2P — alle oppgaver
Kunnskapsgrunnlag for KI-assistenter: alle 516 oppgaver i 2P (Praktisk matematikk) fra matematikkoppgaver.no, samlet som markdown. Oppgavene er sortert fra nyeste eksamen. Matematikk er skrevet i LaTeX ($…$ og $$…$$).
Denne versjonen har ikke fasit eller løsningsforslag. Samme samling med løsningsforslag: https://matematikkoppgaver.no/2p-raadata-losning/
Matematikk 2P er praktisk matematikk som handler om å forstå forhold og sammenhenger i samfunnet gjennom matematisk modellering. Faget utvikler et presist språk for kritisk tenkning og forbereder til videre studier og arbeidsliv.
## Om innholdet
- Eksamensoppgavene er offentlige og kommer fra Utdanningsdirektoratet (UDIR).
- Løsningsforslagene er laget for matematikkoppgaver.no og kan inneholde feil. Nettadressen under hver oppgave går til oppgavesiden med figurer og ferdige formler.
- Bilder står som markdown-bilder med bildetekst og nettadresse.
- Læreplan LK20: https://www.udir.no/lk20/mat05-04/kompetansemaal-og-vurdering/kv46?lang=nob
- Læreplan LK06 (utgått): https://www.udir.no/kl06/MAT5-02/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-2p
- Sist generert: 2026-09-27
## Forklaring på feltene
- **Eksamen:** eksamensperioden og læreplanen (LK20 er gjeldende, LK06 er den forrige).
- **Del:** del 1 løses uten hjelpemidler, del 2 med hjelpemidler som digitale verktøy.
- **Nivå:** vanskegrad fra 1 (lett) til 3 (krevende), klassifisert av KI.
- **Kompetansemål:** mål fra læreplanen som oppgaven dekker, med kode i parentes.
---
## V2026 del 1 oppgave 1 — Brune egg fra bonden 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $20 \, \%$ av $5200$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brune-egg-fra-bonden/
### Oppgavetekst
En bonde leverer $5200$ egg til et pakkeri. $20 \, \%$ av eggene er brune.
Hvor mange egg er brune?
---
## V2026 del 1 oppgave 2 — Sentralmål og relativ frekvens for togvogner 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt, variasjonsbredde og typetall, og finne og tolke relativ frekvens for et tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-og-relativ-frekvens-for-togvogner/
### Oppgavetekst
En dag registrerer Anita hvor mange vogner det er på togene som passerer der hun bor. Resultatene ser du nedenfor.
$$
3 \quad 1 \quad 5 \quad 30 \quad 5 \quad 6 \quad 1 \quad 6 \quad 20 \quad 6
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden og typetallet for antall vogner.
b) Bestem den relative frekvensen for $6$ vogner. Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## V2026 del 1 oppgave 3 — Vekstfaktor og prosentvis endring i tabell 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Konvertere mellom vekstfaktor og prosentvis endring i tabellrader.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekstfaktor-og-prosentvis-endring-i-tabell/
### Oppgavetekst
Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn verdiene som mangler.
Table: {.grid}
| **Vekstfaktor** | **Prosentvis endring** |
| :-------------: | :--------------------: |
| $1{,}05$ | $+5 \, \%$ |
| $1{,}4$ | |
| | $+17{,}5 \, \%$ |
| | $-28 \, \%$ |
| $0{,}67$ | |
| $2$ | |
---
## V2026 del 1 oppgave 4 — Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for at $0{,}80 \cdot 1{,}20 = 0{,}96$ gir lavere pris enn opprinnelig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-ned-og-opp-med-20-prosent/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare settes ned med $20 \, \%$. Litt senere settes prisen opp igjen med $20 \, \%$.
Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.
---
## V2026 del 1 oppgave 5 — Tolke uttrykk for tre prisendringer 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Tolke at uttrykket viser pris etter ett påslag på $5 \, \%$ og to nedganger på $15 \, \%$, med ny pris $40\,000$ kr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolke-uttrykk-for-tre-prisendringer/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare har endret seg tre ganger i løpet av det siste året. Uttrykket nedenfor viser prisen for varen før prisendringene.
$$
\frac{40\,000}{1{,}05 \cdot 0{,}85^2}
$$
Hva forteller uttrykket om prisendringene?
---
## V2026 del 1 oppgave 6 — Vare med indeks 125 2P V26
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prisindeks, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt (KM448)
- **Kort beskrivelse:** Beregne dagens pris fra basisårspris $160$ kr og indeks $125$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vare-med-indeks-125/
### Oppgavetekst
En vare kostet $160$ kroner i basisåret. I dag er indeksen for varen $125$.
Hvor mye koster varen i dag dersom vi antar at prisutviklingen har fulgt utviklingen i indeksen?
---
## V2026 del 1 oppgave 7 — Konsumprisindeks og kjøpekraft 2010-2025 2P V26
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prisindeks, Prosentregning, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt (KM448)
- **Kort beskrivelse:** Forklare basisår i KPI, og bruke KPI til å beregne reallønn og nominell lønn for uendret kjøpekraft.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konsumprisindeks-og-kjopekraft-2010-2025/
### Oppgavetekst
I tabellen nedenfor ser du konsumprisindeksen (KPI) for $2010$, $2015$, $2020$ og $2025$.
| År | 2010 | 2015 | 2020 | 2025 |
|----:|:----:|:----:|:-----:|:-----:|
| KPI | 92,1 | 100 | 112,2 | 137,7 |
a) Hvorfor er konsumprisindeksen $100$ i $2015$?
I $2020$ hadde Niklas en reallønn på $500\,000$ kroner.
b) Hva skulle reallønnen hans vært i $2025$ for at han skulle hatt like stor kjøpekraft i $2025$ som i $2020$?
I $2015$ hadde Benjamin en nominell lønn på $1\,000\,000$ kroner.
c) Hva skulle den nominelle lønnen hans vært i $2025$ dersom han skulle hatt samme kjøpekraft som i $2015$?
---
## V2026 del 1 oppgave 8 — Målestokk for skrue 2P V26
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme målestokk $25:1$ for forstørret tegning der lengdene er gitt i ulike enheter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malestokk-for-skrue/
### Oppgavetekst
På en tegning er en skrue $5{,}0 \mathrm{~cm}$ lang. I virkeligheten er denne skruen $2{,}0 \mathrm{~mm}$ lang.
Bestem målestokken til tegningen.
---
## V2026 del 1 oppgave 9 — Areal av fire figurer i koordinatsystem 2P V26
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Geometri, Formler
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme arealet av trekant, trekant, parallellogram og sirkelutsnitt ved avlesning fra koordinatsystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-fire-figurer-i-koordinatsystem/
### Oppgavetekst
Bestem arealet av hver av de fire figurene som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor.
---
## V2026 del 1 oppgave 10 — Faktorisert andregradslikning 2P V26
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Kort beskrivelse:** Løse $(x-2)(x+3) = 0$ ved nullpunktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisert-andregradslikning/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
(x-2)(x+3) = 0
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 11 — Lineært likningssystem regning og grafisk 2P V26
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger, Grafisk framstilling
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Kort beskrivelse:** Løse $4x+y=8$, $3x-y=6$ ved addisjonsmetoden og grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-regning-og-grafisk/
### Oppgavetekst
Gitt likningssystemet
$$
\begin{cases} 4x+y = 8 & \\ 3x-y = 6 \end{cases}
$$
a) Løs likningssystemet ved regning.
b) Løs likningssystemet grafisk.
---
## V2026 del 1 oppgave 12 — Python-program for gjennomsnitt 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Tolke at programmet beregner gjennomsnittet av tallene i listen $L$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/python-program-for-gjennomsnitt/
### Oppgavetekst
Kari har laget programmet nedenfor.
```python ln
L = [2, 4, 8, 16, 20] # L er en liste med tall
a = len(L) # Antall tall i listen L
s = sum(L) # Summen av tallene i listen L
g = s/a
print("Resultat:")
print(g)
```
```
Resultat:
10.0
```
Hva forteller verdien som skrives ut når programmet kjøres?
---
## V2026 del 1 oppgave 13 — Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kumulativ frekvens, Sentralmål, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Tolke koordinatene til et punkt på en kumulativ frekvenskurve og estimere medianalderen grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kumulativ-frekvenskurve-for-aldersfordeling/
### Oppgavetekst
Tabellen til høyre viser aldersfordelingen for de $200$ personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.
| Alder (år) | Frekvens |
|:------------:|:--------:|
| $[0, 10\rangle$ | $40$ |
| $[10, 20\rangle$ | $20$ |
| $[20, 30\rangle$ | $60$ |
| $[30, 50\rangle$ | $20$ |
| $[50, 60\rangle$ | $20$ |
| $[60, 80\rangle$ | $40$ |
| Sum | $200$ |
Aurora har laget diagrammet nedenfor.
a) Hva forteller koordinatene til punkt $A$ om aldersfordelingen i blokk Z?
Aurora kan bruke diagrammet til å finne en verdi hun kan anta er medianalderen.
b) Hvilken verdi er dette, og hvilken antakelse må hun gjøre? Husk å begrunne svaret.
---
## V2026 del 2 oppgave 1 — Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Utlede vekstfaktor fra halveringskrav, tolke modellen $U(x) = 16000 \cdot 0{,}89^x$ og beregne gjennomsnittlig endring per år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-utslippsreduksjon/
### Oppgavetekst
En bedrift har fått krav om å redusere utslippet av et miljøskadelig stoff.
- I dag er utslippet $16\,000$ tonn per år.
- Kravet er at utslippet skal halveres for hvert sjette år. Det betyr at utslippet skal være $8000$ tonn per år om $6$ år, $4000$ tonn per år om $12$ år, og så videre.
Ledelsen mener funksjonen $U$ gitt ved
$$
U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x
$$
vil være en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år om $x$ år dersom bedriften klarer å innfri kravet.
a) Vis hvordan ledelsen kan ha kommet fram til modellen.
b) Hvor mange prosent vil utslippet reduseres med per år, ifølge modellen?
c) Hvor mange tonn vil utslippet i gjennomsnitt reduseres med per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen?
---
## V2026 del 2 oppgave 3 — Sammenligning av sykefravær mellom to bedrifter 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål, Kumulativ frekvens
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM451); Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sentralmål og standardavvik for fraværsdager, tolke kumulativ frekvens, og sammenligne to bedrifter ut fra gitte opplysninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligning-av-sykefravaer-mellom-to-bedrifter/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange fraværsdager hver av de $15$ ansatte i bedrift A hadde i $2025$.
$$
2 \quad 0 \quad 0 \quad 5 \quad 4 \quad 1 \quad 1 \quad 12 \quad 15 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 1
$$
a) Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for antall fraværsdager.
b) Bestem den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager. Gi en praktisk tolkning av svaret.
Bedrift B har også $15$ ansatte.
- Gjennomsnittet for antall fraværsdager i $2025$ er det samme for bedrift B som for bedrift A.
- Medianen er høyere for bedrift B.
- Standardavviket er lavere for bedrift B.
c) Hva forteller disse opplysningene om fraværet i bedrift B sammenlignet med fraværet i bedrift A?
Kari påstår at den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A.
d) Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.
---
## V2026 del 2 oppgave 4 — Nedbetalingsplan forbrukslån 2P V26
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Økonomi, Regneark
- **Kompetansemål:** Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Kort beskrivelse:** Lage nedbetalingsplan med fast terminbeløp $3520$ kr, månedsrente $0{,}975 \, \%$ og startlån $75\,000$ kr i regneark.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nedbetalingsplan-forbrukslan/
### Oppgavetekst
Jens tar opp et forbrukslån på $75\,000$ kroner.
Han skal betale tilbake lånet med månedlige terminer.
- Rentesats: $0{,}975 \, \%$ per måned
- Terminbeløp: $3520$ kroner per måned
Lag en nedbetalingsplan som viser hvor mye Jens skal betale i avdrag og renter hver måned.
---
## V2026 del 2 oppgave 4 — Presentasjon av nyhetsundersøkelser 2P-Y V26
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Presentasjon av data, Diagram, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM451)
- **Kort beskrivelse:** Gjøre egne beregninger og sammenligninger på to nyhetstabeller og lage ulike diagrammer som passer til presentasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/presentasjon-av-nyhetsundersokelser/
### Oppgavetekst
Hvert år undersøker Reuters Institute, Universitetet i Bergen og Stiftelsen Fritt Ord hvordan vi får med oss nyheter, og i hvilken grad vi unngår nyheter. Dersom vi unngår nyheter over tid, kan vi gå glipp av viktig informasjon og få en svakere tilknytning til samfunnet. Forskerne er derfor spesielt opptatt av dette.
Nedenfor ser du noen resultater fra undersøkelsene.
**Hvordan nordmenn får med seg dagens første nyheter i 2019 og 2025**
*Prosentandel som oppgir hver kilde*
| Kilde | $2019$ | $2025$ |
|:---------------|:---------:|:---------:|
| Smarttelefon | $32 \, \%$| $50 \, \%$|
| Radio | $19 \, \%$| $14 \, \%$|
| PC | $15 \, \%$| $12 \, \%$|
| TV | $13 \, \%$| $11 \, \%$|
| Nettbrett | $6 \, \%$ | $5 \, \%$ |
| Papiravis | $7 \, \%$ | $2 \, \%$ |
| Ingen av disse | $4 \, \%$ | $4 \, \%$ |
| Vet ikke | $4 \, \%$ | $2 \, \%$ |
---
**Nyhetsunngåelse i Norge 2025**
*Hvor ofte nordmenn aktivt unngår nyheter*
| Svar | $2025$ |
| :------------- | :--------: |
| Aldri | $37 \, \%$ |
| En gang iblant | $29 \, \%$ |
| Noen ganger | $23 \, \%$ |
| Ofte | $7 \, \%$ |
| Vet ikke | $4 \, \%$ |
Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.
Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike diagrammer som du kan bruke i en presentasjon.
---
## V2025 del 1 oppgave 1 — Elever i klassen basert på prosentandel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Finne totalantall elever fra at 12 % tilsvarer 3 elever via en-prosentmetoden.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y vår 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elever-i-klassen-basert-pa-prosentandel/
### Oppgavetekst
$88\,\%$ av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er $3$ elever som ikke deltar i undersøkelsen.
Hvor mange elever er det i klassen?
---
## V2025 del 1 oppgave 2 — Median og gjennomsnitt i heiskø
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Beregne median og gjennomsnitt fra liste med 10 tall; finne kumulativ frekvens og tolke den praktisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-i-heisko/
### Oppgavetekst
Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatene ser du nedenfor:
$$
6\qquad 3\qquad 2\qquad 4\qquad 4\qquad 6\qquad 2\qquad 7\qquad 8\qquad 8
$$
a) Bestem medianen og gjennomsnittet.
b) Bestem den kumulative frekvensen for $6$ personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## V2025 del 1 oppgave 3 — Vekt på sekker med hundemat
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekt-pa-sekker-med-hundemat/
### Oppgavetekst
Lotta har kjøpt fire små og to store sekker med hundemat. Sekkene veier til sammen $44 \mathrm{~kg}$. De store sekkene veier $7 \mathrm{~kg}$ mer enn de små.
Hvor mye veier en liten sekk, og hvor mye veier en stor sekk?
---
## V2025 del 1 oppgave 4 — Areal og omkrets av halvsirkel og trekant
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-omkrets-av-halvsirkel-og-trekant/
### Oppgavetekst
Et område har form som en halvsirkel med radius $r = 1{,}0 \mathrm{~m}$. Et annet område har form som en likebeint trekant $ABC$, der $AB = 3{,}0 \mathrm{~m}$ og høyden $h = 1{,}0 \mathrm{~m}$. Se figurene ovenfor.
Gjør beregninger og avgjør
- hvilket av de to områdene som har størst areal
- hvilket av de to områdene som har størst omkrets
---
## V2025 del 1 oppgave 5 — Nedbetalingsplan for Marcos lån
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lån
- **Kompetansemål:** Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nedbetalingsplan-for-marcos-lan/
### Oppgavetekst
Marco har tatt opp et lån med fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 10 år, med én termin i året. Figuren ovenfor viser nedbetalingsplanen.
a) Hvor stort lån har Marco tatt opp?
b) Er dette et annuitetslån eller et serielån? Husk å begrunne svaret.
---
## V2025 del 1 oppgave 7 — Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Grupperte data, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Finne gjennomsnitt og median fra klassedelt aldersfordeling, og forklare antakelsen (jevn fordeling innen klasser) som gir Trines verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-fra-klassedelt-alder/
### Oppgavetekst
I tabellen nedenfor finner du informasjon om alderen til $100$ personer som er medlemmer på et treningssenter:
| Alder (år) | Antall medlemmer |
| :-------------: | :--------------: |
| $[16,20\rangle$ | $20$ |
| $[20,40\rangle$ | $40$ |
| $[40,60\rangle$ | $30$ |
| $[60,90\rangle$ | $10$ |
Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. $38$ år, og at medianalderen er ca. $35$ år.
Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige. Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse.
---
## V2025 del 1 oppgave 8 — Program for reduksjon av matsvinn
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Tolke en while-løkke som reduserer matsvinnet med 13 % per år inntil halvering, og forklare årstall- og mengde-utskriftene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/program-for-reduksjon-av-matsvinn/
### Oppgavetekst
Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn. Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. $160\text{ kg}$ mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.
```python ln
matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87
år = 2025
while matsvinn > mål:
matsvinn = matsvinn * vf
år = år + 1
print(år)
print(matsvinn)
```
Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:
```
2030
79.74734731199999
```
Forklar hva Sofie ønsker å finne ut.
Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?
---
## V2025 del 2 oppgave 1 — Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Geogebra, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Tolke og drøfte utslippsmodellen $U(x)=5000\cdot 0{,}95^x+1000$ - halveringstid, prosentvis endring, gjennomsnittlig endring og om $800$-tonns-grense er mulig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modell-for-reduksjon-av-utslipp/
### Oppgavetekst
Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene. I dag har bedriften to produksjonsprosesser:
1. Den ene slipper ut $5000\mathrm{~tonn}$ per år
2. Den andre slipper ut $1000\mathrm{~tonn}$ per år.
Ledelsen mener funksjonen
$$
U(x)=5000\cdot0{,}95^x+1000
$$
er en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år etter $x$ år.
a) Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.
b) Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?
c) Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter $10$ år ifølge modellen?
d) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0,U(0))$ og $(30,U(30))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
Myndighetene har krevd at utslippet skal reduseres til $800\text{ tonn}$ per år.
Vurder om det ifølge modellen $U$ er mulig å oppfylle dette kravet.
---
## V2025 del 2 oppgave 3 — Formlike trekanter over elv
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Formlike trekanter
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formlike-trekanter-over-elv/
### Oppgavetekst
Kari skal over en elv. Hun har laget skissen ovenfor. Avstanden fra $A$ til $D$ er $5 \mathrm{~m}$, avstanden fra $D$ til $E$ er $10 \mathrm{~m}$, og avstanden fra $B$ til $C$ er $40 \mathrm{~m}$.
a) Forklar at $\triangle ABC$ og $\triangle ADE$ er formlike.
b) Vis Kari hvordan hun kan regne ut avstanden fra $B$ til $D$.
---
## V2025 del 2 oppgave 3 — Påstander om gjennomsnitt og median i et rom
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Vurdere to påstander om median og gjennomsnitt når en ellevte person kommer inn; løse likning for hvilken alder som gir snittet 30 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-gjennomsnitt-og-median-i-et-rom/
### Oppgavetekst
I et rom er det $10$ personer. Nedenfor ser du alderen til hver person:
$$
12,\,14,\,40,\,42,\,70,\,67,\,5,\,5,\,28,\,30
$$
> Påstand 1
> Dersom det kommer en ny person inn i rommet, vil medianalderen endres.
a) Er denne påstanden riktig? Begrunn.
> Påstand 2
> Dersom det kommer en ny person inn i rommet, kan gjennomsnittsalderen bli $30$ år.
b) Er denne påstanden riktig? Begrunn.
---
## V2025 del 2 oppgave 5 — Husleie regulert etter KPI
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentvis endring, Prisindeks
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt (KM448)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/husleie-regulert-etter-kpi/
### Oppgavetekst
| År | KPI for oktober |
| :--: | :-------------: |
| 2021 | 117,2 |
| 2022 | 126,0 |
| 2023 | 131,1 |
| 2024 | 134,5 |
Tabellen ovenfor viser konsumprisindeksen for oktober måned i perioden 2021–2024.
Felix leier en leilighet. I oktober 2023 gikk husleien opp og ble satt til $8500$ kroner per måned.
Husleieloven sier at ny leie kan fastsettes én gang i året, tidligst ett år etter forrige leiefastsetting. Endringen kan ikke overstige endringen i konsumprisindeksen (KPI).
I oktober 2024 fikk Felix varsel fra huseieren om at leien igjen skulle settes opp, og at ny pris ville bli $9000$ kroner per måned.
a) Gjør beregninger og avgjør om huseieren hadde lov til å sette opp leien til $9000$ kroner per måned på dette tidspunktet.
b) Lag en oversikt som viser hvor mange prosent konsumprisen økte med per år fra oktober 2021 til oktober 2024.
c) Gjør antakelser og beregninger, og finn ut hvor mye Felix må regne med å betale i husleie per måned fra og med oktober 2026.
---
## V2025 del 2 oppgave 6 — Halvert fuglebestand
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Regresjon, Vekstfaktor
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell halveringsmodell $F(x)=12\,000\cdot 0{,}87^x$ — verifisere halvering hvert 5. år, beregne $F(7)$, og finne $x$ når bestanden er redusert 35 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halvert-fuglebestand/
### Oppgavetekst
En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene.
I dag er det 12 000 fugler i bestanden.
Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.
a) Vis at funksjonen $F$ gitt ved $F(x)=12\,000 \cdot 0{,}87^{x}$ er en god modell for antallet fugler etter $x$ år.
b) Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?
c) Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen?
---
## V2025 del 2 oppgave 7 — Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Presentasjon av data, Prosentregning, Diagram
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM451)
- **Kort beskrivelse:** Åpen presentasjonsoppgave – velge diagramtyper og beregne prosentvise endringer i fødselsrate, dødsrate og samlet fruktbarhetstall 1983–2023.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lag-presentasjon-som-viser-dods-og-fodselsrate/
### Oppgavetekst
| År | Antall<br> fødte | Antall døde | Fødselsrate | Dødsrate | Samlet fruktbarhetstall |
| :--: | :-------: | :------: | :------: | :-----: | :-------------: |
| 1983 | 49 937 | 42 224 | 12,1 | 10,2 | 1,66 |
| 1993 | 59 678 | 46 597 | 13,8 | 10,8 | 1,86 |
| 2003 | 56 458 | 42 478 | 12,4 | 9,3 | 1,80 |
| 2013 | 58 995 | 41 282 | 11,6 | 8,1 | 1,78 |
| 2023 | 51 980 | 43 803 | 9,4 | 7,9 | 1,40 |
Datamaterialet ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrås nettsider.
- Fødselsrate og dødsrate er antall fødte og døde per 1000 innbyggere.
- Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag.
Title
Gjør relevante sammenlikninger og beregninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon.
Presentasjonen skal inneholde
- diagrammer som illustrerer utviklingen gjennom perioden fra 1983 til 2023
- beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023
---
## H2025 del 1 oppgave 1 — Prosentvis prisøkning 2P-Y H25
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentvis endring, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Prosentvis økning fra 300 kr til 315 kr via $\frac{15}{300} \cdot 100\,\% = 5\,\%$.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-prisokning-h25/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare settes opp fra 300 kroner til 315 kroner.
Hvor mange prosent settes prisen opp med?
---
## H2025 del 1 oppgave 2 — Prisindeks og sammenligning
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt (KM448)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisindeks-og-sammenligning/
### Oppgavetekst
I 2024 var indeksen for en vare 120. Varen kostet da 400 kroner. I 2022 var indeksen for den samme varen 90.
Hvor mye kostet varen i 2022 dersom prisen har fulgt indeksen?
---
## H2025 del 1 oppgave 3 — Modell av Eiffeltårnet
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modell-av-eiffeltarnet/
### Oppgavetekst
Eiffeltårnet i Paris er 330 meter høyt. Ellen har kjøpt en modell av Eiffeltårnet i målestokk $1 : 1100$.
Hvor høy er modellen?
---
## H2025 del 1 oppgave 4 — Pariserhjul statistikk 2P-Y H25
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Fra frekvenstabell vise antall tomme vogner, beregne gjennomsnitt og median, og tolke kumulativ frekvens.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pariserhjul-statistikk/
### Oppgavetekst
I et pariserhjul er det 20 vogner. Det er plass til 4 personer i hver vogn. Nedenfor ser du hvor mange personer det var i vognene på et tidspunkt.
| Antall personer i vognen | Antall vogner |
| :----------------------: | :-----------: |
| 0 | |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
Stine påstår at fem vogner var tomme.
a) Vis at påstanden er riktig.
b) Bestem gjennomsnittet og medianen for antallet personer i hver vogn.
c) Bestem den kumulative frekvensen for to personer i hver vogn, og gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## H2025 del 1 oppgave 5 — Trekant i sirkel
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-i-sirkel/
### Oppgavetekst
Regine har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er 6 cm, og den andre kateten er 8 cm. Hun har plassert trekanten inne i en sirkel slik at hypotenusen er en diameter i sirkelen.
Gjør beregninger og avgjør om arealet av sirkelen er større enn eller mindre enn $75 \mathrm{~cm^2}$.
---
## H2025 del 1 oppgave 6 — Priser i tivoli-kiosk
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/priser-i-tivoli-kiosk/
### Oppgavetekst
En kiosk i et tivoli selger sukkerspinn, popkorn og softis.
Eva kjøper et sukkerspinn og en bøtte med popkorn. Hun betaler 90 kroner.
Trine kjøper en bøtte med popkorn og en softis. Hun betaler 80 kroner.
Magnus kjøper et sukkerspinn og en softis. Han betaler 70 kroner.
Hvor mye koster et sukkerspinn, hvor mye koster en bøtte med popkorn, og hvor mye koster en softis?
---
## H2025 del 1 oppgave 7 — Kaja sitt serielån
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån
- **Kompetansemål:** Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaja-sitt-serielan/
### Oppgavetekst
Kaja tar opp et serielån på 400 000 kroner.
- Hun skal betale ned lånet over 8 år, med én termin per år.
- Første innbetaling er om 1 år.
- Renten er $5{,}0\ \%$ per år, og lånet er gebyrfritt.
a) Hvor store blir avdragene Kaja må betale?
b) Regn ut terminbeløpene for de to første terminene.
c) Hvor mange kroner måtte Kaja ha betalt i renter i tredje termin dersom lånets nedbetalingstid hadde vært 5 år, med én termin per år?
---
## H2025 del 1 oppgave 8 — Johanns spareplan
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Sparing
- **Kompetansemål:** Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/johanns-spareplan/
### Oppgavetekst
Johann har arvet penger. Han har en plan og har laget programmet nedenfor.
```python ln
konto = 1500000
uttak = 120000
vf = 1.056
år = 0
while konto >= 120000:
konto = konto * vf - uttak
år = år + 1
print("Resultat:")
print(år)
print(konto)
```
```
Resultat:
22
11183.702579092205
```
Hva forteller programmet om planen til Johann?
Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?
---
## H2025 del 2 oppgave 1 — Eksponentiell vekst nettbutikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Prosentvis endring, Prosentvis endring i flere perioder
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon for omsetningsdata; tolke vekstfaktor; løse $f(x)=20000$; finne nødvendig månedlig vekstfaktor fra $2032\cdot x^6=20000$.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-vekst-nettbutikk/
### Oppgavetekst
Alex lager hårspenner og annen hodepynt. I februar 2025 åpnet han en liten nettbutikk. Tabellen nedenfor viser omsetningen de første fem månedene etter at nettbutikken åpnet.
| Måned | Februar | Mars | April | Mai | Juni |
| :----------------- | :-----: | :--: | :---: | :--: | :--: |
| Omsetning (kroner) | 1267 | 1431 | 1619 | 1788 | 2032 |
a) Lag en modell på formen $f(x)=a \cdot b^{x}$ for omsetningen $f(x)$ kroner $x$ måneder etter februar 2025.
b) Omtrent hvor mange prosent øker omsetningen med per måned, ifølge modellen?
Alex har som mål å omsette for 20 000 kroner per måned.
c) Når kommer Alex til å nå målet, ifølge modellen?
d) Hvor mange prosent må omsetningen øke med per måned etter juni 2025 dersom Alex skal nå målet i løpet av desember 2025?
---
## H2025 del 2 oppgave 2 — Befolkningsstatistikk tettsteder
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Spredningsmål, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM451); Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sentralmål og spredningsmål for tettstedstall, vurdere best sentralmål ved skjevfordeling, og sammenligne med dansk statistikk.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/befolkningsstatistikk-tettsteder/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge i 2024.
| | **Tettsted** | **Innbyggere** |
| --: | :-------------------- | -------------: |
| 1 | Oslo | 1 098 061 |
| 2 | Bergen | 272 125 |
| 3 | Stavanger/Sandnes | 239 055 |
| 4 | Trondheim | 198 777 |
| 5 | Drammen | 124 540 |
| 6 | Fredrikstad/Sarpsborg | 121 679 |
| 7 | Porsgrunn/Skien | 96 695 |
| 8 | Kristiansand | 67 372 |
| 9 | Tønsberg | 55 939 |
| 10 | Ålesund | 55 684 |
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, standardavviket og variasjonsbredden for innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge.
Kine og Håkon diskuterer hvilket sentralmål som er best å bruke for å beskrive datamaterialet.
Håkon mener det er best å bruke gjennomsnittet. Kine mener det er best å bruke medianen.
b) Hvem er du mest enig med?
Husk å begrunne svaret ditt.
Gjennomsnittet, medianen og standardavviket for de ti største tettstedene i Danmark er gitt i tabellen nedenfor.
| Gjennomsnitt | Median | Standardavvik |
| :----------: | :----: | :-----------: |
| 235 549 | 67 832 | 388 000 |
c) Hva kan du si om folketallet i de danske tettstedene sammenliknet med de norske ut fra tallene i tabellen og resultatene fra oppgave a)?
---
## H2025 del 2 oppgave 3 — Internettbruk i aldersgrupper
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Presentasjon av data, Diagram, Utforskning, Prosentvis endring
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM451)
- **Kort beskrivelse:** Utforske aldersfordelt internettbruk med absolutt og prosentvis endring 2020–2024; lage diagrammer og trekke fram funn.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/internettbruk-i-aldersgrupper/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange minutter nordmenn i ulike aldersgrupper brukte på internett en gjennomsnittsdag i årene 2020 til 2024.
| | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
| :------: | :------------------: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 9–15 år | 180 | 198 | 256 | 273 | 245 |
| 16–24 år | 318 | 340 | 408 | 388 | 440 |
| 25–44 år | 245 | 269 | 294 | 312 | 338 |
| 45–64 år | 177 | 181 | 226 | 218 | 260 |
| 65–79 år | 60 | 77 | 111 | 109 | 127 |
Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.
Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.
Lag en oppsummering der du trekker fram to interessante funn ut fra beregningene du har gjort, og diagrammene du har laget.
---
## H2025 del 2 oppgave 4 — Investeringer og avkastning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentvis endring, Vekstfaktor, Sparing, Økonomi
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447); Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Kort beskrivelse:** Sluttverdi etter 5 år for aksjefond (engangsvekst 36 %), sparekonto (rentes rente $1{,}057^5$) og aksjer (produkt av fem ulike vekstfaktorer).
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/investeringer-og-avkastning/
### Oppgavetekst
I januar 2020 hadde Fatima, Adrian og Vegard 100 000 kroner hver.
Fatima plasserte pengene sine i et aksjefond. I januar 2025 hadde verdien steget med 36 %.
Adrian satte pengene sine inn på en sparekonto med en årlig rente på 5,7 %.
Vegard investerte pengene sine i ulike aksjer hvert år.
- I 2020 steg verdien av aksjene med 20 %
- I 2021 falt verdien med 11 %
- I 2022 falt verdien med 10 %
- I 2023 steg verdien med 23 %
- I 2024 steg verdien med 17 %
Gjør beregninger og lag en oversikt som viser hvor mye penger hver av de tre har ved starten av 2025.
---
## H2025 del 2 oppgave 5 — Gjennomsnittsalder i Åseral
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grupperte data, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Grupperte data — diskutere nødvendige antagelser, beregne gjennomsnitt via midtpunkter, og finne prosentandel eldre enn snittet via interpolasjon i intervallet som inneholder snittet.
- **Kilde:** Eksamen 2P-Y høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittsalder-i-aseral/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen i Åseral kommune i 2024.
| Alder (år) | Antall personer |
| :---------------: | :-------------: |
| $[0, 18 \rangle$ | 188 |
| $[18, 50\rangle$ | 347 |
| $[50, 67\rangle$ | 237 |
| $[67, 80\rangle$ | 103 |
| $[80, 90\rangle$ | 33 |
| $[90, 100\rangle$ | 15 |
a) Hvilke antagelser må du gjøre for å kunne bruke tabellen til å bestemme ulike sentralmål for innbyggerne i Åseral kommune i 2024?
b) Bestem gjennomsnittsalderen for innbyggerne i Åseral kommune i 2024.
c) Hvor mange prosent av befolkningen i Åseral kommune var eldre enn gjennomsnittsalderen i kommunen i 2024?
---
## H2025 del 2 oppgave 6 — Grus på sti og kjeglehaug
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grus-pa-sti-og-kjeglehaug/
### Oppgavetekst
Eva og Per Ivar skal legge grus på en sti fra parkeringsplassen og opp til hytta.
Stien er 25 m lang og 60 cm bred. De vil legge et 75 mm tykt lag med grus på stien.
a) Hvor mange kubikkmeter grus må de bestille?
Når de kommer til hytta, ligger grusen de har bestilt, i en kjegleformet haug på parkeringsplassen. Kjeglen har en diameter på $2{,}5 \mathrm{~m}$ og er $1{,}0 \mathrm{~m}$ høy.
b) Gjør beregninger og avgjør om de har fått levert nok grus.
