vekst
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Vekstfaktor, Prosentvis vekst, Regresjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon gir $f(x)=5244 \cdot 1{,}35^x$; sammenlikne antall følgere under original og voksende månedsvekst (+5 prosentpoeng/mnd).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/instagram-folgere-eksponentiell-vekst/
### Oppgavetekst
Tuva har en profil på Instagram. Tabellen nedenfor viser hvor mange følgere hun har hatt de siste seks månedene.
| Måned | November | Desember | Januar | Februar | Mars | April |
| ------- | :------: | :------: | :----: | :-----: | :----: | :----: |
| Følgere | 5335 | 7035 | 9467 | 12 780 | 17 208 | 24 008 |
Tuva har laget en modell som viser at antallet følgere har økt med ca. 35 % hver måned i perioden november 2023–april 2024.
a) La $x$ være antall måneder etter november 2023, og vis hvordan Tuva kan ha laget denne modellen.
For å få antall følgere til å øke raskere vil Tuva gjøre noen endringer i innholdet hun legger ut. Hun har som mål at økningen i antall følgere ikke skal fortsette å være på 35 % etter april 2024, men øke med 5 prosentpoeng hver måned.
b) Vis at antall følgere vil være 33 611 i mai og 48 736 i juni dersom Tuva klarer å nå målet sitt for disse månedene.
c) Hvor mange prosent flere følgere vil Tuva ha i august 2024 dersom hun klarer å nå det nye målet sitt for hver måned, sammenliknet med om økningen fortsetter å være på 35 % hver måned?
---
## V2024 del 2 oppgave 5 — Tid brukt på lekser histogram
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Vurdér fire påstander om gruppert histogram: frekvens via areal, relativ frekvens, gjennomsnitt fra intervallmidtpunkter og median innen et intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tid-brukt-pa-lekser-histogram/
### Oppgavetekst
Oda har undersøkt hvor mange minutter elevene ved skolen brukte på lekser en ettermiddag i mai, og laget histogrammet nedenfor.
Bruk opplysningene du kan lese ut av histogrammet, gjør beregninger, og argumenter for at hver av de fire påstandene nedenfor kan være riktig.
> Påstand 1
> 80 elever brukte mindre enn 40 minutter på lekser denne ettermiddagen.
> Påstand 2
> Den relative frekvensen for 100–150 minutter brukt på lekser er $\frac{1}{5}$.
> Påstand 3
> Elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, brukte i gjennomsnitt 38 minutter.
> Påstand 4
> For elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, er medianen for antall minutter høyere enn gjennomsnittet for antall minutter.
---
## V2024 del 2 oppgave 6 — Programmering av Theas BSU-konto
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Sparing
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Tolke en Python for-løkke som simulerer BSU-sparing med årlig innskudd og rente, og forklare hver linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programmering-av-theas-bsu-konto/
### Oppgavetekst
Thea vil spare penger og har lest at det er lurt å opprette en BSU-konto i banken. Hun finner informasjonen nedenfor.
> **Info**
> Betingelser for BSU-sparing
>
> - Med BSU-konto kan du spare 27 500 kroner årlig og 300 000 kroner totalt.
> - Du får bankens beste rente, som nå er 6,8 % per år.
Thea har skrevet programkoden nedenfor.
Hva er det hun vil finne ut? Forklar hver linje i programkoden.
```python ln
innskudd = 27500
prosent_rente = 6.8
BSU = 0
for år in range(2024, 2034):
BSU = BSU + innskudd
renter = prosent_rente * BSU / 100
BSU = BSU + renter
print(år, round(renter), round(BSU))
```
> **Tips**
> Round
> Kommandoen `round` i Python runder av tallene som skrives ut.
---
## V2024 del 2 oppgave 7 — Grafisk framstilling av læreplasser
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grafisk framstilling, Statistikk, Prosentregning, Diagram, Presentasjon av data
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454); Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne læreplasser i Oslo, Rogaland og Norge 2018–2022 med beregninger og diagrammer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafisk-framstilling-av-laereplasser/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en tabell som viser antallet lærlinger i Rogaland, i Oslo og totalt i Norge i perioden 2018-2022.
| | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
| :------- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Oslo | 3626 | 3757 | 3685 | 3688 | 3799 |
| Rogaland | 5009 | 5432 | 5324 | 5589 | 5960 |
| Norge | 43322 | 45323 | 44961 | 46705 | 48400 |
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet for klassen din.
Gjør sammenlikninger og beregninger og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.
---
## H2024 del 1 oppgave 1 — Prisstigning på vare
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris ved å dele kroneøkning på prosentandel som desimaltall ($12/0{,}30$).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisstigning-pa-vare/
### Oppgavetekst
En butikk satte opp prisen for en vare med 12 kroner.
Dette tilsvarte en prisøkning på 30 %.
Hvor mye kostet varen før prisøkningen?
---
## H2024 del 1 oppgave 2 — Statistikk på Lars arbeidstid
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Gjennomsnitt, median og kumulativ frekvens for et lite datasett med 10 arbeidsdager.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-pa-lars-arbeidstid/
### Oppgavetekst
Lars arbeider i en butikk etter skoletid og i helgene. Nedenfor ser du hvor mange timer han har arbeidet hver av de 10 siste dagene:
$$
3\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 8\quad 0\quad 3\quad 5\quad 5
$$
a) Bestem gjennomsnittet og medianen.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 5 timer og forklar hva dette tallet betyr.
---
## H2024 del 1 oppgave 3 — Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Omvendt proporsjonalitet, Graftolkning, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Identifisere proporsjonal ($y=kx$ gjennom origo) og omvendt proporsjonal ($y=k/x$ hyperbel) blant fire grafer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/proporsjonale-og-omvendt-proporsjonale-storrelser-fra-graf/
### Oppgavetekst
Her ser du grafene til fire funksjoner $f$, $g$, $p$ og $q$.
- Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er proporsjonale.
- Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er omvendt proporsjonale.
Husk å argumentere for svarene dine.
---
## H2024 del 1 oppgave 4 — Figurtall for firkanter med hjørnetapper
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Lineær vekst
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Forlenge mønster for lineært figurtall og utlede formel $T(n) = 4n + 8$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-for-firkanter-med-hjornetapper/
### Oppgavetekst
Her ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4 og i figur 10?
b) Lag en formel for antall sirkler i figur $n$.
---
## H2024 del 1 oppgave 5 — Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentvis endring i flere perioder, Programmering
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Tolke uttrykket $200\cdot 0{,}975^x$ og hva while-løkken summerer (utslipp 2025–2029).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utslippsreduksjon-med-prosentvis-nedgang/
### Oppgavetekst
Sara har lest om en bedrift som regner med å slippe ut $200 \,\mathrm{tonn}$ CO$_2$ i 2025.
Bedriften har som mål å redusere utslippet med $2{,}5 ~\%$ hvert år framover.
Sara har laget programmet nedenfor:
```python ln
def f(x):
return 200 * 0.975 ** x
x = 0
s = 0
while x <= 4:
s = s + f(x)
x = x + 1
print(s)
```
a) Gi en praktisk tolkning av uttrykket Sara har brukt i linje 2.
b) Hva vil verdien som skrives ut når programmet kjøres, fortelle Sara?
---
## H2024 del 2 oppgave 1 — Salg av iste
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Prosentvis endring i flere perioder
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Anvende eksponentialmodellen $F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x$ regnemessig og grafisk, og regne prosentvis vekst over 24 måneder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/salg-av-iste/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer iste. Funksjonen gitt ved
$$
F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x
$$
er en modell som viser hvor mange flasker av isteen bedriften regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.
For å regne ut salget i desember 2024 kan vi sette $x = 0$, for å regne ut salget i januar 2025 kan vi sette $x = 1$, og så videre.
a) Vis hvordan du på to ulike måter kan svare på spørsmål 1) og på spørsmål 2) nedenfor.
1\) Hvor mange flasker iste regner bedriften med å selge i desember 2025 ifølge modellen?
2\) Når vil bedriften for første gang selge mer enn 2000 flasker iste i løpet av en måned ifølge modellen?
b) Hvor mange prosent vil salget øke med fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen?
---
## H2024 del 2 oppgave 2 — Bakterier i kjøkkensvamp
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Store tall
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Overslag på antall bakterier og total lengde i rekke ved å multiplisere og dividere tall på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakterier-i-kjokkensvamp/
### Oppgavetekst
Randi har lest at det kan finnes mellom $25$ og $54$ milliarder bakterier per kubikkcentimeter kjøkkensvamp.
Randi finner ut at kjøkkensvampen hun bruker, har et volum på $150 \,\mathrm{cm^3}$.
a) Omtrent hvor mange bakterier kan Randi regne med at det er i kjøkkensvampen?
Skriv svaret på standardform.
Randi har også lest at de fleste bakterier ikke er større enn $0{,}2$ til $2$ mikrometer. Én mikrometer er en tusendels millimeter.
Tenk deg at alle bakteriene i svampen legges etter hverandre i en rekke.
b) Omtrent hvor mange meter vil rekken bli? Skriv svaret på standardform.
---
## H2024 del 2 oppgave 3 — Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Utforskning, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere algebraisk for at $a\,\%$ av $b = b\,\%$ av $a$ ved å vise at begge gir $ab/100$ (kommutativitet).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/argumenter-for-at-prosentregnestykker-gir-samme-svar/
### Oppgavetekst
Chris arbeider med de seks oppgavene nedenfor. Han har systematisert oppgavene i tre kolonner og kaller de to oppgavene som står i samme kolonne, for et oppgavepar.
Argumenter for hvorfor to oppgaver som er satt opp i oppgavepar på samme måte som ovenfor, alltid vil ha samme svar.
---
## H2024 del 2 oppgave 4 — Modeller for parkeringsavtaler
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Regresjon
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp tre lineære prismodeller og finne ved grafisk skjæring antall dager B lønner seg (mellom 100 og 249 dager).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modeller-for-parkeringsavtaler/
### Oppgavetekst
Hermann må betale for å parkere på jobb. Han kan velge mellom tre ulike parkeringsavtaler.
| Avtale | Fast pris per år | Tillegg per dag han parkerer |
| :----: | :--------------: | :--------------------------: |
| A | 0 kroner | 50 kroner |
| B | 1995 kroner | 30 kroner |
| C | 3490 kroner | 24 kroner |
a) Sett opp en modell som beskriver alternativ A, en modell som beskriver alternativ B og en modell som beskriver alternativ C.
b) Hvor mange ganger må Hermann parkere i løpet av et år for at det skal lønne seg å velge avtale B?
---
## H2024 del 2 oppgave 5 — Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Utforskning
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Sentralmål og standardavvik for datasett, tolke gitte beskrivelser av andre lag og konstruere eksempler som passer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-quizlag/
### Oppgavetekst
En fotoklubb arrangerer quiz hver torsdag. Det er tre lag som alltid deltar på quizen. På hvert av lagene er det seks personer.
Nedenfor ser du alderen til de seks personene på lag A:
$$
15 \text{ år}\quad 60 \text{ år}\quad 24 \text{ år}\quad 18 \text{ år}\quad 45 \text{ år}\quad 78 \text{ år}
$$
a) Bestem medianalderen, gjennomsnittsalderen og standardavviket for alderen til de seks personene på laget.
Du får vite dette om alderen til personene som er med på hvert av de to andre lagene:
> Lag B
> Medianalderen og gjennomsnittsalderen for personene på lag B er høyere enn for lag A, men standardavviket er mindre.
> Lag C
> Medianalderen for personene på lag C er lavere enn for lag A. Gjennomsnittsalderen er høyere enn for lag A. Standardavviket er også høyere enn for lag A.
b) Hva kan du si om alderen til personene på lag B og lag C sammenliknet med personene på lag A ut fra disse opplysningene?
c) Sett opp et eksempel som viser en mulig aldersfordeling for lag B og for lag C. Vis at gjennomsnittsalder, medianalder og standardavvik stemmer med opplysningene om alderen til personene på lagene.
---
## H2024 del 2 oppgave 6 — Modell for Hannes løping
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Regresjon
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Potensregresjon $L(x)=a\cdot x^b$ på løpedata, grafisk løsning av $L(x)=45$ og beregne gjennomsnittlig endring per dag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modell-for-hannes-loping/
### Oppgavetekst
For ni uker siden begynte Hanne å løpe. Tabellen nedenfor viser hvor lenge hun klarte å løpe sammenhengende noen av dagene disse ukene:
| Dag | 1 | 8 | 22 | 36 | 50 | 64 |
| :--------------------------------------: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| Antall minutter <br>løpt sammenhengende | 10 | 20 | 28 | 33 | 37 | 40 |
Utviklingen kan beskrives med en modell gitt på formen
$$
L(x) = a \cdot x^b \quad , \quad x \geq 1
$$
der $L(x)$ er antall minutter Hanne klarte å løpe sammenhengende på dag $x$.
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$.
b) Hvor mange uker vil det ta før Hanne klarer å løpe 45 minutter sammenhengende ifølge modellen?
c) Hvor mange minutter har tiden Hanne klarer å løpe sammenhengende, økt med i gjennomsnitt per dag fra dag 1 til dag 60 ifølge modellen?
---
## H2024 del 2 oppgave 7 — Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Presentasjon av data, Prosentregning, Diagram
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454)
- **Kort beskrivelse:** Åpen presentasjonsoppgave – sammenligne tidsbruk menn og kvinner 1970–2010, beregne prosentvise endringer og foreslå egnede diagramtyper.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lag-presentasjon-om-statistikk-for-tidsbruk-pa-ulike-aktiviteter/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange timer menn og kvinner brukte på ulike aktiviteter en gjennomsnittsdag i 1970, 1990 og 2010:
Table: Antall timer brukt på ulike aktiviteter fra 1970 til 2010. Kilde: SSB
| | | Menn | | | Kvinner | |
| :--------------------- | :--: | :--: | :--: | :--: | :-----: | :--: |
| År | 1970 | 1990 | 2010 | 1970 | 1990 | 2010 |
| Inntektsgivende arbeid | 5,48 | 4,50 | 4,17 | 1,93 | 2,80 | 3,02 |
| Husholdsarbeid | 2,22 | 2,60 | 3,00 | 5,92 | 4,37 | 3,83 |
| Utdanning | 0,38 | 0,48 | 0,45 | 0,28 | 0,55 | 0,47 |
Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.
Gjør beregninger og sammenlikninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.
---
## H2024 del 2 oppgave 8 — Tores sykkeltrening
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentvis endring i flere perioder, Utforskning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457); Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke med $a_1=40$ og $k=1{,}05$: beregne $a_{50}=a_1\cdot k^{49}$ og $s_{50}=a_1(k^{50}-1)/(k-1)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tores-sykkeltrening/
### Oppgavetekst
Tore ønsker å delta i et sykkelritt og vil begynne å trene.
Den første uken vil han sykle 40 kilometer.
For hver uke vil han øke lengden han sykler, med 5 %.
a) Hvor mange kilometer kommer han til å sykle i uke 50 dersom han klarer å følge planen?
b) Hvor mange kilometer vil han til sammen ha syklet i løpet av 50 uker dersom han klarer å følge planen?
---
## V2023 del 1 oppgave 1 — Brødpris og prosentvis vekst
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentvis vekst, Prosentregning, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Vise at prisøkning er 5 % med utregning, og argumentere for at fast kronevekst gir synkende prosentvis vekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brodpris-og-prosentvis-vekst/
### Oppgavetekst
Prisen for ett bestemt brød steg fra 40 kroner i 2022 til 42 kroner i 2023.
a) Vis at prisen for brødet steg med 5 %.
Anta at prisen vil fortsette å stige med 2 kroner hvert år framover.
b) Argumenter for hvilken av påstandene nedenfor som er riktig.
1\) Prisen vil stige med 5 % hvert år.
2\) Prisen vil stige med mindre enn 5 % hvert år.
3\) Prisen vil stige med mer enn 5 % hvert år.
---
## V2023 del 1 oppgave 2 — Deig fordelt på personer
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Grafisk framstilling, Proporsjonalitet, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og tegne graf for omvendt proporsjonal funksjon $f(x)=6/x$ for deig per person.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deig-fordelt-pa-personer/
### Oppgavetekst
Solveig har 6 kg deig. Hun får besøk av noen venner som skal hjelpe henne å bake kjeks. Solveig vil at alle skal få like mye deig.
Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom hvor mange personer som skal bake, og hvor mye deig hver person får.
---
## V2023 del 1 oppgave 3 — Søsken og frekvenser i klasse
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Frekvens, Relativ frekvens, Kumulativ frekvens
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454); Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Tolke relativ og kumulativ frekvens, og bestemme klassestørrelse via $0{,}4x=12$ fra kombinasjon av de to frekvensene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sosken-og-frekvenser-i-klasse/
### Oppgavetekst
Truls og Thea har undersøkt hvor mange søsken hver av elevene i klassen har.
> Truls
> Jeg har regnet ut at den relative frekvensen for to søsken er 0,4. Hva betyr det?
> Thea
> Jeg har regnet ut at den kumulative frekvensen for to søsken er 16. Hva betyr det?
a) Svar Truls og Thea på spørsmålene de stiller.
Alle elevene i klassen til Truls og Thea har svart at de har søsken. To av elevene har svart at de har én bror og ingen søstre. To av elevene har svart at de har én søster og ingen brødre.
b) Hvor mange elever er det i klassen til Truls og Thea? Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
---
## V2023 del 1 oppgave 4 — Mønster med sirkler i figurer
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Rekker, Figurtall
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Aritmetisk figurtallmønster: bestemme antall sirkler i figur 4 og 5 og finne formel $a_n = 4n+1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/monster-med-sirkler-i-figurer/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Beskriv mønsteret, og bestem hvor mange små sirkler det vil være i figur 4 og i figur 5.
b) Bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur *n*.
---
## V2023 del 2 oppgave 1 — Risforbruk på standardform
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Store tall, Tallregning
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere tall på standardform: $91 \cdot 2{,}86 \cdot 10^9 \cdot 10$ og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/risforbruk-pa-standardform/
### Oppgavetekst
I Kina og India bor det til sammen ca. 2,86 milliarder mennesker. Gjennomsnittsforbruket av ris i disse landene er 91 kg per person per år.
Hvor mye ris blir dette totalt i løpet av 10 år? Skriv svaret på standardform.
---
## V2023 del 2 oppgave 2 — Kaffekoppers gjennomsnitt med ukjent
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Baklengsproblem med gjennomsnitt — finne grensen for den ukjente verdien slik at snittet overstiger 4 (sum over $48$ med 12 tall).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaffekoppers-gjennomsnitt-med-ukjent/
### Oppgavetekst
En morgen spør Tore 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene ser du nedenfor. Dessverre har Tore sølt kaffe på arket sitt, men han antar at gjennomsnittet er mer enn fire.
Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.
---
## V2023 del 2 oppgave 3 — Prisvekst og prisfall sammenligning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Geometrisk vekst, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne $1{,}07^3$ og $1/0{,}93^3$ for å vurdere om prosentvis økning og nedgang gir samme pris over tre måneder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisvekst-og-prisfall-sammenligning/
### Oppgavetekst
Malin og Gunnvor arbeider med en oppgave. De har fått opplysningene nedenfor.
- I mai kostet to varer, A og B, like mye.
- Prisen for vare A har økt med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å øke med 7 % hver måned framover.
- Prisen for vare B har gått ned med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å gå ned med 7 % hver måned framover.
Malin påstår at dette betyr at vare A vil koste det samme om tre måneder som vare B kostet for tre måneder siden. Gunnvor er ikke enig.
Gjør beregninger og undersøk om Malins påstand er riktig.
---
## V2023 del 2 oppgave 4 — Sykkelhjelm og datapresentasjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Prosentregning, Diagram, Presentasjon av data
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454)
- **Kort beskrivelse:** Beregne andel syklister med hjelm per dag og foreslå relevante diagrammer for klassepresentasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkelhjelm-og-datapresentasjon/
### Oppgavetekst
Hver morgen venter Madelen noen minutter på skolebussen. En uke undersøkte hun hvor mange syklister som brukte sykkelhjelm. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
| Ukedag | Syklister | Syklister med hjelm |
|---------|-----------|---------------------|
| Mandag | 10 | 7 |
| Tirsdag | 15 | 9 |
| Onsdag | 11 | 6 |
| Torsdag | 12 | 7 |
| Fredag | 15 | 12 |
Madelen skal fortelle klassen sin om resultatene fra undersøkelsen.
Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.
---
## V2023 del 2 oppgave 5 — Lønnsnivå og sentralmål
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Grupperte data, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og median for grupperte lønnsdata og argumentere for valg av sentralmål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lonnsniva-og-sentralmal/
### Oppgavetekst
En bedrift vil gi ut en brosjyre som blant annet skal vise lønnsnivået til de ansatte. Nedenfor ser du en oversikt som viser årslønnen til de ansatte i bedriften.
| Årslønn (i tusen kroner) | Frekvens |
| :--------------------------: | :------: |
| $\langle 250 - 350\rangle$ | 8 |
| $\langle 350 - 450\rangle$ | 42 |
| $\langle 450 - 500\rangle$ | 40 |
| $\langle 500 - 550\rangle$ | 20 |
| $\langle 550 - 600\rangle$ | 15 |
| $\langle 600 - 650\rangle$ | 3 |
| $\langle 650 - 750\rangle$ | 2 |
| $\langle 750 - 1000\rangle$ | 1 |
| $\langle 1000 - 2000\rangle$ | 15 |
Ledelsen diskuterer hvilket sentralmål som er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.
a) Gjør nødvendige forutsetninger og bestem gjennomsnittet og medianen for datamaterialet.
b) Argumenter for hvilket sentralmål du mener er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.
---
## V2023 del 2 oppgave 6 — Eksponentialfunksjon for tomflasker
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Geogebra, Programmering, Eksponentiell vekst, Modellering
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Tolke eksponentialmodell, beregne $P(9)$ og bruke kodet sum-løkke til å vurdere om mål nås — og foreslå justeringer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentialfunksjon-for-tomflasker/
### Oppgavetekst
I august 2022 satte elevene i 3PBB seg som mål å samle inn tomflasker for 25 000 kroner før 1. juni 2023. De brukte funksjonen $P$ gitt ved
$$
P(x)=1600 \cdot 1{,}045^{x} \quad , \quad 0\leq x\leq 9
$$
som en modell for hvor stort beløp kroner de måtte samle inn hver måned for å nå målet.
I modellen svarte $x=0$ til august, $x=1$ til september og så videre.
a) Gjør rede for hva modellen forteller om elevenes plan for å nå målet.
b) Hvor stort beløp regnet elevene med å samle inn i mai 2023 ifølge modellen? Elevene laget programmet nedenfor.
```python ln
def P(x):
return 1600 * 1.045 ** x # Definerer funksjonen P
sum_pant = 0
x = 0
while x <= 9:
sum_pant = sum_pant + P(x)
x = x + 1
print(sum_pant)
```
c) Bruk programmet til å vise at elevene ikke vil nå målet med den planen de har lagt. Foreslå justeringer av modellen som vil gjøre at de kan nå målet.
---
## V2023 del 2 oppgave 7 — Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Potensfunksjon, Stigningstall, Derivasjon, Tolkning
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Potensregresjon $P(x)=2060\cdot x^{0{,}64}$; stigningstall sekant over $[1,20]$ og tangent i uke 6 via derivert, med tolking som gjennomsnittlig/øyeblikkelig vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gronnsaksporsjoner-og-potensfunksjon/
### Oppgavetekst
Frisk videregående skole har satt i gang prosjektet «Sunne valg».
Hver uke registrerer elevene hvor mange porsjoner grønnsaker, frukt eller bær de har spist.
Nedenfor ser du noen resultater fra perioden januar–mai.
| Uke | 1 | 5 | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 |
|-------------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| Registrerte porsjoner | 2060 | 5770 | 7795 | 8992 | $10\,105$ | $11\,656$ | $13\,099$ | $14\, 000$ |
a) Bestem en modell på formen
$$
P(x) = a \cdot x^b
$$
som kan brukes for å beskrive sammenhengen mellom ukenummer og antall registrerte porsjoner.
b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(1, P(1))$ og $(20, P(20))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
c) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $P$ i punktet $(6, P(6))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## V2023 del 1 oppgave 1 — Brødpris og prosentvis økning
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis økning og argumentere for fremtidig prosentvis stigning med fast kronetillegg
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brodpris-og-prosentvis-okning/
### Oppgavetekst
Prisen for en bestemt type brød steg fra 40 kroner i 2022 til 42 kroner i 2023.
a) Vis at prisen for brødet steg med 5 %.
Anta at prisen vil fortsette å stige med 2 kroner hvert år framover.
b) Argumenter for hvilken av påstandene nedenfor som er riktig.
1\. Prisen vil stige med 5 % hvert år.
2\. Prisen vil stige med mindre enn 5 % hvert år.
3\. Prisen vil stige med mer enn 5 % hvert år.
---
## V2023 del 1 oppgave 2 — Galdhøpiggen-tur med grafisk framstilling
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lese av og tolke graf over avstand som funksjon av tid for to vandrere
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/galdhopiggen-tur-med-grafisk-framstilling/
### Oppgavetekst
Emma og Markus har gått fra Spiterstulen til toppen av Galdhøpiggen og tilbake.
Nedenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av turen til Emma (rød graf) og turen til Markus (blå graf).
a) Hvor mange minutter hadde Markus pause i løpet av turen?
b) Bestem farten til Emma i starten av turen.
c) Hva kan du si om turen deres ned fra Galdhøpiggen ut fra grafene ovenfor?
---
## V2023 del 1 oppgave 3 — Kuler i boks – sannsynlighet uten tilbakelegging
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for utfall ved trekking uten tilbakelegging fra boks med grønne og hvite kuler
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuler-i-boks-sannsynlighet-uten-tilbakelegging/
### Oppgavetekst
I en boks ligger det ti kuler. Seks av kulene er grønne, og fire er hvite.
Du trekker tilfeldig tre kuler fra boksen.
a) Bestem sannsynligheten for at alle de tre kulene du trekker, er grønne.
b) Bestem sannsynligheten for at du trekker to grønne og én hvit kule.
---
## V2023 del 1 oppgave 4 — Relativ og kumulativ frekvens for søsken
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Tolke relativ og kumulativ frekvens og bruke dette til å bestemme antall elever i en klasse
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/relativ-og-kumulativ-frekvens-for-sosken/
### Oppgavetekst
Truls og Thea har undersøkt hvor mange søsken hver av elevene i klassen har.
> Truls
> Jeg har regnet ut at den relative frekvensen for to søsken er 0,4. Hva betyr det?
> Thea
> Jeg har regnet ut at den kumulative frekvensen for to søsken er 16. Hva betyr det?
a) Svar Truls og Thea på spørsmålene de stiller.
Alle elevene i klassen til Truls og Thea har svart at de har søsken.
To av elevene har svart at de har én bror og ingen søstre.
To av elevene har svart at de har én søster og ingen brødre.
b) Hvor mange elever er det i klassen til Truls og Thea?
Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
---
## V2023 del 1 oppgave 5 — Histogram for sykkelturer
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Tegne histogram med ulike klassebredder fra frekvensdata om sykkelturer
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/histogram-for-sykkelturer/
### Oppgavetekst
Lucas og Leah har spurt noen personer om hvor lang den siste sykkelturen deres var. Se tabellen nedenfor.
| Antall kilometer | Antall personer |
|-----------------|----------------|
| $[0, 3\rangle$ | 33 |
| $[3, 6\rangle$ | 18 |
| $[6, 8\rangle$ | 40 |
| $[8, 10\rangle$ | 30 |
| $[10, 15\rangle$ | 25 |
Framstill datamaterialet i et histogram.
---
## V2023 del 1 oppgave 6 — Lengde og vekt hos villaks
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme og tolke en lineær modell fra graf, og vurdere modellens gyldighetsområde
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lengde-og-vekt-hos-villaks/
### Oppgavetekst
Når vekten til en type villaks passerer $1{,}5 \mathrm{~kg}$, er sammenhengen mellom vekt og lengde tilnærmet lineær i en periode. Nedenfor ser du en modell som illustrerer dette.
Modellen kan uttrykkes på formen
$$
L(x) = ax + b
$$
a) Bestem $a$ og $b$.
Gi en praktisk tolkning av $a$ og $b$ i denne modellen.
Frode var på elvefiske og fikk to lakser. Den ene veide $3{,}2 \mathrm{~kg}$ og var $70 \mathrm{~cm}$ lang. Den andre veide $5{,}8 \mathrm{~kg}$ og var $84 \mathrm{~cm}$ lang.
b) Vurder gyldighetsområdet til modellen i oppgave a).
---
## V2023 del 1 oppgave 7 — Figurmønster med sirkler 2P-Y V23 LK06
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Beskrive mønster i figurtall og bestemme et algebraisk uttrykk for antall sirkler i figur n
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-2p-y-v23-lk06/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Beskriv mønsteret, og bestem hvor mange små sirkler det vil være i figur 4 og i figur 5.
b) Bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$.
---
## V2023 del 2 oppgave 1 — Bedriftens ukentlige utgifter med polynomfunksjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graf, Økonomi, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Tegne og analysere polynomfunksjon for ukentlige utgifter: finne intervall under grenseverdi og minimum
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bedriftens-ukentlige-utgifter-med-polynomfunksjon/
### Oppgavetekst
Ledelsen ved en bedrift har satt opp budsjettet for neste år. De regner med at funksjonen $U$ gitt ved
$$
U(x) = 0{,}00216x^5 - 5{,}71736x^3 + 330000 \quad , \quad 0 \leq x \leq 52
$$
er en modell som tilnærmet vil vise utgiftene $U(x)$ kroner per uke, $x$ uker etter 1. januar.
a) Tegn grafen til $U$.
b) I hvilke uker regner ledelsen med at utgiftene vil være mindre enn 200 000 kroner per uke?
c) I hvilken uke regner bedriften med at utgiftene vil være lavest?
---
## V2023 del 2 oppgave 2 — Risforbruk i Kina og India på standardform
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne totalt risforbruk over 10 år og skrive svaret på standardform
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/risforbruk-i-kina-og-india-pa-standardform/
### Oppgavetekst
I Kina og India bor det til sammen ca. $2{,}86$ milliarder mennesker. Gjennomsnittsforbruket av ris i disse landene er $91 \mathrm{~kg}$ per person per år.
Hvor mye ris blir dette totalt i løpet av 10 år?
Skriv svaret på standardform.
---
## V2023 del 2 oppgave 3 — Gjennomsnitt for kaffeforbruk med manglende verdi
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Bestemme mulige verdier for manglende observasjon og vurdere påstand om gjennomsnitt over fire
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-for-kaffeforbruk-med-manglende-verdi/
### Oppgavetekst
En morgen spør Tore 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene ser du nedenfor. Dessverre har Tore sølt kaffe på arket sitt, men han antar at gjennomsnittet er mer enn fire.
$$
4 \quad 5 \quad 0 \quad 4 \quad 2 \quad 6 \quad \blacksquare \quad 5 \quad 7 \quad 5 \quad 5 \quad 3
$$
Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.
> **Advarsel**
> Det svarte kvadratet representerer kaffeflekken
---
## V2023 del 2 oppgave 4 — Vare A og B med motsatt prosentvis endring
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Undersøke en påstand om priser ved å beregne og sammenligne effekten av symmetrisk prosentvis økning og nedgang
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vare-a-og-b-med-motsatt-prosentvis-endring/
### Oppgavetekst
Malin og Gunnvor arbeider med en oppgave. De har fått opplysningene nedenfor.
- I mai kostet to varer, A og B, like mye.
- Prisen for vare A har økt med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å øke med 7 % hver måned framover.
- Prisen for vare B har gått ned med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å gå ned med 7 % hver måned framover.
Malin påstår at dette betyr at vare A vil koste det samme om tre måneder som vare B kostet for tre måneder siden. Gunnvor er ikke enig.
Gjør beregninger og undersøk om Malins påstand er riktig.
---
## V2023 del 2 oppgave 5 — Sykkelhjelmbruk – presentasjon av data
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Presentasjon av data, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Analysere og presentere data om sykkelhjelmbruk med beregninger og diagrammer
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkelhjelmbruk-presentasjon-av-data/
### Oppgavetekst
Hver morgen venter Madelen noen minutter på skolebussen. En uke undersøkte hun hvor mange syklister som brukte sykkelhjelm. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
| Ukedag | Syklister | Syklister med hjelm |
|--------|-----------|---------------------|
| Mandag | 10 | 7 |
| Tirsdag | 15 | 9 |
| Onsdag | 11 | 6 |
| Torsdag | 12 | 7 |
| Fredag | 15 | 12 |
Madelen skal fortelle klassen sin om resultatene fra undersøkelsen.
Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.
---
## V2023 del 2 oppgave 6 — Årslønn i bedrift – gjennomsnitt og median
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og median fra gruppert frekvensdata og argumentere for best egnet sentralmål
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arslonn-i-bedrift-gjennomsnitt-og-median/
### Oppgavetekst
En bedrift vil gi ut en brosjyre som blant annet skal vise lønnsnivået til de ansatte. Nedenfor ser du en oversikt som viser årslønnen til de ansatte i bedriften.
| Årslønn (i tusen kroner) | Frekvens |
|--------------------------|----------|
| $[250 - 350\rangle$ | 8 |
| $[350 - 450\rangle$ | 42 |
| $[450 - 500\rangle$ | 40 |
| $[500 - 550\rangle$ | 20 |
| $[550 - 600\rangle$ | 15 |
| $[600 - 650\rangle$ | 3 |
| $[650 - 750\rangle$ | 2 |
| $[750 - 1000\rangle$ | 1 |
| $[1000 - 2000\rangle$ | 15 |
Ledelsen diskuterer hvilket sentralmål som er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.
a) Gjør nødvendige forutsetninger og bestem gjennomsnittet og medianen for datamaterialet.
b) Argumenter for hvilket sentralmål du mener er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.
---
## V2023 del 2 oppgave 7 — Sunne valg – potensmodell for registrerte porsjoner
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Regresjon, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme potensmodell ved regresjon og beregne gjennomsnittlig og momentan vekstfart
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sunne-valg-potensmodell-for-registrerte-porsjoner/
### Oppgavetekst
Frisk videregående skole har satt i gang prosjektet «Sunne valg».
Hver uke registrerer elevene hvor mange porsjoner grønnsaker, frukt eller bær de har spist.
Nedenfor ser du noen resultater fra perioden januar–mai.
| Uke | 1 | 5 | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 |
|-------------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| Registrerte porsjoner | 2060 | 5770 | 7795 | 8992 | $10\,105$ | $11\,656$ | $13\,099$ | $14\, 000$ |
a) Bestem en modell på formen
$$
P(x) = a \cdot x^b
$$
som kan brukes for å beskrive sammenhengen mellom ukenummer og antall registrerte porsjoner.
b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(1, P(1))$ og $(20, P(20))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
c) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $P$ i punktet $(6, P(6))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## V2023 del 2 oppgave 8 — Fotball og korps i en skoleklasse
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Bruke krysstabeller og betinget sannsynlighet for aktiviteter i en klasse
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fotball-og-korps-i-en-skoleklasse/
### Oppgavetekst
Du får følgende informasjon om en skoleklasse
- Et antall elever spiller fotball, og dobbelt så mange spiller ikke fotball
- $\dfrac{1}{4}$ av elevene spiller i korps
- Det er tre elever som både spiller fotball og spiller i korps
- Det er mellom 20 og 30 elever i klassen
a) Gjør beregninger og vis at det er 24 elever i klassen.
b) Sett opp en krysstabellen som illustrerer situasjonen.
c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i klassen spiller fotball, men ikke spiller i korps.
d) Bestem sannsynligheten for at en elev som spiller fotball, ikke spiller i korps.
---
## H2023 del 1 oppgave 1 — Buss enkeltbillett eller fleksikort
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Breakeven-antall reiser for fleksikort vs. enkeltbillett, og prosentvis innsparing.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/buss-enkeltbillett-eller-fleksikort/
### Oppgavetekst
Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.
- Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
- Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.
a) Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?
Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.
b) Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
---
## H2023 del 1 oppgave 2 — Personbiler lineær modell
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineær vekst
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme stigningstall fra to punkt, sette opp lineær modell $P(x)=1{,}9+0{,}05x$ og ekstrapolere til 2030.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/personbiler-lineaer-modell/
### Oppgavetekst
I 2002 var det registrert omtrent 1,9 millioner personbiler i Norge. I 2022 var antall registrerte personbiler omtrent 2,9 millioner.
Anta at antall personbiler økte lineært i denne perioden, og sett opp en modell som viser antall millioner registrerte personbiler $x$ år etter 2002.
Hvor mange registrerte personbiler vil det være i Norge i 2030 ifølge modellen?
---
## H2023 del 1 oppgave 3 — Hvor mange ganger større er Sola enn Jorda?
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kompetansemål:** Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform (KM458)
- **Kort beskrivelse:** Dele to tall på standardform $\frac{2\cdot 10^{30}}{6\cdot 10^{24}}$ og skrive svaret som $3{,}3\cdot 10^5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hvor-mange-ganger-storre-er-sola-enn-jorda/
### Oppgavetekst
Sola har en masse på ca. $2{,}0 \cdot 10^{30}$ kg. Jorda har en masse på $6{,}0 \cdot 10^{24}$ kg. Massen til sola er omtrent … ganger større enn massen til jorda.
Gjør beregninger og finn ut hvilket tall som mangler i setningen ovenfor. Skriv tallet på standardform.
---
## H2023 del 1 oppgave 4 — Joggeavstander med gitte sentralmål
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Utforskning
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Konstruere to tallrekker à 10 verdier som oppfyller gitte sentralmål (typetall 5, median 8, gjennomsnitt 9) med ulike begrensninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/joggeavstander-med-gitte-sentralmal/
### Oppgavetekst
Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.
Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.
- I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
- I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.
---
## H2023 del 1 oppgave 5 — Sirkelfigurer og figurmønster
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459)
- **Kort beskrivelse:** Gjenkjenne figurmønsteret som kvadrat $(n+1) \times (n+1)$ minus én sirkel, og skrive uttrykket $F_n = (n+1)^2 - 1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkelfigurer-og-figurmonster/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$.
---
## H2023 del 2 oppgave 1 — Sjøtemperatur på Sørlandet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM459); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Finne ekstremalpunkter i GeoGebra for en kubisk sjøtemperaturmodell og regne gjennomsnittlig vekstfart i mars.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sjotemperatur-pa-sorlandet/
### Oppgavetekst
Funksjonen $T$ gitt ved
$$
T(x)=-\frac{1}{1000}(0{,}0028x^{3}-x^{2}+25x-380) \quad {,}\quad 0\leq x\leq 300
$$
er en modell for temperaturen $T(x)$ grader celsius i sjøen ett sted på Sørlandet $x$ døgn etter 31. desember 2020.
a) Bruk modellen til å bestemme forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021.
b) Hvor mange grader steg temperaturen i sjøen i gjennomsnitt med hvert døgn i mars ifølge modellen?
---
## H2023 del 2 oppgave 2 — Målskårere i Eliteserien 2022
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM455)
- **Kort beskrivelse:** Beregne typetall, median, variasjonsbredde, gjennomsnitt og standardavvik for 11 målskårere, og sammenligne med 2021-tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malskarere-i-eliteserien-2022/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne skåret flest mål i Eliteserien 2022.
| Rank | Spiller | Klubb | Mål |
| ---- | --------------------- | ------------ | --- |
| 1 | Amahl Pellegrino | Bodø/Glimt | 25 |
| 2 | Hugo Vetlesen | Bodø/Glimt | 16 |
| 3 | David Datro Fofana | Molde | 15 |
| 3 | Casper Tengstedt | Rosenborg | 15 |
| 3 | Tobias Heintz | Sarpsborg 08 | 15 |
| 6 | Ole Hammerfjell Sæter | Rosenborg | 14 |
| 7 | Eric Bugalo Kitolano | Tromsø | 13 |
| 8 | Runar Espejord | Bodø/Glimt | 12 |
| 8 | Mohamed Ofkir | Sandefjord | 12 |
| 10 | Ola Brynhildsen | Molde | 11 |
| 10 | Johan Hove | Strømsgodset | 11 |
a) Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.
b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.
For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7.
c) Hva kan du ut fra dette og beregningene i oppgave a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenlignet med de 11 fotballspillerne fra 2022?
---
## H2023 del 2 oppgave 3 — Monas prisøkning
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris fra $160$ kr $=2{,}5\,\%$ og deretter beregne prosentvis økning ved $240$ kr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/monas-prisokning/
### Oppgavetekst
Mona eier en butikk. Hun setter opp prisen for en vare i butikken med 160 kroner. Dette tilsvarer en prisøkning på 2,5 %.
Hvor mange prosent hadde prisøkningen vært på dersom Mona i stedet hadde satt opp prisen for varen med 240 kroner?
---
## H2023 del 2 oppgave 4 — Prisøkning på handlenett
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457)
- **Kort beskrivelse:** Velge representative antall i forholdet 1:2:3, regne samlet inntekt før/etter ulike prisøkninger og finne prosentvis økning i inntektene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisokning-pa-handlenett/
### Oppgavetekst
En elevbedrift selger grønne, svarte og blå handlenett. Prisen er den samme for hvert handlenett. Elevbedriften selger tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå.
Elevene bestemmer seg for å sette opp prisen for det grønne handlenettet med 5 %, det svarte med 10 % og det blå med 15 %.
Hvor mange prosent vil inntektene fra salget øke med dersom elevbedriften fremdeles vil selge tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå, etter at de setter opp prisene?
---
## H2023 del 2 oppgave 5 — Proporsjonalitet og vase med roser
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Omvendt proporsjonalitet, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet (KM463)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for/mot elevpåstander om proporsjonalitet (vasepris + roser) og omvendt proporsjonalitet (spleising).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/proporsjonalitet-og-vase-med-roser/
### Oppgavetekst
Klassen til Emilie og Emma skal kjøpe en vase med roser i gave til læreren. De må betale for vasen og for hver rose.
I matematikktimen jobber Emilie og Emma med proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet.
> Emilie
> Jeg tror antall roser vi kjøper, og den totale prisen for vasen og rosene vil være proporsjonale størrelser. Jo flere roser vi kjøper, desto mer må vi jo betale. Eller?
> Emma
> Jeg tror beløpet hver av oss må betale, er omvendt proporsjonalt med hvor mange som blir med og spleiser på gaven. Er det riktig? Er det ikke slik at når en størrelse blir mindre og en annen øker, så er størrelsene omvendt proporsjonale?
Kommenter det Emilie og Emma sier.
---
## H2023 del 2 oppgave 6 — Helsefagarbeidere presentasjon av data
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM454)
- **Kort beskrivelse:** Beregne absolutt og prosentvis vekst (2015–2022) fordelt på kjønn, beregne andel menn, og lage egnede diagrammer for presentasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/helsefagarbeidere-presentasjon-av-data/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.
| År | Menn | Kvinner |
|----|------|---------|
| 2015 | 2 232 | 17 493 |
| 2016 | 2 911 | 21 439 |
| 2017 | 3 558 | 24 785 |
| 2018 | 3 957 | 27 327 |
| 2019 | 4 698 | 30 733 |
| 2020 | 5 511 | 33 958 |
| 2021 | 6 447 | 37 357 |
| 2022 | 7 317 | 40 472 |
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonene skal inneholde både beregninger og diagrammer.
---
## H2023 del 2 oppgave 7 — Utslipp geometrisk rekke og programmering
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Eksponentialfunksjon, Programmering
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Eksponentielt avtakende utslipp som geometrisk rekke; program for uendelig sum og vurder generell formel $T=u/p\cdot 100$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utslipp-geometrisk-rekke-og-programmering/
### Oppgavetekst
En bedrift vil redusere utslippet av et forurenset stoff med 5 % hvert år framover. I år er utslippet på 40 tonn.
a) Vis at det samlede utslippet i år og de to neste årene vil være på 114,1 tonn.
b) Lag et program du kan bruke for å bestemme det samlede utslippet for denne bedriften over svært lang tid.
Tenk deg at en annen bedrift har et utslipp som er lavere eller høyere enn 40 tonn i år. Denne bedriften vil også redusere utslippet med 5 % hvert år framover.
c) Undersøk sammenhengen mellom utslippet i år og det samlede utslippet over svært lang tid.
Ole påstår at $T = \dfrac{u}{p} \cdot 100$ er en formel for å regne ut det samlede utslippet $T$ når utslippet i år er $u$ og utslippet reduseres med $p$ % hvert år framover.
d) Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.
---
## H2023 del 2 oppgave 8 — Klimagassutslipp lineær og eksponensiel modell
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineær vekst, Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Prosentvis endring
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM457); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM460)
- **Kort beskrivelse:** Lineær og eksponentiell modell for klimautslipp fra to datapunkter; vurdere realisme mot 2050-målet på 90–95 % reduksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klimagassutslipp-lineaer-og-eksponensiel-modell/
### Oppgavetekst
- I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
- I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.
Anders og Arne diskuterer hvordan det kan være mulig å nå dette målet.
- Anders ser for seg at utslippet reduseres med et fast antall tonn hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange tonn den årlige reduksjonen må være på for å nå målet i 2030.
- Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.
a) La $x$ være antall år etter 2022 og hjelp Anders og Arne med å lage modellene.
Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.
b) Bruk modellene du fant i oppgave a), og vurder dem opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.
---
## H2023 del 1 oppgave 1 — Fleksikort eller enkeltbilletter
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne kostnader og beregne prosentvis besparelse ved kjøp av fleksikort.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fleksikort-eller-enkeltbilletter/
### Oppgavetekst
Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.
- Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
- Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.
a) Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?
Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.
b) Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
---
## H2023 del 1 oppgave 2 — Massen til sola på standardform
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne og skrive forholdstall mellom masser på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/massen-til-sola-pa-standardform-2p-y-h23-lk06/
### Oppgavetekst
Sola har en masse på ca. $2{,}0 \cdot 10^{30} \mathrm{~kg}$. Jorda har en masse på ca. $6{,}0 \cdot 10^{24} \mathrm{~kg}$.
Massen til sola er omtrent ... ganger større enn massen til jorda.
Gjør beregninger og finn ut hvilket tall som mangler i setningen ovenfor. Skriv tallet på standardform.
---
## H2023 del 1 oppgave 3 — To datasett med gitt typetall og median
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Konstruere to ulike datasett som oppfyller gitte krav til typetall, median og gjennomsnitt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-datasett-med-gitt-typetall-og-median/
### Oppgavetekst
Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.
Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.
- I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
- I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.
---
## H2023 del 1 oppgave 4 — Aldersfordeling i to bedrifter
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme medianalder, gjennomsnittsalder og tegne histogram fra gruppert frekvensfordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-i-to-bedrifter/
### Oppgavetekst
Hver av de to bedriftene A og B har 100 ansatte. Tabellen viser aldersfordelingen til de ansatte i bedriftene.
a) I hvilken bedrift er medianalderen lavest?
Husk å begrunne svaret ditt.
b) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme gjennomsnittsalderen for de ansatte i bedrift B.
c) Lag et histogram som viser aldersfordelingen i bedrift B.
---
## H2023 del 1 oppgave 5 — Eksponentiell nedgang i bakteriekultur
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme eksponentialfunksjon fra graf og forklare asymptotisk atferd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-nedgang-i-bakteriekultur/
### Oppgavetekst
En gruppe forskere har observert en bakteriekultur. Fra de startet observasjonene, har antall bakterier avtatt eksponentielt slik grafen til funksjonen $B$ viser.
a) Bestem $B(x)$.
b) Forklar hvordan vi kan se av uttrykket $B(x)$ at grafen vil nærme seg $x$-aksen når $x$-verdien øker.
---
## H2023 del 1 oppgave 6 — Figurmønster med sirkler 2P-Y H23 LK06
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne og generalisere mønster for antall sirkler i figurtallsrekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-2p-y-h23-lk06/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4 og i figur 10?
b) Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$.
---
## H2023 del 2 oppgave 1 — Temperaturmodell for sjø på Sørlandet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Modellering, Graf, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Tegne og analysere en kubisk temperaturmodell — finne maks/min, gjennomsnittlig endring og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturmodell-for-sjo-pa-sorlandet/
### Oppgavetekst
Funksjonen $T$ gitt ved
$$
T(x) = -\frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}0028x^3 - x^2 + 25x - 3800\right), \quad 0 \leq x \leq 300
$$
er en modell for temperaturen $T(x)$ grader celsius i sjøen et sted på Sørlandet $x$ døgn etter 31. desember 2020.
a) Tegn grafen til $T$.
b) Bruk modellen til å bestemme forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021.
c) Hvor mange grader steg temperaturen i sjøen i gjennomsnitt med hvert døgn i mars ifølge modellen?
d) Bestem $T(100)$ og den momentane vekstfarten til $T$ når $x = 100$.
Gi en praktisk tolkning av hvert av de to svarene.
---
## H2023 del 2 oppgave 2 — Eiendomsverdi med vekst og dobling
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Rente, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Bakover- og fremoverberegning med vekstfaktor — finne tidligere verdi og nødvendig prosent for dobling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eiendomsverdi-med-vekst-og-dobling/
### Oppgavetekst
Petter har en eiendom. Eiendommen har i dag en verdi på 12 000 000 kroner.
Verdien av eiendommen har økt med 4,5 % hvert år de siste fem årene.
a) Hvor mye var eiendommen verdt for fem år siden?
Petter antar at verdien av eiendommen vil fortsette å øke med en fast prosent hvert år, og at den vil dobles i løpet av de neste 10 årene.
b) Hvor mange prosent må verdien øke med hvert år dersom det skal gå slik Petter antar?
---
## H2023 del 2 oppgave 3 — Prisøkning på handleposer i elevbedrift
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Beregne samlet prosentvis inntektsøkning når ulike produkter har ulik prisøkning og ulik salgsmengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisokning-pa-handleposer-i-elevbedrift/
### Oppgavetekst
En elevbedrift selger grønne, svarte og blå handlenett.
Prisen er den samme for hvert handlenett. Elevbedriften selger tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå.
Elevene bestemmer seg for å sette opp prisen for det grønne handlenettet med 5 %, det svarte med 10 % og det blå med 15 %.
Hvor mange prosent vil inntektene fra salget øke med dersom elevbedriften fremdeles vil selge tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå, etter at de setter opp prisene?
---
## H2023 del 2 oppgave 4 — Toppscorere i eliteserien 2022
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne typetall, variasjonsbredde, median, gjennomsnitt og standardavvik, og sammenligne to sesonger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/toppscorere-i-eliteserien-2022/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i eliteserien 2022.
a) Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.
b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.
For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7.
c) Hva kan du ut fra dette og beregningene i oppgave a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?
---
## H2023 del 2 oppgave 5 — Boliglån med månedlige terminer
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Økonomi, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Sette opp oversikt over låneutvikling over to år med rente, gebyr og fast terminbeløp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boliglan-med-manedlige-terminer/
### Oppgavetekst
Adam har tatt opp et lån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig.
Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer. Renten er 0,33 % per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin. Terminbeløpet skal være 13 385 kroner.
Lag en oversikt som viser hvor stort lånet hans vil være måned for måned de to første årene.
---
## H2023 del 2 oppgave 6 — Helsefagarbeidere i Norge 2015–2022
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Presentere statistikk om helsefagarbeidere med beregninger og diagrammer til et foredrag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/helsefagarbeidere-i-norge-2015-2022/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonene skal inneholde både beregninger og diagrammer.
Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som viser utviklingen i antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022.
---
## H2023 del 2 oppgave 7 — Klimagassutslipp mot 2030 og 2050
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Lage og vurdere lineær og eksponentiell modell for klimagassreduksjon mot nasjonale klimamål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klimagassutslipp-mot-2030-og-2050/
### Oppgavetekst
- I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn $\text{CO}_2$-ekvivalenter.
- I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn $\text{CO}_2$-ekvivalenter.
Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.
Anders og Arne diskuterer hvordan det kan være mulig å nå dette målet.
- Anders ser for seg at utslippet reduseres med et fast antall tonn hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange tonn den årlige reduksjonen må være på for å nå målet i 2030.
- Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.
a) La $x$ være antall år etter 2022, og hjelp Anders og Arne med å lage modellene.
Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.
b) Bruk modellene du fant i oppgave a), og vurder dem opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.
---
## E2023 del 1 oppgave 1 — Prosentsparing på tur-retur til Fjellheisen
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis sparing ved å velge tur-retur-billett fremfor to enkeltbilletter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentsparing-pa-tur-retur-til-fjellheisen/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mye en student må betale for å ta Fjellheisen i Tromsø.
| Billettype | Pris |
|------------|------|
| Én vei | 180 kroner |
| Tur-retur | 270 kroner |
Hvor mange prosent sparer en student ved å kjøpe tur-retur-billett sammenliknet med å kjøpe to billetter som gjelder én vei?
---
## E2023 del 1 oppgave 2 — Omvendt proporsjonalitet og årskort
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omvendt proporsjonalitet, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere og forklare om en situasjon med fast pris er omvendt proporsjonal med antall bruk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omvendt-proporsjonalitet-og-arskort/
### Oppgavetekst
Anna og Jens arbeider med å forstå hva det vil si at to størrelser er omvendt proporsjonale.
Anna ønsker å kjøpe årskort til Fjellheisen. Hun påstår at prisen per tur da vil være omvendt proporsjonal med antallet turer hun kjører.
Jens er ikke enig, siden Anna må betale det samme for et årskort uavhengig av hvor ofte hun bruker det.
Forklar Anna og Jens hva som er riktig.
---
## E2023 del 1 oppgave 3 — Histogram over høyder ved en skole
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Lese av og tolke et frekvenshistogram (frekvens/klassebredde) for å anslå antall elever over en gitt høyde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/histogram-over-hoyder-ved-en-skole/
### Oppgavetekst
Histogrammet viser hvordan høydene til elevene ved en skole fordeler seg.
Omtrent hvor mange elever er høyere enn 170 cm?
Husk å forklare hvordan du tenker for å komme fram til svaret.