---
## V2024 del 1 oppgave 1 — Gjennomsnitt og median sosiale medier
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-median-sosiale-medier/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange timer 10 ungdommer brukte på sosiale medier i løpet av en dag.
$$
1 \qquad3 \qquad4 \qquad0 \qquad4 \qquad5 \qquad2 \qquad7 \qquad12 \qquad2
$$
Bestem gjennomsnittet og medianen.
---
## V2024 del 1 oppgave 2 — Konsumprisindeks vare 2015–2023
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prisindeks, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt (KM448)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konsumprisindeks-vare-2015-2023/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for 2015 og 2023.
| År | KPI |
|------|-------|
| 2015 | 100 |
| 2023 | 129,6 |
En vare kostet 500 kroner i 2015. Hva kostet varen i 2023 dersom prisen har fulgt konsumprisindeksen?
---
## V2024 del 1 oppgave 2 — Prosentvis prisreduksjon bagetter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Enhetskostnad
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Finne pris per bagett i to tilbud (16 og 12 kr) og regne prosentvis reduksjon $\frac{16-12}{16} = 25\,\%$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-prisreduksjon-bagetter/
### Oppgavetekst
Nora skal kjøpe bagetter.
Hvor mange prosent lavere blir prisen per bagett dersom hun kjøper fire i stedet for to?
---
## V2024 del 1 oppgave 3 — Kartmålestokk Oslo
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Kort beskrivelse:** Omregne at 2 cm tilsvarer 300 m til målestokk 1:15 000 ved enhetskonvertering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kartmalestokk-oslo/
### Oppgavetekst
Astrid har funnet et gammelt kart over Oslo. Hun vil finne målestokken til kartet.
Hun bestemmer seg for å gå 300 meter langs en av de rette gatene i byen. Etterpå måler hun og finner ut at den avstanden hun har gått, tilsvarer 2 cm på kartet.
Forklar og vis Astrid hvordan hun kan finne målestokken til kartet.
---
## V2024 del 1 oppgave 4 — Ispinner og mineralvann likningssystem
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likningssystem for pris på ispinne og mineralvann ved innsettingsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ispinner-og-mineralvann-likningssystem/
### Oppgavetekst
Elevene i 2STA kjøpte 30 ispinner og 30 bokser med mineralvann til en sommeravslutning. Til sammen betalte de 900 kroner. En boks med mineralvann kostet 6 kroner mer enn en ispinne.
Hvor mye kostet en ispinne, og hvor mye kostet en boks med mineralvann?
---
## V2024 del 2 oppgave 3 — Skiturstatistikk Solveig og Miriam
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne gjennomsnitt og standardavvik med venninne via Excel, og lese antall felles turer ut av kumulative frekvenser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skiturstatistikk-solveig-og-miriam/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange timer Solveig brukte på hver av de 20 skiturene hun gikk vinteren 2024.
Table: Solveigs skiturer {.noborders}
| 8 | 4 | 7 | 5 | 10 | 3 | 12 | 6 | 8 | 9 |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 6 | 5 | 8 | 9 | 11 | 5 | 3 | 7 | 9 | 8 |
Solveigs venninne, Miriam, gikk også 20 skiturer vinteren 2024. I gjennomsnitt brukte Miriam 4,7 timer per tur. Medianen var 4, og standardavviket hennes for antall timer per tur var 4,2.
a) Hva kan du ut fra dette si om skiturene til Miriam sammenliknet med skiturene til Solveig?
Solveig og Miriam gikk noen av skiturene sammen. Tabellen nedenfor viser den kumulative frekvensen for antallet timer disse skiturene varte.
| Lengde turer sammen (timer) | Kumulativ frekvens |
| :-------------------------: | :----------------: |
| 0 | 10 |
| 3 | 11 |
| 5 | 14 |
| 8 | 17 |
| 9 | 19 |
| 12 | 20 |
b) Argumenter for at hver av de to påstandene nedenfor er riktig.
1\) Miriam og Solveig gikk 3 skiturer på 5 timer sammen.
2\) Miriam var ikke med alle gangene Solveig gikk en skitur på 8 timer.
---
## V2024 del 2 oppgave 4 — Instagram-følgere eksponentiell vekst
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Vekstfaktor, Prosentvis vekst, Regresjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon gir $f(x)=5244 \cdot 1{,}35^x$; sammenlikne antall følgere under original og voksende månedsvekst (+5 prosentpoeng/mnd).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/instagram-folgere-eksponentiell-vekst/
### Oppgavetekst
Tuva har en profil på Instagram. Tabellen nedenfor viser hvor mange følgere hun har hatt de siste seks månedene.
| Måned | November | Desember | Januar | Februar | Mars | April |
| ------- | :------: | :------: | :----: | :-----: | :----: | :----: |
| Følgere | 5335 | 7035 | 9467 | 12 780 | 17 208 | 24 008 |
Tuva har laget en modell som viser at antallet følgere har økt med ca. 35 % hver måned i perioden november 2023–april 2024.
a) La $x$ være antall måneder etter november 2023, og vis hvordan Tuva kan ha laget denne modellen.
For å få antall følgere til å øke raskere vil Tuva gjøre noen endringer i innholdet hun legger ut. Hun har som mål at økningen i antall følgere ikke skal fortsette å være på 35 % etter april 2024, men øke med 5 prosentpoeng hver måned.
b) Vis at antall følgere vil være 33 611 i mai og 48 736 i juni dersom Tuva klarer å nå målet sitt for disse månedene.
c) Hvor mange prosent flere følgere vil Tuva ha i august 2024 dersom hun klarer å nå det nye målet sitt for hver måned, sammenliknet med om økningen fortsetter å være på 35 % hver måned?
---
## V2024 del 2 oppgave 4 — Programmering likningssystem Sara og Ole
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Likningssystem
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programmering-likningssystem-sara-og-ole/
### Oppgavetekst
Sara og Ole jobber med å løse likningssystemer.
For å prøve å løse likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} 4x = -12 + y \\ 2x + 24 - y = 2x^2 \end{bmatrix}
$$
har Sara laget programmet nedenfor.
```python ln
def f(x):
return 4 * x + 12
def g(x):
return -2 * x ** 2 + 2 * x + 24
for x in range(-5, 5):
if f(x) == g(x):
print("Jeg har funnet løsningen x =", x ,"og y =", f(x))
```
```
Jeg har funnet løsningen x = -3 og y = 0
Jeg har funnet løsningen x = 2 og y = 20
```
a) Forklar strategien Sara har brukt for å løse likningssystemet.
Ole arbeider med likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} 2x = y - 8 \\ x^2 + x - 48 = y \end{bmatrix}
$$
b) Hvilke endringer må Ole gjøre i programmet til Sara for å finne løsningene på likningssystemet han arbeider med?
---
## V2024 del 2 oppgave 5 — Klatrevegg rettavkortet kjegle
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Volum
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klatrevegg-rettavkortet-kjegle/
### Oppgavetekst
Henrik og Hanne arbeider i et byggefirma. Byggefirmaet har fått i oppdrag å lage en klatrevegg til en skolegård. Klatreveggen skal ha form som en rettavkortet kjegle slik at elevene kan klatre opp til en plattform på toppen. Firmaet vurderer å støpe klatreveggen i betong. Se skissen nedenfor.
Skolen har to krav når det gjelder utforming av klatreveggen.
- Klatreveggen må få plass på et kvadratisk område med areal $20 \mathrm{~m^2}$.
- Plattformen på toppen må ikke være mer enn $2{,}5 \mathrm{~m}$ over bakken, og den skal ha et areal på $10 \mathrm{~m^2}$.
Hanne og Henrik skal lage et forslag til hvordan klatreveggen kan utformes, og beregne hvor mye betong som vil gå med for å lage den.
> Henrik
> Først må vi finne ut hvor stor grunnflaten kan være.
> Hanne
> For å regne ut volumet kan vi kanskje ta utgangspunkt i en hel kjegle og så kutte av den øverste delen?
> Henrik
> Det var lurt. Vi må passe på at den nederste delen blir en rettavkortet kjegle som oppfyller kravene. Hvor høy skal vi la hele kjeglen være?
a) Lag en skisse som viser hvordan klatreveggen kan utformes for å oppfylle kravene fra skolen. Sett mål på skissen. Forklar hvordan du har tenkt, og vis utregningene dine.
b) Hvor mye betong vil gå med for å lage klatreveggen?
---
## V2024 del 2 oppgave 5 — Tid brukt på lekser histogram
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Vurdér fire påstander om gruppert histogram: frekvens via areal, relativ frekvens, gjennomsnitt fra intervallmidtpunkter og median innen et intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tid-brukt-pa-lekser-histogram/
### Oppgavetekst
Oda har undersøkt hvor mange minutter elevene ved skolen brukte på lekser en ettermiddag i mai, og laget histogrammet nedenfor.
Bruk opplysningene du kan lese ut av histogrammet, gjør beregninger, og argumenter for at hver av de fire påstandene nedenfor kan være riktig.
> Påstand 1
> 80 elever brukte mindre enn 40 minutter på lekser denne ettermiddagen.
> Påstand 2
> Den relative frekvensen for 100–150 minutter brukt på lekser er $\frac{1}{5}$.
> Påstand 3
> Elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, brukte i gjennomsnitt 38 minutter.
> Påstand 4
> For elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, er medianen for antall minutter høyere enn gjennomsnittet for antall minutter.
---
## V2024 del 2 oppgave 6 — Leilighet og annuitetslån Johannes
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lån, Økonomi, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leilighet-og-annuitetslan-johannes/
### Oppgavetekst
Johannes vil kjøpe en leilighet som koster 2 000 000 kroner.
Han har sjekket bankens nettsider og brukt en lånekalkulator for å finne ut hvor mye han må betale dersom han tar opp lån for å kjøpe leiligheten.
> **Info**
> Krav for å få boliglån
> For å få boliglån må du
>
> - ha minst 15 % i egenkapital
> - kunne klare å betale ned lånet selv om renten øker med 3 prosentpoeng
a) Hvordan kan du se at det er et annuitetslån Johannes har fått opplysninger om? Hvorfor kan han ikke legge inn mer enn 1 700 000 som ønsket lånebeløp i lånekalkulatoren?
Johannes lurer på hvordan han kan finne ut hvor mye en rente på $5{,}49 \,\%$ per år tilsvarer per måned. Han finner teksten nedenfor på kredittguiden.no
> **Info**
> Månedsrente til årsrente
> En rente på $1{,}5 \%$ per måned tilsvarer en rente på $19{,}56 \,\%$ per år. Regnestykket blir
>
>
> $$
> (1+0{,}015)^{12} = 1{,}1956
> $$
>
b) Forklar utregningen som er gjort ovenfor, og vis hvordan du kan bruke en likning for å regne ut hvor mye en rente på $5{,}49 \,\%$ per år tilsvarer per måned.
Johannes skal betale første terminbeløp etter én måned.
c) Omtrent hvor stor del av dette terminbeløpet vil være renter, og omtrent hvor stor del vil være avdrag?
Johannes vil bruke SIFO sitt referansebudsjett for å få bedre oversikt over økonomien sin.
I tillegg til utgiftene som er representert i dette budsjettet, bruker Johannes 1600 kroner per måned til nedbetaling av studielån og 2000 kroner per måned til ulike forsikringer.
Johannes har en brutto månedslønn på 52 000 kroner. Han betaler 1,2 % av brutto månedslønn i fagforeningskontingent og 2 % til pensjonssparing. Han har et skattetrekk på 32 %.
d) Gjør beregninger, og vurder om Johannes har råd til å kjøpe leiligheten.
---
## H2024 del 1 oppgave 1 — Bestem målestokk fra kart
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Målestokk
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-malestokk-fra-kart/
### Oppgavetekst
På et kart er avstanden mellom to byer 10 cm. I virkeligheten er denne avstanden 5 km.
Bestem målestokken til kartet.
---
## H2024 del 1 oppgave 2 — Statistikk på Lars arbeidstid
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Gjennomsnitt, median og kumulativ frekvens for et lite datasett med 10 arbeidsdager.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-pa-lars-arbeidstid/
### Oppgavetekst
Lars arbeider i en butikk etter skoletid og i helgene. Nedenfor ser du hvor mange timer han har arbeidet hver av de 10 siste dagene:
$$
3\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 8\quad 0\quad 3\quad 5\quad 5
$$
a) Bestem gjennomsnittet og medianen.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 5 timer og forklar hva dette tallet betyr.
---
## H2024 del 1 oppgave 3 — Formlike trekanter og areal
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formlike-trekanter-og-areal/
### Oppgavetekst
Even har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er 10 cm, og den andre kateten er 5 cm. Even vil tegne en ny trekant som er formlik med den trekanten han har tegnet. Arealet av den nye trekanten skal være $64 \mathrm{~cm^2}$.
Hvor lange må hver av katetene i den nye trekanten være?
---
## H2024 del 1 oppgave 4 — Løse likningssystem for Markus
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lose-likningssystem-for-markus/
### Oppgavetekst
Markus arbeider med likningssystemet nedenfor.
$$
\begin{bmatrix}
\quad 2x -6 = y \quad \\
4x +2y = 12
\end{bmatrix}
$$
Vis Markus hvordan han kan løse likningssystemet.
---
## H2024 del 1 oppgave 5 — Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentvis endring i flere perioder, Programmering
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Tolke uttrykket $200\cdot 0{,}975^x$ og hva while-løkken summerer (utslipp 2025–2029).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utslippsreduksjon-med-prosentvis-nedgang/
### Oppgavetekst
Sara har lest om en bedrift som regner med å slippe ut $200 \,\mathrm{tonn}$ CO$_2$ i 2025.
Bedriften har som mål å redusere utslippet med $2{,}5 ~\%$ hvert år framover.
Sara har laget programmet nedenfor:
```python ln
def f(x):
return 200 * 0.975 ** x
x = 0
s = 0
while x <= 4:
s = s + f(x)
x = x + 1
print(s)
```
a) Gi en praktisk tolkning av uttrykket Sara har brukt i linje 2.
b) Hva vil verdien som skrives ut når programmet kjøres, fortelle Sara?
---
## H2024 del 2 oppgave 1 — Salg av iste
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Prosentvis endring i flere perioder
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Anvende eksponentialmodellen $F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x$ regnemessig og grafisk, og regne prosentvis vekst over 24 måneder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/salg-av-iste/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer iste. Funksjonen gitt ved
$$
F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x
$$
er en modell som viser hvor mange flasker av isteen bedriften regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.
For å regne ut salget i desember 2024 kan vi sette $x = 0$, for å regne ut salget i januar 2025 kan vi sette $x = 1$, og så videre.
a) Vis hvordan du på to ulike måter kan svare på spørsmål 1) og på spørsmål 2) nedenfor.
1\) Hvor mange flasker iste regner bedriften med å selge i desember 2025 ifølge modellen?
2\) Når vil bedriften for første gang selge mer enn 2000 flasker iste i løpet av en måned ifølge modellen?
b) Hvor mange prosent vil salget øke med fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen?
---
## H2024 del 2 oppgave 2 — Kjøpekraft og konsumprisindeks
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prisindeks, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt (KM448)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjopekraft-og-konsumprisindeks/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser gjennomsnittlig månedslønn for arbeidstakere i Norge i perioden 2015–2022. Tabellen viser også konsumprisindeksen (KPI) de samme årene.
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Gjennomsnittlig månedslønn (kroner) | 42 580 | 43 640 | 44 660 | 46 010 | 47 720 | 48 750 | 50 790 | 53 150 |
| KPI | 100 | 103,6 | 105,5 | 108,4 | 110,8 | 112,2 | 116,1 | 122,8 |
Undersøk hvordan kjøpekraften har endret seg år for år i perioden 2015–2022. Presenter resultatet på en oversiktlig måte.
---
## H2024 del 2 oppgave 3 — Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Utforskning, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere algebraisk for at $a\,\%$ av $b = b\,\%$ av $a$ ved å vise at begge gir $ab/100$ (kommutativitet).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/argumenter-for-at-prosentregnestykker-gir-samme-svar/
### Oppgavetekst
Chris arbeider med de seks oppgavene nedenfor. Han har systematisert oppgavene i tre kolonner og kaller de to oppgavene som står i samme kolonne, for et oppgavepar.
Argumenter for hvorfor to oppgaver som er satt opp i oppgavepar på samme måte som ovenfor, alltid vil ha samme svar.
---
## H2024 del 2 oppgave 5 — Nettoinntekt med overtid
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi
- **Kompetansemål:** Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Kort beskrivelse:** Nettoinntekt med overtid via timelønn, $40\,\%$-tillegg, pensjons- og skattetrekk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nettoinntekt-med-overtid/
### Oppgavetekst
Tobine har en fast arbeidstid på $162{,}5$ timer hver måned og en fast månedslønn på $35\,750$ kroner.
Ved overtid får hun et tillegg på $40\,\%$.
Tobine har et pensjonstrekk på $2\,\%$ og et skattetrekk på $18\,\%$.
En måned arbeidet hun 10 timer overtid.
Bestem nettoinntekten til Tobine denne måneden.
---
## H2024 del 2 oppgave 5 — Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Utforskning
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Sentralmål og standardavvik for datasett, tolke gitte beskrivelser av andre lag og konstruere eksempler som passer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-quizlag/
### Oppgavetekst
En fotoklubb arrangerer quiz hver torsdag. Det er tre lag som alltid deltar på quizen. På hvert av lagene er det seks personer.
Nedenfor ser du alderen til de seks personene på lag A:
$$
15 \text{ år}\quad 60 \text{ år}\quad 24 \text{ år}\quad 18 \text{ år}\quad 45 \text{ år}\quad 78 \text{ år}
$$
a) Bestem medianalderen, gjennomsnittsalderen og standardavviket for alderen til de seks personene på laget.
Du får vite dette om alderen til personene som er med på hvert av de to andre lagene:
> Lag B
> Medianalderen og gjennomsnittsalderen for personene på lag B er høyere enn for lag A, men standardavviket er mindre.
> Lag C
> Medianalderen for personene på lag C er lavere enn for lag A. Gjennomsnittsalderen er høyere enn for lag A. Standardavviket er også høyere enn for lag A.
b) Hva kan du si om alderen til personene på lag B og lag C sammenliknet med personene på lag A ut fra disse opplysningene?
c) Sett opp et eksempel som viser en mulig aldersfordeling for lag B og for lag C. Vis at gjennomsnittsalder, medianalder og standardavvik stemmer med opplysningene om alderen til personene på lagene.
---
## H2024 del 2 oppgave 7 — Forbrukslån med betalingsplan
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Økonomi, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Kort beskrivelse:** Lese ut lånetype, lånebeløp og månedlig rente fra betalingsplan til annuitetslån.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forbrukslan-med-betalingsplan/
### Oppgavetekst
Julia har tatt opp et forbrukslån som skal betales ned i løpet av de neste 12 månedene.
Hun skal betale ned på lånet hver måned.
Betalingsplanen ser slik ut:
| Måned | Terminbeløp | Renter | Avdrag | Restlån |
|---|---|---|---|---|
| 1 | kr 6 962,00 | kr 1 275,00 | kr 5 687,00 | kr 69 313,00 |
| 2 | kr 6 962,00 | kr 1 178,32 | kr 5 783,68 | kr 63 529,32 |
| 3 | kr 6 962,00 | kr 1 080,00 | kr 5 882,00 | kr 57 647,32 |
| 4 | kr 6 962,00 | kr 980,00 | kr 5 982,00 | kr 51 665,32 |
| 5 | kr 6 962,00 | kr 878,31 | kr 6 083,69 | kr 45 581,63 |
| 6 | kr 6 962,00 | kr 774,89 | kr 6 187,11 | kr 39 394,52 |
| 7 | kr 6 962,00 | kr 669,71 | kr 6 292,29 | kr 33 102,23 |
| 8 | kr 6 962,00 | kr 562,74 | kr 6 399,26 | kr 26 702,97 |
| 9 | kr 6 962,00 | kr 453,95 | kr 6 508,05 | kr 20 194,92 |
| 10 | kr 6 962,00 | kr 343,31 | kr 6 618,69 | kr 13 576,23 |
| 11 | kr 6 962,00 | kr 230,80 | kr 6 731,20 | kr 6 845,03 |
| 12 | kr 6 961,39 | kr 116,37 | kr 6 845,03 | – |
Bruk betalingsplanen til å avgjøre
- om lånet er et serielån eller et annuitetslån
- hvor mye penger Julia har lånt
- hvor mange prosent Julia betaler i månedlig rente
---
## H2024 del 2 oppgave 7 — Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Presentasjon av data, Prosentregning, Diagram
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM451)
- **Kort beskrivelse:** Åpen presentasjonsoppgave – sammenligne tidsbruk menn og kvinner 1970–2010, beregne prosentvise endringer og foreslå egnede diagramtyper.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lag-presentasjon-om-statistikk-for-tidsbruk-pa-ulike-aktiviteter/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange timer menn og kvinner brukte på ulike aktiviteter en gjennomsnittsdag i 1970, 1990 og 2010:
Table: Antall timer brukt på ulike aktiviteter fra 1970 til 2010. Kilde: SSB
| | | Menn | | | Kvinner | |
| :--------------------- | :--: | :--: | :--: | :--: | :-----: | :--: |
| År | 1970 | 1990 | 2010 | 1970 | 1990 | 2010 |
| Inntektsgivende arbeid | 5,48 | 4,50 | 4,17 | 1,93 | 2,80 | 3,02 |
| Husholdsarbeid | 2,22 | 2,60 | 3,00 | 5,92 | 4,37 | 3,83 |
| Utdanning | 0,38 | 0,48 | 0,45 | 0,28 | 0,55 | 0,47 |
Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.
Gjør beregninger og sammenlikninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.
---
## H2024 del 2 oppgave 8 — Volum og areal for lesehule
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Volum, Areal og omkrets, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-og-areal-for-lesehule/
### Oppgavetekst
En barneskole skal kjøpe lesehuler til de yngste elevene.
En lesehule har mål som vist på tegningen nedenfor. Dybden er 1000 mm.
a) Bestem volumet av rommet inne i lesehulen. Gi svaret i kubikkmeter.
Lesehulen har en sekskantet inngang. Sekskanten er regulær. Alle sidene i sekskanten er 398 mm.
b) Gjør beregninger og bestem arealet av den sekskantede inngangen. Gi svaret i kvadratmeter.
---
## V2023 del 1 oppgave 1 — Prisindeks og brødpris
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prisindeks, Prosentregning, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt (KM448)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisindeks-og-brodpris/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser prisindeksen for brød i perioden 2015–2021.
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
| ------------------- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Prisindeks for brød | 100,0 | 102,5 | 104,5 | 107,3 | 109,2 | 111,8 | 113,3 |
a) Hvor mange prosent steg prisen for brød med fra 2015 til 2021?
Prisen for ett bestemt brød steg fra 40 kroner i 2017 til 42 kroner i 2019.
b) Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette brødet steg mer enn prisindeksen for brød.
---
## V2023 del 1 oppgave 2 — Likebeinte og formlike trekanter
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Kort beskrivelse:** Skisse og argumentasjon – en likebeint trekant formlik med $4\times$ areal får doblet grunnlinje og høyde, $A = gh/2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likebeinte-og-formlike-trekanter/
### Oppgavetekst
Du får vite følgende om $\triangle ABC$ og $\triangle DEF$:
- $\triangle ABC$ er likebeint
- $\triangle DEF$ er formlik med $\triangle ABC$
- Arealet av $\triangle DEF$ er fire ganger så stort som arealet av $\triangle ABC$
Lag en skisse som viser hvordan trekantene kan se ut. Argumenter for at skissen er riktig.
---
## V2023 del 1 oppgave 3 — Nominell lønn og reallønn
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt (KM448)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nominell-lonn-og-reallonn/
### Oppgavetekst
Truls og Thea diskuterer økonomi.
> Truls
> I løpet av de seks siste årene har lønnen min økt med 16 %. Er ikke det bra?
> Thea
> Er det den nominelle lønnen eller reallønnen du mener?
> Truls
> Hva mener du? Hva er reallønn?
Hjelp Thea med å svare Truls og forklare hva han må ta hensyn til når han vurderer om han skal være fornøyd med hvor mye lønnen har økt.
---
## V2023 del 1 oppgave 4 — Likninger og ulikheter fra grafer
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Grafisk framstilling, Likninger, Utforskning, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Kort beskrivelse:** Utforskning – lage egen likning og ulikhet fra tre gitte funksjoner og bruke graf til å løse dem, med argumentasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likninger-og-ulikheter-fra-grafer/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner $f$, $g$ og $h$.
$$
f(x) = x + 1
$$
$$
g(x) = x^2 - 4x + 5
$$
$$
h(x) = -x + 5
$$
a) Bruk en eller flere av funksjonene til å lage en likning som har to løsninger. Bruk den grafiske framstillingen til å løse likningen.
b) Bruk en eller flere av funksjonene til å lage en ulikhet som bare har positive løsninger. Bruk den grafiske framstillingen til å løse ulikheten.
Husk å argumentere for at løsningene dine er riktige.
---
## V2023 del 2 oppgave 1 — Pris på T-skjorte og bukse
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-t-skjorte-og-bukse/
### Oppgavetekst
Hvor mye koster en T-skjorte?
Hvor mye koster en bukse?
---
## V2023 del 2 oppgave 2 — Kaffekoppers gjennomsnitt med ukjent
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Baklengsproblem med gjennomsnitt — finne grensen for den ukjente verdien slik at snittet overstiger 4 (sum over $48$ med 12 tall).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaffekoppers-gjennomsnitt-med-ukjent/
### Oppgavetekst
En morgen spør Tore 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene ser du nedenfor. Dessverre har Tore sølt kaffe på arket sitt, men han antar at gjennomsnittet er mer enn fire.
Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.
---
## V2023 del 2 oppgave 3 — Prisvekst og prisfall sammenligning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Geometrisk vekst, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne $1{,}07^3$ og $1/0{,}93^3$ for å vurdere om prosentvis økning og nedgang gir samme pris over tre måneder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisvekst-og-prisfall-sammenligning/
### Oppgavetekst
Malin og Gunnvor arbeider med en oppgave. De har fått opplysningene nedenfor.
- I mai kostet to varer, A og B, like mye.
- Prisen for vare A har økt med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å øke med 7 % hver måned framover.
- Prisen for vare B har gått ned med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å gå ned med 7 % hver måned framover.
Malin påstår at dette betyr at vare A vil koste det samme om tre måneder som vare B kostet for tre måneder siden. Gunnvor er ikke enig.
Gjør beregninger og undersøk om Malins påstand er riktig.
---
## V2023 del 2 oppgave 4 — Sykkelhjelm og datapresentasjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Prosentregning, Diagram, Presentasjon av data
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM451)
- **Kort beskrivelse:** Beregne andel syklister med hjelm per dag og foreslå relevante diagrammer for klassepresentasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkelhjelm-og-datapresentasjon/
### Oppgavetekst
Hver morgen venter Madelen noen minutter på skolebussen. En uke undersøkte hun hvor mange syklister som brukte sykkelhjelm. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
| Ukedag | Syklister | Syklister med hjelm |
|---------|-----------|---------------------|
| Mandag | 10 | 7 |
| Tirsdag | 15 | 9 |
| Onsdag | 11 | 6 |
| Torsdag | 12 | 7 |
| Fredag | 15 | 12 |
Madelen skal fortelle klassen sin om resultatene fra undersøkelsen.
Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.
---
## V2023 del 2 oppgave 5 — Lønnsnivå og sentralmål
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Grupperte data, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og median for grupperte lønnsdata og argumentere for valg av sentralmål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lonnsniva-og-sentralmal/
### Oppgavetekst
En bedrift vil gi ut en brosjyre som blant annet skal vise lønnsnivået til de ansatte. Nedenfor ser du en oversikt som viser årslønnen til de ansatte i bedriften.
| Årslønn (i tusen kroner) | Frekvens |
| :--------------------------: | :------: |
| $\langle 250 - 350\rangle$ | 8 |
| $\langle 350 - 450\rangle$ | 42 |
| $\langle 450 - 500\rangle$ | 40 |
| $\langle 500 - 550\rangle$ | 20 |
| $\langle 550 - 600\rangle$ | 15 |
| $\langle 600 - 650\rangle$ | 3 |
| $\langle 650 - 750\rangle$ | 2 |
| $\langle 750 - 1000\rangle$ | 1 |
| $\langle 1000 - 2000\rangle$ | 15 |
Ledelsen diskuterer hvilket sentralmål som er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.
a) Gjør nødvendige forutsetninger og bestem gjennomsnittet og medianen for datamaterialet.
b) Argumenter for hvilket sentralmål du mener er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.
---
## V2023 del 2 oppgave 6 — Parkeringsplass og prosentendring
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Prosentregning, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parkeringsplass-og-prosentendring/
### Oppgavetekst
En parkeringsplass har form som et rektangel. Parkeringsplassen skal endres. Bredden skal minskes med en gitt prosentandel, og lengden skal økes med den samme prosentandelen.
Avgjør hvilken av de tre påstandene nedenfor som er riktig. Husk å argumentere for hvorfor du mener påstanden er riktig.
1\) Arealet av den nye parkeringsplassen vil bli mindre.
2\) Arealet av den nye parkeringsplassen vil bli større.
3\) Arealet av den nye parkeringsplassen kan bli større eller mindre. Det kommer an på hvilken prosentandel vi bruker.
---
## V2023 del 2 oppgave 7 — Sofies lån og nedbetalingsprogram
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lån, Programmering
- **Kompetansemål:** Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sofies-lan-og-nedbetalingsprogram/
### Oppgavetekst
Sofie har tatt opp et forbrukslån på 100 000 kroner. Rentefoten er 2 % per måned. Hun skal betale ned på lånet hver måned, og terminbeløpet skal være 6378 kroner.
Sofie vil ha en nedbetalingsplan for lånet og har laget programmet nedenfor.
```python ln
# Definerer variabler
restlån = 100000
terminbeløp = 6378
rentefot = 2
# Overskrifter
print("Måned Terminbeløp Renter Avdrag Restlån")
for måned in range(1, 5):
renter = 0
avdrag = 0
restlån = 0
# Skriver ut i fem kolonner ved å bruke tabulatorer sep = "\t\t"
# Runder av beløpene til to desimaler ved å bruke round
print(måned,
round(terminbeløp, 2),
round(renter, 2),
round(avdrag, 2),
round(restlån, 2), sep = "\t\t")
```
Nedenfor ser du resultatet hun får når hun kjører programmet.
| Måned | Terminbeløp | Renter | Avdrag | Restlån |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6378 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 6378 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 6378 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 6378 | 0 | 0 | 0 |
a) Du skal hjelpe Sofie med å endre programmet. Sett inn formler i stedet for tallet null i linje 12, 13 og 14, og gjør endringer slik at hele den riktige nedbetalingsplanen skrives ut.
b) Hvor mange måneder vil det ta før lånet er betalt ned?
---
## H2023 del 1 oppgave 1 — Buss enkeltbillett eller fleksikort
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Kort beskrivelse:** Breakeven-antall reiser for fleksikort vs. enkeltbillett, og prosentvis innsparing.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/buss-enkeltbillett-eller-fleksikort/
### Oppgavetekst
Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.
- Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
- Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.
a) Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?
Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.
b) Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
---
## H2023 del 1 oppgave 2 — Kart og målestokk
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Målestokk
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kart-og-malestokk/
### Oppgavetekst
På et kart er avstanden mellom to byer 40 cm. I virkeligheten er avstanden 20 km.
Bestem målestokken til kartet.
---
## H2023 del 1 oppgave 4 — Joggeavstander med gitte sentralmål
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Utforskning
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Konstruere to tallrekker à 10 verdier som oppfyller gitte sentralmål (typetall 5, median 8, gjennomsnitt 9) med ulike begrensninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/joggeavstander-med-gitte-sentralmal/
### Oppgavetekst
Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.
Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.
- I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
- I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.
---
## H2023 del 1 oppgave 4 — Nullpunkter og andregradslikninger
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-og-andregradslikninger/
### Oppgavetekst
$$
(x+4)(x-1)=0
$$
$$
(x+2)(x-3) = -6
$$
Selma og Tobine arbeider med likningene ovenfor.
> Selma
> Høyresiden i den første likningen er lik null. Jeg er usikker, men kan vi da bare finne ut hva $x$ må være for at det som står inne i en av parentesene skal bli lik null?
>
> Setter vi $x = -4$, får vi $(-4+4) \cdot (-4-1) = 0 \cdot (-5) = 0$
>
> Setter vi $x = 1$, blir $(x+4)(x-1)$ også lik null.
>
> Løsningene er derfor $x_1 = -4$ og $x_2 = 1$
>
> Dette stemmer, men jeg vet ikke hvorfor.
> Tobine
> Vil det alltid være slik?
>
> I den andre likningen er høyresiden lik minus seks. Da må det som står inne i en av parentesene, bli minus seks?
>
> Er da løsningene $x_1 = -8$ og $x_2 = -3$?
Kommenter det Selma og Tobine sier, og løs likningen $(x+2)(x-3) = -6$
---
## H2023 del 2 oppgave 1 — Vase og roser likningssystem
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM449)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vase-og-roser-likningssystem/
### Oppgavetekst
Hvor mye koster en vase?
Hvor mye koster en rose?
---
## H2023 del 2 oppgave 2 — Målskårere i Eliteserien 2022
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kompetansemål:** Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale (KM452)
- **Kort beskrivelse:** Beregne typetall, median, variasjonsbredde, gjennomsnitt og standardavvik for 11 målskårere, og sammenligne med 2021-tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malskarere-i-eliteserien-2022/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne skåret flest mål i Eliteserien 2022.
| Rank | Spiller | Klubb | Mål |
| ---- | --------------------- | ------------ | --- |
| 1 | Amahl Pellegrino | Bodø/Glimt | 25 |
| 2 | Hugo Vetlesen | Bodø/Glimt | 16 |
| 3 | David Datro Fofana | Molde | 15 |
| 3 | Casper Tengstedt | Rosenborg | 15 |
| 3 | Tobias Heintz | Sarpsborg 08 | 15 |
| 6 | Ole Hammerfjell Sæter | Rosenborg | 14 |
| 7 | Eric Bugalo Kitolano | Tromsø | 13 |
| 8 | Runar Espejord | Bodø/Glimt | 12 |
| 8 | Mohamed Ofkir | Sandefjord | 12 |
| 10 | Ola Brynhildsen | Molde | 11 |
| 10 | Johan Hove | Strømsgodset | 11 |
a) Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.
b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.
For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7.
c) Hva kan du ut fra dette og beregningene i oppgave a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenlignet med de 11 fotballspillerne fra 2022?
---
## H2023 del 2 oppgave 2 — Prisindeks for sjokoladepålegg
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prisindeks, Prosentregning
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt (KM448)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisindeks-for-sjokoladepalegg/
### Oppgavetekst
Tabellen viser prisindeksen for sjokoladepålegg i perioden 2015–2022.
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
|-----------------|----|----|----|----|----|----|----|----|
| Prisindeks for sjokoladepålegg | 100 | 97,0 | 98,1 | 98,7 | 99,9 | 112,3 | 110,2 | 119,8 |
Prisen for ett bestemt merke sjokoladepålegg steg fra 35,90 kroner i 2019 til 39,90 kroner i 2022.
Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette sjokoladepålegget steg mer enn prisindeksen for sjokoladepålegg fra 2019 til 2022.
---
## H2023 del 2 oppgave 4 — Boliglån månedlige terminer
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Økonomi, Rekursiv sammenheng
- **Kompetansemål:** Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort (KM450)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boliglan-manedlige-terminer/
### Oppgavetekst
Adam har tatt opp et lån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig.
Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer. Renten er 0,33 % per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin. Terminbeløpet skal være 13 385 kroner.
Lag en oversikt som viser hvor stort lånet hans vil være måned for måned de to første årene.
---
## H2023 del 2 oppgave 5 — Trekant med to løsninger
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid (KM453)
- **Kort beskrivelse:** Konstruere trekant fra SSV-data ($\angle B=30°$, $BC=8$, $AC=6$) og vise at sirkel og stråle krysser i to punkter — to mulige trekanter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-to-losninger/
### Oppgavetekst
Læreren har bedt elevene tegne en trekant $ABC$ slik at $\angle B = 30\degree$, $BC = 8 \mathrm{~cm}$ og $AC = 6 \mathrm{~cm}$.
Trym og Torgeir mener begge at de har tegnet en trekant som er slik læreren har sagt den skal være, men de ser at trekantene de har tegnet, ikke er like.
Kan begge ha tegnet riktig? Lag skisser og forklar.
---
## H2023 del 2 oppgave 6 — Helsefagarbeidere presentasjon av data
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kompetansemål:** Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media (KM451)
- **Kort beskrivelse:** Beregne absolutt og prosentvis vekst (2015–2022) fordelt på kjønn, beregne andel menn, og lage egnede diagrammer for presentasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/helsefagarbeidere-presentasjon-av-data/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.
| År | Menn | Kvinner |
|----|------|---------|
| 2015 | 2 232 | 17 493 |
| 2016 | 2 911 | 21 439 |
| 2017 | 3 558 | 24 785 |
| 2018 | 3 957 | 27 327 |
| 2019 | 4 698 | 30 733 |
| 2020 | 5 511 | 33 958 |
| 2021 | 6 447 | 37 357 |
| 2022 | 7 317 | 40 472 |
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonene skal inneholde både beregninger og diagrammer.
---
## H2023 del 2 oppgave 7 — Kvadratserie geometrisk rekke
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Rekker, Programmering
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadratserie-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du skal tegne en serie med kvadrater der
- sidekantene i det største kvadratet er 10 cm
- sidekantene i det neste kvadratet alltid er 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet
a) Vis at den samlede omkretsen av de tre første kvadratene i serien vil bli 108,4 cm.
Tenk deg at du har veldig mange kvadrater i serien.
b) Bruk programmering til å lage et program som finner samlet omkrets av alle kvadratene.
Tenk deg at du lager nye serier med kvadrater. Du endrer størrelsen på det største kvadratet i hver serie og lar alltid sidekantene i det neste kvadratet i serien være 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet.
c) Undersøk og beskriv sammenhengen mellom lengden av sidekantene i det største kvadratet og den samlede omkretsen av alle kvadratene i hver serie.
Ole påstår at $T = \dfrac{4 \cdot s}{p} \cdot 100$ er en formel for å regne ut den samlede omkretsen $T$ av kvadratene i en serie når sidekanten i det største kvadratet er $s$ og sidekantene i det neste kvadratet er $p$ % kortere enn sidekantene i det forrige.
d) Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.
---
## H2023 del 2 oppgave 8 — Klimagassutslipp eksponentiell vekst
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy (KM447)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klimagassutslipp-eksponentiell-vekst/
### Oppgavetekst
- I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
- I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.
Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.
a) La $x$ være antall år etter 2022 og lag modellen.
Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.
b) Bruk modellen du fant i oppgave a), og vurder den opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.
---
## V2022 del 1 oppgave 1 — Kostnader for stolproduksjon fra graf
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Enhetskostnad
- **Kort beskrivelse:** Lese av totalkostnad fra graf, finne lineær modell for å ekstrapolere, og regne ut kostnad per enhet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnader-for-stolproduksjon-fra-graf/
### Oppgavetekst
Den grafiske framstillingen ovenfor viser hvor mye det koster for en fabrikk å produsere stoler.
a) Hvor mye koster det totalt å produsere 20 stoler?
b) Hvor mye koster det totalt å produsere 120 stoler?
c) Hva blir kostnadene per stol dersom bedriften produserer 50 stoler?
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Legemiddel i blodet og halveringstider
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Prosentregning, Grafisk framstilling
- **Kort beskrivelse:** Halvere gjentatte ganger for å finne prosent igjen etter fem halveringstider, og tegne grafen for eksponentiell nedgang.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/legemiddel-i-blodet-og-halveringstider/
### Oppgavetekst
Etter avsluttet behandling med et legemiddel vil mengden av legemiddelet i blodet avta eksponentielt. Mengden vil avta med $50 \%$ i løpet av én halveringstid. Etter to halveringstider vil mengden være redusert til $25 \%$ av opprinnelig mengde, etter tre halveringstider til $12{,}5 \%$, og så videre.
a) Hvor mange prosent av legemiddelet vil være igjen i blodet etter fem halveringstider?
b) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom antall halveringstider og hvor mange prosent av legemiddelet som vil være igjen i blodet.
---
## V2022 del 1 oppgave 3 — Kjøpekraft for Elin med KPI 2015 og 2021
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prisindeks, Reallønn, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne om nominell lønn til reallønn med KPI og sammenligne kjøpekraften i 2015 og 2021.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjopekraft-for-elin-med-kpi-2015-og-2021/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for årene 2015–2021.
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
| --- | :--: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: |
| KPI | 100 | 103,6 | 105,5 | 108,4 | 110,8 | 112,2 | 116,1 |
I 2015 hadde Elin en nominell lønn på $400\,000$ kroner.
I 2021 hadde hun en nominell lønn på $460\,000$ kroner.
I hvilket av disse to årene hadde hun størst kjøpekraft?
---
## V2022 del 1 oppgave 4 — Python-program for sparing til 500 000 kroner
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Sparing, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Lese et Python-program med while-løkke som legger inn årlige innskudd med vekstfaktor, og forklare hva det regner ut.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/python-program-for-sparing-til-500-000-kroner/
### Oppgavetekst
Ada har skrevet programkoden nedenfor.
```python ln
beløp = 0
vekstfaktor = 1.02
innskudd = 20000
år = 0
while beløp < 500000:
beløp = beløp + innskudd
beløp = beløp * vekstfaktor
år = år + 1
print(år)
print(beløp)
```
Hva ønsker Ada å finne ut?
Forklar hva som skjer når programmet kjøres.
---
## V2022 del 1 oppgave 5 — Ulikhet fra graf til andregradsfunksjon og linje
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Graftolkning, Andregradsfunksjon, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke skjæringspunktene mellom en parabel og en linje til å sette opp og begrunne en ulikhet med løsning $2<x<4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ulikhet-fra-graf-til-andregradsfunksjon-og-linje/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til en andregradsfunksjon $f$ og en lineær funksjon $g$. Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 - 5x + 5
$$
Bruk grafene til å sette opp en ulikhet som har løsningen $2 < x < 4$.
Husk å begrunne svaret.
---
## V2022 del 2 oppgave 1 — Linus og to prisøkninger i butikk A og B
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentvis endring i flere perioder, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare at produktet av to vekstfaktorer er samlet vekstfaktor, og bruke det til å sammenligne to prisøkninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/linus-og-to-prisokninger-i-butikk-a-og-b/
### Oppgavetekst
Linus har fått denne oppgaven:
> En vare koster like mye i butikk A og i butikk B.
>
> I butikk A blir prisen først satt opp med $25 \%$, og etter noen uker blir den så satt opp med $15 \%$ til.
>
> I butikk B blir prisen først satt opp med $35 \%$, og etter noen uker blir den så satt opp med $5 \%$ til.
>
> I hvilken butikk koster varen mest nå?
Linus har satt opp regnestykkene nedenfor, men han er usikker på hvordan han kan bruke svarene til å løse oppgaven.
$$
\begin{aligned}
1{,}25 \cdot 1{,}15 &= 1{,}4375 \\
1{,}35 \cdot 1{,}05 &= 1{,}4175
\end{aligned}
$$
Forklar Linus hva han har regnet ut, og hvordan han kan bruke svarene til å løse oppgaven han har fått.
---
## V2022 del 2 oppgave 2 — Areal av grønt område i rektangel med tre trekanter
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Finne arealet av det grønne området som rektangelets areal minus tre trekanter med grunnlinje på x-aksen og høyde 4.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-gront-omrade-i-rektangel-med-tre-trekanter/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet ser du et rektangel og tre hvite trekanter.
Bestem arealet av det grønne området.
---
## V2022 del 2 oppgave 3 — Innbyggertall i bydel som dobles på 10 år
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Lage eksponentiell modell ut fra doblingstid på 10 år, tegne grafen og tolke punktet $(5, f(5))$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innbyggertall-i-bydel-som-dobles-pa-10-ar/
### Oppgavetekst
I en bydel er det i dag $30\,000$ innbyggere. Anta at innbyggertallet vil øke med en fast prosent hvert år, og at det i løpet av 10 år vil være doblet.
Lag en modell $f$ som illustrerer situasjonen.
Tegn grafen til $f$, og marker punktet $(5, f(5))$. Forklar hva koordinatene til dette punktet forteller om situasjonen.
---
## V2022 del 2 oppgave 4 — Statsbudsjettet og utgifter til høyere utdanning
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prisindeks, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Regne prosentandeler fra sektordiagrammer og sammenligne beløp over tre år i faste kroner med KPI.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statsbudsjettet-og-utgifter-til-hoyere-utdanning/
### Oppgavetekst
Diagrammene nedenfor viser utgifter på statsbudsjettet i 2020, 2021 og 2022.
Alle tall er gitt i milliarder kroner.
a) Hvor mange prosent av de totale utgiftene utgjorde utgiftene til høyere utdanning, forskning og fagskoler hvert av disse årene?
I tabellen nedenfor finner du konsumprisindeksen (KPI) for 2020 og 2021.
Statistisk sentralbyrå anslår at konsumprisindeksen vil øke med $3{,}3 \%$ fra 2021 til 2022.
| År | 2020 | 2021 | 2022 |
| --- | :---: | :---: | :--: |
| KPI | 112,2 | 116,1 | |
b) Sammenlikn beløpene som ble satt av til høyere utdanning, forskning og fagskoler i 2020, 2021 og 2022.
---
## V2022 del 2 oppgave 5 — Mandatfordeling på Stortinget og valg av diagram 2P V22
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage og begrunne formålstjenlige diagrammer for endring og prosentvis fordeling av stortingsmandater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mandatfordeling-pa-stortinget-og-valg-av-diagram-2p-v22/
### Oppgavetekst
| Parti | 2017 | 2021 |
| :------------------------ | :--: | :--: |
| Arbeiderpartiet | 49 | 48 |
| Høyre | 45 | 36 |
| Fremskrittspartiet | 27 | 21 |
| Senterpartiet | 19 | 28 |
| Sosialistisk Venstreparti | 11 | 13 |
| Kristelig Folkeparti | 8 | 3 |
| Venstre | 8 | 8 |
| Miljøpartiet De Grønne | 1 | 3 |
| Rødt | 1 | 8 |
| Pasientfokus | | 1 |
Tabellen ovenfor viser fordelingen av representanter på Stortinget etter valget i 2017 og etter valget i 2021.
Bruk opplysningene i tabellen som utgangspunkt og lag ulike diagrammer.
Ved hjelp av diagrammene skal du tydelig få fram
- endring i antall representanter fra hvert parti fra 2017 til 2021
- prosentvis fordeling av representanter fra hvert parti i 2017 og i 2021
Det skal gå tydelig fram hva hvert diagram viser, og du skal begrunne ditt valg av diagram.
---
## V2022 del 2 oppgave 6 — Sammenligne statistikk for forsinkede elever 2P V22
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt og standardavvik, og tolke statistiske mål for å sammenligne to datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligne-statistikk-for-forsinkede-elever-2p-v22/
### Oppgavetekst
Kari og Ola kommer ofte for sent til matematikktimene.
Nedenfor ser du hvor mange minutter Kari kom for sent hver av de siste 24 matematikktimene.
$$
4 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 7 \quad 7 \quad 7
$$
$$
7 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 9 \quad 9 \quad 9 \quad 9
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet og standardavviket for datamaterialet.
Ola har regnet ut medianen, gjennomsnittet og standardavviket for sine forsentkomminger de siste 24 matematikktimene. Han får en lavere median enn Kari, men et høyere gjennomsnitt og et høyere standardavvik.
b) Hva kan du si om forsentkommingene til Ola sammenliknet med forsentkommingene til Kari ut fra disse opplysningene om median, gjennomsnitt og standardavvik?
---
## V2022 del 2 oppgave 7 — Gjerde rundt rektangel med areal 77 kvadratmeter
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp $2b \cdot b = 77$, løse for bredden og regne ut omkretsen av rektangelet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjerde-rundt-rektangel-med-areal-77-kvadratmeter/
### Oppgavetekst
Du skal sette opp et gjerde rundt et rektangelformet område.
Området er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av området er $77 \mathrm{~m^2}$.
Hvor langt gjerde trenger du?
---
## V2022 del 2 oppgave 8 — Marius sin privatøkonomi og refinansiering av forbrukslån
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Lån, Rente
- **Kort beskrivelse:** Systematisere inntekter og utgifter i et månedsbudsjett og foreslå endringer som gjør det mulig å betjene et refinansiert lån.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/marius-sin-privatokonomi-og-refinansiering-av-forbrukslan/
### Oppgavetekst
Marius har fast jobb og god inntekt. Likevel har han problemer med økonomien. For å klare å betale regninger har han tatt opp flere lån. Han har også flere kredittkort som han bruker.
- Marius har en brutto årslønn på $680\,000$ kroner og får i gjennomsnitt utbetalt $36\,000$ kroner hver måned.
- I løpet av tre år har han tatt opp 24 kreditt- og forbrukslån og har en samlet gjeld på $1{,}4$ millioner kroner. Renten på lånene er i gjennomsnitt $22 \%$ per år. Den siste tiden har han ikke klart å betale avdrag.
- Marius bor i en leilighet og betaler $10\,000$ kroner per måned i leie. Strøm og bredbånd er inkludert i leien.
- Marius eier en bil. Bilen har en verdi på $400\,000$ kroner.
- Marius handler ofte klær, sko og utstyr til leiligheten og bilen på nettet. I gjennomsnitt bruker han $6000$ kroner hver måned på dette.
- De dagene Marius jobber, kjører han innom den lokale bensinstasjonen for å kjøpe frokost, lunsj og noe å bite i på vei hjem. Han betaler vanligvis mellom $300$ og $400$ kroner for dette.
- I helgene går Marius ofte på byen både fredag og lørdag. Han bruker da mellom $600$ og $1000$ kroner i løpet av en kveld.
- Marius bruker cirka $60\,000$ kroner i året på feriereiser.
- I tillegg har han andre månedlige utgifter på cirka $15\,000$ kroner. Dette er penger han bruker på dagligvarer, drift og vedlikehold av bilen, forsikringer, telefon og frisør.
a) Gjør nødvendige beregninger og lag en oversikt som viser Marius sine månedlige inntekter og utgifter.
Marius får tilbud om å samle alle lånene i ett lån. Renten vil være $8 \%$ per år.
b) Marius benytter seg av dette tilbudet. Ta utgangspunkt i oversikten fra oppgave a) og vis hvilke endringer han kan gjøre for å unngå å bruke mer penger enn han tjener, og klare å betjene og betale ned det nye lånet.
---
## V2022 del 1 oppgave 1 — Statistikk fra fjellturer til Sebastian 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde, samt relativ og kumulativ frekvens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-fra-fjellturer-til-sebastian-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange fjellturer Sebastian har vært på hvert år de ti siste årene.
$$
2 \quad 5 \quad 6 \quad 5 \quad 4 \quad 6 \quad 5 \quad 2 \quad 10 \quad 4
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
b) Bestem den relative og den kumulative frekvensen for fem fjellturer.
Hva forteller disse tallene oss?
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Standardform med store og små tall 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut en brøk med tall på standardform og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-med-store-og-sma-tall-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{5 \cdot 10^6 + 1{,}5 \cdot 10^7}{2{,}5 \cdot 10^{-6}}
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 3 — Verdifall på båt med prosent 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Verdifall, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne verdifall med fast prosent og vurdere rimeligheten av et påstand om fremtidig verdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdifall-pa-bat-med-prosent-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
En båt har i dag en verdi på 600 000 kroner. Anta at båtens verdi synker med 5 % hvert år framover.
a) Hva vil båtens verdi være om ett år?
Eirik påstår at båtens verdi vil være 450 000 kroner om 5 år.
b) Forklar Eirik hvorfor dette ikke kan være riktig.
---
## V2022 del 1 oppgave 4 — Lineær modell for kartlav-vekst 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme og tolke stigningstall og konstantledd i en lineær modell fra to punkter på en graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-kartlav-vekst-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
Kartlav er en type lav som trives spesielt godt på litt sure bergarter i høyfjellet.
Modellen nedenfor viser hvordan kartlav vokser.
Modellen kan uttrykkes på formen
$$
K(x) = ax + b
$$
a) Bestem $a$ og $b$.
Gi en praktisk tolkning av $a$ og $b$ i denne oppgaven.
b) Hvor mange centimeter øker diameteren til kartlaven med i løpet av 200 år ifølge modellen?
---
## V2022 del 1 oppgave 5 — Gruppert frekvensfordeling med krabbeteiner 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvenstabell, vurdere median og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gruppert-frekvensfordeling-med-krabbeteiner-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
Sommeren 2021 dro Sebastian og Stian krabbeteiner hver dag. Tabellen nedenfor viser hvor mange krabber det var i teinene.
| Antall krabber | Antall dager |
|---|---|
| $[0, 20\rangle$ | 5 |
| $[20, 30\rangle$ | 10 |
| $[30, 40\rangle$ | 10 |
| $[40, 60\rangle$ | 15 |
| $[60, 100\rangle$ | 20 |
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme et gjennomsnitt for datamaterialet.
Stian påstår at medianen for datamaterialet er 47.
b) Hvordan kan Stian argumentere for påstanden sin?
Sebastian er ikke enig med Stian. Han påstår at medianen er høyere enn 47.
c) Kan Sebastian ha rett?
Husk å begrunne svaret ditt.
d) Framstill datamaterialet i et histogram.
---
## V2022 del 1 oppgave 6 — Figurmønster med sirkler i stjerne 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall sirkler i neste figur og bestemme et generelt uttrykk for antall sirkler i figur n.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-i-stjerne-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 5?
Vis eller forklar hvordan du har tenkt for å komme fram til svaret.
b) Bestem et uttrykk for antall små sirkler i figur $n$.
---
## V2022 del 2 oppgave 1 — Nedbrytning av radioaktivt jod-131 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Derivasjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Tolke og anvende eksponentialfunksjon for radioaktivt henfall, inkludert halveringstid og stigningstall til tangent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nedbrytning-av-radioaktivt-jod-131-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
Jod-131 er et radioaktivt stoff som blant annet blir brukt i medisinske undersøkelser. Siden stoffet er radioaktivt, vil det brytes ned over tid.
Funksjonen $N$ gitt ved
$$
N(x) = 5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125x}, \qquad x \geq 0
$$
viser massen $N(x)$ mikrogram jod-131 som er igjen i en beholder etter $x$ dager.
a) Bestem $N(0)$, og gi en praktisk tolkning av svaret du får.
b) Tegn grafen til $N$.
Vi snakker ofte om at radioaktive stoff har en halveringstid. Halveringstiden er tiden det tar før halvparten av et stoff er brutt ned.
c) Bestem halveringstiden til jod-131.
d) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(6, N(6))$ og $(40, N(40))$. Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
e) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $N$ i punktet $(20, N(20))$.
Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
---
## V2022 del 2 oppgave 2 — Lineær og eksponentiell modell fra kontekst 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Graf
- **Kort beskrivelse:** Lage og tolke lineær og eksponentiell modell fra to ulike praktiske situasjoner, tegne grafer og forklare koordinater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-fra-kontekst-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
Nedenfor har Malin beskrevet to ulike situasjoner.
<table class="grid">
<tr>
<th>Situasjon 1</th>
<th>Situasjon 2</th>
</tr>
<tr>
<td>Det koster 8000 kroner å leie en hytte. Jo flere som blir med på hytteturen, jo billigere blir det for hver av oss.</td>
<td>I en bydel er det i dag 30 000 innbyggere. Anta at innbyggertallet vil øke med en fast prosent hvert år, og at det i løpet av 10 år vil være doblet.</td>
</tr>
</table>
a) Lag en modell $f$ som illustrerer situasjon 1.
Tegn grafen til $f$, og marker punktet $(5, f(5))$. Forklar hva koordinatene til dette punktet forteller om situasjonen.
b) Lag en modell $g$ som illustrerer situasjon 2.
Tegn grafen til $g$, og marker punktet $(5, g(5))$. Forklar hva koordinatene til dette punktet forteller om situasjonen.
---
## V2022 del 2 oppgave 3 — Verdi av fond med sammensatt prosentendring 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Bakoverberegne startverdi av et fond gitt sammensatte prosentvise endringer over 10 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdi-av-fond-med-sammensatt-prosentendring-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
For å spare penger har Trine investert i et fond. I dag har hennes andel av fondet en verdi på 410 000 kroner.
I løpet av de 10 siste årene har verdien økt med 7 % fire ganger, økt med 2,5 % tre ganger og avtatt med 4 % tre ganger.
Hva var verdien av Trines andel i fondet for 10 år siden?
---
## V2022 del 2 oppgave 4 — Sparekonto med årlige innskudd og rente 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Geometrisk rekke
- **Kort beskrivelse:** Beregne saldo etter faste årlige innskudd med rente og finne når beløpet passerer en gitt grense.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-arlige-innskudd-og-rente-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
Første januar 2022 opprettet Amalie en ny sparekonto. Hun satte inn 36 000 kroner på kontoen.
Hun vil sette inn 36 000 kroner på sparekontoen første januar hvert år framover.
Hun får en fast rente på 2,5 % per år.
a) Hvor mye vil Amalie ha på kontoen rett etter at hun har satt inn 36 000 kroner 1. januar 2032?
b) Når vil beløpet på kontoen passere 1 000 000 kroner?
---
## V2022 del 2 oppgave 5 — Potensfunksjon for vannstrøm ved fallhøyde 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Regresjon, Funksjoner, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametere i en potensfunksjon fra måldata og beregne prosentvis endring ved økt fallhøyde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensfunksjon-for-vannstrom-ved-fallhoyde-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
I en naturfagstime har elevene i klasse 3STPB undersøkt hvor lang tid det tar for 2,5 dL vann å renne fra ett målebeger til et annet ved ulike fallhøyder $h$. Se figuren ovenfor.
Resultatene av målingene ser du i tabellen nedenfor.
| Fallhøyde (meter) | 0,15 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,85 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tid (sekunder) | 66,2 | 54,2 | 38,4 | 30,9 | 24,9 | 21,7 | 19,3 | 17,2 | 15,8 |
Anta at sammenhengen mellom fallhøyden $x$ meter og tiden $T(x)$ sekunder det tar for vannet å renne fra ett målebeger til et annet, kan beskrives med en modell av typen
$$
T(x) = a \cdot x^b
$$
a) Bruk datamaterialet i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$.
b) Hvor mange prosent avtar tiden med når fallhøyden øker med 40 %?
---
## V2022 del 2 oppgave 6 — Sammenligne statistikk for forsinkede elever 2P V22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt og standardavvik, og tolke statistiske mål for å sammenligne to datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligne-statistikk-for-forsinkede-elever-2p-v22-lk06/
### Oppgavetekst
Kari og Ola kommer ofte for sent til matematikktimene.
Nedenfor ser du hvor mange minutter Kari kom for sent hver av de siste 24 matematikktimene.
$$
4 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 7 \quad 7 \quad 7
$$
$$
7 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 8 \quad 9 \quad 9 \quad 9 \quad 9
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet og standardavviket for datamaterialet.
Ola har regnet ut medianen, gjennomsnittet og standardavviket for sine forsinkelser de siste 24 matematikktimene. Han får en lavere median enn Kari, men et høyere gjennomsnitt og et høyere standardavvik.
b) Hva kan du si om forsinkelsene til Ola sammenliknet med forsinkelsene til Kari ut fra disse opplysningene om median, gjennomsnitt og standardavvik?
---
## V2022 del 2 oppgave 7 — Mandatfordeling på Stortinget og valg av diagram
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Lage og begrunne formålstjenlige diagrammer for endring og prosentvis fordeling av stortingsmandater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mandatfordeling-pa-stortinget-og-valg-av-diagram/
### Oppgavetekst
| Parti | 2017 | 2021 |
| :--- | :---: | :---: |
| Arbeiderpartiet | 49 | 48 |
| Høyre | 45 | 36 |
| Fremskrittspartiet | 27 | 21 |
| Senterpartiet | 19 | 28 |
| Sosialistisk Venstreparti | 11 | 13 |
| Kristelig Folkeparti | 8 | 3 |
| Venstre | 8 | 8 |
| Miljøpartiet De Grønne | 1 | 3 |
| Rødt | 1 | 8 |
| Pasientfokus | | 1 |
Tabellen ovenfor viser fordelingen av representanter på Stortinget etter valget i 2017 og etter valget i 2021.
Bruk opplysningene i tabellen som utgangspunkt og lag ulike diagrammer.
Ved hjelp av diagrammene skal du tydelig få fram
- endring i antall representanter fra hvert parti fra 2017 til 2021
- prosentvis fordeling av representanter fra hvert parti i 2017 og i 2021
Det skal gå tydelig fram hva hvert diagram viser, og du skal begrunne ditt valg av diagram.
---
## H2022 del 1 oppgave 1 — Median eller gjennomsnitt for Maias boklesing
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median og gjennomsnitt for ti tall med en ekstremverdi og vurdere hvilket sentralmål som passer best.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-eller-gjennomsnitt-for-maias-boklesing/
### Oppgavetekst
I sommerferien liker Maia å lese bøker. Nedenfor ser du hvor mange sider hun leste hver av de 10 første dagene i ferien.
20   15   15   25   20   15   25   100   25   20
a) Bestem medianen og gjennomsnittet for datamaterialet.
b) Hvilket av de to sentralmålene mener du best beskriver datamaterialet?
Husk å begrunne svaret ditt.
---
## H2022 del 1 oppgave 2 — Kjøpekraft for Anna i 2015 og 2019
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prisindeks, Reallønn, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne reallønn i to år ved å dele nominell lønn på KPI og gange med 100, uten kalkulator.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjopekraft-for-anna-i-2015-og-2019/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for årene 2015—2021.
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
|:----|:----:|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|
| KPI | 100 | 103,6 | 105,5 | 108,4 | 110,8 | 112,2 | 116,1 |
I 2015 hadde Anna en nominell lønn på $400\,000$ kroner.
I 2019 hadde hun en nominell lønn på $440\,000$ kroner.
I hvilket av disse to årene hadde hun størst kjøpekraft?
---
## H2022 del 1 oppgave 3 — Python-program med if-test for a, b og c
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Tolke et Python-program med if-test på kvadratsummer av a, b og c og foreslå passende utskriftstekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/python-program-med-if-test-for-a-b-og-c/
### Oppgavetekst
```python ln
# Velger verdier for a, b og c
a = 4
b = 5
c = 3
if a ** 2 + b ** 2 == c ** 2 or a ** 2 + c ** 2 == b ** 2 or b ** 2 + c ** 2 == a ** 2:
print(" ")
```
Lars har laget programmet ovenfor.
Hva kan han bruke programmet til?
Foreslå en passende tekst som kan skrives i linje 11.
---
## H2022 del 1 oppgave 4 — Solveig løser ulikhet og likning grafisk
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Grafisk løsning, Andregradsulikhet, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $x^2-5x<-4$ og $x^2-5x+4=2x-6$ grafisk ved å omforme til $f(x)<0$ og tegne linjen $y=2x-6$ i koordinatsystemet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/solveig-loser-ulikhet-og-likning-grafisk/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet ovenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = x^2 - 5x + 4
$$
Solveig har fått de to oppgavene nedenfor.
1) Løs ulikheten $\quad x^2 - 5x < -4$
2) Løs likningen $\quad x^2 - 5x + 4 = 2x - 6$
Vis Solveig hvordan hun kan løse oppgavene ved å bruke den grafiske framstillingen.
---
## H2022 del 2 oppgave 1 — Prisforskjell mellom to kaffetyper 2P H22
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Lese av pris per hektogram som stigningstall for to proporsjonale grafer og finne differansen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisforskjell-mellom-to-kaffetyper-2p-h22/
### Oppgavetekst
Den grafiske framstillingen ovenfor viser sammenhengen mellom vekt og pris for to ulike typer kaffe, type A og type B.
Hvor stor er prisforskjellen per hektogram?
---
## H2022 del 2 oppgave 2 — Ukjent tall på tallinje med lengdene 2a og 5a
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Likninger, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Finne et ukjent tall på tallinjen ved å dele avstanden fra −28 til 56 i forholdet 2 til 5.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-tall-pa-tallinje-med-lengdene-2a-og-5a/
### Oppgavetekst
På tallinjen nedenfor er det merket av noen tall og noen lengder.
Hvilket tall skal stå i den tomme ruten?
Husk å forklare hvordan du kommer fram til svaret.
---
## H2022 del 2 oppgave 3 — Prisøkning med ulik prosentsats 2P H22
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Finne hva 1 % svarer til i kroner når 1,5 % er 300 kr, og regne ut prisøkningen ved 4,0 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisokning-med-ulik-prosentsats-2p-h22/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare ble satt opp med $1{,}5\ \%$. Dette tilsvarte en prisøkning på 300 kroner.
Hvor mange kroner ville prisøkningen tilsvart dersom prisen for varen i stedet hadde blitt satt opp med $4{,}0\ \%$?
---
## H2022 del 2 oppgave 4 — Seks rektangler med samme areal og diagramvalg
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omvendt proporsjonalitet, Areal og omkrets, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig punktdiagram for lengde og bredde i rektangler med fast areal ved å kjenne igjen omvendt proporsjonalitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/seks-rektangler-med-samme-areal-og-diagramvalg/
### Oppgavetekst
Jens har seks rektangler. Alle rektanglene har samme areal.
Hvilket av diagrammene nedenfor viser sammenhengen mellom lengden $(x)$ og bredden $(y)$ i hvert rektangel?
Husk å begrunne svaret ditt.
---
## H2022 del 2 oppgave 5 — Fylle beholdere med vann 2P H22
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Koble grafer for vannhøyde mot tid til beholdere ut fra tverrsnitt, og tegne grafen for den tredje beholderen med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fylle-beholdere-med-vann-2p-h22/
### Oppgavetekst
Per skal fylle de tre beholderne ovenfor med vann. Vannet renner inn i hver beholder med samme konstante hastighet.
a) Grafene nedenfor viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde for to av beholderne. Hvilke to?
Husk å begrunne svaret ditt.
b) Tegn av koordinatsystemet ovenfor med de to grafene.
Tegn også inn grafen som viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde når den tredje beholderen blir fylt.
Forklar hvordan du tenker når du tegner den siste grafen.
---
## H2022 del 2 oppgave 6 — Misvisende linjediagram for e-poster 2P H22
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Presentasjon av data, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Avsløre ujevne tidsintervaller på førsteaksen i et linjediagram, tegne et korrigert diagram og vurdere en påstand om største økning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/misvisende-linjediagram-for-e-poster-2p-h22/
### Oppgavetekst
Jens har laget et linjediagram som skal vise hvor mange e-poster som i gjennomsnitt ble sendt hver dag i et firma i årene 2013–2021. Se ovenfor.
a) Hvorfor er diagrammet misvisende?
b) Lag et linjediagram du mener er mindre misvisende.
Begrunn hvorfor du mener diagrammet ditt illustrerer de gitte opplysningene på en bedre måte.
Jens påstår at antallet e-poster som i gjennomsnitt ble sendt hver dag, økte mest fra 2017 til 2018.
c) Vurder om denne påstanden kan være riktig.
---
## H2022 del 2 oppgave 7 — Blomsterbed formet som to formlike trekanter
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formlike trekanter, Geometri, Areal og omkrets, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Begrunne formlikhet mellom to trekanter med parallelle sider og bruke forholdet 20 til 8 til å finne høyde og samlet areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/blomsterbed-formet-som-to-formlike-trekanter/
### Oppgavetekst
Edvard er anleggsgartner og skal lage et blomsterbed med form som vist på figuren ovenfor.
Avstanden fra $A$ til $B$ er 8 meter, avstanden fra $C$ til $D$ er 20 meter, $DC$ er parallell med $AB$, og høyden fra $E$ ned på $AB$ er 5 meter.