---
## E2023 del 1 oppgave 4 — Sorter tall på standardform 2P-Y eksempel
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Sortere tall gitt i ulike former (standardform, brøk, prosent, ord) i stigende rekkefølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-tall-pa-standardform-2p-y-eksempel/
### Oppgavetekst
Sorter de seks tallene nedenfor i stigende rekkefølge.
250 millioner, $\quad 2500 \cdot 10^7$, $\quad \dfrac{25}{100000}$, $\quad 0{,}25 \cdot 10^{10}$, $\quad 0{,}250 \cdot 10^{-5}$, $\quad 0{,}0025 \%$
---
## E2023 del 1 oppgave 5 — Programkode for dobling av beløp
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Vekstfaktor, Rente
- **Kort beskrivelse:** Lese og forklare hva en while-løkke med vekstfaktor beregner, og knytte det til renteoppgave.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programkode-for-dobling-av-belop/
### Oppgavetekst
En elev har skrevet programkoden ovenfor.
Hva ønsker eleven å finne ut?
Forklar hva som skjer når programmet blir kjørt.
---
## E2023 del 1 oppgave 6 — Figurmønster med grønne kvadrater
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall grønne kvadrater i figur 10 og bestemme et algebraisk uttrykk for figur n.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-gronne-kvadrater/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små hvite og små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur 10?
Sett opp et regnestykke som viser hvordan du har tenkt for å komme fram til svaret ditt.
b) Bestem et uttrykk for antallet små grønne kvadrater i figur $n$.
---
## E2023 del 2 oppgave 1 — Verdifall på båt og vekstfaktor
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Argumentasjon, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Kommentere elevsvar om vekstfaktor ved verdifall og beregne opprinnelig verdi bakover i tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdifall-pa-bat-og-vekstfaktor/
### Oppgavetekst
Synne og Thea prøver å løse oppgaven nedenfor.
> **Sitat**
> Oppgave
> Verdien av en båt har avtatt med 4 % hvert år de 8 siste årene.
> I dag er båtens verdi 45 000 kroner.
> Hva var båtens verdi for 8 år siden?
> Synne
> Når verdien har avtatt med 4 %, må vel vekstfaktoren bli 0,96?
> Thea
> Kan vi bruke den vekstfaktoren når vi skal finne verdien for 8 år siden? Var ikke verdien større enn 45 000 kroner da?
Kommenter det Synne og Thea sier, og forklar dem hvordan de kan løse oppgaven.
---
## E2023 del 2 oppgave 2 — Nordmenns feriereisevaner 2007–2021
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Tabeller og diagrammer, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Hente ut informasjon fra et arealdiagram og presentere fem resultater om nordmenns reisevaner 2017–2021.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nordmenns-feriereisevaner-2007-2021/
### Oppgavetekst
Statistisk sentralbyrå har undersøkt nordmenns reisevaner. Diagrammet ovenfor er hentet fra byråets nettsider.
Hent ut relevant informasjon fra diagrammet, gjør beregninger og presenter fem resultater som på ulike måter gir informasjon om nordmenns reisevaner i årene 2017−2021.
---
## E2023 del 2 oppgave 3 — Eksponentiell modell for turistbesøk
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Regresjon, Modellering, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme eksponentiell modell for turistdata, tolke parametere, og sammenligne gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-turistbesok/
### Oppgavetekst
Elevene i en klasse har funnet ut hvor mange turister som har besøkt ulike attraksjoner i nærområdet de siste årene. Tabellen nedenfor viser resultatene.
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
|----|------|------|------|------|------|------|------|
| Totalt antall besøkende | 138 670 | 191 120 | 229 900 | 310 150 | 435 250 | 571 210 | 731 230 |
La $x$ være antall år etter 2015.
a) Bestem et uttrykk på formen $T(x) = a \cdot b^x$ som er en god modell for totalt antall besøkende de første årene etter 2015.
b) Gi en praktisk tolkning av verdiene du fant for $a$ og $b$ i oppgave a), og vurder modellens gyldighetsområde.
c) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(1, T(1))$ og $(6, T(6))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
d) Bestem stigningstallene til tangentene til grafen til $T$ i punktene $(1, T(1))$ og $(6, T(6))$. Gi en praktisk tolkning av svarene.
---
## E2023 del 2 oppgave 4 — Temperaturendring i Celsius og Fahrenheit
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Formler, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere en påstand om temperaturendring ved å bruke omregningsformelen mellom Celsius og Fahrenheit.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturendring-i-celsius-og-fahrenheit/
### Oppgavetekst
På en nettside finner Johan teksten i rammen nedenfor.
> Temperaturen i en by i USA endret seg 5 °C i løpet av et døgn.
> Dette tilsvarer en temperaturendring på 41 °F.
Formelen for omregning mellom celsiusgrader, $C$, og fahrenheitgrader, $F$, er
$$
F = \frac{9}{5} \cdot C + 32
$$
Vurder påstanden om at en temperaturendring på 5 °C tilsvarer en temperaturendring på 41 °F.
---
## E2023 del 2 oppgave 5 — Median og gjennomsnitt for land besøkt
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Beregne median og gjennomsnitt fra frekvenstabell og vurdere hvilket sentralmål som best beskriver datamaterialet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-for-land-besokt/
### Oppgavetekst
Klasse 2STA har laget en oversikt som viser hvor mange land hver av de 20 elevene i klassen har besøkt.
| Antall land | Antall elever |
|-------------|---------------|
| 4 | 3 |
| 5 | 4 |
| 6 | 5 |
| 8 | 5 |
| 10 | 2 |
| 50 | 1 |
a) Bestem medianen og gjennomsnittet.
b) Vurder hvilket av disse to sentralmålene som best beskriver datamaterialet.
---
## E2023 del 2 oppgave 6 — Boliglån og egenkapitalkrav for sykepleier
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Prosentregning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Gjøre beregninger med lånetak og egenkapitalkrav for å vurdere om en person kan kjøpe en leilighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boliglan-og-egenkapitalkrav-for-sykepleier/
### Oppgavetekst
Malene er sykepleier. I 2021 hadde hun en inntekt på 490 000 kroner.
Malene ønsker å kjøpe en leilighet. Leiligheten koster 2 500 000 kroner.
På internett finner hun informasjonen i rammen nedenfor.
> For å få boliglån må du ha betjeningsevne, betalingsvilje, sikkerhet og egenkapital.
>
> Du kan ikke låne mer enn 5 ganger inntekten din. Dette gjelder totalt lån inklusive studielån og forbrukslån.
>
> Du må ha minimum 15 % egenkapital til boligkjøp.
Malene har 400 000 kroner i egenkapital og 250 000 kroner i studielån.
Gjør beregninger og finn ut om Malene kan få et stort nok lån til å kunne kjøpe leiligheten hun ønsker seg.
---
## E2023 del 2 oppgave 7 — Nordmenns reisevaner første kvartal 2018–2022
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Tabeller og diagrammer, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Gjøre sammenlikninger og beregninger fra reisevanetabell og presentere funnene i fem ulike diagrammer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nordmenns-reisevaner-forste-kvartal-2018-2022/
### Oppgavetekst
Statistisk sentralbyrå har undersøkt nordmenns reisevaner. I tabellen nedenfor ser du noen av resultatene.
| | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
|---|------|------|------|------|------|
| Reiser totalt | 6,18 | 6,2 | 4,1 | 4,31 | 5,57 |
| Reiser innenlands | 4,42 | 4,8 | 2,96 | 4,28 | 4,73 |
| Reiser utenlands | 1,76 | 1,4 | 1,14 | 0,03 | 0,84 |
| Reiser med fly | 2,02 | 2,33 | 1,58 | 0,23 | 1,25 |
| Reiser til fots, på sykkel, på ski osv. | 0,09 | 0,03 | 0,01 | 0,04 | 0,01 |
*Nordmenns reisevaner i 1. kvartal hvert år i perioden 2018−2022. Antall reiser er gitt i millioner.*
| Forbruk | 34,59 | 34,69 | 24,9 | 8,92 | 22,47 |
|---------|-------|-------|------|------|-------|
*Forbruket er gitt i milliarder kroner.*
Gjør sammenlikninger og beregninger og lag fem diagrammer som på ulike måter presenterer funnene dine i datasettet.
---
## V2022 del 1 oppgave 1 — Statistikk fra fjellturer til Sebastian
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde, samt relativ og kumulativ frekvens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-fra-fjellturer-til-sebastian/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange fjellturer Sebastian har vært på hvert år de ti siste årene.
$$
2 \quad 5 \quad 6 \quad 5 \quad 4 \quad 6 \quad 5 \quad 2 \quad 10 \quad 4
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
b) Bestem den relative og den kumulative frekvensen for fem fjellturer.
Hva forteller disse tallene oss?
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Standardform med store og små tall
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut en brøk med tall på standardform og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-med-store-og-sma-tall/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{5 \cdot 10^6 + 1{,}5 \cdot 10^7}{2{,}5 \cdot 10^{-6}}
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 3 — Verdifall på båt med prosent
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Verdifall, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne verdifall med fast prosent og vurdere rimeligheten av et påstand om fremtidig verdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdifall-pa-bat-med-prosent/
### Oppgavetekst
En båt har i dag en verdi på 600 000 kroner. Anta at båtens verdi synker med 5 % hvert år framover.
a) Hva vil båtens verdi være om ett år?
Eirik påstår at båtens verdi vil være 450 000 kroner om 5 år.
b) Forklar Eirik hvorfor dette ikke kan være riktig.
---
## V2022 del 1 oppgave 4 — Lineær modell for kartlav-vekst
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme og tolke stigningstall og konstantledd i en lineær modell fra to punkter på en graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-kartlav-vekst/
### Oppgavetekst
Kartlav er en type lav som trives spesielt godt på litt sure bergarter i høyfjellet.
Modellen nedenfor viser hvordan kartlav vokser.
Modellen kan uttrykkes på formen
$$
K(x) = ax + b
$$
a) Bestem $a$ og $b$.
Gi en praktisk tolkning av $a$ og $b$ i denne oppgaven.
b) Hvor mange centimeter øker diameteren til kartlaven med i løpet av 200 år ifølge modellen?
---
## V2022 del 1 oppgave 5 — Gruppert frekvensfordeling med krabbeteiner
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvenstabell, vurdere median og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gruppert-frekvensfordeling-med-krabbeteiner/
### Oppgavetekst
Sommeren 2021 dro Sebastian og Stian krabbeteiner hver dag. Tabellen nedenfor viser hvor mange krabber det var i teinene.
| Antall krabber | Antall dager |
|---|---|
| $[0, 20\rangle$ | 5 |
| $[20, 30\rangle$ | 10 |
| $[30, 40\rangle$ | 10 |
| $[40, 60\rangle$ | 15 |
| $[60, 100\rangle$ | 20 |
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme et gjennomsnitt for datamaterialet.
Stian påstår at medianen for datamaterialet er 47.
b) Hvordan kan Stian argumentere for påstanden sin?
Sebastian er ikke enig med Stian. Han påstår at medianen er høyere enn 47.
c) Kan Sebastian ha rett?
Husk å begrunne svaret ditt.
d) Framstill datamaterialet i et histogram.
---
## V2022 del 1 oppgave 6 — Figurmønster med sirkler i stjerne
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall sirkler i neste figur og bestemme et generelt uttrykk for antall sirkler i figur n.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-i-stjerne/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 5?
Vis eller forklar hvordan du har tenkt for å komme fram til svaret.
b) Bestem et uttrykk for antall små sirkler i figur $n$.
---
## V2022 del 2 oppgave 1 — Nedbrytning av radioaktivt jod-131
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Derivasjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Tolke og anvende eksponentialfunksjon for radioaktivt henfall, inkludert halveringstid og stigningstall til tangent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nedbrytning-av-radioaktivt-jod-131/
### Oppgavetekst
Jod-131 er et radioaktivt stoff som blant annet blir brukt i medisinske undersøkelser. Siden stoffet er radioaktivt, vil det brytes ned over tid.
Funksjonen $N$ gitt ved
$$
N(x) = 5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125x}, \qquad x \geq 0
$$
viser massen $N(x)$ mikrogram jod-131 som er igjen i en beholder etter $x$ dager.
a) Bestem $N(0)$, og gi en praktisk tolkning av svaret du får.
b) Tegn grafen til $N$.
Vi snakker ofte om at radioaktive stoff har en halveringstid. Halveringstiden er tiden det tar før halvparten av et stoff er brutt ned.
c) Bestem halveringstiden til jod-131.
d) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(6, N(6))$ og $(40, N(40))$. Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
e) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $N$ i punktet $(20, N(20))$.
Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
---
## V2022 del 2 oppgave 2 — Lineær og eksponentiell modell fra kontekst
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Graf
- **Kort beskrivelse:** Lage og tolke lineær og eksponentiell modell fra to ulike praktiske situasjoner, tegne grafer og forklare koordinater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-fra-kontekst/
### Oppgavetekst
Nedenfor har Malin beskrevet to ulike situasjoner.
<table class="grid">
<tr>
<th>Situasjon 1</th>
<th>Situasjon 2</th>
</tr>
<tr>
<td>Det koster 8000 kroner å leie en hytte. Jo flere som blir med på hytteturen, jo billigere blir det for hver av oss.</td>
<td>I en bydel er det i dag 30 000 innbyggere. Anta at innbyggertallet vil øke med en fast prosent hvert år, og at det i løpet av 10 år vil være doblet.</td>
</tr>
</table>
a) Lag en modell $f$ som illustrerer situasjon 1.
Tegn grafen til $f$, og marker punktet $(5, f(5))$. Forklar hva koordinatene til dette punktet forteller om situasjonen.
b) Lag en modell $g$ som illustrerer situasjon 2.
Tegn grafen til $g$, og marker punktet $(5, g(5))$. Forklar hva koordinatene til dette punktet forteller om situasjonen.
---
## V2022 del 2 oppgave 3 — Verdi av fond med sammensatt prosentendring
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Bakoverberegne startverdi av et fond gitt sammensatte prosentvise endringer over 10 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdi-av-fond-med-sammensatt-prosentendring/
### Oppgavetekst
For å spare penger har Trine investert i et fond. I dag har hennes andel av fondet en verdi på 410 000 kroner.
I løpet av de 10 siste årene har verdien økt med 7 % fire ganger, økt med 2,5 % tre ganger og avtatt med 4 % tre ganger.
Hva var verdien av Trines andel i fondet for 10 år siden?
---
## V2022 del 2 oppgave 4 — Sparekonto med årlige innskudd og rente
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Geometrisk rekke
- **Kort beskrivelse:** Beregne saldo etter faste årlige innskudd med rente og finne når beløpet passerer en gitt grense.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-arlige-innskudd-og-rente/
### Oppgavetekst
Første januar 2022 opprettet Amalie en ny sparekonto. Hun satte inn 36 000 kroner på kontoen.
Hun vil sette inn 36 000 kroner på sparekontoen første januar hvert år framover.
Hun får en fast rente på 2,5 % per år.
a) Hvor mye vil Amalie ha på kontoen rett etter at hun har satt inn 36 000 kroner 1. januar 2032?
b) Når vil beløpet på kontoen passere 1 000 000 kroner?
---
## V2022 del 2 oppgave 5 — Potensfunksjon for vannstrøm ved fallhøyde
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Regresjon, Funksjoner, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametere i en potensfunksjon fra måldata og beregne prosentvis endring ved økt fallhøyde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensfunksjon-for-vannstrom-ved-fallhoyde/
### Oppgavetekst
I en naturfagstime har elevene i klasse 3STPB undersøkt hvor lang tid det tar for 2,5 dL vann å renne fra ett målebeger til et annet ved ulike fallhøyder $h$. Se figuren ovenfor.
Resultatene av målingene ser du i tabellen nedenfor.
| Fallhøyde (meter) | 0,15 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,85 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tid (sekunder) | 66,2 | 54,2 | 38,4 | 30,9 | 24,9 | 21,7 | 19,3 | 17,2 | 15,8 |
Anta at sammenhengen mellom fallhøyden $x$ meter og tiden $T(x)$ sekunder det tar for vannet å renne fra ett målebeger til et annet, kan beskrives med en modell av typen
$$
T(x) = a \cdot x^b
$$
a) Bruk datamaterialet i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$.
b) Hvor mange prosent avtar tiden med når fallhøyden øker med 40 %?
---
## V2022 del 2 oppgave 6 — Sammenligne statistikk for forsinkede elever
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt og standardavvik, og tolke statistiske mål for å sammenligne to datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligne-statistikk-for-forsinkede-elever/
### Oppgavetekst
Kari og Ola kommer ofte for sent til matematikktimene.
Nedenfor ser du hvor mange minutter Kari kom for sent hver av de siste 24 matematikktimene.
$$
4 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 7 \quad 7 \quad 7
$$
$$
7 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 9 \quad 9 \quad 9 \quad 9
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet og standardavviket for datamaterialet.
Ola har regnet ut medianen, gjennomsnittet og standardavviket for sine forsinkelser de siste 24 matematikktimene. Han får en lavere median enn Kari, men et høyere gjennomsnitt og et høyere standardavvik.
b) Hva kan du si om forsinkelsene til Ola sammenliknet med forsinkelsene til Kari ut fra disse opplysningene om median, gjennomsnitt og standardavvik?
---
## V2022 del 2 oppgave 7 — Sannsynlighet for blomsterrekkefølge uten tilbakelegging
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for ulike utvalg av blomster uten tilbakelegging, inkludert bestemt rekkefølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-blomsterrekkefolge-uten-tilbakelegging/
### Oppgavetekst
Janne har en bøtte med 8 gule og 10 oransje blomster. Hun tar tilfeldig fire blomster fra bøtten og setter dem i hver sin lille vase på en rekke i vinduskarmen.
a) Bestem sannsynligheten for at hun tar fire oransje blomster.
b) Bestem sannsynligheten for at rekken blir som bildet nedenfor viser, først én gul, så to oransje og til slutt én gul.
c) Bestem sannsynligheten for at hun tar én gul og tre oransje blomster.
---
## H2022 del 1 oppgave 1 — Median og gjennomsnitt for boklesting
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt, kumulativ og relativ frekvens for et datasett og vurdere sentralmål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-for-boklesting/
### Oppgavetekst
I sommerferien liker Maia å lese bøker. Nedenfor ser du hvor mange sider hun leste hver av de 10 første dagene i ferien.
20   15   15   25   20   15   25   100   25   20
a) Bestem medianen og gjennomsnittet for datamaterialet.
b) Hvilket av de to sentralmålene mener du best beskriver datamaterialet?
Husk å begrunne svaret ditt.
c) Bestem den kumulative og den relative frekvensen for 25 sider per dag.
Hva forteller disse tallene oss?
---
## H2022 del 1 oppgave 2 — Prisøkning med ulik prosentsats
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Bruke proporsjonalitet mellom prosentsats og prisøkning i kroner for å beregne ny prisøkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisokning-med-ulik-prosentsats/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare ble satt opp med $1{,}5\ \%$. Dette tilsvarte en prisøkning på 300 kroner.
Hvor mange kroner ville prisøkningen tilsvart dersom prisen for varen i stedet hadde blitt satt opp med $4{,}0\ \%$?
---
## H2022 del 1 oppgave 3 — Prisforskjell mellom to kaffetyper
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Lese av stigningstall fra to lineære grafer og beregne prisforskjell per hektogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisforskjell-mellom-to-kaffetyper/
### Oppgavetekst
Den grafiske framstillingen ovenfor viser sammenhengen mellom vekt og pris for to ulike typer kaffe, type A og type B.
Hvor stor er prisforskjellen per hektogram?
---
## H2022 del 1 oppgave 4 — Sorter tall på standardform 2P-Y H22
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Omgjøre og sammenligne tall på standardform, vitenskapelig notasjon og prosent for å sortere stigende.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-tall-pa-standardform-2p-y-h22/
### Oppgavetekst
Sorter de seks tallene ovenfor i stigende rekkefølge. Start med det minste tallet.
---
## H2022 del 1 oppgave 5 — Lineær og eksponentiell modell for eiendomsverdi
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær og eksponentiell vekstmodell for eiendomsverdi basert på to ulike antakelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-for-eiendomsverdi/
### Oppgavetekst
I 2022 er verdien av en eiendom 5 200 000 kroner.
Ola antar at verdien vil stige med 80 000 kroner hvert år.
a) Sett opp en modell som viser verdien $f(x)$ kroner av eiendommen $x$ år etter 2022 dersom det går slik Ola antar.
Tonje antar at verdien vil stige med $1{,}4\ \%$ hvert år.
b) Sett opp en modell som viser verdien $g(x)$ kroner av eiendommen $x$ år etter 2022 dersom det går slik Tonje antar.
---
## H2022 del 1 oppgave 6 — Aldersfordeling i mosjonsløp
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnittlig alder fra gruppert frekvenstabell og konstruere histogram for aldersfordelingen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-i-mosjonslop/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen for 200 personer som deltok i et mosjonsløp.
| Alder | Frekvens |
|-------|----------|
| $[0, 10\rangle$ | 40 |
| $[10, 20\rangle$ | 20 |
| $[20, 30\rangle$ | 60 |
| $[30, 50\rangle$ | 20 |
| $[50, 60\rangle$ | 20 |
| $[60, 80\rangle$ | 40 |
| Sum | 200 |
a) Bestem gjennomsnittsalderen for personene.
b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen.
---
## H2022 del 1 oppgave 7 — Moteksempel på algebraisk påstand
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Argumentasjon, Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Tilbakevise en feilaktig algebraisk identitet ved å sette inn en konkret verdi og sammenligne begge sider.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/moteksempel-pa-algebraisk-pastand/
### Oppgavetekst
Edvard påstår at $2a + 3a^2$ er det samme som $5a^3$.
Nina mener at dette ikke er riktig. «Vi skal kunne erstatte bokstaven $a$ med et hvilket som helst tall», sier hun.
Sett $a = 2$ og vis Edvard at påstanden hans ikke er riktig.
---
## H2022 del 1 oppgave 8 — Figurmønster med sirkler 2P-Y H22
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall sirkler i neste figur og utlede generelt uttrykk for antall sirkler i figur n fra et kryssformet mønster.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-2p-y-h22/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4?
Vis eller forklar hvordan du har tenkt for å komme fram til svaret.
b) Bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$.
---
## H2022 del 2 oppgave 1 — Emmas høyde som funksjon av alder
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graf, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf for potensfunksjon og beregne og tolke gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/emmas-hoyde-som-funksjon-av-alder/
### Oppgavetekst
Funksjonen $h$ gitt ved
$$
h(x) = 50 + 28 \cdot x^{0{,}52} \quad , \quad 0 \leq x \leq 16
$$
viser tilnærmet Emmas høyde $h(x)$ cm, $x$ år etter fødselen.
a) Tegn grafen til $h$.
b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0, h(0))$ og $(5, h(5))$. Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
c) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $h$ i punktet $(5, h(5))$. Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
---
## H2022 del 2 oppgave 2 — Fylle beholdere med vann
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Koble grafer til riktige beholdere basert på geometri og tegne graf for den tredje beholderen med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fylle-beholdere-med-vann/
### Oppgavetekst
Per skal fylle de tre beholderne ovenfor med vann. Vannet renner inn i hver beholder med samme konstante hastighet.
a) Grafene ovenfor viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde for to av beholderne. Hvilke to?
Husk å begrunne svaret ditt.
b) Tegn av koordinatsystemet ovenfor med de to grafene. Tegn også inn grafen som viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde når den tredje tanken blir fylt. Forklar hvordan du tenker når du tegner den siste grafen.
---
## H2022 del 2 oppgave 3 — Fagbrev og skolearbeid hjemme
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere opplysninger i krysstabell eller venndiagram og beregne betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fagbrev-og-skolearbeid-hjemme/
### Oppgavetekst
Ved en videregående skole er det 75 elever som tar påbygging. Av de 75 elevene er det 40 som har fagbrev.
Lærerne har inntrykk av at elevene med fagbrev jobber mest med skolearbeid hjemme.
De undersøker saken og finner at
- 50 av elevene som tar påbygging, jobber med skolearbeid hjemme hver dag
- 21 av elevene som ikke har fagbrev, jobber med skolearbeid hjemme hver dag
a) Sett opp en krysstabell eller lag et venndiagram med utgangspunkt i opplysningene ovenfor.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev som tar påbygging, ikke har fagbrev, men jobber med skolearbeid hjemme hver dag.
En av elevene som tar påbygging, sier at han ikke jobber med skolearbeid hjemme hver dag.
c) Bestem sannsynligheten for at eleven har fagbrev.
---
## H2022 del 2 oppgave 4 — Modeller for personbiler og elbiler 2008–2021
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Regresjon, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner, Graf
- **Kort beskrivelse:** Lage lineær og eksponentiell regresjonsmodell fra diagram og bruke modellene til prediksjon og vurdering av gyldighetsområde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modeller-for-personbiler-og-elbiler-2008-2021/
### Oppgavetekst
a) Bruk diagrammet ovenfor og lag en modell $P$ som viser antallet registrerte personbiler i perioden 2008–2021.
Hva forteller modellen $P$ om hvordan antallet registrerte personbiler har endret seg i denne perioden?
I 2008 var det 1693 registrerte elbiler i Norge.
b) Bruk diagrammet ovenfor og lag en modell $E$ som viser antallet registrerte elbiler i perioden 2008–2021.
Hva forteller modellen $E$ om hvordan antallet registrerte elbiler har endret seg i denne perioden?
c) Hvor mange registrerte personbiler og hvor mange registrerte elbiler vil det være i 2025, ifølge modellene $P$ og $E$?
Kommenter svarene dine og vurder gyldighetsområdet til hver av modellene.
---
## H2022 del 2 oppgave 5 — Statistikk for hytter i norske regioner
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median og standardavvik og vurdere resonnement om statistiske mål for et relatert datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-hytter-i-norske-regioner/
### Oppgavetekst
| | Region | Antall hytter/fritidsbygg |
|--|--------|--------------------------|
| 1 | Ringsaker | 7286 |
| 2 | Trysil | 6926 |
| 3 | Hol | 5832 |
| 4 | Vinje | 5713 |
| 5 | Sigdal | 5050 |
| 6 | Larvik | 4890 |
| 7 | Nord-Aurdal | 4806 |
| 8 | Orkland | 4575 |
| 9 | Fredrikstad | 4403 |
| 10 | Ringebu | 4369 |
| 11 | Hvaler | 4332 |
| 12 | Sirdal | 4221 |
| 13 | Oppdal | 4142 |
| 14 | Nore og Uvdal | 4095 |
| 15 | Asker | 4004 |
Ovenfor ser du hvor i Norge det er flest hytter/fritidsbygg i 2022.
a) Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for datamaterialet.
Ingrid vil regne ut medianen, gjennomsnittet og standardavviket for regionene som kommer på de neste 15 plassene i denne oversikten. Hun vil sammenlikne svarene hun får, med resultatene fra oppgave a).
Ingrid lurer på
1. om hun vil få et høyere eller lavere gjennomsnitt
2. om det vil være større forskjell mellom median og gjennomsnitt
3. om hun vil få et høyere eller lavere standardavvik
b) Vurder om det er mulig å si noe om det Ingrid lurer på.
Husk å begrunne svarene dine.
---
## H2022 del 2 oppgave 6 — Flyplassbesøk og prosentvis endring
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Bruke prosentvis økning til å beregne opprinnelig antall flypassasjerer ved å arbeide bakover fra oppgitt vekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flyplassbesok-og-prosentvis-endring/
### Oppgavetekst
> **Sitat**
> NRK.no
>
> Hittil i år har over 15 millioner personer reist til eller fra norske flyplasser. Det er en økning på 250 prosent sammenlignet med samme periode i fjor.
Avsnittet ovenfor er hentet fra en artikkel som ble publisert på nrk.no 18. juni 2022.
Omtrent hvor mange personer reiste til og fra norske flyplasser i samme periode i 2021?
---
## H2022 del 2 oppgave 7 — Opprinnelig pris etter gjentatte prisendringer
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne opprinnelig pris ved å dele på sammensatt vekstfaktor etter gjentatte opp- og nedprising.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/opprinnelig-pris-etter-gjentatte-prisendringer/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare har steget med 10 % tre ganger og blitt satt ned med 20 % to ganger. Nå koster varen 4680 kroner.
Hvor mye kostet varen før prisendringene?
---
## H2022 del 2 oppgave 8 — Nedbetalingsplan for lån med regneark
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Rente, Økonomi, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Lage nedbetalingsplan i regneark for serielån med fast avdrag og månedlig rente, og beregne totale rentekostnader.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nedbetalingsplan-for-lan-med-regneark/
### Oppgavetekst
Sondre har lånt 150 000 kroner. Avtalen er at han skal betale renter og avdrag hver måned. Hvert avdrag skal være på 5000 kroner. Rentesatsen er $0{,}85\ \%$ per måned. Første innbetaling skal skje én måned etter at han tok opp lånet.
a) Bruk regneark og lag en oversiktlig nedbetalingsplan for Sondre.
b) Hvor mange måneder vil det ta før lånet er betalt ned?
c) Hvor mye må Sondre til sammen betale i renter disse månedene?
---
## V2021 del 1 oppgave 1 — Statistikk for elsparkesykkelbruk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde for et lite datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-elsparkesykkelbruk/
### Oppgavetekst
Petter har spurt 10 ungdommer hvor mange ganger de brukte elsparkesykkel i løpet av en uke. Svarene deres ser du nedenfor.
$$
20 \quad 17 \quad 0 \quad 0 \quad 15 \quad 13 \quad 4 \quad 0 \quad 26 \quad 0
$$
Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
---
## V2021 del 1 oppgave 2 — Sorter tall i stigende rekkefølge
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Omgjøre tall på ulike former (standardform, prosent, ord) til sammenlignbart format og sortere stigende.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-tall-i-stigende-rekkefolge/
### Oppgavetekst
Start med det minste tallet, og sorter tallene i stigende rekkefølge.
---
## V2021 del 1 oppgave 3 — Varepris etter to prisnedsettelser
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når en vare er satt ned med to ulike prosentsatser etter hverandre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/varepris-etter-to-prisnedsettelser/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare ble satt ned med 10 % og deretter med 20 %.
Nå koster varen 720 kroner.
Hva kostet varen før prisen ble satt ned første gang?
---
## V2021 del 1 oppgave 4 — Pris per elev på våravslutning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Økonomi, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og tolke uttrykk for kostnad per elev, og vurdere utsagn om antall elever ved hjelp av ulikhet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-per-elev-pa-varavslutning/
### Oppgavetekst
En skoleklasse skal ha våravslutning. Elevene i klassen må selv dekke utgiftene.
De får tilbud om å leie et lokale for 3000 kroner. I tillegg vil maten koste 100 kroner per elev.
a) Sett opp et uttrykk som viser prisen hver elev må betale.
«Jeg håper det kommer så mange at prisen per elev blir mindre enn 130 kroner», sier Astrid.
b) Gjør beregninger og kommenter Astrids utsagn.
---
## V2021 del 1 oppgave 5 — Gjennomsnittshøyde og histogram for hus
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittshoyde-og-histogram-for-hus/
### Oppgavetekst
Lise har hentet inn informasjon om høyden på husene i området der hun bor.
| Høyde (meter) | Antall hus |
|---|---|
| $[3, 5\rangle$ | 2 |
| $[5, 7\rangle$ | 8 |
| $[7, 9\rangle$ | 10 |
| $[9, 13\rangle$ | 8 |
a) Bestem gjennomsnittshøyden på husene i området der Lise bor.
b) Framstill datamaterialet i et histogram.
---
## V2021 del 1 oppgave 6 — Forklar og lag eksempel på eksponentiell vekst
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare begrepet eksponentiell vekst, gi et eksempel og lage et tilhørende regnestykke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forklar-og-lag-eksempel-pa-eksponentiell-vekst/
### Oppgavetekst
a) Forklar hva vi mener med eksponentiell vekst.
Gi et eksempel på eksponentiell vekst.
b) Lag et regnestykke knyttet til eksempelet ditt fra oppgave a), og forklar hvordan du kan gå fram for å løse regnestykket.
---
## V2021 del 1 oppgave 7 — Figurmønster med kuler og pinner
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Mønstre, Tallfølger, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster i figurrekke, tegne neste figur, beregne antall for figur 10 og utlede generelle uttrykk for pinner og kuler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-kuler-og-pinner/
### Oppgavetekst
Kristian er kunstner. Han lager små figurer ved å lime kuler på pinner.
Ovenfor ser du fire av figurene. For å lage figur 4 har Kristian brukt 7 pinner og 12 kuler. Han vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Tegn figur 5.
b) Hvor mange pinner og hvor mange kuler vil det være i figur 10?
Vis hvordan du har tenkt for å komme fram til svarene dine.
c) Bestem et uttrykk for antall pinner og et uttrykk for antall kuler i figur $n$.
---
## V2021 del 2 oppgave 1 — Regresjonsmodell for sildebestand
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bruke regresjonsanalyse til å finne og vurdere en potensfunksjonsmodell for sildebestand over tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regresjonsmodell-for-sildebestand/
### Oppgavetekst
| År | 2009 | 2010 | 2012 | 2013 | 2015 | 2018 | 2019 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sildebestand (1000 tonn) | 10 150 | 8700 | 7102 | 6690 | 6249 | 5642 | 5317 |
Tabellen ovenfor viser bestanden av norsk vårgytende sild noen utvalgte år i perioden fra 2009 til 2019.
La $x$ være antall år etter 2008.
Olav har kommet fram til følgende modell for sildebestanden
$$
S(x) = 10283 \cdot x^{-0{,}265}
$$
a) Bruk regresjon til å vise hvordan Olav kan ha kommet fram til denne modellen.
b) Hvor stor var sildebestanden i 2011 ifølge Olavs modell?
Havforskningsinstituttets foreløpige beregninger viser at sildebestanden vil være 13 % lavere i 2020 enn året før.
c) Vurder om Olavs modell samsvarer med denne prognosen.
---
## V2021 del 2 oppgave 2 — Produksjon av storfekjøtt og sauekjøtt i Norge
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke kubikkfunksjoner for kjøttproduksjon, beregne momentan vekstfart og bestemme bunnpunkt for differansefunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produksjon-av-storfekjott-og-sauekjott-i-norge/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ gitt ved
$$
f(x) = 4{,}8x^3 - 78{,}4x^2 - 534x + 91043 \qquad , \quad 0 \leq x \leq 20
$$
$$
g(x) = 3{,}2x^3 - 88{,}5x^2 + 693x + 23136 \qquad , \quad 0 \leq x \leq 20
$$
viser tilnærmet årsproduksjon $f(x)$ tonn storfekjøtt og $g(x)$ tonn sauekjøtt i Norge $x$ år etter 1999.
a) Tegn grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.
b) Når var årsproduksjonen av storfekjøtt lavere enn 84 000 tonn?
c) Bestem den momentane vekstfarten til $f$ og den momentane vekstfarten til $g$ når $x = 3$. Gi en praktisk tolkning av svarene.
Funksjonen $h$ er gitt ved
$$
h(x) = f(x) - g(x) \qquad , \quad 0 \leq x \leq 20
$$
d) Bestem bunnpunktet på grafen til $h$.
Hvilken praktisk informasjon gir koordinatene til dette punktet?
---
## V2021 del 2 oppgave 3 — Statistikk for de største byene i Amerika
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne statistiske mål for bystørrelser og sammenligne to datasett, inkludert effekten av å fjerne en ekstremverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-de-storste-byene-i-amerika/
### Oppgavetekst
| By | Antall innbyggere |
|---|---|
| São Paulo | 11 968 000 |
| Mexico City | 8 919 000 |
| Lima | 8 894 000 |
| New York | 8 550 000 |
| Bogotá | 7 862 000 |
| Rio de Janeiro | 6 477 000 |
| Santiago | 5 507 000 |
| Los Angeles | 3 972 000 |
| Caracas | 3 290 000 |
| Buenos Aires | 3 054 000 |
| Salvador | 2 921 000 |
| Brasília | 2 914 000 |
| Toronto | 2 826 000 |
| Chicago | 2 721 000 |
Tabellen ovenfor viser hvor mange innbyggere det er i hver av de 14 største byene i Sør- og Nord-Amerika.
a) Bestem gjennomsnittet, medianen, variasjonsbredden og standardavviket for antall innbyggere i disse byene.
Tabellen nedenfor viser gjennomsnittet, medianen, variasjonsbredden og standardavviket for antall innbyggere i de 14 største byene i Europa.
| | |
|---|---|
| Gjennomsnitt | 4 808 000 |
| Median | 2 898 000 |
| Variasjonsbredde | 13 662 000 |
| Standardavvik | 4 256 000 |
b) Hva kan du si om størrelsen på byene i Europa sammenliknet med størrelsen på byene i Sør- og Nord-Amerika?
I beregningene ovenfor er Istanbul tatt med som en by i Europa.
Istanbul har 15 519 000 innbyggere og er da Europas største by.
c) Bestem gjennomsnittet for antall innbyggere i de 13 byene i Europa som har flest innbyggere dersom vi ser bort fra Istanbul.
---
## V2021 del 2 oppgave 4 — Verdifall på bil med vekstfaktor
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Verdifall, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke vekstfaktor til å beregne opprinnelig pris og finne prosentvis årlig verdifall bakover i tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdifall-pa-bil-med-vekstfaktor/
### Oppgavetekst
Melinda har eid en bil i 10 år. Verdien har avtatt med 13 % per år. Nå er bilen verdt 180 000 kroner.
a) Hvor mye var den verdt da hun kjøpte den?
Glennis kjøpte en bil for to år siden for 150 000 kroner. Nå er den verdt 120 000 kroner.
b) Hvor mange prosent har verdien sunket med per år?
---
## V2021 del 2 oppgave 5 — BSU-sparing med regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp regneark for BSU-konto med årlige innskudd og rente, og beregne totale renteinntekter over en periode.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bsu-sparing-med-regneark/
### Oppgavetekst
Det året Silje fyller 22 år, vil hun opprette en BSU-konto. Hun vil sette inn 25 000 kroner på kontoen 1. januar hvert år. Renten er 2,8 % per år.
a) Lag et regneark som viser hvor mye det vil være på kontoen rett før og rett etter hvert innskudd fra og med det året Silje fyller 22 år til og med det året hun fyller 33 år.
b) Hvor mye vil hun til sammen få i renter i løpet av disse årene?
---
## V2021 del 2 oppgave 6 — Knytt situasjon til riktig graf
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Funksjoner, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Knytte fire beskrevne situasjoner til riktig graf blant seks alternativer og begrunne valgene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/knytt-situasjon-til-riktig-graf/
### Oppgavetekst
Nedenfor er fire ulike situasjoner beskrevet. Det er også tegnet seks grafer.
<table class="grid">
<tr>
<td><strong>Situasjon 1</strong><br>Petter plukker jordbær. Han får 100 kroner i fast lønn. I tillegg får han 20 kroner per kilogram han plukker.</td>
<td><strong>Situasjon 2</strong><br>Jens har fått en infeksjon og skal ta tabletter med et virkestoff mot infeksjonen én gang i døgnet. Vi antar at antall milligram virkestoff i kroppen reduseres med 5 % hver time.</td>
</tr>
<tr>
<td><strong>Situasjon 3</strong><br>Stine har lånt penger av foreldrene. Hun vil betale tilbake 100 kroner hver uke.</td>
<td><strong>Situasjon 4</strong><br>På en øy blir det satt ut et rykte. Ryktet sprer seg blant dem som bor på øya.</td>
</tr>
</table>
Hvilken graf beskriver best situasjon 1?
Hvilken graf beskriver best situasjon 2?
Hvilken graf beskriver best situasjon 3?
Hvilken graf beskriver best situasjon 4?
Husk å begrunne svarene dine.
Knytt hver av de fire situasjonene til riktig graf og begrunn svarene dine.
---
## V2021 del 2 oppgave 7 — Krysstabell og sannsynlighet for klem-undersøkelse
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Lage krysstabell fra prosentopplysninger og beregne betinget sannsynlighet og hypergeometrisk sannsynlighet ved utvalg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/krysstabell-og-sannsynlighet-for-klem-undersokelse/
### Oppgavetekst
I oktober 2020 presenterte Opinion resultater fra en undersøkelse.
- 30 % av kvinnene som deltok i undersøkelsen, svarte at de den siste uken hadde gitt en klem til noen de ikke bodde sammen med.
- 20 % av mennene som deltok, svarte det samme.
Anta at 3000 menn og 3000 kvinner deltok i undersøkelsen.
a) Illustrer opplysningene ovenfor i en krysstabell.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som deltok i undersøkelsen, hadde gitt en klem til noen han eller hun ikke bodde sammen med, den siste uken.
Det skal trekkes ut to personer tilfeldig blant dem som svarte at de hadde gitt en klem til noen de ikke bodde sammen med.
c) Bestem sannsynligheten for at disse to personene vil være én kvinne og én mann.
---
## H2021 del 1 oppgave 1 — Snødager i april – statistikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde, samt kumulativ frekvens for et datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snodager-i-april-statistikk/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange dager med snøfall det har vært i april de 10 siste årene i en kommune i Norge.
$$
4 \quad 7 \quad 0 \quad 0 \quad 4 \quad 5 \quad 5 \quad 4 \quad 7 \quad 9
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 5 dager med snøfall i april.
Hva forteller dette tallet?
---
## H2021 del 1 oppgave 2 — Skolevei – gruppert frekvensfordeling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Histogram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og finne medianintervall fra gruppert frekvensfordeling, samt tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skolevei-gruppert-frekvensfordeling/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor lang tid 100 elever bruker på skoleveien.
| Minutter | Antall elever |
|----------|--------------|
| $[0, 10\rangle$ | 20 |
| $[10, 20\rangle$ | 50 |
| $[20, 40\rangle$ | 20 |
| $[40, 80\rangle$ | 10 |
a) Bestem gjennomsnittet for datamaterialet.
b) I hvilket intervall ligger medianen?
Begrunn svaret.
c) Framstill datamaterialet i et histogram.
---
## H2021 del 1 oppgave 3 — Sammenligne potenser med potensregler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere og begrunne om påstander om potenser er riktige ved hjelp av potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligne-potenser-med-potensregler/
### Oppgavetekst
a) Idar påstår at $8^5 = 2^{15}$.
Har han rett? Begrunn svaret.
b) Hvilken av de to potensene $8^5$ og $3^{10}$ har størst verdi?
Begrunn svaret.
---
## H2021 del 1 oppgave 4 — Loddtrekning av kinoseter – sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for at to personer sitter ved siden av hverandre ved loddtrekning av seter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/loddtrekning-av-kinoseter-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Hans, Grete og tre venner skal på kino. De har fått billetter til fem seter på en rad. Setene har nummer 1, 2, 3, 4 og 5.
De bestemmer seg for å trekke lodd om hvem som skal sitte hvor. Som lodd bruker de de fem lappene. På hver lapp står et av setenumrene.
Hans trekker først, så trekker Grete. Etterpå trekker hver av de tre andre vennene.
a) Bestem sannsynligheten for at Grete får sitte ved siden av Hans dersom
1\) Hans trekker sete 1
2\) Hans trekker sete 3
b) Bestem sannsynligheten for at Grete får sitte ved siden av Hans.
---
## H2021 del 1 oppgave 5 — Lineær modell for smittespredning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og bruke en lineær modell for smittede personer over tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-smittespredning/
### Oppgavetekst
1. januar 2021 var 4000 personer i et land smittet av et virus.
50 dager senere var 6000 personer smittet.
a) Sett opp en modell som viser hvor mange som var smittet $x$ dager etter 1. januar 2021 dersom vi antar at antall smittede personer økte lineært.
b) Hvor lang tid vil det ta før antall smittede personer passerer 10 000 ifølge modellen fra oppgave a)?
---
## H2021 del 1 oppgave 6 — Figurmønster med reinsdyr av sirkler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall sirkler i neste figur og bestemme et generelt uttrykk for antall sirkler i figur n.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-reinsdyr-av-sirkler/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 5?
Vis eller forklar hvordan du har tenkt for å komme fram til svaret.
b) Bestem et uttrykk for antall små sirkler i figur $n$.
---
## H2021 del 2 oppgave 1 — Prosentvis prisendring i to butikker
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise at prosentvis prisøkning i butikk A er lik prosentvis prisnedgang i butikk B.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-prisendring-i-to-butikker/
### Oppgavetekst
I butikk A har prisen for en vare økt fra 160 kroner til 184 kroner.
I butikk B har prisen for den samme varen gått ned fra 180 kroner til 153 kroner.
Vis at prisen har økt med like mange prosent i butikk A som den har gått ned med i butikk B.
---
## H2021 del 2 oppgave 2 — Halveringstid for uran-238
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Standardform, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke halveringstid til å beregne tid for radioaktivt henfallsforløp og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halveringstid-for-uran-238/
### Oppgavetekst
Det radioaktive stoffet uran-238 har en halveringstid på $4{,}47$ milliarder år.
Hvor mange år vil det ta før 100 gram av dette stoffet er redusert til 10 gram?
Skriv svaret på standardform.
---
## H2021 del 2 oppgave 3 — Husets verdiutvikling med vekstfaktor
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Eksponentialfunksjon, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Beregne opprinnelig verdi og årlig prosentvis vekst for et hus ved hjelp av vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/husets-verdiutvikling-med-vekstfaktor/
### Oppgavetekst
Birthe og Emil kjøpte et hus for 5 år siden. Verdien av huset har siden den gang økt med 3 % hvert år. Nå er det verdt 4,1 millioner kroner.
a) Hvor mye var huset verdt da de kjøpte det?
Emil tror at huset vil være verdt 5,1 millioner kroner om 5 år. Anta at Emil har rett, og at verdien av huset øker med samme prosent hvert år de neste fem årene.
b) Hvor mange prosent vil verdien da øke med hvert år?
---
## H2021 del 2 oppgave 4 — Energiforbruk og strømpris i enebolig
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Graf, Modellering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Tegne og analysere polynomfunksjon for energiforbruk, beregne momentan vekstfart og tolke produktet av to funksjoner som energikostnad.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/energiforbruk-og-strompris-i-enebolig/
### Oppgavetekst
Funksjonen $F$ gitt ved
$$
F(x) = -0{,}3x^4 + 9x^3 - 62x^2 - 50x + 1960 \quad , \quad 0 \leq x \leq 12
$$
er en modell som tilnærmet viser det elektriske energiforbruket $F(x)$ kWh per måned i en enebolig $x$ måneder etter 1. januar 2020.
a) Tegn grafen til $F$.
b) I hvilke måneder var energiforbruket høyere enn 1500 kWh ifølge modellen?
c) Bestem den momentane vekstfarten til $F$ når $x = 10$.
Gi en praktisk tolkning av svaret.
Prisen for elektrisk energi varierer med tiden på året.
Funksjonen $P$ gitt ved
$$
P(x) = 0{,}78x^2 - 9{,}2x + 96 \quad , \quad 0 \leq x \leq 12
$$
er en modell som tilnærmet viser den gjennomsnittlige prisen $P(x)$ øre per kWh for elektrisk energi i måned $x$.
d) Forklar at $F(x) \cdot P(x)$ er et uttrykk for gjennomsnittlige energikostnader for eneboligen i måned $x$.
e) Hvilken måned var de gjennomsnittlige energikostnadene for eneboligen lavest?
---
## H2021 del 2 oppgave 5 — Kjørelengde for personbiler 2008–2018
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning, Regresjon
- **Kort beskrivelse:** Lage og tolke lineær modell fra diagram, og kommentere gyldighetsområde og mulige årsaker til trender.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjorelengde-for-personbiler-2008-2018/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser gjennomsnittlig årlig kjørelengde for personbiler i Norge i perioden 2008–2018.
a) Lag en lineær modell ut fra informasjonen i diagrammet.
Bestem stigingstallet og konstantleddet, og gi en praktisk tolkning av hver av disse verdiene.
b) Kommenter gyldighetsområdet til modellen i oppgave a).
Diagrammet ovenfor viser samlet kjørelengde for alle registrerte personbiler i Norge i perioden 2008–2018.
c) Hva kan være mulige årsaker til at den gjennomsnittlige årlige kjørelengden har avtatt i perioden 2008–2018?
---
## H2021 del 2 oppgave 6 — Sildemåker og potensfunksjon med regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Verifisere regresjonsmodell med potensfunksjon, beregne funksjonsverdi og kommentere modellens gyldighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sildemaker-og-potensfunksjon-med-regresjon/
### Oppgavetekst
Sildemåkene er trekkfugler. De første kommer til Norge i mars, og i august begynner mange å fly sørover igjen.
I 2020 registrerte noen forskere antall sildemåker på ei øy i Norge noen dager i perioden fra og med 1. mai til og med 20. juli. Se tabellen nedenfor.
| Dager etter 30. april | 1 | 15 | 30 | 45 | 60 | 81 |
|-----------------------|---|----|----|----|----|-----|
| Antall sildemåker | 202 | 286 | 315 | 332 | 346 | 350 |
a) Vis ved regresjon at funksjonen $S$ gitt ved
$$
S(x) = 202 \cdot x^{0{,}13} \quad , \quad x \geq 1
$$
er en god modell for antall sildemåker på øya $x$ dager etter 30. april 2020.
b) Hvor mange sildemåker var det på øya 5. juli 2020 ifølge modellen fra oppgave a)?
c) Bestem $S(150)$.
Kommenter svaret ut fra opplysningene som er gitt i oppgaveteksten.
---
## H2021 del 2 oppgave 7 — Fibonaccitall og regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Mønstre, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Lage regneark for Fibonacci-tall og undersøke to påstander om summer av Fibonacci-tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fibonaccitall-og-regneark/
### Oppgavetekst
Tallene i tallfølgen
$$
1 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 5 \quad 8 \quad 13 \quad \ldots
$$
kalles fibonaccitallene. Hvert nye tall er summen av de to foregående.
a) Lag et regneark der du i en kolonne regner ut de 15 første fibonaccitallene.
Ane og Trine har undersøkt fibonaccitallene.
Ane påstår at summen av de $n$ første fibonaccitallene alltid er én mindre enn fibonaccitall nummer $n + 2$.
Hun ser for eksempel at $1 + 1 + 2 = 5 - 1$.
Trine påstår at når hun summerer annet hvert fibonaccitall, vil hun alltid få fibonaccitallet som kommer rett etter siste ledd i summen.
Hun ser for eksempel at $1 + 2 + 5 = 8$.
b) Bruk regnearket fra oppgave a) og undersøk om det Ane og Trine påstår, kan være riktig.
---
## H2021 del 2 oppgave 8 — Antall søsken i klasse 3STA – standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik og lage oversikt over andel dataverdier innenfor ulike antall standardavvik fra gjennomsnittet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-sosken-i-klasse-3sta-standardavvik/
### Oppgavetekst
I klasse 3STA er det 30 elever. Nedenfor ser du hvor mange søsken hver elev har.
$$
0 \; 0 \; 0 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 2 \; 2 \; 2 \; 2 \; 2 \; 2 \; 2 \; 3 \; 3 \; 3 \; 3 \; 3 \; 4 \; 4 \; 5 \; 5 \; 6
$$
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for datamaterialet.
b) Lag en oversikt som viser hvor mange prosent av dataverdiene som ligger mindre enn ett standardavvik fra gjennomsnittet, mindre enn to standardavvik fra gjennomsnittet osv.
Tenk deg at du skal gjennomføre en tilsvarende undersøkelse i en klasse.
c) Er det mulig at ingen av dataverdiene du får, vil ligge mindre enn ett standardavvik fra gjennomsnittet? Forklar.
---
## V2020 del 1 oppgave 1 — Frekvens og relativ frekvens for husarbeid
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde, og fylle inn frekvens- og relativ-frekvenstabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/frekvens-og-relativ-frekvens-for-husarbeid/
### Oppgavetekst
Trine har spurt 20 elever i klassen hvor mange ganger de hjalp til med husarbeid hjemme i løpet av en uke. Resultatene ser du nedenfor.
10 14 14 8 5 10 10 10 0 8 8 7 7 0 8 7 7 7 5 7
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
b) Tegn av og fyll ut tabellen nedenfor.
Forklar hva tallene i nest siste rad i tabellen betyr.
---
## V2020 del 1 oppgave 2 — Flybuss og bybane – prosentvis prisforskjell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis prisforskjell mellom to alternativer med ulikt referansegrunnlag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flybuss-og-bybane-prosentvis-prisforskjell/
### Oppgavetekst
For å reise til flyplassen kan Herman ta flybussen eller bybanen.
Flybussen koster 100 kroner, og bybanen koster 40 kroner.
a) Hvor mange prosent billigere er bybanen sammenlignet med flybussen?
b) Hvor mange prosent dyrere er flybussen sammenlignet med bybanen?
---
## V2020 del 1 oppgave 3 — Lineær og eksponentiell vekst forklart med eksempel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare forskjellen mellom lineær og eksponentiell vekst med egne eksempler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-vekst-forklart-med-eksempel/
### Oppgavetekst
Forklar forskjellen mellom lineær og eksponentiell vekst.
Ta med et eksempel på lineær vekst og et eksempel på eksponentiell vekst i forklaringen din.
---
## V2020 del 1 oppgave 4 — Hengelåser på broen i Paris – standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut antall gjenstander fra totalvekt og gjennomsnittsvekt, og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hengelaser-pa-broen-i-paris-standardform/
### Oppgavetekst
Forelskede par fester noen ganger en hengelås til en bro og kaster nøkkelen i vannet som et symbol på evig kjærlighet.
I 2015 måtte myndighetene i Paris bytte ut rekkverket på broen Pont des Arts fordi det ikke tålte tyngden av alle hengelåsene.
45 tonn med hengelåser ble fjernet.
Anta at hver hengelås i gjennomsnitt veide $50 \mathrm{~g}$.
Omtrent hvor mange hengelåser var det på rekkverket? Skriv tallet på standardform.