Edvard påstår at $\triangle ABE$ og $\triangle CDE$ er formlike.
a) Argumenter for at Edvards påstand er riktig.
b) Vis hvordan du kan bruke formlikhet til å bestemme hvor stort areal blomsterbedet vil få.
---
## H2022 del 2 oppgave 8 — Statistikk for hytter i norske regioner 2P H22
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median og standardavvik for 15 regioner og vurdere hvordan målene endrer seg for de neste 15 regionene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-hytter-i-norske-regioner-2p-h22/
### Oppgavetekst
| | Region | Antall hytter/fritidsbygg |
|:---|:--------------|:-------------------------:|
| 1 | Ringsaker | 7286 |
| 2 | Trysil | 6926 |
| 3 | Hol | 5832 |
| 4 | Vinje | 5713 |
| 5 | Sigdal | 5050 |
| 6 | Larvik | 4890 |
| 7 | Nord-Aurdal | 4806 |
| 8 | Orkland | 4575 |
| 9 | Fredrikstad | 4403 |
| 10 | Ringebu | 4369 |
| 11 | Hvaler | 4332 |
| 12 | Sirdal | 4221 |
| 13 | Oppdal | 4142 |
| 14 | Nore og Uvdal | 4095 |
| 15 | Asker | 4004 |
Ovenfor ser du hvor i Norge det er flest hytter/fritidsbygg i 2022.
a) Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for datamaterialet.
Ingrid vil regne ut medianen, gjennomsnittet og standardavviket for regionene som kommer på de neste 15 plassene i denne oversikten. Hun vil sammenlikne svarene hun får, med resultatene fra oppgave a).
Ingrid lurer på
1) om hun vil få et høyere eller lavere gjennomsnitt
2) om det vil være større forskjell mellom median og gjennomsnitt
3) om hun vil få et høyere eller lavere standardavvik
b) Vurder om det er mulig å si noe om det Ingrid lurer på.
Husk å begrunne svarene dine.
---
## H2022 del 2 oppgave 9 — Flyplassbesøk og prosentvis endring 2P H22
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Finne antallet året før ved å dele på vekstfaktoren 3,5 når økningen er 250 prosent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flyplassbesok-og-prosentvis-endring-2p-h22/
### Oppgavetekst
> **Sitat**
> Hittil i år har over 15 millioner personer reist til eller fra norske flyplasser. Det er en økning på 250 prosent sammenlignet med samme periode i fjor.
Avsnittet ovenfor er hentet fra en artikkel som ble publisert på nrk.no 18. juni 2022.
Omtrent hvor mange personer reiste til og fra norske flyplasser i samme periode i 2021?
---
## H2022 del 2 oppgave 10 — 72-regelen for dobling av sparebeløp
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Regneark, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Finne doblingstid ved 2 % rente med regneark og graf, og undersøke hvor godt 72- og 70-regelen stemmer for ulike rentesatser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/72-regelen-for-dobling-av-sparebelop/
### Oppgavetekst
Jonas og Margrete arbeider med et problem. De skal prøve å finne ut hvor lang tid det vil ta før et beløp blir doblet på en sparekonto. Banken tilbyr en fast rentesats på $2\ \%$ per år.
Jonas vil bruke et regneark. Margrete vil tegne en graf.
a) Hjelp Jonas og Margrete. Vis hvordan du kan bruke et regneark, og hvordan du kan lage en grafisk framstilling, som gir dem svar på problemet.
På en nettside har Jonas og Margrete funnet teksten nedenfor.
> **72-regelen er en tommelfingerregel som hjelper deg å finne ut hvor lang tid det tar å doble et sparebeløp, gitt en fast årlig rentesats og uten nye innskudd.**
>
> **Dersom du deler 72 på rentesatsen, finner du ut hvor mange år det vil gå før sparebeløpet er doblet.**
b) Lag en oversikt som viser hvor godt denne regelen stemmer for ulike rentesatser.
Margrete påstår at det kan være lurere å bruke 70 i stedet for 72.
c) Undersøk om dette kan være riktig.
---
## H2022 del 1 oppgave 1 — Median og gjennomsnitt for boklesting 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt, kumulativ og relativ frekvens for et datasett og vurdere sentralmål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-for-boklesting-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
I sommerferien liker Maia å lese bøker. Nedenfor ser du hvor mange sider hun leste hver av de 10 første dagene i ferien.
20   15   15   25   20   15   25   100   25   20
a) Bestem medianen og gjennomsnittet for datamaterialet.
b) Hvilket av de to sentralmålene mener du best beskriver datamaterialet?
Husk å begrunne svaret ditt.
c) Bestem den kumulative og den relative frekvensen for 25 sider per dag.
Hva forteller disse tallene oss?
---
## H2022 del 1 oppgave 2 — Prisøkning i prosent og kroner
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Beregne prisøkning ved annen prosentsats ut fra kjent beløp og prosent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisokning-i-prosent-og-kroner/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare ble satt opp med 1,5 %. Dette tilsvarte en prisøkning på 300 kroner.
Hvor mange kroner ville prisøkningen tilsvart dersom prisen for varen i stedet hadde blitt satt opp med 4,0 %?
---
## H2022 del 1 oppgave 3 — Prisforskjell per hektogram for kaffe fra graf
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Lineære funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av stigningstall/enhetspris fra to lineære grafer og bestemme differansen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisforskjell-per-hektogram-for-kaffe-fra-graf/
### Oppgavetekst
Den grafiske framstillingen ovenfor viser sammenhengen mellom vekt og pris for to ulike typer kaffe, type A og type B.
Hvor stor er prisforskjellen per hektogram?
---
## H2022 del 1 oppgave 4 — Sorter tall på standardform 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Omgjøre og sammenligne tall på standardform, vitenskapelig notasjon og prosent for å sortere stigende.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-tall-pa-standardform-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
Sorter de seks tallene ovenfor i stigende rekkefølge. Start med det minste tallet.
---
## H2022 del 1 oppgave 5 — Lineær og eksponentiell modell for eiendomsverdi 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær og eksponentiell vekstmodell for eiendomsverdi basert på to ulike antakelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-for-eiendomsverdi-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
I 2022 er verdien av en eiendom 5 200 000 kroner.
Ola antar at verdien vil stige med 80 000 kroner hvert år.
a) Sett opp en modell som viser verdien $f(x)$ kroner av eiendommen $x$ år etter 2022 dersom det går slik Ola antar.
Tonje antar at verdien vil stige med $1{,}4\ \%$ hvert år.
b) Sett opp en modell som viser verdien $g(x)$ kroner av eiendommen $x$ år etter 2022 dersom det går slik Tonje antar.
---
## H2022 del 1 oppgave 6 — Aldersfordeling i mosjonsløp 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnittlig alder fra gruppert frekvenstabell og konstruere histogram for aldersfordelingen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-i-mosjonslop-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen for 200 personer som deltok i et mosjonsløp.
| Alder | Frekvens |
|-------|----------|
| $[0, 10\rangle$ | 40 |
| $[10, 20\rangle$ | 20 |
| $[20, 30\rangle$ | 60 |
| $[30, 50\rangle$ | 20 |
| $[50, 60\rangle$ | 20 |
| $[60, 80\rangle$ | 40 |
| Sum | 200 |
a) Bestem gjennomsnittsalderen for personene.
b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen.
---
## H2022 del 1 oppgave 7 — Moteksempel på algebraisk påstand 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Argumentasjon, Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Tilbakevise en feilaktig algebraisk identitet ved å sette inn en konkret verdi og sammenligne begge sider.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/moteksempel-pa-algebraisk-pastand-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
Edvard påstår at $2a + 3a^2$ er det samme som $5a^3$.
Nina mener at dette ikke er riktig. «Vi skal kunne erstatte bokstaven $a$ med et hvilket som helst tall», sier hun.
Sett $a = 2$ og vis Edvard at påstanden hans ikke er riktig.
---
## H2022 del 1 oppgave 8 — Figurmønster med sirkler 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall sirkler i neste figur og utlede generelt uttrykk for antall sirkler i figur n fra et kryssformet mønster.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4?
Vis eller forklar hvordan du har tenkt for å komme fram til svaret.
b) Bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$.
---
## H2022 del 2 oppgave 1 — Emmas høyde som funksjon av alder 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graf, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf for potensfunksjon og beregne og tolke gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/emmas-hoyde-som-funksjon-av-alder-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
Funksjonen $h$ gitt ved
$$
h(x) = 50 + 28 \cdot x^{0{,}52} \quad , \quad 0 \leq x \leq 16
$$
viser tilnærmet Emmas høyde $h(x)$ cm, $x$ år etter fødselen.
a) Tegn grafen til $h$.
b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0, h(0))$ og $(5, h(5))$. Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
c) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $h$ i punktet $(5, h(5))$. Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
---
## H2022 del 2 oppgave 2 — Fylle beholdere med vann 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Koble grafer til riktige beholdere basert på geometri og tegne graf for den tredje beholderen med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fylle-beholdere-med-vann-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
Per skal fylle de tre beholderne ovenfor med vann. Vannet renner inn i hver beholder med samme konstante hastighet.
a) Grafene ovenfor viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde for to av beholderne. Hvilke to?
Husk å begrunne svaret ditt.
b) Tegn av koordinatsystemet ovenfor med de to grafene. Tegn også inn grafen som viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde når den tredje tanken blir fylt. Forklar hvordan du tenker når du tegner den siste grafen.
---
## H2022 del 2 oppgave 3 — Misvisende linjediagram for e-poster
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Avsløre ujevne tidsintervaller i linjediagram, tegne korrigert diagram og vurdere påstand om økning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/misvisende-linjediagram-for-e-poster/
### Oppgavetekst
Jens har laget et linjediagram som skal vise hvor mange e-poster som i gjennomsnitt ble sendt hver dag i et firma i årene 2013–2021. Se ovenfor.
a) Hvorfor er diagrammet misvisende?
b) Lag et linjediagram du mener er mindre misvisende. Begrunn hvorfor du mener diagrammet ditt illustrerer de gitte opplysningene på en bedre måte.
Jens påstår at antallet e-poster som i gjennomsnitt ble sendt hver dag, økte mest fra 2017 til 2018.
c) Vurder om denne påstanden kan være riktig.
---
## H2022 del 2 oppgave 4 — Modeller for personbiler og elbiler 2008–2021 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Regresjon, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner, Graf
- **Kort beskrivelse:** Lage lineær og eksponentiell regresjonsmodell fra diagram og bruke modellene til prediksjon og vurdering av gyldighetsområde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modeller-for-personbiler-og-elbiler-2008-2021-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
a) Bruk diagrammet ovenfor og lag en modell $P$ som viser antallet registrerte personbiler i perioden 2008–2021.
Hva forteller modellen $P$ om hvordan antallet registrerte personbiler har endret seg i denne perioden?
I 2008 var det 1693 registrerte elbiler i Norge.
b) Bruk diagrammet ovenfor og lag en modell $E$ som viser antallet registrerte elbiler i perioden 2008–2021.
Hva forteller modellen $E$ om hvordan antallet registrerte elbiler har endret seg i denne perioden?
c) Hvor mange registrerte personbiler og hvor mange registrerte elbiler vil det være i 2025, ifølge modellene $P$ og $E$?
Kommenter svarene dine og vurder gyldighetsområdet til hver av modellene.
---
## H2022 del 2 oppgave 5 — Statistikk for hytter i norske regioner 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median og standardavvik og vurdere resonnement om statistiske mål for et relatert datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-hytter-i-norske-regioner-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
| | Region | Antall hytter/fritidsbygg |
|--|--------|--------------------------|
| 1 | Ringsaker | 7286 |
| 2 | Trysil | 6926 |
| 3 | Hol | 5832 |
| 4 | Vinje | 5713 |
| 5 | Sigdal | 5050 |
| 6 | Larvik | 4890 |
| 7 | Nord-Aurdal | 4806 |
| 8 | Orkland | 4575 |
| 9 | Fredrikstad | 4403 |
| 10 | Ringebu | 4369 |
| 11 | Hvaler | 4332 |
| 12 | Sirdal | 4221 |
| 13 | Oppdal | 4142 |
| 14 | Nore og Uvdal | 4095 |
| 15 | Asker | 4004 |
Ovenfor ser du hvor i Norge det er flest hytter/fritidsbygg i 2022.
a) Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for datamaterialet.
Ingrid vil regne ut medianen, gjennomsnittet og standardavviket for regionene som kommer på de neste 15 plassene i denne oversikten. Hun vil sammenlikne svarene hun får, med resultatene fra oppgave a).
Ingrid lurer på
1. om hun vil få et høyere eller lavere gjennomsnitt
2. om det vil være større forskjell mellom median og gjennomsnitt
3. om hun vil få et høyere eller lavere standardavvik
b) Vurder om det er mulig å si noe om det Ingrid lurer på.
Husk å begrunne svarene dine.
---
## H2022 del 2 oppgave 6 — Flyplassbesøk og prosentvis endring 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Bruke prosentvis økning til å beregne opprinnelig antall flypassasjerer ved å arbeide bakover fra oppgitt vekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flyplassbesok-og-prosentvis-endring-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
> **Sitat**
> NRK.no
>
> Hittil i år har over 15 millioner personer reist til eller fra norske flyplasser. Det er en økning på 250 prosent sammenlignet med samme periode i fjor.
Avsnittet ovenfor er hentet fra en artikkel som ble publisert på nrk.no 18. juni 2022.
Omtrent hvor mange personer reiste til og fra norske flyplasser i samme periode i 2021?
---
## H2022 del 2 oppgave 7 — Opprinnelig pris etter gjentatte prisendringer 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne opprinnelig pris ved å dele på sammensatt vekstfaktor etter gjentatte opp- og nedprising.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/opprinnelig-pris-etter-gjentatte-prisendringer-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare har steget med 10 % tre ganger og blitt satt ned med 20 % to ganger. Nå koster varen 4680 kroner.
Hvor mye kostet varen før prisendringene?
---
## H2022 del 2 oppgave 8 — Nedbetalingsplan for lån med regneark 2P H22 LK06
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Rente, Økonomi, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Lage nedbetalingsplan i regneark for serielån med fast avdrag og månedlig rente, og beregne totale rentekostnader.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nedbetalingsplan-for-lan-med-regneark-2p-h22-lk06/
### Oppgavetekst
Sondre har lånt 150 000 kroner. Avtalen er at han skal betale renter og avdrag hver måned. Hvert avdrag skal være på 5000 kroner. Rentesatsen er $0{,}85\ \%$ per måned. Første innbetaling skal skje én måned etter at han tok opp lånet.
a) Bruk regneark og lag en oversiktlig nedbetalingsplan for Sondre.
b) Hvor mange måneder vil det ta før lånet er betalt ned?
c) Hvor mye må Sondre til sammen betale i renter disse månedene?
---
## V2021 del 1 oppgave 1 — Statistikk for elsparkesykkelbruk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde for et lite datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-elsparkesykkelbruk/
### Oppgavetekst
Petter har spurt 10 ungdommer hvor mange ganger de brukte elsparkesykkel i løpet av en uke. Svarene deres ser du nedenfor.
$$
20 \quad 17 \quad 0 \quad 0 \quad 15 \quad 13 \quad 4 \quad 0 \quad 26 \quad 0
$$
Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
---
## V2021 del 1 oppgave 2 — Sorter tall i stigende rekkefølge
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Omgjøre tall på ulike former (standardform, prosent, ord) til sammenlignbart format og sortere stigende.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-tall-i-stigende-rekkefolge/
### Oppgavetekst
Start med det minste tallet, og sorter tallene i stigende rekkefølge.
---
## V2021 del 1 oppgave 3 — Varepris etter to prisnedsettelser
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når en vare er satt ned med to ulike prosentsatser etter hverandre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/varepris-etter-to-prisnedsettelser/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare ble satt ned med 10 % og deretter med 20 %.
Nå koster varen 720 kroner.
Hva kostet varen før prisen ble satt ned første gang?
---
## V2021 del 1 oppgave 4 — Pris per elev på våravslutning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Økonomi, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og tolke uttrykk for kostnad per elev, og vurdere utsagn om antall elever ved hjelp av ulikhet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-per-elev-pa-varavslutning/
### Oppgavetekst
En skoleklasse skal ha våravslutning. Elevene i klassen må selv dekke utgiftene.
De får tilbud om å leie et lokale for 3000 kroner. I tillegg vil maten koste 100 kroner per elev.
a) Sett opp et uttrykk som viser prisen hver elev må betale.
«Jeg håper det kommer så mange at prisen per elev blir mindre enn 130 kroner», sier Astrid.
b) Gjør beregninger og kommenter Astrids utsagn.
---
## V2021 del 1 oppgave 5 — Gjennomsnittshøyde og histogram for hus
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittshoyde-og-histogram-for-hus/
### Oppgavetekst
Lise har hentet inn informasjon om høyden på husene i området der hun bor.
| Høyde (meter) | Antall hus |
|---|---|
| $[3, 5\rangle$ | 2 |
| $[5, 7\rangle$ | 8 |
| $[7, 9\rangle$ | 10 |
| $[9, 13\rangle$ | 8 |
a) Bestem gjennomsnittshøyden på husene i området der Lise bor.
b) Framstill datamaterialet i et histogram.
---
## V2021 del 1 oppgave 6 — Forklar og lag eksempel på eksponentiell vekst
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare begrepet eksponentiell vekst, gi et eksempel og lage et tilhørende regnestykke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forklar-og-lag-eksempel-pa-eksponentiell-vekst/
### Oppgavetekst
a) Forklar hva vi mener med eksponentiell vekst.
Gi et eksempel på eksponentiell vekst.
b) Lag et regnestykke knyttet til eksempelet ditt fra oppgave a), og forklar hvordan du kan gå fram for å løse regnestykket.
---
## V2021 del 1 oppgave 7 — Figurmønster med kuler og pinner
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Mønstre, Tallfølger, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster i figurrekke, tegne neste figur, beregne antall for figur 10 og utlede generelle uttrykk for pinner og kuler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-kuler-og-pinner/
### Oppgavetekst
Kristian er kunstner. Han lager små figurer ved å lime kuler på pinner.
Ovenfor ser du fire av figurene. For å lage figur 4 har Kristian brukt 7 pinner og 12 kuler. Han vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Tegn figur 5.
b) Hvor mange pinner og hvor mange kuler vil det være i figur 10?
Vis hvordan du har tenkt for å komme fram til svarene dine.
c) Bestem et uttrykk for antall pinner og et uttrykk for antall kuler i figur $n$.
---
## V2021 del 2 oppgave 1 — Regresjonsmodell for sildebestand
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bruke regresjonsanalyse til å finne og vurdere en potensfunksjonsmodell for sildebestand over tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regresjonsmodell-for-sildebestand/
### Oppgavetekst
| År | 2009 | 2010 | 2012 | 2013 | 2015 | 2018 | 2019 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sildebestand (1000 tonn) | 10 150 | 8700 | 7102 | 6690 | 6249 | 5642 | 5317 |
Tabellen ovenfor viser bestanden av norsk vårgytende sild noen utvalgte år i perioden fra 2009 til 2019.
La $x$ være antall år etter 2008.
Olav har kommet fram til følgende modell for sildebestanden
$$
S(x) = 10283 \cdot x^{-0{,}265}
$$
a) Bruk regresjon til å vise hvordan Olav kan ha kommet fram til denne modellen.
b) Hvor stor var sildebestanden i 2011 ifølge Olavs modell?
Havforskningsinstituttets foreløpige beregninger viser at sildebestanden vil være 13 % lavere i 2020 enn året før.
c) Vurder om Olavs modell samsvarer med denne prognosen.
---
## V2021 del 2 oppgave 2 — Produksjon av storfekjøtt og sauekjøtt i Norge
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke kubikkfunksjoner for kjøttproduksjon, beregne momentan vekstfart og bestemme bunnpunkt for differansefunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produksjon-av-storfekjott-og-sauekjott-i-norge/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ gitt ved
$$
f(x) = 4{,}8x^3 - 78{,}4x^2 - 534x + 91043 \qquad , \quad 0 \leq x \leq 20
$$
$$
g(x) = 3{,}2x^3 - 88{,}5x^2 + 693x + 23136 \qquad , \quad 0 \leq x \leq 20
$$
viser tilnærmet årsproduksjon $f(x)$ tonn storfekjøtt og $g(x)$ tonn sauekjøtt i Norge $x$ år etter 1999.
a) Tegn grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.
b) Når var årsproduksjonen av storfekjøtt lavere enn 84 000 tonn?
c) Bestem den momentane vekstfarten til $f$ og den momentane vekstfarten til $g$ når $x = 3$. Gi en praktisk tolkning av svarene.
Funksjonen $h$ er gitt ved
$$
h(x) = f(x) - g(x) \qquad , \quad 0 \leq x \leq 20
$$
d) Bestem bunnpunktet på grafen til $h$.
Hvilken praktisk informasjon gir koordinatene til dette punktet?
---
## V2021 del 2 oppgave 3 — Statistikk for de største byene i Amerika
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne statistiske mål for bystørrelser og sammenligne to datasett, inkludert effekten av å fjerne en ekstremverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-de-storste-byene-i-amerika/
### Oppgavetekst
| By | Antall innbyggere |
|---|---|
| São Paulo | 11 968 000 |
| Mexico City | 8 919 000 |
| Lima | 8 894 000 |
| New York | 8 550 000 |
| Bogotá | 7 862 000 |
| Rio de Janeiro | 6 477 000 |
| Santiago | 5 507 000 |
| Los Angeles | 3 972 000 |
| Caracas | 3 290 000 |
| Buenos Aires | 3 054 000 |
| Salvador | 2 921 000 |
| Brasília | 2 914 000 |
| Toronto | 2 826 000 |
| Chicago | 2 721 000 |
Tabellen ovenfor viser hvor mange innbyggere det er i hver av de 14 største byene i Sør- og Nord-Amerika.
a) Bestem gjennomsnittet, medianen, variasjonsbredden og standardavviket for antall innbyggere i disse byene.
Tabellen nedenfor viser gjennomsnittet, medianen, variasjonsbredden og standardavviket for antall innbyggere i de 14 største byene i Europa.
| | |
|---|---|
| Gjennomsnitt | 4 808 000 |
| Median | 2 898 000 |
| Variasjonsbredde | 13 662 000 |
| Standardavvik | 4 256 000 |
b) Hva kan du si om størrelsen på byene i Europa sammenliknet med størrelsen på byene i Sør- og Nord-Amerika?
I beregningene ovenfor er Istanbul tatt med som en by i Europa.
Istanbul har 15 519 000 innbyggere og er da Europas største by.
c) Bestem gjennomsnittet for antall innbyggere i de 13 byene i Europa som har flest innbyggere dersom vi ser bort fra Istanbul.
---
## V2021 del 2 oppgave 4 — Verdifall på bil med vekstfaktor
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Verdifall, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke vekstfaktor til å beregne opprinnelig pris og finne prosentvis årlig verdifall bakover i tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdifall-pa-bil-med-vekstfaktor/
### Oppgavetekst
Melinda har eid en bil i 10 år. Verdien har avtatt med 13 % per år. Nå er bilen verdt 180 000 kroner.
a) Hvor mye var den verdt da hun kjøpte den?
Glennis kjøpte en bil for to år siden for 150 000 kroner. Nå er den verdt 120 000 kroner.
b) Hvor mange prosent har verdien sunket med per år?
---
## V2021 del 2 oppgave 5 — BSU-sparing med regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp regneark for BSU-konto med årlige innskudd og rente, og beregne totale renteinntekter over en periode.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bsu-sparing-med-regneark/
### Oppgavetekst
Det året Silje fyller 22 år, vil hun opprette en BSU-konto. Hun vil sette inn 25 000 kroner på kontoen 1. januar hvert år. Renten er 2,8 % per år.
a) Lag et regneark som viser hvor mye det vil være på kontoen rett før og rett etter hvert innskudd fra og med det året Silje fyller 22 år til og med det året hun fyller 33 år.
b) Hvor mye vil hun til sammen få i renter i løpet av disse årene?
---
## V2021 del 2 oppgave 6 — Knytt situasjon til riktig graf
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Funksjoner, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Knytte fire beskrevne situasjoner til riktig graf blant seks alternativer og begrunne valgene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/knytt-situasjon-til-riktig-graf/
### Oppgavetekst
Nedenfor er fire ulike situasjoner beskrevet. Det er også tegnet seks grafer.
<table class="grid">
<tr>
<td><strong>Situasjon 1</strong><br>Petter plukker jordbær. Han får 100 kroner i fast lønn. I tillegg får han 20 kroner per kilogram han plukker.</td>
<td><strong>Situasjon 2</strong><br>Jens har fått en infeksjon og skal ta tabletter med et virkestoff mot infeksjonen én gang i døgnet. Vi antar at antall milligram virkestoff i kroppen reduseres med 5 % hver time.</td>
</tr>
<tr>
<td><strong>Situasjon 3</strong><br>Stine har lånt penger av foreldrene. Hun vil betale tilbake 100 kroner hver uke.</td>
<td><strong>Situasjon 4</strong><br>På en øy blir det satt ut et rykte. Ryktet sprer seg blant dem som bor på øya.</td>
</tr>
</table>
Hvilken graf beskriver best situasjon 1?
Hvilken graf beskriver best situasjon 2?
Hvilken graf beskriver best situasjon 3?
Hvilken graf beskriver best situasjon 4?
Husk å begrunne svarene dine.
Knytt hver av de fire situasjonene til riktig graf og begrunn svarene dine.
---
## V2021 del 2 oppgave 7 — Henvendelser til Finn en koronavenn
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis endring fra stolpediagram og finne samlet antall ved eksponentiell vekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/henvendelser-til-finn-en-koronavenn/
### Oppgavetekst
I mars 2020 startet en gruppe ungdommer firmaet «Finn en koronavenn». De oppfordret barn og unge som følte seg ensomme, til å ta kontakt på telefon eller chat for å slå av en prat.
Diagrammet nedenfor viser hvor mange henvendelser firmaet fikk i august, september, oktober og november. Det har kommet noen flekker på diagrammet.
Fra august til september økte antallet henvendelser med $30\ \text{\%}$.
a) Hvor mange henvendelser fikk firmaet i september?
b) Hvor mange prosent gikk antallet henvendelser ned med fra oktober til november?
Fra mars til august økte antallet henvendelser eksponentielt. I mars hadde firmaet $1000$ henvendelser.
c) Hvor mange henvendelser hadde firmaet til sammen i perioden fra og med mars til og med august?
---
## H2021 del 1 oppgave 1 — Snødager i april – statistikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde, samt kumulativ frekvens for et datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snodager-i-april-statistikk/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange dager med snøfall det har vært i april de 10 siste årene i en kommune i Norge.
$$
4 \quad 7 \quad 0 \quad 0 \quad 4 \quad 5 \quad 5 \quad 4 \quad 7 \quad 9
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 5 dager med snøfall i april.
Hva forteller dette tallet?
---
## H2021 del 1 oppgave 2 — Skolevei – gruppert frekvensfordeling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Histogram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og finne medianintervall fra gruppert frekvensfordeling, samt tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skolevei-gruppert-frekvensfordeling/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor lang tid 100 elever bruker på skoleveien.
| Minutter | Antall elever |
|----------|--------------|
| $[0, 10\rangle$ | 20 |
| $[10, 20\rangle$ | 50 |
| $[20, 40\rangle$ | 20 |
| $[40, 80\rangle$ | 10 |
a) Bestem gjennomsnittet for datamaterialet.
b) I hvilket intervall ligger medianen?
Begrunn svaret.
c) Framstill datamaterialet i et histogram.
---
## H2021 del 1 oppgave 3 — Sammenligne potenser med potensregler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere og begrunne om påstander om potenser er riktige ved hjelp av potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligne-potenser-med-potensregler/
### Oppgavetekst
a) Idar påstår at $8^5 = 2^{15}$.
Har han rett? Begrunn svaret.
b) Hvilken av de to potensene $8^5$ og $3^{10}$ har størst verdi?
Begrunn svaret.
---
## H2021 del 1 oppgave 4 — Årlig prosentvis verdiøkning av bolig
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Vurdere påstander om årlig prosentvis verdiøkning over 10 år ved vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arlig-prosentvis-verdiokning-av-bolig/
### Oppgavetekst
En matematikklasse fikk oppgaven nedenfor.
Anta at verdien av en bolig øker med like mange prosent hvert år.
I løpet av 10 år øker verdien med $15\ \text{\%}$.
Hvor mange prosent øker verdien med hvert år?
Irene, Gro og Andrea diskuterer oppgaven.
> Irene
> Verdien øker med $15\ \text{\%}$ i løpet av 10 år.
>
> $$
> \frac{15}{10} = 1{,}5
> $$
>
> Det blir $1{,}5\ \text{\%}$ per år.
> Gro
> Når noe øker med $15\ \text{\%}$, er vekstfaktoren $1{,}15$.
> Vi må prøve å finne en vekstfaktor $x$ som er slik at $x^{10} = 1{,}15$.
> Andrea
> Vi vet jo ikke verdien i utgangspunktet, så dette er det helt umulig å svare på.
Kommenter Irene, Gro og Andrea sine påstander, og argumenter for hvorfor det hver av jentene sier er riktig, eller hvorfor det ikke er riktig.
---
## H2021 del 1 oppgave 5 — Lineær modell for smittespredning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og bruke en lineær modell for smittede personer over tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-smittespredning/
### Oppgavetekst
1. januar 2021 var 4000 personer i et land smittet av et virus.
50 dager senere var 6000 personer smittet.
a) Sett opp en modell som viser hvor mange som var smittet $x$ dager etter 1. januar 2021 dersom vi antar at antall smittede personer økte lineært.
b) Hvor lang tid vil det ta før antall smittede personer passerer 10 000 ifølge modellen fra oppgave a)?
---
## H2021 del 1 oppgave 6 — Figurmønster med reinsdyr av sirkler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall sirkler i neste figur og bestemme et generelt uttrykk for antall sirkler i figur n.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-reinsdyr-av-sirkler/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 5?
Vis eller forklar hvordan du har tenkt for å komme fram til svaret.
b) Bestem et uttrykk for antall små sirkler i figur $n$.
---
## H2021 del 2 oppgave 1 — Prosentvis prisendring i to butikker
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise at prosentvis prisøkning i butikk A er lik prosentvis prisnedgang i butikk B.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-prisendring-i-to-butikker/
### Oppgavetekst
I butikk A har prisen for en vare økt fra 160 kroner til 184 kroner.
I butikk B har prisen for den samme varen gått ned fra 180 kroner til 153 kroner.
Vis at prisen har økt med like mange prosent i butikk A som den har gått ned med i butikk B.
---
## H2021 del 2 oppgave 2 — Halveringstid for uran-238
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Standardform, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke halveringstid til å beregne tid for radioaktivt henfallsforløp og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halveringstid-for-uran-238/
### Oppgavetekst
Det radioaktive stoffet uran-238 har en halveringstid på $4{,}47$ milliarder år.
Hvor mange år vil det ta før 100 gram av dette stoffet er redusert til 10 gram?
Skriv svaret på standardform.
---
## H2021 del 2 oppgave 3 — Husets verdiutvikling med vekstfaktor
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Eksponentialfunksjon, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Beregne opprinnelig verdi og årlig prosentvis vekst for et hus ved hjelp av vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/husets-verdiutvikling-med-vekstfaktor/
### Oppgavetekst
Birthe og Emil kjøpte et hus for 5 år siden. Verdien av huset har siden den gang økt med 3 % hvert år. Nå er det verdt 4,1 millioner kroner.
a) Hvor mye var huset verdt da de kjøpte det?
Emil tror at huset vil være verdt 5,1 millioner kroner om 5 år. Anta at Emil har rett, og at verdien av huset øker med samme prosent hvert år de neste fem årene.
b) Hvor mange prosent vil verdien da øke med hvert år?
---
## H2021 del 2 oppgave 4 — Energiforbruk og strømpris i enebolig
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Graf, Modellering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Tegne og analysere polynomfunksjon for energiforbruk, beregne momentan vekstfart og tolke produktet av to funksjoner som energikostnad.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/energiforbruk-og-strompris-i-enebolig/
### Oppgavetekst
Funksjonen $F$ gitt ved
$$
F(x) = -0{,}3x^4 + 9x^3 - 62x^2 - 50x + 1960 \quad , \quad 0 \leq x \leq 12
$$
er en modell som tilnærmet viser det elektriske energiforbruket $F(x)$ kWh per måned i en enebolig $x$ måneder etter 1. januar 2020.
a) Tegn grafen til $F$.
b) I hvilke måneder var energiforbruket høyere enn 1500 kWh ifølge modellen?
c) Bestem den momentane vekstfarten til $F$ når $x = 10$.
Gi en praktisk tolkning av svaret.
Prisen for elektrisk energi varierer med tiden på året.
Funksjonen $P$ gitt ved
$$
P(x) = 0{,}78x^2 - 9{,}2x + 96 \quad , \quad 0 \leq x \leq 12
$$
er en modell som tilnærmet viser den gjennomsnittlige prisen $P(x)$ øre per kWh for elektrisk energi i måned $x$.
d) Forklar at $F(x) \cdot P(x)$ er et uttrykk for gjennomsnittlige energikostnader for eneboligen i måned $x$.
e) Hvilken måned var de gjennomsnittlige energikostnadene for eneboligen lavest?
---
## H2021 del 2 oppgave 5 — Kjørelengde for personbiler 2008–2018
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning, Regresjon
- **Kort beskrivelse:** Lage og tolke lineær modell fra diagram, og kommentere gyldighetsområde og mulige årsaker til trender.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjorelengde-for-personbiler-2008-2018/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser gjennomsnittlig årlig kjørelengde for personbiler i Norge i perioden 2008–2018.
a) Lag en lineær modell ut fra informasjonen i diagrammet.
Bestem stigingstallet og konstantleddet, og gi en praktisk tolkning av hver av disse verdiene.
b) Kommenter gyldighetsområdet til modellen i oppgave a).
Diagrammet ovenfor viser samlet kjørelengde for alle registrerte personbiler i Norge i perioden 2008–2018.
c) Hva kan være mulige årsaker til at den gjennomsnittlige årlige kjørelengden har avtatt i perioden 2008–2018?
---
## H2021 del 2 oppgave 6 — Sildemåker og potensfunksjon med regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Verifisere regresjonsmodell med potensfunksjon, beregne funksjonsverdi og kommentere modellens gyldighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sildemaker-og-potensfunksjon-med-regresjon/
### Oppgavetekst
Sildemåkene er trekkfugler. De første kommer til Norge i mars, og i august begynner mange å fly sørover igjen.
I 2020 registrerte noen forskere antall sildemåker på ei øy i Norge noen dager i perioden fra og med 1. mai til og med 20. juli. Se tabellen nedenfor.
| Dager etter 30. april | 1 | 15 | 30 | 45 | 60 | 81 |
|-----------------------|---|----|----|----|----|-----|
| Antall sildemåker | 202 | 286 | 315 | 332 | 346 | 350 |
a) Vis ved regresjon at funksjonen $S$ gitt ved
$$
S(x) = 202 \cdot x^{0{,}13} \quad , \quad x \geq 1
$$
er en god modell for antall sildemåker på øya $x$ dager etter 30. april 2020.
b) Hvor mange sildemåker var det på øya 5. juli 2020 ifølge modellen fra oppgave a)?
c) Bestem $S(150)$.
Kommenter svaret ut fra opplysningene som er gitt i oppgaveteksten.
---
## H2021 del 2 oppgave 7 — Fibonaccitall og regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Mønstre, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Lage regneark for Fibonacci-tall og undersøke to påstander om summer av Fibonacci-tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fibonaccitall-og-regneark/
### Oppgavetekst
Tallene i tallfølgen
$$
1 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 5 \quad 8 \quad 13 \quad \ldots
$$
kalles fibonaccitallene. Hvert nye tall er summen av de to foregående.
a) Lag et regneark der du i en kolonne regner ut de 15 første fibonaccitallene.
Ane og Trine har undersøkt fibonaccitallene.
Ane påstår at summen av de $n$ første fibonaccitallene alltid er én mindre enn fibonaccitall nummer $n + 2$.
Hun ser for eksempel at $1 + 1 + 2 = 5 - 1$.
Trine påstår at når hun summerer annet hvert fibonaccitall, vil hun alltid få fibonaccitallet som kommer rett etter siste ledd i summen.
Hun ser for eksempel at $1 + 2 + 5 = 8$.
b) Bruk regnearket fra oppgave a) og undersøk om det Ane og Trine påstår, kan være riktig.
---
## H2021 del 2 oppgave 8 — Antall søsken i klasse 3STA – standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik og lage oversikt over andel dataverdier innenfor ulike antall standardavvik fra gjennomsnittet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-sosken-i-klasse-3sta-standardavvik/
### Oppgavetekst
I klasse 3STA er det 30 elever. Nedenfor ser du hvor mange søsken hver elev har.
$$
0 \; 0 \; 0 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 2 \; 2 \; 2 \; 2 \; 2 \; 2 \; 2 \; 3 \; 3 \; 3 \; 3 \; 3 \; 4 \; 4 \; 5 \; 5 \; 6
$$
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for datamaterialet.
b) Lag en oversikt som viser hvor mange prosent av dataverdiene som ligger mindre enn ett standardavvik fra gjennomsnittet, mindre enn to standardavvik fra gjennomsnittet osv.
Tenk deg at du skal gjennomføre en tilsvarende undersøkelse i en klasse.
c) Er det mulig at ingen av dataverdiene du får, vil ligge mindre enn ett standardavvik fra gjennomsnittet? Forklar.
---
## E2021 del 1 oppgave 1 — Oppslutning for politisk parti og prosentpoeng
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentpoeng
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis endring ut fra endring i prosentpoeng.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oppslutning-for-politisk-parti-og-prosentpoeng/
### Oppgavetekst
Et politisk parti hadde en oppslutning på 5 % i mai. Fra mai til september økte oppslutningen med 2 prosentpoeng.
Hvor mange prosent økte oppslutningen med?
---
## E2021 del 1 oppgave 2 — Program for halveringstid og bilverdi
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Forklare while-løkke og tolke utskrift av verdi og antall år for verdifall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/program-for-halveringstid-og-bilverdi/
### Oppgavetekst
Forklar hva som skjer når programmet nedenfor kjøres.
```python ln
pris = 200000
verdi = pris
vekstfaktor = 0.85
år = 0
while verdi > pris/2:
verdi = verdi * vekstfaktor
år = år + 1
print(verdi)
print(år)
```
Hva forteller de to tallene som skrives ut i linje 10 og 11?
---
## E2021 del 1 oppgave 3 — Tredjegradslikning ved nullproduktregelen
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Løse faktorisert likning $(x-3)(x+1)x=0$ ved nullproduktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradslikning-ved-nullproduktregelen/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
(x-3)(x+1)x = 0
$$
---
## E2021 del 1 oppgave 4 — Areal av likebeint trekant med Pytagoras
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Finne høyden med Pytagoras' setning og beregne arealet av likebeint trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-likebeint-trekant-med-pytagoras/
### Oppgavetekst
En trekant $ABC$ har mål som vist på skissen.
Bestem arealet av trekanten.
---
## E2021 del 1 oppgave 5 — Forstørring av bilde på papirark
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Målestokk
- **Kort beskrivelse:** Beregne maksimal forstørrelse av rektangulært bilde innenfor gitte arkmål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forstorring-av-bilde-pa-papirark/
### Oppgavetekst
Eirin skal forstørre et bilde som er $8 \mathrm{~cm}$ bredt og $28 \mathrm{~cm}$ høyt.
Hun skal skrive ut bildet på et papir som er $30 \mathrm{~cm}$ bredt og $42 \mathrm{~cm}$ høyt. Hun vil at bildet skal bli så stort som mulig, men hun kan ikke rotere det.
Hvor bredt og hvor høyt vil bildet bli?
---
## E2021 del 1 oppgave 6 — Relativ og kumulativ frekvens for trening
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Frekvenstabell
- **Kort beskrivelse:** Beregne og tolke relativ og kumulativ frekvens fra observasjonssett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/relativ-og-kumulativ-frekvens-for-trening/
### Oppgavetekst
Tonje har spurt 20 ungdommer hvor mange ganger de trente forrige uke. Svarene ser du nedenfor.
$$
3 \quad 4 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 0 \quad 6 \quad 4 \quad 2 \quad 7 \quad 2 \quad 2 \quad 5 \quad 3 \quad 0 \quad 2 \quad 1 \quad 2
$$
Bestem den relative og den kumulative frekvensen for fire treninger. Hva forteller disse frekvensene?
---
## E2021 del 1 oppgave 7 — Histogram med ulik klassebredde for elevhøyder
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Histogram
- **Kort beskrivelse:** Beregne antall observasjoner fra histogram med frekvenstetthet (areal).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/histogram-med-ulik-klassebredde-for-elevhoyder/
### Oppgavetekst
Histogrammet viser hvor høye elevene ved en skole er.
Hvor mange elever er lavere enn $180 \mathrm{~cm}$?
---
## E2021 del 1 oppgave 8 — Vurdering av påstand om andregradsulikhet
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere og begrunne påstand om andregradsulikhet uten reelle nullpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vurdering-av-pastand-om-andregradsulikhet/
### Oppgavetekst
Nina påstår at ulikheten
$$
4x^2 - 2x + 5 < 0
$$
ikke har løsning fordi
$$
(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 < 0 \quad \text{og} \quad 4 > 0
$$
Er dette riktig? Begrunn svaret ditt.
---
## E2021 del 2 oppgave 1 — Båtverdi bakover i tid med vekstfaktor
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere elevers resonnement og forklare beregning av opprinnelig verdi bakover i tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/batverdi-bakover-i-tid-med-vekstfaktor/
### Oppgavetekst
Synne og Thea prøver å løse denne oppgaven:
> **Sitat**
> Oppgave
> Verdien av en båt har avtatt med 4 % hvert år de 8 siste årene.
> I dag er båtens verdi 45 000 kroner.
> Hva var båtens verdi for 8 år siden?
> Synne
> Når verdien har avtatt med 4 %, må vel vekstfaktoren bli 0,96?
> Thea
> Kan vi bruke den vekstfaktoren når vi skal finne verdien for 8 år siden? Var ikke verdien større enn 45 000 kroner da?
Kommenter det Synne og Thea sier, og forklar dem hvordan de kan løse oppgaven.
---
## E2021 del 2 oppgave 2 — Konsumprisindeks og kjøpekraft i regneark
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Konsumprisindeks, Reallønn
- **Kort beskrivelse:** Formler i regneark for prosentvis vekst i KPI, gjennomsnittlig årlig vekst og fremskriving av lønn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konsumprisindeks-og-kjopekraft-i-regneark/
### Oppgavetekst
Isak ser på hvordan konsumprisindeksen har endret seg de siste årene. Han vil lage et regneark som vist nedenfor.
a) Lag regnearket. Bruk formler i de grønne cellene, slik at du får fylt ut tabellen.
b) Hvilket tall skal stå i celle C2?
c) Hvor mange poeng og hvor mange prosent har konsumprisindeksen i gjennomsnitt økt med per år i perioden 2011–2020?
I 2020 hadde Isak en nominell lønn på $450\,000$ kroner.
d) Gjør antakelser og beregninger slik at du kan si noe om hva Isaks nominelle lønn bør være i 2025, dersom han skal ha samme kjøpekraft da som i 2020.
---
## E2021 del 2 oppgave 3 — Eksponentiell regresjonsmodell for omsetning
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon for omsetning, tolke årlig vekst og sammenlikne fremtidig vekst med ny vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-regresjonsmodell-for-omsetning/
### Oppgavetekst
Mari eier en nettbutikk. Tabellen viser omsetningen noen år i perioden 2011–2021.
| År | 2011 | 2013 | 2015 | 2017 | 2019 | 2021 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Omsetning (kroner) | $19\,112$ | $22\,990$ | $31\,015$ | $43\,525$ | $58\,121$ | $72\,123$ |
La $x$ være antall år etter 2011.
a) Bruk regresjon til å bestemme en funksjon $N$ på formen
$$
N(x) = a \cdot b^x
$$
som er en god modell for omsetningen $x$ år etter 2011.
b) Hvor mange prosent har omsetningen økt per år ifølge modellen fra oppgave a)?
Mari ønsker å utvide vareutvalget. Hun antar at omsetningen da vil øke med 20 % per år etter 2021. Dersom hun ikke utvider vareutvalget, antar hun at omsetningen vil øke slik modellen fra oppgave a) viser.
c) Gjør beregninger, og vis hvor mye større omsetningen vil bli i 2026 dersom hun utvider vareutvalget, sammenlignet med om hun ikke gjør det.
---
## E2021 del 2 oppgave 4 — Bruttoinntekt fra nettoinntekt med trekk
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Likninger, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likning for bruttoinntekt gitt nettoinntekt, prosenttrekk og fast kontingent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bruttoinntekt-fra-nettoinntekt-med-trekk/
### Oppgavetekst
I oktober hadde Marianne en nettoinntekt på $38\,456$ kroner.
Hun har et skattetrekk på 35 % og et pensjonsinnskudd på $2{,}5 \,\%$.
I tillegg betaler hun 723 kroner i fagforeningskontingent hver måned.
Bestem Mariannes bruttoinntekt i oktober.
---
## E2021 del 2 oppgave 5 — Median og gjennomsnitt med ekstremverdi
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne median og gjennomsnitt fra frekvenstabell og vurdere robusthet mot utliggere.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-med-ekstremverdi/
### Oppgavetekst
Klasse 2STA har laget en oversikt som viser hvor mange land hver av de 20 elevene i klassen har besøkt.
| Antall land | Antall elever |
| :---: | :---: |
| 4 | 3 |
| 5 | 4 |
| 6 | 5 |
| 8 | 5 |
| 10 | 2 |
| 50 | 1 |
a) Bestem medianen og gjennomsnittet.
b) Vurder hvilket av disse sentralmålene som best beskriver datamaterialet.
---
## E2021 del 2 oppgave 6 — Døgnforbruk og strømpris fra diagram
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Sentralmål, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnittspris per kWh og estimere delkostnad fra sammensatt stolpe- og linjediagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/dognforbruk-og-strompris-fra-diagram/
### Oppgavetekst
I diagrammet ser du strømforbruket (kWh) til Grethe 9. mars 2021.
a) Bestem gjennomsnittsprisen Grethe betaler per kilowattime (kWh) dette døgnet.
b) Omtrent hvor mye må Grethe betale for strømforbruket de seks første timene dette døgnet?
---
## E2021 del 2 oppgave 7 — Plastsirkler med økende areal og radius
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Finne diameter fra sirkelareal og bestemme endring i radius når arealet multipliseres med en faktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plastsirkler-med-okende-areal-og-radius/
### Oppgavetekst
En kunstner vil skjære ut en serie med sirkler av plast. Den minste sirkelen skal ha areal $10 \mathrm{~cm^2}$.
a) Hvor stor diameter må sirkelen ha?
Kunstneren vil skjære ut de neste sirklene slik at arealet av hver ny sirkel blir $1{,}44$ ganger så stort som arealet av den forrige.
b) Hvordan må han endre radius for hver gang for å få dette til?
---
## E2021 del 2 oppgave 8 — Vurdering av elevbesvarelser for ulikhet
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Argumentasjon, Grafisk løsning
- **Kort beskrivelse:** Vurdere algebraisk feil (divisjon med variabel) og grafisk løsning av ulikheten $x^2 \le 3x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vurdering-av-elevbesvarelser-for-ulikhet/
### Oppgavetekst
Fredrik og Cecilie har fått i oppgave å løse ulikheten $x^2 \le 3x$.
**Fredriks besvarelse:**
$$
\begin{aligned}
x^2 &\le 3x \\
\frac{x^2}{x} &\le \frac{3x}{x} \\
\underline{\underline{x &\le 3}}
\end{aligned}
$$
---
**Cecilies besvarelse:**
Vurder begge besvarelsene.
---
## E2021 del 2 oppgave 9 — Boliglån med inntektsgrense og egenkapital
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Lån, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Vurdere lånemulighet ut fra krav til egenkapital (15 %) og maksimal gjeldsgrad (5x inntekt).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boliglan-med-inntektsgrense-og-egenkapital/
### Oppgavetekst
Malene er sykepleier. I 2020 hadde hun en inntekt på $490\,000$ kroner.
Malene ønsker å kjøpe en leilighet. Leiligheten koster $2\,500\,000$ kroner.
På internett finner hun denne informasjonen:
> For å få boliglån må du ha betjeningsevne, betalingsvilje, sikkerhet og egenkapital.
>
> Du kan ikke låne mer enn 5 ganger inntekten din. Dette gjelder totalt lån inklusive studielån og forbrukslån.
>
> Du må ha minimum 15 % egenkapital til boligkjøp.
Malene har $400\,000$ kroner i egenkapital og $250\,000$ kroner i studielån.
Gjør beregninger og finn ut om Malene kan få stort nok lån slik at hun kan kjøpe leiligheten.
---
## E2021 del 2 oppgave 10 — Tidsbesparelse ved fartsovertredelse
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Fart, Regneark, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Modellere og beregne tidsbesparelse ved å kjøre over fartsgrensen for ulike hastigheter og distanser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tidsbesparelse-ved-fartsovertredelse/
### Oppgavetekst
1 000 nordmenn over hele landet har blitt spurt om sine holdninger til fart og fartsgrenser.
Av de spurte svarte 39 % at de har blitt straffet for å kjøre for fort. Samtidig kunne 86 % av kvinnene og 90 % av mennene innrømme at de av og til kjører for fort.
Omtrent halvparten av de spurte mente det er greit å kjøre over fartsgrensen. Hver tredje synes det er greit å kjøre mer enn $10 \mathrm{~km/h}$ over fartsgrensen i 30- eller 50-sonen, men nesten alle mener man godt kan kjøre mer enn $10 \mathrm{~km/h}$ over fartsgrensen i 100-sonen.
> Elev 1
> La oss si du kjører $10 \mathrm{~km/h}$ for fort. Da sparer du vel like mye uansett fartsgrense?
> Elev 2
> Hvis du skal kjøre en bestemt strekning, tror jeg at du sparer mindre tid jo høyere fartsgrensen er.
Gjør antakelser og forenklinger, og lag et regneark, et program eller en grafisk presentasjon som kan brukes til å beregne hvor mye tid man sparer på ulike distanser ved å kjøre over fartsgrensen.
---
## V2020 del 1 oppgave 1 — Frekvens og relativ frekvens for husarbeid
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde, og fylle inn frekvens- og relativ-frekvenstabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/frekvens-og-relativ-frekvens-for-husarbeid/
### Oppgavetekst
Trine har spurt 20 elever i klassen hvor mange ganger de hjalp til med husarbeid hjemme i løpet av en uke. Resultatene ser du nedenfor.
10 14 14 8 5 10 10 10 0 8 8 7 7 0 8 7 7 7 5 7
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
b) Tegn av og fyll ut tabellen nedenfor.
Forklar hva tallene i nest siste rad i tabellen betyr.
---
## V2020 del 1 oppgave 2 — Flybuss og bybane – prosentvis prisforskjell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis prisforskjell mellom to alternativer med ulikt referansegrunnlag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flybuss-og-bybane-prosentvis-prisforskjell/
### Oppgavetekst
For å reise til flyplassen kan Herman ta flybussen eller bybanen.
Flybussen koster 100 kroner, og bybanen koster 40 kroner.
a) Hvor mange prosent billigere er bybanen sammenlignet med flybussen?
b) Hvor mange prosent dyrere er flybussen sammenlignet med bybanen?
---
## V2020 del 1 oppgave 3 — Lineær og eksponentiell vekst forklart med eksempel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare forskjellen mellom lineær og eksponentiell vekst med egne eksempler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-vekst-forklart-med-eksempel/
### Oppgavetekst
Forklar forskjellen mellom lineær og eksponentiell vekst.
Ta med et eksempel på lineær vekst og et eksempel på eksponentiell vekst i forklaringen din.
---
## V2020 del 1 oppgave 4 — Hengelåser på broen i Paris – standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut antall gjenstander fra totalvekt og gjennomsnittsvekt, og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hengelaser-pa-broen-i-paris-standardform/
### Oppgavetekst
Forelskede par fester noen ganger en hengelås til en bro og kaster nøkkelen i vannet som et symbol på evig kjærlighet.
I 2015 måtte myndighetene i Paris bytte ut rekkverket på broen Pont des Arts fordi det ikke tålte tyngden av alle hengelåsene.
45 tonn med hengelåser ble fjernet.
Anta at hver hengelås i gjennomsnitt veide $50 \mathrm{~g}$.
Omtrent hvor mange hengelåser var det på rekkverket? Skriv tallet på standardform.
---
## V2020 del 1 oppgave 5 — Gjennomsnitt og histogram for kartleggingsprøve
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-histogram-for-kartleggingsprove/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser poengfordelingen på en kartleggingsprøve i matematikk i 2P-gruppene ved en skole.
| Poeng | Antall elever |
|-------|--------------|
| $[0, 10\rangle$ | 4 |
| $[10, 20\rangle$ | 12 |
| $[20, 30\rangle$ | 34 |
| $[30, 40\rangle$ | 30 |
| $[40, 60\rangle$ | 20 |
a) Bestem gjennomsnittet for dette datamaterialet.
b) Lag et histogram som viser fordelingen av poeng.
---
## V2020 del 1 oppgave 6 — Båt med verdifall og vekstfaktor
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Verdifall, Eksponentialfunksjon, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk for eksponentiell verdifall og vurdere om en påstand om fremtidig verdi er rimelig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bat-med-verdifall-og-vekstfaktor/
### Oppgavetekst
En båt har i dag en verdi på 200 000 kroner. Anta at båtens verdi synker med $5 \%$ hvert år framover.
a) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor mye båten vil være verdt om 10 år.
Anders påstår at båtens verdi vil være 100 000 kroner etter 10 år.
b) Forklar Anders hvorfor dette ikke kan være riktig.
---
## V2020 del 1 oppgave 7 — Figurmønster med grønne og hvite kvadrater
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall grønne kvadrater i figur 10 og bestemme et generelt uttrykk for antall grønne kvadrater avhengig av antall hvite kvadrater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-gronne-og-hvite-kvadrater/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små hvite kvadrater og små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur 10?
Sett opp et regnestykke som viser hvordan du har tenkt for å komme fram til dette svaret.
b) Bestem et uttrykk for antallet små grønne kvadrater når antall små hvite kvadrater er $n^2$.
---
## V2020 del 2 oppgave 1 — Daglengde i Mandal og Trondheim
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graf, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Analysere to kubikkfunksjoner for daglengde ved å tegne grafer, finne skjæringspunkt, gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart med tolkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/daglengde-i-mandal-og-trondheim/
### Oppgavetekst
Funksjonene $M$ og $T$ gitt ved
$$
M(x) = -0{,}0002x^3 + 0{,}046x^2 + 2x + 396 \qquad,\qquad 0 \leq x \leq 190
$$
$$
T(x) = -0{,}00028x^3 + 0{,}066x^2 + 2{,}2x + 295 \qquad,\qquad 0 \leq x \leq 190
$$
viser tilnærmet daglengde, $M(x)$ minutter i Mandal og $T(x)$ minutter i Trondheim, $x$ døgn etter 31. desember 2018.
a) Tegn grafene til $M$ og $T$ i samme koordinatsystem.
b) Når var daglengden lik i de to byene?
c) Hvor mange minutter økte daglengden i Mandal i gjennomsnitt med per dag fra 31. desember til 1. mai?
d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $T$ når $x = 60$.
Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
---
## V2020 del 2 oppgave 2 — Flypassasjerer Oslo–Bergen, Oslo–Stavanger, Oslo–Trondheim
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Tabeller og diagrammer, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage to ulike diagrammer fra passasjerdata – ett for endring over tid og ett for prosentvis fordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flypassasjerer-oslo-bergen-oslo-stavanger-oslo-trondheim/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange passasjerer som reiste med fly fra Oslo til Stavanger, Bergen og Trondheim i perioden fra 1. april til 30. juni, i 2018 og i 2019.
<table class="grid">
<thead>
<tr>
<th colspan="3">Antall passasjerer 1. april–30. juni</th>
</tr>
<tr>
<th>Flyruter</th>
<th>2018</th>
<th>2019</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>Oslo–Stavanger</td>
<td>223 653</td>
<td>215 615</td>
</tr>
<tr>
<td>Oslo–Bergen</td>
<td>270 427</td>
<td>255 117</td>
</tr>
<tr>
<td>Oslo–Trondheim</td>
<td>281 429</td>
<td>263 853</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Bruk tallene i tabellen til å lage to ulike diagrammer.
- Det første diagrammet skal vise endring i antall passasjerer fra 2018 til 2019 for hver av de tre flyrutene.
- Det andre diagrammet skal vise den prosentvise fordelingen av passasjerer mellom de tre flyrutene i 2019.
Lag de to diagrammene.
---
## V2020 del 2 oppgave 3 — Sparekonto med rente og opprinnelig beløp
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rente, Vekstfaktor, Sparing
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig beløp på sparekonto ved å reversere rentevekst over et gitt antall år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-rente-og-opprinnelig-belop/
### Oppgavetekst
Aina har i dag 100 000 kroner på en sparekonto. Pengene har stått urørt på kontoen i 5 år. Renten har vært $1{,}85 \%$ per år.
Hvor mye hadde hun på kontoen for 5 år siden?
---
## V2020 del 2 oppgave 4 — Hoppekreps – lineær og eksponentiell modell med regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Regresjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lineær og eksponentiell modell for populasjonsvekst, forklare parametre, finne tredjegradsmodell via regresjon og sammenligne modeller grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hoppekreps-lineaer-og-eksponentiell-modell-med-regresjon/
### Oppgavetekst
Lars og Lene forsker på hvordan antallet hoppekreps i et ferskvann endrer seg.
Tabellen nedenfor viser antall observerte hoppekreps noen dager i april og mai.
| Dato | 30.04 | 03.05 | 04.05 | 06.05 |
| ----------------- | --------- | ------ | ------ | ------- |
| Antall hoppekreps | 10 000 | 20 000 | 30 000 | 120 000 |
Ut fra disse observasjonene vil Lars og Lene lage ulike modeller.
De lar $x$ være antall dager etter 30. april.
Når Lars lager sin modell, antar han at antallet hoppekreps øker med et fast antall hver dag.
a) Bestem modellen han da får.
Gjør rede for hva hvert av tallene i modellen betyr i denne praktiske situasjonen.
Når Lene lager sin modell, antar hun at antallet hoppekreps øker med en fast prosent hver dag.
b) Bestem modellen hun da får.
Gjør rede for hva hvert av tallene i modellen betyr i denne praktiske situasjonen.
Ved å bruke regresjon har Lene i tillegg funnet modellen $h$ gitt ved
$$
h(x) = 1667x^3 - 10000x^2 + 18333x + 10000
$$
c) Vis hvordan hun har gått fram for å finne denne modellen.
d) Tegn grafen til modellen fra oppgave b) og grafen til $h$ i samme koordinatsystem, og beskriv forskjeller og likheter mellom de to modellene.
---
## V2020 del 2 oppgave 5 — Karakterfordeling i matematikk og norsk – standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnittskarakter fra diagram, argumentere for størrelse på standardavvik og vurdere påstander om sammenhengen mellom gjennomsnitt og standardavvik.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-i-matematikk-og-norsk-standardavvik/
### Oppgavetekst
Diagrammene ovenfor viser karakterfordelingen for 10. trinn i matematikk og norsk hovedmål våren 2019.
a) Bestem gjennomsnittskarakteren i matematikk og gjennomsnittskarakteren i norsk.
b) Hvordan kan du ut fra diagrammene argumentere for at standardavviket i matematikk er større enn standardavviket i norsk?
c) Hvilken/hvilke av påstandene nedenfor er riktig/riktige?
Husk å begrunne svarene dine.
1\) Dersom gjennomsnittet for et datasett A er høyere enn gjennomsnittet for et datasett B, vil standardavviket for A alltid være lavere enn standardavviket for B.
2\) Dersom standardavviket for et datasett er lik null, er alle verdiene i datasettet like.
---
## V2020 del 2 oppgave 6 — Sparekonto med trinnvis rente og regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Annuitetslån
- **Kort beskrivelse:** Simulere sparekonto med årlige innskudd og to ulike rentesatser avhengig av saldo ved hjelp av regneark, og beregne total renteinntekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-trinnvis-rente-og-regneark/
### Oppgavetekst
Linn har opprettet en sparekonto. Den 1. januar hvert år framover vil hun sette inn 25 000 kroner på kontoen.
Så lenge beløpet på kontoen er lavere enn 100 000 kroner, vil hun få en rente på $2{,}5 \%$ per år.
Når beløpet på kontoen passerer 100 000 kroner, vil hun få en rente på $3{,}5 \%$ per år.
a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye Linn vil ha på kontoen ved begynnelsen og slutten av hvert år de neste 10 årene.
b) Hvor mye har Linn til sammen fått i renter i løpet av disse 10 årene?
---
## V2020 del 2 oppgave 7 — Identifisere graf for eksponentiell nedgang
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Gjenkjenne og begrunne grafen til en eksponentielt avtagende størrelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identifisere-graf-for-eksponentiell-nedgang/
### Oppgavetekst
En størrelse avtar eksponentielt.
Hvilken av grafene illustrerer at størrelsen avtar eksponentielt? Begrunn svaret.
---
## V2020 del 2 oppgave 8 — Lønnsøkning over to år for Svein og Tore
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne samlet prosentvis lønnsøkning over to år med vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lonnsokning-over-to-ar-for-svein-og-tore/
### Oppgavetekst
Svein og Tore hadde lik lønn i 2017.
Svein fikk $4\ \text{\%}$ lønnsøkning i 2018 og $6\ \text{\%}$ lønnsøkning i 2019.
Tore fikk $8\ \text{\%}$ lønnsøkning i 2018 og $2\ \text{\%}$ lønnsøkning i 2019.
Hvem av de to hadde høyest lønn i 2019?
---
## H2020 del 1 oppgave 1 — Median og gjennomsnitt for trafikktellinger
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Beregne median, gjennomsnitt og kumulativ frekvens fra datasett, og tolke effekt av en prosentvis endring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-for-trafikktellinger/
### Oppgavetekst
En morgen førte Thale statistikk over hvor mange biler som passerte på grønt lys i lyskrysset ved skolen. Hun fikk med seg ti perioder med grønt lys. Nedenfor ser du hvor mange biler som passerte i hver av disse ti periodene.
$$
10 \quad 20 \quad 12 \quad 18 \quad 7 \quad 33 \quad 12 \quad 38 \quad 20 \quad 10
$$
a) Bestem medianen og gjennomsnittet for antall biler som passerte i løpet av en periode med grønt lys.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 18 passerte biler.
Hva forteller dette tallet?
Trafikketaten vurderer å korte ned tiden det er grønt lys, med 10 %.
c) Gjør nødvendige antakelser og beregninger, og anslå hva gjennomsnittet og medianen for Thales tall ville vært om tiden med grønt lys var kortet ned med 10 %.
---
## H2020 del 1 oppgave 2 — Standardform med store tall
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Utføre addisjon og divisjon med tall på standardform og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-med-store-tall/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{5 \cdot 10^{12} + 3{,}1 \cdot 10^{13}}{1{,}8 \cdot 10^{7}}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 3 — Gjennomsnittshøyde fra frekvenstabell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvenstabell og tegne tilhørende histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittshoyde-fra-frekvenstabell/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser en oversikt over høydene til elevene ved en skole.
| Høyde i cm | Frekvens |
|---|---|
| $[150, 160\rangle$ | 10 |
| $[160, 170\rangle$ | 30 |
| $[170, 180\rangle$ | 50 |
| $[180, 200\rangle$ | 10 |
a) Bestem gjennomsnittshøyden til elevene ved skolen.
b) Lag et histogram som viser fordelingen av høydene.
---
## H2020 del 1 oppgave 4 — Grafer for fire situasjoner
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graf, Graftolkning, Funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Skissere grafer som illustrerer ulike typer funksjonssammenhenger (eksponentiell, kvadratisk, omvendt proporsjonal, lineær) ut fra beskrevne situasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafer-for-fire-situasjoner/
### Oppgavetekst
Nedenfor er fire situasjoner beskrevet.
<table class="grid">
<tr>
<td><strong>Situasjon 1</strong><br><br>Verdien av en bil avtar med en fast prosent hvert år. Etter 5 år er verdien halvert.</td>
<td><strong>Situasjon 2</strong><br><br>Sigurd kaster et spyd. Spydet lander 60 m lenger borte.</td>
</tr>
<tr>
<td><strong>Situasjon 3</strong><br><br>Vi skal kjøpe gave til læreren vår. Jo flere som er med og betaler for gaven, jo billigere blir det for hver av oss.</td>
<td><strong>Situasjon 4</strong><br><br>Da Ulrikke gikk ned fra fjelltoppen, kom hun 100 m lavere i terrenget for hver time som gikk.</td>
</tr>
</table>
Skisser grafer som illustrerer de fire situasjonene. Skisser én graf for hver situasjon. Husk å skrive hvilken størrelse som kan leses av på hver av aksene.
---
## H2020 del 1 oppgave 5 — Lineær modell for klementinimport
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lage en lineær modell basert på et linjediagram som viser utvikling over tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-klementinimport/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser hvor mange tonn klementiner og mandariner Norge importerte hvert år fra og med 1989 til og med 2019.
Lag en lineær modell som tilnærmet beskriver utviklingen i denne perioden.
---
## H2020 del 1 oppgave 6 — Figurmønster med sirkler 2P-Y H20
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall elementer i figurtall, utlede et generelt uttrykk for figur n og beregne antall elementer i figur 20.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-2p-y-h20/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av sirkler. Sara vil fortsette å tegne figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange sirkler vil det være i figur 4?
Sara synes det er lettere å se et mønster dersom hun fargelegger noen av sirklene. Nedenfor ser du figur 2 etter at Sara har fargelagt den.
b) Bestem et uttrykk for antallet sirkler i figur $n$ uttrykt ved $n$.
c) Hvor mange sirkler vil det være i figur 20?
---
## H2020 del 2 oppgave 1 — Badestamp tømmes med kvadratisk funksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon, Vekstfart, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Analysere en kvadratisk funksjon som modellerer vannvolum over tid — tegne graf, finne tidspunkt, beregne gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/badestamp-tommes-med-kvadratisk-funksjon/
### Oppgavetekst
Kari tapper ut vannet av en badestamp. Volumet $V$ liter av vannet i badestampen $x$ minutter etter at hun har åpnet kranen, er gitt ved
$$
V(x) = 2 \cdot (30 - x)^2 \quad , \quad 0 \leq x \leq 30
$$
a) Tegn grafen til $V$.
b) Hvor lang tid tar det å tappe ut halvparten av vannet?
c) Hvor mye vann renner i gjennomsnitt ut per minutt fra Kari åpner kranen, til badestampen er tom?
d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ når $x = 15$.
Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## H2020 del 2 oppgave 2 — Minutter om til år på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Måleenheter, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Konvertere 15 minutter til år og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minutter-om-til-ar-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Utålmodige Tore roper til mor: «Hvor mange år er det til middag?»
«15 minutter», svarer moren.
Hvor mange år tilsvarer det? Skriv svaret på standardform.
---
## H2020 del 2 oppgave 3 — Juletrær importert i 2009
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Beregne opprinnelig verdi fra kjent prosentvis endring og sluttverdi (baklengs prosentregning med vekstfaktor).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/juletraer-importert-i-2009/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du hvor mange juletrær som ble importert til Norge i 2019. Det ble importert $20{,}1$ % færre juletrær i 2019 sammenliknet med i 2009.
Hvor mange juletrær ble importert til Norge i 2009?