---
## V2020 del 1 oppgave 5 — Gjennomsnitt og histogram for kartleggingsprøve
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-histogram-for-kartleggingsprove/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser poengfordelingen på en kartleggingsprøve i matematikk i 2P-gruppene ved en skole.
| Poeng | Antall elever |
|-------|--------------|
| $[0, 10\rangle$ | 4 |
| $[10, 20\rangle$ | 12 |
| $[20, 30\rangle$ | 34 |
| $[30, 40\rangle$ | 30 |
| $[40, 60\rangle$ | 20 |
a) Bestem gjennomsnittet for dette datamaterialet.
b) Lag et histogram som viser fordelingen av poeng.
---
## V2020 del 1 oppgave 6 — Båt med verdifall og vekstfaktor
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Verdifall, Eksponentialfunksjon, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk for eksponentiell verdifall og vurdere om en påstand om fremtidig verdi er rimelig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bat-med-verdifall-og-vekstfaktor/
### Oppgavetekst
En båt har i dag en verdi på 200 000 kroner. Anta at båtens verdi synker med $5 \%$ hvert år framover.
a) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor mye båten vil være verdt om 10 år.
Anders påstår at båtens verdi vil være 100 000 kroner etter 10 år.
b) Forklar Anders hvorfor dette ikke kan være riktig.
---
## V2020 del 1 oppgave 7 — Figurmønster med grønne og hvite kvadrater
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall grønne kvadrater i figur 10 og bestemme et generelt uttrykk for antall grønne kvadrater avhengig av antall hvite kvadrater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-gronne-og-hvite-kvadrater/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små hvite kvadrater og små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur 10?
Sett opp et regnestykke som viser hvordan du har tenkt for å komme fram til dette svaret.
b) Bestem et uttrykk for antallet små grønne kvadrater når antall små hvite kvadrater er $n^2$.
---
## V2020 del 2 oppgave 1 — Daglengde i Mandal og Trondheim
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graf, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Analysere to kubikkfunksjoner for daglengde ved å tegne grafer, finne skjæringspunkt, gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart med tolkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/daglengde-i-mandal-og-trondheim/
### Oppgavetekst
Funksjonene $M$ og $T$ gitt ved
$$
M(x) = -0{,}0002x^3 + 0{,}046x^2 + 2x + 396 \qquad,\qquad 0 \leq x \leq 190
$$
$$
T(x) = -0{,}00028x^3 + 0{,}066x^2 + 2{,}2x + 295 \qquad,\qquad 0 \leq x \leq 190
$$
viser tilnærmet daglengde, $M(x)$ minutter i Mandal og $T(x)$ minutter i Trondheim, $x$ døgn etter 31. desember 2018.
a) Tegn grafene til $M$ og $T$ i samme koordinatsystem.
b) Når var daglengden lik i de to byene?
c) Hvor mange minutter økte daglengden i Mandal i gjennomsnitt med per dag fra 31. desember til 1. mai?
d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $T$ når $x = 60$.
Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
---
## V2020 del 2 oppgave 2 — Flypassasjerer Oslo–Bergen, Oslo–Stavanger, Oslo–Trondheim
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Tabeller og diagrammer, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage to ulike diagrammer fra passasjerdata – ett for endring over tid og ett for prosentvis fordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flypassasjerer-oslo-bergen-oslo-stavanger-oslo-trondheim/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange passasjerer som reiste med fly fra Oslo til Stavanger, Bergen og Trondheim i perioden fra 1. april til 30. juni, i 2018 og i 2019.
<table class="grid">
<thead>
<tr>
<th colspan="3">Antall passasjerer 1. april–30. juni</th>
</tr>
<tr>
<th>Flyruter</th>
<th>2018</th>
<th>2019</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>Oslo–Stavanger</td>
<td>223 653</td>
<td>215 615</td>
</tr>
<tr>
<td>Oslo–Bergen</td>
<td>270 427</td>
<td>255 117</td>
</tr>
<tr>
<td>Oslo–Trondheim</td>
<td>281 429</td>
<td>263 853</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Bruk tallene i tabellen til å lage to ulike diagrammer.
- Det første diagrammet skal vise endring i antall passasjerer fra 2018 til 2019 for hver av de tre flyrutene.
- Det andre diagrammet skal vise den prosentvise fordelingen av passasjerer mellom de tre flyrutene i 2019.
Lag de to diagrammene.
---
## V2020 del 2 oppgave 3 — Sparekonto med rente og opprinnelig beløp
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rente, Vekstfaktor, Sparing
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig beløp på sparekonto ved å reversere rentevekst over et gitt antall år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-rente-og-opprinnelig-belop/
### Oppgavetekst
Aina har i dag 100 000 kroner på en sparekonto. Pengene har stått urørt på kontoen i 5 år. Renten har vært $1{,}85 \%$ per år.
Hvor mye hadde hun på kontoen for 5 år siden?
---
## V2020 del 2 oppgave 4 — Hoppekreps – lineær og eksponentiell modell med regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Regresjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lineær og eksponentiell modell for populasjonsvekst, forklare parametre, finne tredjegradsmodell via regresjon og sammenligne modeller grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hoppekreps-lineaer-og-eksponentiell-modell-med-regresjon/
### Oppgavetekst
Lars og Lene forsker på hvordan antallet hoppekreps i et ferskvann endrer seg.
Tabellen nedenfor viser antall observerte hoppekreps noen dager i april og mai.
| Dato | 30.04 | 03.05 | 04.05 | 06.05 |
| ----------------- | --------- | ------ | ------ | ------- |
| Antall hoppekreps | 10 000 | 20 000 | 30 000 | 120 000 |
Ut fra disse observasjonene vil Lars og Lene lage ulike modeller.
De lar $x$ være antall dager etter 30. april.
Når Lars lager sin modell, antar han at antallet hoppekreps øker med et fast antall hver dag.
a) Bestem modellen han da får.
Gjør rede for hva hvert av tallene i modellen betyr i denne praktiske situasjonen.
Når Lene lager sin modell, antar hun at antallet hoppekreps øker med en fast prosent hver dag.
b) Bestem modellen hun da får.
Gjør rede for hva hvert av tallene i modellen betyr i denne praktiske situasjonen.
Ved å bruke regresjon har Lene i tillegg funnet modellen $h$ gitt ved
$$
h(x) = 1667x^3 - 10000x^2 + 18333x + 10000
$$
c) Vis hvordan hun har gått fram for å finne denne modellen.
d) Tegn grafen til modellen fra oppgave b) og grafen til $h$ i samme koordinatsystem, og beskriv forskjeller og likheter mellom de to modellene.
---
## V2020 del 2 oppgave 5 — Karakterfordeling i matematikk og norsk – standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnittskarakter fra diagram, argumentere for størrelse på standardavvik og vurdere påstander om sammenhengen mellom gjennomsnitt og standardavvik.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-i-matematikk-og-norsk-standardavvik/
### Oppgavetekst
Diagrammene ovenfor viser karakterfordelingen for 10. trinn i matematikk og norsk hovedmål våren 2019.
a) Bestem gjennomsnittskarakteren i matematikk og gjennomsnittskarakteren i norsk.
b) Hvordan kan du ut fra diagrammene argumentere for at standardavviket i matematikk er større enn standardavviket i norsk?
c) Hvilken/hvilke av påstandene nedenfor er riktig/riktige?
Husk å begrunne svarene dine.
1\) Dersom gjennomsnittet for et datasett A er høyere enn gjennomsnittet for et datasett B, vil standardavviket for A alltid være lavere enn standardavviket for B.
2\) Dersom standardavviket for et datasett er lik null, er alle verdiene i datasettet like.
---
## V2020 del 2 oppgave 6 — Sparekonto med trinnvis rente og regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Annuitetslån
- **Kort beskrivelse:** Simulere sparekonto med årlige innskudd og to ulike rentesatser avhengig av saldo ved hjelp av regneark, og beregne total renteinntekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-trinnvis-rente-og-regneark/
### Oppgavetekst
Linn har opprettet en sparekonto. Den 1. januar hvert år framover vil hun sette inn 25 000 kroner på kontoen.
Så lenge beløpet på kontoen er lavere enn 100 000 kroner, vil hun få en rente på $2{,}5 \%$ per år.
Når beløpet på kontoen passerer 100 000 kroner, vil hun få en rente på $3{,}5 \%$ per år.
a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye Linn vil ha på kontoen ved begynnelsen og slutten av hvert år de neste 10 årene.
b) Hvor mye har Linn til sammen fått i renter i løpet av disse 10 årene?
---
## V2020 del 2 oppgave 7 — Flyskam – sannsynlighet med krysstabell
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Systematisere undersøkelsesdata i krysstabell og beregne sannsynligheter for enkeltutfall og betingede utfall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flyskam-sannsynlighet-med-krysstabell/
### Oppgavetekst
I en undersøkelse ble 1050 personer spurt om i hvor stor grad de følte flyskam.
$32 \%$ av kvinnene som deltok i undersøkelsen, oppga at de i stor grad følte flyskam, mens bare $20 \%$ av mennene svarte at de i stor grad gjorde det.
Anta at det deltok like mange menn og kvinner i undersøkelsen.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i et valgtre, en krysstabell eller et venndiagram.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som deltok i undersøkelsen, i stor grad følte flyskam.
c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som deltok i undersøkelsen og i stor grad følte flyskam, var en kvinne.
---
## H2020 del 1 oppgave 1 — Median og gjennomsnitt for trafikktellinger
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt og kumulativ frekvens fra datasett, og tolke effekt av en prosentvis endring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-for-trafikktellinger/
### Oppgavetekst
En morgen førte Thale statistikk over hvor mange biler som passerte på grønt lys i lyskrysset ved skolen. Hun fikk med seg ti perioder med grønt lys. Nedenfor ser du hvor mange biler som passerte i hver av disse ti periodene.
$$
10 \quad 20 \quad 12 \quad 18 \quad 7 \quad 33 \quad 12 \quad 38 \quad 20 \quad 10
$$
a) Bestem medianen og gjennomsnittet for antall biler som passerte i løpet av en periode med grønt lys.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 18 passerte biler.
Hva forteller dette tallet?
Trafikketaten vurderer å korte ned tiden det er grønt lys, med 10 %.
c) Gjør nødvendige antakelser og beregninger, og anslå hva gjennomsnittet og medianen for Thales tall ville vært om tiden med grønt lys var kortet ned med 10 %.
---
## H2020 del 1 oppgave 2 — Standardform med store tall
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Utføre addisjon og divisjon med tall på standardform og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-med-store-tall/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{5 \cdot 10^{12} + 3{,}1 \cdot 10^{13}}{1{,}8 \cdot 10^{7}}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 3 — Gjennomsnittshøyde fra frekvenstabell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvenstabell og tegne tilhørende histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittshoyde-fra-frekvenstabell/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser en oversikt over høydene til elevene ved en skole.
| Høyde i cm | Frekvens |
|---|---|
| $[150, 160\rangle$ | 10 |
| $[160, 170\rangle$ | 30 |
| $[170, 180\rangle$ | 50 |
| $[180, 200\rangle$ | 10 |
a) Bestem gjennomsnittshøyden til elevene ved skolen.
b) Lag et histogram som viser fordelingen av høydene.
---
## H2020 del 1 oppgave 4 — Grafer for fire situasjoner
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graf, Graftolkning, Funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Skissere grafer som illustrerer ulike typer funksjonssammenhenger (eksponentiell, kvadratisk, omvendt proporsjonal, lineær) ut fra beskrevne situasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafer-for-fire-situasjoner/
### Oppgavetekst
Nedenfor er fire situasjoner beskrevet.
<table class="grid">
<tr>
<td><strong>Situasjon 1</strong><br><br>Verdien av en bil avtar med en fast prosent hvert år. Etter 5 år er verdien halvert.</td>
<td><strong>Situasjon 2</strong><br><br>Sigurd kaster et spyd. Spydet lander 60 m lenger borte.</td>
</tr>
<tr>
<td><strong>Situasjon 3</strong><br><br>Vi skal kjøpe gave til læreren vår. Jo flere som er med og betaler for gaven, jo billigere blir det for hver av oss.</td>
<td><strong>Situasjon 4</strong><br><br>Da Ulrikke gikk ned fra fjelltoppen, kom hun 100 m lavere i terrenget for hver time som gikk.</td>
</tr>
</table>
Skisser grafer som illustrerer de fire situasjonene. Skisser én graf for hver situasjon. Husk å skrive hvilken størrelse som kan leses av på hver av aksene.
---
## H2020 del 1 oppgave 5 — Lineær modell for klementinimport
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lage en lineær modell basert på et linjediagram som viser utvikling over tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-klementinimport/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser hvor mange tonn klementiner og mandariner Norge importerte hvert år fra og med 1989 til og med 2019.
Lag en lineær modell som tilnærmet beskriver utviklingen i denne perioden.
---
## H2020 del 1 oppgave 6 — Figurmønster med sirkler 2P-Y H20
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall elementer i figurtall, utlede et generelt uttrykk for figur n og beregne antall elementer i figur 20.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-2p-y-h20/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av sirkler. Sara vil fortsette å tegne figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange sirkler vil det være i figur 4?
Sara synes det er lettere å se et mønster dersom hun fargelegger noen av sirklene. Nedenfor ser du figur 2 etter at Sara har fargelagt den.
b) Bestem et uttrykk for antallet sirkler i figur $n$ uttrykt ved $n$.
c) Hvor mange sirkler vil det være i figur 20?
---
## H2020 del 2 oppgave 1 — Badestamp tømmes med kvadratisk funksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon, Vekstfart, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Analysere en kvadratisk funksjon som modellerer vannvolum over tid — tegne graf, finne tidspunkt, beregne gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/badestamp-tommes-med-kvadratisk-funksjon/
### Oppgavetekst
Kari tapper ut vannet av en badestamp. Volumet $V$ liter av vannet i badestampen $x$ minutter etter at hun har åpnet kranen, er gitt ved
$$
V(x) = 2 \cdot (30 - x)^2 \quad , \quad 0 \leq x \leq 30
$$
a) Tegn grafen til $V$.
b) Hvor lang tid tar det å tappe ut halvparten av vannet?
c) Hvor mye vann renner i gjennomsnitt ut per minutt fra Kari åpner kranen, til badestampen er tom?
d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ når $x = 15$.
Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## H2020 del 2 oppgave 2 — Minutter om til år på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Måleenheter, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Konvertere 15 minutter til år og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minutter-om-til-ar-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Utålmodige Tore roper til mor: «Hvor mange år er det til middag?»
«15 minutter», svarer moren.
Hvor mange år tilsvarer det? Skriv svaret på standardform.
---
## H2020 del 2 oppgave 3 — Juletrær importert i 2009
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Beregne opprinnelig verdi fra kjent prosentvis endring og sluttverdi (baklengs prosentregning med vekstfaktor).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/juletraer-importert-i-2009/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du hvor mange juletrær som ble importert til Norge i 2019. Det ble importert $20{,}1$ % færre juletrær i 2019 sammenliknet med i 2009.
Hvor mange juletrær ble importert til Norge i 2009?
---
## H2020 del 2 oppgave 4 — Sparekonto med faste årlige innskudd
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Annuitetslån
- **Kort beskrivelse:** Bruke regneark til å bestemme rentesats og beregne fremtidig saldo ved fast rente og faste innskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-faste-arlige-innskudd/
### Oppgavetekst
- Første januar 2014 opprettet Eline en sparekonto. Hun satte inn 15 000 kroner på kontoen.
- Første januar hvert år fra og med 2015 til og med 2020 satte hun inn 10 000 kroner på kontoen.
- Rett etter at hun satte inn 10 000 kroner første januar 2020, hadde hun til sammen 81 799 kroner på kontoen.
- Rentesatsen per år var den samme i hele perioden.
a) Lag et regneark som du kan bruke for å bestemme hva rentesatsen per år var i denne perioden.
Eline vil fortsette å spare slik det er beskrevet ovenfor, i fem år til. Hun har forhandlet med banken og vil få $3{,}0$ % rente per år fra og med første januar 2020.
b) Utvid regnearket fra oppgave a), og bestem hvor mye Eline vil ha på kontoen rett etter at hun har satt inn 10 000 kroner første januar 2025.
---
## H2020 del 2 oppgave 5 — Snødybde Oslo og Kautokeino julaften
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik fra histogram-data og vurdere riktigheten av en påstand om sammenhengen mellom gjennomsnitt og standardavvik.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snodybde-oslo-og-kautokeino-julaften/
### Oppgavetekst
Diagrammene nedenfor viser snødybden i Oslo og i Kautokeino julaften de 11 siste årene.
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for snødybdene i Oslo og for snødybdene i Kautokeino.
Etter å ha regnet ut gjennomsnittet for Oslo og Kautokeino kom Isak med følgende påstand:
«Siden gjennomsnittet for Kautokeino ble høyere enn gjennomsnittet for Oslo, må standardavviket for Kautokeino også bli høyere enn standardavviket for Oslo. Det er alltid slik at det datamaterialet som har høyest gjennomsnitt, også har høyest standardavvik.»
b) Er påstanden riktig? Begrunn svaret ditt.
---
## H2020 del 2 oppgave 6 — Innbyggervekst i nytt boligområde
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjoner, Regresjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Velge og begrunne en matematisk modell for vekst med avtakende økning, og bruke modellen til å estimere fremtidig antall innbyggere.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innbyggervekst-i-nytt-boligomrade/
### Oppgavetekst
I løpet av 1981 flyttet 2040 personer inn i et nytt boligområde. Diagrammet nedenfor viser hvor mange personer som bodde i boligområdet noen år i perioden 1981–2019.
Svein er byplanlegger i kommunen. Han antar at antall innbyggere i boligområdet vil fortsette å øke i årene framover, men at økningen vil avta.
La $x$ være antall år etter 1980.
a) Bruk opplysningene i diagrammet, Sveins antakelse og det du vet om ulike typer funksjoner, til å lage en modell som tilnærmet beskriver utviklingen. Begrunn valget av modell.
b) Hvor mange innbyggere vil det være i boligområdet i 2030 ifølge modellen du laget i oppgave a)? Hvordan stemmer dette antallet med Sveins antakelse?
---
## H2020 del 2 oppgave 7 — Leieavtaler for feriebolig
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Økonomi, Likninger, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Beregne totalkostnader for ulike leieavtaler og finne antall døgn der avtalene er like lønnsomme ved å sette opp og løse likninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leieavtaler-for-feriebolig/
### Oppgavetekst
Firmaet «Reiselyst» kjøper leiligheter ulike steder i verden. De leier ut leilighetene til kunder.
Kunder som ønsker å leie leiligheter, må betale en fast pris per år. I tillegg må de betale for hvert døgn de bruker en leilighet. Kundene kan velge mellom tre ulike leieavtaler.
<table class="grid">
<tr>
<td><strong>Avtale 1</strong><br><br>Fast pris per år: 22 000 kroner<br><br>Pris per døgn: 1200 kroner</td>
<td><strong>Avtale 2</strong><br><br>Fast pris per år: 28 000 kroner<br><br>Pris per døgn: 600 kroner</td>
<td><strong>Avtale 3</strong><br><br>Fast pris per år: 50 000 kroner<br><br>Pris per døgn: 200 kroner</td>
</tr>
</table>
En kunde planlegger å leie leiligheter 28 døgn i løpet av et år.
a) Hvor mye må kunden betale med hver av de tre avtalene?
b) Hvor mange døgn i løpet av et år kan en kunde leie leiligheter med hver av de tre avtalene før den totale prisen overstiger 53 000 kroner?
c) Hvor mange døgn må en kunde leie leiligheter i løpet av et år for at det skal lønne seg med henholdsvis avtale 1, avtale 2 og avtale 3?
---
## H2020 del 2 oppgave 8 — Shuffleboard-spørreundersøkelse
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut en toveis frekvenstabell fra gitte opplysninger og beregne sannsynligheter, inkludert betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/shuffleboard-sporreundersokelse/
### Oppgavetekst
Elevrådet ved en skole ønsker seg shuffleboard i kantinen. De gjennomfører en spørreundersøkelse for å finne ut hva elevene ved skolen mener om dette.
- Alle de 420 elevene ved skolen blir spurt.
- 55 % av elevene er jenter.
- 89 gutter ønsker shuffleboard.
- Til sammen er det 200 elever som ikke ønsker shuffleboard.
a) Gjør beregninger, tegn av, og fyll ut tabellen nedenfor.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ved skolen ønsker shuffleboard.
Én elev ønsker shuffleboard.
c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven er en gutt.
---
## V2019 del 1 oppgave 1 — Median, gjennomsnitt og variasjonsbredde for telefon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt og variasjonsbredde fra et rådata-datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-gjennomsnitt-og-variasjonsbredde-for-telefon/
### Oppgavetekst
Petter har spurt 20 personer om hvor mange ganger de brukte telefonen sin til å ringe med i løpet av forrige helg. Resultatene ser du nedenfor.
0 4 2 6 3 2 1 1 3 5 3 8 1 9 5 2 0 2 2 1
Bestem medianen, gjennomsnittet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
---
## V2019 del 1 oppgave 2 — Opprinnelig pris etter prisreduksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når prisen er satt ned med en gitt prosent og ny pris er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/opprinnelig-pris-etter-prisreduksjon/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare ble satt ned med 20 %. Nå koster varen 640 kroner.
Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned?
---
## V2019 del 1 oppgave 3 — Regning med standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regne ut og skrive svar på standardform ved subtraksjon med potens av ti.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regning-med-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
7{,}03 \cdot 10^7 - 7\,000\,000
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 4 — Potensregning og forenkling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et sammensatt uttrykk med potensregler og negative eksponenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensregning-og-forenkling/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{2^0 + 2^3 \cdot 2^2 + \left(2^3\right)^2 - 2}{2 \cdot 2^2} + 2^{-3}
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 5 — Lineær modell for budfirma
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme stigningstall og konstantledd fra graf, og gi praktisk tolkning av parametrene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-budfirma/
### Oppgavetekst
Et budfirma henter små pakker hos forretninger. Pakkene kjøres ut til kunder.
Den totale prisen en forretning må betale for å få kjørt ut $x$ pakker, er gitt ved en lineær sammenheng $y = ax + b$. Grafen nedenfor illustrerer denne sammenhengen.
a) Bestem tallene $a$ og $b$.
b) Gi en praktisk tolkning av tallene $a$ og $b$ i denne oppgaven.
---
## V2019 del 1 oppgave 6 — Reisetid til skole - gjennomsnitt og histogram
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling, argumentere for median og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/reisetid-til-skole-gjennomsnitt-og-histogram/
### Oppgavetekst
Ved en skole ble 200 elever spurt om hvor lang reisetid de hadde fra bosted til skole. Se tabellen nedenfor.
| Reisetid i minutter | Frekvens |
|---|---|
| $[0, 10\rangle$ | 60 |
| $[10, 20\rangle$ | 80 |
| $[20, 40\rangle$ | 50 |
| $[40, 80\rangle$ | 10 |
| Totalt | 200 |
Stine påstår at medianen for datamaterialet er ca. 15 minutter.
a) Bestem gjennomsnittet for datamaterialet.
b) Hvordan kan hun argumentere for denne påstanden, og hvilken antakelse har hun gjort?
c) Lag et histogram som viser fordelingen av reisetider.
---
## V2019 del 1 oppgave 7 — Figurmønster med blå og grønne kvadrater
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Fullføre differansetabell, vise at antall kvadrater er $n^2+1$ geometrisk, og finne uttrykk for nytt mønster.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-bla-og-gronne-kvadrater/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små, blå kvadrater. Rikke vil fortsette å lage figurer etter samme mønster. Hun har sett på differansen mellom antall små, blå kvadrater i to etterfølgende figurer og begynt å fylle ut tabellen nedenfor.
| Figur nummer | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Antall kvadrater | 2 | 5 | 10 | | | | | |
| Differanse | | 3 | 5 | 7 | | | | |
Rikke påstår at antall små, blå kvadrater i figur $n$ er $n^2 + 1$.
Olav arbeider med figurene nedenfor. De er satt sammen av små, grønne kvadrater. Han vil fortsette å lage figurer etter dette mønsteret.
a) Skriv av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler.
b) Vis at påstanden stemmer for figur 2, figur 3 og figur 4 ved å lage nye tegninger, en for hver figur, der du plasserer de små, blå kvadratene på en annen måte.
c) Bestem et uttrykk for antall små, grønne kvadrater i figur $n$ uttrykt ved $n$.
---
## V2019 del 2 oppgave 1 — Vanntank med kubikkfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Graf, Vekstfart, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Tolke, tegne og analysere en kubikkfunksjon som modellerer vannmengde i tank over tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vanntank-med-kubikkfunksjon/
### Oppgavetekst
Et firma produserer vanntanker. Carl har undersøkt en av tankene og funnet ut at dersom tanken er full og kranen åpnes, vil det etter $x$ minutter være $V(x)$ liter vann igjen i tanken, der
$$
V(x) = (10 - 0{,}1x^2)^3 \qquad , \qquad 0 \leq x \leq 10
$$
a) Bestem $V(0)$, og gi en praktisk tolkning av svaret du får.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $V$.
c) Hvor lang tid går det fra kranen åpnes, til det er 400 L vann igjen i tanken?
d) Hvor mye vann renner i gjennomsnitt ut av tanken per minutt mens den tømmes?
e) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ når $x = 3$.
Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
---
## V2019 del 2 oppgave 2 — Plastposer stables i Eiffeltårn-høyde
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Måleenheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Beregne høyde på stabel av plastposer og finne tid til bestemt høyde ved hjelp av enhetsomsetting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plastposer-stables-i-eiffeltarn-hoyde/
### Oppgavetekst
Det er $5{,}3$ millioner innbyggere i Norge. I gjennomsnitt kaster hver innbygger 180 plastposer hvert år. Normal tykkelse på plasten i en pose er $0{,}035 \mathrm{~mm}$.
Tenk deg at vi legger alle disse plastposene oppå hverandre i en stabel.
Eiffeltårnet i Paris er 324 m høyt.
a) Omtrent hvor høy ville stabelen blitt?
b) Hvor mange timer ville det gå før stabelen var like høy som Eiffeltårnet, dersom vi antar at det kastes like mange poser hver time?
---
## V2019 del 2 oppgave 3 — Laksens vekt og lengde - potensfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametere i potensfunksjon fra data og bruke modellen til å beregne prosentvis endring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/laksens-vekt-og-lengde-potensfunksjon/
### Oppgavetekst
Forskere har målt og veid laks i et område. Tabellen nedenfor viser sammenhørende verdier av lengde og vekt.
| Laksens lengde (cm) | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 105 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Laksens vekt (gram) | 1290 | 2190 | 3470 | 5110 | 7450 | 10 260 | 11 950 |
Anta at sammenhengen mellom laksens lengde $x$ cm og laksens vekt $V$ gram kan beskrives med en modell av typen
$$
V(x) = a \cdot x^b
$$
a) Bruk datamaterialet i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$.
b) Bruk modellen du nå har funnet, til å bestemme hvor mange prosent vekten på laksen øker med når lengden øker med 25 %.
---
## V2019 del 2 oppgave 4 — Mandler i poser - gjennomsnitt og standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik, og vurdere påstander om statistiske mål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mandler-i-poser-gjennomsnitt-og-standardavvik/
### Oppgavetekst
Emil og Ida selger poser med brente mandler for å samle inn penger i forbindelse med Operasjon Dagsverk. Begge har fylt 20 poser med mandler.
Nedenfor ser du hvor mange mandler det er i hver av posene Emil har fylt.
42 45 39 46 47
41 38 44 43 40
45 46 49 39 40
41 42 40 45 48
Ida har regnet ut gjennomsnitt og standardavvik for antall mandler i sine poser. Gjennomsnittet hennes er lavere enn Emils, men standardavviket er høyere.
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antallet mandler i posene til Emil.
b) Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør om hver enkelt påstand *kan* være riktig. Begrunn svarene dine.
1\) Ida har til sammen flere mandler enn Emil i posene sine.
2\) Ida har like mange mandler i hver av posene sine.
3\) Ida har like mange mandler i halvparten av posene sine.
---
## V2019 del 2 oppgave 5 — Knytte situasjoner til grafer
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Knytte fire beskrevne situasjoner til riktig graf blant åtte alternativer og begrunne valgene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/knytte-situasjoner-til-grafer/
### Oppgavetekst
Nedenfor er fire ulike situasjoner beskrevet. Det er også tegnet åtte grafer.
> Situasjon 1
> Jeg fant en butikk hvor de solgte ulike små sjokoladebiter. Jeg betalte 9 kroner for en kurv jeg kunne ha 15 sjokoladebitene i, og 15 kroner per hektogram sjokolade jeg puttet i kurven.
> Situasjon 2
> Jeg har arvet penger etter bestemor. Pengene har jeg satt på en sparekonto der jeg får en fast rente på 3,5 % per år.
> Situasjon 3
> Jeg leste en gang om en dyrebestand som levde på en øy. Dyrene formerte seg raskt, og bestanden ble større og større helt til det ble så mange dyr på øya at det ble vanskelig for alle å finne nok mat. Da ble det ikke født så mange dyr lenger, og antall fødte dyr per år var tilnærmet lik antall dyr som døde per år.
> Situasjon 4
> Jeg skulle sende en pakke med Posten i går og lurte på hvor mye jeg måtte betale i porto. Jeg fant denne oversikten på posten.no:
>
> | Vekt | Betal på posten.no |
> |---|---|
> | 0–10 kg | 145,– |
> | 10–25 kg | 260,– |
> | 25–35 kg | 370,– |
Hvilken graf beskriver situasjon 1?
Hvilken graf beskriver situasjon 2?
Hvilken graf beskriver situasjon 3?
Hvilken graf beskriver situasjon 4?
Husk å begrunne svarene dine.
Bestem hvilken graf (A–H) som beskriver hver av de fire situasjonene. Begrunn svarene dine.
---
## V2019 del 2 oppgave 6 — Influensavaksine og sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Systematisere opplysninger i krysstabell, beregne sannsynlighet og tolke betingede sannsynligheter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/influensavaksine-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en bedrift er det 2000 ansatte. Forrige høst ble 54 % av de ansatte vaksinert mot influensa. I løpet av høsten og vinteren fikk 10 % av dem som ikke hadde fått vaksine, og 2,5 % av dem som hadde fått vaksine, influensa.
Per er nyansatt ved bedriften i år og vurderer om han skal ta influensavaksinen til høsten. For å ha noe å gå ut fra bruker han tallene fra forrige år når han utfører beregninger.
Han har beregnet sannsynlighetene nedenfor:
1) $\dfrac{92}{119} \approx 77{,}3\,\%$
2) $\dfrac{1053}{1881} \approx 56\,\%$
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt ansatt ved bedriften fikk influensa i løpet av denne høsten og vinteren.
c) Forklar hva han har funnet ut når han har utført hver av disse beregningene.
---
## V2019 del 2 oppgave 7 — Sparekonto med fast og variabel rente
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rente, Sparing, Regresjon, Graf, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne fast og variabel rente på sparekonto ved hjelp av regneark og grafisk analyse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-fast-og-variabel-rente/
### Oppgavetekst
Etter et arveoppgjør fikk Petter utbetalt 850 000 kroner. Den 1. januar 2008 opprettet han en sparekonto og satte inn hele beløpet på denne kontoen. Han bestemte seg for at pengene skulle stå urørt i banken i ti år.
Han fikk da to ulike tilbud fra banken.
Tilbud 1: En fast årlig rentesats på 4 % per år disse ti årene.
Tilbud 2: En rentesats som ville endres én gang per år i tråd med svingninger i pengemarkedet. Det første året ville rentesatsen bli satt til 5,4 %.
Petter valgte tilbud 2. I regnearket nedenfor ser du hvilken rentesats han fikk hvert år de ti årene.
a) Hvor mye hadde Petter til sammen fått i renter i løpet av de ti årene om han hadde valgt tilbud 1?
b) Lag en tabell i et regneark som vist til høyre. Legg inn opplysningene i de hvite cellene. I de blå cellene skal du sette inn formler.
c) Lag en ny tabell i regnearket fra oppgave b). Den nye tabellen skal vise hvor mye Peter hadde fått i renter hvert år om han hadde valgt tilbud 1.
d) Bruk tabellen fra oppgave c) til å bestemme hva den faste rentesatsen i tilbud 1 måtte ha vært for at Petter til sammen skulle fått like mye renter ved å benytte seg av dette tilbudet som han fikk ved å benytte seg av tilbud 2.
e) Bruk graftegner til å tegne grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 850\,000 \cdot x^{10}
$$
Vis hvordan du kan bruke den grafiske framstillingen til å komme fram til svaret du fikk i oppgave d).
---
## H2019 del 1 oppgave 1 — Skjermtid median og frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt, kumulativ frekvens og relativ frekvens fra et datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skjermtid-median-og-frekvens/
### Oppgavetekst
Arne har spurt 20 elever i videregående skole hvor mange timer de bruker foran en skjerm i løpet av en vanlig dag. Resultatene ser du nedenfor.
$$
8 \quad 4 \quad 3 \quad 2 \quad 5 \quad 6 \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 3 \quad 4 \quad 3 \quad 4 \quad 3 \quad 5 \quad 5 \quad 6
$$
a) Bestem medianen og gjennomsnittet for dette datamaterialet.
b) Bestem den kumulative frekvensen og den relative frekvensen for 3 timer foran skjerm i løpet av en vanlig dag blant disse elevene.
---
## H2019 del 1 oppgave 2 — Hvite og røde terninger i eske
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Finne totalt antall gjenstander når andel og absolutt antall av én type er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hvite-og-rode-terninger-i-eske/
### Oppgavetekst
I en eske ligger det hvite og røde terninger. Av disse er 15 hvite og 40 % røde.
Hvor mange terninger er det totalt i esken?
---
## H2019 del 1 oppgave 3 — Brøk med standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Beregne en brøk med tall på standardform og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brok-med-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{1{,}2 \cdot 10^7 - 6{,}5 \cdot 10^6}{0{,}0005}
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 4 — Sorter potenser i stigende rekkefølge
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne og sortere uttrykk med potenser, inkludert negative og null-eksponenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-potenser-i-stigende-rekkefolge/
### Oppgavetekst
Regn ut og sorter tallene i stigende rekkefølge, fra minste verdi til største verdi
$$
75^0 \qquad 2^3 \cdot 2^2 \qquad \left(2^3\right)^2 \qquad 2^{-3} \qquad \frac{1}{4^2}
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 5 — Iris telefonselger lønn og alternativ
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Ulikheter, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær lønnsmodell, løse ulikhet og sammenligne to lønnsalternativer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/iris-telefonselger-lonn-og-alternativ/
### Oppgavetekst
Iris jobber som telefonselger noen kvelder i uka. Hun har en fast lønn på 60 kroner per time. I tillegg tjener hun 40 kroner for hvert produkt hun selger.
a) Lag en modell som viser sammenhengen mellom antall produkter Iris selger i løpet av én time, og timelønnen hennes denne timen.
b) Hvor mange produkter må Iris selge for å få en timelønn som er høyere enn 200 kroner?
Iris har forhandlet om høyere lønn og fått to alternative tilbud.
| | |
|---|---|
| Alternativ 1: | Hun får 50 kroner mer i fast lønn per time, men fremdeles 40 kroner for hvert produkt hun selger. |
| Alternativ 2: | Hun får fremdeles en fast lønn på 60 kroner per time, men beløpet hun får for hvert produkt hun selger, økes med 20 %. |
c) Gjør beregninger, og gi Iris noen råd om hvilket alternativ hun bør velge.
---
## H2019 del 1 oppgave 6 — Filmlengder gjennomsnitt og histogram
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling og tegne tilhørende histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/filmlengder-gjennomsnitt-og-histogram/
### Oppgavetekst
Tone samler på filmer. Tabellen nedenfor viser hvor lange filmene hennes er.
| Lengde i minutter | Frekvens |
|---|---|
| $[60, 80\rangle$ | 40 |
| $[80, 120\rangle$ | 100 |
| $[120, 140\rangle$ | 40 |
| $[140, 180\rangle$ | 20 |
a) Bestem gjennomsnittslengden for filmene.
b) Lag et histogram som viser fordelingen av lengden på filmene.
---
## H2019 del 1 oppgave 7 — Figurmønster med sirkler triangel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall elementer i figurtall, bestemme generelt uttrykk og beregne for stor figur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-triangel/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Dina vil fortsette å tegne figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4?
b) Bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$ uttrykt ved $n$.
c) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 100?
---
## H2019 del 2 oppgave 1 — Seibestand i Arktis polynomfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Graf, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke og analysere polynomfunksjon som modell for fiskebestand — graf, terskel, gjennomsnittlig vekst og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/seibestand-i-arktis-polynomfunksjon/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal vi bruke funksjonen $S$ gitt ved
$$
S(x) = -3x^4 + 305x^3 - 9000x^2 + 66000x + 495000 \,, \quad 0 \leq x \leq 50
$$
som en modell for seibestanden $S(x)$ tonn i Arktis $x$ år etter 1960.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $S$.
b) I hvor mange år var seibestanden lavere enn 450 000 tonn?
c) Hvor mange tonn steg seibestanden i gjennomsnitt med per år fra den var på sitt laveste, til den var på sitt høyeste?
d) Bestem den momentane vekstfarten til $S$ i 1970.
Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## H2019 del 2 oppgave 2 — Oscar-vinnere alder statistikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Beregne statistiske mål for aldersfordeling og sammenligne to grupper ut fra statistikkverdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oscar-vinnere-alder-statistikk/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en liste over skuespillere som har vunnet Oscar for beste kvinnelige hovedrolle de siste 20 årene.
| År | Navn | Alder | | År | Navn | Alder |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2018 | Olivia Colman | 44 | | 2008 | Kate Winslet | 33 |
| 2017 | Frances McDormand | 60 | | 2007 | Marion Cotillard | 32 |
| 2016 | Emma Stone | 28 | | 2006 | Helen Mirren | 61 |
| 2015 | Brie Larson | 26 | | 2005 | Reese Witherspoon | 29 |
| 2014 | Julianne Moore | 54 | | 2004 | Hilary Swank | 30 |
| 2013 | Cate Blanchett | 44 | | 2003 | Charlize Theron | 28 |
| 2012 | Jennifer Lawrence | 22 | | 2002 | Nicole Kidman | 35 |
| 2011 | Meryl Streep | 62 | | 2001 | Halle Berry | 35 |
| 2010 | Natalie Portman | 29 | | 2000 | Julia Roberts | 33 |
| 2009 | Sandra Bullock | 45 | | 1999 | Hilary Swank | 25 |
a) Bestem gjennomsnittet, medianen, variasjonsbredden og standardavviket for alderen til de kvinnelige prisvinnerne disse 20 årene.
Tabellen nedenfor viser tilsvarende verdier for skuespillere som har vunnet Oscar for beste mannlige hovedrolle de siste 20 årene.
| | |
|---|---|
| Gjennomsnitt | 44 år |
| Median | 43,5 år |
| Variasjonsbredde | 31 år |
| Standardavvik | 8 år |
b) Hva kan du si om aldersfordelingen blant de mannlige skuespillerne sammenliknet med de kvinnelige ut fra disse verdiene og resultatene fra oppgave a)?
---
## H2019 del 2 oppgave 3 — Ballongbredde potensmodell regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametere i potensmodell fra datamateriale og bruke modellen til å finne ukjent tidspunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ballongbredde-potensmodell-regresjon/
### Oppgavetekst
Ronny lager ballongdekorasjoner. Han har undersøkt hvor lang tid det tar å blåse opp en ballong. Tabellen nedenfor viser hvor bred en ballong i gjennomsnitt er hvert sekund de fem første sekundene etter at han begynner å blåse den opp.
| Tid (sekunder) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Bredde (cm) | 13,5 | 17,9 | 20,3 | 23,3 | 25,2 |
Ronny antar at sammenhengen mellom tiden $x$ sekunder og bredden $B$ cm kan beskrives med en modell av typen
$$
B(x) = p \cdot x^q
$$
a) Bruk datamaterialet i tabellen til å bestemme tallene $p$ og $q$.
b) Hvor lang tid vil det gå fra han begynner å blåse opp en ballong, til den er 30 cm bred, ifølge modellen i oppgave a)?
---
## H2019 del 2 oppgave 4 — Landmil og kilometer lineær funksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme stigningstall fra graf og bruke proporsjonal sammenheng til å omregne måleenheter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/landmil-og-kilometer-lineaer-funksjon/
### Oppgavetekst
Landmil er en gammel norsk målenhet. Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom landmil og kilometer.
a) Bestem stigningstallet til den rette linjen.
Ved utgangen av 1600-tallet skulle posten bruke 4,5 døgn mellom Christiania (Oslo) og København. Transporttiden svarte til at posten i gjennomsnitt skulle bruke 2 timer per landmil.
b) Hvor mange landmil var denne postruten?
Hvor mange kilometer tilsvarer dette?
---
## H2019 del 2 oppgave 5 — Aksjeverdi prosentvis fall regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Verdifall, Prosentregning, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Bruke regneark til å beregne verdifall med fast prosentvis nedgang over tid og finne samlet prosentvis endring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aksjeverdi-prosentvis-fall-regneark/
### Oppgavetekst
Verdien av en aksje har falt med 8,5 % hver måned siden januar 2019. I oktober 2019 var aksjen verd 1 500 kroner. Anta at verdien av aksjen vil fortsette å avta med 8,5 % hver måned.
Bruk regneark til å lage en tabell som viser verdien av aksjen hver måned fra januar 2019 til mai 2020.
Regnearket skal også vise hvor mange prosent verdien av aksjen totalt har falt med i denne perioden.
---
## H2019 del 2 oppgave 6 — Cruiseanløp radardiagram standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Spredningsmål, Diagram, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tolke radardiagram for å sammenligne gjennomsnitt og standardavvik for tre grupper uten beregning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/cruiseanlop-radardiagram-standardavvik/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser antall cruiseanløp hver måned i 2018 i tre ulike havner, havn A, havn B og havn C.
Svar på oppgave a), b) og c) ved å argumentere ut fra diagrammet, uten å utføre beregninger.
a) Hvilken havn hadde i gjennomsnitt flest cruiseanløp i 2018?
b) Hvilken havn hadde størst standardavvik for antall cruiseanløp i 2018?
c) Omtrent hvor stort vil du anslå at standardavviket for antall cruiseanløp i havn B var i 2018?
---
## H2019 del 2 oppgave 7 — Eksponentiell vekst skritt til månen
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Forklare eksponentiell vekst, beregne skritt med dobling og bruke regneark til å finne startverdi som gir ønsket sum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-vekst-skritt-til-manen/
### Oppgavetekst
a) Forklar hva eksponentiell vekst er.
Nedenfor ser du et utdrag fra en artikkel der eksponentiell vekst blir forklart med et eksempel.
> «Om du kunne ta 30 *eksponentielle* skritt, der skrittlengden blir doblet for hvert skritt, ville du endt opp på månen.»
Anta at det første skrittet er på $0{,}5 \mathrm{~m}$.
b) Hvor langt vil skritt nummer 30 da være ifølge utdraget fra artikkelen?
Avstanden fra jorda til månen er $384\,400 \mathrm{~km}$.
c) Bruk regneark til å undersøke hvor langt det første skrittet må være for at du skal ende opp på månen etter 30 skritt.
---
## H2019 del 2 oppgave 8 — Epler i kjøleskap kombinatorisk sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet ved uttak uten tilbakelegging med kombinatorikk for ulike utfall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/epler-i-kjoleskap-kombinatorisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Embla har ti epler i kjøleskapet. Fem av dem er røde, tre er grønne, og to er gule.
Hun tar tilfeldig to epler.
a) Bestem sannsynligheten for at hun ikke tar noen gule epler.
b) Bestem sannsynligheten for at hun tar ett rødt og ett grønt eple.
c) Bestem sannsynligheten for at hun tar to epler med samme farge.
---
## V2018 del 1 oppgave 1 — Variasjonsbredde og gjennomsnitt for kortpoeng
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne variasjonsbredde og gjennomsnitt fra et datasett med åtte verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/variasjonsbredde-og-gjennomsnitt-for-kortpoeng/
### Oppgavetekst
Markus og vennene hans spiller kort. Nedenfor ser du hvor mange poeng Markus fikk i hver av de siste åtte rundene.
| Runde | Poengsum Markus |
|:-----:|:---------------:|
| 1 | 20 |
| 2 | $-15$ |
| 3 | 5 |
| 4 | 15 |
| 5 | $-8$ |
| 6 | $-3$ |
| 7 | $-24$ |
| 8 | 30 |
Bestem variasjonsbredden og gjennomsnittet for poengsummene.
---
## V2018 del 1 oppgave 2 — Prosentregning med 20 prosent av 25 elever
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne 20 % av 25 ved direkte prosent-av-heltall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentregning-med-20-prosent-av-25-elever/
### Oppgavetekst
I klassen til Mats er det 25 elever. 20 % av elevene har bodd i Norge i mindre enn fire år.
Hvor mange av elevene har bodd i Norge i mindre enn fire år?
---
## V2018 del 1 oppgave 3 — Divisjon av tall på standardform
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\frac{5 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^{-8}}$ ved å dele koeffisienter og trekke eksponenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/divisjon-av-tall-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
\frac{5 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^{-8}}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 4 — BMI-fordeling med frekvens og kumulativ frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Fullføre frekvenstabell med kumulativ og relativ frekvens, tolke grå celler og avgjøre median-kategori.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bmi-fordeling-med-frekvens-og-kumulativ-frekvens/
### Oppgavetekst
BMI (Body Mass Index) er en internasjonal standard fra Verdens helseorganisasjon. Standarden indikerer om voksne over 19 år er undervektige, har normal vekt eller er overvektige. Se tabellen nedenfor.
| BMI | Kategori |
| :--------: | :---------: |
| ⟨←, 18,5⟩ | Undervektig |
| [18,5, 25⟩ | Normal vekt |
| [25, 30⟩ | Overvektig |
| [30, →⟩ | Fedme |
Et år deltok 1000 personer i en undersøkelse av BMI. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
<table class="grid">
<thead>
<tr>
<th>BMI</th>
<th>Frekvens</th>
<th>Kumulativ frekvens</th>
<th>Relativ frekvens</th>
<th>Kumulativ relativ frekvens</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>[17, 18,5⟩</td>
<td>20</td>
<td></td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td>[18,5, 25⟩</td>
<td></td>
<td style="background:rgba(128,128,128,0.4)">520</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td>[25, 30⟩</td>
<td></td>
<td></td>
<td style="background:rgba(128,128,128,0.4)">0,4</td>
<td style="background:rgba(128,128,128,0.4)">0,92</td>
</tr>
<tr>
<td>[30, 32⟩</td>
<td style="background:rgba(128,128,128,0.4)">80</td>
<td></td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
</tbody>
</table>
a) Tegn av tabellen, og fyll inn tallene som mangler.
Fire av cellene i tabellen er grå.
b) Forklar hva hvert av tallene i disse grå cellene forteller om personene som deltok i undersøkelsen.
c) Forklar hvordan vi kan se at medianen ligger i kategorien «Normal vekt».
---
## V2018 del 1 oppgave 5 — Figurtall med sirkler i sekskanter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Rekursiv sammenheng
- **Kort beskrivelse:** Finne og generalisere mønster for antall sirkler og sekskanter i figurtall bygget av heksagonale lag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-sirkler-i-sekskanter/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Hans og Grete vil fortsette å lage figurer etter samme mønster. De vil også se på ulike sammenhenger mellom antall sirkler i figurene.
Hans starter med figur nummer 2 og ser på sirklene i de ytterste sekskantene. Han fargelegger disse sirklene blå og setter opp tabellen til høyre nedenfor.
| Figurnummer | Antall sekskanter | Antall sirkler i ytterste sekskant |
|:-----------:|:-----------------:|:----------------------------------:|
| 2 | 1 | 6 |
| 3 | 2 | 12 |
| 4 | | |
| 5 | | |
| $n$ | | |
a) Skriv av tabellen, og fyll ut det som mangler.
b) En figur har 246 sirkler i den ytterste sekskanten. Hvor mange sekskanter er det i denne figuren?
Grete ser at sirklene ligger på rader. Hun stipler linjer og fargelegger slik at alle sirklene på én rad har samme farge. Etterpå setter hun opp tabellen til høyre nedenfor.
| Figurnummer | Antall rader | Antall sirkler i hver rad | Antall sirkler i figuren |
|:-----------:|:------------:|:------------------------:|:------------------------:|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 2 | 6 |
| 3 | 5 | 3 | 15 |
| 4 | | | |
| $n$ | | | |
c) Skriv av tabellen, og fyll ut det som mangler.
d) Hvor mange sirkler vil det være i figur nummer 100?
---
## V2018 del 1 oppgave 6 — Dyrebestand med lineær og eksponentiell modell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær og eksponentiell modell for avtagende dyrebestand, og sammenligne dem etter 10 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/dyrebestand-med-lineaer-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
En dyrebestand består i dag av 12 000 dyr. En gruppe forskere antar at bestanden vil avta lineært, og at det vil være 6 000 dyr igjen om 10 år.
a) Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år dersom antakelsen er riktig.
En annen gruppe forskere antar at bestanden vil avta eksponensielt, og at det vil være 11 400 dyr igjen om ett år.
b) Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år dersom denne antakelsen er riktig.
c) Ifølge hvilken av de to modellene ovenfor vil det være færrest dyr igjen i bestanden om 10 år?
---
## V2018 del 2 oppgave 1 — Havisdekke rundt Antarktis med kubikkfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf av kubikkfunksjon, lese av løsning grafisk, beregne gjennomsnittlig endring og momentan vekstfart med tolkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/havisdekke-rundt-antarktis-med-kubikkfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $A$ gitt ved
$$
A(x) = -0{,}08x^3 + 1{,}29x^2 - 3{,}9x + 6{,}2 \qquad , \qquad 0 \leq x \leq 12
$$
viser hvor mange millioner kvadratkilometer $A(x)$ rundt Antarktis som var dekket av havis $x$ måneder etter 1. januar 2017.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $A$.
b) Hvor lenge var mer enn 10 millioner kvadratkilometer dekket av havis?
c) Hvor mange kvadratkilometer økte området som var dekket av havis, i gjennomsnitt med per måned fra 1. mars til 1. september?
d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $A$ når $x = 5$. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
---
## V2018 del 2 oppgave 2 — Bilverdi med fast prosentvis nedgang
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Beregne fremtidig og tidligere verdi med vekstfaktor $0{,}88$ fra kjent nåverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bilverdi-med-fast-prosentvis-nedgang/
### Oppgavetekst
Verdien av en bil har avtatt med 12 % hvert år siden den var ny. Vi antar at verdien vil fortsette å avta med 12 % hvert år framover. I dag er bilen verd 300 000 kroner.
a) Hvor mye vil bilen være verd om fem år?
b) Hvor mye var bilen verd for fem år siden?
---
## V2018 del 2 oppgave 3 — Histogram og søylediagram for aldersfordeling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lese av histogram med ulike klassebredder for å finne frekvenser, tegne søylediagram og vurdere egnethet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/histogram-og-soylediagram-for-aldersfordeling/
### Oppgavetekst
Per og Kari vil lage et diagram som viser aldersfordelingen til innbyggerne i et boligområde. De diskuterer om de skal bruke et histogram eller et søylediagram.
Ut fra opplysningene de har fått, lager Per histogrammet nedenfor. Innbyggerne er delt inn i fem aldersgrupper.
a) Hvor mange personer bor i boligområdet?
Kari lurer på om et søylediagram vil være bedre egnet.
b) Lag et søylediagram som viser hvor mange personer det er i hver aldersgruppe.
c) Mener du et søylediagram eller et histogram er best egnet til å illustrere dette datamaterialet?
---
## V2018 del 2 oppgave 4 — Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Vekstfart, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Verifisere eksponentiell regresjonsmodell for verdensbefolkning, lese av vekstrate, beregne gjennomsnittlig vekstfart og vurdere modellens gyldighet for fremtidsprognoser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdensbefolkning-med-eksponentiell-regresjon/
### Oppgavetekst
| Årstall | 1920 | 1940 | 1960 | 1980 | 2000 | 2010 | 2017 |
|:-------:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Folketall i millioner | 1902 | 2285 | 2991 | 4401 | 6088 | 6889 | 7474 |
Tabellen ovenfor viser folketallet i verden noen utvalgte år i perioden fra 1920 til 2017.
a) La $x$ være antall år etter 1. januar 1920, og bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^x
$$
er en modell som passer godt med tallene i tabellen.
b) Hvor mange prosent har folketallet økt med per år ifølge modellen i oppgave a)?
c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra $x = 70$ til $x = 95$. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
FN har utarbeidet prognoser som viser at folketallet i verden vil være 9,8 milliarder i år 2050 og 11,2 milliarder i år 2100.
d) Vurder om modellen i oppgave a) samsvarer med disse prognosene.
---
## V2018 del 2 oppgave 5 — Karakterfordeling med regneark og gjennomsnitt
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Regneark
- **Kort beskrivelse:** Lese av søylediagram for karakterfordeling, sette opp regneark for gjennomsnitt og standardavvik, og beregne samlet gjennomsnitt for to grupper.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-med-regneark-og-gjennomsnitt/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser karakterfordelingen ved en matematikkeksamen et år.
a) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 4 eller bedre?
b) Lag et regneark som vist nedenfor. Legg inn verdier i de hvite cellene og formler i de blå cellene. Bruk regnearket til å bestemme gjennomsnittskarakteren og standardavviket til karakterfordelingen.
Året etter var det 180 elever som hadde eksamen. Gjennomsnittskarakteren dette året var 3,25.
c) Hva var gjennomsnittskarakteren dersom vi ser disse to årene under ett?