---
## H2020 del 2 oppgave 4 — Sparekonto med faste årlige innskudd
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Annuitetslån
- **Kort beskrivelse:** Bruke regneark til å bestemme rentesats og beregne fremtidig saldo ved fast rente og faste innskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-faste-arlige-innskudd/
### Oppgavetekst
- Første januar 2014 opprettet Eline en sparekonto. Hun satte inn 15 000 kroner på kontoen.
- Første januar hvert år fra og med 2015 til og med 2020 satte hun inn 10 000 kroner på kontoen.
- Rett etter at hun satte inn 10 000 kroner første januar 2020, hadde hun til sammen 81 799 kroner på kontoen.
- Rentesatsen per år var den samme i hele perioden.
a) Lag et regneark som du kan bruke for å bestemme hva rentesatsen per år var i denne perioden.
Eline vil fortsette å spare slik det er beskrevet ovenfor, i fem år til. Hun har forhandlet med banken og vil få $3{,}0$ % rente per år fra og med første januar 2020.
b) Utvid regnearket fra oppgave a), og bestem hvor mye Eline vil ha på kontoen rett etter at hun har satt inn 10 000 kroner første januar 2025.
---
## H2020 del 2 oppgave 5 — Snødybde Oslo og Kautokeino julaften
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik fra histogram-data og vurdere riktigheten av en påstand om sammenhengen mellom gjennomsnitt og standardavvik.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snodybde-oslo-og-kautokeino-julaften/
### Oppgavetekst
Diagrammene nedenfor viser snødybden i Oslo og i Kautokeino julaften de 11 siste årene.
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for snødybdene i Oslo og for snødybdene i Kautokeino.
Etter å ha regnet ut gjennomsnittet for Oslo og Kautokeino kom Isak med følgende påstand:
«Siden gjennomsnittet for Kautokeino ble høyere enn gjennomsnittet for Oslo, må standardavviket for Kautokeino også bli høyere enn standardavviket for Oslo. Det er alltid slik at det datamaterialet som har høyest gjennomsnitt, også har høyest standardavvik.»
b) Er påstanden riktig? Begrunn svaret ditt.
---
## H2020 del 2 oppgave 6 — Innbyggervekst i nytt boligområde
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjoner, Regresjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Velge og begrunne en matematisk modell for vekst med avtakende økning, og bruke modellen til å estimere fremtidig antall innbyggere.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innbyggervekst-i-nytt-boligomrade/
### Oppgavetekst
I løpet av 1981 flyttet 2040 personer inn i et nytt boligområde. Diagrammet nedenfor viser hvor mange personer som bodde i boligområdet noen år i perioden 1981–2019.
Svein er byplanlegger i kommunen. Han antar at antall innbyggere i boligområdet vil fortsette å øke i årene framover, men at økningen vil avta.
La $x$ være antall år etter 1980.
a) Bruk opplysningene i diagrammet, Sveins antakelse og det du vet om ulike typer funksjoner, til å lage en modell som tilnærmet beskriver utviklingen. Begrunn valget av modell.
b) Hvor mange innbyggere vil det være i boligområdet i 2030 ifølge modellen du laget i oppgave a)? Hvordan stemmer dette antallet med Sveins antakelse?
---
## H2020 del 2 oppgave 7 — Leieavtaler for feriebolig
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Økonomi, Likninger, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Beregne totalkostnader for ulike leieavtaler og finne antall døgn der avtalene er like lønnsomme ved å sette opp og løse likninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leieavtaler-for-feriebolig/
### Oppgavetekst
Firmaet «Reiselyst» kjøper leiligheter ulike steder i verden. De leier ut leilighetene til kunder.
Kunder som ønsker å leie leiligheter, må betale en fast pris per år. I tillegg må de betale for hvert døgn de bruker en leilighet. Kundene kan velge mellom tre ulike leieavtaler.
<table class="grid">
<tr>
<td><strong>Avtale 1</strong><br><br>Fast pris per år: 22 000 kroner<br><br>Pris per døgn: 1200 kroner</td>
<td><strong>Avtale 2</strong><br><br>Fast pris per år: 28 000 kroner<br><br>Pris per døgn: 600 kroner</td>
<td><strong>Avtale 3</strong><br><br>Fast pris per år: 50 000 kroner<br><br>Pris per døgn: 200 kroner</td>
</tr>
</table>
En kunde planlegger å leie leiligheter 28 døgn i løpet av et år.
a) Hvor mye må kunden betale med hver av de tre avtalene?
b) Hvor mange døgn i løpet av et år kan en kunde leie leiligheter med hver av de tre avtalene før den totale prisen overstiger 53 000 kroner?
c) Hvor mange døgn må en kunde leie leiligheter i løpet av et år for at det skal lønne seg med henholdsvis avtale 1, avtale 2 og avtale 3?
---
## H2020 del 2 oppgave 8 — Boksplott for maksimumstemperatur i Trondheim og Oslo
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Avlese median, kvartiler, variasjonsbredde og vurdere dager fra boksplott.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boksplott-for-maksimumstemperatur-i-trondheim-og-oslo/
### Oppgavetekst
Inge har sett på maksimumstemperaturen i Trondheim og Oslo hvert døgn i januar 2020 og laget tabellene og diagrammene nedenfor.
a) Bruk diagrammet til høyre til å bestemme medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden og kvartilbredden for maksimumstemperaturene i Oslo. Forklar hvordan du finner disse verdiene.
b) Forklar hvordan vi kan se ut fra diagrammene at det i begge byene var omtrent 8 dager med en maksimumstemperatur på $3{,}6\ ^\circ\text{C}$ eller lavere.
---
## V2019 del 1 oppgave 1 — Median, gjennomsnitt og variasjonsbredde for telefon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt og variasjonsbredde fra et rådata-datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-gjennomsnitt-og-variasjonsbredde-for-telefon/
### Oppgavetekst
Petter har spurt 20 personer om hvor mange ganger de brukte telefonen sin til å ringe med i løpet av forrige helg. Resultatene ser du nedenfor.
0 4 2 6 3 2 1 1 3 5 3 8 1 9 5 2 0 2 2 1
Bestem medianen, gjennomsnittet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
---
## V2019 del 1 oppgave 2 — Opprinnelig pris etter prisreduksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når prisen er satt ned med en gitt prosent og ny pris er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/opprinnelig-pris-etter-prisreduksjon/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare ble satt ned med 20 %. Nå koster varen 640 kroner.
Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned?
---
## V2019 del 1 oppgave 3 — Regning med standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regne ut og skrive svar på standardform ved subtraksjon med potens av ti.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regning-med-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
7{,}03 \cdot 10^7 - 7\,000\,000
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 4 — Potensregning og forenkling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et sammensatt uttrykk med potensregler og negative eksponenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensregning-og-forenkling/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{2^0 + 2^3 \cdot 2^2 + \left(2^3\right)^2 - 2}{2 \cdot 2^2} + 2^{-3}
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 5 — Lineær modell for budfirma
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme stigningstall og konstantledd fra graf, og gi praktisk tolkning av parametrene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-budfirma/
### Oppgavetekst
Et budfirma henter små pakker hos forretninger. Pakkene kjøres ut til kunder.
Den totale prisen en forretning må betale for å få kjørt ut $x$ pakker, er gitt ved en lineær sammenheng $y = ax + b$. Grafen nedenfor illustrerer denne sammenhengen.
a) Bestem tallene $a$ og $b$.
b) Gi en praktisk tolkning av tallene $a$ og $b$ i denne oppgaven.
---
## V2019 del 1 oppgave 6 — Reisetid til skole - gjennomsnitt og histogram
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling, argumentere for median og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/reisetid-til-skole-gjennomsnitt-og-histogram/
### Oppgavetekst
Ved en skole ble 200 elever spurt om hvor lang reisetid de hadde fra bosted til skole. Se tabellen nedenfor.
| Reisetid i minutter | Frekvens |
|---|---|
| $[0, 10\rangle$ | 60 |
| $[10, 20\rangle$ | 80 |
| $[20, 40\rangle$ | 50 |
| $[40, 80\rangle$ | 10 |
| Totalt | 200 |
Stine påstår at medianen for datamaterialet er ca. 15 minutter.
a) Bestem gjennomsnittet for datamaterialet.
b) Hvordan kan hun argumentere for denne påstanden, og hvilken antakelse har hun gjort?
c) Lag et histogram som viser fordelingen av reisetider.
---
## V2019 del 1 oppgave 7 — Figurmønster med blå og grønne kvadrater
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Fullføre differansetabell, vise at antall kvadrater er $n^2+1$ geometrisk, og finne uttrykk for nytt mønster.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-bla-og-gronne-kvadrater/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små, blå kvadrater. Rikke vil fortsette å lage figurer etter samme mønster. Hun har sett på differansen mellom antall små, blå kvadrater i to etterfølgende figurer og begynt å fylle ut tabellen nedenfor.
| Figur nummer | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Antall kvadrater | 2 | 5 | 10 | | | | | |
| Differanse | | 3 | 5 | 7 | | | | |
Rikke påstår at antall små, blå kvadrater i figur $n$ er $n^2 + 1$.
Olav arbeider med figurene nedenfor. De er satt sammen av små, grønne kvadrater. Han vil fortsette å lage figurer etter dette mønsteret.
a) Skriv av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler.
b) Vis at påstanden stemmer for figur 2, figur 3 og figur 4 ved å lage nye tegninger, en for hver figur, der du plasserer de små, blå kvadratene på en annen måte.
c) Bestem et uttrykk for antall små, grønne kvadrater i figur $n$ uttrykt ved $n$.
---
## V2019 del 2 oppgave 1 — Vanntank med kubikkfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Graf, Vekstfart, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Tolke, tegne og analysere en kubikkfunksjon som modellerer vannmengde i tank over tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vanntank-med-kubikkfunksjon/
### Oppgavetekst
Et firma produserer vanntanker. Carl har undersøkt en av tankene og funnet ut at dersom tanken er full og kranen åpnes, vil det etter $x$ minutter være $V(x)$ liter vann igjen i tanken, der
$$
V(x) = (10 - 0{,}1x^2)^3 \qquad , \qquad 0 \leq x \leq 10
$$
a) Bestem $V(0)$, og gi en praktisk tolkning av svaret du får.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $V$.
c) Hvor lang tid går det fra kranen åpnes, til det er 400 L vann igjen i tanken?
d) Hvor mye vann renner i gjennomsnitt ut av tanken per minutt mens den tømmes?
e) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ når $x = 3$.
Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
---
## V2019 del 2 oppgave 2 — Endring i seertid på vanlig tv fra diagram
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lage diagrammer for absolutt og prosentvis endring i daglig tv-seertid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/endring-i-seertid-pa-vanlig-tv-fra-diagram/
### Oppgavetekst
Diagrammet nedenfor viser hvor mange minutter personer i ulike aldersgrupper brukte på å se på vanlig tv i gjennomsnitt i løpet av et døgn i 2015 og i 2017.
Bruk opplysningene du kan lese ut av diagrammet ovenfor og lag to nye diagrammer.
- Det ene diagrammet skal vise endring i seertid i minutter for hver aldersgruppe fra 2015 til 2017.
- Det andre diagrammet skal vise endring i seertid i prosent for hver aldersgruppe fra 2015 til 2017.
---
## V2019 del 2 oppgave 2 — Plastposer stables i Eiffeltårn-høyde
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Måleenheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Beregne høyde på stabel av plastposer og finne tid til bestemt høyde ved hjelp av enhetsomsetting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plastposer-stables-i-eiffeltarn-hoyde/
### Oppgavetekst
Det er $5{,}3$ millioner innbyggere i Norge. I gjennomsnitt kaster hver innbygger 180 plastposer hvert år. Normal tykkelse på plasten i en pose er $0{,}035 \mathrm{~mm}$.
Tenk deg at vi legger alle disse plastposene oppå hverandre i en stabel.
Eiffeltårnet i Paris er 324 m høyt.
a) Omtrent hvor høy ville stabelen blitt?
b) Hvor mange timer ville det gå før stabelen var like høy som Eiffeltårnet, dersom vi antar at det kastes like mange poser hver time?
---
## V2019 del 2 oppgave 3 — Laksens vekt og lengde - potensfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametere i potensfunksjon fra data og bruke modellen til å beregne prosentvis endring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/laksens-vekt-og-lengde-potensfunksjon/
### Oppgavetekst
Forskere har målt og veid laks i et område. Tabellen nedenfor viser sammenhørende verdier av lengde og vekt.
| Laksens lengde (cm) | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 105 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Laksens vekt (gram) | 1290 | 2190 | 3470 | 5110 | 7450 | 10 260 | 11 950 |
Anta at sammenhengen mellom laksens lengde $x$ cm og laksens vekt $V$ gram kan beskrives med en modell av typen
$$
V(x) = a \cdot x^b
$$
a) Bruk datamaterialet i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$.
b) Bruk modellen du nå har funnet, til å bestemme hvor mange prosent vekten på laksen øker med når lengden øker med 25 %.
---
## V2019 del 2 oppgave 4 — Mandler i poser - gjennomsnitt og standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik, og vurdere påstander om statistiske mål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mandler-i-poser-gjennomsnitt-og-standardavvik/
### Oppgavetekst
Emil og Ida selger poser med brente mandler for å samle inn penger i forbindelse med Operasjon Dagsverk. Begge har fylt 20 poser med mandler.
Nedenfor ser du hvor mange mandler det er i hver av posene Emil har fylt.
42 45 39 46 47
41 38 44 43 40
45 46 49 39 40
41 42 40 45 48
Ida har regnet ut gjennomsnitt og standardavvik for antall mandler i sine poser. Gjennomsnittet hennes er lavere enn Emils, men standardavviket er høyere.
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antallet mandler i posene til Emil.
b) Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør om hver enkelt påstand *kan* være riktig. Begrunn svarene dine.
1\) Ida har til sammen flere mandler enn Emil i posene sine.
2\) Ida har like mange mandler i hver av posene sine.
3\) Ida har like mange mandler i halvparten av posene sine.
---
## V2019 del 2 oppgave 5 — Buksepris ved nattåpent og eksponentialfunksjon
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme funksjonsuttrykk og beregne verdi for eksponentialfunksjon fra graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/buksepris-ved-nattapent-og-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
En butikk skal ha nattåpent fra klokka 20.00 til klokka 02.00. Eieren har bestemt seg for å selge et utvalg bukser til lavere og lavere priser utover kvelden og natten.
Ovenfor ser du grafen til en eksponentialfunksjon $f$. Grafen viser prisen for en bukse $x$ timer etter klokka 20.00.
a) Hvor mye vil en bukse koste når butikken stenger klokka 02.00?
b) Bestem funksjonsuttrykket til $f$.
---
## V2019 del 2 oppgave 5 — Knytte situasjoner til grafer
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Knytte fire beskrevne situasjoner til riktig graf blant åtte alternativer og begrunne valgene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/knytte-situasjoner-til-grafer/
### Oppgavetekst
Nedenfor er fire ulike situasjoner beskrevet. Det er også tegnet åtte grafer.
> Situasjon 1
> Jeg fant en butikk hvor de solgte ulike små sjokoladebiter. Jeg betalte 9 kroner for en kurv jeg kunne ha 15 sjokoladebitene i, og 15 kroner per hektogram sjokolade jeg puttet i kurven.
> Situasjon 2
> Jeg har arvet penger etter bestemor. Pengene har jeg satt på en sparekonto der jeg får en fast rente på 3,5 % per år.
> Situasjon 3
> Jeg leste en gang om en dyrebestand som levde på en øy. Dyrene formerte seg raskt, og bestanden ble større og større helt til det ble så mange dyr på øya at det ble vanskelig for alle å finne nok mat. Da ble det ikke født så mange dyr lenger, og antall fødte dyr per år var tilnærmet lik antall dyr som døde per år.
> Situasjon 4
> Jeg skulle sende en pakke med Posten i går og lurte på hvor mye jeg måtte betale i porto. Jeg fant denne oversikten på posten.no:
>
> | Vekt | Betal på posten.no |
> |---|---|
> | 0–10 kg | 145,– |
> | 10–25 kg | 260,– |
> | 25–35 kg | 370,– |
Hvilken graf beskriver situasjon 1?
Hvilken graf beskriver situasjon 2?
Hvilken graf beskriver situasjon 3?
Hvilken graf beskriver situasjon 4?
Husk å begrunne svarene dine.
Bestem hvilken graf (A–H) som beskriver hver av de fire situasjonene. Begrunn svarene dine.
---
## V2019 del 2 oppgave 7 — Sparekonto med fast og variabel rente
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rente, Sparing, Regresjon, Graf, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne fast og variabel rente på sparekonto ved hjelp av regneark og grafisk analyse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-fast-og-variabel-rente/
### Oppgavetekst
Etter et arveoppgjør fikk Petter utbetalt 850 000 kroner. Den 1. januar 2008 opprettet han en sparekonto og satte inn hele beløpet på denne kontoen. Han bestemte seg for at pengene skulle stå urørt i banken i ti år.
Han fikk da to ulike tilbud fra banken.
Tilbud 1: En fast årlig rentesats på 4 % per år disse ti årene.
Tilbud 2: En rentesats som ville endres én gang per år i tråd med svingninger i pengemarkedet. Det første året ville rentesatsen bli satt til 5,4 %.
Petter valgte tilbud 2. I regnearket nedenfor ser du hvilken rentesats han fikk hvert år de ti årene.
a) Hvor mye hadde Petter til sammen fått i renter i løpet av de ti årene om han hadde valgt tilbud 1?
b) Lag en tabell i et regneark som vist til høyre. Legg inn opplysningene i de hvite cellene. I de blå cellene skal du sette inn formler.
c) Lag en ny tabell i regnearket fra oppgave b). Den nye tabellen skal vise hvor mye Peter hadde fått i renter hvert år om han hadde valgt tilbud 1.
d) Bruk tabellen fra oppgave c) til å bestemme hva den faste rentesatsen i tilbud 1 måtte ha vært for at Petter til sammen skulle fått like mye renter ved å benytte seg av dette tilbudet som han fikk ved å benytte seg av tilbud 2.
e) Bruk graftegner til å tegne grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 850\,000 \cdot x^{10}
$$
Vis hvordan du kan bruke den grafiske framstillingen til å komme fram til svaret du fikk i oppgave d).
---
## H2019 del 1 oppgave 1 — Skjermtid median og frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt, kumulativ frekvens og relativ frekvens fra et datasett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skjermtid-median-og-frekvens/
### Oppgavetekst
Arne har spurt 20 elever i videregående skole hvor mange timer de bruker foran en skjerm i løpet av en vanlig dag. Resultatene ser du nedenfor.
$$
8 \quad 4 \quad 3 \quad 2 \quad 5 \quad 6 \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 3 \quad 4 \quad 3 \quad 4 \quad 3 \quad 5 \quad 5 \quad 6
$$
a) Bestem medianen og gjennomsnittet for dette datamaterialet.
b) Bestem den kumulative frekvensen og den relative frekvensen for 3 timer foran skjerm i løpet av en vanlig dag blant disse elevene.
---
## H2019 del 1 oppgave 2 — Hvite og røde terninger i eske
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Finne totalt antall gjenstander når andel og absolutt antall av én type er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hvite-og-rode-terninger-i-eske/
### Oppgavetekst
I en eske ligger det hvite og røde terninger. Av disse er 15 hvite og 40 % røde.
Hvor mange terninger er det totalt i esken?
---
## H2019 del 1 oppgave 3 — Brøk med standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Beregne en brøk med tall på standardform og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brok-med-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{1{,}2 \cdot 10^7 - 6{,}5 \cdot 10^6}{0{,}0005}
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 4 — Sorter potenser i stigende rekkefølge
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne og sortere uttrykk med potenser, inkludert negative og null-eksponenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-potenser-i-stigende-rekkefolge/
### Oppgavetekst
Regn ut og sorter tallene i stigende rekkefølge, fra minste verdi til største verdi
$$
75^0 \qquad 2^3 \cdot 2^2 \qquad \left(2^3\right)^2 \qquad 2^{-3} \qquad \frac{1}{4^2}
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 5 — Iris telefonselger lønn og alternativ
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Ulikheter, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær lønnsmodell, løse ulikhet og sammenligne to lønnsalternativer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/iris-telefonselger-lonn-og-alternativ/
### Oppgavetekst
Iris jobber som telefonselger noen kvelder i uka. Hun har en fast lønn på 60 kroner per time. I tillegg tjener hun 40 kroner for hvert produkt hun selger.
a) Lag en modell som viser sammenhengen mellom antall produkter Iris selger i løpet av én time, og timelønnen hennes denne timen.
b) Hvor mange produkter må Iris selge for å få en timelønn som er høyere enn 200 kroner?
Iris har forhandlet om høyere lønn og fått to alternative tilbud.
| | |
|---|---|
| Alternativ 1: | Hun får 50 kroner mer i fast lønn per time, men fremdeles 40 kroner for hvert produkt hun selger. |
| Alternativ 2: | Hun får fremdeles en fast lønn på 60 kroner per time, men beløpet hun får for hvert produkt hun selger, økes med 20 %. |
c) Gjør beregninger, og gi Iris noen råd om hvilket alternativ hun bør velge.
---
## H2019 del 1 oppgave 6 — Filmlengder gjennomsnitt og histogram
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling og tegne tilhørende histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/filmlengder-gjennomsnitt-og-histogram/
### Oppgavetekst
Tone samler på filmer. Tabellen nedenfor viser hvor lange filmene hennes er.
| Lengde i minutter | Frekvens |
|---|---|
| $[60, 80\rangle$ | 40 |
| $[80, 120\rangle$ | 100 |
| $[120, 140\rangle$ | 40 |
| $[140, 180\rangle$ | 20 |
a) Bestem gjennomsnittslengden for filmene.
b) Lag et histogram som viser fordelingen av lengden på filmene.
---
## H2019 del 1 oppgave 7 — Figurmønster med sirkler triangel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne antall elementer i figurtall, bestemme generelt uttrykk og beregne for stor figur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-med-sirkler-triangel/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Dina vil fortsette å tegne figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4?
b) Bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$ uttrykt ved $n$.
c) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 100?
---
## H2019 del 2 oppgave 1 — Seibestand i Arktis polynomfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Graf, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke og analysere polynomfunksjon som modell for fiskebestand — graf, terskel, gjennomsnittlig vekst og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/seibestand-i-arktis-polynomfunksjon/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal vi bruke funksjonen $S$ gitt ved
$$
S(x) = -3x^4 + 305x^3 - 9000x^2 + 66000x + 495000 \,, \quad 0 \leq x \leq 50
$$
som en modell for seibestanden $S(x)$ tonn i Arktis $x$ år etter 1960.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $S$.
b) I hvor mange år var seibestanden lavere enn 450 000 tonn?
c) Hvor mange tonn steg seibestanden i gjennomsnitt med per år fra den var på sitt laveste, til den var på sitt høyeste?
d) Bestem den momentane vekstfarten til $S$ i 1970.
Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## H2019 del 2 oppgave 2 — Oscar-vinnere alder statistikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Beregne statistiske mål for aldersfordeling og sammenligne to grupper ut fra statistikkverdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oscar-vinnere-alder-statistikk/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en liste over skuespillere som har vunnet Oscar for beste kvinnelige hovedrolle de siste 20 årene.
| År | Navn | Alder | | År | Navn | Alder |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2018 | Olivia Colman | 44 | | 2008 | Kate Winslet | 33 |
| 2017 | Frances McDormand | 60 | | 2007 | Marion Cotillard | 32 |
| 2016 | Emma Stone | 28 | | 2006 | Helen Mirren | 61 |
| 2015 | Brie Larson | 26 | | 2005 | Reese Witherspoon | 29 |
| 2014 | Julianne Moore | 54 | | 2004 | Hilary Swank | 30 |
| 2013 | Cate Blanchett | 44 | | 2003 | Charlize Theron | 28 |
| 2012 | Jennifer Lawrence | 22 | | 2002 | Nicole Kidman | 35 |
| 2011 | Meryl Streep | 62 | | 2001 | Halle Berry | 35 |
| 2010 | Natalie Portman | 29 | | 2000 | Julia Roberts | 33 |
| 2009 | Sandra Bullock | 45 | | 1999 | Hilary Swank | 25 |
a) Bestem gjennomsnittet, medianen, variasjonsbredden og standardavviket for alderen til de kvinnelige prisvinnerne disse 20 årene.
Tabellen nedenfor viser tilsvarende verdier for skuespillere som har vunnet Oscar for beste mannlige hovedrolle de siste 20 årene.
| | |
|---|---|
| Gjennomsnitt | 44 år |
| Median | 43,5 år |
| Variasjonsbredde | 31 år |
| Standardavvik | 8 år |
b) Hva kan du si om aldersfordelingen blant de mannlige skuespillerne sammenliknet med de kvinnelige ut fra disse verdiene og resultatene fra oppgave a)?
---
## H2019 del 2 oppgave 3 — Ballongbredde potensmodell regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametere i potensmodell fra datamateriale og bruke modellen til å finne ukjent tidspunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ballongbredde-potensmodell-regresjon/
### Oppgavetekst
Ronny lager ballongdekorasjoner. Han har undersøkt hvor lang tid det tar å blåse opp en ballong. Tabellen nedenfor viser hvor bred en ballong i gjennomsnitt er hvert sekund de fem første sekundene etter at han begynner å blåse den opp.
| Tid (sekunder) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Bredde (cm) | 13,5 | 17,9 | 20,3 | 23,3 | 25,2 |
Ronny antar at sammenhengen mellom tiden $x$ sekunder og bredden $B$ cm kan beskrives med en modell av typen
$$
B(x) = p \cdot x^q
$$
a) Bruk datamaterialet i tabellen til å bestemme tallene $p$ og $q$.
b) Hvor lang tid vil det gå fra han begynner å blåse opp en ballong, til den er 30 cm bred, ifølge modellen i oppgave a)?
---
## H2019 del 2 oppgave 4 — Landmil og kilometer lineær funksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme stigningstall fra graf og bruke proporsjonal sammenheng til å omregne måleenheter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/landmil-og-kilometer-lineaer-funksjon/
### Oppgavetekst
Landmil er en gammel norsk målenhet. Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom landmil og kilometer.
a) Bestem stigningstallet til den rette linjen.
Ved utgangen av 1600-tallet skulle posten bruke 4,5 døgn mellom Christiania (Oslo) og København. Transporttiden svarte til at posten i gjennomsnitt skulle bruke 2 timer per landmil.
b) Hvor mange landmil var denne postruten?
Hvor mange kilometer tilsvarer dette?
---
## H2019 del 2 oppgave 5 — Aksjeverdi prosentvis fall regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Verdifall, Prosentregning, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Bruke regneark til å beregne verdifall med fast prosentvis nedgang over tid og finne samlet prosentvis endring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aksjeverdi-prosentvis-fall-regneark/
### Oppgavetekst
Verdien av en aksje har falt med 8,5 % hver måned siden januar 2019. I oktober 2019 var aksjen verd 1 500 kroner. Anta at verdien av aksjen vil fortsette å avta med 8,5 % hver måned.
Bruk regneark til å lage en tabell som viser verdien av aksjen hver måned fra januar 2019 til mai 2020.
Regnearket skal også vise hvor mange prosent verdien av aksjen totalt har falt med i denne perioden.
---
## H2019 del 2 oppgave 6 — Cruiseanløp radardiagram standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Spredningsmål, Diagram, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tolke radardiagram for å sammenligne gjennomsnitt og standardavvik for tre grupper uten beregning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/cruiseanlop-radardiagram-standardavvik/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser antall cruiseanløp hver måned i 2018 i tre ulike havner, havn A, havn B og havn C.
Svar på oppgave a), b) og c) ved å argumentere ut fra diagrammet, uten å utføre beregninger.
a) Hvilken havn hadde i gjennomsnitt flest cruiseanløp i 2018?
b) Hvilken havn hadde størst standardavvik for antall cruiseanløp i 2018?
c) Omtrent hvor stort vil du anslå at standardavviket for antall cruiseanløp i havn B var i 2018?
---
## H2019 del 2 oppgave 7 — Eksponentiell vekst skritt til månen
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Forklare eksponentiell vekst, beregne skritt med dobling og bruke regneark til å finne startverdi som gir ønsket sum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-vekst-skritt-til-manen/
### Oppgavetekst
a) Forklar hva eksponentiell vekst er.
Nedenfor ser du et utdrag fra en artikkel der eksponentiell vekst blir forklart med et eksempel.
> «Om du kunne ta 30 *eksponentielle* skritt, der skrittlengden blir doblet for hvert skritt, ville du endt opp på månen.»
Anta at det første skrittet er på $0{,}5 \mathrm{~m}$.
b) Hvor langt vil skritt nummer 30 da være ifølge utdraget fra artikkelen?
Avstanden fra jorda til månen er $384\,400 \mathrm{~km}$.
c) Bruk regneark til å undersøke hvor langt det første skrittet må være for at du skal ende opp på månen etter 30 skritt.
---
## H2019 del 2 oppgave 8 — Cruiseskip og passasjerer i Nord-Norge
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis endring og gjennomsnittlig passasjertall per cruiseskip.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/cruiseskip-og-passasjerer-i-nord-norge/
### Oppgavetekst
Mange turister reiser på cruise i Nord-Norge.
- I 2017 anløp 380 cruiseskip havner i Nord-Norge. I 2018 økte antall anløp til 457.
- I 2018 var det totalt $487\ 000$ passasjerer på cruiseskipene. Dette var en økning på $16\ \text{\%}$ fra 2017.
a) Hvor mange prosent økte antall anløp med fra 2017 til 2018?
b) Hvor mange passasjerer var det totalt på cruiseskipene i 2017?
c) Hvor mange prosent endret gjennomsnittlig antall passasjerer per skip seg med fra 2017 til 2018?
---
## V2018 del 1 oppgave 1 — Variasjonsbredde og gjennomsnitt for kortpoeng
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne variasjonsbredde og gjennomsnitt fra et datasett med åtte verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/variasjonsbredde-og-gjennomsnitt-for-kortpoeng/
### Oppgavetekst
Markus og vennene hans spiller kort. Nedenfor ser du hvor mange poeng Markus fikk i hver av de siste åtte rundene.
| Runde | Poengsum Markus |
|:-----:|:---------------:|
| 1 | 20 |
| 2 | $-15$ |
| 3 | 5 |
| 4 | 15 |
| 5 | $-8$ |
| 6 | $-3$ |
| 7 | $-24$ |
| 8 | 30 |
Bestem variasjonsbredden og gjennomsnittet for poengsummene.
---
## V2018 del 1 oppgave 2 — Antall bakterier i en kjøkkensvamp på standardform
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform
- **Kort beskrivelse:** Beregne totalt antall bakterier fra volum og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-bakterier-i-en-kjokkensvamp-pa-standardform/
### Oppgavetekst
I en kjøkkensvamp er det $40$ milliarder bakterier per kubikkcentimeter. Svampen har et volum på $0{,}15\ \mathrm{dm^3}$.
Hvor mange bakterier er det i hele svampen? Skriv svaret på standardform.
---
## V2018 del 1 oppgave 4 — BMI-fordeling med frekvens og kumulativ frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Fullføre frekvenstabell med kumulativ og relativ frekvens, tolke grå celler og avgjøre median-kategori.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bmi-fordeling-med-frekvens-og-kumulativ-frekvens/
### Oppgavetekst
BMI (Body Mass Index) er en internasjonal standard fra Verdens helseorganisasjon. Standarden indikerer om voksne over 19 år er undervektige, har normal vekt eller er overvektige. Se tabellen nedenfor.
| BMI | Kategori |
| :--------: | :---------: |
| ⟨←, 18,5⟩ | Undervektig |
| [18,5, 25⟩ | Normal vekt |
| [25, 30⟩ | Overvektig |
| [30, →⟩ | Fedme |
Et år deltok 1000 personer i en undersøkelse av BMI. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
<table class="grid">
<thead>
<tr>
<th>BMI</th>
<th>Frekvens</th>
<th>Kumulativ frekvens</th>
<th>Relativ frekvens</th>
<th>Kumulativ relativ frekvens</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>[17, 18,5⟩</td>
<td>20</td>
<td></td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td>[18,5, 25⟩</td>
<td></td>
<td style="background:rgba(128,128,128,0.4)">520</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td>[25, 30⟩</td>
<td></td>
<td></td>
<td style="background:rgba(128,128,128,0.4)">0,4</td>
<td style="background:rgba(128,128,128,0.4)">0,92</td>
</tr>
<tr>
<td>[30, 32⟩</td>
<td style="background:rgba(128,128,128,0.4)">80</td>
<td></td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
</tbody>
</table>
a) Tegn av tabellen, og fyll inn tallene som mangler.
Fire av cellene i tabellen er grå.
b) Forklar hva hvert av tallene i disse grå cellene forteller om personene som deltok i undersøkelsen.
c) Forklar hvordan vi kan se at medianen ligger i kategorien «Normal vekt».
---
## V2018 del 1 oppgave 5 — Figurtall med sirkler i sekskanter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Rekursiv sammenheng
- **Kort beskrivelse:** Finne og generalisere mønster for antall sirkler og sekskanter i figurtall bygget av heksagonale lag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-sirkler-i-sekskanter/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Hans og Grete vil fortsette å lage figurer etter samme mønster. De vil også se på ulike sammenhenger mellom antall sirkler i figurene.
Hans starter med figur nummer 2 og ser på sirklene i de ytterste sekskantene. Han fargelegger disse sirklene blå og setter opp tabellen til høyre nedenfor.
| Figurnummer | Antall sekskanter | Antall sirkler i ytterste sekskant |
|:-----------:|:-----------------:|:----------------------------------:|
| 2 | 1 | 6 |
| 3 | 2 | 12 |
| 4 | | |
| 5 | | |
| $n$ | | |
a) Skriv av tabellen, og fyll ut det som mangler.
b) En figur har 246 sirkler i den ytterste sekskanten. Hvor mange sekskanter er det i denne figuren?
Grete ser at sirklene ligger på rader. Hun stipler linjer og fargelegger slik at alle sirklene på én rad har samme farge. Etterpå setter hun opp tabellen til høyre nedenfor.
| Figurnummer | Antall rader | Antall sirkler i hver rad | Antall sirkler i figuren |
|:-----------:|:------------:|:------------------------:|:------------------------:|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 2 | 6 |
| 3 | 5 | 3 | 15 |
| 4 | | | |
| $n$ | | | |
c) Skriv av tabellen, og fyll ut det som mangler.
d) Hvor mange sirkler vil det være i figur nummer 100?
---
## V2018 del 1 oppgave 6 — Dyrebestand med lineær og eksponentiell modell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær og eksponentiell modell for avtagende dyrebestand, og sammenligne dem etter 10 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/dyrebestand-med-lineaer-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
En dyrebestand består i dag av 12 000 dyr. En gruppe forskere antar at bestanden vil avta lineært, og at det vil være 6 000 dyr igjen om 10 år.
a) Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år dersom antakelsen er riktig.
En annen gruppe forskere antar at bestanden vil avta eksponensielt, og at det vil være 11 400 dyr igjen om ett år.
b) Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år dersom denne antakelsen er riktig.
c) Ifølge hvilken av de to modellene ovenfor vil det være færrest dyr igjen i bestanden om 10 år?
---
## V2018 del 2 oppgave 1 — Havisdekke rundt Antarktis med kubikkfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf av kubikkfunksjon, lese av løsning grafisk, beregne gjennomsnittlig endring og momentan vekstfart med tolkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/havisdekke-rundt-antarktis-med-kubikkfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $A$ gitt ved
$$
A(x) = -0{,}08x^3 + 1{,}29x^2 - 3{,}9x + 6{,}2 \qquad , \qquad 0 \leq x \leq 12
$$
viser hvor mange millioner kvadratkilometer $A(x)$ rundt Antarktis som var dekket av havis $x$ måneder etter 1. januar 2017.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $A$.
b) Hvor lenge var mer enn 10 millioner kvadratkilometer dekket av havis?
c) Hvor mange kvadratkilometer økte området som var dekket av havis, i gjennomsnitt med per måned fra 1. mars til 1. september?
d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $A$ når $x = 5$. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
---
## V2018 del 2 oppgave 2 — Bilverdi med fast prosentvis nedgang
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Beregne fremtidig og tidligere verdi med vekstfaktor $0{,}88$ fra kjent nåverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bilverdi-med-fast-prosentvis-nedgang/
### Oppgavetekst
Verdien av en bil har avtatt med 12 % hvert år siden den var ny. Vi antar at verdien vil fortsette å avta med 12 % hvert år framover. I dag er bilen verd 300 000 kroner.
a) Hvor mye vil bilen være verd om fem år?
b) Hvor mye var bilen verd for fem år siden?
---
## V2018 del 2 oppgave 2 — Elever og elevplasser før og etter skoleutbygging
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentandel og opprinnelig verdi ved prosentvis økning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elever-og-elevplasser-for-og-etter-skoleutbygging/
### Oppgavetekst
I klassen til Mats er det $25$ elever. $20\ \text{\%}$ av elevene har bodd i Norge i mindre enn fire år.
a) Hvor mange av elevene i klassen har bodd i Norge i mindre enn fire år?
Skolen Mats går på, er pusset opp og bygd ut. Nå er det $1500$ elevplasser ved skolen. Dette er $150\ \text{\%}$ flere elevplasser enn før utbyggingen.
b) Hvor mange elevplasser var det ved skolen før utbyggingen?
---
## V2018 del 2 oppgave 3 — Histogram og søylediagram for aldersfordeling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lese av histogram med ulike klassebredder for å finne frekvenser, tegne søylediagram og vurdere egnethet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/histogram-og-soylediagram-for-aldersfordeling/
### Oppgavetekst
Per og Kari vil lage et diagram som viser aldersfordelingen til innbyggerne i et boligområde. De diskuterer om de skal bruke et histogram eller et søylediagram.
Ut fra opplysningene de har fått, lager Per histogrammet nedenfor. Innbyggerne er delt inn i fem aldersgrupper.
a) Hvor mange personer bor i boligområdet?
Kari lurer på om et søylediagram vil være bedre egnet.
b) Lag et søylediagram som viser hvor mange personer det er i hver aldersgruppe.
c) Mener du et søylediagram eller et histogram er best egnet til å illustrere dette datamaterialet?
---
## V2018 del 2 oppgave 3 — Nedgang i CO2-utslipp for bensinbiler fra linjediagram
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lese av linjediagram og beregne prosentvis nedgang i CO2-utslipp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nedgang-i-co2-utslipp-for-bensinbiler-fra-linjediagram/
### Oppgavetekst
Diagrammet nedenfor viser gjennomsnittlig $\mathrm{CO_2}$-utslipp for registrerte nye personbiler i 2016 og 2017.
Hvor mange prosent gikk gjennomsnittlig $\mathrm{CO_2}$-utslipp for bensinbiler ned med fra januar 2016 til oktober 2017?
---
## V2018 del 2 oppgave 4 — Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Vekstfart, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Verifisere eksponentiell regresjonsmodell for verdensbefolkning, lese av vekstrate, beregne gjennomsnittlig vekstfart og vurdere modellens gyldighet for fremtidsprognoser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdensbefolkning-med-eksponentiell-regresjon/
### Oppgavetekst
| Årstall | 1920 | 1940 | 1960 | 1980 | 2000 | 2010 | 2017 |
|:-------:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Folketall i millioner | 1902 | 2285 | 2991 | 4401 | 6088 | 6889 | 7474 |
Tabellen ovenfor viser folketallet i verden noen utvalgte år i perioden fra 1920 til 2017.
a) La $x$ være antall år etter 1. januar 1920, og bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^x
$$
er en modell som passer godt med tallene i tabellen.
b) Hvor mange prosent har folketallet økt med per år ifølge modellen i oppgave a)?
c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra $x = 70$ til $x = 95$. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
FN har utarbeidet prognoser som viser at folketallet i verden vil være 9,8 milliarder i år 2050 og 11,2 milliarder i år 2100.
d) Vurder om modellen i oppgave a) samsvarer med disse prognosene.
---
## V2018 del 2 oppgave 5 — Karakterfordeling med regneark og gjennomsnitt
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Regneark
- **Kort beskrivelse:** Lese av søylediagram for karakterfordeling, sette opp regneark for gjennomsnitt og standardavvik, og beregne samlet gjennomsnitt for to grupper.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-med-regneark-og-gjennomsnitt/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser karakterfordelingen ved en matematikkeksamen et år.
a) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 4 eller bedre?
b) Lag et regneark som vist nedenfor. Legg inn verdier i de hvite cellene og formler i de blå cellene. Bruk regnearket til å bestemme gjennomsnittskarakteren og standardavviket til karakterfordelingen.
Året etter var det 180 elever som hadde eksamen. Gjennomsnittskarakteren dette året var 3,25.
c) Hva var gjennomsnittskarakteren dersom vi ser disse to årene under ett?
---
## H2018 del 1 oppgave 1 — Sentralmål for kantinehandling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme median, gjennomsnitt, typetall og variasjonsbredde for et lite datasett med 10 verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-for-kantinehandling/
### Oppgavetekst
Lotte har spurt ti medelever om hvor mange ganger de handler i kantina i løpet av en uke. Resultatene ser du nedenfor.
$$
1 \quad 5 \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad 4 \quad 2 \quad 4 \quad 0
$$
Bestem medianen, gjennomsnittet, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
---
## H2018 del 1 oppgave 2 — Baklengs prosentregning med prisøkning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når en prosentvis økning på 5 % tilsvarer 40 kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/baklengs-prosentregning-med-prisokning/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare ble satt opp med 5 %. Dette tilsvarte en prisøkning på 40 kroner.
Hvor mye kostet varen før prisen ble satt opp?
---
## H2018 del 1 oppgave 3 — Antall kaffekoppar i Norge på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Dividere totalt kaffeforbruk på kopp-volum og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-kaffekoppar-i-norge-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Anta at det drikkes $1\,920\,000 \mathrm{~L}$ kaffe i Norge hver dag, og at én kopp rommer $1{,}5 \mathrm{~dL}$.
Hvor mange kopper kaffe drikkes det da i Norge hver dag? Skriv svaret på standardform.
---
## H2018 del 1 oppgave 4 — Potensuttrykk med heltall
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne $3^3 \cdot \frac{1}{9} - 2^3(4-1)$ ved å anvende potensregler og rekkefølge for regneoperasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-med-heltall/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
3^3 \cdot \frac{1}{9} - 2^3(4-1)
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 5 — Kumulativ frekvens for håndballmål
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Lese av og beregne fra kumulativ frekvenstabell for antall mål i håndball.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kumulativ-frekvens-for-handballmal/
### Oppgavetekst
Tone spiller håndball. Tabellen nedenfor viser den kumulative frekvensen for antall mål hun skåret i de seks første kampene hun spilte.
| Kamp nummer | Kumulativ frekvens for antall mål Tone skåret |
|:-----------:|:---------------------------------------------:|
| 1 | 4 |
| 2 | 12 |
| 3 | 15 |
| 4 | 21 |
| 5 | 25 |
| 6 | 30 |
a) Hvor mange mål skåret Tone i kamp nummer 4?
b) Hvor mange mål skåret Tone i gjennomsnitt per kamp?
---
## H2018 del 1 oppgave 6 — Klassedelt datamateriale for daglige skritt
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra klassedelt frekvenstabel med klassemidte-metoden, og tegne histogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klassedelt-datamateriale-for-daglige-skritt/
### Oppgavetekst
Grethe har en klokke som registrerer hvor mange tusen skritt hun går hver dag. Ut fra målingene de 14 siste dagene har hun satt opp tabellen nedenfor.
| Antall tusen skritt | Antall dager |
|:-------------------:|:------------:|
| $\left[0, 10\right\rangle$ | 4 |
| $\left[10, 15\right\rangle$ | 3 |
| $\left[15, 20\right\rangle$ | 3 |
| $\left[20, 30\right\rangle$ | 4 |
a) Bestem gjennomsnittet for det klassedelte datamaterialet.
b) Lag et histogram som illustrerer fordelingen i tabellen.
---
## H2018 del 1 oppgave 7 — Løpetur på tredemølle med to farter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Grafisk framstilling
- **Kort beskrivelse:** Omregne fart til tid per km, tegne grafisk framstilling av løpetur med to hastigheter og beregne gjennomsnittlig tid per km.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lopetur-pa-tredemolle-med-to-farter/
### Oppgavetekst
Anne trener på en tredemølle. I en treningsøkt løp hun til sammen 10 km. Hun startet med å løpe 3 km med en fart på 10 km/h. Så løp hun 7 km med en fart på 12 km/h.
a) Forklar at Anne bruker 6 minutter på hver kilometer når farten er 10 km/h.
b) Hvor mange minutter bruker Anne på hver kilometer når farten er 12 km/h?
c) Lag et koordinatsystem med strekning i kilometer langs $x$-aksen og tid i minutter langs $y$-aksen. Lag en grafisk framstilling som illustrerer løpeturen til Anne i dette koordinatsystemet.
d) Hvor mange minutter brukte Anne i gjennomsnitt på hver kilometer hun løp?
---
## H2018 del 1 oppgave 8 — Figurtall med blå kvadrater i korsform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Tegne neste figur i mønster, bestemme antall kvadrater i figur 5, finne generelt uttrykk for figur $n$ og beregne figur 100.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-bla-kvadrater-i-korsform/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små, blå kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Tegn figur 4.
b) Hvor mange små, blå kvadrater vil det være i figur 5?
c) Bestem et uttrykk for antall små, blå kvadrater i figur $n$ uttrykt ved $n$.
d) Hvor mange små, blå kvadrater vil det være i figur 100?
---
## H2018 del 2 oppgave 1 — Aksjemodell med fjerdegradspolynom
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Vekstfart, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne og analysere fjerdegradspolynom som aksjemodell; avlese ulikheter grafisk, bestemme min/maks, beregne gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aksjemodell-med-fjerdegradspolynom/
### Oppgavetekst
Anta at funksjonen $A$ gitt ved
$$
A(x) = 0{,}002x^4 - 0{,}13x^3 + 2{,}75x^2 - 18x + 118 \quad , \quad 0 \leq x \leq 30
$$
kan brukes som en modell som viser verdien $A(x)$ kroner av en aksje $x$ uker etter 01.01.2017.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $A$.
b) I hvor mange uker var verdien av aksjen lavere enn 92 kroner?
c) Bestem forskjellen mellom laveste og høyeste verdi av aksjen de 30 første ukene av 2017.
d) Hvor mye steg aksjen i verdi i gjennomsnitt per uke de 30 første ukene i 2017?
e) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $A$ når $x = 22$. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
---
## H2018 del 2 oppgave 2 — Prosentvis nedgang i TV-titting fra diagram
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Prosentregning, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Avlese to verdier fra linjediagram og beregne prosentvis nedgang i TV-titting for aldersgruppen 16–24 år fra 2006 til 2016.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-nedgang-i-tv-titting-fra-diagram/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser hvor mange minutter personer i Norge i gjennomsnitt så på TV per dag i perioden fra 1991 til 2016.
Omtrent hvor mange prosent gikk tiden personer mellom 16 og 24 år så på TV per dag, ned med fra 2006 til 2016?
---
## H2018 del 2 oppgave 3 — Sparekonto med fast rente og uttak
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Sparing, Regneark
- **Kort beskrivelse:** Beregne kontobeløp etter geometrisk vekst, bruke regneark til å finne antall år til målet og modellere uttak fra kontoen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-med-fast-rente-og-uttak/
### Oppgavetekst
I begynnelsen av år 2010 satte Truls inn 40 000 kroner på en ny sparekonto. Pengene har siden stått urørt. Kontoen har en fast årlig rente på 3,2 %.
Truls vil fortsatt la pengene stå urørt på kontoen.
a) Hvor mye vil han ha på kontoen i begynnelsen av 2019?
b) Lag et regneark som viser hvor mange år det vil gå fra han satte inn pengene, til han har 60 000 kroner på kontoen.
Når beløpet på kontoen har passert 100 000 kroner, vil Truls begynne å ta ut penger. Han vil ta ut 8000 kroner i begynnelsen av hvert år.
c) Utvid regnearket fra oppgave b) slik at det viser hvor mange uttak han kan gjøre før kontoen er tom.
---
## H2018 del 2 oppgave 4 — Vanntank i form av kjegle med potensfunksjonsmodell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Volum
- **Kort beskrivelse:** Vise at potensfunksjonsregresjon $H(x) = 3{,}31 \cdot x^{0{,}33}$ passer tabelldata, og bruke modellen til å finne tid og volum når tanken er full.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vanntank-i-form-av-kjegle-med-potensfunksjonsmodell/
### Oppgavetekst
En vanntank har form som en rett kjegle. Tanken er 10 m høy. Se skissen ovenfor. En pumpe fyller $18 \mathrm{~m^3}$ vann på tanken hver time. Det tappes ikke noe vann ut av tanken. Tabellen nedenfor viser vannivået i tanken ved ulike tidspunkt. Når vannivået er 10 m, er tanken full.
| Antall timer etter at fyllingen startet | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Vannivå (meter) | $3{,}3$ | $4{,}2$ | $5{,}2$ | $6{,}0$ | $6{,}6$ | $7{,}1$ |
a) La $x$ være antall timer etter at fyllingen startet, og bruk regresjon til å vise at funksjonen $H$ gitt ved
$$
H(x) = 3{,}31 \cdot x^{0{,}33}
$$
er en modell som passer godt med tallene i tabellen.
b) Hvor mange timer går det før tanken er full? Hvor mange liter vann er det i tanken da?
---
## H2018 del 2 oppgave 5 — Aldersfordeling i Norge med regneark og kumulativ frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens, Regneark, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut regneark med relativ og kumulativ relativ frekvens, bestemme median-intervall og vurdere en påstand om befolkningsdata med antakelse om jevn fordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-i-norge-med-regneark-og-kumulativ-frekvens/
### Oppgavetekst
Tabellen i regnearket nedenfor viser aldersfordelingen i befolkningen i Norge 1. januar 2017.
a) Lag et regneark som vist ovenfor. Legg inn verdier i de hvite cellene og formler i de blå cellene slik at tabellen blir ferdig utfylt.
b) Hvor mange prosent av befolkningen var under 90 år?
c) I hvilket intervall finner vi medianen?
Stian påstår at 1 963 775 personer var under 30 år 1. januar 2017.
d) Hvordan kan han argumentere for denne påstanden, og hvilken antakelse har han gjort?
---
## H2018 del 2 oppgave 6 — Nedbørsmengde i Skjåk og Brekke
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Lese av diagram, beregne gjennomsnitt og standardavvik, og tolke spredning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nedborsmengde-i-skjak-og-brekke/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du to diagrammer. Diagrammene viser nedbørsmengde hver måned i 2017 i Skjåk og Brekke.
a) Bruk diagrammene og lag en tabell som viser nedbørsmengde hver måned for hvert av de to stedene.
b) Bestem gjennomsnittlig nedbørsmengde per måned og standardavviket for nedbørsmengde per måned for hvert av de to stedene.
c) Forklar at svarene du fant i b), samsvarer med det du kan tolke ut fra diagrammene.
---
## H2018 del 2 oppgave 7 — Match situasjoner med graftype og vekstform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Vekstfaktor, Modellering, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Koble fire situasjoner med lineær vekst, lineær nedgang, eksponentiell vekst og eksponentiell nedgang til riktig graf blant seks alternativ, med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/match-situasjoner-med-graftype-og-vekstform/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det beskrevet fire ulike situasjoner. Det er også tegnet seks grafer.
**Situasjon 1**
Svein kjøper en leilighet for 2,5 millioner kroner. Han antar at verdien av leiligheten vil stige med 2 % per år framover.
**Situasjon 2**
Snorre har undersøkt levevilkårene til en dyrebestand. Han antar at bestanden vil minke med 15 dyr per år framover.
**Situasjon 3**
I dag er det 5,3 millioner innbyggere i et land. Vi antar at antall innbyggere vil øke i årene framover, men at økningen per år vil avta etter hvert som årene går.
**Situasjon 4**
Siri har kjøpt en bil for 300 000 kroner. Hun antar at verdien av bilen vil synke med 15 % per år framover.
Hvilken graf beskriver situasjon 1?
Hvilken graf beskriver situasjon 2?
Hvilken graf beskriver situasjon 3?
Hvilken graf beskriver situasjon 4?
Husk å begrunne svarene dine.
---
## V2017 del 1 oppgave 1 — Søsken sentralmål og variasjonsbredde
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme gjennomsnitt, median, typetall og variasjonsbredde fra frekvenstabell
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sosken-sentralmal-og-variasjonsbredde/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 16 elever. Tabellen nedenfor viser hvor mange søsken de 16 elevene har.
| Antall søsken | Frekvens |
|:---:|:---:|
| 0 | 5 |
| 1 | 6 |
| 2 | 2 |
| 3 | 2 |
| 4 | 1 |
Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden.
---
## V2017 del 1 oppgave 2 — Prosentandel elever med buss
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut hvor mange prosent 25 av 125 elever utgjør
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentandel-elever-med-buss/
### Oppgavetekst
Ved en skole er det 125 elever. En dag tok 25 av elevene buss til skolen.
Hvor mange prosent av elevene tok buss til skolen denne dagen?
---
## V2017 del 1 oppgave 3 — Potensuttrykk med toerpotenser
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2} \cdot (4^{-1})^{-3}$ med potensreglene
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-med-toerpotenser/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2} \cdot \left(4^{-1}\right)^{-3}
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 4 — Vannmolekyler i 1,5 dL vann
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Proporsjonalitet, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut antall vannmolekyler i 1,5 dL ut fra antallet i 10 L med standardform
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vannmolekyler-i-1-5-dl-vann/
### Oppgavetekst
I 10 L vann er det omtrent $3{,}0 \cdot 10^{25}$ vannmolekyler.
Hvor mange vannmolekyler er det i 1,5 dL vann?
---
## V2017 del 1 oppgave 5 — Leilighetsverdi lineær og eksponentiell modell
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær og eksponentiell vekstmodell for leilighetsverdi og knytte dem til grafer
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leilighetsverdi-lineaer-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
I 2017 er verdien av en leilighet 1 200 000 kroner.
Per antar at verdien vil stige med 80 000 kroner hvert år.
a) Sett opp en modell som viser verdien $f(x)$ av leiligheten $x$ år etter 2017 dersom det går slik Per antar.
Kari antar at verdien vil stige med 8 % hvert år.
b) Sett opp en modell som viser verdien $g(x)$ av leiligheten $x$ år etter 2017 dersom det går slik Kari antar.
c) Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $f$? Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $g$? Begrunn svarene dine.
---
## V2017 del 1 oppgave 6 — Poengfordeling i konkurranse med klassedelt statistikk
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut klassedelt frekvenstabell og bestemme gjennomsnitt og median for poengsummer
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/poengfordeling-i-konkurranse-med-klassedelt-statistikk/
### Oppgavetekst
Et år deltok 1 000 elever i en konkurranse. Besvarelsene ble vurdert, og lærerne laget en tabell. Tabellen ser du nedenfor, men her mangler noen av tallene lærerne satte inn.
| Poengsum | Frekvens | Relativ frekvens | Klassemidtpunkt |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $[0,\ 30\rangle$ | 100 | | |
| $[30,\ 50\rangle$ | | | |
| $[50,\ 70\rangle$ | | 0,6 | |
| $[70,\ 100\rangle$ | 200 | | |
a) Tegn av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler.
b) Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene som deltok i konkurransen.
Et annet år deltok 3 525 elever i konkurransen. Tabellen nedenfor viser poengfordelingen.
| Poengsum | Frekvens |
|:---:|:---:|
| $[0,\ 30\rangle$ | 563 |
| $[30,\ 50\rangle$ | 700 |
| $[50,\ 70\rangle$ | 2000 |
| $[70,\ 100\rangle$ | 262 |
c) Bestem medianen for poengsummene til elevene som deltok i konkurransen dette året.
---
## V2017 del 1 oppgave 7 — Figurtall med trekanter av pinner
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Finne uttrykk for antall pinner og omkrets i figur $n$ i et trekantmønster
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-trekanter-av-pinner/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små, blå pinner. Hver pinne har lengden 2,5 cm. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange pinner trenger du for å lage figur 4? Bestem omkretsen av figur 4.
b) Bestem et uttrykk for antall pinner i figur $n$ uttrykt ved $n$.
c) Bestem et uttrykk for omkretsen av figur $n$ uttrykt ved $n$.
En figur som følger samme mønster som ovenfor, har en omkrets på 105 cm.
d) Bestem antall pinner i denne figuren.
---
## V2017 del 2 oppgave 1 — Vannstand i Tromsø med fjerdegradsfunksjon
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf, regne funksjonsverdier, finne ekstremalverdier og momentan vekstfart for vannstandsmodell
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vannstand-i-tromso-med-fjerdegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $V$ er gitt ved
$$
V(x) = 0{,}064x^4 - 2{,}41x^3 + 28{,}4x^2 - 105x + 39 \qquad , \qquad 0 \le x \le 18
$$
viser vannstanden $V(x)$ centimeter over eller under middelvann $x$ timer etter midnatt i Tromsø en dag.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $V$.
b) Vis at vannstanden er ca. 40 cm under middelvann én time etter midnatt og ca. 31 cm over middelvann 12 timer etter midnatt.
c) Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i perioden fra midnatt og fram til klokka 18.00.
d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ klokken 07.00. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
---
## V2017 del 2 oppgave 2 — Prisantydning fra pris med påslag
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Regne ut prisantydning når betalt pris er 15 % høyere
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisantydning-fra-pris-med-paslag/
### Oppgavetekst
Emil betalte 3 703 000 kroner for en leilighet. Han betalte 15 % mer enn prisantydningen.
Hva var prisantydningen for denne leiligheten?
---
## V2017 del 2 oppgave 3 — Arv med fast rente over 20 år
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rente, Eksponentialfunksjon, Økonomi, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Regne ut opprinnelig beløp som har vokst til 1 724 180 kr med 4,25 % rente i 20 år
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arv-med-fast-rente-over-20-ar/
### Oppgavetekst
For 20 år siden arvet Ida penger. Hun satte alle pengene inn på en ny bankkonto. Hun har fått en fast rente på 4,25 % per år. I dag har hun 1 724 180 kroner på kontoen.
Hvor mye penger arvet Ida?
---
## V2017 del 2 oppgave 4 — Avstand-tid-graf for tur og retur
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Beskrive en praktisk situasjon som passer med en avstand-tid-graf
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstand-tid-graf-for-tur-og-retur/
### Oppgavetekst
Beskriv en praktisk situasjon som passer med grafen ovenfor.
---
## V2017 del 2 oppgave 5 — Poengfordeling fra histogram med tetthet
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Presentasjon av data, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lese frekvenser fra tetthetshistogram og regne antall elever og gjennomsnittlig poengsum
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/poengfordeling-fra-histogram-med-tetthet/
### Oppgavetekst
Ved en skole kom alle elevene som hadde valgt 2P, opp til skriftlig eksamen. Histogrammet nedenfor viser poengfordelingen.
a) Vis at det til sammen var 230 elever i 2P-gruppene.
b) Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene.
---
## V2017 del 2 oppgave 6 — Temperaturfall med høyden mot Galdhøpiggen
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke lineær temperaturmodell til å finne høyde, temperatur og temperaturfall per 100 m
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturfall-med-hoyden-mot-galdhopiggen/
### Oppgavetekst
Temperaturen blir lavere jo høyere over havet vi kommer. Spiterstulen ligger 1 106 m over havet. Toppen av Galdhøpiggen ligger 2 469 m over havet. En dag er temperaturen på Spiterstulen $12{,}0 \degree\text{C}$.
Vi antar at temperaturen $T(x) \degree\text{C}$, $x$ meter over Spiterstulen denne dagen er gitt ved
$$
T(x) = -0{,}0065x + 12 \qquad , \qquad 0 \le x \le 1400
$$
a) Hvor høyt over Spiterstulen vil du være når temperaturen er $5 \degree\text{C}$ denne dagen?
b) Bestem temperaturen på toppen av Galdhøpiggen denne dagen.
c) Hvor mange grader synker temperaturen med per 100 m stigning denne dagen?
---
## V2017 del 2 oppgave 7 — Høydevekst med tredjegradsregresjon
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Vekstfart, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Tredjegradsregresjon på høydedata og bruke gjennomsnittlig vekstfart til å vurdere modellens gyldighet
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hoydevekst-med-tredjegradsregresjon/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor høy Per var 0, 1, 3, 6 og 12 år etter fødselen.
| Alder (år) | 0 | 1 | 3 | 6 | 12 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Høyde (cm) | 52 | 76 | 97 | 118 | 148 |
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en tredjegradsfunksjon $f$ som tilnærmet viser høyden til Per de første 12 leveårene.
Espen er 12 år. Funksjonen $g$ gitt ved
$$
g(x) = 0{,}13x^3 - 2{,}8x^2 + 23x + 52
$$
viser høyden hans $g(x)$ cm, $x$ år etter fødselen.
b) Bestem Espens gjennomsnittlige vekstfart fra han var 7 år til han ble 12 år.
Sitatet nedenfor er hentet fra nettsidene til Norsk Helseinformatikk AS.
> «Gutter har en maksimal høydevekst på ca. 10 cm per år midt i puberteten. Etter vekstspurten i puberteten avtar veksthastigheten ned mot null.»
Anta at Espen kommer i puberteten når han er 12 år. Puberteten varer vanligvis i to–tre år.
c) Ta utgangspunkt i sitatet ovenfor, og vurder om funksjonen $g$ kan brukes til å bestemme høyden til Espen etter at han har fylt 12 år.
---
## V2017 del 2 oppgave 8 — Målstatistikk for Liverpool og Newcastle
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme gjennomsnitt, median og standardavvik for mål per kamp for Liverpool og Newcastle fra frekvenstabeller, og tolke spredningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malstatistikk-for-liverpool-og-newcastle/
### Oppgavetekst
Tabellene ovenfor viser hvor mange mål Liverpool FC og Newcastle United FC skåret per kamp i sesongen 2015–2016.
| Antall mål per kamp | Frekvens (Liverpool) | Frekvens (Newcastle) |
| :---: | :---: | :---: |
| 0 | 8 | 14 |
| 1 | 14 | 13 |
| 2 | 7 | 7 |
| 3 | 4 | 2 |
| 4 | 3 | 0 |
| 5 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 |
a) Bestem gjennomsnittet og medianen for antall skårede mål per kamp for begge klubbene.
b) Bestem standardavviket for antall skårede mål per kamp for begge klubbene. Hva forteller dette oss?
---
## V2017 del 2 oppgave 9 — Banksparing for to personer i regneark
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rente, Sparing, Eksponentialfunksjon, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp regneark for to bankkontoer med renter og finne når summen passerer en grense
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/banksparing-for-to-personer-i-regneark/
### Oppgavetekst
Elise og Ådne opprettet hver sin bankkonto 1. januar 2017. Elise satte inn 20 000 kroner. Ådne satte inn 25 000 kroner. Begge får en rente på 2,75 % per år, og begge lar pengene stå urørt.
a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye Elise og Ådne vil ha i banken hvert år fram til og med 31. desember 2036.
b) Hvor mange år vil det gå før de til sammen har mer enn 70 000 kroner i banken?
c) Hvor mye vil Elise og Ådne til sammen få i renter disse 20 årene?
---
## H2017 del 1 oppgave 1 — Karakterfordeling norskeksamen sentralmål
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lese av frekvenstabell, beregne prosentandel, mediankarakter og gjennomsnitt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-norskeksamen-sentralmal/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser karakterfordelingen ved en skole ved norskeksamen våren 2017.
| Karakter | Antall elever |
|:--------:|:-------------:|
| 1 | 3 |
| 2 | 12 |
| 3 | 25 |
| 4 | 12 |
| 5 | 6 |
| 6 | 2 |
a) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 1 eller 2?
b) Bestem mediankarakteren.
c) Bestem gjennomsnittskarakteren.
---
## H2017 del 1 oppgave 2 — Standardform sum av stort og lite tall
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne $3{,}54 \cdot 10^6 + 60\,000$ og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-sum-av-stort-og-lite-tall/
### Oppgavetekst
$$
3{,}54 \cdot 10^6 + 60\,000
$$
Regn ut og skriv svaret på standardform.
---
## H2017 del 1 oppgave 3 — Togtur fra by A til by B med stopp
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Avlese reisetid, beskrive stopp og beregne fart som stigningstall fra strekning-tidsdiagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/togtur-fra-by-a-til-by-b-med-stopp/
### Oppgavetekst
Et tog kjørte fra by A til by B. Se diagrammet ovenfor.
a) Bestem reisetiden mellom de to byene.
b) Beskriv hva som skjer 20 km fra by A.
c) Bestem farten til toget når det er 10 km fra by A, og når det er 10 km fra by B. Du skal gi svarene i km/h.
---
## H2017 del 1 oppgave 4 — Sektordiagram for idrettslag med fire grupper
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne sektorvinkler (grader) for fire grupper og konstruere sektordiagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-for-idrettslag-med-fire-grupper/
### Oppgavetekst
Et idrettslag har 240 medlemmer. Idrettslaget har fire forskjellige aktivitetsgrupper.
Medlemmene fordeler seg slik:
| Aktivitetsgruppe | Antall medlemmer |
|:-----------------|:----------------:|
| Langrenn | 60 |
| Hopp | 40 |
| Freestyle | 80 |
| Alpint | 60 |
Gjør beregninger og lag et sektordiagram som viser fordelingen av medlemmene på de ulike gruppene. Det skal gå klart fram hvor mange grader hver av sektorene i diagrammet er på.
---
## H2017 del 1 oppgave 5 — Beregne billettpris før 40 prosent rabatt
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne opprinnelig pris på en billett ut fra en prosentvis rabatt og rabattbeløpet i kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/beregne-billettpris-for-40-prosent-rabatt/
### Oppgavetekst
Du får $40\ \text{\%}$ rabatt på en billett. Rabatten utgjør $120\text{ kroner}$.
Hvor mye ville billetten ha kostet dersom du ikke hadde fått rabatt?
---
## H2017 del 1 oppgave 6 — Armbånd og charms lineær modell
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær modell fra to punkter, tolke stigningstall og konstantledd, og løse likning for ukjent antall charms.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/armband-og-charms-lineaer-modell/
### Oppgavetekst
I en butikk kan kundene kjøpe armbånd og charms (små figurer) til å feste på armbåndene. Butikken selger alle charms til samme pris.
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall charms en kunde setter på et armbånd, og prisen kunden må betale for armbåndet med charms.
| Antall charms | 3 | 7 |
|:---|:---:|:---:|
| Pris for armbånd med charms (kroner) | 1350 | 2450 |
a) Hvor mye koster armbåndet, og hvor mye koster hver charm?
b) Bestem en lineær modell som viser sammenhengen mellom antall charms på armbåndet og samlet pris for armbånd med charms.
Hanne betaler 3825 kroner for et armbånd med charms.
c) Hvor mange charms har hun på armbåndet?
---
## H2017 del 1 oppgave 7 — Figurtall med kvadrater rekursiv mønster
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster i figurtall av kvadrater, bestemme eksplisitt uttrykk for figur $n$ og bruke det til å beregne figur 20.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-kvadrater-rekursiv-monster/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange små kvadrater vil det være i figur 4?
b) Bestem et uttrykk for antall små kvadrater i figur $n$ uttrykt ved $n$.
c) Hvor mange små kvadrater vil det være i figur 20?
---
## H2017 del 2 oppgave 1 — Innbyggertall i Norge eksponentiell vekst
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Verifisere eksponentiell modell $f(x) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^x$, tolke vekstfaktor, og løse $f(x) = 10$ for å finne år når innbyggertallet passerer 10 millioner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innbyggertall-i-norge-eksponentiell-vekst/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall innbyggere i Norge 1. januar noen utvalgte år.
| År | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 | 2010 | 2017 |
|:---|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Innbyggere (millioner) | $3{,}57$ | $3{,}86$ | $4{,}08$ | $4{,}23$ | $4{,}47$ | $4{,}85$ | $5{,}25$ |
La $x$ være antall år etter 1960. (La $x = 0$ svare til år 1960, $x = 10$ til 1970 osv.)
a) Vis at $f(x) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^x$ er en modell som passer godt med tallene i tabellen.
b) Hva forteller tallet $1{,}006$ i denne modellen?