---
## V2018 del 2 oppgave 6 — Sannsynlighet for kuler med og uten tilbakelegging
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Tegne valgtre og beregne sannsynligheter for trekking uten tilbakelegging fra kopp med røde og blå kuler, og avgjøre hvilken påstand som er riktig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-kuler-med-og-uten-tilbakelegging/
### Oppgavetekst
Maria vil legge to røde og to blå kuler i en kopp.
- Hun vil trekke to kuler fra koppen tilfeldig.
- Hun vil ikke legge tilbake den første kula før hun trekker den neste.
a) Tegn et valgtre, gjør beregninger, og avgjør hvilken av påstandene nedenfor som er riktig.
Påstand 1: Det er mest sannsynlig at hun kommer til å trekke to kuler med samme farge.
Påstand 2: Det er mest sannsynlig at hun kommer til å trekke to kuler med ulik farge.
Påstand 3: Sannsynligheten for at hun kommer til å trekke to kuler med samme farge, er like stor som sannsynligheten for at hun kommer til å trekke to kuler med ulik farge.
b) Gjør beregninger, og avgjør hvilken av påstandene ovenfor som er riktig dersom Maria i stedet legger tre røde og én blå kule i koppen og trekker to kuler på samme måte som beskrevet ovenfor.
---
## H2018 del 1 oppgave 1 — Sentralmål for kantinehandling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde for et lite datasett med 10 verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-for-kantinehandling/
### Oppgavetekst
Lotte har spurt ti medelever om hvor mange ganger de handler i kantina i løpet av en uke. Resultatene ser du nedenfor.
$$
1 \quad 5 \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad 4 \quad 2 \quad 4 \quad 0
$$
Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
---
## H2018 del 1 oppgave 2 — Baklengs prosentregning med prisøkning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når en prosentvis økning på 5 % tilsvarer 40 kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/baklengs-prosentregning-med-prisokning/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare ble satt opp med 5 %. Dette tilsvarte en prisøkning på 40 kroner.
Hvor mye kostet varen før prisen ble satt opp?
---
## H2018 del 1 oppgave 3 — Antall kaffekoppar i Norge på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Dividere totalt kaffeforbruk på kopp-volum og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-kaffekoppar-i-norge-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Anta at det drikkes $1\,920\,000 \mathrm{~L}$ kaffe i Norge hver dag, og at én kopp rommer $1{,}5 \mathrm{~dL}$.
Hvor mange kopper kaffe drikkes det da i Norge hver dag? Skriv svaret på standardform.
---
## H2018 del 1 oppgave 4 — Potensuttrykk med heltall
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne $3^3 \cdot \frac{1}{9} - 2^3(4-1)$ ved å anvende potensregler og rekkefølge for regneoperasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-med-heltall/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
3^3 \cdot \frac{1}{9} - 2^3(4-1)
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 5 — Kumulativ frekvens for håndballmål
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Lese av og beregne fra kumulativ frekvenstabell for antall mål i håndball.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kumulativ-frekvens-for-handballmal/
### Oppgavetekst
Tone spiller håndball. Tabellen nedenfor viser den kumulative frekvensen for antall mål hun skåret i de seks første kampene hun spilte.
| Kamp nummer | Kumulativ frekvens for antall mål Tone skåret |
|:-----------:|:---------------------------------------------:|
| 1 | 4 |
| 2 | 12 |
| 3 | 15 |
| 4 | 21 |
| 5 | 25 |
| 6 | 30 |
a) Hvor mange mål skåret Tone i kamp nummer 4?
b) Hvor mange mål skåret Tone i gjennomsnitt per kamp?
---
## H2018 del 1 oppgave 6 — Klassedelt datamateriale for daglige skritt
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra klassedelt frekvenstabel med klassemidte-metoden, og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klassedelt-datamateriale-for-daglige-skritt/
### Oppgavetekst
Grethe har en klokke som registrerer hvor mange tusen skritt hun går hver dag. Ut fra målingene de 14 siste dagene har hun satt opp tabellen nedenfor.
| Antall tusen skritt | Antall dager |
|:-------------------:|:------------:|
| $\left[0, 10\right\rangle$ | 4 |
| $\left[10, 15\right\rangle$ | 3 |
| $\left[15, 20\right\rangle$ | 3 |
| $\left[20, 30\right\rangle$ | 4 |
a) Bestem gjennomsnittet for det klassedelte datamaterialet.
b) Lag et histogram som illustrerer fordelingen i tabellen.
---
## H2018 del 1 oppgave 7 — Løpetur på tredemølle med to farter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Grafisk framstilling
- **Kort beskrivelse:** Omregne fart til tid per km, tegne grafisk framstilling av løpetur med to hastigheter og beregne gjennomsnittlig tid per km.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lopetur-pa-tredemolle-med-to-farter/
### Oppgavetekst
Anne trener på en tredemølle. I en treningsøkt løp hun til sammen 10 km. Hun startet med å løpe 3 km med en fart på 10 km/h. Så løp hun 7 km med en fart på 12 km/h.
a) Forklar at Anne bruker 6 minutter på hver kilometer når farten er 10 km/h.
b) Hvor mange minutter bruker Anne på hver kilometer når farten er 12 km/h?
c) Lag et koordinatsystem med strekning i kilometer langs $x$-aksen og tid i minutter langs $y$-aksen. Lag en grafisk framstilling som illustrerer løpeturen til Anne i dette koordinatsystemet.
d) Hvor mange minutter brukte Anne i gjennomsnitt på hver kilometer hun løp?
---
## H2018 del 1 oppgave 8 — Figurtall med blå kvadrater i korsform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Tegne neste figur i mønster, bestemme antall kvadrater i figur 5, finne generelt uttrykk for figur $n$ og beregne figur 100.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-bla-kvadrater-i-korsform/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små, blå kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Tegn figur 4.
b) Hvor mange små, blå kvadrater vil det være i figur 5?
c) Bestem et uttrykk for antall små, blå kvadrater i figur $n$ uttrykt ved $n$.
d) Hvor mange små, blå kvadrater vil det være i figur 100?
---
## H2018 del 2 oppgave 1 — Aksjemodell med fjerdegradspolynom
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Vekstfart, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne og analysere fjerdegradspolynom som aksjemodell; avlese ulikheter grafisk, bestemme min/maks, beregne gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aksjemodell-med-fjerdegradspolynom/
### Oppgavetekst
Anta at funksjonen $A$ gitt ved
$$
A(x) = 0{,}002x^4 - 0{,}13x^3 + 2{,}75x^2 - 18x + 118 \quad , \quad 0 \leq x \leq 30
$$
kan brukes som en modell som viser verdien $A(x)$ kroner av en aksje $x$ uker etter 01.01.2017.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $A$.
b) I hvor mange uker var verdien av aksjen lavere enn 92 kroner?
c) Bestem forskjellen mellom laveste og høyeste verdi av aksjen de 30 første ukene av 2017.
d) Hvor mye steg aksjen i verdi i gjennomsnitt per uke de 30 første ukene i 2017?
e) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $A$ når $x = 22$. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
---
## H2018 del 2 oppgave 2 — Prosentvis nedgang i TV-titting fra diagram
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Prosentregning, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Avlese to verdier fra linjediagram og beregne prosentvis nedgang i TV-titting for aldersgruppen 16–24 år fra 2006 til 2016.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-nedgang-i-tv-titting-fra-diagram/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser hvor mange minutter personer i Norge i gjennomsnitt så på TV per dag i perioden fra 1991 til 2016.
Omtrent hvor mange prosent gikk tiden personer mellom 16 og 24 år så på TV per dag, ned med fra 2006 til 2016?
---
## H2018 del 2 oppgave 3 — Sparekonto med fast rente og uttak
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Sparing, Regneark
- **Kort beskrivelse:** Beregne kontobeløp etter geometrisk vekst, bruke regneark til å finne antall år til målet og modellere uttak fra kontoen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-fast-rente-og-uttak/
### Oppgavetekst
I begynnelsen av år 2010 satte Truls inn 40 000 kroner på en ny sparekonto. Pengene har siden stått urørt. Kontoen har en fast årlig rente på 3,2 %.
Truls vil fortsatt la pengene stå urørt på kontoen.
a) Hvor mye vil han ha på kontoen i begynnelsen av 2019?
b) Lag et regneark som viser hvor mange år det vil gå fra han satte inn pengene, til han har 60 000 kroner på kontoen.
Når beløpet på kontoen har passert 100 000 kroner, vil Truls begynne å ta ut penger. Han vil ta ut 8000 kroner i begynnelsen av hvert år.
c) Utvid regnearket fra oppgave b) slik at det viser hvor mange uttak han kan gjøre før kontoen er tom.
---
## H2018 del 2 oppgave 4 — Vanntank i form av kjegle med potensfunksjonsmodell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Volum
- **Kort beskrivelse:** Vise at potensfunksjonsregresjon $H(x) = 3{,}31 \cdot x^{0{,}33}$ passer tabelldata, og bruke modellen til å finne tid og volum når tanken er full.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vanntank-i-form-av-kjegle-med-potensfunksjonsmodell/
### Oppgavetekst
En vanntank har form som en rett kjegle. Tanken er 10 m høy. Se skissen ovenfor. En pumpe fyller $18 \mathrm{~m^3}$ vann på tanken hver time. Det tappes ikke noe vann ut av tanken. Tabellen nedenfor viser vannivået i tanken ved ulike tidspunkt. Når vannivået er 10 m, er tanken full.
| Antall timer etter at fyllingen startet | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Vannivå (meter) | $3{,}3$ | $4{,}2$ | $5{,}2$ | $6{,}0$ | $6{,}6$ | $7{,}1$ |
a) La $x$ være antall timer etter at fyllingen startet, og bruk regresjon til å vise at funksjonen $H$ gitt ved
$$
H(x) = 3{,}31 \cdot x^{0{,}33}
$$
er en modell som passer godt med tallene i tabellen.
b) Hvor mange timer går det før tanken er full? Hvor mange liter vann er det i tanken da?
---
## H2018 del 2 oppgave 5 — Aldersfordeling i Norge med regneark og kumulativ frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens, Regneark, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut regneark med relativ og kumulativ relativ frekvens, bestemme median-intervall og vurdere en påstand om befolkningsdata med antakelse om jevn fordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-i-norge-med-regneark-og-kumulativ-frekvens/
### Oppgavetekst
Tabellen i regnearket nedenfor viser aldersfordelingen i befolkningen i Norge 1. januar 2017.
a) Lag et regneark som vist ovenfor. Legg inn verdier i de hvite cellene og formler i de blå cellene slik at tabellen blir ferdig utfylt.
b) Hvor mange prosent av befolkningen var under 90 år?
c) I hvilket intervall finner vi medianen?
Stian påstår at 1 963 775 personer var under 30 år 1. januar 2017.
d) Hvordan kan han argumentere for denne påstanden, og hvilken antakelse har han gjort?
---
## H2018 del 2 oppgave 6 — Krysstabell og sannsynlighet for brusdrikking
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Lage krysstabll fra brøkandeler, beregne sannsynlighet for tilfeldig valgt elev og kombinatorisk sannsynlighet for utvalg uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/krysstabell-og-sannsynlighet-for-brusdrikking/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 15 jenter og 15 gutter. I en undersøkelse svarte $\dfrac{1}{3}$ av guttene og $\dfrac{1}{5}$ av jentene at de drikker brus hver dag.
a) Lag en krysstabll som illustrerer opplysningene som er gitt ovenfor.
Vi trekker tilfeldig én elev fra klassen.
b) Bestem sannsynligheten for at denne eleven drikker brus hver dag.
Helsesøster trekker tilfeldig to av elevene som har svart at de drikker brus hver dag.
c) Bestem sannsynligheten for at hun trekker én gutt og én jente.
---
## H2018 del 2 oppgave 7 — Match situasjoner med graftype og vekstform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Vekstfaktor, Modellering, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Koble fire situasjoner med lineær vekst, lineær nedgang, eksponentiell vekst og eksponentiell nedgang til riktig graf blant seks alternativ, med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/match-situasjoner-med-graftype-og-vekstform/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det beskrevet fire ulike situasjoner. Det er også tegnet seks grafer.
**Situasjon 1**
Svein kjøper en leilighet for 2,5 millioner kroner. Han antar at verdien av leiligheten vil stige med 2 % per år framover.
**Situasjon 2**
Snorre har undersøkt levevilkårene til en dyrebestand. Han antar at bestanden vil minke med 15 dyr per år framover.
**Situasjon 3**
I dag er det 5,3 millioner innbyggere i et land. Vi antar at antall innbyggere vil øke i årene framover, men at økningen per år vil avta etter hvert som årene går.
**Situasjon 4**
Siri har kjøpt en bil for 300 000 kroner. Hun antar at verdien av bilen vil synke med 15 % per år framover.
Hvilken graf beskriver situasjon 1?
Hvilken graf beskriver situasjon 2?
Hvilken graf beskriver situasjon 3?
Hvilken graf beskriver situasjon 4?
Husk å begrunne svarene dine.
---
## V2017 del 1 oppgave 1 — Søsken sentralmål og variasjonsbredde
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme gjennomsnitt, median, typetall og variasjonsbredde fra frekvenstabell
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sosken-sentralmal-og-variasjonsbredde/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 16 elever. Tabellen nedenfor viser hvor mange søsken de 16 elevene har.
| Antall søsken | Frekvens |
|:---:|:---:|
| 0 | 5 |
| 1 | 6 |
| 2 | 2 |
| 3 | 2 |
| 4 | 1 |
Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden.
---
## V2017 del 1 oppgave 2 — Prosentandel elever med buss
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut hvor mange prosent 25 av 125 elever utgjør
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentandel-elever-med-buss/
### Oppgavetekst
Ved en skole er det 125 elever. En dag tok 25 av elevene buss til skolen.
Hvor mange prosent av elevene tok buss til skolen denne dagen?
---
## V2017 del 1 oppgave 3 — Potensuttrykk med toerpotenser
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2} \cdot (4^{-1})^{-3}$ med potensreglene
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-med-toerpotenser/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2} \cdot \left(4^{-1}\right)^{-3}
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 4 — Vannmolekyler i 1,5 dL vann
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Proporsjonalitet, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut antall vannmolekyler i 1,5 dL ut fra antallet i 10 L med standardform
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vannmolekyler-i-1-5-dl-vann/
### Oppgavetekst
I 10 L vann er det omtrent $3{,}0 \cdot 10^{25}$ vannmolekyler.
Hvor mange vannmolekyler er det i 1,5 dL vann?
---
## V2017 del 1 oppgave 5 — Leilighetsverdi lineær og eksponentiell modell
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær og eksponentiell vekstmodell for leilighetsverdi og knytte dem til grafer
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leilighetsverdi-lineaer-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
I 2017 er verdien av en leilighet 1 200 000 kroner.
Per antar at verdien vil stige med 80 000 kroner hvert år.
a) Sett opp en modell som viser verdien $f(x)$ av leiligheten $x$ år etter 2017 dersom det går slik Per antar.
Kari antar at verdien vil stige med 8 % hvert år.
b) Sett opp en modell som viser verdien $g(x)$ av leiligheten $x$ år etter 2017 dersom det går slik Kari antar.
c) Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $f$? Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $g$? Begrunn svarene dine.
---
## V2017 del 1 oppgave 6 — Poengfordeling i konkurranse med klassedelt statistikk
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut klassedelt frekvenstabell og bestemme gjennomsnitt og median for poengsummer
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/poengfordeling-i-konkurranse-med-klassedelt-statistikk/
### Oppgavetekst
Et år deltok 1 000 elever i en konkurranse. Besvarelsene ble vurdert, og lærerne laget en tabell. Tabellen ser du nedenfor, men her mangler noen av tallene lærerne satte inn.
| Poengsum | Frekvens | Relativ frekvens | Klassemidtpunkt |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $[0,\ 30\rangle$ | 100 | | |
| $[30,\ 50\rangle$ | | | |
| $[50,\ 70\rangle$ | | 0,6 | |
| $[70,\ 100\rangle$ | 200 | | |
a) Tegn av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler.
b) Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene som deltok i konkurransen.
Et annet år deltok 3 525 elever i konkurransen. Tabellen nedenfor viser poengfordelingen.
| Poengsum | Frekvens |
|:---:|:---:|
| $[0,\ 30\rangle$ | 563 |
| $[30,\ 50\rangle$ | 700 |
| $[50,\ 70\rangle$ | 2000 |
| $[70,\ 100\rangle$ | 262 |
c) Bestem medianen for poengsummene til elevene som deltok i konkurransen dette året.
---
## V2017 del 1 oppgave 7 — Figurtall med trekanter av pinner
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Finne uttrykk for antall pinner og omkrets i figur $n$ i et trekantmønster
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-trekanter-av-pinner/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små, blå pinner. Hver pinne har lengden 2,5 cm. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange pinner trenger du for å lage figur 4? Bestem omkretsen av figur 4.
b) Bestem et uttrykk for antall pinner i figur $n$ uttrykt ved $n$.
c) Bestem et uttrykk for omkretsen av figur $n$ uttrykt ved $n$.
En figur som følger samme mønster som ovenfor, har en omkrets på 105 cm.
d) Bestem antall pinner i denne figuren.
---
## V2017 del 2 oppgave 1 — Vannstand i Tromsø med fjerdegradsfunksjon
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf, regne funksjonsverdier, finne ekstremalverdier og momentan vekstfart for vannstandsmodell
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vannstand-i-tromso-med-fjerdegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $V$ er gitt ved
$$
V(x) = 0{,}064x^4 - 2{,}41x^3 + 28{,}4x^2 - 105x + 39 \qquad , \qquad 0 \le x \le 18
$$
viser vannstanden $V(x)$ centimeter over eller under middelvann $x$ timer etter midnatt i Tromsø en dag.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $V$.
b) Vis at vannstanden er ca. 40 cm under middelvann én time etter midnatt og ca. 31 cm over middelvann 12 timer etter midnatt.
c) Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i perioden fra midnatt og fram til klokka 18.00.
d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ klokken 07.00. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
---
## V2017 del 2 oppgave 2 — Prisantydning fra pris med påslag
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Regne ut prisantydning når betalt pris er 15 % høyere
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisantydning-fra-pris-med-paslag/
### Oppgavetekst
Emil betalte 3 703 000 kroner for en leilighet. Han betalte 15 % mer enn prisantydningen.
Hva var prisantydningen for denne leiligheten?
---
## V2017 del 2 oppgave 3 — Arv med fast rente over 20 år
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rente, Eksponentialfunksjon, Økonomi, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Regne ut opprinnelig beløp som har vokst til 1 724 180 kr med 4,25 % rente i 20 år
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arv-med-fast-rente-over-20-ar/
### Oppgavetekst
For 20 år siden arvet Ida penger. Hun satte alle pengene inn på en ny bankkonto. Hun har fått en fast rente på 4,25 % per år. I dag har hun 1 724 180 kroner på kontoen.
Hvor mye penger arvet Ida?
---
## V2017 del 2 oppgave 4 — Avstand-tid-graf for tur og retur
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Beskrive en praktisk situasjon som passer med en avstand-tid-graf
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstand-tid-graf-for-tur-og-retur/
### Oppgavetekst
Beskriv en praktisk situasjon som passer med grafen ovenfor.
---
## V2017 del 2 oppgave 5 — Poengfordeling fra histogram med tetthet
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Presentasjon av data, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lese frekvenser fra tetthetshistogram og regne antall elever og gjennomsnittlig poengsum
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/poengfordeling-fra-histogram-med-tetthet/
### Oppgavetekst
Ved en skole kom alle elevene som hadde valgt 2P, opp til skriftlig eksamen. Histogrammet nedenfor viser poengfordelingen.
a) Vis at det til sammen var 230 elever i 2P-gruppene.
b) Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene.
---
## V2017 del 2 oppgave 6 — Temperaturfall med høyden mot Galdhøpiggen
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke lineær temperaturmodell til å finne høyde, temperatur og temperaturfall per 100 m
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturfall-med-hoyden-mot-galdhopiggen/
### Oppgavetekst
Temperaturen blir lavere jo høyere over havet vi kommer. Spiterstulen ligger 1 106 m over havet. Toppen av Galdhøpiggen ligger 2 469 m over havet. En dag er temperaturen på Spiterstulen $12{,}0 \degree\text{C}$.
Vi antar at temperaturen $T(x) \degree\text{C}$, $x$ meter over Spiterstulen denne dagen er gitt ved
$$
T(x) = -0{,}0065x + 12 \qquad , \qquad 0 \le x \le 1400
$$
a) Hvor høyt over Spiterstulen vil du være når temperaturen er $5 \degree\text{C}$ denne dagen?
b) Bestem temperaturen på toppen av Galdhøpiggen denne dagen.
c) Hvor mange grader synker temperaturen med per 100 m stigning denne dagen?
---
## V2017 del 2 oppgave 7 — Høydevekst med tredjegradsregresjon
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Vekstfart, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Tredjegradsregresjon på høydedata og bruke gjennomsnittlig vekstfart til å vurdere modellens gyldighet
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hoydevekst-med-tredjegradsregresjon/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor høy Per var 0, 1, 3, 6 og 12 år etter fødselen.
| Alder (år) | 0 | 1 | 3 | 6 | 12 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Høyde (cm) | 52 | 76 | 97 | 118 | 148 |
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en tredjegradsfunksjon $f$ som tilnærmet viser høyden til Per de første 12 leveårene.
Espen er 12 år. Funksjonen $g$ gitt ved
$$
g(x) = 0{,}13x^3 - 2{,}8x^2 + 23x + 52
$$
viser høyden hans $g(x)$ cm, $x$ år etter fødselen.
b) Bestem Espens gjennomsnittlige vekstfart fra han var 7 år til han ble 12 år.
Sitatet nedenfor er hentet fra nettsidene til Norsk Helseinformatikk AS.
> «Gutter har en maksimal høydevekst på ca. 10 cm per år midt i puberteten. Etter vekstspurten i puberteten avtar veksthastigheten ned mot null.»
Anta at Espen kommer i puberteten når han er 12 år. Puberteten varer vanligvis i to–tre år.
c) Ta utgangspunkt i sitatet ovenfor, og vurder om funksjonen $g$ kan brukes til å bestemme høyden til Espen etter at han har fylt 12 år.
---
## V2017 del 2 oppgave 8 — Studere i utlandet krysstabell og sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Systematisere i krysstabell og regne sannsynlighet ved trekking uten tilbakelegging
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/studere-i-utlandet-krysstabell-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 12 jenter og 18 gutter. Neste skoleår ønsker 3 av jentene og 2 av guttene å studere i utlandet.
a) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller et venndiagram.
Tenk deg at du skal trekke to elever fra klassen tilfeldig.
b) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke to elever som ikke ønsker å studere i utlandet.
c) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke én gutt og én jente som ønsker å studere i utlandet.
---
## V2017 del 2 oppgave 9 — Banksparing for to personer i regneark
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rente, Sparing, Eksponentialfunksjon, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp regneark for to bankkontoer med renter og finne når summen passerer en grense
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/banksparing-for-to-personer-i-regneark/
### Oppgavetekst
Elise og Ådne opprettet hver sin bankkonto 1. januar 2017. Elise satte inn 20 000 kroner. Ådne satte inn 25 000 kroner. Begge får en rente på 2,75 % per år, og begge lar pengene stå urørt.
a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye Elise og Ådne vil ha i banken hvert år fram til og med 31. desember 2036.
b) Hvor mange år vil det gå før de til sammen har mer enn 70 000 kroner i banken?
c) Hvor mye vil Elise og Ådne til sammen få i renter disse 20 årene?
---
## H2017 del 1 oppgave 1 — Karakterfordeling norskeksamen sentralmål
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lese av frekvenstabell, beregne prosentandel, mediankarakter og gjennomsnitt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-norskeksamen-sentralmal/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser karakterfordelingen ved en skole ved norskeksamen våren 2017.
| Karakter | Antall elever |
|:--------:|:-------------:|
| 1 | 3 |
| 2 | 12 |
| 3 | 25 |
| 4 | 12 |
| 5 | 6 |
| 6 | 2 |
a) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 1 eller 2?
b) Bestem mediankarakteren.
c) Bestem gjennomsnittskarakteren.
---
## H2017 del 1 oppgave 2 — Standardform sum av stort og lite tall
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne $3{,}54 \cdot 10^6 + 60\,000$ og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-sum-av-stort-og-lite-tall/
### Oppgavetekst
$$
3{,}54 \cdot 10^6 + 60\,000
$$
Regn ut og skriv svaret på standardform.
---
## H2017 del 1 oppgave 3 — Togtur fra by A til by B med stopp
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Avlese reisetid, beskrive stopp og beregne fart som stigningstall fra strekning-tidsdiagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/togtur-fra-by-a-til-by-b-med-stopp/
### Oppgavetekst
Et tog kjørte fra by A til by B. Se diagrammet ovenfor.
a) Bestem reisetiden mellom de to byene.
b) Beskriv hva som skjer 20 km fra by A.
c) Bestem farten til toget når det er 10 km fra by A, og når det er 10 km fra by B. Du skal gi svarene i km/h.
---
## H2017 del 1 oppgave 4 — Sektordiagram for idrettslag med fire grupper
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne sektorvinkler (grader) for fire grupper og konstruere sektordiagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-for-idrettslag-med-fire-grupper/
### Oppgavetekst
Et idrettslag har 240 medlemmer. Idrettslaget har fire forskjellige aktivitetsgrupper.
Medlemmene fordeler seg slik:
| Aktivitetsgruppe | Antall medlemmer |
|:-----------------|:----------------:|
| Langrenn | 60 |
| Hopp | 40 |
| Freestyle | 80 |
| Alpint | 60 |
Gjør beregninger og lag et sektordiagram som viser fordelingen av medlemmene på de ulike gruppene. Det skal gå klart fram hvor mange grader hver av sektorene i diagrammet er på.
---
## H2017 del 1 oppgave 5 — Sannsynlighet to universitetsstudenter fra gruppe
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne $P(\text{begge vil studere})$ ved å trekke 2 av 10 elever uten tilbakelegging, 7 av 10 ønsker å studere.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-to-universitetsstudenter-fra-gruppe/
### Oppgavetekst
I en gruppe er det ti elever. Etter videregående skole ønsker sju av elevene å studere ved et universitet.
Tenk deg at vi trekker to elever tilfeldig fra gruppen.
Bestem sannsynligheten for at begge elevene ønsker å studere ved et universitet.
---
## H2017 del 1 oppgave 6 — Armbånd og charms lineær modell
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær modell fra to punkter, tolke stigningstall og konstantledd, og løse likning for ukjent antall charms.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/armband-og-charms-lineaer-modell/
### Oppgavetekst
I en butikk kan kundene kjøpe armbånd og charms (små figurer) til å feste på armbåndene. Butikken selger alle charms til samme pris.
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall charms en kunde setter på et armbånd, og prisen kunden må betale for armbåndet med charms.
| Antall charms | 3 | 7 |
|:---|:---:|:---:|
| Pris for armbånd med charms (kroner) | 1350 | 2450 |
a) Hvor mye koster armbåndet, og hvor mye koster hver charm?
b) Bestem en lineær modell som viser sammenhengen mellom antall charms på armbåndet og samlet pris for armbånd med charms.
Hanne betaler 3825 kroner for et armbånd med charms.
c) Hvor mange charms har hun på armbåndet?
---
## H2017 del 1 oppgave 7 — Figurtall med kvadrater rekursiv mønster
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster i figurtall av kvadrater, bestemme eksplisitt uttrykk for figur $n$ og bruke det til å beregne figur 20.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-kvadrater-rekursiv-monster/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små kvadrater vil det være i figur 4?
b) Bestem et uttrykk for antall små kvadrater i figur $n$ uttrykt ved $n$.
c) Hvor mange små kvadrater vil det være i figur 20?
---
## H2017 del 2 oppgave 1 — Innbyggertall i Norge eksponentiell vekst
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Verifisere eksponentiell modell $f(x) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^x$, tolke vekstfaktor, og løse $f(x) = 10$ for å finne år når innbyggertallet passerer 10 millioner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innbyggertall-i-norge-eksponentiell-vekst/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall innbyggere i Norge 1. januar noen utvalgte år.
| År | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 | 2010 | 2017 |
|:---|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Innbyggere (millioner) | $3{,}57$ | $3{,}86$ | $4{,}08$ | $4{,}23$ | $4{,}47$ | $4{,}85$ | $5{,}25$ |
La $x$ være antall år etter 1960. (La $x = 0$ svare til år 1960, $x = 10$ til 1970 osv.)
a) Vis at $f(x) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^x$ er en modell som passer godt med tallene i tabellen.
b) Hva forteller tallet $1{,}006$ i denne modellen?
Anta at modellen fra oppgave a) vil gjelde i årene framover.
c) I hvilket år vil innbyggertallet i Norge passere 10 millioner ifølge denne modellen?
---
## H2017 del 2 oppgave 2 — Gangbro modellert med andregradsfunksjon
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke $G(x) = -0{,}0008x^2 + 0{,}08x + 1{,}0$, vurdere om båt med mast på 290 cm kan passere, og finne avstand mellom bropilarer ved å løse $G(x) = 2{,}5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gangbro-modellert-med-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En gangbro går over en elv. I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet en skisse av broen. På skissen går broen fra punktet $A$ til punktet $B$.
Funksjonen $G$ gitt ved
$$
G(x) = -0{,}0008x^2 + 0{,}08x + 1{,}0 \quad , \quad 0 \leq x \leq 100
$$
viser broens høyde $G(x)$ meter over elva ved normal vannstand der den horisontale avstanden fra punktet $A$ er $x$ meter.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $G$.
En båt har en mast som når 290 cm over vannflaten. Se ovenfor.
b) Vil båten kunne passere under broen ved normal vannstand?
Broen hviler på to bropilarer i punktene $D$ og $F$. Ved normal vannstand er høydene $CD$ og $EF$ fra vannflaten opp til broen lik $2{,}5 \mathrm{~m}$.
c) Bestem avstanden fra $C$ til $E$.
---
## H2017 del 2 oppgave 3 — Vannmengde i flasker gjennomsnitt og standardavvik
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for 20 målinger, og tolke forskjell i standardavvik mellom to maskiner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vannmengde-i-flasker-gjennomsnitt-og-standardavvik/
### Oppgavetekst
Maskin A og maskin B fyller vann på flasker. I hver flaske skal det være 500 mL vann.
Anders måler hvor mye vann det er i 20 av flaskene fra maskin A. Nedenfor ser du resultatene.
```
510 mL 490 mL 495 mL 480 mL 520 mL
500 mL 504 mL 508 mL 501 mL 516 mL
498 mL 485 mL 499 mL 502 mL 515 mL
505 mL 497 mL 500 mL 493 mL 516 mL
```
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mL vann i disse 20 flaskene.
Anders måler også hvor mye vann det er i 20 flasker fra maskin B. Han regner ut at gjennomsnittet er det samme som for maskin A men at standardavviket er $2{,}5 \mathrm{~mL}$.
b) Hva kan vi si om de 20 flaskene fra maskin B sammenliknet med de 20 flaskene fra maskin A ut fra disse beregningene?
---
## H2017 del 2 oppgave 4 — Kaninbestand lineær og eksponentiell nedgang
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær og eksponentiell modell for populasjonsnedgang, og vurdere hvilken som er mest rimelig ut fra et tredje datapunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaninbestand-lineaer-og-eksponentiell-nedgang/
### Oppgavetekst
I dag er det 280 kaniner innenfor et avgrenset område. Anta at en sykdom brer seg blant kaninene, og at det om 20 måneder bare vil være 40 kaniner igjen i området.
a) Sett opp en modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om $x$ måneder dersom antallet avtar lineært.
b) Sett opp en modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om $x$ måneder dersom antallet avtar eksponentielt.
Anta at det om ett år vil være 96 kaniner igjen i området.
c) Vurder om det da er mest rimelig å anta at nedgangen vil være lineær eller eksponentiell.
---
## H2017 del 2 oppgave 5 — Treningstid idrettselever frekvens og histogram
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Fullføre frekvenstabell med kumulativ og relativ frekvens, tegne histogram, beregne gjennomsnitt og median for klassedelt datamateriale.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/treningstid-idrettselever-frekvens-og-histogram/
### Oppgavetekst
I en klasse på Vg2 idrettsfag er det 30 elever. Tabellen nedenfor viser hvor mye elevene trener utenom skoletiden i løpet av en uke.
| Antall minutter | Antall elever | Kumulativ frekvens | Relativ frekvens | Kumulativ relativ frekvens |
|:---------------:|:-------------:|:------------------:|:----------------:|:--------------------------:|
| $[0, 60\rangle$ | 3 | | | |
| $[60, 180\rangle$ | 6 | | | |
| $[180, 300\rangle$ | 12 | | | |
| $[300, 420\rangle$ | 6 | | | |
| $[420, 540\rangle$ | 3 | | | |
a) Tegn av tabellen i besvarelsen din, og fyll inn verdier for kumulativ frekvens, relativ frekvens og kumulativ relativ frekvens.
b) Lag et histogram som viser hvor mye elevene trener utenom skoletiden.
c) Bestem gjennomsnittet for det klassedelte datamaterialet.
d) Bestem medianen for det klassedelte datamaterialet.
---
## H2017 del 2 oppgave 6 — Serielån med termingebyr regneark og totalkostnad
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lån, Regneark, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Verifisere første terminbeløp på serielån med gebyr, lage regneark for nedbetalingsplan, beregne totalkostnad og sammenligne med alternativt lån.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/serielan-med-termingebyr-regneark-og-totalkostnad/
### Oppgavetekst
Karen lånte 90 000 kroner den 1. november 2017. Hun har fått følgende betingelser for nedbetaling av lånet:
- en rente på $0{,}4 \%$ per måned
- månedlige terminer
- et fast avdrag på 2500 kroner per termin
- termingebyr 50 kroner
a) Vis at første terminbeløp blir 2 910 kroner.
b) Lag et regneark som Karen kan bruke for å holde oversikt over lånet til det er nedbetalt. Nedenfor ser du hvordan de første radene i regnearket skal se ut.
c) Hvor mye må Karen totalt betale for dette lånet?
Like etter at Karen inngikk låneavtalen ovenfor, så hun en reklame der hun kunne ha fått følgende betingelser for nedbetaling av et lån på 90 000 kroner:
- en rente på $0{,}5 \%$ per måned
- månedlige terminer
- et fast avdrag på 2500 kroner per termin
- ingen gebyrer
d) Hvor mye måtte Karen totalt ha betalt for dette lånet?
---
## V2016 del 1 oppgave 1 — Temperaturmålinger variasjon gjennomsnitt og median
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne variasjonsbredde, gjennomsnitt og median fra tabell med seks temperaturmålinger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturmalinger-variasjon-gjennomsnitt-og-median/
### Oppgavetekst
Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars. Se tabellen nedenfor.
| Dato | Temperatur |
|:-----:|:----------:|
| 01.03 | $2\degree\mathrm{C}$ |
| 02.03 | $0\degree\mathrm{C}$ |
| 03.03 | $-4\degree\mathrm{C}$ |
| 04.03 | $-6\degree\mathrm{C}$ |
| 05.03 | $2\degree\mathrm{C}$ |
| 06.03 | $6\degree\mathrm{C}$ |
Bestem variasjonsbredden, gjennomsnittet og medianen for temperaturmålingene.
---
## V2016 del 1 oppgave 2 — Drikkevann til alle mennesker på jorda
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Store tall
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere antall mennesker med daglig vannbehov og antall dager, deretter skrive på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drikkevann-til-alle-mennesker-pa-jorda/
### Oppgavetekst
Det er ca. $7{,}5$ milliarder mennesker på jorda. Anta at hvert menneske trenger $2 \mathrm{~L}$ drikkevann hver dag.
Omtrent hvor mange liter drikkevann vil da alle menneskene på jorda til sammen trenge hver måned? Skriv svaret på standardform.
---
## V2016 del 1 oppgave 3 — Prisdifferanse mellom to butikker i prosent
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis prisforskjell mellom to butikker, der grunnlaget skifter mellom a) og b).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisdifferanse-mellom-to-butikker-i-prosent/
### Oppgavetekst
I butikk A koster en vare $150$ kroner. I butikk B koster den samme varen $120$ kroner.
a) Hvor mange prosent høyere er prisen i butikk A sammenliknet med prisen i butikk B?
b) Hvor mange prosent lavere er prisen i butikk B sammenliknet med prisen i butikk A?
---
## V2016 del 1 oppgave 4 — Aldersfordeling i blokk Z histogram og gjennomsnitt
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Tegne histogram fra frekvenstabell med ulike klassebredder og beregne gjennomsnittlig alder med midtpunktsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-i-blokk-z-histogram-og-gjennomsnitt/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen for de 200 personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.
| Alder | Frekvens |
| :----------------: | :------: |
| $[ 0, 10 \rangle$ | 40 |
| $[ 10, 20 \rangle$ | 20 |
| $[ 20, 30 \rangle$ | 60 |
| $[ 30, 50 \rangle$ | 20 |
| $[ 50, 60 \rangle$ | 20 |
| $[ 60, 80 \rangle$ | 40 |
a) Lag et histogram som viser aldersfordelingen for personene som bor i blokk Z.
b) Bestem gjennomsnittsalderen for personene som bor i blokka.
---
## V2016 del 1 oppgave 5 — Martes timelønn som telefonselger
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Likningssystem, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær funksjon for lønn, lese av stigningstall og konstantledd grafisk, og forlenge til gitt verdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/martes-timelonn-som-telefonselger/
### Oppgavetekst
Marte er telefonselger. Hun har en fast grunnlønn per time. I tillegg får hun et fast beløp for hvert produkt hun selger.
En time solgte hun 2 produkter. Hun tjente da til sammen 170 kroner.
Den neste timen solgte hun 4 produkter. Denne timen tjente hun til sammen 220 kroner.
a) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom hvor mange produkter Marte selger i løpet av en time, og hvor mye hun tjener denne timen.
b) Bruk den grafiske framstillingen til å bestemme Martes grunnlønn per time og det beløpet hun får for hvert produkt hun selger.
c) Hvor mange produkter må Marte selge i løpet av en time dersom hun skal tjene 370 kroner denne timen?
---
## V2016 del 1 oppgave 6 — Sorter tall på ulike former for standardform
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Omskrive seks tall på ulike potensformer til desimaltall og sortere i stigende rekkefølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-tall-pa-ulike-former-for-standardform/
### Oppgavetekst
Sorter tallene i stigende rekkefølge.
Sorter tallene $0{,}046 \cdot 10^{11}$, $\dfrac{46}{1\,000\,000}$, $46 \cdot 10^{-7}$, $4\,600\,000$, $4{,}6 \cdot 10^{8}$ og $0{,}46 \cdot 10^{-6}$ i stigende rekkefølge.
---
## V2016 del 1 oppgave 7 — Antall land besøkt frekvens og kumulativ frekvens
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut manglende verdier i tabell med frekvens, relativ frekvens og kumulativ frekvens ved å bruke sammenhengene mellom kolonnene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-land-besokt-frekvens-og-kumulativ-frekvens/
### Oppgavetekst
Ole har undersøkt hvor mange land hver elev i en 2P-gruppe har besøkt. Han har satt opp en tabell. Nedenfor ser du noen av tallene i tabellen.
Tegn av tabellen, gjør beregninger, og fyll inn tallene som mangler.
---
## V2016 del 1 oppgave 8 — Lekser og karakter krysstabell og sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere tre opplysninger om 26 elever i krysstabell, deretter beregne betinget og ubetinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lekser-og-karakter-krysstabell-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Det er 26 elever i en matematikkgruppe.
- 16 av elevene gjør leksene til hver time.
- 20 av elevene har karakteren 3 eller høyere i faget.
- 5 av elevene som ikke gjør leksene til hver time, har lavere karakter enn 3 i faget.
a) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Vi velger tilfeldig én elev fra gruppen.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven ikke gjør leksene til hver time og har karakteren 3 eller høyere i faget.
En dag er bare de elevene som gjør leksene til hver time, til stede. Vi velger tilfeldig én av disse elevene.
c) Bestem sannsynligheten for at eleven har lavere karakter enn 3 i faget.
---
## V2016 del 2 oppgave 1 — Sykkelhjelm sektordiagram i regneark
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk, Regneark
- **Kort beskrivelse:** Lage sektordiagram i regneark med prosentandel per sektor fra tabell over hjelmbrug ved skole.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkelhjelm-sektordiagram-i-regneark/
### Oppgavetekst
Ved en skole er det 440 elever. Elevene ble spurt om hvor ofte de bruker sykkelhjelm. Tabellen nedenfor viser resultatene.
| | |
|:------------|---:|
| Alltid | 88 |
| Nesten alltid | 176 |
| Noen ganger | 110 |
| Aldri | 22 |
| Sykler ikke | 44 |
Bruk regneark til å lage et sektordiagram som illustrerer opplysningene i tabellen ovenfor. Det skal gå klart fram av diagrammet hvor mange prosent hver sektor utgjør.
---
## V2016 del 2 oppgave 2 — Hans og Gretes turtider gjennomsnitt og standardavvik
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik fra datasett, og tolke hva standardavviket sier om spredning sammenliknet med en annen person.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hans-og-gretes-turtider-gjennomsnitt-og-standardavvik/
### Oppgavetekst
Hans og Grete går til Høgfjell hver dag. Nedenfor ser du hvor mange minutter Hans har brukt på hver tur de to siste ukene.
$$
25 \quad 30 \quad 26 \quad 24 \quad 32 \quad 25 \quad 27 \quad 30 \quad 28 \quad 31 \quad 24 \quad 35 \quad 32 \quad 33
$$
a) Bestem gjennomsnitt og standardavvik for datamaterialet.
Grete har i gjennomsnitt brukt like lang tid som Hans per tur de siste 14 dagene, men standardavviket hennes er $1{,}2$.
b) Hva kan du ut fra dette si om tidene Grete har brukt på turene, sammenliknet med tidene Hans har brukt?
---
## V2016 del 2 oppgave 3 — Solens høyde over horisonten modellert med polynom
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke en fjerdegradsfunksjon for solhøyde; finne maksimum, nullpunkt og gjennomsnittlig stigning grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/solens-hoyde-over-horisonten-modellert-med-polynom/
### Oppgavetekst
Funksjonen $B$ gitt ved
$$
B(x) = 0{,}006x^4 - 0{,}33x^3 + 5{,}7x^2 - 32{,}1x + 59{,}3 \qquad 5 \le x \le 23
$$
viser hvor mange grader $B(x)$ sola stod over horisonten $x$ timer etter midnatt i Bergen 21. juni 2015.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $B$.
b) Hvor mange grader stod sola over horisonten da den var på sitt høyeste?
c) Når stod sola 20 grader over horisonten?
d) Hvor mange grader steg sola i gjennomsnitt per time fra klokka 05.00 til klokka 12.00?
---
## V2016 del 2 oppgave 4 — Blå og hvite rektangler i figurtallmønster
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster for hvite og blå rektangler i figurtallserie, uttrykke formler for figur $n$, og løse omvendt problem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bla-og-hvite-rektangler-i-figurtallmonster/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite rektangler som vist ovenfor.
a) Skriv av tabellen nedenfor, og fyll den ut.
b) Hvor mange hvite rektangler trenger du dersom du skal lage en figur med totalt 81 rektangler?
c) Hvor mange blå rektangler trenger du dersom du skal lage en figur med totalt 1 296 rektangler?
---
## V2016 del 2 oppgave 5 — CO2-utslipp reduksjon og geometrisk vekst
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Prosentregning, Regneark, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke regneark til geometrisk nedgang med fast prosentsats, beregne total prosentreduksjon, og finne prosentsats som halverer på 5 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-utslipp-reduksjon-og-geometrisk-vekst/
### Oppgavetekst
En bedrift slapp ut $20\,000 \mathrm{~tonn}$ $\mathrm{CO_2}$ i 2015. Myndighetene krever at bedriften reduserer utslippet av $\mathrm{CO_2}$ med $8\,\%$ hvert år de neste 10 årene.
a) Bruk regneark til å lage en oversikt som viser antall tonn $\mathrm{CO_2}$ bedriften kan slippe ut hvert år de neste 10 årene.
b) Hvor mange prosent vil bedriften totalt ha redusert utslippet med i løpet av denne perioden?
En annen bedrift slapp ut $30\,000 \mathrm{~tonn}$ $\mathrm{CO_2}$ i 2015. Myndighetene krever at denne bedriften halverer utslippet i løpet av 5 år. Bedriften vil oppfylle myndighetenes krav ved å redusere utslippet av $\mathrm{CO_2}$ med en fast prosentsats hvert år framover.
c) Bestem denne prosentsatsen.
---
## V2016 del 2 oppgave 6 — Pappstykke brettes til eske og volumoptimering
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Geometri, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp volumfunksjon $V(x) = x(20-2x)(14-2x)$ fra tabell, og finne maksimalt volum grafisk med graftegner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pappstykke-brettes-til-eske-og-volumoptimering/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har et stykke papp med form som et rektangel. Rektangelet er $20 \mathrm{~cm}$ langt og $14 \mathrm{~cm}$ bredt. I hvert hjørne av rektangelet skal du klippe bort et kvadrat. De fire kvadratene skal være like store. Du skal så brette langs de stiplede linjene og lage en eske (uten lokk).
a) Gjør beregninger, tegn av, og fyll ut tabellen nedenfor.
| Lengden av hver side i kvadratene som klippes bort | Lengden av esken | Bredden av esken | Høyden av esken | Volumet av esken |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $4 \mathrm{~cm}$ | | | | $288 \mathrm{~cm^3}$ |
| $3 \mathrm{~cm}$ | | $8 \mathrm{~cm}$ | | |
| $2{,}5 \mathrm{~cm}$ | | | | |
| $x \mathrm{~cm}$ | | | | |
b) Bruk graftegner til å bestemme hvor lang hver side i kvadratene som klippes bort, må være for at volumet av esken skal bli størst mulig. Hvor stort blir volumet da?
---
## V2016 del 2 oppgave 7 — Lufttrykk og høyde over havet modeller og sammenlikning
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Regresjon, Lineære funksjoner, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og sammenlikne tre ulike modeller for lufttrykk som funksjon av høyde, og kommentere gyldighetsområde og avvik.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lufttrykk-og-hoyde-over-havet-modeller-og-sammenlikning/
### Oppgavetekst
Ved havets overflate er lufttrykket ca. $1\,000 \mathrm{~hPa}$ (hektopascal).
I denne oppgaven skal vi bruke sitater fra ulike nettsider og se på noen modeller for hvor stort lufttrykket er $x$ kilometer over havets overflate.
a) Forklar at vi ut fra sitat 1 kan sette opp en modell $f$ der $f(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x$. Tegn grafen til $f$ for $0 \le x \le 10$.
Sitat 2 gir tabellen nedenfor.
| Høyde over havoverflaten (km) | 0 | 5,5 | 11 | 16,5 |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Lufttrykk (hPa) | 1 000 | 500 | 250 | 125 |
b) Forklar at sitat 2 gir tabellen nedenfor. Bruk regresjon, og vis at opplysningene i tabellen gir en modell som er tilnærmet lik modell $f$. Gi denne modellen navnet $g$. Tegn grafen til $g$ for $0 \le x \le 10$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$.
c) Bruk sitat 3 til å bestemme en modell $h$. Tegn grafen til $h$ for $0 \le x \le 10$ i samme koordinatsystem som du har brukt tidligere i oppgaven. Kommenter siste setning i sitat 3.
d) Bruk hver av de tre modellene $f$, $g$ og $h$ til å bestemme lufttrykket 8 848 meter over havoverflaten. Sammenlikn svarene du får, med sitat 4, og kommenter.
---
## H2016 del 1 oppgave 1 — Tallene på standardform
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform
- **Kort beskrivelse:** Skrive to tall på standardform med én siffer foran komma.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallene-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Skriv tallene nedenfor på standardform
$$
26{,}3 \text{ millioner} \qquad 16{,}5 \cdot 10^{-8}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 2 — Regning med tall på standardform
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Dividere og multiplisere tall på standardform og skrive svaret som desimaltall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regning-med-tall-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret som desimaltall
$$
\frac{3{,}5 \cdot 10^{8}}{7{,}0 \cdot 10^{5} \cdot 0{,}5 \cdot 10^{6}}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 3 — Prosentandel jenter på skolen
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentandel ved $\frac{135}{135+115} \cdot 100$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentandel-jenter-pa-skolen/
### Oppgavetekst
Ved en skole er det 135 jenter og 115 gutter.
Hvor mange prosent av elevene er jenter?
---
## H2016 del 1 oppgave 4 — Prisendring opp og ned med prosent
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne sluttpriser etter to prosentvise endringer i ulik rekkefølge og avgjøre hvilken påstand som er riktig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisendring-opp-og-ned-med-prosent/
### Oppgavetekst
En vare kostet like mye i butikk A og butikk B. Så ble prisen endret.
I butikk A ble prisen først satt opp med 10 %. Senere ble prisen satt ned med 10 %.
I butikk B ble prisen først satt ned med 10 %. Senere ble prisen satt opp med 10 %.
Avgjør hvilken av de tre påstandene nedenfor som er riktig.
Påstand 1: Varen koster nå minst i butikk A.
Påstand 2: Varen koster nå minst i butikk B.
Påstand 3: Varen koster nå like mye i de to butikkene.
---
## H2016 del 1 oppgave 5 — Sannsynlighet for oddetall-produkt med to terninger
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sannsynligheten for at produktet av øyne på to terninger er et oddetall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-oddetall-produkt-med-to-terninger/
### Oppgavetekst
Pia skal kaste to vanlige terninger.
Bestem sannsynligheten for at produktet av antall øyne vil bli et oddetall.
---
## H2016 del 1 oppgave 6 — Lineær modell for dyrebestand i utvikling
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Finne lineær funksjon fra linjediagram, beregne fremtidig verdi og nullpunkt for dyrebestand.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-dyrebestand-i-utvikling/
### Oppgavetekst
Linjediagrammet ovenfor viser hvordan antall dyr av en art har avtatt innenfor et bestemt område i perioden 2010–2015.
a) Bestem en lineær funksjon som tilnærmet beskriver utviklingen.
b) Hvor mange dyr av arten vil det være i området i 2018 ifølge funksjonen fra oppgave a)?
c) Hvor mange år vil det gå før det ikke er flere dyr av arten igjen i området ifølge funksjonen fra oppgave a)?
---
## H2016 del 1 oppgave 7 — Sondres frekvenstabell med manglende tall
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Fullføre frekvenstabell med relativ og kumulativ frekvens, og finne mulige tall under skjulte verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sondres-frekvenstabell-med-manglende-tall/
### Oppgavetekst
Sondre solgte frukt og grønnsaker på torget 20 lørdager i løpet av 2016. Hver av de 20 lørdagene skrev han opp hvor mange kunder han hadde. Han laget også en tabell. Tabellen ser du nedenfor, men her mangler noen av tallene Sondre satte inn.
| Antall kunder | Frekvens | Relativ frekvens | Kumulativ frekvens |
|:---|:---:|:---:|:---:|
| $[0, 50\rangle$ | | 0,05 | |
| $[50, 100\rangle$ | | | 6 |
| $[100, 150\rangle$ | 8 | | |
| $[150, 200\rangle$ | | | 20 |
a) Tegn av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler. Gjør beregninger eller forklar hvordan du tenker.
Nedenfor ser du listen der Sondre har skrevet opp hvor mange kunder han hadde hver av de 20 lørdagene. Tre av tallene er skjult under flekker.
$$
116 \quad 100 \quad \blacksquare \quad 125 \quad 185 \quad 125 \quad 150 \quad \blacksquare \quad 60 \quad 75
$$
$$
120 \quad 50 \quad 140 \quad 175 \quad \blacksquare \quad 88 \quad 133 \quad 96 \quad 105 \quad 169
$$
b) Foreslå tre *mulige* tall som kan stå under de tre flekkene slik at de 20 verdiene ovenfor gir resultatene i tabellen.
---
## H2016 del 1 oppgave 8 — Eksponentiell modell for bilverdi
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke parametere i eksponentiell avskrivningsmodell og beregne bilverdi etter ett år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-bilverdi/
### Oppgavetekst
Siri har kjøpt bil. Hun antar at verdien av bilen $x$ år etter at hun kjøpte den, vil være gitt ved
$$
V(x) = 250\,000 \cdot 0{,}9^x
$$
a) Hva forteller tallene 250 000 og 0,9 i dette funksjonsuttrykket om verdien av Siris bil?
b) Hva vil bilens verdi være ett år etter at Siri kjøpte den?
---
## H2016 del 1 oppgave 9 — Gjennomsnitt og median fra klassedelt prøveresultat
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra klassedelt frekvenstabell og vurdere om medianen støtter en påstand om plassering i fordelingen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-median-fra-klassedelt-proveresultat/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange poeng hver av de 30 elevene i en 2P-gruppe fikk på en matematikkprøve.
| Poeng | Antall elever |
|:---:|:---:|
| $[0, 5\rangle$ | 4 |
| $[5, 10\rangle$ | 12 |
| $[10, 15\rangle$ | 10 |
| $[15, 20\rangle$ | 0 |
| $[20, 25\rangle$ | 4 |
a) Bestem gjennomsnittet for det klassedelte datamaterialet.
Per var en av elevene som hadde prøven. Han fikk 10 poeng og påstår at han var blant den beste halvdelen av elevene.
b) Kan Per bruke medianen for datamaterialet til å begrunne påstanden sin?
---
## H2016 del 1 oppgave 10 — Matche avstand-tid-grafer til bevegelsessituasjoner
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke og matche fire avstand-tid-grafer til beskrevne bevegelsessituasjoner med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/matche-avstand-tid-grafer-til-bevegelsessituasjoner/
### Oppgavetekst
Nedenfor har vi beskrevet fire ulike situasjoner.
| Situasjon | Beskrivelse |
|:---:|:---|
| 1 | Eline tar en løpetur. Hun starter hjemmefra i rolig tempo og øker så tempoet etter hvert. Etter en stund snur hun og løper raskt tilbake samme vei. |
| 2 | Eline løper hjemmefra for å rekke bussen. Etter å ha ventet noen minutter skjønner hun at hun ikke rakk bussen, og går tilbake samme vei. |
| 3 | Eline starter hjemmefra og går opp en bratt bakke. Hun tar en liten pause på toppen av bakken før hun løper tilbake samme vei. |
| 4 | Eline starter hjemmefra og padler over fjorden. I starten har hun motvind, men etter hvert avtar vinden, og farten øker. |
Nedenfor ser du grafiske framstillinger som beskriver sammenhengen mellom tid og Elines avstand hjemmefra for hver av de fire situasjonene.
Hvilken graf passer til situasjon 1?
Hvilken graf passer til situasjon 2?
Hvilken graf passer til situasjon 3?
Hvilken graf passer til situasjon 4?
Begrunn svarene dine.
---
## H2016 del 2 oppgave 1 — Sektordiagram for massemediebruk
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne vinkler og lage sektordiagram fra stolpediagramdata om tid brukt på massemedier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-for-massemediebruk/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser hvor mange minutter personer i Norge brukte på ulike massemedier en gjennomsnittsdag i 2015.
Lag et sektordiagram som viser hvor stor andel av tiden som ble brukt på hvert av de ulike massemediene.
---
## H2016 del 2 oppgave 2 — Valgtre og sannsynlighet med to kortstokker
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Tegne valgtre og bruke total sannsynlighet for å finne $P(\text{rødt kort})$ ved to bunker med ulik sammensetning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/valgtre-og-sannsynlighet-med-to-kortstokker/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har to bunker med kort. I den ene bunken er det 5 røde og 3 svarte kort. I den andre bunken er det 3 røde og 4 svarte kort.
Du skal tilfeldig velge én av bunkene og så tilfeldig trekke ett kort fra denne bunken.
a) Tegn et valgtre som illustrerer situasjonen ovenfor.
b) Bestem sannsynligheten for at du trekker et rødt kort.
---
## H2016 del 2 oppgave 3 — Potensfunksjon for etterspørsel og gjennomsnittlig vekstfart
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Etterspørsel, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Bruke potensregresjon til å verifisere modell, tegne graf, lese av verdier og beregne gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensfunksjon-for-ettersporsel-og-gjennomsnittlig-vekstfart/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser pris og antall solgte enheter av en vare.
| Pris (kroner) | 15 | 19 | 24 | 30 | 34 | 42 | 50 |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Antall solgte enheter | 160 | 132 | 108 | 90 | 79 | 67 | 58 |
a) Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}
$$
er en god modell for sammenhengen mellom pris $x$ og antall solgte enheter av varen.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $15 \leq x \leq 50$
c) Bestem antall solgte enheter når prisen er 45 kroner.
d) Bestem prisen når antall solgte enheter er 100.
e) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen $f$ fra $x = 20$ til $x = 45$. Hva forteller svaret om antall solgte enheter?
---
## H2016 del 2 oppgave 4 — Gjennomsnitt median og standardavvik for to klasser
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median og standardavvik for rå datasett og sammenligne to klassefordelinger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-median-og-standardavvik-for-to-klasser/
### Oppgavetekst
Klasse 2A har hatt matematikkprøve. De 15 elevene i klassen fikk disse poengsummene:
$$
31 \quad 8 \quad 24 \quad 9 \quad 24 \quad 14 \quad 26 \quad 13
$$
$$
26 \quad 4 \quad 13 \quad 27 \quad 12 \quad 20 \quad 28
$$
a) Bestem gjennomsnittet og medianen for poengsummene.
Påstand 1: Gjennomsnittet er 7,0 % lavere enn medianen.
Påstand 2: Medianen er 7,5 % høyere enn gjennomsnittet.
b) Avgjør om hver av påstandene ovenfor er riktige.
c) Bestem standardavviket for poengsummene.
15 elever fra klasse 2B har hatt samme prøve. I denne klassen ble gjennomsnittet for poengsummene $18{,}6$ og standardavviket $5{,}9$.
d) Hva kan du si om poengsummene i 2B sammenliknet med poengsummene i 2A?
---
## H2016 del 2 oppgave 5 — Eksponentiell modell for virkestoff i blod
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp eksponentiell modell fra to målinger og beregne kumulert konsentrasjon ved to daglige tablettdoser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-virkestoff-i-blod/
### Oppgavetekst
Når en pasient har tatt en tablett, vil virkestoffet i tabletten brytes ned i kroppen. Konsentrasjonen av virkestoffet i blodet vil avta eksponentielt med tiden.
Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen i mikrogram per milliliter ($\text{µg/mL}$) av virkestoffet i blodet 1 time etter og 24 timer etter at pasienten har tatt tabletten.
| Timer etter at pasienten har tatt tabletten | 1 | 24 |
|:---|:---:|:---:|
| Konsentrasjon av virkestoff i blodet ($\text{µg/mL}$) | $0{,}50$ | $0{,}050$ |
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en eksponentiell modell $f(x)$ for konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $x$ timer etter at pasienten har tatt en tablett.
b) Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 10 timer etter at pasienten har tatt en tablett.
En pasient begynner å ta tabletter. Han tar én tablett klokka 08.00 hver morgen og én tablett klokka 20.00 hver kveld.
c) Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 30 timer etter at pasienten tok den første tabletten.
---
## H2016 del 2 oppgave 6 — Serielån for hytte med regneark
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp dynamisk regneark for serielån med rente $2{,}5\,\%$ og fast innbetaling kr $100\,000$ per år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/serielan-for-hytte-med-regneark/
### Oppgavetekst
1. september 2016 kjøpte Monica en hytte. Hun lånte da 1 000 000 kroner av foreldrene.
De inngikk følgende avtale:
- Renten på lånet skal være 2,5 % per år.
- Tilbakebetalingen skal skje ved at Monica overfører 100 000 kroner til foreldrenes konto 1. september hvert år til lånet er nedbetalt.
- Første overføring skal skje 1. september 2017.
I denne oppgaven skal du lage et regneark som viser
- hvor mye Monica skylder foreldrene etter hver overføring fram til lånet er nedbetalt
- hvor mye Monica betaler i renter, og hvor mye hun betaler i avdrag hvert år
- hvor mye Monica totalt vil ha betalt i renter i løpet av nedbetalingstiden
Nedenfor ser du et eksempel på hvordan de første radene i regnearket kan se ut. Husk at du i størst mulig grad skal benytte formler, slik at løsningen blir dynamisk, og at formlene som er brukt, skal komme klart fram i besvarelsen din.
Lag regnearket beskrevet ovenfor.
---
## H2016 del 2 oppgave 7 — Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Telle klosser i figurtall, generalisere til uttrykk for $F_n$ og løse likning for å finne maksimal figur med 1000 klosser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-kvadratiske-klosser-og-uttrykk-for-fn/
### Oppgavetekst
Snorre lager figurer av kvadratiske klosser etter et fast mønster. Ovenfor ser du figur $F_1$, $F_2$ og $F_3$.
a) Hvor mange klosser trenger Snorre for å lage $F_4$ og for å lage $F_5$?
b) Bestem et uttrykk for antall klosser i figur $F_n$ uttrykt ved $n$.
Snorre har 1000 klosser. Han vil lage en figur som er så stor som mulig.
c) Bruk formelen fra oppgave b) til å bestemme hvor mange klosser han får til overs når han har laget figuren.
---
## V2015 del 1 oppgave 1 — Median av temperaturmålinger over en uke
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Finne ukjent verdi slik at medianen av seks målinger blir 7 °C.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-av-temperaturmalinger-over-en-uke/
### Oppgavetekst
Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet av noen dager.
| Dag | Temperatur |
|-----|-----------|
| Mandag | $4 \degree\mathrm{C}$ |
| Tirsdag | $10 \degree\mathrm{C}$ |
| Onsdag | $12 \degree\mathrm{C}$ |
| Torsdag | $5 \degree\mathrm{C}$ |
| Fredag | $6 \degree\mathrm{C}$ |
| Lørdag | |
Hva må temperaturen være på lørdag dersom medianen av målingene skal bli $7 \degree\mathrm{C}$?
---
## V2015 del 1 oppgave 2 — Prisnedsettelse og opprinnelig pris
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når ny pris og prosent nedsettelse er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisnedsettelse-og-opprinnelig-pris/
### Oppgavetekst
En vare koster i dag 240 kroner. Prisen er da satt ned med 20 %.
Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned?
---
## V2015 del 1 oppgave 3 — Forenkling av algebrauttrykk med potenser
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\frac{(6a)^2 \cdot b^2}{9a \cdot b^{-2}}$ ved potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-algebrauttrykk-med-potenser/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
\frac{(6a)^2 \cdot b^2}{9a \cdot b^{-2}}
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 4 — Sannsynlighet med bananer i ulike farger
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter ved uttak av 2 av 10 bananer (5 gule, 3 grønne, 2 brune) uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-bananer-i-ulike-farger/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har ti bananer i skapet. Fem av dem er gule, tre er grønne, og to er blitt brune.
Du tar tilfeldig to bananer.
a) Bestem sannsynligheten for at du ikke tar en brun banan.
b) Bestem sannsynligheten for at du tar én gul og én grønn banan.
c) Bestem sannsynligheten for at du tar to bananer med samme farge.
---
## V2015 del 1 oppgave 5 — Aldersfordeling for lærere med histogram og frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling, lage histogram, og utvide tabell med relativ og kumulativ frekvens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-for-laerere-med-histogram-og-frekvens/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen for lærerne ved en skole.
| Alder | Frekvens |
|-------|----------|
| $[20, 30\rangle$ | 10 |
| $[30, 40\rangle$ | 20 |
| $[40, 50\rangle$ | 30 |
| $[50, 70\rangle$ | 40 |
a) Bestem gjennomsnittsalderen for lærerne ved skolen.
b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen for lærerne.
c) Utvid tabellen med en kolonne som viser relativ frekvens, og en kolonne som viser kumulativ frekvens.
---
## V2015 del 1 oppgave 6 — Ball kastet fra balkong med andregradsfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut tabell for $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$, tegne graf, og tolke funksjonsverdiene $h(0)$ og $h(3)$ praktisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ball-kastet-fra-balkong-med-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Karl står på balkongen og kaster en ball opp i lufta. Etter $t$ sekunder er ballen tilnærmet $h(t)$ meter over bakken, der
$$
h(t) = -5t^2 + 10t + 15
$$
a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.
| $t$ | 0 | $0{,}5$ | 1 | $1{,}5$ | 2 | $2{,}5$ | 3 |
|-----|---|---------|---|---------|---|---------|---|
| $h(t)$ | | $18{,}75$ | | $18{,}75$ | | $8{,}75$ | |
b) Tegn grafen til $h$.
c) Gi en praktisk tolkning av verdiene av $h(0)$ og $h(3)$.
---
## V2015 del 1 oppgave 7 — Syklist med konstant fart og lineær modell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær modell for avstand hjemmefra som funksjon av tid, og bestemme når distansen er null.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/syklist-med-konstant-fart-og-lineaer-modell/
### Oppgavetekst
Sigurd er 30 km fra hjemmet sitt. Han sykler hjemover med en konstant fart på $12 \mathrm{~km/h}$.
Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom antall timer og antall kilometer han er hjemmefra.
Hvor lang tid tar det før han kommer hjem?
---
## V2015 del 2 oppgave 1 — Sektordiagram for fruktsal i dagligvarebutikk
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Bruke regneark til å lage sektordiagram med prosentandeler fra tabell over fruktsal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-for-fruktsal-i-dagligvarebutikk/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mye frukt en dagligvarebutikk har solgt i en periode.
| Frukt | Kilogram (kg) |
|-------|--------------|
| Banan | 210 |
| Sitrusfrukt | 172 |
| Eple | 152 |
| Drue | 72 |
| Melon | 66 |
| Pære | 56 |
| Annet | 20 |
Bruk regneark til å lage et sektordiagram som illustrerer opplysningene som er gitt i tabellen ovenfor. Det skal gå klart fram av diagrammet hvor mange prosent hver fruktsort utgjør av det totale salget.
---
## V2015 del 2 oppgave 2 — Temperaturstatistikk og råd om utearrangement
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for datasett med regneark, og bruke statistiske mål til å gi begrunnet anbefaling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturstatistikk-og-rad-om-utearrangement/
### Oppgavetekst
Tallene nedenfor viser temperaturen målt i grader celsius klokka 16 den 30. juni de siste 20 årene i by A.
$$
20 \quad 18 \quad 20 \quad 19 \quad 19 \quad 21 \quad 20 \quad 22 \quad 22 \quad 18 \quad 17 \quad 18 \quad 22 \quad 19 \quad 21 \quad 20 \quad 22 \quad 22 \quad 21 \quad 17
$$
a) Bruk regneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for datamaterialet.
Tilsvarende data er samlet inn i by B. Gjennomsnittet her er $20{,}8 \degree\mathrm{C}$, og standardavviket er $3{,}4 \degree\mathrm{C}$.
Noen planlegger et større utearrangement 30. juni neste år og er avhengige av varmt vær. Arrangementet skal finne sted enten i by A eller i by B.
b) Hvilket råd vil du gi arrangørene ut fra de oppgitte dataene?
---
## V2015 del 2 oppgave 3 — Lineær modell for antall kvinnelige studenter
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon for å modellere vekst i antall kvinnelige studenter, og lese av stigningstallet som gjennomsnittlig årlig økning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-antall-kvinnelige-studenter/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall kvinnelige studenter i Norge noen utvalgte år.
| År | 2001 | 2003 | 2005 | 2007 | 2009 | 2011 | 2013 |
|----|------|------|------|------|------|------|------|
| Antall kvinnelige studenter | 53553 | 58237 | 59562 | 63292 | 62957 | 68391 | 73332 |
La $x = 0$ svare til år 2000, $x = 1$ til år 2001, og så videre.
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær modell som viser hvordan antall kvinnelige studenter har utviklet seg i denne perioden.
b) Hvor stor har økningen i antall kvinnelige studenter vært i gjennomsnitt per år i denne perioden?
---
## V2015 del 2 oppgave 4 — Vitamintilskudd og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere forsøksdata i krysstabell, og beregne betingede sannsynligheter for vitamininntak og opplevd effekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vitamintilskudd-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har fått i oppgave å teste et nytt vitamintilskudd. Du velger tilfeldig ut 80 personer. Alle 80 tror de får vitamintabletter, men i virkeligheten får bare 60 av personene vitamintabletter, mens resten får tabletter uten vitaminer.
Etterpå svarer 50 personer at de føler seg mer opplagd. Av disse 50 er det 4 som ikke har fått vitamintabletter.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i et venndiagram eller i en krysstabell.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som har fått vitamintabletter, føler seg mer opplagt etterpå.
c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som føler seg mer opplagt etterpå, har fått vitamintabletter.
---
## V2015 del 2 oppgave 5 — Figurtall med trekanter og andregradsregresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Regresjon, Mønstre, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Utforske mønster i figurtall (trekanter), lage regneark med de 20 første, bestemme andregradsuttrykk via regresjon og bruke det til å beregne $F_{20}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-trekanter-og-andregradsregresjon/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer $F_1$, $F_2$ og $F_3$. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
Antall linjestykker i figur $F_n$ kan skrives som et andregradsuttrykk.
a) Hvor mange linjestykker vil det være i $F_4$?
b) Forklar hvordan antall linjestykker endrer seg fra figur til figur, og lag et regneark som gir en oversikt over antall linjestykker i de 20 første figurene $F_1, F_2, \ldots, F_{20}$.
c) Bruk regresjon til å bestemme dette andregradsuttrykket.
d) Bruk andregradsuttrykket du fant i oppgave c) til å bestemme hvor mange linjestykker det vil være i $F_{20}$.
---
## V2015 del 2 oppgave 6 — Forsikringsverdi og eksponentiell avskrivning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Verdifall, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare modell $F(x) = (P-2000) \cdot 0{,}9^x$, beregne utbetaling, sette opp netto-modell med forsikringspremie, og vurdere påstand om oppsigelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forsikringsverdi-og-eksponentiell-avskrivning/
### Oppgavetekst
Du skal kjøpe ny sykkel, og du vil forsikre den. Dersom sykkelen blir stjålet, må du betale 2000 kroner i egenandel på forsikringen.
Anta at sykkelen koster $P$ kroner som ny. Dersom sykkelen blir stjålet før det har gått et år, vil du få utbetalt $(P - 2000)$ kroner i erstatning fra forsikringsselskapet. Erstatningen avtar med 10 % per år.
a) Forklar at $F(x) = (P - 2000) \cdot 0{,}9^x$ er en modell for mye du får utbetalt dersom sykkelen blir stjålet etter $x$ år.
Du velger å kjøpe en sykkel som koster 10 000 kroner.
b) Hvor mye får du utbetalt dersom sykkelen blir stjålet etter 7 år?
For å forsikre sykkelen må du betale 150 kroner i forsikringspremie per år. Anta at sykkelen blir stjålet etter $x$ år.
c) Sett opp en modell som viser hvor mye du totalt sitter igjen med når du tar hensyn til det du har betalt i forsikringspremie i løpet av disse $x$ årene.
Din venn Ronny mener at du bør si opp forsikringsavtalen etter 13 år.
d) Ta utgangspunkt i modellen du fant i oppgave c) og kommenter Ronnys utsagn.
---
## V2015 del 2 oppgave 7 — Havtemperatur som tredjegradsfunksjon på Sørlandet
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf til $f(x) = -0{,}0000028x^3 + 0{,}001x^2 - 0{,}025x + 3{,}8$, lese av ekstremverdier, beregne $f(100)$ og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/havtemperatur-som-tredjegradsfunksjon-pa-sorlandet/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -0{,}0000028x^3 + 0{,}001x^2 - 0{,}025x + 3{,}8 \qquad 0 \leq x \leq 300
$$
viser temperaturen $f(x)$ grader celsius i sjøen et sted på Sørlandet $x$ dager etter 31. desember 2013.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.
b) Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur.
c) Bestem $f(100)$ og den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 100$. Hva forteller disse svarene?
---
## V2015 del 2 oppgave 8 — Volum av boks med halvsirkelender og optimering
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Volum, Optimering, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Forklare volumformel $V = (\pi(x/2)^2 + xy)h$, substituere med $y = 10-x$ og $h = 5-x$, og bruke graftegner til å maksimere $V(x)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-boks-med-halvsirkelender-og-optimering/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du skal lage en boks. Bunnen og toppen av boksen skal være satt sammen av et rektangel og to halvsirkler og ha form som vist på figuren ovenfor. Sideflaten skal stå vinkelrett på topp og bunn. Sett bredden i rektanglet lik $x \mathrm{~cm}$, lengden lik $y \mathrm{~cm}$ og høyden lik $h \mathrm{~cm}$.
a) Forklar at volumet $V$ av boksen er gitt ved
$$
V = \left(\pi \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 + x \cdot y\right) \cdot h
$$
Summen av lengden og bredden i rektanglet skal være 10 cm, og summen av bredden og høyden skal være 5 cm.
b) Forklar at $y = 10 - x$ og $h = 5 - x$, og bruk dette til å sette opp et uttrykk for volumet av boksen uttrykt med $x$.
c) Bruk graftegner til å bestemme hvor bred boksen må være for at volumet skal bli størst mulig.
---
## H2015 del 1 oppgave 1 — Prosentvis prisreduksjon og opprinnelig pris
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når varen er satt ned med 30 % og nåværende pris er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-prisreduksjon-og-opprinnelig-pris/
### Oppgavetekst
Prisen på en vare er satt ned med 30 %. I dag koster varen 280 kroner.
Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned?
---
## H2015 del 1 oppgave 2 — Standardform av produkt med potenser av ti
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Beregne $3{,}4 \cdot 10^9 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3}$ og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-av-produkt-med-potenser-av-ti/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
3{,}4 \cdot 10^9 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3}
$$
Regn ut og skriv svaret på standardform.
---
## H2015 del 1 oppgave 3 — Potensregnestykke med fire og to
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\frac{4^3 \cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}}$ ved hjelp av potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensregnestykke-med-fire-og-to/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
\frac{4^3 \cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}}
$$
Regn ut $\dfrac{4^3 \cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}}$.
---
## H2015 del 1 oppgave 4 — Leas Lotto-gevinst med rentes rente
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk $G \cdot 1{,}032^{10} = 500138$ for å finne startkapital ved gitt sluttbeløp og rente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leas-lotto-gevinst-med-rentes-rente/
### Oppgavetekst
For 10 år siden vant Lea i Lotto. Hun opprettet en konto i banken og satte inn hele gevinsten. Beløpet har stått urørt på kontoen siden. Renten har hele tiden vært $3{,}2 \,\%$ per år.
I dag har Lea 500 138 kroner på kontoen.
Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor stor gevinsten til Lea var.
---
## H2015 del 1 oppgave 5 — Antall personer rundt jordkloden ved ekvator
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Dele omkrets ($40\,000 \text{ km}$) på favnebredde ($1{,}6 \text{ m}$) etter enhetsomregning og skrive på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-personer-rundt-jordkloden-ved-ekvator/
### Oppgavetekst
Omkretsen av jordkloden ved ekvator er ca. $40\,000 \mathrm{~km}$. Tenk deg at voksne og barn står hånd i hånd og danner en ring rundt jordkloden. Hver person favner i gjennomsnitt $1{,}6 \mathrm{~m}$.
Omtrent hvor mange personer må stå hånd i hånd for å nå rundt jordkloden ved ekvator? Skriv svaret på standardform.
---
## H2015 del 1 oppgave 6 — Medianalder og gjennomsnittsalder i to bedrifter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme medianalder ved argumentasjon fra gruppert frekvensfordeling, og beregne gjennomsnitt med midtpunktsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/medianalder-og-gjennomsnittsalder-i-to-bedrifter/
### Oppgavetekst
Hver av de to bedriftene A og B har 100 ansatte. Tabellen ovenfor viser aldersfordelingen for de ansatte i bedriftene.
| Alder | Bedrift A Frekvens | Bedrift B Frekvens |
|:---|:---:|:---:|
| $[20, 40\rangle$ | 52 | 35 |
| $[40, 60\rangle$ | 36 | 45 |
| $[60, 70\rangle$ | 12 | 20 |
| Sum | 100 | 100 |
a) I hvilken bedrift er medianalderen lavest? Grunngi svaret.
b) Bestem gjennomsnittsalderen for de ansatte i bedrift B.
---
## H2015 del 1 oppgave 7 — Sannsynlighet med to jukseterninger
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet med to usymmetriske terninger ved å telle gunstige utfall i utfallsrom med ulik fordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-to-jukseterninger/
### Oppgavetekst
Sebastian har to jukseterninger. To sider på hver av terningene har seks øyne, én side har fire øyne, én side har tre øyne, én side har to øyne, og én side har ett øye.
Sebastian kaster begge terningene.
a) Bestem sannsynligheten for at han får to seksere.
b) Bestem sannsynligheten for at summen av antall øyne blir sju.
---
## H2015 del 1 oppgave 8 — Bakteriekultur med eksponentiell nedgang fra graf
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av startverdi og halvveringstid fra graf for å bestemme vekstfaktor og sette opp $B(x) = 10000 \cdot k^x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakteriekultur-med-eksponentiell-nedgang-fra-graf/
### Oppgavetekst
Lars observerer en bakteriekultur. Fra han startet observasjonene, har antall bakterier avtatt eksponentielt. Se grafen til funksjonen $B$ nedenfor.
Bestem vekstfaktoren og sett opp uttrykket for $B(x)$.
---
## H2015 del 1 oppgave 9 — Karakterfordeling i to klasser med statistikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, vurdere standardavvik, kumulativ frekvens og relativ frekvens fra søylediagram for to klasser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-i-to-klasser-med-statistikk/
### Oppgavetekst
Diagrammene nedenfor viser hvordan karakterene i klasse 1A og 1B fordelte seg ved forrige matematikkprøve.
a) Bestem gjennomsnittskarakteren i hver av de to klassene.
b) I hvilken klasse er standardavviket for karakterfordelingen størst? Grunngi svaret.
c) Bestem den kumulative frekvensen for karakteren 3 i hver av de to klassene.
d) Bestem den relative frekvensen for karakteren 6 i hver av de to klassene.
---
## H2015 del 1 oppgave 10 — Temperaturvariasjoner i varmtvannstank om morgenen
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke temperaturgraf for varmtvannstank for å telle dusjere, lese av varighet og finne oppvarmingstid ved grafisk avlesning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturvariasjoner-i-varmtvannstank-om-morgenen/
### Oppgavetekst
Hos familien Vassdal er termostaten i varmtvannstanken satt til $70\degree \mathrm{C}$. Når familien bruker varmtvann fra tanken, renner kaldt vann inn, og gjennomsnittstemperaturen på vannet i tanken avtar. Varmeelementet slår seg da automatisk på, og vannet varmes opp igjen.
Grafen nedenfor viser hvordan temperaturen i tanken varierte en morgen. Det varme vannet ble bare brukt til å dusje.
a) Hvor mange familiemedlemmer dusjet denne morgenen?
Datteren Vanda var den som brukte lengst tid i dusjen.
b) Hvor lenge dusjet hun?
Da familien forlot hjemmet klokka 7.30, var temperaturen i varmtvannstanken $58\degree \mathrm{C}$.
c) Hvor lang tid tok det før temperaturen var steget til $70\degree \mathrm{C}$ igjen?
---
## H2015 del 2 oppgave 1 — Varmekilde for husstander i ulike deler av Norge
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Presentere data fra flervariabeltabell om varmekilde i regioner som ett oversiktlig diagram i regneark.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/varmekilde-for-husstander-i-ulike-deler-av-norge/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor gir en oversikt over de viktigste varmekildene for husstander i ulike deler av Norge.
| | Oslo | Østlandet for øvrig | Sør-Norge | Vestlandet | Midt-Norge | Nord-Norge |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **Elektriske ovner** | 59,7 % | 36,6 % | 30,4 % | 32,4 % | 34,2 % | 36,5 % |
| **Varmepumpe** | 8,3 % | 18,0 % | 25,5 % | 33,2 % | 33,8 % | 27,7 % |
| **Vannbåren varme** | 7,3 % | 9,3 % | 8,1 % | 6,4 % | 4,0 % | 5,0 % |
| **Sentralvarme** | 12,6 % | 4,8 % | 3,1 % | 2,8 % | 0,4 % | 7,5 % |
| **Vedfyring** | 5,3 % | 26,8 % | 28,3 % | 19,9 % | 19,6 % | 22,0 % |
| **Annet eller vet ikke** | 6,8 % | 4,5 % | 4,6 % | 5,3 % | 8,0 % | 1,3 % |
Bruk regneark til å lage **ett** diagram der du presenterer opplysningene i tabellen på en oversiktlig måte.
---
## H2015 del 2 oppgave 2 — Babyenes vektutvikling med tredjegradsfunksjoner
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne to tredjegradsfunksjoner i GeoGebra og bruke grafisk avlesning eller CAS til å finne antall måneder til doblet fødselsvekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/babyenes-vektutvikling-med-tredjegradsfunksjoner/
### Oppgavetekst
Funksjonene $G$ og $J$ gitt ved
$$
G(x) = 0{,}0030x^3 - 0{,}088x^2 + 1{,}17x + 3{,}7 \qquad 0 \leq x \leq 12
$$
$$
J(x) = 0{,}0017x^3 - 0{,}057x^2 + 0{,}93x + 3{,}7 \qquad 0 \leq x \leq 12
$$
viser hvordan vekten til to babyer, Geir og Janne, utviklet seg det første leveåret.
Geir veier $G(x)$ kilogram, og Janne veier $J(x)$ kilogram $x$ måneder etter fødselen.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $G$ og grafen til $J$ i samme koordinatsystem.
b) Hvor mange måneder gikk det før hver av de to babyene hadde doblet fødselsvekten sin?
---
## H2015 del 2 oppgave 3 — Eksponentiell modell for elbilsalg i Hordaland
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Bestemme eksponentiell modell fra to datapunkter, beregne prosentvis vekst per år og vurdere modellens gyldighet mot diagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-elbilsalg-i-hordaland/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange nye elbiler som ble solgt i Hordaland i 2010 og 2014.
| År | 2010 | 2014 |
|:---|:---:|:---:|
| Antall nye elbiler | 26 | 2962 |
a) La $x$ være antall år etter 2010. Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en eksponentiell modell $f(x)$ for elbilsalget i Hordaland.
b) Hvor mange prosent steg elbilsalget per år i perioden fra 2010 til 2014 ifølge modellen fra oppgave a)?
Diagrammet nedenfor viser utviklingen i salget av nye elbiler i Hordaland i perioden 2010–2014.
c) Gjør beregninger og vurder om modellen fra oppgave a) er en god modell for å beskrive denne utviklingen.
---
## H2015 del 2 oppgave 4 — Middelvind under ekstremværet Nina med regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lese av og systematisere vinddata fra kart for Vestlandet og Sør-Østlandet, beregne gjennomsnitt og standardavvik i regneark, og tolke resultatet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/middelvind-under-ekstremvaeret-nina-med-regneark/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser sterkeste middelvind ulike steder i Sør-Norge under ekstremværet «Nina» i januar 2015.
Vi lar den røde streken være skillet mellom Vestlandet og Sør-Østlandet.
a) Bruk regneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for sterkeste middelvind på Vestlandet og sterkeste middelvind på Sør-Østlandet.
b) Hva forteller svarene i oppgave a) om sterkeste middelvind på Vestlandet sammenliknet med sterkeste middelvind på Sør-Østlandet?
---
## H2015 del 2 oppgave 5 — BSU-sparing over åtte år med regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Lage regneark for BSU-sparing med 25 000 kr per år og 4,7 % rente, beregne kontostand per år og total renteinntekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bsu-sparing-over-atte-ar-med-regneark/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du oppretter en BSU-konto 1. januar neste år og setter inn 25 000 kroner. Du setter inn 25 000 kroner 1. januar de neste sju årene også. Renten er $4{,}7 \, \%$ per år.
a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye du vil ha på kontoen ved slutten av **hvert år** disse åtte årene.
b) Hvor mye vil du få til sammen i renter i løpet av disse åtte årene?
---
## H2015 del 2 oppgave 6 — Kantinepreferanser og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere prosentandeler fra tekst i krysstabell eller venndiagram, og beregne betinget sannsynlighet for kjønn gitt kantinepreferanse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kantinepreferanser-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en rundspørring svarte 25 % at kantinetilbudet er viktig ved valg av arbeidsgiver. 32 % av mennene og 18 % av kvinnene som deltok i rundspørringen, svarte at god kantine er viktig.
Anta at det var like mange menn som kvinner som deltok i rundspørringen.
a) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
b) Bestem sannsynligheten for at en person som deltar i rundspørringen, er en kvinne som synes kantine er viktig.
c) Bestem sannsynligheten for at en person som svarer at kantine er viktig, er en mann.
---
## H2015 del 2 oppgave 7 — Terminbeløp ved annuitetslån med 3,5 prosent rente
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lån, Eksponentialfunksjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Verifisere terminbeløpsformel algebraisk ved innsetting, tegne $T(x)$ med graftegner, og beregne $T(20)$ for 1 000 000 kr til 3,5 % rente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terminbelop-ved-annuitetslan-med-3-5-prosent-rente/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har lånt penger i banken og vil betale tilbake lånet med termin én gang i året.
Sett
- lånesummen lik $L$ kroner
- renten lik $p$ prosent per år, slik at vekstfaktoren blir $v = 1 + \dfrac{p}{100}$
Dersom du betaler tilbake lånet i løpet av $x$ terminer, er terminbeløpet $T(x)$ kroner gitt ved
$$
T(x) = \frac{L \cdot (v-1) \cdot v^x}{v^x - 1}
$$
Du tar opp et lån på 1 000 000 kroner med rente $3{,}5 \,\%$ per år.
a) Vis at terminbeløpet er gitt ved
$$
T(x) = \frac{35000 \cdot 1{,}035^x}{1{,}035^x - 1}
$$
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $T$ for $x \geq 1$
c) Bestem terminbeløpet dersom du vil betale tilbake lånet i løpet av 20 terminer.
---
## H2015 del 2 oppgave 8 — Figurtall med svarte og hvite kvadrater
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Andregradslikninger, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster for svarte og hvite kvadrater i figurtallserie og sette opp generelle uttrykk ved $n$ inkludert andregradsledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-svarte-og-hvite-kvadrater/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du de tre første figurene i en serie som kan fortsettes. De store kvadratene er sammensatt av hvite og svarte kvadrater. Hvert av de hvite kvadratene har areal lik 1. De svarte kvadratene har areal som øker i størrelse.
a) Bestem det totale arealet av de svarte kvadratene i den neste figuren, figur 4.
b) Sett opp et uttrykk som viser det totale arealet av de svarte kvadratene i figur $n$ uttrykt ved $n$.
Antall hvite kvadrater i den nederste raden i hver figur kan uttrykkes med et andregradssuttrykk $S(n)$
c) Bestem $S(n)$
d) Sett opp et uttrykk for det totale arealet av de hvite kvadratene i figur $n$ uttrykt ved $n$.
---
## E2015 del 1 oppgave 1 — Tall på standardform fra milliarder og vitenskapelig notasjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform
- **Kort beskrivelse:** Skrive 19 milliarder og $0{,}089 \cdot 10^{-6}$ på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tall-pa-standardform-fra-milliarder-og-vitenskapelig-notasjon/
### Oppgavetekst
Skriv tallene nedenfor på standardform
a) 19 milliarder
b)
$$
0{,}089 \cdot 10^{-6}
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 2 — Prosentvis endring og vekstfaktor omregning
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut tabell med omregning mellom prosentvis endring og vekstfaktor i begge retninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-endring-og-vekstfaktor-omregning/
### Oppgavetekst
Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, og fyll inn det som mangler.
| Prosentvis endring | Vekstfaktor |
|:------------------:|:-----------:|
| + 8 % | |
| − 73 % | |
| | 0,17 |
| | 2,5 |
Fyll inn de manglende verdiene i tabellen.
---
## E2015 del 1 oppgave 3 — Potensuttrykk med negative eksponenter og røtter
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $\dfrac{3^{-2} \cdot 9^3}{27^2}$ ved å skrive om til potenser av 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-med-negative-eksponenter-og-rotter/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
\frac{3^{-2} \cdot 9^3}{27^2}
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 4 — Gjennomsnitt median og kumulativ frekvens fra fotballkamper
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme gjennomsnitt og median, og beregne og tolke kumulativ frekvens for et lite datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-median-og-kumulativ-frekvens-fra-fotballkamper/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange mål som ble scoret i fotballkampene mellom Rosenborg og Brann i Eliteserien i årene fra 2005 til 2009
$$
5 \quad 5 \quad 0 \quad 4 \quad 3 \quad 5 \quad 2 \quad 0 \quad 2 \quad 2
$$
a) Bestem gjennomsnittet og medianen for dette datamaterialet.
b) Hva er den kumulative frekvensen for to mål, og hva betyr dette?
---
## E2015 del 1 oppgave 5 — Sannsynlighet med twistbiter og ukjent antall
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet som brøk av gunstige/mulige, og gå motsatt vei: antall = sannsynlighet × total.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-twistbiter-og-ukjent-antall/
### Oppgavetekst
I en twistpose er det 30 twistbiter. Per liker 18 av disse. Vi trekker tilfeldig én twistbit fra posen.
a) Bestem sannsynligheten for at Per liker denne twistbiten.
Sannsynligheten for at Ola liker en tilfeldig valgt twistbit fra posen, er $0{,}4$.
b) Hvor mange av twistbitene i posen liker Ola?
---
## E2015 del 1 oppgave 6 — Linjeligninger med stigningstall og parallell linje
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Tegne linje med kjent skjæringspunkt og stigningstall, finne nullpunkt ved regning, og sette opp likning for parallell linje gjennom gitt punkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/linjeligninger-med-stigningstall-og-parallell-linje/
### Oppgavetekst
En rett linje skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 4)$. Linjen har stigningstall $-2$.
a) Tegn den rette linjen i et koordinatsystem, og bestem likningen for linjen.
b) Bestem ved regning hvor linjen skjærer $x$-aksen.
En annen linje går gjennom punktet $(1, 3)$ og er parallell med linjen ovenfor.
c) Bestem likningen for denne linjen.
---
## E2015 del 1 oppgave 7 — Gjennomsnittlig tid på matematikklekser fra gruppert frekvens
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling ved å bruke midtpunkt i hvert intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-tid-pa-matematikklekser-fra-gruppert-frekvens/
### Oppgavetekst
Ved en skole er det 100 elever i Vg1. En lærer har undersøkt hvor mye tid elevene bruker på matematikkleksene i løpet av en uke.
Resultatene er gitt i tabellen nedenfor.
| Antall minutter | Antall elever |
|:---------------:|:-------------:|
| $[0, 30\rangle$ | 10 |
| $[30, 60\rangle$ | 30 |
| $[60, 120\rangle$ | 50 |
| $[120, 240\rangle$| 10 |
Hvor lang tid bruker en elev i gjennomsnitt på matematikkleksene i løpet av en uke?
---
## E2015 del 1 oppgave 8 — Geometrisk vekst i whisky-tønne over tid
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk for eksponentiell nedgang $500 \cdot 0{,}98^{t}$ og beregne fordampet mengde som differanse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-vekst-i-whisky-tonne-over-tid/
### Oppgavetekst
Whisky lagres på tønner. En tønne på $500 \mathrm{~L}$ fylles opp og blir plassert på lager. Hvert år fordamper omtrent $2 \%$ av innholdet i tønnen.
a) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor mange liter whisky det vil være igjen i tønnen etter 12 år.
b) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor mange liter whisky som vil ha fordampet fra tønnen etter 20 år.
---
## E2015 del 1 oppgave 9 — Tolke svømmetur fra to grafer
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lese av og tolke to grafer som viser avstand fra start mot tid for to svømmere, og trekke slutninger om svømmeturene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolke-svommetur-fra-to-grafer/
### Oppgavetekst
Kine og Mina har deltatt i en svømmekonkurranse. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av svømmeturen til Kine (blå graf) og svømmeturen til Mina (rød graf).
Hva kan du si om de to svømmeturene ut fra grafene?
---
## E2015 del 1 oppgave 10 — Fahrenheit og Celsius omregning med lineær modell
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Avlese verdier fra gradestokk, plotte punkter i koordinatsystem, tegne lineær modell og lese av temperaturverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fahrenheit-og-celsius-omregning-med-lineaer-modell/
### Oppgavetekst
Stig har fått en kakeoppskrift fra tante Mathilde i Amerika. I oppskriften står det at kaken skal stekes på $350 \, {}^\circ\text{F}$. Han lurer på hvor mange grader celsius dette tilsvarer.
Stig har en gradestokk utenfor kjøkkenvinduet som viser både celsiusgrader og fahrenheitgrader.
a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk gradestokken til høyre, og fyll ut tabellen.
| ${}^\circ\text{F}$ | 0 | | 100 |
|:------------------:|:-:|:--:|:---:|
| ${}^\circ\text{C}$ | | 10 | |
b) Tegn et koordinatsystem med grader fahrenheit langs $x$-aksen og grader celsius langs $y$-aksen. Marker verdiene fra tabellen i a) som punkter i koordinatsystemet.
c) Tegn en rett linje som går gjennom punktene. Bruk linjen til å finne ut hvor mange grader celsius Stig skal steke kaken på.
---
## E2015 del 2 oppgave 1 — Lineær regresjon for Snorres vekst som nyfødt
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon på vekt-data, bruke modellen til å beregne tidspunkt for gitt vekt og drøfte modellens gyldighet utenfor dataområdet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-regresjon-for-snorres-vekst-som-nyfodt/
### Oppgavetekst
Snorre veide $3{,}1 \mathrm{~kg}$ da han ble født. Tabellen nedenfor viser vekten hans, $y \mathrm{~kg}$, $x$ dager etter fødselen.
| Alder, $x$ dager | 0 | 8 | 22 | 35 | 51 |
|:-----------------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Vekt, $y$ kg | 3,1 | 3,3 | 4,1 | 4,7 | 5,5 |
a) Bruk regresjon til å bestemme en lineær modell for Snorres vekt ut fra datamaterialet i tabellen ovenfor.
b) Hvor lang tid vil det gå før Snorre veier $7{,}0 \mathrm{~kg}$ ut fra modellen i oppgave a)?
En ettåring veier normalt mellom $8{,}0 \mathrm{~kg}$ og $12{,}0 \mathrm{~kg}$.
c) Bruk modellen du fant i oppgave a) til å bestemme Snorres vekt etter 365 dager. Kommenter resultatet.
---
## E2015 del 2 oppgave 2 — Karakterfordeling i to klasser med regneark
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lage grafisk framstilling og beregne gjennomsnitt, median og standardavvik for to klasser med regneark, og tolke svarene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-i-to-klasser-med-regneark/
### Oppgavetekst
Våren 2012 var klasse 2A og klasse 2B på en skole oppe til eksamen i matematikk 2P. Tabellen nedenfor viser hvordan karakterene fordelte seg i de to klassene.
| Karakter | Klasse 2A (Frekvens) | Klasse 2B (Frekvens) |
|:--------:|:--------------------:|:--------------------:|
| 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 3 | 3 | 6 |
| 4 | 5 | 8 |
| 5 | 4 | 6 |
| 6 | 4 | 0 |
| **Sum** | **20** | **20** |
a) Bruk regneark til å lage en grafisk framstilling som viser karakterfordelingen i de to klassene.
b) Bruk regneark til å bestemme gjennomsnittskarakter, mediankarakter og standardavvik for karakterene i hver av de to klassene. Hva forteller svarene om resultatene i de to klassene?
---
## E2015 del 2 oppgave 3 — Krysstabell og betinget sannsynlighet for mopedkjørere
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere opplysninger om jenter/gutter og moped i krysstabell eller venndiagram, og beregne betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/krysstabell-og-betinget-sannsynlighet-for-mopedkjorere/
### Oppgavetekst
I klasse 1B er det 12 jenter og 15 gutter. 8 av jentene og 9 av guttene kjører moped til skolen.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Vi trekker tilfeldig én av elevene som kjører moped.
b) Bestem sannsynligheten for at denne eleven er en gutt.
---
## E2015 del 2 oppgave 4 — Overskuddsfunksjon maksimum og nullpunkter med graftegner
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Optimering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Bruke graftegner til å finne toppunkt og nullpunkter for $O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskuddsfunksjon-maksimum-og-nullpunkter-med-graftegner/
### Oppgavetekst
Dersom en bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare, er overskuddet $O(x)$ kroner gitt ved
$$
O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000
$$
a) Bruk graftegner til å bestemme hvor mange enheter bedriften må produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig. Hvor stort er overskuddet da?
b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for ikke å gå med underskudd?
---
## E2015 del 2 oppgave 5 — Figurtall med klosser etter fast mønster
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Utvide mønster til $m_4$, telle klosser for $m_5$ og $m_6$, og generalisere formel for $m_n$ som brukes til å beregne $m_{20}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-klosser-etter-fast-monster/
### Oppgavetekst
Sondre lager figurer med klosser etter et fast mønster. Ovenfor ser du $m_1$, $m_2$ og $m_3$.
a) Følg samme mønster, og tegn $m_4$. Hvor mange klosser trenger Sondre for å lage $m_5$ og for å lage $m_6$?
b) Sett opp en modell som viser hvor mange klosser Sondre trenger for å lage $m_n$, uttrykt ved $n$. Bruk modellen til å bestemme hvor mange klosser han trenger for å lage $m_{20}$.
---
## E2015 del 2 oppgave 6 — Maksimalt areal for inngjerdet rektangel delt i tre
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Optimering, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Vise at $A(x) = -2x^2 + 250x$ fra gjerderestriksjonen $4x + 2y = 500$, og bruke graftegner til å finne maksimalt areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maksimalt-areal-for-inngjerdet-rektangel-delt-i-tre/
### Oppgavetekst
En bonde har 500 m gjerde. Han skal lage et rektangulært område som han skal dele i tre like store deler. Vi setter bredden i rektanglet lik $x$ og lengden lik $y$. Se figuren ovenfor.
a) Vis at arealet av området er gitt ved
$$
A(x) = -2x^2 + 250x
$$
b) Bruk graftegner til å bestemme $x$ slik at arealet av området blir størst mulig. Hvor stort er arealet da?
---
## E2015 del 2 oppgave 7 — Eksponentiell nedgang av antibiotika i kroppen
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Beregne mengde antibiotika etter geometrisk nedgang med 11 % per time, akkumulere ved gjentatt dosering, og skissere graf over ett døgn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-nedgang-av-antibiotika-i-kroppen/
### Oppgavetekst
Vibeke har fått en bakterieinfeksjon og tar tabletter med antibiotika. En tablett inneholder $220 \mathrm{~mg}$ antibiotika. Antall milligram antibiotika i kroppen reduseres med $11 \%$ hver time.
a) Vibeke tar én tablett. Hvor mange milligram antibiotika er det igjen i kroppen hennes etter én time, og hvor mange milligram antibiotika er det igjen i kroppen hennes etter åtte timer?
Vibeke tar en tablett hver åttende time.
b) Hvor mange milligram antibiotika har hun i kroppen rett etter at hun har tatt sin andre tablett, og hvor mange milligram antibiotika har hun i kroppen rett etter at hun har tatt sin tredje tablett?
c) Skisser grafen som viser hvor mange milligram antibiotika Vibeke til enhver tid har i kroppen det første døgnet etter at hun begynte å ta tablettene.
---
## V2014 del 1 oppgave 1 — Gjennomsnitt og median for snegler i hagen
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og median for et datasett med 10 verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-median-for-snegler-i-hagen/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene.
$$
10 \quad 5 \quad 22 \quad 28 \quad 2 \quad 8 \quad 50 \quad 15 \quad 40 \quad 10
$$
Bestem gjennomsnittet og medianen for dette datamaterialet.
---
## V2014 del 1 oppgave 2 — Sortere potenser og brøker etter stigende verdi
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Standardform
- **Kort beskrivelse:** Beregne og sammenligne verdiene til fire uttrykk med negative eksponenter og brøker, deretter sortere stigende.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sortere-potenser-og-broker-etter-stigende-verdi/
### Oppgavetekst
Sorter uttrykkene nedenfor etter stigende verdi. Vis eller forklar hvordan du har tenkt.
$$
6 \cdot 2^{-3} \qquad \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \qquad \left(\frac{1}{4}\right)^{0} \qquad \frac{0{,}0016}{2 \cdot 10^{-3}}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 3 — M&M-sjokolader per innbygger på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Store tall
- **Kort beskrivelse:** Dele antall sjokolader på antall innbyggere og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/m-m-sjokolader-per-innbygger-pa-standardform/
### Oppgavetekst
I Norge er det ca. 5 millioner innbyggere. Hvert år produseres omtrent 150 milliarder M&M-sjokolader i verden. Tenk deg at disse sjokoladene ble delt likt mellom innbyggerne i Norge.
Omtrent hvor mange M&M-sjokolader ville hver innbygger ha fått? Skriv svaret på standardform.
---
## V2014 del 1 oppgave 4 — Forenkle algebrauttrykk med potensregler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\frac{(2a)^4 \cdot 2^{-1}}{8a^2}$ ved å bruke potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-algebrauttrykk-med-potensregler/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
\frac{(2a)^4 \cdot 2^{-1}}{8a^2}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 5 — Gjennomsnittlig poengsum i pilkastkonkurranse
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvenstabell ved å bruke midtpunkter for hvert intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-poengsum-i-pilkastkonkurranse/
### Oppgavetekst
I tabellen nedenfor ser du resultatene fra en pilkastkonkurranse.
| Poeng | Antall spillere |
|:---:|:---:|
| $[0, 40\rangle$ | 60 |
| $[40, 80\rangle$ | 20 |
| $[80, 120\rangle$ | 16 |
| $[120, 180\rangle$ | 4 |
Bestem den gjennomsnittlige poengsummen for spillerne.
---
## V2014 del 1 oppgave 6 — Whisky fordamper med geometrisk vekst
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Eksponentialfunksjon, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk for eksponentiell nedgang (2 % per år) og forklare feil i additiv beregning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/whisky-fordamper-med-geometrisk-vekst/
### Oppgavetekst
Whisky lagres på tønner. En tønne på $500 \mathrm{~L}$ fylles opp og blir plassert på lager. Hvert år fordamper omtrent 2 % av innholdet i tønnen.
a) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor mange liter whisky det vil være igjen i tønnen etter 12 år.
b) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor mange liter whisky som vil ha fordampet fra tønnen etter 20 år.
En tønne har vært lagret i 25 år.
c) John påstår at halvparten av innholdet har fordampet, og at denne tønnen derfor nå inneholder 250 L. Dette begrunner han med at $25 \cdot 2\% = 50\%$
Forklar John hvorfor dette ikke er riktig.
---
## V2014 del 1 oppgave 7 — Lufttrykk i sykkeldekk i bar og psi
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Proporsjonalitet, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne proporsjonal linje gjennom to punkter (bar, psi) og bruke linjen til å konvertere trykkverdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lufttrykk-i-sykkeldekk-i-bar-og-psi/
### Oppgavetekst
Lufttrykk kan måles i bar eller psi. Lasse har en racersykkel der det anbefalte lufttrykket i dekkene er oppgitt både i bar og i psi. Se bildet ovenfor.
a) Tegn et koordinatsystem med lufttrykk målt i psi langs $x$-aksen og lufttrykk målt i bar langs $y$-aksen. Marker verdiene fra dekket på bildet som punkter i koordinatsystemet, og tegn en rett linje gjennom punktene.
Lasse har kjøpt ny terrengsykkel. På dekkene står det at lufttrykket bør være mellom 35 og 65 psi. Han lurer på hva dette tilsvarer målt i bar.
b) Bruk linjen i oppgave a) til å finne ut hvor høyt lufttrykk målt i bar Lasse bør bruke i dekkene på terrengsykkelen.
---
## V2014 del 1 oppgave 8 — Tolke avstand-tid-graf for sykkelturen til Synnøve
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lese av og tolke en stykkevis lineær avstand-tid-graf med tre segmenter (fart, pause, ny fart).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolke-avstand-tid-graf-for-sykkelturen-til-synnove/
### Oppgavetekst
På fredag syklet Synnøve til skolen. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av sykkelturen.
Hva kan du si om sykkelturen ut fra grafen?
---
## V2014 del 1 oppgave 9 — Sannsynlighet i filmklubb med venndiagram
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere overlappende mengder i krysstabell/venndiagram og beregne betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-i-filmklubb-med-venndiagram/
### Oppgavetekst
En filmklubb har 40 medlemmer. Halvparten av medlemmene har sett filmen «Gåten Ragnarok», mens 15 av medlemmene har sett filmen «Tusen ganger god natt». 14 av medlemmene har ikke sett noen av de to filmene.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Vi velger ut et tilfeldig medlem av filmklubben.
b) Bestem sannsynligheten for at medlemmet har sett minst én av de to filmene.
c) Bestem sannsynligheten for at et medlem som har sett «Tusen ganger god natt», også har sett «Gåten Ragnarok».
---
## V2014 del 2 oppgave 1 — Fremmedspråk på 8. trinn diagram og andeler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lage søylediagram og linjediagram fra tabelldata, og estimere totalt antall elever ut fra andeler og absolutte tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fremmedsprak-pa-8-trinn-diagram-og-andeler/
### Oppgavetekst
| Fremmedspråk | Antall gutter | Antall jenter |
|---|:---:|:---:|
| Tysk | 9 165 | 7 467 |
| Fransk | 3 729 | 5 515 |
| Spansk | 10 385 | 11 619 |
Tabell 1 viser hvor mange elever i Norge som valgte fremmedspråkene tysk, fransk og spansk på 8. trinn skoleåret 2012/2013.
a) Lag et passende diagram som illustrerer opplysningene gitt i tabell 1.
| Skoleår | Andel elever med tysk | Andel elever med fransk | Andel elever med spansk |
|---|:---:|:---:|:---:|
| 2002/2003 | 38,9 % | 21,5 % | 2,0 % |
| 2004/2005 | 33,6 % | 20,4 % | 6,3 % |
| 2006/2007 | 27,3 % | 17,1 % | 32,6 % |
| 2008/2009 | 26,5 % | 13,7 % | 33,1 % |
| 2010/2011 | 25,5 % | 15,5 % | 32,1 % |
| 2012/2013 | 26,4 % | 14,7 % | 34,9 % |
Tabell 2 viser andelen elever på 8. trinn som valgte tysk, andelen som valgte fransk, og andelen som valgte spansk som fremmedspråk noen skoleår i perioden 2002–2013.
b) Lag et kurvediagram (linjediagram) som illustrerer opplysningene gitt i tabell 2.
c) Omtrent hvor mange elever var det på 8. trinn skoleåret 2012/2013?
---
## V2014 del 2 oppgave 2 — Boligpris per kvadratmeter i Stavanger lineær regresjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon på boligprisdata, ekstrapolere til gitt pris, og beregne årlig vekstfaktor fra prosentvis totaløkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boligpris-per-kvadratmeter-i-stavanger-lineaer-regresjon/
### Oppgavetekst
| År | 2002 | 2004 | 2006 | 2008 | 2010 | 2012 |
|---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Gjennomsnittspris per kvadratmeter (kroner) | 12 478 | 14 769 | 20 084 | 25 977 | 28 247 | 33 454 |
Tabellen ovenfor viser gjennomsnittspris per kvadratmeter for eneboliger i Stavanger noen år i perioden 2002–2012.
a) La $x$ være antall år etter 2002, og bestem den lineære modellen som passer best med de oppgitte verdiene.
b) Når vil gjennomsnittsprisen for en enebolig i Stavanger på 200 m² passere 10 millioner kroner dersom prisutviklingen fortsetter?
En eiendomsmegler antok i 2012 at prisen på eneboliger i Stavanger ville øke med 20 % i perioden 2012–2015.
c) Hvor stor prosentvis økning tilsvarer dette per år?
---
## V2014 del 2 oppgave 3 — Befolkningsvekst i Alvfjord med eksponentialfunksjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Geometrisk vekst
- **Kort beskrivelse:** Forklare eksponentialmodell $A(x) = 5000 \cdot 1{,}04^x$, tegne grafen og beregne $A(10)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/befolkningsvekst-i-alvfjord-med-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Bygda Alvfjord har i dag 5000 innbyggere. Man regner med at innbyggertallet vil øke med 4 % hvert år.
a) Forklar at funksjonen $A$ gitt ved $A(x) = 5000 \cdot 1{,}04^x$ kan brukes som modell for antall innbyggere i Alvfjord om $x$ år.
b) Tegn grafen til $A$ for $0 \leq x \leq 30$
c) Hvor mange innbyggere vil det være i Alvfjord om 10 år ifølge modellen i oppgave a)?
---
## V2014 del 2 oppgave 4 — Maksimalt areal av gjerdet område langs mur
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp arealmodell $A(x)$ for rektangel med gitt total gjerdelengde og eksisterende mur, og maksimere arealet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maksimalt-areal-av-gjerdet-omrade-langs-mur/
### Oppgavetekst
Ola har 120 m gjerde. Han skal gjerde inn et område. Området skal ha form som et rektangel med lengde $x$ meter og bredde $y$ meter der $y > 20$. Langs den ene siden av området står det en mur. Muren er 20 m lang. Ola trenger ikke gjerde langs muren. Se skissen ovenfor.
a) Bestem en modell som viser sammenhengen mellom lengden $x$ og arealet $A(x)$ av området.
b) Bestem $x$ slik at arealet av området blir størst mulig.
Hvor stort blir området da?
---
## V2014 del 2 oppgave 5 — Sannsynlighet for bunad med binomisk fordeling
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregne $P(X=0)$ og $P(X=1)$ for binomisk fordeling $B(3;\, 0{,}09)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-bunad-med-binomisk-fordeling/
### Oppgavetekst
En undersøkelse viser at 9 % av norske menn bruker bunad på nasjonaldagen. Vi velger tilfeldig ut tre norske menn.
a) Hva er sannsynligheten for at ingen av dem bruker bunad på nasjonaldagen?
b) Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én av dem bruker bunad på nasjonaldagen?
---
## V2014 del 2 oppgave 6 — Izabela Duda håndball gjennomsnitt og kumulativ frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik fra rådata, sammenligne to spillere, og lese av kumulativ frekvenstabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/izabela-duda-handball-gjennomsnitt-og-kumulativ-frekvens/
### Oppgavetekst
Izabela Duda fra Oppsal ble toppskårer i Eliteserien i håndball for kvinner i sesongen 2012/2013. Nedenfor ser du hvor mange mål hun skåret i hver av de 22 kampene.
$$
6 \quad 1 \quad 4 \quad 8 \quad 8 \quad 17 \quad 7 \quad 12 \quad 1 \quad 8 \quad 4
$$
$$
7 \quad 10 \quad 13 \quad 14 \quad 7 \quad 9 \quad 7 \quad 11 \quad 12 \quad 7 \quad 4
$$
a) Hvor mange mål skåret hun i gjennomsnitt per kamp?
En annen spiller skåret i gjennomsnitt 5 mål per kamp i de 22 kampene. Standardavviket hennes for antall mål per kamp var 2,5.
b) Sammenlikn denne spillerens prestasjoner med Izabela Dudas.
Izabela Duda skåret noen av målene på straffekast. Tabellen viser kumulativ frekvens for antall mål hun skåret på straffekast i løpet av de 22 kampene.
| Antall mål på straffekast | Kumulativ frekvens |
|:---:|:---:|
| 0 | 8 |
| 1 | 14 |
| 2 | 17 |
| 3 | 21 |
| 4 | 22 |
c) I hvor mange kamper skåret hun tre mål på straffekast?
Hvor mange mål skåret hun på straffekast i løpet av de 22 kampene?
---
## V2014 del 2 oppgave 7 — Theas sjokoladefigurer figurtall og generell formel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Rekker, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Finne rekursivt mønster i figurtall, uttrykke $F_n$ generelt og løse ulikheten $F_n \leq 5000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/theas-sjokoladefigurer-figurtall-og-generell-formel/
### Oppgavetekst
Thea lager figurer av små sjokolader. Figurene ovenfor har hun kalt $F_2$, $F_3$ og $F_4$.
a) Hvor mange små sjokolader vil det være i figuren $F_5$?
Thea vil sette opp en modell som viser hvor mange små sjokolader hun trenger for å lage enda større figurer. Hun får en god idé og lager figuren $F_4$ på nytt.
Hun regner nå ut at antall små sjokolader i figuren $F_4$ er $3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 37$.
b) Vis hvordan Thea kan bestemme antall små sjokolader i $F_3$ og $F_5$ ved å regne på samme måte.
c) Hvor mange små sjokolader trenger hun for å lage figuren $F_{10}$?
Sett opp en modell som Thea kan bruke for å bestemme antall små sjokolader i figuren $F_n$ uttrykt ved $n$.
d) Hva er den største figuren $F_n$ Thea kan lage dersom hun har 5000 små sjokolader?
---
## H2014 del 1 oppgave 1 — Brøk med store tall på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne brøk med store og små tall og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brok-med-store-tall-pa-standardform/
### Oppgavetekst
$$
\frac{0{,}0003 \cdot 500\,000\,000}{0{,}002}
$$
Regn ut og skriv svaret på standardform.
---
## H2014 del 1 oppgave 2 — Opprinnelig pris etter prisøkning på 25 prosent
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris ved å dele ny pris på vekstfaktoren 1,25.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/opprinnelig-pris-etter-prisokning-pa-25-prosent/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare er satt opp med 25 %. Nå koster varen 250 kroner.
Hva kostet varen før prisen ble satt opp?
---
## H2014 del 1 oppgave 3 — Trekker to elever fra klasse med kinogjengere
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet for nøyaktig 1 «suksess» ved uttrekk av 2 fra 12 (4 kinogjengere).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekker-to-elever-fra-klasse-med-kinogjengere/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 12 elever. 4 av elevene har vært på kino i løpet av den siste måneden.
Vi trekker tilfeldig to elever fra klassen.
Bestem sannsynligheten for at nøyaktig én av elevene har vært på kino i løpet av den siste måneden.
---
## H2014 del 1 oppgave 4 — Regneuttrykk med potenser og negative eksponenter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne uttrykk med potenser, nulleksponent og negativ eksponent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regneuttrykk-med-potenser-og-negative-eksponenter/
### Oppgavetekst
$$
\frac{2^3 \cdot 2^0}{2} - 8 \cdot 2^{-2}
$$
Regn ut.
---
## H2014 del 1 oppgave 5 — Lineær og eksponentiell modell for elevtall ved to skoler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær modell fra to datapunkter, bruke den til å beregne fremtidig verdi, og tolke en gitt eksponentialfunksjon uten beregning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-for-elevtall-ved-to-skoler/
### Oppgavetekst
I 2014 er det 350 elever ved en skole. Anta at det vil være 275 elever ved skolen i 2029, og at antall elever avtar lineært i denne perioden.
a) Bestem en modell som viser hvor mange elever $A(x)$ det vil være ved skolen $x$ år etter 2014.
b) Hvor mange elever vil det være ved skolen i 2024 ifølge modellen i oppgave a)?
Ved en annen skole antar ledelsen at funksjonen $B$ gitt ved
$$
B(x) = 200 \cdot 1{,}03^x
$$
kan brukes som modell for antall elever ved skolen $x$ år etter 2014.
c) Hva kan du si, uten å gjøre beregninger, om antall elever ved denne skolen ut fra modellen?
---
## H2014 del 1 oppgave 6 — Mobilapplikasjon med geometrisk vekst
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk for geometrisk vekst — antall nedlastinger ved gitt tidspunkt og sum over flere måneder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mobilapplikasjon-med-geometrisk-vekst/
### Oppgavetekst
I september 2014 ble en mobilapplikasjon lastet ned 1500 ganger. Antall nedlastinger har økt med 8 % per måned det siste året, og vi antar at denne utviklingen vil fortsette.
a) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å bestemme hvor mange ganger mobilapplikasjonen vil bli lastet ned i desember 2014.
b) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å bestemme hvor mange ganger mobilapplikasjonen til sammen ble lastet ned i juli, august, september og oktober 2014.
---
## H2014 del 1 oppgave 7 — Histogram over aldersfordeling på kinoforestilling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lese og tolke frekvenstabell-histogram (frekvens/klassebredde), forklare frekvens, beregne prosentandel og gjennomsnitt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/histogram-over-aldersfordeling-pa-kinoforestilling/
### Oppgavetekst
Histogrammet ovenfor viser aldersfordelingen blant de besøkende på en kinoforestilling.
a) Forklar at det var 30 besøkende mellom 30 og 50 år.
b) Hvor mange prosent av de besøkende var mellom 0 og 10 år?
c) Bestem gjennomsnittsalderen blant de besøkende.
---
## H2014 del 1 oppgave 8 — Padletur til Torsøy og tilbake med grafavlesning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tolke avstand-tid-grafer for to padlere — lese av tidspunkt, opphold og fart fra stykkvise lineære grafer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/padletur-til-torsoy-og-tilbake-med-grafavlesning/
### Oppgavetekst
Torbjørn og Tore padler fra Flekkefjord til Torsøy. Der går de i land og tar en pause før de padler tilbake. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av padleturen til Torbjørn (blå graf) og padleturen til Tore (rød graf).
a) Hvem kommer først til Torsøy?
Hvor lenge er hver av de to guttene på Torsøy?
b) Hvor fort padler Tore på vei ut til Torsøy?
c) Hva kan du si om hjemturen ut fra grafene ovenfor?
---
## H2014 del 1 oppgave 9 — Ishockey-statistikk med gjennomsnitt og frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median, kumulativ frekvens og relativ frekvens fra frekvenstabell, og tolke svarene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ishockey-statistikk-med-gjennomsnitt-og-frekvens/
### Oppgavetekst
Oda spiller ishockey. Tabellen nedenfor viser hvor mange mål hun skåret per kamp i løpet av forrige sesong.
| Antall mål per kamp | Frekvens |
|:-------------------:|:--------:|
| 0 | 2 |
| 1 | 6 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 1 |
a) Bestem gjennomsnittet og medianen.
b) Bestem den kumulative frekvensen for to mål per kamp.
c) Bestem den relative frekvensen for tre mål per kamp.
d) Forklar hva svarene i b) og c) forteller om antall mål Oda skåret denne sesongen.
---
## H2014 del 2 oppgave 1 — Spydkast med gjennomsnitt og standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for seks kastlengder, og sammenligne spredning for to utøvere.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/spydkast-med-gjennomsnitt-og-standardavvik/
### Oppgavetekst
I kroppsøvingstimen kastet Svein spyd seks ganger. Nedenfor ser du hvor langt han kastet i hvert av de seks kastene.
$23{,}5 \mathrm{~m}$   $26{,}1 \mathrm{~m}$   $18{,}4 \mathrm{~m}$   $22{,}8 \mathrm{~m}$   $25{,}1 \mathrm{~m}$   $20{,}3 \mathrm{~m}$
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket.
Kjell kastet også spyd seks ganger. Standardavviket for kastene til Kjell var $3{,}2 \mathrm{~m}$.
b) Hva kan du ut fra dette si om kastene til Kjell sammenliknet med kastene til Svein?
---
## H2014 del 2 oppgave 2 — Giftkonsentrasjon i innsjø etter tankbilulykke
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke eksponentialfunksjon for giftkonsentrasjon — startverdi, prosentvis nedgang per døgn, gjennomsnittlig avtak per uke og finne tidspunkt der konsentrasjonen er under grenseverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/giftkonsentrasjon-i-innsjo-etter-tankbilulykke/
### Oppgavetekst
En tankbil med gift har vært innblandet i en ulykke. Noe av giften har havnet i en innsjø. Innsjøen brukes som drikkevannskilde.
Giftkonsentrasjonen $f(x)$ mg/L i drikkevannet $x$ døgn etter ulykken er gitt ved
$$
f(x) = 1{,}42 \cdot 0{,}87^x
$$
a) Bestem giftkonsentrasjonen i drikkevannet rett etter ulykken.
Hvor mange prosent avtar giftkonsentrasjonen i drikkevannet per døgn?
b) Hvor mye avtok giftkonsentrasjonen i drikkevannet i gjennomsnitt per døgn den første uken etter ulykken?
Når giftkonsentrasjonen kommer under $0{,}40 \mathrm{~mg/L}$, er det ikke lenger farlig å drikke vannet.
c) Hvor mange døgn tar det før vannet igjen kan drikkes?
---
## H2014 del 2 oppgave 3 — Sparekonto ved konfirmasjon med rentes rente
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Sparing, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Beregne kontoverdi og prosentvis økning etter rentes rente i 10 år, og sammenligne to ulike innskuddsstrategier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-ved-konfirmasjon-med-rentes-rente/
### Oppgavetekst
Da Mads og Malin ble konfirmert, opprettet de hver sin konto i banken. Begge satte inn 25 000 kroner. Renten er 2,25 % per år.
a) Hvor mye vil Mads ha på kontoen 10 år etter konfirmasjonen dersom han lar pengene stå urørt?
Hvor mange prosent har beløpet på kontoen hans til sammen økt i denne perioden?
Malin lar pengene stå urørt i 5 år. Så setter hun inn 25 000 kroner til på kontoen sin.
b) Hvor mye vil Malin ha på kontoen 10 år etter konfirmasjonen?
---
## H2014 del 2 oppgave 4 — Perlefigurer med mønster og formel for Fn
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Tegne neste figur i mønster, sette opp algebraisk formel for antall perler i $F_n$ og bruke den til å beregne $F_{50}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/perlefigurer-med-monster-og-formel-for-fn/
### Oppgavetekst
Ole lager figurer av runde perler. Ovenfor ser du tre figurer, $F_1$, $F_2$ og $F_3$.
a) Følg samme mønster, og tegn figuren $F_4$.
b) Sett opp en modell som viser hvor mange perler det vil være i figur $F_n$ uttrykt ved $n$.
c) Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler det vil være i figuren $F_{50}$.
---
## H2014 del 2 oppgave 5 — Fuglebur av hønsenetting langs mur – optimalt volum
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Volum, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bevise overflateformel og høydeformel for rektangulært prisme langs mur, og maksimere volumet $V(x) = 4x^2 h(x)$ ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fuglebur-av-honsenetting-langs-mur-optimalt-volum/
### Oppgavetekst
Du skal lage et fuglebur av hønsenetting. Buret skal ha form som et rett, firkantet prisme. Buret skal bygges langs en mur slik at muren utgjør den ene veggen. Buret skal stå på bakken og trenger ikke bunn.
Sett bredden av buret lik $x$ meter og høyden lik $h$ meter. Buret skal være fire ganger så langt som det er bredt. Se skissen ovenfor.
a) Vis at overflaten $O(x) \mathrm{~m^2}$ som skal lages av hønsenetting, er gitt ved
$$
O(x) = 4x^2 + 6hx
$$
Du skal bruke $40 \mathrm{~m^2}$ hønsenetting.
b) Vis at høyden $h$ meter av buret da er gitt ved
$$
h = \frac{40 - 4x^2}{6x}
$$
c) Hvordan må du lage buret for at volumet skal bli størst mulig?
---
## H2014 del 2 oppgave 6 — Melkeforbruk i Norge med lineær og andregradsfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Andregradsfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lineær og andregradsfunksjon fra regresjon på søylediagram-data, tegne grafene, og bruke begge modellene til å beregne fremtidig forbruk og endring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/melkeforbruk-i-norge-med-lineaer-og-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser hvor mange liter melk hver person i Norge drakk i gjennomsnitt hvert år i perioden 2007–2013.
Sett $x = 0$ i 2007, $x = 1$ i 2008 og så videre.
a) Bruk opplysningene i diagrammet til å bestemme
- en lineær funksjon som viser hvordan forbruket av melk har endret seg i denne perioden
- en andregradsfunksjon som viser hvordan forbruket av melk har endret seg i denne perioden
b) Tegn grafene til funksjonene du fant i oppgave a) i et koordinatsystem for $0 \le x \le 25$.
c) Hvor mange liter melk vil hver person i Norge i gjennomsnitt drikke hvert år om ti år ifølge hver av de to funksjonene?
d) Hvor mange liter vil forbruket per person avta med per år om ti år ifølge hver av de to funksjonene?
---
## H2014 del 2 oppgave 7 — Reell fart på tredemølle med regresjon og modellvalg
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Lineære funksjoner, Proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Beregne reell fart fra antall runder, velge mellom lineær og potensfunksjon som modell ved regresjon, bruke valgt modell til å finne innstilt fart og lage praktisk oppslag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/reell-fart-pa-tredemolle-med-regresjon-og-modellvalg/
### Oppgavetekst
I displayet på en tredemølle kan farten justeres mellom 0 km/h og 20 km/h. Det er mistanke om at båndet på tredemøllen går for fort i forhold til farten som angis i displayet (angitt fart). En gruppe 2P-elever får i oppgave å undersøke dette.
Elevene måler at løpebåndet på tredemøllen er 3,25 meter langt. Når båndet har gått én runde, har man altså løpt 3,25 meter. For å undersøke sammenhengen mellom angitt fart og reell fart teller elevene antall runder båndet går i løpet av ett minutt ved ulike fartsangivelser.
| Angitt fart $x$ km/h | Antall runder i løpet av ett minutt | Reell fart $f(x)$ km/h |
|:--------------------:|:-----------------------------------:|:----------------------:|
| 2,5 | 18 | 3,51 |
| 5,0 | 35 | |
| 10,0 | 65 | |
| 15,0 | 95 | |
| 20,0 | 124 | |
a) Skriv av tabellen ovenfor i besvarelsen din, gjør beregninger, og fyll inn verdiene for reell fart i kolonnen til høyre.
Elevene vil lage en modell som viser den reelle farten $f(x)$ km/h som funksjon av den angitte farten $x$ km/h.
b) Bestem den lineære funksjonen som passer best som modell for denne sammenhengen.
Bestem den potensfunksjonen som passer best som modell for denne sammenhengen.
Hvilken av disse to modellene mener du elevene bør velge? Begrunn svaret.
Henrik vil løpe i 15 km/h.
c) Hvilken fart bør han angi i displayet på tredemøllen ifølge modellen du valgte i oppgave b)?
Elevene vil lage et oppslag som skal henge ved siden av tredemøllen, slik at de som løper, kan finne den reelle farten.
d) Lag et forslag til oppslag.
---
## V2013 del 1 oppgave 1 — Taxisjåfør – sentralmål og frekvenstabell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Bestem median, gjennomsnitt og typetall for datasett, og sett opp frekvenstabell med kumulativ frekvens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/taxisjafor-sentralmal-og-frekvenstabell/
### Oppgavetekst
En kveld kjørte en taxisjåfør 10 turer.
Nedenfor ser du hvor mange passasjerer han hadde med på hver av turene.
$$
1 \quad 5 \quad 3 \quad 3 \quad 5 \quad 2 \quad 1 \quad 4 \quad 1 \quad 2
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet og typetallet for dette datamaterialet.
b) Sett opp en tabell som viser frekvens og kumulativ frekvens for antall passasjerer på turene.
---
## V2013 del 1 oppgave 2 — Produkt på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne $0{,}075 \cdot 2\,000\,000$ og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produkt-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
0{,}075 \cdot 2\,000\,000
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 3 — Sammenligne brøker med potenser
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne og sammenligne verdien av to brøker med negative potenser for å avgjøre hvilken som er størst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligne-broker-med-potenser/
### Oppgavetekst
Hvilken av de to brøkene $A$ og $B$ nedenfor har størst verdi?
$$
A: \quad \frac{15 \cdot 5^{-1}}{2^2}
$$
$$
B: \quad \frac{1}{6^{-2} \cdot 3 \cdot 15}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 4 — Sigvalds ukelønntilbud – lineære modeller
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graf
- **Kort beskrivelse:** Sette opp to lineære funksjoner for ukentlig lønn som funksjon av antall oppvask, skissere grafene og tolke skjæringspunktet for å gi råd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sigvalds-ukelonntilbud-lineaere-modeller/
### Oppgavetekst
Sigvald får følgende tilbud fra foreldrene sine:
| **TILBUD 1** | **TILBUD 2** |
|---|---|
| Du får 100 kroner i fast ukelønn. I tillegg får du 5 kroner hver gang du tar oppvasken. | Du får 50 kroner i fast ukelønn. I tillegg får du 10 kroner hver gang du tar oppvasken. |
a) Sett opp et matematisk uttrykk som kan være en modell for tilbud 1, og et matematisk uttrykk som kan være en modell for tilbud 2.
b) Skisser grafen til hver av modellene, og gi Sigvald råd om hvilket tilbud han bør velge.
---
## V2013 del 1 oppgave 5 — Tallsystemer grunntall 2 og 10
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Bits og bytes
- **Kort beskrivelse:** Konvertere $101011_2$ til grunntall 10 og $26$ til grunntall 2 ved hjelp av plassverdisystemet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallsystemer-grunntall-2-og-10/
### Oppgavetekst
Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger, og fyll inn det som mangler.
| Plassverdisystem med grunntall 10 | Plassverdisystem med grunntall 2 |
|:---:|:---:|
| | $101011_2$ |
| 26 | |
---
## V2013 del 1 oppgave 6 — Eksponentiell nedgang i bilverdi
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp eksponentiell funksjon for 10 % årlig verdifall, og identifisere korrekt graf blant tre alternativer med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-nedgang-i-bilverdi/
### Oppgavetekst
Stian har kjøpt en bruktbil. Bilen kostet $100\,000 \mathrm{~kr}$.
Anta at verdien vil avta med $10 \,\%$ per år.
a) Sett opp en modell $f$ som Stian kan bruke for å regne ut verdien av bilen i årene som kommer.
b) Hvilken av grafene nedenfor er grafen til $f$? Begrunn svaret ditt.
---
## V2013 del 1 oppgave 7 — Gjennomsnittsinntekt i borettslag
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnittsinntekt fra gruppert frekvenstabell ved å bruke midtpunkt i hvert intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittsinntekt-i-borettslag/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser inntektene til personene i et borettslag.
| Inntekt (i 1000 kroner) | Antall personer |
|:---:|:---:|
| $\left[300, 400\right\rangle$ | 20 |
| $\left[400, 500\right\rangle$ | 20 |
| $\left[500, 700\right\rangle$ | 10 |
Bestem gjennomsnittsinntekten for personene i borettslaget.
---
## V2013 del 1 oppgave 8 — Sannsynlighet – elever i USA og Spania
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Systematisere overlappende mengder i kryss- eller venndiagram, deretter beregne betinget og ubetinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-elever-i-usa-og-spania/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 20 elever. 8 av elevene har vært i USA. 11 har vært i Spania. 5 av elevene har verken vært i USA eller Spania.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Vi velger tilfeldig en elev fra klassen.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven har vært både i USA og i Spania.
Vi velger tilfeldig en elev som ikke har vært i USA.
c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven har vært i Spania.
---
## V2013 del 2 oppgave 1 — Diagrammer for Stortinget 2009–2013
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage sektordiagram for partifordeling og passende diagram for kjønnsfordeling per parti fra to tabeller med Stortingsdata.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diagrammer-for-stortinget-2009-2013/
### Oppgavetekst
| Stortinget ved starten av perioden 2009–2013 | |
|---|---|
| **Parti** | **Antall representanter** |
| Arbeiderpartiet | 64 |
| Fremskrittspartiet | 41 |
| Høyre | 30 |
| Sosialistisk Venstreparti | 11 |
| Senterpartiet | 11 |
| Kristelig Folkeparti | 10 |
| Venstre | 2 |
a) Lag et sektordiagram som illustrerer opplysningene gitt i tabellen ovenfor.
| Stortinget ved starten av perioden 2009–2013 | | |
|---|---|---|
| **Parti** | **Antall kvinner** | **Antall menn** |
| Arbeiderpartiet | 32 | 32 |
| Fremskrittspartiet | 10 | 31 |
| Høyre | 9 | 21 |
| Sosialistisk Venstreparti | 3 | 8 |
| Senterpartiet | 7 | 4 |
| Kristelig Folkeparti | 4 | 6 |
| Venstre | 2 | 0 |
b) Lag et passende diagram som illustrerer opplysningene gitt i tabellen ovenfor.
---
## V2013 del 2 oppgave 2 — Ball og heis – andregradsfunksjon og lineær funksjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Lineære funksjoner, Funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke andregradsfunksjon $b(t) = -5t^2 + 25t + 2$ og lineær funksjon $h(t) = -5t + 27$; bestemme toppunkt, nullpunkt og skjæringspunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ball-og-heis-andregradsfunksjon-og-lineaer-funksjon/
### Oppgavetekst
En ball blir kastet rett oppover. Funksjonen $b$ gitt ved
$$
b(t) = -5t^2 + 25t + 2
$$
viser ballens høyde $b(t)$ meter over bakken etter $t$ sekunder.
a) Tegn grafen til $b$ for $0 \leq t \leq 5{,}5$.
b) Hvor høyt over bakken er ballen når den blir kastet?
Hvor lang tid går det før ballen treffer bakken?
c) Hvor lang tid går det fra ballen blir kastet, til den når sitt høyeste punkt?
Hvor høyt over bakken er ballen da?
Like ved stedet ballen blir kastet fra, er det et høyt hus med en utvendig heis. Idet ballen blir kastet, er heisen på vei nedover. Funksjonen $h$ gitt ved
$$
h(t) = -5t + 27
$$
viser heisens høyde $h(t)$ meter over bakken etter $t$ sekunder.
d) Tegn grafen til $h$ i samme koordinatsystem som grafen til $b$.
Bestem skjæringspunktene mellom de to grafene, og forklar hva skjæringspunktene forteller om ballen og heisen.
---
## V2013 del 2 oppgave 3 — Skøyteresultater OL 1968 og 2010
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis endring i vinnertid, gjennomsnitt og standardavvik for to datasett, og tolke forskjellen i spredning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skoyteresultater-ol-1968-og-2010/
### Oppgavetekst
Tabellene nedenfor viser resultatene for de åtte beste utøverne på $1500 \mathrm{~m}$ skøyter for menn under OL i 1968 og under OL i 2010.
**OL 1968**
| Plass | Utøver | Land | Tid (sekunder) |
|:---:|---|---|:---:|
| 1 | Kees Verkerk | Nederland | 123,4 |
| 2 | Ivar Eriksen | Norge | 125,0 |
| 2 | Ard Schenk | Nederland | 125,0 |
| 4 | Magne Thomassen | Norge | 125,1 |
| 5 | Johnny Höglin | Sverige | 125,2 |
| 6 | Bjørn Tveter | Norge | 125,2 |
| 7 | Svein-Erik Stiansen | Norge | 125,5 |
| 8 | Eduard Matusevitsj | Sovjetunionen | 126,1 |
**OL 2010**
| Plass | Utøver | Land | Tid (sekunder) |
|:---:|---|---|:---:|
| 1 | Mark Tuitert | Nederland | 105,57 |
| 2 | Shani Davis | USA | 106,10 |
| 3 | Håvard Bøkko | Norge | 106,13 |
| 4 | Ivan Skobrev | Russland | 106,42 |
| 5 | Mo Tae-bum | Korea | 106,47 |
| 6 | Chad Hedrick | USA | 106,69 |
| 7 | Simon Kuipers | Nederland | 106,76 |
| 8 | Mikael Flygind Larsen | Norge | 106,77 |
a) Hvor mange prosent sank vinnertiden med fra 1968 til 2010?
b) Bestem gjennomsnittstiden for de åtte beste i 1968 og for de åtte beste i 2010.
c) Bestem standardavviket for de to tallmaterialene.
Hvorfor er standardavviket større i 1968 enn i 2010?
---
## V2013 del 2 oppgave 4 — Lineær regresjon for dorulldiameter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Modellering, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Plotte datapunkter for dorulldiameter, finne lineær regresjonsmodell, ekstrapolere til tom dorull og sammenligne med opplysninger fra pakken.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-regresjon-for-dorulldiameter/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom diameteren til en dorull og hvor mange meter papir som er brukt av dorullen.
| Antall meter papir som er brukt av dorullen | 0 | 2 | 6 | 10 | 12 |
|---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Dorullens diameter (millimeter) | 102 | 96 | 83 | 72 | 67 |
a) Tegn et koordinatsystem med meter som enhet langs $x$-aksen og millimeter som enhet langs $y$-aksen. Marker verdiene fra tabellen ovenfor som punkter i koordinatsystemet.
b) Bruk regresjon til å bestemme en lineær funksjon som passer godt med punktene fra oppgave 4 a). Tegn grafen til funksjonen i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave 4 a).
En tom dorull har en diameter på $38 \mathrm{~mm}$.
c) Hvor mange meter papir er det på en ny dorull ifølge modellen i oppgave 4 b)?
På pakken med doruller står det at hver dorull inneholder 160 ark.
Hvert ark er $14 \mathrm{~cm}$ langt.
d) Hvordan stemmer modellen i oppgave 4 b) med dette?
---
## V2013 del 2 oppgave 5 — Lineær og eksponentiell modell for bilverdi
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lineær og eksponentiell modell for bilverditap fra gitte data, og sammenligne prediksjonene for et fremtidig år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-for-bilverdi/
### Oppgavetekst
I 2011 kjøpte Helene en bruktbil. Hun fant da tabellen nedenfor på Internett.
Alle beløp er oppgitt i kroner.
| | |
|---|---:|
| Bilmerke | Volvo |
| Bilmodell | V50 |
| Nybilpris i 2006 | 299 990 |
| Antatt verdi i 2011 | 171 000 |
| Verditap | 128 900 |
| Verditap årlig | 25 780 |
a) Forklar at det årlige verditapet på bilen er beregnet ved hjelp av en lineær modell og bestem denne modellen.
Helene lurer på om det vil være mer realistisk å bruke en eksponentiell modell.
b) Bestem en eksponentiell modell som totalt gir samme verditap på bilen fra 2006 til 2011 som den lineære modellen.
c) Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den lineære modellen?
Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den eksponentielle modellen?
---
## H2013 del 1 oppgave 1 — Gjennomsnitt og median for elevfravær
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og finne median for et datasett med 20 verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-median-for-elevfravaer/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av skoleåret.
$0 \quad 3 \quad 2 \quad 7 \quad 2 \quad 0 \quad 0 \quad 11 \quad 4 \quad 3 \quad 28 \quad 1 \quad 0 \quad 3 \quad 2 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 32$
Bestem gjennomsnitt og median for elevenes fravær.
---
## H2013 del 1 oppgave 2 — Produkt av tall på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere $3{,}2 \cdot 10^8$ og $4{,}0 \cdot 10^{-3}$ og skrive resultatet på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produkt-av-tall-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
3{,}2 \cdot 10^8 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3}
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 3 — Forenkle potensuttrykk med negative eksponenter
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $(2^2)^{-3} \cdot 4^4$ ved hjelp av potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-potensuttrykk-med-negative-eksponenter/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
(2^2)^{-3} \cdot 4^4
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 4 — Rente på bankinnskudd over fem år
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk for samlet rente på $200\,000 \mathrm{~kr}$ med $4{,}65\,\%$ rente over 5 år ved hjelp av vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rente-pa-bankinnskudd-over-fem-ar/
### Oppgavetekst
Per satte inn 200 000 kroner i banken 1. januar 2008. Renten har vært $4{,}65 \,\%$ per år.
Sett opp et uttrykk som viser hvor mye penger Per har fått i rente i løpet av de fem årene fra 1. januar 2008 til 1. januar 2013.
---
## H2013 del 1 oppgave 5 — Lineær modell for barns ordforråd
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne linje gjennom to punkter, lese av verdi og bestemme funksjonsuttrykk med gyldighetsområde for lineær modell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-barns-ordforrad/
### Oppgavetekst
Ifølge en undersøkelse kan et 20 måneder gammelt barn i gjennomsnitt 300 ord. Et 50 måneder gammelt barn kan i gjennomsnitt 2100 ord.
a) Framstill opplysningene ovenfor som punkter i et koordinatsystem med måneder som enhet langs $x$-aksen og ord som enhet langs $y$-aksen. Trekk en rett linje gjennom punktene.
Linjen i oppgave a) kan brukes som modell for sammenhengen mellom et barns alder og hvor mange ord barnet kan.
b) Bruk linjen til å anslå hvor mange ord et 35 måneder gammelt barn i gjennomsnitt kan.
c) Bestem et matematisk uttrykk for modellen. Kommenter modellens gyldighetsområde.
---
## H2013 del 1 oppgave 6 — Høyde og tid for kastet stein
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Evaluere $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ for bestemte $t$-verdier og avgjøre om $h(t) = 0$ har løsning innen $t = 5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hoyde-og-tid-for-kastet-stein/
### Oppgavetekst
Per kaster en stein. Funksjonen $h$ gitt ved
$$
h(t) = -5t^2 + 20t + 1
$$
viser hvor mange meter over bakken steinen er etter $t$ sekunder.
a) Hvor høyt over bakken er steinen idet Per kaster den? Hvor høyt over bakken er steinen etter 3 s?
b) Vil steinen treffe bakken før det har gått 5 s? Begrunn svaret.
---
## H2013 del 1 oppgave 7 — Kaffedrikking i klasse og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut toveis-frekvenstabell og beregne enkel og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaffedrikking-i-klasse-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 15 jenter og 10 gutter. 5 av jentene og 5 av guttene drikker kaffe.
a) Tegn av tabellen nedenfor, og fyll inn tall i de hvite rutene.
| | Jenter | Gutter | Sum |
|---|---|---|---|
| Drikker kaffe | | | |
| Drikker ikke kaffe | | | |
| Sum | | | |
Vi velger tilfeldig en elev fra klassen.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven drikker kaffe.
En elev fra klassen drikker kaffe.
c) Bestem sannsynligheten for at eleven er ei jente.
---
## H2013 del 1 oppgave 8 — Totallsystem og tretallsystem
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Konvertere tall til totallsystem, formulere doble-regel og bruke plassverdier i tretallsystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/totallsystem-og-tretallsystem/
### Oppgavetekst
a) Skriv tallene 11, 22 og 44 i totallsystemet.
b) Formuler en regel for hvordan vi dobler et tall i totallsystemet.
Tallene $121_3$ og $120010_3$ er skrevet i tretallsystemet.
c) Hvilket tall i tretallsystemet er tre ganger så stort som tallet $121_3$? Hvilket tall i tretallsystemet er en tredjedel av tallet $120010_3$?
---
## H2013 del 2 oppgave 1 — Utenlandske spillere i Eliteserien
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for antall utenlandske spillere i Eliteserien 2000–2012 fra infografisk fremstilling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utenlandske-spillere-i-eliteserien/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du hvor mange utenlandske spillere som spilte i den norske eliteserien hvert år i perioden 2000–2012.
Bestem gjennomsnitt og standardavvik for dette datamaterialet.
---
## H2013 del 2 oppgave 2 — Sektordiagram for transportmidler til skolen
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage sektordiagram fra frekvenstabell med fem kategorier for transportmiddel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-for-transportmidler-til-skolen/
### Oppgavetekst
| | Antall elever |
|---|---|
| Går | 4 |
| Sykler | 7 |
| Kjører privat bil | 3 |
| Tar buss | 10 |
| Tar tog | 6 |
I tabellen ovenfor ser du hvordan elevene i en klasse kommer seg til og fra skolen.
Bruk et sektordiagram til å presentere datamaterialet fra tabellen.
---
## H2013 del 2 oppgave 3 — Energi frigitt i atomkraftverk med E = mc²
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Formler
- **Kort beskrivelse:** Anvende $E = mc^2$ med $c = 3{,}0 \cdot 10^8$ for å beregne frigitt energi og løse for masse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/energi-frigitt-i-atomkraftverk-med-e-mc2/
### Oppgavetekst
I et atomkraftverk omdannes radioaktive atomkjerner. I omdanningen forsvinner noe av massen fra atomkjernene, og energi blir frigitt.
Når massen $m$ kilogram forsvinner fra atomkjernene, er den frigitte energien, $E$ Joule (J), gitt ved
$$
E = m \cdot c^2
$$
Konstanten $c$ har verdien $3{,}0 \cdot 10^8$
a) Hvor mye energi blir frigitt når en masse på $0{,}010 \mathrm{~kg}$ forsvinner fra atomkjernene?
En norsk husholdning har et årlig energiforbruk på $9{,}0 \cdot 10^{10} \mathrm{~J}$
b) Hvor mye masse må forsvinne for å gi nok energi til en norsk husholdning i et år?
---
## H2013 del 2 oppgave 4 — Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lineær og eksponentiell regresjonsmodell, bruke modellene til prognose og finne når andelen blir lavere enn 5 %, og kommentere gyldighetsområde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andel-mannlige-roykere-1985-2010-lineaer-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
| Årstall | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2010 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prosent mannlige røykere | 42 | 37 | 34 | 31 | 25 | 19 |
Tabellen ovenfor viser hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år som røykte hver dag noen år i perioden 1985–2010.
Sett $x = 0$ i 1985, $x = 5$ i 1990 og så videre, og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme
a) 1) en lineær modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg
2\) en eksponentiell modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg
b) Hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år vil være røykere i 2020 ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?
c) Når vil andelen mannlige røykere bli lavere enn 5 % ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?
d) Kommenter modellenes gyldighetsområde.
---
## H2013 del 2 oppgave 5 — Skiskytter Tora og binomisk sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregne binomiske sannsynligheter med $n = 5$ og $p = 0{,}84$ for nøyaktig fire treff.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skiskytter-tora-og-binomisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Tora er en ivrig skiskytter. Hun treffer blinken med $84 \,\%$ av skuddene sine. I en konkurranse skyter hun fem skudd.
a) Bestem sannsynligheten for at hun treffer blinken med de fire første skuddene og bommer med det siste.
b) Bestem sannsynligheten for at hun treffer blinken med fire av skuddene.
---
## H2013 del 2 oppgave 6 — Klassedelt materiale for reisetid til skolen
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lage klassedelt materiale med bredde 10, beregne gjennomsnitt fra klassedelt materiale og avgjøre andel under 60 min.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klassedelt-materiale-for-reisetid-til-skolen/
### Oppgavetekst
I en undersøkelse ble 30 elever spurt om hvor lang tid de bruker på å komme seg til og fra skolen hver dag. Elevene oppga tiden i minutter. Resultatet av undersøkelsen er vist nedenfor.
$28 \quad 56 \quad 12 \quad 16 \quad 34 \quad 78 \quad 64 \quad 18 \quad 10 \quad 21$
$32 \quad 26 \quad 54 \quad 62 \quad 64 \quad 70 \quad 50 \quad 44 \quad 70 \quad 86$
$16 \quad 20 \quad 38 \quad 14 \quad 80 \quad 24 \quad 20 \quad 32 \quad 14 \quad 10$
a) Lag et klassedelt materiale av tallene ovenfor. La den første klassen starte i 10, og la alle klassene ha klassebredde 10.
b) Ta utgangspunkt i det klassedelte materialet i oppgave a), og bestem gjennomsnittet.
c) Bruk det klassedelte materialet til å avgjøre hvor stor andel av elevene som trenger mindre enn 60 min på å komme seg til og fra skolen.
---
## H2013 del 2 oppgave 7 — Innloggede brukere på nettside modellert med tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf, finne maksimum, løse $f(x) > 1500$ og beregne gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = -9x^3 + 270x^2 - 1400x + 3000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innloggede-brukere-pa-nettside-modellert-med-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -9x^3 + 270x^2 - 1400x + 3000
$$
viser hvor mange personer som var logget på en nettside $x$ timer etter midnatt et gitt døgn.
a) Tegn grafen til $f$ for $0 \leq x \leq 24$.
b) Hvor mye var klokka da det var flest personer logget på nettsiden? Hvor mange personer var logget på nettsiden da?
c) Når var flere enn 1 500 personer logget på nettsiden?
d) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ for $6 \leq x \leq 16$. Hva forteller dette svaret?
---
## V2012 del 1 oppgave 1 — Sentralmål og standardform fra datamaskinundersøkelse
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 14
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Standardform, Sannsynlighet, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sentralmål fra frekvenstabell, standardform med potenser, vekstfaktor for verdifall, sannsynlighet med terning, store tall, betinget sannsynlighet med venndiagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-og-standardform-fra-datamaskinundersokelse/
### Oppgavetekst
20 elever blir spurt om hvor mange datamaskiner de har hjemme. Se tabellen nedenfor.
| Antall datamaskiner | Antall elever |
|:-------------------:|:-------------:|
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 6 |
| 5 | 2 |
| 6 | 2 |
a) Finn variasjonsbredden, typetallet, medianen og gjennomsnittet.
$$
\frac{5{,}0 \cdot 10^5 \cdot 6{,}0 \cdot 10^6}{2{,}5 \cdot 10^{-4}}
$$
b) Regn ut og skriv svaret på standardform.
En bil koster 250 000 kroner. Bilens verdi avtar med 15 % per år.
Forklar hvilket av regnestykkene nedenfor som kan brukes for å finne hvor mye bilen er verd etter 10 år.
1) $250\,000 - 10 \cdot \dfrac{250\,000 \cdot 15}{100}$
2) $250\,000 \cdot 0{,}15^{10}$
3) $250\,000 \cdot 0{,}85^{10}$
c) Forklar hvilket av regnestykkene ovenfor som kan brukes for å finne hvor mye bilen er verd etter 10 år.
Hva er mest sannsynlig å få?
- en sekser når du kaster én terning
- to like når du kaster to terninger
d) Hva er mest sannsynlig å få?
I Norge er det ca. 5 millioner innbyggere. Det norske oljefondet er på ca. 3000 milliarder kroner.
Tenk deg at oljefondet ble delt likt mellom innbyggerne i Norge.
e) Omtrent hvor mye ville hver innbygger fått?
I klasse 1A er det 20 elever. 15 av elevene spiller fotball, og 10 spiller håndball. Én elev spiller verken fotball eller håndball.
f) 1) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Fra klassen velger vi tilfeldig én av elevene som spiller fotball.
f) 2) Bestem sannsynligheten for at denne eleven i tillegg spiller håndball.
---
## V2012 del 1 oppgave 2 — Koble tall mellom titallssystemet og andre plassverdisystemer
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Konvertere tall mellom titallssystemet og grunntall 2, 3, 4 eller 5; koble like verdier og forklare fremgangsmåten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koble-tall-mellom-titallssystemet-og-andre-plassverdisystemer/
### Oppgavetekst
I rammen til venstre nedenfor har vi skrevet fire tall i titallssystemet. I rammen til høyre har vi skrevet de samme tallene i plassverdisystemer med grunntall 2, 3, 4 eller 5.
**Titallssystemet**
| |
|:---:|
| 24 |
| 4 |
| 31 |
| 41 |
---
**Andre plassverdisystemer**
| |
|:---:|
| 120 |
| 131 |
| 1011 |
| 100 |
Tegn av rammene og kobl sammen tallene som har samme verdi.
Forklar hvordan du kommer fram til svarene.
---
## V2012 del 1 oppgave 3 — Matematisk modellering for tre elevprosjekter
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Svare på praktiske spørsmål, foreslå matematisk modell og si noe om modellens begrensninger for tre ulike situasjoner (lineær, lineær avtak, kvadratisk).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/matematisk-modellering-for-tre-elevprosjekter/
### Oppgavetekst
Ovenfor har tre elever beskrevet tre ulike situasjoner.
| Elev | Praktisk situasjon | Modell | Spørsmål |
|---|---|---|---|
| Stian | Jeg har laget noen armbånd. Armbåndene skal jeg selge for 50 kroner per stykk. | Jeg trenger en modell som viser hvor mye jeg kan tjene. | Hvor mye tjener jeg dersom jeg selger fem armbånd? |
| Sondre | Jeg har kjøpt en krukke med 150 drops. Hver dag vil jeg spise fem drops. | Jeg trenger en modell som viser hvor mange drops jeg har igjen i krukka hver dag. | Hvor mange dager går det før jeg har spist opp halvparten av dropsene? |
| Sebastian | Jeg skal klippe ut rektangelformede tøystykker i ulike størrelser. Lengden av hvert tøystykke skal være $2{,}0 \mathrm{~cm}$ større enn bredden. | Jeg trenger en modell som viser hvor stort arealet av hvert tøystykke blir. | Hvor stort blir arealet av et tøystykke dersom jeg velger at bredden skal være $3{,}0 \mathrm{~cm}$? |
Ta for deg hver av de tre situasjonene.
a) Svar på elevens spørsmål.
b) Foreslå en matematisk modell.
c) Si noe om modellens begrensninger.
---
## V2012 del 2 oppgave 4 — Andregradsfunksjon for vekt og alder på griser
- **Fag:** 2P-Y, 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf for $f(x) = -0{,}05x^2 + 2{,}60x + 0{,}50$, avlese startverdi, løse $f(x)=20$ og beregne gjennomsnittlig vekst per måned.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-for-vekt-og-alder-pa-griser/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -0{,}05x^2 + 2{,}60x + 0{,}50
$$
viser sammenhengen mellom alder og vekt for en type griser.
Her er $f(x)$ vekten til en gris målt i kilogram når grisen er $x$ måneder gammel.
a) Tegn grafen til $f$ for $0 \leq x \leq 25$
Hvor mye veier en gris ved fødselen?
b) Hva er alderen til en gris når vekten passerer $20 \mathrm{~kg}$?
Hvor mye øker vekten i gjennomsnitt per måned fram til da?
---
## V2012 del 2 oppgave 5 — Leilighetslån med egenkapital, verdiøkning og tilbakebetalingsplan
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lån, Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Vise at lånebeløp er 80 % av kjøpesum, beregne leilighetsverdi med vekstfaktor, lese rente fra tilbakebetalingsplan, og finne tidspunkt for restlån under 60 % av leilighetsverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leilighetslan-med-egenkapital-verdiokning-og-tilbakebetalingsplan/
### Oppgavetekst
Sofie og Christer skal kjøpe leilighet og må låne penger i banken. Banken vil bare gi lån på 80 % av kjøpesummen. Resten av pengene må de skaffe selv, såkalt egenkapital.
Sofie og Christer har en egenkapital på 230 000 kroner.
a) Vis at de kan låne 920 000 kroner i banken.
Leiligheten koster 1 150 000 kroner, og vi antar at verdiøkningen vil være på $7{,}0$ % per år.
b) Hva vil verdien av leiligheten være etter ett år?
Hva vil verdien av leiligheten være etter ti år?
Tabellen nedenfor viser de fem første årene av en tilbakebetalingsplan med årlige terminer for et lån på 920 000 kroner.
| Termin | Renter (kroner) | Avdrag (kroner) | Terminbeløp (kroner) | Restlån (kroner) |
|:------:|----------------:|----------------:|---------------------:|-----------------:|
| 1 | 41 400 | 29 326 | 70 726 | 890 674 |
| 2 | 40 080 | 30 646 | 70 726 | 860 028 |
| 3 | 38 701 | 32 025 | 70 726 | 828 003 |
| 4 | 37 260 | 33 466 | 70 726 | 794 538 |
| 5 | 35 754 | 34 972 | 70 726 | 759 566 |
c) Hva er den årlige renten, i prosent, på dette lånet?
Dersom restlånet på leiligheten kommer under 60 % av leilighetens verdi, kan Sofie og Christer kontakte banken for å få en lavere årlig rente.
d) Hvor lang tid tar det før Sofie og Christer kan få en lavere årlig rente?
---
## V2012 del 2 oppgave 6 — Sannsynlighet for sokker i ulike fargekombinasjoner
- **Fag:** 2P-Y, 2P, 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter ved utvalg uten tilbakelegging fra 10 sokker i 5 farger; to rosa, én rosa + én annen, to like farge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-sokker-i-ulike-fargekombinasjoner/
### Oppgavetekst
Karen har 2 brune, 2 røde, 2 blå, 2 hvite og 2 rosa sokker i en skuff.
En dag tar hun tilfeldig to sokker fra skuffen.
a) Bestem sannsynligheten for at hun tar to rosa sokker.
b) Bestem sannsynligheten for at hun tar én rosa sokk og én sokk i en annen farge.
c) Bestem sannsynligheten for at hun tar to sokker med samme farge.
---
## V2012 del 2 oppgave 7 — Lineær modell for pris på billass med sand
- **Fag:** 2P-Y, 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$ og $b$ i $y = ax + b$ fra to punkter, og gi praktisk tolkning av stigningstall og konstantledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-pris-pa-billass-med-sand/
### Oppgavetekst
Leon vil bestille sand for å gjøre badestranden utenfor hytta finere. Han ønsker å få sanden tilkjørt med lastebil. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom prisen for et billass med sand og antall tonn sand på lasset.
| Antall tonn sand | 10 | 16 |
|:---|---:|---:|
| Pris for billasset | 2300 | 3200 |
Denne sammenhengen kan beskrives ved hjelp av likningen $y = ax + b$, der $x$ tonn er mengden sand og $y$ kroner er prisen for billasset.
a) Bestem tallene $a$ og $b$.
b) Gi en praktisk tolkning av tallene $a$ og $b$ i denne oppgaven.
---
## V2012 del 2 oppgave 8 — Gjennomsnitt og standardavvik for falltidsmålinger med utligertest
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for seks målinger, teste utliger mot 1,4 standardavvik, og vurdere effekten av å forkaste verdien.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-standardavvik-for-falltidsmalinger-med-utligertest/
### Oppgavetekst
En dag gjorde klasse 1A et forsøk i naturfagtimen. Seks elever slapp hver sin stålkule fra $1 \mathrm{~m}$ høyde og målte tiden det tok før kulen traff bakken.
Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
| Elev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Tid (sekunder) | $0{,}46$ | $0{,}45$ | $0{,}47$ | $0{,}44$ | $0{,}52$ | $0{,}46$ |
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for måleresultatene.
Klassen la merke til at elev nummer 5 målte en større falltid enn de andre. Mange mente at dette resultatet måtte skyldes målefeil, og at det derfor burde forkastes.
Da ga fysikklærer Strøm dem denne regelen:
> «Når vi har seks målinger, kan vi forkaste et måleresultat dersom det ligger mer enn $1{,}4$ standardavvik fra gjennomsnittet.»
b) Finn ut om måleresultatet til elev nummer 5 kan forkastes dersom vi bruker regelen ovenfor.
c) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for de fem andre måleresultatene.
Hvordan har gjennomsnitt og standardavvik endret seg? Virker dette rimelig? Forklar.
---
## V2012 del 2 oppgave 9 — Eksponentiell vekstmodell for verdensbefolkning
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Regresjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke eksponentiell regresjon for å vise at $f(x) = 1{,}27 \cdot 1{,}016^x$ passer, tolke vekstfaktor, løse $f(x) = 4{,}6$ og dobbleringstid, vurdere modell mot FN-prognoser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-vekstmodell-for-verdensbefolkning/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser folketallet i verden noen utvalgte år.
| Årstall | 1927 | 1961 | 1974 | 1987 | 1999 | 2011 |
|---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Folketall (milliarder) | $2{,}0$ | $3{,}0$ | $4{,}0$ | $5{,}0$ | $6{,}0$ | $7{,}0$ |
La $x$ være antall år etter 1900 (i 1900 er $x = 0$, i 1901 er $x = 1$, og så videre).
a) Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = 1{,}27 \cdot 1{,}016^x$ kan brukes som modell for å beskrive hvordan folketallet i verden har endret seg i årene 1927–2011.
b) Hvor mange prosent øker folketallet med per år ifølge modellen i a)?
c) Når var folketallet $4{,}6$ milliarder ifølge modellen i a)?
d) Hvor lang tid går det ifølge modellen i a) mellom hver gang folketallet fordobles?
Hvordan stemmer dette med tallene i tabellen ovenfor?
FN har utarbeidet prognoser som sier at folketallet i verden skal passere 8 milliarder i 2025 og 9 milliarder i 2045.
e) Vurder om modellen i a) passer med disse prognosene.
---
## H2012 del 1 oppgave 1 — Sentralmål for turgåere på Pollfjell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median, typetall og variasjonsbredde for et datasett med 12 verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-for-turgaere-pa-pollfjell/
### Oppgavetekst
Alle som går på tur til Pollfjell, skriver navnet sitt i boka som ligger i postkassen på toppen av fjellet. Nedenfor ser du hvor mange som har skrevet seg inn i boka hver uke de 12 siste ukene.
$6 \quad 12 \quad 20 \quad 4 \quad 10 \quad 15 \quad 5 \quad 12 \quad 8 \quad 12 \quad 18 \quad 10$
Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
---
## H2012 del 1 oppgave 2 — Vekstfaktor for bilverdi over tid
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk med vekstfaktor for eksponentiell verdifall fremover og bakover i tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekstfaktor-for-bilverdi-over-tid/
### Oppgavetekst
Vi regner at verdien av en bil har avtatt med 15 % per år siden den var ny. I dag er bilen verdt 100 000 kroner.
Sett opp et uttrykk som du kan bruke for å regne ut
a) hvor mye bilen vil være verdt om seks år
b) hvor mye bilen var verdt for seks år siden
---
## H2012 del 1 oppgave 3 — Divisjon på standardform
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne $425\,000\,000 / 2500$ og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/divisjon-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{425\,000\,000}{2500}
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 4 — Potensuttrykk med negative eksponenter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\frac{(a^3)^{-2} \cdot a^5}{a^{-3} \cdot a^0}$ ved hjelp av potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-med-negative-eksponenter/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{\left(a^3\right)^{-2} \cdot a^5}{a^{-3} \cdot a^0}
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 5 — Tall i tretallssystemet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Konvertere tallet 100 fra titallssystemet til tretallssystemet (plassverdisystem med grunntall 3).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tall-i-tretallssystemet/
### Oppgavetekst
Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre grunntall.
Tretallssystemet er et plassverdisystem med grunntall 3.
Skriv tallet 100 i tretallssystemet.
---
## H2012 del 1 oppgave 6 — Lineær modell for Olas lønn
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær funksjon fra to datapunkter og løse likning for å finne når lønnen passerer en grense.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-olas-lonn/
### Oppgavetekst
I år 2000 tjente Ola 240 000 kroner. I 2008 tjente han 360 000 kroner. Vi antar at lønna til Ola øker lineært.
a) La $x = 0$ svare til år 2000, og sett opp en modell som viser hvordan lønna til Ola endrer seg fra år til år.
b) Når vil lønna til Ola passere 540 000 kroner ifølge modellen i a)?
---
## H2012 del 1 oppgave 7 — Sannsynlighet med førerkort og bil
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere opplysninger i krysstabell og beregne betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-forerkort-og-bil/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 22 elever. 12 av elevene har førerkort. 14 av elevene har bil. 4 elever har bil, men ikke førerkort.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Vi velger tilfeldig en elev fra klassen.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven har førerkort og bil.
Vi velger tilfeldig en elev som har førerkort.
c) Bestem sannsynligheten for at eleven også har bil.
---
## H2012 del 1 oppgave 8 — Grafisk fremstilling av fallskjermhopp
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graf, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne stykkevis lineær graf for fart som funksjon av tid gjennom fire faser i et fallskjermhopp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafisk-fremstilling-av-fallskjermhopp/
### Oppgavetekst
Et fallskjermhopp kan deles inn i fire faser. I hver fase ser vi på farten fallskjermhopperen har loddrett nedover.
Fase 1: Fallskjermhopperen forlater flyet. Etter tre sekunder er farten $25 \mathrm{~m/s}$, og etter åtte sekunder har fallskjermhopperen nådd den maksimale farten, som er $50 \mathrm{~m/s}$.
Fase 2: Fallskjermhopperen faller med maksimal fart i fire sekunder.
Fase 3: Fallskjermen løses ut, og i løpet av ett sekund minker farten til $5 \mathrm{~m/s}$.
Fase 4: Fallskjermhopperen fortsetter med konstant fart $5 \mathrm{~m/s}$ i åtte sekunder før han når bakken.
Lag en grafisk framstilling som viser hvordan farten til fallskjermhopperen varierer med tiden i løpet av hoppet.
---
## H2012 del 1 oppgave 9 — Figurtall med perler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster i figurtall, sette opp generell formel for $f_n$ og løse likning for maksimalt $n$ ved 1000 perler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-perler/
### Oppgavetekst
Siri lager figurer av runde perler. Figurene ovenfor har hun kalt $f_1$, $f_2$ og $f_3$.
a) Følg samme mønster, og tegn figuren $f_4$.
Hvor mange perler vil det være i figuren $f_5$ og i figuren $f_6$?
b) Sett opp en modell som viser antall perler i figuren $f_n$, uttrykt ved $n$.
Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler Siri trenger for å lage figuren $f_{36}$.
c) Hva er den største figuren $f_n$ Siri kan lage dersom hun har 1000 perler?
---
## H2012 del 2 oppgave 1 — Lineær modell for eplekurv
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme fast kostnad og kilopris fra tabell, sette opp lineær funksjon og løse for ukjent mengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-eplekurv/
### Oppgavetekst
Camilla vil kjøpe en kurv med epler. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom hvor mange kilogram epler hun fyller i kurven, og hva hun må betale for kurven med eplene.
| Antall kilogram epler | 3 | 7 | 10 |
|:---|:---:|:---:|:---:|
| Pris for kurv med epler (kroner) | 210 | 290 | 350 |
a) Hvor mye koster selve kurven, og hva er kiloprisen for eplene?
b) Bestem den lineære modellen som viser sammenhengen mellom antall kilogram epler og prisen for kurven med eplene.
Camilla betaler 320 kroner for kurven med eplene.
c) Hvor mange kilogram epler har hun fylt i kurven?
---
## H2012 del 2 oppgave 2 — Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Konvertere tall mellom babylonsk sekstitallssystem og titallssystem, og finne pytagoreisk trippel ved å løse $a^2 + 112^2 = 113^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/babylonsk-tallsystem-og-pytagoreisk-trippel/
### Oppgavetekst
De gamle babylonerne brukte et plassverdisystem med 60 som grunntall. Symbolet $\mathsf{|}$ betydde 1 og symbolet $\mathsf{<}$ betydde 10.
For eksempel svarer de to babylonske tegngruppene vist ovenfor til tallet $11 \cdot 60 + 12 \cdot 1 = 672$ i titallssystemet.
a) Skriv tallet vist med de tre babylonske tegngruppene ovenfor (to enere, tre tiere og en tier med en ener) i titallssystemet.
Et pytagoreisk talltrippel er tre hele tall som oppfyller Pytagoras' læresetning.
For eksempel er de tre tallene 3, 4 og 5 et pytagoreisk talltrippel, siden $3^2 + 4^2 = 5^2$.
b) Bestem $a$ slik at $a$, 112 og 113 blir et pytagoreisk talltrippel, og skriv de tre tallene i det babylonske tallsystemet.
---
## H2012 del 2 oppgave 3 — Snødybde modellert med tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf for tredjegradsfunksjon og avlese maksimum og størst vekst i et gitt tidsintervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snodybde-modellert-med-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -0{,}001x^3 + 0{,}137x^2 + 12{,}9x + 71
$$
viser snødybden $f(x)$ mm i en bygd $x$ dager etter 1. oktober 2011.
a) Tegn en graf som viser snødybden i bygda i perioden 1. oktober 2011–1. april 2012.
b) Når var snødybden størst, og hvor mange millimeter var snødybden da?
c) I hvilken måned økte snødybden mest?
---
## H2012 del 2 oppgave 4 — Sannsynlighet for pizza og dessert på restaurant
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sammensatt sannsynlighet med brøkandeler for mat- og dessertvalg, og finne antall og sannsynlighet ved konkret elevtall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-pizza-og-dessert-pa-restaurant/
### Oppgavetekst
En kveld gikk alle elevene i klasse 3A ut for å spise på restaurant. $\dfrac{2}{5}$ av elevene bestilte pasta. Resten bestilte pizza. Halvparten av elevene som bestilte pasta, ønsket også dessert, mens bare $\dfrac{1}{3}$ av elevene som bestilte pizza, ønsket dessert.
Vi velger tilfeldig en elev fra klassen.
a) Bestem sannsynligheten for at eleven bestilte pizza, men ikke ønsket dessert.
Anta at det er 30 elever i klassen.
b) Hvor mange av disse elevene ønsket dessert?
Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klassen ønsket dessert?
---
## H2012 del 2 oppgave 5 — Statistikk for lengdehopp verdenstopp
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lage sektordiagram for fordeling på verdensdeler, beregne gjennomsnitt og standardavvik, og tolke standardavvik for sammenligningsgruppe.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-lengdehopp-verdenstopp/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du verdensstatistikken fra 2010 for øvelsen lengdehopp for menn.
a) Lag et sektordiagram som viser hvordan de 20 utøverne fordeler seg mellom de ulike verdensdelene.
b) Finn gjennomsnittslengden og standardavviket for resultatene til de 20 utøverne.
Sondre har funnet resultatene for utøverne som står som nummer 21–40 på verdensstatistikken. Standardavviket for resultatene til disse 20 utøverne er tilnærmet lik $0{,}0258$.
c) Hva forteller dette om resultatene til utøverne som står som nummer 21–40, i forhold til resultatene til de 20 beste utøverne?
---
## H2012 del 2 oppgave 6 — Pølsesalg modellert med kubikkfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Plotte datapunkter, bruke tredjegradsregresjon til å bestemme modell, og bruke modellen med prosentvis økning til å finne måneder over terskel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polsesalg-modellert-med-kubikkfunksjon/
### Oppgavetekst
| Måned | Januar | Mars | Juni | Juli | August | Desember |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Antall kilogram pølser | 45 | 144 | 299 | 328 | 336 | 36 |
Tabellen ovenfor viser antall kilogram pølser som ble solgt i en butikk noen måneder i 2011.
a) Framstill datamaterialet i tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem der $x$-aksen viser måned og $y$-aksen viser antall kilogram pølser.
(La $x = 1$ svare til januar, $x = 2$ til februar, $x = 3$ til mars, osv.)
b) Bruk regresjon til å bestemme en modell på formen $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ som kan brukes for å beskrive antall kilogram pølser som ble solgt per måned i løpet av dette året.
Tegn grafen til $f$ i samme koordinatsystem som du brukte i a).
Butikken regner med at pølsesalget vil være 20 % høyere hver måned i 2012 sammenliknet med tilsvarende måned i 2011.
c) I hvilke måneder i 2012 vil butikken da selge mer enn 300 kg pølser per måned dersom vi tar utgangspunkt i modellen i b)?
---
## H2012 del 2 oppgave 7 — Guris banksparing fra graf
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Sparing, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av startverdi og vekstfaktor fra eksponentialvekst-graf og bruke modellen til å beregne fremtidig beløp og finne tidspunkt for terskelverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/guris-banksparing-fra-graf/
### Oppgavetekst
Guri setter et pengebeløp i banken. Grafen ovenfor viser hvordan beløpet vokser de 15 første årene. Vi antar at renten er den samme hvert år.
a) Sett opp et matematisk uttrykk som kan være en modell for hvor mye penger Guri har i banken etter $x$ år.
b) Hvor mye penger vil Guri ha i banken etter 20 år ifølge modellen du satte opp i a)?
Når vil beløpet hun har i banken, passere 50 000 kroner ifølge modellen?
---
## V2011 del 1 oppgave 1 — Standardform, fotballmål, tallsystemer og sommerferie
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 20
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Vekstfaktor, Potenser, Statistikk, Tallregning, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Standardform, vekstfaktor, potensregning, sentralmål og kumulativ frekvens, prosentvis endring, gruppert gjennomsnitt, tallsystemer og sannsynlighet fra krysstabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-fotballmal-tallsystemer-og-sommerferie/
### Oppgavetekst
a) Skriv på standardform
1\)
$$
36\,200
$$
2\)
$$
0{,}000\,642
$$
3\) 53 millioner
4\)
$$
0{,}034 \cdot 10^{-2}
$$
b) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din og fyll inn det som mangler.
| Prosentvis endring | Vekstfaktor |
|:------------------:|:-----------:|
| $+2\ \%$ | |
| $-68\ \%$ | |
| | $0{,}25$ |
| | $2$ |
c) Regn ut
$$
\dfrac{2^{-3} \cdot 4^3}{8^2}
$$
Nedenfor ser du hvor mange mål som ble scoret i fotballkampene mellom Rosenborg og Brann i Eliteserien i årene fra 2005 til 2009:
$$
5 \quad 5 \quad 0 \quad 4 \quad 3 \quad 5 \quad 2 \quad 0 \quad 2 \quad 2
$$
d)
1\) Finn gjennomsnittet og medianen for dette datamaterialet.
2\) Sett opp resultatene i en tabell. Tabellen skal vise frekvens og kumulativ frekvens.
3\) Hva er den kumulative frekvensen for to mål, og hva betyr dette?
En vare selges i to forskjellige butikker. Prisen er den samme i begge butikkene. I butikk A settes prisen opp med 20 %. I butikk B settes prisen først opp med 10 % og så etter noen dager med 10 % til.
Marit påstår at prisen da fremdeles er den samme i begge butikkene.
e) Forklar Marit hvorfor dette ikke er riktig. Bruk gjerne et eksempel når du forklarer.
I en 2P-gruppe er det 10 elever. Læreren har undersøkt hvor mye tid elevene bruker på matematikkleksene i løpet av en uke.
Resultatene er gitt i tabellen nedenfor.
| Antall minutter | Antall elever |
|:---------------:|:-------------:|
| $[0, 30\rangle$ | 1 |
| $[30, 60\rangle$ | 3 |
| $[60, 120\rangle$ | 5 |
| $[120, 240\rangle$ | 1 |
f) Finn gjennomsnittet for dette grupperte datamaterialet.
I tallsystemet som vi vanligvis bruker, er grunntallet 10. I totallsystemet er grunntallet 2. Det finnes også tallsystemer med andre grunntall.
g) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger og fyll inn det som mangler.
| Tallsystem med grunntall 10 | Tallsystem med grunntall 2 | Tallsystem med grunntall 4 |
|:---------------------------:|:--------------------------:|:--------------------------:|
| $27$ | | $123_4$ |
| | $101010_2$ | |
De 20 elevene i klasse 1A planlegger sommerferien.
- 16 elever har fått sommerjobb.
- 10 av elevene som har fått sommerjobb, skal også på ferie.
- 2 elever har ikke fått sommerjobb og skal heller ikke på ferie.
h)
1\) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
2\) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klasse 1A skal på ferie.
---
## V2011 del 1 oppgave 2 — Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking
- **Fag:** 2P, 1P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Avlese sammenhørende verdier for fahrenheit og celsius på en gradestokk, plotte punktene og lese av celsius for $350 \degree\mathrm{F}$ på en rett linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gradestokk-med-celsius-og-fahrenheit-for-kakesteking/
### Oppgavetekst
Stig har fått en kakeoppskrift fra tante Mathilde i Amerika. I oppskriften står det at kaken skal stekes på $350 \degree\mathrm{F}$. Han lurer på hvor mange grader celsius dette tilsvarer.
Stig har en gradestokk utenfor kjøkkenvinduet som viser både celsiusgrader og fahrenheitgrader. Se bildet til høyre.
a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk gradestokken til høyre og fyll ut tabellen.
| $\degree\mathrm{F}$ | $0$ | | $100$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $\degree\mathrm{C}$ | | $10$ | |
b) Tegn et koordinatsystem med grader fahrenheit langs $x$-aksen og grader celsius langs $y$-aksen. Marker verdiene fra tabellen i a) som punkter i koordinatsystemet.
c) Tegn en rett linje som går gjennom punktene. Bruk linjen til å finne ut hvor mange grader celsius Stig skal steke kaken på.
---
## V2011 del 2 oppgave 3 — Antibiotika i kroppen med tablett hver åttende time
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell nedgang med vekstfaktor $0{,}89$ per time, gjentatte doser hver åttende time og skisse av graf for første døgn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antibiotika-i-kroppen-med-tablett-hver-attende-time/
### Oppgavetekst
Vibeke har fått en bakterieinfeksjon og tar tabletter med antibiotika. En tablett inneholder $220 \mathrm{~mg}$ antibiotika. Antall milligram antibiotika i kroppen reduseres med 11 % hver time.
a) Vibeke tar en tablett. Hvor mange milligram antibiotika er det igjen i kroppen hennes
1\) etter én time?
2\) etter åtte timer?
Vibeke tar en tablett hver åttende time.
b) Hvor mange milligram antibiotika har hun i kroppen rett etter at hun har tatt sin
1\) andre tablett?
2\) tredje tablett?
c) Skisser grafen som viser hvor mange milligram antibiotika Vibeke til enhver tid har i kroppen det første døgnet etter at hun begynte å ta tablettene.
---
## V2011 del 2 oppgave 4 — Fartskontroller på veistrekninger med fartsgrense 50 og 80
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Stolpediagram, andel over grense, gjennomsnitt fra klassemidtpunkter og prosentvis avvik for to grupperte fartsmålinger, og sammenligning av lovlydighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fartskontroller-pa-veistrekninger-med-fartsgrense-50-og-80/
### Oppgavetekst
Politiet har gjennomført fartskontroller på to veistrekninger. Den ene veistrekningen har fartsgrense $50 \mathrm{~km/h}$ og den andre $80 \mathrm{~km/h}$. Nedenfor ser du resultatene fra hver av de to kontrollene.
**Fartsgrense $50 \mathrm{~km/h}$**
| Fart | Antall biler |
|:----:|:------------:|
| $[45, 50\rangle$ | 25 |
| $[50, 55\rangle$ | 26 |
| $[55, 60\rangle$ | 23 |
| $[60, 65\rangle$ | 3 |
| $[65, 70\rangle$ | 2 |
| $[70, 75\rangle$ | 1 |
---
**Fartsgrense $80 \mathrm{~km/h}$**
| Fart | Antall biler |
|:----:|:------------:|
| $[70, 75\rangle$ | 7 |
| $[75, 80\rangle$ | 43 |
| $[80, 85\rangle$ | 17 |
| $[85, 90\rangle$ | 8 |
| $[90, 95\rangle$ | 0 |
| $[95, 125\rangle$ | 5 |
a) Presenter dataene fra tabellene ovenfor i hvert sitt stolpediagram.
b) Hvor mange prosent av bilførerne kjører 10 % eller mer over fartsgrensen i hver av de to kontrollene?
c) Finn gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene.
d) Hvor mange prosent over fartsgrensen er gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene?
e) Bruk svarene i a), b), c) og d) til å vurdere om bilførerne kjører mest lovlydig på veistrekningen med fartsgrense $50 \mathrm{~km/h}$ eller på veistrekningen med fartsgrense $80 \mathrm{~km/h}$.
---
## V2011 del 2 oppgave 7 — CO2-utslipp for bil ved 60 og 80 km i timen
- **Fag:** 1P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til $f(x) = 0{,}046x^2 - 6{,}7x + 386$, regne ut utslipp ved 60 km/h, finne bunnpunktet grafisk og samlet utslipp på en halvtime i 80 km/h.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-utslipp-for-bil-ved-60-og-80-km-i-timen/
### Oppgavetekst
Antall gram CO₂ en bil slipper ut per kilometer er gitt ved
$$
f(x) = 0{,}046x^2 - 6{,}7x + 386
$$
der $x$ er farten til bilen målt i km/h.
a) Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem for $x$-verdier fra 20 til 100.
b) Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer, dersom den holder en fart på 60 km/h?
c) Hvilken fart gir minst CO₂-utslipp per kilometer? Hvor stort er CO₂-utslippet per kilometer da?
Bilen kjører i 80 km/h i en halv time.
d) Hvor mye CO₂ slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen?
---
## V2011 del 2 oppgave 7 — Potensregresjon for diameter og volum til kuler
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Potensfunksjon, Kule, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Potensregresjon som gir $f(x) = 0{,}52 \cdot x^{3{,}0}$, løse $f(x) = 1000$ og sammenlikne med kuleformelen $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ uttrykt ved diameteren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensregresjon-for-diameter-og-volum-til-kuler/
### Oppgavetekst
Per prøver å finne en sammenheng mellom diameteren og volumet til kuler.
Han måler diameter og volum for noen kuler av ulik størrelse. Se tabellen nedenfor.
| Diameter ($\mathrm{cm}$) | $3{,}0$ | $6{,}0$ | $10{,}0$ | $16{,}0$ | $26{,}0$ |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Volum ($\mathrm{cm^3} = \mathrm{mL}$) | $14$ | $113$ | $525$ | $2\,145$ | $9\,200$ |
a)
1\) Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = 0{,}52 \cdot x^{3{,}0}$ er en god modell for sammenhengen mellom diameteren, $x$, og volumet, $f(x)$, til kuler.
2\) Tegn grafen til funksjonen $f$.
b) Finn diameteren til en kule med volum $1000 \mathrm{~mL}$.
Per lærte allerede i grunnskolen at formelen for volumet av en kule er $V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$, der $r$ er radius i kulen.
c) Stemmer resultatet fra a) med denne formelen? Forklar.
---
## V2011 del 2 oppgave 7 — Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder
- **Fag:** 1T, 1P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Utfallsrom for stein-saks-papir, antall resultater over tre spill og sannsynlighet for minst to seire og for å vinne flest.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-i-stein-saks-papir-over-tre-runder/
### Oppgavetekst
”Stein – saks – papir” er en konkurranse mellom to personer. Hver person bestemmer seg for enten stein, saks eller papir, og begge viser så samtidig, ved å bruke den ene hånden, hva de har valgt. Se figuren nedenfor.
Reglene er slik:
- Saks vinner over papir.
- Papir vinner over stein.
- Stein vinner over saks.
Dersom begge velger det samme (for eksempel stein), blir det uavgjort.
Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir”. Ett mulig utfall kan da for eksempel bli at Bård velger stein og Lars velger papir.
a) Lag en oversikt som viser alle de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller ”Stein – saks – papir” én gang.
La B bety seier til Bård, U uavgjort og L seier til Lars.
b) Forklar at sannsynligheten for at Bård vinner, $P(B)$, er $\dfrac{1}{3}$.
Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir” tre ganger. Et mulig resultat er da BUL, som betyr at Bård vinner første gang, at det blir uavgjort andre gang, og at Lars vinner tredje gang.
c) Hvor mange ulike resultater kan vi få når Bård og Lars spiller tre ganger?
d) Hva er sannsynligheten for at Bård vinner minst to av de tre gangene?
Når to personer spiller ”Stein – saks – papir”, er vinneren den som vinner flest av tre ganger. Dersom begge vinner like mange ganger, blir det uavgjort.
e) Hva er sannsynligheten for at Bård vinner?
---
## H2011 del 1 oppgave 1 — Standardform, potensregning, statistikk og sannsynlighet H11 del1
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 18
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potensregning, Statistikk, Sannsynlighet, Lineære funksjoner, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Sammensatt Del 1-oppgave med standardform, potensregning, gjennomsnittsfart fra gruppert tabell, lineær lønnsmodell fra graf, sentralmål for karaktersett, tolke vekstfaktoruttrykk for aksjer og klassisk kombinatorisk sannsynlighet med gelépakker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-potensregning-statistikk-og-sannsynlighet-h11-del1/
### Oppgavetekst
a) Skriv på standardform
$$
0{,}000\,533
$$
b) Regn ut
1\)
$$
8 \cdot 2^{-2}
$$
2\)
$$
2^3 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^2
$$
Politiet har gjennomført en fartskontroll i 30 km-sonen utenfor skolen. Resultatene er gitt i tabellen nedenfor.
| Fart $(\mathrm{km/h})$ | Antall biler |
|:---:|:---:|
| $[20, 30\rangle$ | 20 |
| $[30, 40\rangle$ | 20 |
| $[40, 50\rangle$ | 10 |
c) Finn gjennomsnittsfarten.
Ivar plukker moreller. Den grafiske framstillingen nedenfor viser hvor mye han tjener i løpet av en time når han plukker $x \mathrm{~kg}$.
d) Forklar hvordan lønnen til Ivar blir beregnet.
I en klasse er det 10 elever. På en matematikkprøve fikk elevene karakterene
$$
2 \quad 1 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 5 \quad 3 \quad 6 \quad 4 \quad 3
$$
e) Finn medianen, gjennomsnittet og variasjonsbredden.
For 6 måneder siden kjøpte Snorre aksjer. Nedenfor har han regnet ut hva verdien av aksjene er i dag.
$$
25\,000 \text{ kroner} \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}008^2 \cdot 0{,}85^3 \approx 16\,380 \text{ kroner}
$$
f) Hva kan regnestykket fortelle om hvordan verdien av Snorres aksjer har endret seg?
Eva har én pakke blåbærgelé, to pakker kiwigelé, to pakker sitrongelé og tre pakker bringebærgelé.
Hun tar tilfeldig to pakker gelé.
g)
1\) Hva er sannsynligheten for at den første pakken hun tar, er kiwigelé?
2\) Hva er sannsynligheten for at hun tar to pakker kiwigelé?
3\) Hva er sannsynligheten for at hun tar én pakke kiwigelé og én pakke blåbærgelé?
Kine og Mina har deltatt i en svømmekonkurranse. Nedenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av svømmeturen til Kine (blå graf) og svømmeturen til Mina (rød graf).
h) Hva kan du si om de to svømmeturene ut fra grafene?
---
## H2011 del 1 oppgave 2 — Eventyrkjeks salg i kvartal – lage diagrammer
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage sektor- og stablet stolpediagram for kvartalsdata ved å overføre teknikk fra gitte eksempeldiagrammer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eventyrkjeks-salg-i-kvartal-lage-diagrammer/
### Oppgavetekst
Per, Pål og Espen selger pakker med Eventyrkjeks. Diagrammene nedenfor viser resultater fra første kvartal 2011.
a) Bruk opplysningene i tabellen nedenfor til å lage tilsvarende diagrammer for andre kvartal 2011.
| Salg i andre kvartal | April | Mai | Juni |
|---|---|---|---|
| Per | 225 | 90 | 450 |
| Pål | 675 | 180 | 450 |
| Espen | 0 | 630 | 900 |
b) Lag et diagram for andre kvartal som viser hvor mange pakker med Eventyrkjeks hver av de tre guttene solgte hver måned.
---
## H2011 del 2 oppgave 3 — Bibliotekgebyr med lineær og geometrisk vekst
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær vekst, Geometrisk vekst, Modellering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Beregne og sammenligne to gebyrmodeller (aritmetisk og geometrisk vekst) for forsent innlevert bibliotekbok over 100 år, og finne antall uker til gebyr passerer 10 kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bibliotekgebyr-med-lineaer-og-geometrisk-vekst/
### Oppgavetekst
Nils har funnet en bok på loftet. Tippoldefaren til Nils lånte boka på biblioteket og skulle levert den inn igjen 23.11.1911.
Nils lurer på hvor dyrt dette kunne blitt for tippoldefar dersom biblioteket hadde beregnet gebyr for sen innlevering. Han ser for seg at biblioteket kunne beregnet gebyr etter to ulike modeller.
**Modell 1**
Et gebyr på 10 øre en uke etter at boka skulle vært levert inn igjen, og så 5 øre i tilleggsgebyr for hver uke som går etter det. (Det vil si at dersom boka hadde blitt levert tre uker for sent, ville gebyret vært på totalt 20 øre.)
**Modell 2**
Et gebyr på 10 øre en uke etter at boka skulle vært levert inn igjen, og deretter øker dette gebyret med 0,2 % hver uke. (Det vil si at dersom boka hadde blitt levert tre uker for sent, ville gebyret vært på totalt 10,04004 øre.)
I denne oppgaven regner vi at det er 52 uker i et år.
a) Tenk deg at tippoldefar leverer inn boka i dag.
1\) Hvor mye måtte han ha betalt i gebyr dersom biblioteket hadde brukt modell 1?
2\) Hvor mye måtte han ha betalt i gebyr dersom biblioteket hadde brukt modell 2?
b) For hvilken av de to modellene kommer gebyret raskest opp i 10 kroner?
---
## H2011 del 2 oppgave 4 — Mayaindianernes tallsystem med grunntall 20
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Tolke og konvertere mellom mayatallsystemet (grunntall 20, posisjonssystem) og vårt tiltallssystem i begge retninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mayaindianernes-tallsystem-med-grunntall-20/
### Oppgavetekst
Mayaindianerne i Mellom-Amerika utviklet et tallsystem med 20 som grunntall. De eneste symbolene de brukte, var ● for 1, — for 5 og 〇 for 0.
Den første tabellen nedenfor viser mayatallene for 0 til 19, og den andre tabellen viser to eksempler på hvordan mayaindianerne skrev tall større enn 19.
a) Skriv mayatallet som er vist i figuren (to prikker øverst og tre prikker over én strek nederst) i vårt tiltallssystem.
b) Skriv tallet 76 slik mayaindianerne ville gjort det.
---
## H2011 del 2 oppgave 5 — Innbyggertall i bygd med eksponentiell regresjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Geometrisk vekst, Lineær vekst, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Fylle inn endringstall i tabell, argumentere for eksponentiell fremfor lineær modell, gjennomføre regresjonsanalyse og bruke modellen til prognose og kritisk vurdering av alternativ modell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innbyggertall-i-bygd-med-eksponentiell-regresjon/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser innbyggertallet i en liten bygd i årene fra 2005 til 2010. Hans og Grete vil ut fra tabellen lage en matematisk modell som kan brukes til å anslå innbyggertallet i bygda i årene som kommer. Hans mener de bør velge en lineær modell. Grete er ikke enig.
| | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Innbyggertall | 650 | 550 | 467 | 396 | 336 | 284 |
| Endring fra året før | | $-100$ | | | | |
| Prosentvis endring fra året før | | $-15{,}4\,\%$ | | | | |
Hans og Grete vil ut fra tabellen lage en matematisk modell som kan brukes til å anslå innbyggertallet i bygda i årene som kommer. Hans mener de bør velge en lineær modell. Grete er ikke enig.
La $x$ være antall år etter 2005, og la $f(x)$ være innbyggertallet i bygda.
a)
1\) Tegn av tabellen ovenfor i besvarelsen din. Fyll inn tallene som skal stå i resten av de hvite feltene.
2\) Bruk opplysningene i tabellen. Argumenter for at Hans og Grete ikke bør velge en lineær modell, og foreslå hvilken type modell de bør velge.
b) Bruk regresjon til å finne den modellen du foreslo i a).
c)
1\) Hva vil innbyggertallet i bygda være i 2020 ifølge modellen du fant i b)?
2\) Hvor lang tid vil det gå før innbyggertallet er under 100 ifølge denne modellen?
Hans lager likevel en lineær modell. Han finner at $y = -62x + 635$.
d) Vurder om denne modellen kan brukes til å beskrive innbyggertallet i bygda i årene fram til 2020.
---
## H2011 del 2 oppgave 6 — Mopedkjørere i klasse – krysstabellsannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere opplysninger i krysstabell og beregne klassisk og betinget sannsynlighet for mopedkjørere fordelt på kjønn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mopedkjorere-i-klasse-krysstabellsannsynlighet/
### Oppgavetekst
I klasse 1B er det 12 jenter og 15 gutter. 8 av jentene og 9 av guttene kjører moped til skolen.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Vi trekker tilfeldig en elev fra klassen.
b) Hva er sannsynligheten for at eleven ikke kjører moped?
Vi trekker tilfeldig en av elevene fra klassen som kjører moped.
c) Hva er sannsynligheten for at denne eleven er en gutt?
---
## H2011 del 2 oppgave 7 — Kaffemaskiner med ulik pris og driftskostnad
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Lineær vekst, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse lineære totalkostnadsmodeller for tre kaffemaskiner og undersøke lønnsomhet ved å sammenligne modellene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaffemaskiner-med-ulik-pris-og-driftskostnad/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal vi se på hvor mye det koster å lage en kopp kaffe med tre ulike typer kaffemaskiner.
| | Maskin 1 | Maskin 2 | Maskin 3 |
|---|---|---|---|
| Pris | 1500 kroner | 700 kroner | 9000 kroner |
| Driftsutgifter per kopp | $2{,}71$ kroner | $3{,}12$ kroner | $1{,}27$ kroner |
a) Hvor mange kopper må du lage for at det skal lønne seg å kjøpe henholdsvis maskin 1, maskin 2 og maskin 3?
Anta at en familie i gjennomsnitt lager seks kopper kaffe per dag. Far påstår at det vil lønne seg å kjøpe den dyreste maskinen hvis denne varer i mer enn tre år.
b) Undersøk om fars påstand stemmer.
---
## H2011 del 2 oppgave 8 — Sentralmål og standardavvik ved dobling av tallmengde
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne og sammenligne median, gjennomsnitt og standardavvik for en tallmengde og dens dobling, og formulere og begrunne generelle regler for hvordan disse størrelsene endrer seg ved skalering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-og-standardavvik-ved-dobling-av-tallmengde/
### Oppgavetekst
a) Finn median, gjennomsnitt og standardavvik for tallmengden:
$$
2 \quad 5 \quad 21 \quad 15 \quad 17 \quad 5 \quad 9 \quad 19 \quad 10 \quad 14 \quad 7 \quad 3 \quad 2 \quad 11 \quad 13
$$
Vi dobler alle tallene i tallmengden og får:
$$
4 \quad 10 \quad 42 \quad 30 \quad 34 \quad 10 \quad 18 \quad 38 \quad 20 \quad 28 \quad 14 \quad 6 \quad 4 \quad 22 \quad 26
$$
b) Finn median, gjennomsnitt og standardavvik for denne tallmengden. Sammenlikn med resultatene fra a) og kommenter.
Berit får en idé og setter opp tabellen nedenfor.
| | | | | | | | | | | | | | | | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| **Tallmengde 1** (15 tall) | 2 | 5 | 21 | 15 | 17 | 5 | 9 | 19 | 10 | 14 | 7 | 3 | 2 | 11 | 13 |
| **Tallmengde 2** (de 15 tallene doblet) | 4 | 10 | 42 | 30 | 34 | 10 | 18 | 38 | 20 | 28 | 14 | 6 | 4 | 22 | 26 |
| **Tallmengde 3** (de 15 tallene tredoblet) | 6 | 15 | 63 | 45 | 51 | 15 | 27 | 57 | 30 | 42 | 21 | 9 | 6 | 33 | 39 |
| **Tallmengde 4** (de 15 tallene firedoblet) | 8 | 20 | 84 | 60 | 68 | 20 | 36 | 76 | 40 | 56 | 28 | 12 | 8 | 44 | 52 |
Hun beregner median, gjennomsnitt og standardavvik for hver av tallmengdene og påstår at hun har funnet regler som sier noe om hvordan medianen, gjennomsnittet og standardavviket endrer seg når tallene i en tallmengde dobles, tredobles, firedobles osv.
c) Formuler disse reglene, og gi en begrunnelse for at de er riktige.
---
## V2010 del 1 oppgave 1 — Lineær funksjon, potensregning og statistikk (2P-Y V10 del 1)
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 20
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Potenser, Standardform, Statistikk, Sannsynlighet, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Samleoppgave med lineær funksjon, potensregning, standardform, tallsystem, frekvens/median, sannsynlighet fra lykkehjul og grafavlesning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-funksjon-potensregning-og-statistikk-2p-y-v10-del-1/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -2x + 3
$$
a) Tegn grafen til $f$ og finn nullpunktet for $f$.
b) Regn ut
$$
5 - 2^4 \cdot (4 - 3)^3 \cdot 2^{-3}
$$
c) Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{2{,}7 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^4}
$$
d) Skriv tallet 59 i totallsystemet.
I fjor kom alle elevene i en matematikkgruppe opp til eksamen i 2P. De oppnådde disse resultatene:
$$
1, 6, 5, 4, 3, 2, 5, 5, 2, 4, 2, 2, 6, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 5
$$
e) 1) Lag en tabell som viser frekvens og kumulativ frekvens.
e) 2) Finn medianen og gjennomsnittet for datamaterialet.
Figuren ovenfor viser et lykkehjul.
f) 1) Lise snurrer hjulet én gang. Hva er sannsynligheten for at pilen peker på enten blått eller grønt felt når hjulet stopper?
f) 2) Lotte snurrer hjulet to ganger. Hva er sannsynligheten for at pilen peker én gang på gult felt og én gang på grønt felt?
Sebastian har en tank som han fyller med vann. Grafen viser høyden $h$ dm til vannoverflaten i tanken som funksjon av tiden $t$ minutter.
g) 1) Hva er høyden til vannoverflaten etter 2 minutter?
g) 2) Hvor mange minutter og sekunder tar det før høyden til vannoverflaten er $6{,}0 \mathrm{~dm}$?
---
## V2010 del 1 oppgave 2 — Grafer for lineær, proporsjonal og omvendt proporsjonal sammenheng
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Proporsjonalitet, Omvendt proporsjonalitet, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Skissere tre ulike grafer fra verbale beskrivelser og tolke y-verdi ved x = 0 praktisk for hver.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafer-for-lineaer-proporsjonal-og-omvendt-proporsjonal-sammenheng/
### Oppgavetekst
Tre elever kommer med hvert sitt utsagn. Se boblene ovenfor.
a) Skisser grafer som illustrerer de tre utsagnene. Lag én graf for hvert utsagn.
Ta for deg hver av de tre grafene du skisserte i a).
b) Finnes det et punkt på grafen som har x-verdi lik 0? Gi i så fall en praktisk tolkning av y-verdien i dette punktet.
---
## V2010 del 2 oppgave 3 — Laksefangst i Gaula – tabell, diagram og statistikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne manglende tabellverdier, lage diagram og finne gjennomsnitt og standardavvik for totalvekt av laks fanget i Gaula.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/laksefangst-i-gaula-tabell-diagram-og-statistikk/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange laks, totalvekten av laksen og gjennomsnittsvekten for laksen som er fanget i elva Gaula i Sør-Trøndelag de siste ti årene.
| År | Antall laks | Totalvekten av laksen (kg) | Gjennomsnittsvekten for laksen (kg) |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 2000 | 3447 | 14550 | 4,22 |
| 2001 | 5694 | 24218 | 4,25 |
| 2002 | 3142 | 1) | 5,51 |
| 2003 | 4401 | 22425 | 5,10 |
| 2004 | 2928 | 17979 | 2) |
| 2005 | 5783 | 28144 | 4,87 |
| 2006 | 6507 | 26695 | 4,10 |
| 2007 | 3555 | 21074 | 5,93 |
| 2008 | 4782 | 28903 | 6,04 |
| 2009 | 3916 | 24361 | 6,22 |
Kilde: Fangstrapportering av laks, www.gaula.no (01.12.2009)
a) Hvilke tall skal stå i tabellfeltene som er merket 1) og 2)?
b) Lag et passende diagram som viser hvor mange laks som er fanget i Gaula per år de siste ti årene.
c) Finn gjennomsnittet av og standardavviket for totalvekten av laksen fanget i Gaula per år de siste ti årene.
---
## V2010 del 2 oppgave 4 — Bilverdi med geometrisk nedgang på 14 prosent
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Vekstfaktor, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne fremtidig verdi og opprinnelig verdi for bil med geometrisk verdinedgang på 14 % per år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bilverdi-med-geometrisk-nedgang-pa-14-prosent/
### Oppgavetekst
Stian har en bil som i dag er verdt 240 000 kroner. Verdien av bilen har avtatt med 14 % hvert år siden den var ny. Vi antar at verdien vil fortsette å avta med 14 % hvert år framover.
a) Hvor mye vil bilen være verdt om 3 år?
b) Hvor mye var bilen verdt for 4 år siden?
---
## V2010 del 2 oppgave 5 — Sykkeltur Trondheim–Melhus med lineære funksjoner
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke lineær bevegelsesmodell $y = 12x + 5$, beregne strekning og fart, og sammenligne to syklister for å avgjøre hvem som ankommer Melhus først.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkeltur-trondheim-melhus-med-lineaere-funksjoner/
### Oppgavetekst
Kilde: Utdanningsdirektoratet
Arne og Frode skal sykle til Melhus. Arne starter i Trondheim sentrum. Han holder en jevn fart på $18 \mathrm{~km/t}$.
a) Hvor langt har Arne syklet etter 45 minutter?
Frode starter samtidig med Arne, men nærmere Melhus. Han holder jevn fart. Etter $x$ timer vil Frode være $y$ km fra Trondheim sentrum, der $y = 12x + 5$.
b) Hvor langt er det fra Trondheim sentrum til der Frode starter? Hvor stor er farten til Frode?
Fra Trondheim til Melhus er det ca. 20 km.
c) Hvem av de to kommer først til Melhus?
---
## V2010 del 2 oppgave 6 — CO₂ i atmosfæren – lineær regresjon og prognose
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Plotte datapunkter, finne lineær regresjonsfunksjon og bruke modellen til å beregne CO₂-mengde i 2050.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-i-atmosfaeren-lineaer-regresjon-og-prognose/
### Oppgavetekst
Tabellen viser mengden $\text{CO}_2$ i atmosfæren for noen utvalgte år i perioden fra 1960 til 2005. $\text{CO}_2$-verdiene er målt i gigatonn karbon.
| Årstall | x-verdi | Mengde $\text{CO}_2$ (målt i gigatonn karbon) |
|:---:|:---:|:---:|
| 1960 | 0 | 676 |
| 1970 | 10 | 694 |
| 1980 | 20 | 722 |
| 1990 | 30 | 755 |
| 2000 | 40 | 788 |
| 2005 | 45 | 810 |
Kilde: http://www.carboeurope.org/education/experiments.php (05.01.2010)
a) Sett verdiene fra tabellen inn i et koordinatsystem der x-aksen viser antall år etter 1960.
b) Bruk regresjon til å finne den lineære funksjonen som passer best med datamaterialet.
I oppgave c) skal du bruke funksjonen fra b) som en modell for utvikling.
c) Hvor mye $\text{CO}_2$ vil det være i atmosfæren i 2050 ifølge denne modellen?
---
## V2010 del 2 oppgave 7 — Utdanningsnivå i kommune – sannsynlighet fra toveis tabell
- **Fag:** 2P-Y, 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lese av totaltall og beregne sannsynligheter for utdanningsnivå fra toveis frekvenstabell for menn og kvinner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utdanningsniva-i-kommune-sannsynlighet-fra-toveis-tabell/
### Oppgavetekst
En kommune har kartlagt utdanningsnivået blant innbyggerne i aldersgruppen 30–39 år. Tabellen viser høyeste fullførte utdanning for disse innbyggerne.
<table class="grid">
<tr>
<td></td>
<th>Kvinner</th>
<th>Menn</th>
<th>Totalt</th>
</tr>
<tr>
<th>Grunnskole</th>
<td>166</td>
<td>253</td>
<td>419</td>
</tr>
<tr>
<th>Videregående skole</th>
<td>385</td>
<td>654</td>
<td>1039</td>
</tr>
<tr>
<th>Universitet eller høyskole</th>
<td>517</td>
<td>493</td>
<td>1010</td>
</tr>
<tr>
<th>Totalt</th>
<td>1068</td>
<td>1400</td>
<td>2468</td>
</tr>
</table>
a) Hvor mange personer i aldersgruppen 30–39 år bor det i kommunen?
b) Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen bare har fullført grunnskoleutdanning?
Du møter en tilfeldig valgt mann mellom 30 og 39 år fra denne kommunen.
c) Hvor stor er sannsynligheten for at han ikke har fullført universitets- eller høyskoleutdanning?
Du møter en tilfeldig valgt kvinne og en tilfeldig valgt mann mellom 30 og 39 år fra denne kommunen.
d) Hva er sannsynligheten for at begge to bare har fullført grunnskoleutdanning?
---
## V2010 del 2 oppgave 8-I — Overskuddsfunksjon med andregradsledd – optimering
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8-I
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Optimering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Analysere overskuddsfunksjon $O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000$; finne toppunkt (maks overskudd), nullpunkter (break-even) og nytt toppunkt etter kostnadsøkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskuddsfunksjon-med-andregradsledd-optimering/
### Oppgavetekst
> **Valgoppgave – Alternativ I**
> I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
Hvis en bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag, er overskuddet $O(x)$ per dag i kroner gitt ved
$$
O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000
$$
a) Tegn grafen til $O$. Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for at overskuddet skal bli størst mulig?
b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for å ikke gå med underskudd?
Bedriften får en ekstra kostnad på 100 kroner per produserte enhet.
c) Hvor mange enheter må bedriften nå produsere og selge hver dag for at overskuddet skal bli størst mulig?
---
## V2010 del 2 oppgave 8-II — Briller og kontaktlinser – sannsynlighet med overlappende kategorier
- **Fag:** 2P-Y, 1T
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8-II
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Diagram, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere prosentdata for brillebruk i Venn-diagram eller tabell, og beregne sannsynligheter for personer som ikke bruker briller og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/briller-og-kontaktlinser-sannsynlighet-med-overlappende-kategorier/
### Oppgavetekst
> **Valgoppgave – Alternativ II**
> I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
Kilde: Utdanningsdirektoratet
En undersøkelse fra Norges Optikerforbund viser at i aldersgruppen 15–29 år er det
- 14,3 % som bare bruker briller
- 7,2 % som bare bruker kontaktlinser
- 9,7 % som bruker både kontaktlinser og briller
a) Lag en systematisk oppstilling (diagram eller tabell) for å illustrere opplysningene i teksten ovenfor.
b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen ikke bruker briller.
c) En tilfeldig valgt person i gruppen bruker briller. Finn sannsynligheten for at denne personen også bruker kontaktlinser.
---
## H2010 del 1 oppgave 1 — Statistikk, potenser, standardform, sannsynlighet og funksjoner
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 15
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Potenser, Standardform, Sannsynlighet, Funksjoner, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Samleoppgave med median/gjennomsnitt, potensregning, standardform, sannsynlighet fra brøk, tolkning av grafer og funksjonstyper, og sammensatt vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-potenser-standardform-sannsynlighet-og-funksjoner/
### Oppgavetekst
a) En gruppe ungdommer blir spurt om hvor mange søsken de har. Her er resultatene:
$$
1, \quad 3, \quad 0, \quad 3, \quad 1, \quad 2, \quad 1, \quad 0, \quad 4, \quad 2
$$
Finn medianen og gjennomsnittet.
b) Regn ut
1\)
$$
\dfrac{3^3 \cdot 3^2}{3^4}
$$
2\)
$$
\dfrac{a \cdot b^{-1}}{a^0 \cdot b^{-3}}
$$
c) Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
6{,}0 \cdot 10^7 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-3}
$$
I en twistpose er det 30 twistbiter. Per liker 18 av disse. Vi trekker tilfeldig én twistbit fra posen.
d)
1\) Finn sannsynligheten for at Per liker denne twistbiten.
Sannsynligheten for at Ola liker en tilfeldig valgt twistbit fra posen, er $0{,}4$.
2\) Hvor mange av twistbitene i posen liker Ola?
Jens og far har løpt 100-meteren. Far fikk starte tre sekunder før Jens. Nedenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av løpet til Jens og av løpet til far.
e) Hva kan du si om de to løpene ut fra den grafiske framstillingen ovenfor?
De tre funksjonene $f$, $g$ og $h$ er gitt ved
$$
f(x) = 5x^2 + 100 \qquad g(x) = 100 \cdot 5^x \qquad h(x) = 5x + 100
$$
f) Hvilken av de tre funksjonene beskriver lineær vekst? Lag et eksempel der du bruker denne lineære funksjonen til å beskrive en praktisk situasjon.
Jorunn har aksjer i et firma. Først stiger verdien av aksjene én gang. Senere stiger verdien igjen. Jorunn kan regne ut den nye verdien slik:
$$
\text{Ny verdi} = \text{Gammel verdi} \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}2
$$
g) Hvor mange prosent har verdien av aksjene til sammen steget med?
---
## H2010 del 1 oppgave 2 — Konvertering mellom tallsystemer med grunntall 2, 3 og 10
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Bits og bytes
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut en tabell ved å konvertere tall mellom titallsystemet, totallsystemet og tretallsystemet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvertering-mellom-tallsystemer-med-grunntall-2-3-og-10/
### Oppgavetekst
I tallsystemet som vi vanligvis bruker, er grunntallet 10. I totallsystemet er grunntallet 2. Det finnes også tallsystemer med andre grunntall.
| Tallsystem med grunntall 10 | Tallsystem med grunntall 2 | Tallsystem med grunntall 3 |
|:---:|:---:|:---:|
| 4 | | $11_3$ |
| | $1011_2$ | |
| | | $221_3$ |
Tegn av tabellen ovenfor i besvarelsen din, gjør beregninger og fyll inn det som mangler.
---
## H2010 del 1 oppgave 3 — Klassefest og høyrentekonto med matematiske modeller
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp matematisk modell for kostnad per elev ved klassefest (omvendt proporsjonalitet) og for sparing med rente (eksponentiell vekst).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klassefest-og-hoyrentekonto-med-matematiske-modeller/
### Oppgavetekst
> Håkon
> Vi skal arrangere klassefest. Det vil koste 6 300 kroner. Utgiftene skal deles likt mellom elevene som blir med.
a)
1\) Hvor mange elever må bli med på klassefesten dersom hver elev ikke skal måtte betale mer enn 300 kroner?
2\) Sett opp en matematisk modell som Håkon kan bruke for å regne ut hvor mye hver elev må betale dersom utgiftene deles likt og $x$ elever deltar på festen.
> Mette
> Jeg setter inn 10 000 kroner på en høyrentekonto. Jeg regner med å få 4 % rente per år.
b)
1\) Hvor mye vil Mette ha på kontoen etter ett år?
2\) Sett opp en matematisk modell som Mette kan bruke for å regne ut hvor mye penger hun har på kontoen etter $x$ år.
---
## H2010 del 2 oppgave 4 — Fluer i kasse modellert med kubisk funksjon
- **Fag:** 2P-Y, 1P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf for $f(t) = -0{,}007t^3 + 0{,}5t^2 - 3t + 20$ i passende intervall, lese av start- og sluttverdier, og bestemme tidsrom med økning samt gjennomsnittlig økning per dag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fluer-i-kasse-modellert-med-kubisk-funksjon/
### Oppgavetekst
Aud arbeider ved et laboratorium. En dag samler hun fluer i en kasse. Hun mater fluene og holder dem isolert i to måneder. Hun finner ut at en god tilnærming for antall fluer i kassen etter $t$ dager er gitt ved
$$
f(t) = -0{,}007t^3 + 0{,}5t^2 - 3t + 20
$$
a) Bruk opplysningene i teksten ovenfor til å avgjøre hvilke $t$-verdier du bør bruke når du tegner grafen til $f$. Tegn grafen for disse verdiene av $t$.
b) Finn grafisk og ved regning hvor mange fluer det var i kassen ved starten og ved slutten av eksperimentet.
c)
1\) I hvilket tidsrom økte antall fluer i kassen?
2\) Finn den gjennomsnittlige økningen per dag i dette tidsrommet.
---
## H2010 del 2 oppgave 5 — Aksjeverdier med månedlig vekst og fall over ett år
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Eksponentialfunksjon, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Beregne aksjeverdi etter månedlig prosentvis vekst/fall med sammensatte vekstfaktorer, og finne antall måneder til verdi er tilbake til utgangspunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aksjeverdier-med-manedlig-vekst-og-fall-over-ett-ar/
### Oppgavetekst
Verdien av aksjene i et firma har steget med 5 % per måned det siste året. Berit kjøper derfor aksjer for 10 000 kroner i dette firmaet.
Berit håper at verdien av aksjene vil fortsette å stige med 5 % per måned det neste året.
a)
1\) Hvor mye vil aksjene til Berit være verdt etter én måned hvis det går som hun håper?
2\) Hvor mye vil aksjene til Berit være verdt etter ett år hvis det går som hun håper?
I ettertid viste det seg at verdien av aksjene til Berit steg med 5 % per måned i fire måneder. Deretter steg verdien med 3 % per måned i tre måneder. Så sank verdien med 3 % per måned de neste fem månedene.
b) Finn ut hvor mye verdien av aksjene steg, både i kroner og prosent, i løpet av dette året.
Verdien av aksjene fortsatte å synke med 3 % per måned det neste året.
c) Hvor mange måneder gikk det før Berits aksjer igjen var verdt 10 000 kroner?
---
## H2010 del 2 oppgave 6 — Ballbinge i idrettslag og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y, 1T, 2P, 1P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut en tohensikts-frekvenstabell, beregne sannsynlighet og betinget sannsynlighet, og løse likning for antall nye medlemmer som kreves for å oppnå 75 % andel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ballbinge-i-idrettslag-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Fotballgruppa i et idrettslag ønsker seg en ny ballbinge. De gjennomfører en spørreundersøkelse for å finne ut hva medlemmene i idrettslaget mener om dette.
- Alle de 240 medlemmene i idrettslaget blir spurt.
- 45 % av medlemmene er kvinner.
- 63 av mennene ønsker ballbinge.
- Til sammen 110 av medlemmene ønsker ikke ballbinge.
| | Mann | Kvinne | Totalt |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Ønsker ballbinge | | | |
| Ønsker ikke ballbinge | | | |
| Totalt | | | |
a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk opplysningene ovenfor og fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene.
b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem i idrettslaget ønsker ballbinge.
Et medlem blir valgt tilfeldig. Det viser seg at dette medlemmet ønsker ballbinge.
c) Finn sannsynligheten for at dette medlemmet er en mann.
Styret i idrettslaget setter som krav at minst 75 % av medlemmene må ønske ballbinge dersom de skal godkjenne planene.
Fotballgruppa prøver å verve nye medlemmer som ønsker ballbinge.
d) Hvor mange slike medlemmer må fotballgruppa verve for at kravet fra styret skal innfris?
---
## H2010 del 2 oppgave 7 — Treets høyde og eksponentiell regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Framstille måldata i koordinatsystem, beregne prosentvis endring for å velge modelltype, utføre regresjon og tegne modell, og vurdere modellens gyldighetsområde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/treets-hoyde-og-eksponentiell-regresjon/
### Oppgavetekst
Jon har i flere år målt høyden til et tre. Se tabellen nedenfor. Første gang han målte, var treet 1,00 m høyt.
| Antall år etter første måling | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Treets høyde (målt i $\mathrm{m}$) | 1,00 | 1,25 | 1,55 | 1,94 | 2,46 | 3,04 | 3,83 |
a) Framstill datamaterialet fra tabellen ovenfor i et koordinatsystem.
Jon vil finne en matematisk modell som viser treets høyde. Han er usikker på hvilken type modell som passer best. Han legger til en ekstra rad i tabellen. Se nedenfor.
| Antall år etter første måling | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Treets høyde (målt i $\mathrm{m}$) | 1,00 | 1,25 | 1,55 | 1,94 | 2,46 | 3,04 | 3,83 |
| Prosentvis endring fra året før | | | | | | | |
b) Tegn av denne tabellen i besvarelsen din. Fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene. Bruk disse tallene til å begrunne hvilken type modell Jon bør velge.
c) Bruk for eksempel regresjon til å finne modellen. Tegn grafen til modellen i samme koordinatsystem som du brukte i a).
d) Denne modellen er laget på grunnlag av data fra en periode på seks år. Vurder om modellen kan brukes til å si noe om treets vekst før og etter denne perioden.
---
## H2010 del 2 oppgave 8 — Leksetimer for jenter og gutter sammenlignet med sentralmål
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne og tolke ulike sentral- og spredningsmål for to datasett, og bruke dem til å sammenligne jenter og gutters arbeidsvaner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leksetimer-for-jenter-og-gutter-sammenlignet-med-sentralmal/
### Oppgavetekst
I klasse 1A er det 12 jenter og 12 gutter. Nedenfor ser du hvor mange timer de bruker på lekser hver uke.
Jentene: 7, 5, 5, 7, 7, 6, 8, 8, 5, 4, 6, 10
Guttene: 2, 5, 6, 7, 9, 6, 4, 9, 12, 2, 13, 3
Bruk ulike sentral- og spredningsmål og gjør rede for hva dette datamaterialet viser om jentenes og guttenes arbeidsvaner i denne klassen.
---
## H2010 del 2 oppgave 9-I — Tre telefonabonnement og grafsammenligning
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9-I
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne og sammenligne grafer for tre telefonabonnement og finne ut når hvert abonnement lønner seg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-telefonabonnement-og-grafsammenligning/
### Oppgavetekst
> I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II.
> De to alternativene teller like mye ved sensuren.
**Alternativ I**
Tabellen nedenfor viser kostnader per måned ved tre ulike telefonabonnement, A, B og C.
| Abonnement | Fast månedspris | Pris per minutt du ringer |
|:---:|:---:|:---|
| A | 0 kroner | 1,59 kroner per minutt |
| B | 100 kroner | De første 100 minuttene er gratis, deretter 1,19 kroner per minutt |
| C | 250 kroner | 0,49 kroner per minutt |
a) Tegn grafer som viser de månedlige kostnadene ved hvert av de tre telefonabonnementene. De tre grafene skal tegnes i samme koordinatsystem. La $x$-aksen vise antall minutter du ringer, og $y$-aksen kostnader per måned. Velg $x$-verdier fra og med 0 minutter til og med 500 minutter.
b) Hvor mye må du ringe for at det skal lønne seg å bruke hvert av de tre abonnementene A, B og C?
---
## H2010 del 2 oppgave 9-II — Vindmålinger gruppert etter vindtype
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9-II
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Gruppere vindmålinger etter vindtype og beregne gjennomsnitt og median fra det grupperte datamaterialet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vindmalinger-gruppert-etter-vindtype/
### Oppgavetekst
> I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II.
> De to alternativene teller like mye ved sensuren.
**Alternativ II**
| Vindtype | Vindhastighet i $\mathrm{m/s}$ |
|:---|:---:|
| Svak vind | $\langle 0 , 3{,}4 \rangle$ |
| Bris | $[ 3{,}4 , 10{,}8 \rangle$ |
| Kuling | $[ 10{,}8 , 20{,}8 \rangle$ |
| Storm | $[ 20{,}8 , 32{,}6 \rangle$ |
| Orkan | $[ 32{,}6 , 50 \rangle$ |
Kilde: Meteorologisk institutt
Ovenfor ser du en litt forenklet vindskala.
Diagrammet nedenfor viser resultatet av vindmålinger i Stormby gjennom en måned på 30 dager. Vindstyrken er målt i meter per sekund.
a) Lag en tabell der du grupperer datamaterialet fra diagrammet etter vindtype.
b) Ta utgangspunkt i det grupperte datamaterialet og finn gjennomsnitt og median.
---
## V2009 del 1 oppgave 1 — Oslo Børs, potenser og 2-tallsystem
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Potenser, Standardform, Tallregning, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Grafavlesning av Oslo Børs, forenkling av potensuttrykk og standardform, konvertering til 2-tallsystem, og valg av riktig renteformel for månedlig rente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oslo-bors-potenser-og-2-tallsystem/
### Oppgavetekst
Diagrammet nedenfor viser hvordan hovedindeksen på Oslo Børs endret seg høsten 2008.
*Kilde: ssb.no*
a)
1\. Når var indeksen høyest, og når var den lavest?
2\. Hvor mye endret indeksen seg i gjennomsnitt per dag i perioden fra 1. september til 1. oktober?
b) Skriv så enkelt som mulig
1\.
$$
\dfrac{2^8 \cdot 2^{-4}}{2^5}
$$
2\.
$$
2{,}0 \cdot 10^6 \cdot 8{,}4 \cdot 10^4
$$
c) Skriv tallet 61 i 2-tall-systemet.
Simen har lånt penger. Han betaler $1{,}2 \%$ rente per måned. Han lurer på hvor mange prosent rente dette tilsvarer per år.
Han spør tre av vennene sine om hjelp. De tre vennene har begynt slik som Alternativ 1), 2) og 3) nedenfor viser.
1. $1{,}2 \cdot 12 = 14{,}4$
2. $1{,}2^{12} = 8{,}9$
3. $1{,}012^{12} = 1{,}153$
d) Velg den metoden du mener er riktig, og finn renten per år.
I 1991 ble boken *Sofies verden* av Jostein Gaarder utgitt. Boken ble en bestselger. Det er solgt ca. 30 millioner eksemplarer over hele verden. Boken er på ca. 500 sider, altså 250 ark. Hvert ark i boken er omtrent $0{,}10 \mathrm{~mm}$ tykt.
*Kilde: Utdanningsdirektoratet*
e)
1\. Tenk deg at du ville sette alle de 30 millioner eksemplarene i en bokhylle. Gjør et overslag, og finn ut omtrent hvor lang denne bokhyllen måtte ha vært.
Fra det nordligste til det sørligste punktet i Norge er det ca. $1700 \mathrm{~km}$.
2\. Gjør et overslag, og finn ut omtrent hvor mange eksemplarer av *Sofies verden* man måtte ha hatt for å fylle en bokhylle på $1700 \mathrm{~km}$.
---
## V2009 del 1 oppgave 2 — Pengeforbruk på sommerleir
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut manglende verdier i frekvenstabell, lage diagram, beregne gjennomsnitt fra grupperte data med $\bar{x} = \sum m \cdot s$, og forklare at median er lavere enn gjennomsnitt ved hjelp av kumulativ frekvens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pengeforbruk-pa-sommerleir/
### Oppgavetekst
Sommeren 2007 var 175 skoleelever på sommerleir. Etter leiren ble de spurt om hvor mye penger de hadde brukt på brus, is og godteri. Resultater fra undersøkelsen er vist i skjemaet nedenfor.
| Penger brukt (kr) | Klassemidtpunkt $m$ | Frekvens Hyppighet $f$ | Relativ frekvens $s$ | Produkt $m \cdot s$ |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Fra og med 0 til 40 | 20 | 21 | $0{,}12$ | $2{,}4$ |
| Fra og med 40 til 80 | 60 | 70 | 2) | $24{,}0$ |
| Fra og med 80 til 120 | 100 | 49 | $0{,}28$ | $28{,}0$ |
| Fra og med 120 til 160 | 140 | 21 | $0{,}12$ | $16{,}8$ |
| Fra og med 160 til 200 | 180 | 1) | $0{,}08$ | $14{,}4$ |
| Totalt | | 175 | $1{,}00$ | $85{,}6$ |
a) Hvilke tall skal stå i feltene som ikke er fylt ut, og som er merket 1) og 2)?
b) Framstill dataene over pengeforbruket i et egnet diagram.
c) Hvor mye penger brukte i gjennomsnitt hver av de 175 elevene?
Kristian påstår at han med én gang kan si at for dette datamaterialet er medianen lavere enn gjennomsnittet.
d) Forklar hvordan Kristian kan se dette direkte ut fra tabellen ovenfor.
---
## V2009 del 2 oppgave 3 — Lineær modell for hageslange og vogn
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likningssystem for å bestemme $a$ og $b$ i $y = ax + b$ fra to datapunkter, og tolke koeffisientene i praktisk kontekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-hageslange-og-vogn/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom prisen for en vogn med hageslange og lengden av hageslangen.
| Lengden av slangen (meter) | 25 | 50 |
|:---|:---:|:---:|
| Prisen for vogn med slange (kroner) | 250 | 375 |
Denne sammenhengen kan beskrives ved hjelp av uttrykket $y = ax + b$, der $x$ meter er lengden av slangen, og $y$ kr er prisen for vogna med hageslange.
*Kilde: Utdanningsdirektoratet*
a) Finn tallene $a$ og $b$.
b) Gi en praktisk tolkning av tallene $a$ og $b$ i denne oppgaven.
---
## V2009 del 2 oppgave 4 — Sannsynlighet for rødt lys ved fotgjengeroverganger
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for uavhengige hendelser ved to fotgjengeroverganger med ulike lyssykluser, inkludert begge røde og nøyaktig én rød.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-rodt-lys-ved-fotgjengeroverganger/
### Oppgavetekst
Tone går til jobben hver dag. På veien gjennom byen må hun på to ulike steder over en fotgjengerovergang som har lysregulering. Hun er irritert fordi hun mener at hun alltid må vente på grønt lys. Hun ringer trafikketaten for å høre hvordan dette kan henge sammen, og får da opplyst følgende:
- Ved første fotgjengerovergang er det rødt lys i 20 sekunder og grønt i 30 sekunder.
- Ved andre fotgjengerovergang er periodene med rødt og grønt lys like lange.
- Lysene virker uavhengig av hverandre.
*Kilde: Utdanningsdirektoratet*
a) Forklar at sannsynligheten for å få rødt lys ved første fotgjengerovergang er $\dfrac{2}{5}$ og at sannsynligheten for å få rødt lys ved andre fotgjengerovergang er $\dfrac{1}{2}$.
b) Hva er sannsynligheten for at Tone vil få rødt lys ved begge fotgjengerovergangene?
c) Hva er sannsynligheten for at Tone får rødt lys på nøyaktig en av fotgjengerovergangene?
---
## V2009 del 2 oppgave 5 — Salg av diesel og bensin modellert med kubikkfunksjoner
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Graftolkning, Likninger, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke to kubiske funksjoner for diesel- og bensinsalg, lese av funksjonsverdier, finne skjæringspunkt og sum lik gitt verdi, samt vurdere modellenes gyldighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/salg-av-diesel-og-bensin-modellert-med-kubikkfunksjoner/
### Oppgavetekst
*Kilde: Utdanningsdirektoratet*
I perioden fra og med år 2000 til og med år 2007 har flere nordmenn valgt å kjøpe biler som går på diesel, i stedet for bensindrevne biler. Funksjonen $f$ er en modell for utviklingen i salget av diesel i denne perioden, mens funksjonen $g$ er en modell for utviklingen i salget av bensin.
$$
f(x) = 0{,}54x^3 + 6{,}32x^2 + 33{,}8x + 1410
$$
$$
g(x) = -0{,}20x^3 - 5{,}32x^2 + 18{,}8x + 1693
$$
Her er $x$ antall år etter år 2000. $f(x)$ og $g(x)$ viser salget av de to petroleumsproduktene diesel og bensin i millioner liter per år.
a) Tegn grafen til $f$ og grafen til $g$ i et koordinatsystem for $x$-verdier fra og med 0 til og med 8.
b) Hvor mye diesel og hvor mye bensin ble det solgt i år 2002?
c) Når ble det solgt like mye diesel og bensin?
d) Når passerte salget av de to petroleumsproduktene til sammen $3\,500$ millioner liter per år?
e) Hvordan vil salget av diesel og bensin utvikle seg i årene framover, dersom vi tenker oss at de to modellene ovenfor fortsatt vil gjelde? Mener du at det er realistisk å tenke seg at modellene vil være gyldige i flere år framover? Husk å begrunne svaret.
---
## V2009 del 2 oppgave 6-I — Teatersal med stolrader og billettpriser
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Modellering, Andregradslikninger, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Aritmetisk tallfølge for antall plasser i radene i en teatersal, med billettpriser som synker bakover, og optimering av total billettpris per rad.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/teatersal-med-stolrader-og-billettpriser/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge* ***enten*** *alternativ I* ***eller*** *alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
Denne oppgaven handler om en teatersal. På første stolrad er det 10 plasser. På andre rad er det 12 plasser, og på tredje rad er det 14 plasser.
Slik fortsetter det å øke med to plasser for hver rad bakover i salen.
a)
1\. Hvor mange plasser er det på rad 6 og på rad 10?
2\. Forklar at det på rad $n$ vil være $(8 + 2n)$ plasser.
Bakerste rad har 48 plasser.
b) Hvor mange stolrader er det i salen?
På første rad er billettprisen 360 kroner. Billettprisen synker med 10 kroner for hver rad bakover i salen. På andre rad er billettprisen altså 350 kroner, på tredje rad 340 kroner og på rad $n$ er billettprisen $(370 - 10n)$ kroner.
c)
1\. Hva koster billettene til sammen på rad 8?
2\. Forklar at billettene på rad $n$ til sammen koster $(8 + 2n) \cdot (370 - 10n)$ kroner.
d) På hvilken rad koster billettene mest til sammen?
---
## V2009 del 2 oppgave 6-II — Bedriftsoverskudd med regresjon og optimering
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Andregradslikninger, Optimering, Økonomi, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke regresjon til å finne en andregradsmodell for et bedriftsoverskudd, og optimere og vurdere to tiltak som endrer modellen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bedriftsoverskudd-med-regresjon-og-optimering/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge* ***enten*** *alternativ I* ***eller*** *alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare hver dag. Bedriftens ledelse har funnet ut følgende:
- Overskuddet $O(x)$ er størst når bedriften produserer og selger 55 enheter per dag. Overskuddet er da 20 250 kroner.
- Produksjon og salg av 40 eller 70 enheter per dag gir et overskudd på 18 000 kr.
- Dersom produksjon og salg kommer ned i 10 enheter per dag, blir overskuddet 0 kr.
a) Bruk regresjon til å vise at funksjonen $O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000$ er en god modell for bedriftens overskudd ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag.
b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for å oppnå et overskudd på 14 000 kr?
Bedriften ligger i en kommune som sliter med fraflytting, blant annet på grunn av mangel på arbeidsplasser. For å sysselsette flere personer har ledelsen vurdert å øke produksjonen.
c) Hvor mange enheter kan de maksimalt produsere og selge hver dag, dersom de skal gå med overskudd?
For å øke sysselsettingen ytterligere vurderer ledelsen, i samarbeid med kommunen, to ulike tiltak som vil endre modellen for overskuddet, $O(x)$.
**Tiltak 1**
Ledelsen kan sette opp prisen på varene med $b$ kroner per enhet. Den nye modellen for bedriftens overskudd vil da bli $O(x) = -10x^2 + 1100x + bx - 10000$
**Tiltak 2**
Kommunen kan gi bedriften et tilskudd på $c$ kroner per dag. Da vil den nye modellen for overskuddet bli $O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000 + c$
d) Du skal vurdere de to ulike tiltakene.
1\. Dersom ledelsen velger å sette i verk Tiltak 1, hva må konstanten $b$ være for at bedriften skal kunne produsere og selge 200 enheter uten å tape penger?
2\. Dersom ledelsen velger å sette i verk Tiltak 2, hva må konstanten $c$ være for at bedriften skal kunne produsere og selge 200 enheter uten å tape penger?
---
## H2009 del 1 oppgave 1 — Standardform, potenser og sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser, Stigningstall, Eksponentialfunksjon, Sannsynlighet, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Kortoppgaver i standardform, potensregler, stigningstall, tolkning av eksponentialfunksjon, totallsystem, klokkeslett, sannsynlighet og relativ frekvens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-potenser-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
a) Skriv tallene 32 000 000 og 0,000 678 på standardform.
b) Regn ut
$$
3^4 \cdot (3^2)^{-4}
$$
c) Tegn punktene $(-2, -1)$ og $(3, 4)$ i et koordinatsystem. Finn stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene.
d) Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = 340\,000 \cdot 0{,}85^x
$$
Gi et eksempel på en praktisk situasjon der $g(x)$ kan være en modell.
e) Hvilket tall er størst av tallet 70 i titallsystemet og tallet 1001001 i totallsystemet?
f) Sondre tar en buss til skolen som går klokka 07.36 hver morgen. En dag kommer han 5 minutter for sent til denne bussen. Neste buss går ikke før klokka 09.18. Hvor lenge må Sondre vente på bussen?
g) Du kaster to terninger én gang. Hva er sannsynligheten for at du får
1\) to seksere
2\) én sekser
h) I en klasse er det 25 elever. 10 av jentene og 5 av guttene har arbeid i tillegg til skolen. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i denne klassen har arbeid i tillegg til skolen?
---
## H2009 del 1 oppgave 2 — Skattesystem med lineær funksjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Prosentregning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Beregne nettolønn med skattesystem: direkte innsetting, tegne $y = 0{,}50x + 50\,000$ og løse likning for gitt nettolønn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skattesystem-med-lineaer-funksjon/
### Oppgavetekst
I et land er skattesystemet slik at de første 100 000 kronene du tjener, er skattefrie, mens du må betale 50 % skatt av det du tjener over 100 000 kroner.
a) Du tjener 500 000 kroner. Hvor stor blir lønnen etter at skatten er trukket fra?
La $x$ være lønnen i kroner før skatten er trukket fra, og $y$ være lønnen i kroner etter at skatten er trukket fra.
Formelen $y = 0{,}50x + 50\,000$ gir oss en sammenheng mellom disse størrelsene.
(Her forutsetter vi at $x$ er større enn 100 000.)
b) Tegn den rette linja $y = 0{,}50x + 50\,000$ i et koordinatsystem. Bruk $x$-verdier fra 0 til 800 000.
c) Hvor mye må du tjene for å ha igjen 350 000 kroner etter at skatten er trukket fra?
---
## H2009 del 2 oppgave 3 — Energi fra vannfall og Cola
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Standardform, Måleenheter, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Bruke energiformelen $E = 10 \cdot m \cdot h$ og konvertere mellom J og kWh; beregne energi per nordmann og energiinnhold i Cola.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/energi-fra-vannfall-og-cola/
### Oppgavetekst
Et vanlig mål for energi er joule (J). Strømforbruk måler vi derimot ofte i kilowattimer (kWh). $1 \mathrm{~kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6 \mathrm{~J}$
Hvis vi skal beregne hvor mye energi $E$, målt i joule, vi får når vann faller, kan vi bruke formelen
$$
E = 10 \cdot m \cdot h
$$
der $m$ er antallet liter vann som faller $h$ meter.
a) Bruk formelen ovenfor til å finne ut hvor mye energi vi får når 1000 liter vann faller 200 meter. Oppgi svaret i kWh.
Norge er en stor produsent av elektrisk energi fra vannkraft. I et normalår produserer vi omtrent $1{,}4 \cdot 10^{11} \mathrm{~kWh}$.
b) Hvor mye energi tilsvarer dette i gjennomsnitt per nordmann, dersom vi antar at det bor 4,8 millioner mennesker i Norge?
All maten vi spiser, inneholder energi. På etiketten til en Cola-flaske står det at energiinnholdet er 180 kJ per 100 ml.
c) Hvor mange liter Cola må vi drikke for å få i oss energi tilsvarende 1 kWh?
> **Tips**
> Faktaboks
> Det sies at energien i to 1,5 liter Cola-flasker er nok til å løfte en middels stor bil opp til toppen av Eiffeltårnet.
---
## H2009 del 2 oppgave 4 — Karakterfordeling og vektet gjennomsnitt
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lage diagrammer, beregne prosentandel og gjennomsnitt fra frekvenstabell, og finne vektet gjennomsnitt for to grupper samlet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-og-vektet-gjennomsnitt/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser karakterfordelingen på en matematikkeksamen et år.
| Karakter | Elever |
|:--------:|:------:|
| 1 | 12 |
| 2 | 47 |
| 3 | 49 |
| 4 | 57 |
| 5 | 13 |
| 6 | 3 |
a) Framstill datamaterialet i tabellen ved hjelp av to ulike diagrammer.
b) 1) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 1?
2\) Hva var gjennomsnittskarakteren?
Året etter var det 234 elever som hadde eksamen. Gjennomsnittskarakteren dette året var 3,42.
c) Hva var gjennomsnittskarakteren dersom vi ser disse to årene under ett?
---
## H2009 del 2 oppgave 5 — Solsystemmodell med standardform
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Måleenheter, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Omregne mål i en skalamodell der 1 cm tilsvarer $10^9$ cm i virkeligheten, mellom km og cm, og skrive svar på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/solsystemmodell-med-standardform/
### Oppgavetekst
Solsystemet vårt består blant annet av Sola, de åtte planetene som går i baner rundt Sola, og månene som går i baner rundt planetene.
I denne oppgaven skal vi se på en modell av solsystemet. 1 cm i modellen tilsvarer $10^9 \mathrm{~cm}$ i virkeligheten.
a) Jordas diameter er i virkeligheten ca 12 740 km. Hvor mange cm er Jordas diameter i modellen vår?
b) I modellen har Sola en diameter på 1,39 m. Hvor mange km er Sola sin diameter i virkeligheten? Skriv svaret på standardform.
---
## H2009 del 2 oppgave 6 — Snorres og farfars bankkontoer
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Sparing, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Lese av startverdi og rente fra $f(x) = 18\,000 \cdot 1{,}0425^x$, beregne fremtidig verdi, finne ukjent rente og bruke GeoGebra til å finne når to kontoer samlet passerer en grense.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snorres-og-farfars-bankkontoer/
### Oppgavetekst
Da Snorre ble født, satte mormor inn penger på en ny bankkonto. Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 18\,000 \cdot 1{,}0425^x
$$
viser hvor mye penger det er på kontoen etter $x \text{ år}$.
a) 1) Hvor mye penger satte mormor inn på kontoen? Hvor stor er den årlige renten?
2\) Hvor mye penger er det på kontoen etter 18 år?
b) Hvor mange år vil det gå før beløpet på kontoen passerer 30 000 kroner?
Farfar opprettet også en konto da Snorre ble født. Han satte inn 10 000 kroner på kontoen. Etter 5 år stod det 11 592,70 kroner på kontoen.
c) Hvor stor er den årlige renten på denne kontoen?
d) Etter hvor mange år vil beløpene på de to kontoene til sammen passere 50 000 kroner?
---
## H2009 del 2 oppgave 7-I — Verdensrekord 500 m skøyter og regresjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Plotte rekorddata, finne lineær regresjonsmodell, ekstrapolere til 2010 og 2090, og vurdere modellens gyldighet kritisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdensrekord-500-m-skoyter-og-regresjon/
### Oppgavetekst
> **Tips**
> Valgoppgave
> I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
Utviklingen av verdensrekorden for 500 meter på skøyter for herrer er gjengitt i tabellen nedenfor.
| År | 1990 | 1992 | 1994 | 1996 | 1998 | 2001 | 2005 | 2007 |
|:---:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Rekord i sekund | 36,45 | 36,41 | 35,76 | 35,39 | 34,82 | 34,32 | 34,30 | 34,03 |
La $x$ være antall år etter 1990 og $y$ rekorden i sekund.
a) Framstill opplysningene fra tabellen i et koordinatsystem.
b) Bruk regresjon til å finne en lineær funksjon som kan være modell for sammenhengen mellom rekorden og året den er satt. Tegn funksjonen i det samme koordinatsystemet som du benyttet i a).
c) Benytt funksjonen til å beregne hva verdensrekorden vil være i år 2010 og i år 2090 dersom modellen gjelder.
d) Kommenter svarene i c).
---
## H2009 del 2 oppgave 7-II — Armhevinger og klassedelt statistikk
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Gruppere rådata med klassebredde 10, framstille i diagram, beregne gjennomsnitt i klassedelt materiale og finne nedre grense for beste fjerdedel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/armhevinger-og-klassedelt-statistikk/
### Oppgavetekst
> **Tips**
> Valgoppgave
> I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
Nedenfor ser du resultatene fra en test der 30 gutter fra Vg1 skulle ta flest mulig armhevinger («push ups»).
| 32 | 16 | 3 | 12 | 24 | 12 | 30 | 60 | 41 | 16 |
|:--:|:--:|:-:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| 58 | 12 | 43 | 7 | 5 | 2 | 19 | 13 | 16 | 52 |
| 4 | 25 | 11 | 22 | 36 | 39 | 24 | 34 | 4 | 69 |
a) Lag en tabell der du grupperer materialet med en klassebredde på 10.
b) Framstill datamaterialet i et diagram.
c) Finn gjennomsnittet i det klassedelte materialet.
d) Hvor mange armhevinger må Åge minst ha klart for at han skal være blant den beste fjerdedelen?
---
## V2008 del 1 oppgave 1 — Kostnadsgraf og tallsystemer
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Standardform, Tallregning, Sannsynlighet, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Avlese kostnadsgraf, tallsystemer, standardform, potenser, aritmetikk og prosentvis verdifall med vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsgraf-og-tallsystemer/
### Oppgavetekst
a) Grafen ovenfor viser hva det koster for en fabrikk for å produsere $x$ stoler. Hva blir kostnadene *per stol* dersom bedriften produserer 50 stoler?
b) Skriv tallet 17 i totallsystemet.
c) 1) Skriv tallet $2{,}46 \cdot 10^{-4}$ som desimaltall.
2\) Skriv et tall som ligger mellom $5 \cdot 10^2$ og $5 \cdot 10^3$.
d) Regn ut: $\dfrac{81}{9} - 2^4 + 12 \cdot 5 + \sqrt{9}$
Snorre har kjøpt en bruktbil for $125\,000 \mathrm{~kr}$. Vi regner at bilens verdi avtar med $8\,\%$ hvert år.
e) 1) Snorre vil prøve å regne ut hva bilen vil være verdt om 3 år. Han er litt usikker på utregningen og har satt opp 3 alternativer. Hvilket eller hvilke alternativ(er) mener du er riktig? Begrunn valget ditt.
$$
1)\quad 125\,000 - 3 \cdot \frac{125\,000 \cdot 8}{100} \qquad 2)\quad 125\,000 \cdot 1{,}08^3 \qquad 3)\quad 125\,000 \cdot 0{,}92^3
$$
2\) Snorre vil også finne ut hva bilen var verdt for 2 år siden. Han har satt opp 3 alternativer. Hvilket eller hvilke alternativ(er) mener du er riktig? Begrunn valget ditt.
$$
1)\quad 125\,000 \cdot 0{,}92^{-2} \qquad 2)\quad 125\,000 \cdot 1{,}08^2 \qquad 3)\quad \frac{125\,000}{0{,}92^2}
$$
Figuren over viser en 12-sidet terning der tallene 1, 2, 3, … ,12 er skrevet på sidene. De 12 mulige utfallene er like sannsynlige.
f) 1) Hva er sannsynligheten for å få 12 når du kaster terningen én gang?
2\) Du kaster terningen to ganger. Hva er sannsynligheten for å få 12 begge gangene?
3\) Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på terningen er mindre enn 6 dersom du kaster terningen to ganger?
---
## V2008 del 1 oppgave 2 — Graftyper for ulike situasjoner
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineær vekst, Eksponentialfunksjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Matche fire beskrevne situasjoner (lineær nedgang, eksponentiell nedgang, kvadratisk vekst, parabelformet ballbane) mot seks grafer og begrunne valgene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/graftyper-for-ulike-situasjoner/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det beskrevet 4 ulike situasjoner. Velg blant grafene A, B, C, D, E og F på Figur 1, og finn en graf som best beskriver hver av situasjonene. Målestokken på y-aksen kan variere fra situasjon til situasjon. Husk å begrunne valgene dine.
1. I Fossefjell kommune er det i dag 9 000 innbyggere. En matematisk modell for utviklingen i kommunen sier at folketallet kommer til å synke med 150 mennesker per år. Én av grafene viser folketallet om $x$ år ifølge modellen.
2. En bil blir kjøpt for 300 000 kroner. Vi regner med at verdien av bilen synker med 15 % per år. Én av grafene viser verdien av bilen $x$ år etter at den blir kjøpt.
3. Én av grafene viser arealet av et kvadrat som funksjon av siden $x$ i kvadratet.
4. Du kaster en ball loddrett oppover. I det øyeblikket du slipper ballen, er den 1,8 meter over bakken, og den har farten 12 meter per sekund. $x$ sekunder etter at du slapp den, er ballens høyde over bakken (i meter) lik $-4{,}9x^2 + 12x + 1{,}8$. Én av grafene viser denne høyden som funksjon av $x$.
Velg riktig graf for hver av de fire situasjonene ovenfor og begrunn valgene dine.
---
## V2008 del 2 oppgave 3 — Aldersfordeling i leilighetskompleks
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lese frekvenstabeller, tegne søylediagram, forklare median i klassedelt materiale og beregne gjennomsnitt med klasseintervallmidtpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-i-leilighetskompleks/
### Oppgavetekst
Et nytt leilighetskompleks, UTSIKTEN, er fylt opp med nye beboere. En oversikt viser følgende aldersfordeling:
| Alder | 0–19 år | 20–39 år | 40–59 år | 60–79 år |
|:-----:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| Frekvens | 17 | 29 | 51 | 23 |
a) Hvor mange personer bor i leilighetskomplekset?
b) Tegn et søylediagram som viser aldersfordelingen.
c) Forklar hvorfor medianen må ligge i intervallet 40–59 år.
d) Regn ut gjennomsnittsalderen ut fra det klassedelte materialet.
---
## V2008 del 2 oppgave 4 — Motorsykkelens fart og bremsing
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Funksjoner, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke og tegne eksponentialfunksjoner for akselerasjon og bremsing, beregne $v(0)$, løse $v(x) = 90$ grafisk og finne nullpunkt for bremsingsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/motorsykkelens-fart-og-bremsing/
### Oppgavetekst
Roger er ute og prøvekjører den nye motorsykkelen sin. Farten de første sekundene av turen hans kan beskrives ved hjelp av funksjonen $v$ gitt ved
$$
v(x) = 100 - \frac{100}{1{,}58^x}
$$
Her er $v(x)$ antall kilometer i timen $x$ sekunder etter at han startet.
a) Regn ut $v(0)$. Hva betyr dette svaret i praksis?
b) Tegn grafen til $v$ i et koordinatsystem. Bruk $x$-verdier fra 0 til 10.
c) Etter hvor lang tid hadde han farten 90 kilometer i timen?
Etter en tid begynte han å bremse. Farten hans like etter at han begynte å bremse, kan beskrives ved hjelp av funksjonen $b$ gitt ved
$$
b(x) = 100 - 1{,}86^x
$$
Her er $b(x)$ antall kilometer i timen $x$ sekunder etter at han begynte å bremse.
d) Tegn grafen til $b$, og finn ut hvor lang tid det tok fra han begynte å bremse til han stoppet helt opp.
---
## V2008 del 2 oppgave 5 — Sannsynlighet i elevundersøkelse
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for trivsel og motivasjon fra frekvensdata, inkludert snitt, komplement og union ved addisjonsprinsippet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-i-elevundersokelse/
### Oppgavetekst
En skole var med i en elevundersøkelse. Blant annet ble elevenes trivsel og elevenes motivasjon for å lære undersøkt. 440 elever svarte på undersøkelsen. Resultatene viste at
- 411 elever trives på skolen (sosial trivsel)
- 223 elever er motiverte for å lære (faglig motivasjon)
- 7 elever trives ikke på skolen og er heller ikke motivert for å lære
Vi velger tilfeldig en elev som har svart på undersøkelsen.
a) 1) Finn sannsynligheten for at eleven trives på skolen.
2\) Finn sannsynligheten for at eleven ikke trives på skolen.
b) Finn sannsynligheten for at eleven trives på skolen og er motivert for å lære.
c) Finn sannsynligheten for at eleven enten trives på skolen eller er motivert for å lære eller begge deler.
---
## V2008 del 2 oppgave 6-I — Lån uten avdrag og effektiv rente
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Rente
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjeld etter 12 år med renters rente, utlede eksponentialfunksjonen $f(x) = 75\,000 \cdot 1{,}198^x$, tegne grafen og forklare sammenhengen mellom effektiv årsrente og månedlig rente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lan-uten-avdrag-og-effektiv-rente/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
Martin låner $75\,000$ kroner til $19{,}8$ prosent effektiv rente per år. Han betaler verken rente eller avdrag de første 12 årene.
a) Hvor stor vil gjelda hans være etter 12 år?
b) Forklar at gjelda til Martin etter $x$ år kan skrives ved funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 75\,000 \cdot 1{,}198^x
$$
c) Tegn grafen til $f$. Bruk $x$-verdier fra 0 til 12.
d) Forklar hvorfor $19{,}8$ prosent rente per år er tilnærmet det samme som $1{,}5$ prosent rente per måned.
---
## V2008 del 2 oppgave 6-II — Solsikke-vekst og eksponentiell regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon fra tre målinger med ekstrapolering til uke 8, tolke vekstfaktor som prosentvis ukentlig økning, finne bedre modell ved ny sluttverdi og vurdere modellens begrensninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/solsikke-vekst-og-eksponentiell-regresjon/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
I TV-programmet *Sommeråpent* var en matematikkekspert gjest hos Anne Grosvold. Der sto en solsikke i en blomsterpotte. Man lurte på hvor høy denne solsikken ville bli etter 8 uker.
Lesernes tips varierte mye. Én hadde til og med gjettet $12{,}5$ meter, noe som garantert ville ha gitt solsikken plass i Guiness Rekordbok!
Grosvold fikk eksperten til å måle solsikken etter én, to og tre uker. Målene ser du i tabellen nedenfor.
| Etter $x$ uker | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:--------------:|:--:|:--:|:----:|:----:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| Høyde i cm | | 16 | $24{,}8$ | $36{,}5$ | | | | | |
Eksperten sa at han regnet med at solsikkens høyde fulgte en modell for eksponentiell vekst. Han regnet med, ut fra tidligere erfaring, at den ville bli ca. $108 \mathrm{~cm}$ etter 8 uker.
a) Finn ved regresjon en formel han i så fall kan ha brukt.
b) Hvor mange prosent økte solsikkens høyde hver uke etter denne modellen?
Det viste seg at solsikken ble $117 \mathrm{~cm}$ etter 8 uker.
c) Finn en formel som passer bedre med veksten til solsikken enn den i a).
d) Hva ville høyden til solsikken ha vært etter 12 uker dersom modellen i c) gjelder? Si litt om modellens begrensninger.
---
## H2008 del 1 oppgave 1 — Potenser, binærtall, rente og drosjetakst
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Standardform, Rente, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Forenkle potensuttrykk og standardform, konvertere til totallsystem, sette opp eksponentiell vekstformel og lineær modell fra to punkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potenser-binaertall-rente-og-drosjetakst/
### Oppgavetekst
a) Skriv uttrykkene så enkelt som mulig:
1\)
$$
3 \cdot (31 - 29)^2 - (5 - 3^2)
$$
2\)
$$
(2^3)^2 \cdot (2^{-1})^3
$$
3\)
$$
1{,}2 \cdot 10^9 \cdot 4{,}0 \cdot 10^4
$$
b) Skriv tallet $27$ i totallsystemet.
c) Per fikk 20 000 kr til konfirmasjonen sin. Han satte pengene inn på høyrentekonto med 5 % rente per år.
1\) Vurder om Per har mer enn 25 000 kr i banken etter 5 år.
2\) Sett opp et uttrykk som viser hvor mye penger han har i banken etter $t$ år.
Kari er på forretningsreise og tar samme drosje to ganger. Den ene drosjeturen er på 22 km og koster 270 kr. Den andre drosjeturen er på 38 km og koster 430 kr.
d)
1\) Lag et koordinatsystem der $x$-aksen har benevningen *km* og $y$-aksen *kroner*. Merk av et punkt i koordinatsystemet for hver av de to drosjeturene, og trekk en rett linje mellom de to punktene.
Når du tar drosje, betaler du en startavgift. I tillegg betaler du et fast beløp for hver km du kjører.
2\) Hvor mye betalte Kari i startavgift, og hvor mye betalte hun for hver km hun kjørte?
---
## H2008 del 1 oppgave 2 — Sannsynlighet i skibakken
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Betinget sannsynlighet og produktregel uten tilbakelegging for trekning fra endelig populasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-i-skibakken/
### Oppgavetekst
Lærer Hansen er i skitrekket med klassen sin. Det er 13 gutter og 17 jenter i klassen. Elevene tar skiheisen opp, og Hansen blir igjen nede. Han lurer på om det er en gutt eller en jente som kommer først ned bakken. Vi antar at elevene kommer ned i tilfeldig rekkefølge.
a) Hva er sannsynligheten for at den første eleven som kommer ned, er en gutt?
b) Hva er sannsynligheten for at den andre eleven som kommer ned, er en jente når den første var en gutt?
Den andre gangen elevene tar heisen opp, er det bare 9 gutter og 6 jenter som er med.
c) Hva er sannsynligheten for at de to første som kommer ned denne gangen, er jenter?
*Kilde: www.aadneram-skitrekk.no*
---
## H2008 del 2 oppgave 3 — Overskuddsfunksjon for sykkelproduksjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Funksjoner, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Beregne, tegne og analysere andregradsfunksjonen $O(x) = -10x^2 + 1100x - 10\,000$ for å finne toppunkt og intervall der $O(x) > 18\,000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskuddsfunksjon-for-sykkelproduksjon/
### Oppgavetekst
I en bedrift blir det produsert $x$ sykler hver måned. Bedriftens ledelse har funnet ut at overskuddet i kroner kan beregnes ved hjelp av funksjonen $O$, der
$$
O(x) = -10x^2 + 1100x - 10\,000
$$
a) Hvor stort blir overskuddet dersom det blir produsert 30 sykler?
b) Tegn grafen til $O$. Velg $x$-verdier fra 10 til 100.
c) Hvor mange sykler må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst mulig?
d) Hvor mange sykler må produseres og selges for at overskuddet skal bli større enn 18 000 kr?
---
## H2008 del 2 oppgave 4 — Statistikk for lengdehopp Anna og Petra
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median, variasjonsbredde og standardavvik for to datasett, og bruke resultatene til å argumentere for et valg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-lengdehopp-anna-og-petra/
### Oppgavetekst
Lengdehopp er en gren av friidrett som går ut på å hoppe så langt man kan i et hopp. I konkurranser har man som regel tre hopp, der det beste hoppet teller.
Anna og Petra konkurrerer om å kvalifisere seg til lengdehoppkonkurransen i et friidrettsstevne. De får ti hopp hver, og den beste av dem er kvalifisert til konkurransen. Her er resultatene (oppgitt i meter) fra kvalifiseringen:
| Hopp | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|-------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| Anna | 5,10 | 5,45 | 5,92 | 4,10 | 5,23 | 5,32 | 5,89 | 4,91 | 4,37 | 5,42 |
| Petra | 5,44 | 5,80 | 5,67 | 5,74 | 5,72 | 5,04 | 5,73 | 5,53 | 5,59 | 5,83 |
a) Finn gjennomsnitt og median for hver av de to jentenes resultater.
b) Finn variasjonsbredde og standardavvik for hver av de to jentenes resultater.
c) Foreta en vurdering av jentenes resultater og det du fant i a) og b), og argumenter for hvem du synes skal bli kvalifisert.
*Kilde: Erlend Aas/Scanpix*
---
## H2008 del 2 oppgave 5 — Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lineær og eksponentiell regresjon på antall nordmenn over 100 år (1975–2006), prognose for 2030 og kritisk vurdering av modellenes egnethet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-for-hundrearinger/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall nordmenn over 100 år for utvalgte år i perioden 1975–2006.
| År | 1975 | 1980 | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2006 |
|----|------|------|------|------|------|------|------|------|
| Antall nordmenn over 100 år | 115 | 158 | 243 | 300 | 405 | 414 | 511 | 533 |
a) Merk av verdiene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem der du på $x$-aksen lar $x = 0$ svare til år 1975.
b) Lag en lineær modell som passer til dataene i tabellen ovenfor. Hvor mange nordmenn over 100 år vil det være i år 2030 ifølge denne modellen?
c) Lag en eksponentiell modell som passer til dataene i tabellen ovenfor. Hvor mange nordmenn over 100 år vil det være i år 2030 ifølge denne modellen?
En prognose sier at antallet nordmenn over 100 år vil tredobles i løpet av de neste 20–25 årene.
d) Vurder hvordan denne prognosen passer med de to modellene i b) og c).
*Kilde: www.bokn.kommune.no*
---
## H2008 del 2 oppgave 6-I — Avstander i verdensrommet og standardform
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Proporsjonalitet, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Proporsjonale skaleringsberegninger av avstander i verdensrommet med svar på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstander-i-verdensrommet-og-standardform/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
Dimensjonene og avstandene i verdensrommet er ufattelige. Men de blir kanskje litt lettere å forstå dersom vi lager forminskede modeller og så utforsker disse. Tabellen nedenfor viser avstanden fra noen steder i universet til Sola.
| Sted i universet | Avstand til Sola |
|---|---|
| Jorda | $1{,}50 \cdot 10^{11} \mathrm{~m}$ |
| Saturn | $1{,}43 \cdot 10^{12} \mathrm{~m}$ |
| Pluto | $5{,}96 \cdot 10^{12} \mathrm{~m}$ |
| Sentrum av Melkeveien | $1{,}20 \cdot 10^{20} \mathrm{~m}$ |
a) Tenk deg at du reiser med et fly som har farten 250 m/s. Hvor lang tid vil reisen fra Jorda til Sola ta? Skriv svaret på standardform. Tips: Du kan bruke formelen $s = v \cdot t$
b) Tenk deg at du lager en modell der avstanden fra Jorda til Sola er 40 cm. Finn avstanden til Sola fra Saturn, Pluto og sentrum av Melkeveien i denne modellen. Vurder om ett eller flere av de svarene du får, bør skrives på standardform.
Fra oppgave b) vil vi kanskje se at avstanden fra Sola til sentrum av Melkeveien blir så stor at det ikke er lett å få den med i en fysisk modell. Du bestemmer deg derfor for å lage modellen mindre. I den nye modellen skal avstanden fra Sola til Melkeveiens sentrum være 5,0 m.
c) Hvor stor blir avstanden fra Sola til Jorda i den nye modellen? Skriv svaret på standardform.
---
## H2008 del 2 oppgave 6-II — Bestemme parameter a i andregradsmodell
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameteren $a$ i en andregradsmodell ut fra kontekstbetingelser og vurdere gyldighetsområdet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemme-parameter-a-i-andregradsmodell/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
Gitt funksjonen $f(x) = ax^2 + 5x + 100$
Ved å velge ulike verdier for $a$ kan denne funksjonen brukes som modell for de to situasjonene nedenfor.
**Situasjon 1**
Terje bor på hotell. Fra hotellvinduet er det 100 meter ned til bakken. Han kaster en ball fra vinduet rett oppover. Modellen skal vise hvor høyt ballen er over bakken $x$ sekunder etter at den ble kastet. Ballen lander på bakken etter 5 sekunder.
**Situasjon 2**
En bedrift har i dag 100 ansatte. Ledelsen håper å nå ut til et større marked og dermed kunne ansette flere fagfolk i løpet av årene som kommer. Om 10 år regner bedriften med at arbeidsstokken vil være doblet. Modellen skal vise hvor mange ansatte det vil være i bedriften etter $x$ år.
a) Vi vil nå forsøke å finne én verdi for $a$ som gjør at $f(x)$ kan brukes som modell for situasjon 1.
1\) Bruk teksten i situasjon 1 til å finne $f(5)$.
2\) Bestem $a$ ved hjelp av det du fant i 1).
b) Finn én verdi for $a$ som gjør at $f(x)$ passer som modell for situasjon 2. Tips: Bruk for eksempel metoden i a).
c) Vil de modellene du kom fram til i a) og b), gjelde for alle mulige verdier av $x$? Kommenter.
---
## E2007 del 1 oppgave 1 — Renter, potensregning og sentralmål
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2007 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Potensregning, Standardform, Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Renteberegning med vekstfaktor, potensregning med negative eksponenter, standardform, og tolkning av sentralmål fra stolpediagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/renter-potensregning-og-sentralmal/
### Oppgavetekst
Grete setter $10\,000 \mathrm{~kr}$ i banken. Hun får $5\,\%$ rente (per år). Grete lar pengene stå urørt i banken i $5 \text{~år}$.
Grete vil prøve å regne ut hvor mange penger hun har i banken etter $5 \text{~år}$. Hun er litt usikker på utregningen og har satt opp tre alternativer.
$$
\text{I)} \quad 10000 + 5 \cdot 500 \qquad \text{II)} \quad 10000 \cdot 1{,}05^5 \qquad \text{III)} \quad 10000 \cdot \left(1 + \frac{5}{100}\right)^5
$$
a)
1\) Hvor mange penger har Grete i banken etter ett år?
2\) Hvilket eller hvilke av alternativene I, II og III mener du hun kan bruke for å beregne beløpet etter 5 år? Begrunn valget ditt.
b) Regn ut: $\dfrac{4^3 \cdot 4^{-5}}{4^2}$.
c) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig: $\dfrac{(2 \cdot 10^3)^2 \cdot (4{,}5 \cdot 10^4)}{6 \cdot 10^8}$.
Ovenfor vises resultatene på en matematikkprøve for to matematikklasser på en skole. Læreren for klasse B påstår at hans klasse hadde det beste resultatet, fordi gjennomsnittet for klasse A var $62{,}0$ mens gjennomsnittet for klasse B var $64{,}0$ (i klasse B var det en elev som fikk 0 poeng).
Læreren for klasse A er uenig. Han mener at klasse A var best.
d) Hvordan vil du forklare, ut fra det du har lært om sentralmål, hvorfor klasse A har gjort det bedre enn B?
e) Dioksin er et svært giftig stoff. Grensen for hvor stort inntak kroppen kan tåle, er satt til $3{,}5 \cdot 10^{-11}$ gram per kg kroppsvekt før stoffet har giftvirkninger. Anta at en person som veier $50 \mathrm{~kg}$, har et inntak på $1{,}5 \cdot 10^{-9}$ gram dioksin. Tåler kroppen dette?
---
## E2007 del 1 oppgave 2 — Titallssystemet, totallssystemet og sekstentallssystemet
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2007 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bits og bytes, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Konvertere tall mellom titalls-, totalls- og sekstentallssystemet, og forklare prinsippene for de ulike tallsystemene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/titallssystemet-totallssystemet-og-sekstentallssystemet/
### Oppgavetekst
a) Vi bruker titallssystemet. Forklar med egne ord hva det betyr. Datamaskinene bruker totallssystemet. Forklar hva dette betyr.
b) Gjør om $11011_{\text{to}}$ til et tall i titallssystemet. Gjør om $71$ i titallssystemet til et tall i totallssystemet.
Med totallssystemet blir tallene veldig lange. Derfor er flere matematikere ekstra glade i sekstentallssystemet. Det inneholder våre siffer fra titallssystemet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. De betyr da det samme som i titallssystemet. I tillegg har sekstentallssystemet tallsymbolene
$$
A = 10, \quad B = 11, \quad C = 12, \quad D = 13, \quad E = 14, \quad F = 15
$$
Tallet 16 i titallssystemet skrives i sekstentallssystemet som $10_{\text{HEX}}$.
Tallet 1012 i titallssystemet skrives i sekstentallssystemet som $3\text{F4}_{\text{HEX}}$
$(3 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16^1 + 4 \cdot 16^0 = 1012)$.
c) Sjekk om $3\text{F4}_{\text{HEX}}$ svarer til $1111110100_2$.
d) Skriv $11\text{A}_{\text{HEX}}$ som tall i titallssystemet.
---
## E2007 del 2 oppgave 3 — Årslønn i Trygg forsikring
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lage diagram fra hyppighetstabell, beregne gjennomsnitt og vurdere egnethet av sentralmål for skjev lønnsfordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arslonn-i-trygg-forsikring/
### Oppgavetekst
En oversikt over årslønnen til de ansatte i bedriften *Trygg forsikring* viste:
| Årslønn (i tusen kroner) | Hyppighet |
|:------------------------:|:---------:|
| 160–199 | 10 |
| 200–239 | 12 |
| 240–279 | 8 |
| 280–319 | 2 |
| 320–359 | 5 |
| 360–399 | 0 |
| 400–439 | 0 |
| 440–479 | 0 |
| 480–519 | 3 |
a) Lag et diagram som gir en god framstilling av tallmaterialet ovenfor.
b) Omtrent hvor stor er gjennomsnittslønna i denne bedriften?
c) Kommenter om du synes at gjennomsnittslønna er et godt mål for lønnsforholdene i bedriften.
d) Foreslå et annet sentralmål som egner seg godt i dette tilfellet. Bruk tabellen til å finne verdien for dette sentralmålet.
---
## E2007 del 2 oppgave 4 — Vekstmodell for tre i skogsområde
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjoner, Prosentvis endring, Grafisk framstilling
- **Kort beskrivelse:** Tolke polynomfunksjon $h(t) = 0{,}02t^3 - 0{,}25t^2 + 1{,}15t + 0{,}15$ for trehøyde; beregne prosentvis vekst og bruke GeoGebra til grafing og avlesning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekstmodell-for-tre-i-skogsomrade/
### Oppgavetekst
Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogsområde.
Det viser seg at høyden til et tre, målt i meter, tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. I de første 8 årene etter at treet ble plantet, gjelder:
$$
h(t) = 0{,}02t^3 - 0{,}25t^2 + 1{,}15t + 0{,}15 , \quad \text{der } t \text{ er antall år etter utplanting.}
$$
a) Hvor høyt var treet da det ble plantet?
b) Tegn grafen til $h$. Bruk $t$-verdier mellom 0 og 8.
c) Hvor mange prosent vokste treet fra år 1 til år 2?
d) Skriv noen ord om hvordan høyden på treet forandret seg fra år til år.
e) Hvor lang tid tok det før treet var $2{,}5 \mathrm{~meter}$ høyt?
---
## E2007 del 2 oppgave 5 — Funksjon for seks ulike situasjoner
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Lineær vekst, Eksponentiell vekst, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Matche og utlede funksjonsuttrykk (lineær, kvadratisk, eksponentiell) for seks ulike praktiske situasjoner, der tre gis og tre må finnes selv.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjon-for-seks-ulike-situasjoner/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det beskrevet 6 ulike situasjoner. For hver situasjon skal du finne en funksjon som beskriver situasjonen.
Tre av funksjonene finner du her:
$$
A(x) = 1{,}60x + 125
$$
$$
B(x) = 100x - x^2
$$
$$
C(x) = 100 \cdot 0{,}95^x
$$
De tre andre skal du finne fram til på egen hånd.
**Situasjon 1, 2 og 3**
En teleoperatør opererer med følgende alternativer for mobilabonnement:
| Prisplan | Situasjon 1 (Alternativ 1) | Situasjon 2 (Alternativ 2) | Situasjon 3 (Alternativ 3) |
|:---|:---:|:---:|:---:|
| Månedsavgift (kr) | 60,– | 125,– | 240,– |
| Samtalepris per minutt (kr) | 2,50 | 1,60 | 1,10 |
**Situasjon 4**
Fra blant annet studier av ringmerkede kjøttmeiser har en funnet ut at innenfor et bestemt område dør 48 % av disse kjøttmeisene i løpet av ett år. Ett år ble det ringmerket 350 kjøttmeiser i dette området.
Finn en funksjon som kan være en modell som beskriver hvor mange av de ringmerkede kjøttmeisene som lever etter $x$ år.
**Situasjon 5**
En gårdbruker har 200 meter gjerde og skal lage en rektangulær innhegning. Rektangelet er $x$ meter langt. Finn en funksjon som viser hvor stort areal rektangelet får for ulike verdier av $x$.
**Situasjon 6**
Lysstyrken under vann minker med ca. 5 % for hver meter en er under havoverflaten. Dette betyr at på en dybde er lysstyrken 5 % mindre enn 1 meter høyere oppe.
Finn en funksjon som viser lysstyrken $x$ meter under havoverflaten.
Finn tre ulike funksjoner som beskriver hvert av de tre alternativene i tabellen ovenfor (situasjon 1, 2 og 3). Finn deretter funksjoner for situasjon 4, 5 og 6.
---
## E2007 del 2 oppgave 6-I — Makspuls og lineær regresjon
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Funksjoner, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon av makspuls mot alder: vise at $f(x) = -0{,}66x + 206$, tegne og sammenligne med forenklet formel $g(x) = 220 - x$, og bestemme alder der differansen er størst/minst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/makspuls-og-lineaer-regresjon/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
For å legge opp et effektivt treningsprogram er det lurt at du kjenner makspulsen din (den høyeste hjertefrekvensen du kan oppnå).
Den nøyaktigste måten å finne makspulsen på, er å gjennomføre en fysisk test. Det betyr i praksis å presse seg maksimalt for å se hvor høy puls det er mulig å oppnå. 5 personer har gjennomført en slik test. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
| Alder | 17 | 25 | 37 | 48 | 60 |
|:------|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| Makspuls | 195 | 189 | 183 | 175 | 166 |
a) Bruk regresjon og vis at $f(x) = -0{,}66x + 206$ er en matematisk modell som viser sammenhengen mellom alder og makspuls dersom en tar utgangspunkt i datamaterialet ovenfor. Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem. Bruk $y$-verdier fra 150 til 220.
En forenklet metode for å finne en tilnærmet verdi for makspulsen din er å bruke formelen
$$
\text{makspuls} = 220 \text{ minus alder}
$$
b) Finn et funksjonsuttrykk $g(x)$ som illustrerer denne sammenhengen mellom alder og makspuls. Tegn grafen til $g$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$.
De to modellene $f(x)$ og $g(x)$ gir litt ulike verdier for makspuls for hvert alderstrinn. Studer modellene i området fra og med $x = 15$ til og med $x = 60$.
c) For hvilket alderstrinn er forskjellen mellom makspuls minst, og for hvilket alderstrinn er den størst?
---
## E2007 del 2 oppgave 6-II — Sannsynlighet for Eva og Tor Solstad
- **Fag:** 2P-Y
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for kombinasjoner av uavhengige hendelser (begge lever, ingen lever, nøyaktig én lever) med komplement- og multiplikasjonsregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-eva-og-tor-solstad/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
Eva og Tor Solstad er 70 år og er født på samme dag. Sannsynligheten for at en 70-åring i Norge skal bli 80 år, er 0,63 for menn og 0,77 for kvinner.
a) Hva er sannsynligheten for at Tor Solstad ikke skal bli 80 år?
b) Hva er sannsynligheten for at begge blir 80 år?
c) Hva er sannsynligheten for at ingen av dem blir 80 år?
d) Hva er sannsynligheten for at bare én av dem blir 80 år?