Anta at modellen fra oppgave a) vil gjelde i årene framover.
c) I hvilket år vil innbyggertallet i Norge passere 10 millioner ifølge denne modellen?
---
## H2017 del 2 oppgave 2 — Gangbro modellert med andregradsfunksjon
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke $G(x) = -0{,}0008x^2 + 0{,}08x + 1{,}0$, vurdere om båt med mast på 290 cm kan passere, og finne avstand mellom bropilarer ved å løse $G(x) = 2{,}5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gangbro-modellert-med-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En gangbro går over en elv. I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet en skisse av broen. På skissen går broen fra punktet $A$ til punktet $B$.
Funksjonen $G$ gitt ved
$$
G(x) = -0{,}0008x^2 + 0{,}08x + 1{,}0 \quad , \quad 0 \leq x \leq 100
$$
viser broens høyde $G(x)$ meter over elva ved normal vannstand der den horisontale avstanden fra punktet $A$ er $x$ meter.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $G$.
En båt har en mast som når 290 cm over vannflaten. Se ovenfor.
b) Vil båten kunne passere under broen ved normal vannstand?
Broen hviler på to bropilarer i punktene $D$ og $F$. Ved normal vannstand er høydene $CD$ og $EF$ fra vannflaten opp til broen lik $2{,}5 \mathrm{~m}$.
c) Bestem avstanden fra $C$ til $E$.
---
## H2017 del 2 oppgave 3 — Vannmengde i flasker gjennomsnitt og standardavvik
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for 20 målinger, og tolke forskjell i standardavvik mellom to maskiner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vannmengde-i-flasker-gjennomsnitt-og-standardavvik/
### Oppgavetekst
Maskin A og maskin B fyller vann på flasker. I hver flaske skal det være 500 mL vann.
Anders måler hvor mye vann det er i 20 av flaskene fra maskin A. Nedenfor ser du resultatene.
```
510 mL 490 mL 495 mL 480 mL 520 mL
500 mL 504 mL 508 mL 501 mL 516 mL
498 mL 485 mL 499 mL 502 mL 515 mL
505 mL 497 mL 500 mL 493 mL 516 mL
```
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mL vann i disse 20 flaskene.
Anders måler også hvor mye vann det er i 20 flasker fra maskin B. Han regner ut at gjennomsnittet er det samme som for maskin A men at standardavviket er $2{,}5 \mathrm{~mL}$.
b) Hva kan vi si om de 20 flaskene fra maskin B sammenliknet med de 20 flaskene fra maskin A ut fra disse beregningene?
---
## H2017 del 2 oppgave 4 — Kaninbestand lineær og eksponentiell nedgang
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær og eksponentiell modell for populasjonsnedgang, og vurdere hvilken som er mest rimelig ut fra et tredje datapunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaninbestand-lineaer-og-eksponentiell-nedgang/
### Oppgavetekst
I dag er det 280 kaniner innenfor et avgrenset område. Anta at en sykdom brer seg blant kaninene, og at det om 20 måneder bare vil være 40 kaniner igjen i området.
a) Sett opp en modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om $x$ måneder dersom antallet avtar lineært.
b) Sett opp en modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om $x$ måneder dersom antallet avtar eksponentielt.
Anta at det om ett år vil være 96 kaniner igjen i området.
c) Vurder om det da er mest rimelig å anta at nedgangen vil være lineær eller eksponentiell.
---
## H2017 del 2 oppgave 5 — Treningstid idrettselever frekvens og histogram
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Fullføre frekvenstabell med kumulativ og relativ frekvens, tegne histogram, beregne gjennomsnitt og median for klassedelt datamateriale.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/treningstid-idrettselever-frekvens-og-histogram/
### Oppgavetekst
I en klasse på Vg2 idrettsfag er det 30 elever. Tabellen nedenfor viser hvor mye elevene trener utenom skoletiden i løpet av en uke.
| Antall minutter | Antall elever | Kumulativ frekvens | Relativ frekvens | Kumulativ relativ frekvens |
|:---------------:|:-------------:|:------------------:|:----------------:|:--------------------------:|
| $[0, 60\rangle$ | 3 | | | |
| $[60, 180\rangle$ | 6 | | | |
| $[180, 300\rangle$ | 12 | | | |
| $[300, 420\rangle$ | 6 | | | |
| $[420, 540\rangle$ | 3 | | | |
a) Tegn av tabellen i besvarelsen din, og fyll inn verdier for kumulativ frekvens, relativ frekvens og kumulativ relativ frekvens.
b) Lag et histogram som viser hvor mye elevene trener utenom skoletiden.
c) Bestem gjennomsnittet for det klassedelte datamaterialet.
d) Bestem medianen for det klassedelte datamaterialet.
---
## H2017 del 2 oppgave 6 — Serielån med termingebyr regneark og totalkostnad
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lån, Regneark, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Verifisere første terminbeløp på serielån med gebyr, lage regneark for nedbetalingsplan, beregne totalkostnad og sammenligne med alternativt lån.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/serielan-med-termingebyr-regneark-og-totalkostnad/
### Oppgavetekst
Karen lånte 90 000 kroner den 1. november 2017. Hun har fått følgende betingelser for nedbetaling av lånet:
- en rente på $0{,}4 \%$ per måned
- månedlige terminer
- et fast avdrag på 2500 kroner per termin
- termingebyr 50 kroner
a) Vis at første terminbeløp blir 2 910 kroner.
b) Lag et regneark som Karen kan bruke for å holde oversikt over lånet til det er nedbetalt. Nedenfor ser du hvordan de første radene i regnearket skal se ut.
c) Hvor mye må Karen totalt betale for dette lånet?
Like etter at Karen inngikk låneavtalen ovenfor, så hun en reklame der hun kunne ha fått følgende betingelser for nedbetaling av et lån på 90 000 kroner:
- en rente på $0{,}5 \%$ per måned
- månedlige terminer
- et fast avdrag på 2500 kroner per termin
- ingen gebyrer
d) Hvor mye måtte Karen totalt ha betalt for dette lånet?
---
## V2016 del 1 oppgave 1 — Temperaturmålinger variasjon gjennomsnitt og median
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne variasjonsbredde, gjennomsnitt og median fra tabell med seks temperaturmålinger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturmalinger-variasjon-gjennomsnitt-og-median/
### Oppgavetekst
Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars. Se tabellen nedenfor.
| Dato | Temperatur |
|:-----:|:----------:|
| 01.03 | $2\degree\mathrm{C}$ |
| 02.03 | $0\degree\mathrm{C}$ |
| 03.03 | $-4\degree\mathrm{C}$ |
| 04.03 | $-6\degree\mathrm{C}$ |
| 05.03 | $2\degree\mathrm{C}$ |
| 06.03 | $6\degree\mathrm{C}$ |
Bestem variasjonsbredden, gjennomsnittet og medianen for temperaturmålingene.
---
## V2016 del 1 oppgave 2 — Drikkevann til alle mennesker på jorda
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Store tall
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere antall mennesker med daglig vannbehov og antall dager, deretter skrive på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drikkevann-til-alle-mennesker-pa-jorda/
### Oppgavetekst
Det er ca. $7{,}5$ milliarder mennesker på jorda. Anta at hvert menneske trenger $2 \mathrm{~L}$ drikkevann hver dag.
Omtrent hvor mange liter drikkevann vil da alle menneskene på jorda til sammen trenge hver måned? Skriv svaret på standardform.
---
## V2016 del 1 oppgave 3 — Prisdifferanse mellom to butikker i prosent
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis prisforskjell mellom to butikker, der grunnlaget skifter mellom a) og b).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisdifferanse-mellom-to-butikker-i-prosent/
### Oppgavetekst
I butikk A koster en vare $150$ kroner. I butikk B koster den samme varen $120$ kroner.
a) Hvor mange prosent høyere er prisen i butikk A sammenliknet med prisen i butikk B?
b) Hvor mange prosent lavere er prisen i butikk B sammenliknet med prisen i butikk A?
---
## V2016 del 1 oppgave 4 — Merverdiavgift på jakke til 750 kroner
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Beregne merverdiavgift i kroner for en jakke som koster 750 kr inkludert 25 % mva.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/merverdiavgift-pa-jakke-til-750-kroner/
### Oppgavetekst
Merverdiavgiften på klær er $25\ \text{\%}$. En jakke koster $750\text{ kroner}$ med merverdiavgift.
Hvor mange kroner betaler vi i merverdiavgift dersom vi kjøper denne jakken?
---
## V2016 del 1 oppgave 5 — Aldersfordeling og medianalder i blokk Z
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Tegne histogram med frekvenstetthet, beregne gjennomsnittsalder med klassemidtpunkter, og vurdere påstand om medianalder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-og-medianalder-i-blokk-z/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen for de 200 personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.
| Alder | Frekvens |
| :---: | :---: |
| $[0, 10\rangle$ | 40 |
| $[10, 20\rangle$ | 20 |
| $[20, 30\rangle$ | 60 |
| $[30, 50\rangle$ | 20 |
| $[50, 60\rangle$ | 20 |
| $[60, 80\rangle$ | 40 |
| **Sum** | **200** |
a) Lag et histogram som viser aldersfordelingen for personene som bor i blokk Z.
b) Bestem gjennomsnittsalderen for personene som bor i blokka.
Aurora bor i blokk Z. Hun er 32 år. Hun vet at de yngste i blokka er nyfødte, og at den eldste er 79 år. Hun påstår derfor at hennes alder er lavere enn medianalderen.
c) Vurder om Auroras påstand er riktig.
---
## V2016 del 1 oppgave 5 — Martes timelønn som telefonselger
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Likningssystem, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær funksjon for lønn, lese av stigningstall og konstantledd grafisk, og forlenge til gitt verdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/martes-timelonn-som-telefonselger/
### Oppgavetekst
Marte er telefonselger. Hun har en fast grunnlønn per time. I tillegg får hun et fast beløp for hvert produkt hun selger.
En time solgte hun 2 produkter. Hun tjente da til sammen 170 kroner.
Den neste timen solgte hun 4 produkter. Denne timen tjente hun til sammen 220 kroner.
a) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom hvor mange produkter Marte selger i løpet av en time, og hvor mye hun tjener denne timen.
b) Bruk den grafiske framstillingen til å bestemme Martes grunnlønn per time og det beløpet hun får for hvert produkt hun selger.
c) Hvor mange produkter må Marte selge i løpet av en time dersom hun skal tjene 370 kroner denne timen?
---
## V2016 del 1 oppgave 6 — Sorter tall på ulike former for standardform
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Omskrive seks tall på ulike potensformer til desimaltall og sortere i stigende rekkefølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-tall-pa-ulike-former-for-standardform/
### Oppgavetekst
Sorter tallene i stigende rekkefølge.
Sorter tallene $0{,}046 \cdot 10^{11}$, $\dfrac{46}{1\,000\,000}$, $46 \cdot 10^{-7}$, $4\,600\,000$, $4{,}6 \cdot 10^{8}$ og $0{,}46 \cdot 10^{-6}$ i stigende rekkefølge.
---
## V2016 del 1 oppgave 7 — Antall land besøkt frekvens og kumulativ frekvens
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut manglende verdier i tabell med frekvens, relativ frekvens og kumulativ frekvens ved å bruke sammenhengene mellom kolonnene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-land-besokt-frekvens-og-kumulativ-frekvens/
### Oppgavetekst
Ole har undersøkt hvor mange land hver elev i en 2P-gruppe har besøkt. Han har satt opp en tabell. Nedenfor ser du noen av tallene i tabellen.
Tegn av tabellen, gjør beregninger, og fyll inn tallene som mangler.
---
## V2016 del 1 oppgave 7 — Eksponentiell vekst og graftolkning
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Forklare begrepet eksponentiell vekst og identifisere hvilken graf som representerer eksponentiell økning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-vekst-og-graftolkning/
### Oppgavetekst
a) Forklar hva det vil si at en størrelse øker eksponentielt.
b) Nedenfor ser du tre ulike grafer. Hvilken eller hvilke av disse grafene illustrerer eksponentiell vekst? Begrunn svaret ditt.
---
## V2016 del 2 oppgave 1 — Sykkelhjelm sektordiagram i regneark
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk, Regneark
- **Kort beskrivelse:** Lage sektordiagram i regneark med prosentandel per sektor fra tabell over hjelmbrug ved skole.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkelhjelm-sektordiagram-i-regneark/
### Oppgavetekst
Ved en skole er det 440 elever. Elevene ble spurt om hvor ofte de bruker sykkelhjelm. Tabellen nedenfor viser resultatene.
| | |
|:------------|---:|
| Alltid | 88 |
| Nesten alltid | 176 |
| Noen ganger | 110 |
| Aldri | 22 |
| Sykler ikke | 44 |
Bruk regneark til å lage et sektordiagram som illustrerer opplysningene i tabellen ovenfor. Det skal gå klart fram av diagrammet hvor mange prosent hver sektor utgjør.
---
## V2016 del 2 oppgave 2 — Hans og Gretes turtider gjennomsnitt og standardavvik
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik fra datasett, og tolke hva standardavviket sier om spredning sammenliknet med en annen person.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hans-og-gretes-turtider-gjennomsnitt-og-standardavvik/
### Oppgavetekst
Hans og Grete går til Høgfjell hver dag. Nedenfor ser du hvor mange minutter Hans har brukt på hver tur de to siste ukene.
$$
25 \quad 30 \quad 26 \quad 24 \quad 32 \quad 25 \quad 27 \quad 30 \quad 28 \quad 31 \quad 24 \quad 35 \quad 32 \quad 33
$$
a) Bestem gjennomsnitt og standardavvik for datamaterialet.
Grete har i gjennomsnitt brukt like lang tid som Hans per tur de siste 14 dagene, men standardavviket hennes er $1{,}2$.
b) Hva kan du ut fra dette si om tidene Grete har brukt på turene, sammenliknet med tidene Hans har brukt?
---
## V2016 del 2 oppgave 3 — Solens høyde over horisonten modellert med polynom
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke en fjerdegradsfunksjon for solhøyde; finne maksimum, nullpunkt og gjennomsnittlig stigning grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/solens-hoyde-over-horisonten-modellert-med-polynom/
### Oppgavetekst
Funksjonen $B$ gitt ved
$$
B(x) = 0{,}006x^4 - 0{,}33x^3 + 5{,}7x^2 - 32{,}1x + 59{,}3 \qquad 5 \le x \le 23
$$
viser hvor mange grader $B(x)$ sola stod over horisonten $x$ timer etter midnatt i Bergen 21. juni 2015.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $B$.
b) Hvor mange grader stod sola over horisonten da den var på sitt høyeste?
c) Når stod sola 20 grader over horisonten?
d) Hvor mange grader steg sola i gjennomsnitt per time fra klokka 05.00 til klokka 12.00?
---
## V2016 del 2 oppgave 4 — Blå og hvite rektangler i figurtallmønster
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster for hvite og blå rektangler i figurtallserie, uttrykke formler for figur $n$, og løse omvendt problem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bla-og-hvite-rektangler-i-figurtallmonster/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite rektangler som vist ovenfor.
a) Skriv av tabellen nedenfor, og fyll den ut.
b) Hvor mange hvite rektangler trenger du dersom du skal lage en figur med totalt 81 rektangler?
c) Hvor mange blå rektangler trenger du dersom du skal lage en figur med totalt 1 296 rektangler?
---
## V2016 del 2 oppgave 5 — CO2-utslipp reduksjon og geometrisk vekst
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Prosentregning, Regneark, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke regneark til geometrisk nedgang med fast prosentsats, beregne total prosentreduksjon, og finne prosentsats som halverer på 5 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-utslipp-reduksjon-og-geometrisk-vekst/
### Oppgavetekst
En bedrift slapp ut $20\,000 \mathrm{~tonn}$ $\mathrm{CO_2}$ i 2015. Myndighetene krever at bedriften reduserer utslippet av $\mathrm{CO_2}$ med $8\,\%$ hvert år de neste 10 årene.
a) Bruk regneark til å lage en oversikt som viser antall tonn $\mathrm{CO_2}$ bedriften kan slippe ut hvert år de neste 10 årene.
b) Hvor mange prosent vil bedriften totalt ha redusert utslippet med i løpet av denne perioden?
En annen bedrift slapp ut $30\,000 \mathrm{~tonn}$ $\mathrm{CO_2}$ i 2015. Myndighetene krever at denne bedriften halverer utslippet i løpet av 5 år. Bedriften vil oppfylle myndighetenes krav ved å redusere utslippet av $\mathrm{CO_2}$ med en fast prosentsats hvert år framover.
c) Bestem denne prosentsatsen.
---
## V2016 del 2 oppgave 6 — Pappstykke brettes til eske og volumoptimering
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Geometri, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp volumfunksjon $V(x) = x(20-2x)(14-2x)$ fra tabell, og finne maksimalt volum grafisk med graftegner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pappstykke-brettes-til-eske-og-volumoptimering/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har et stykke papp med form som et rektangel. Rektangelet er $20 \mathrm{~cm}$ langt og $14 \mathrm{~cm}$ bredt. I hvert hjørne av rektangelet skal du klippe bort et kvadrat. De fire kvadratene skal være like store. Du skal så brette langs de stiplede linjene og lage en eske (uten lokk).
a) Gjør beregninger, tegn av, og fyll ut tabellen nedenfor.
| Lengden av hver side i kvadratene som klippes bort | Lengden av esken | Bredden av esken | Høyden av esken | Volumet av esken |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $4 \mathrm{~cm}$ | | | | $288 \mathrm{~cm^3}$ |
| $3 \mathrm{~cm}$ | | $8 \mathrm{~cm}$ | | |
| $2{,}5 \mathrm{~cm}$ | | | | |
| $x \mathrm{~cm}$ | | | | |
b) Bruk graftegner til å bestemme hvor lang hver side i kvadratene som klippes bort, må være for at volumet av esken skal bli størst mulig. Hvor stort blir volumet da?
---
## V2016 del 2 oppgave 7 — Lufttrykk og høyde over havet modeller og sammenlikning
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Regresjon, Lineære funksjoner, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og sammenlikne tre ulike modeller for lufttrykk som funksjon av høyde, og kommentere gyldighetsområde og avvik.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lufttrykk-og-hoyde-over-havet-modeller-og-sammenlikning/
### Oppgavetekst
Ved havets overflate er lufttrykket ca. $1\,000 \mathrm{~hPa}$ (hektopascal).
I denne oppgaven skal vi bruke sitater fra ulike nettsider og se på noen modeller for hvor stort lufttrykket er $x$ kilometer over havets overflate.
a) Forklar at vi ut fra sitat 1 kan sette opp en modell $f$ der $f(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x$. Tegn grafen til $f$ for $0 \le x \le 10$.
Sitat 2 gir tabellen nedenfor.
| Høyde over havoverflaten (km) | 0 | 5,5 | 11 | 16,5 |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Lufttrykk (hPa) | 1 000 | 500 | 250 | 125 |
b) Forklar at sitat 2 gir tabellen nedenfor. Bruk regresjon, og vis at opplysningene i tabellen gir en modell som er tilnærmet lik modell $f$. Gi denne modellen navnet $g$. Tegn grafen til $g$ for $0 \le x \le 10$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$.
c) Bruk sitat 3 til å bestemme en modell $h$. Tegn grafen til $h$ for $0 \le x \le 10$ i samme koordinatsystem som du har brukt tidligere i oppgaven. Kommenter siste setning i sitat 3.
d) Bruk hver av de tre modellene $f$, $g$ og $h$ til å bestemme lufttrykket 8 848 meter over havoverflaten. Sammenlikn svarene du får, med sitat 4, og kommenter.
---
## H2016 del 1 oppgave 1 — Tallene på standardform
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform
- **Kort beskrivelse:** Skrive to tall på standardform med én siffer foran komma.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallene-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Skriv tallene nedenfor på standardform
$$
26{,}3 \text{ millioner} \qquad 16{,}5 \cdot 10^{-8}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 2 — Regning med tall på standardform
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Dividere og multiplisere tall på standardform og skrive svaret som desimaltall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regning-med-tall-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret som desimaltall
$$
\frac{3{,}5 \cdot 10^{8}}{7{,}0 \cdot 10^{5} \cdot 0{,}5 \cdot 10^{6}}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 3 — Prosentandel jenter på skolen
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentandel ved $\frac{135}{135+115} \cdot 100$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentandel-jenter-pa-skolen/
### Oppgavetekst
Ved en skole er det 135 jenter og 115 gutter.
Hvor mange prosent av elevene er jenter?
---
## H2016 del 1 oppgave 4 — Prisendring opp og ned med prosent
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne sluttpriser etter to prosentvise endringer i ulik rekkefølge og avgjøre hvilken påstand som er riktig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisendring-opp-og-ned-med-prosent/
### Oppgavetekst
En vare kostet like mye i butikk A og butikk B. Så ble prisen endret.
I butikk A ble prisen først satt opp med 10 %. Senere ble prisen satt ned med 10 %.
I butikk B ble prisen først satt ned med 10 %. Senere ble prisen satt opp med 10 %.
Avgjør hvilken av de tre påstandene nedenfor som er riktig.
Påstand 1: Varen koster nå minst i butikk A.
Påstand 2: Varen koster nå minst i butikk B.
Påstand 3: Varen koster nå like mye i de to butikkene.
---
## H2016 del 1 oppgave 5 — Halvering av pengebeløp med toerpotenser
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Skrive 1024 som toerpotens og regne med potenser for å finne gjenstående beløp etter halvering i 7 uker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halvering-av-pengebelop-med-toerpotenser/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har $1024\text{ kroner}$. Hver uke framover bruker du halvparten av de pengene du har igjen.
Skriv $1024$ som en potens med grunntall $2$, og regn med potenser for å bestemme hvor mye du vil ha igjen etter $7\text{ uker}$.
---
## H2016 del 1 oppgave 6 — Lineær modell for dyrebestand i utvikling
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Finne lineær funksjon fra linjediagram, beregne fremtidig verdi og nullpunkt for dyrebestand.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-dyrebestand-i-utvikling/
### Oppgavetekst
Linjediagrammet ovenfor viser hvordan antall dyr av en art har avtatt innenfor et bestemt område i perioden 2010–2015.
a) Bestem en lineær funksjon som tilnærmet beskriver utviklingen.
b) Hvor mange dyr av arten vil det være i området i 2018 ifølge funksjonen fra oppgave a)?
c) Hvor mange år vil det gå før det ikke er flere dyr av arten igjen i området ifølge funksjonen fra oppgave a)?
---
## H2016 del 1 oppgave 7 — Sondres frekvenstabell med manglende tall
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Fullføre frekvenstabell med relativ og kumulativ frekvens, og finne mulige tall under skjulte verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sondres-frekvenstabell-med-manglende-tall/
### Oppgavetekst
Sondre solgte frukt og grønnsaker på torget 20 lørdager i løpet av 2016. Hver av de 20 lørdagene skrev han opp hvor mange kunder han hadde. Han laget også en tabell. Tabellen ser du nedenfor, men her mangler noen av tallene Sondre satte inn.
| Antall kunder | Frekvens | Relativ frekvens | Kumulativ frekvens |
|:---|:---:|:---:|:---:|
| $[0, 50\rangle$ | | 0,05 | |
| $[50, 100\rangle$ | | | 6 |
| $[100, 150\rangle$ | 8 | | |
| $[150, 200\rangle$ | | | 20 |
a) Tegn av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler. Gjør beregninger eller forklar hvordan du tenker.
Nedenfor ser du listen der Sondre har skrevet opp hvor mange kunder han hadde hver av de 20 lørdagene. Tre av tallene er skjult under flekker.
$$
116 \quad 100 \quad \blacksquare \quad 125 \quad 185 \quad 125 \quad 150 \quad \blacksquare \quad 60 \quad 75
$$
$$
120 \quad 50 \quad 140 \quad 175 \quad \blacksquare \quad 88 \quad 133 \quad 96 \quad 105 \quad 169
$$
b) Foreslå tre *mulige* tall som kan stå under de tre flekkene slik at de 20 verdiene ovenfor gir resultatene i tabellen.
---
## H2016 del 1 oppgave 8 — Eksponentiell modell for bilverdi
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke parametere i eksponentiell avskrivningsmodell og beregne bilverdi etter ett år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-bilverdi/
### Oppgavetekst
Siri har kjøpt bil. Hun antar at verdien av bilen $x$ år etter at hun kjøpte den, vil være gitt ved
$$
V(x) = 250\,000 \cdot 0{,}9^x
$$
a) Hva forteller tallene 250 000 og 0,9 i dette funksjonsuttrykket om verdien av Siris bil?
b) Hva vil bilens verdi være ett år etter at Siri kjøpte den?
---
## H2016 del 1 oppgave 9 — Gjennomsnitt og median fra klassedelt prøveresultat
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra klassedelt frekvenstabell og vurdere om medianen støtter en påstand om plassering i fordelingen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-median-fra-klassedelt-proveresultat/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange poeng hver av de 30 elevene i en 2P-gruppe fikk på en matematikkprøve.
| Poeng | Antall elever |
|:---:|:---:|
| $[0, 5\rangle$ | 4 |
| $[5, 10\rangle$ | 12 |
| $[10, 15\rangle$ | 10 |
| $[15, 20\rangle$ | 0 |
| $[20, 25\rangle$ | 4 |
a) Bestem gjennomsnittet for det klassedelte datamaterialet.
Per var en av elevene som hadde prøven. Han fikk 10 poeng og påstår at han var blant den beste halvdelen av elevene.
b) Kan Per bruke medianen for datamaterialet til å begrunne påstanden sin?
---
## H2016 del 1 oppgave 10 — Matche avstand-tid-grafer til bevegelsessituasjoner
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke og matche fire avstand-tid-grafer til beskrevne bevegelsessituasjoner med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/matche-avstand-tid-grafer-til-bevegelsessituasjoner/
### Oppgavetekst
Nedenfor har vi beskrevet fire ulike situasjoner.
| Situasjon | Beskrivelse |
|:---:|:---|
| 1 | Eline tar en løpetur. Hun starter hjemmefra i rolig tempo og øker så tempoet etter hvert. Etter en stund snur hun og løper raskt tilbake samme vei. |
| 2 | Eline løper hjemmefra for å rekke bussen. Etter å ha ventet noen minutter skjønner hun at hun ikke rakk bussen, og går tilbake samme vei. |
| 3 | Eline starter hjemmefra og går opp en bratt bakke. Hun tar en liten pause på toppen av bakken før hun løper tilbake samme vei. |
| 4 | Eline starter hjemmefra og padler over fjorden. I starten har hun motvind, men etter hvert avtar vinden, og farten øker. |
Nedenfor ser du grafiske framstillinger som beskriver sammenhengen mellom tid og Elines avstand hjemmefra for hver av de fire situasjonene.
Hvilken graf passer til situasjon 1?
Hvilken graf passer til situasjon 2?
Hvilken graf passer til situasjon 3?
Hvilken graf passer til situasjon 4?
Begrunn svarene dine.
---
## H2016 del 2 oppgave 1 — Sektordiagram for massemediebruk
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne vinkler og lage sektordiagram fra stolpediagramdata om tid brukt på massemedier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-for-massemediebruk/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser hvor mange minutter personer i Norge brukte på ulike massemedier en gjennomsnittsdag i 2015.
Lag et sektordiagram som viser hvor stor andel av tiden som ble brukt på hvert av de ulike massemediene.
---
## H2016 del 2 oppgave 2 — Eiendomsverdi med årlig prosentvis økning
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Eksponentialfunksjon, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Beregne fremtidig og tidligere verdi av en eiendom med 2,5 % årlig vekst, og finne når verdien passerer 10 millioner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eiendomsverdi-med-arlig-prosentvis-okning/
### Oppgavetekst
Verdien av en eiendom har økt med $2{,}5\ \text{\%}$ per år fram til nå. Anta at verdien vil fortsette å øke med $2{,}5\ \text{\%}$ per år framover. I dag er eiendommen verd $6\ 500\ 000\text{ kroner}$.
a) Hva vil verdien av eiendommen være om 8 år?
b) Hva var verdien av eiendommen for 8 år siden?
c) Når vil verdien av eiendommen passere 10 000 000 kroner?
---
## H2016 del 2 oppgave 3 — Potensfunksjon for etterspørsel og gjennomsnittlig vekstfart
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Etterspørsel, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Bruke potensregresjon til å verifisere modell, tegne graf, lese av verdier og beregne gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensfunksjon-for-ettersporsel-og-gjennomsnittlig-vekstfart/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser pris og antall solgte enheter av en vare.
| Pris (kroner) | 15 | 19 | 24 | 30 | 34 | 42 | 50 |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Antall solgte enheter | 160 | 132 | 108 | 90 | 79 | 67 | 58 |
a) Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}
$$
er en god modell for sammenhengen mellom pris $x$ og antall solgte enheter av varen.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $15 \leq x \leq 50$
c) Bestem antall solgte enheter når prisen er 45 kroner.
d) Bestem prisen når antall solgte enheter er 100.
e) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen $f$ fra $x = 20$ til $x = 45$. Hva forteller svaret om antall solgte enheter?
---
## H2016 del 2 oppgave 4 — Gjennomsnitt median og standardavvik for to klasser
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median og standardavvik for rå datasett og sammenligne to klassefordelinger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-median-og-standardavvik-for-to-klasser/
### Oppgavetekst
Klasse 2A har hatt matematikkprøve. De 15 elevene i klassen fikk disse poengsummene:
$$
31 \quad 8 \quad 24 \quad 9 \quad 24 \quad 14 \quad 26 \quad 13
$$
$$
26 \quad 4 \quad 13 \quad 27 \quad 12 \quad 20 \quad 28
$$
a) Bestem gjennomsnittet og medianen for poengsummene.
Påstand 1: Gjennomsnittet er 7,0 % lavere enn medianen.
Påstand 2: Medianen er 7,5 % høyere enn gjennomsnittet.
b) Avgjør om hver av påstandene ovenfor er riktige.
c) Bestem standardavviket for poengsummene.
15 elever fra klasse 2B har hatt samme prøve. I denne klassen ble gjennomsnittet for poengsummene $18{,}6$ og standardavviket $5{,}9$.
d) Hva kan du si om poengsummene i 2B sammenliknet med poengsummene i 2A?
---
## H2016 del 2 oppgave 5 — Eksponentiell modell for virkestoff i blod
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp eksponentiell modell fra to målinger og beregne kumulert konsentrasjon ved to daglige tablettdoser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-virkestoff-i-blod/
### Oppgavetekst
Når en pasient har tatt en tablett, vil virkestoffet i tabletten brytes ned i kroppen. Konsentrasjonen av virkestoffet i blodet vil avta eksponentielt med tiden.
Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen i mikrogram per milliliter ($\text{µg/mL}$) av virkestoffet i blodet 1 time etter og 24 timer etter at pasienten har tatt tabletten.
| Timer etter at pasienten har tatt tabletten | 1 | 24 |
|:---|:---:|:---:|
| Konsentrasjon av virkestoff i blodet ($\text{µg/mL}$) | $0{,}50$ | $0{,}050$ |
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en eksponentiell modell $f(x)$ for konsentrasjonen av virkestoffet i blodet $x$ timer etter at pasienten har tatt en tablett.
b) Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 10 timer etter at pasienten har tatt en tablett.
En pasient begynner å ta tabletter. Han tar én tablett klokka 08.00 hver morgen og én tablett klokka 20.00 hver kveld.
c) Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 30 timer etter at pasienten tok den første tabletten.
---
## H2016 del 2 oppgave 6 — Serielån for hytte med regneark
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp dynamisk regneark for serielån med rente $2{,}5\,\%$ og fast innbetaling kr $100\,000$ per år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/serielan-for-hytte-med-regneark/
### Oppgavetekst
1. september 2016 kjøpte Monica en hytte. Hun lånte da 1 000 000 kroner av foreldrene.
De inngikk følgende avtale:
- Renten på lånet skal være 2,5 % per år.
- Tilbakebetalingen skal skje ved at Monica overfører 100 000 kroner til foreldrenes konto 1. september hvert år til lånet er nedbetalt.
- Første overføring skal skje 1. september 2017.
I denne oppgaven skal du lage et regneark som viser
- hvor mye Monica skylder foreldrene etter hver overføring fram til lånet er nedbetalt
- hvor mye Monica betaler i renter, og hvor mye hun betaler i avdrag hvert år
- hvor mye Monica totalt vil ha betalt i renter i løpet av nedbetalingstiden
Nedenfor ser du et eksempel på hvordan de første radene i regnearket kan se ut. Husk at du i størst mulig grad skal benytte formler, slik at løsningen blir dynamisk, og at formlene som er brukt, skal komme klart fram i besvarelsen din.
Lag regnearket beskrevet ovenfor.
---
## H2016 del 2 oppgave 7 — Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Telle klosser i figurtall, generalisere til uttrykk for $F_n$ og løse likning for å finne maksimal figur med 1000 klosser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-kvadratiske-klosser-og-uttrykk-for-fn/
### Oppgavetekst
Snorre lager figurer av kvadratiske klosser etter et fast mønster. Ovenfor ser du figur $F_1$, $F_2$ og $F_3$.
a) Hvor mange klosser trenger Snorre for å lage $F_4$ og for å lage $F_5$?
b) Bestem et uttrykk for antall klosser i figur $F_n$ uttrykt ved $n$.
Snorre har 1000 klosser. Han vil lage en figur som er så stor som mulig.
c) Bruk formelen fra oppgave b) til å bestemme hvor mange klosser han får til overs når han har laget figuren.
---
## V2015 del 1 oppgave 1 — Median av temperaturmålinger over en uke
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Finne ukjent verdi slik at medianen av seks målinger blir 7 °C.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-av-temperaturmalinger-over-en-uke/
### Oppgavetekst
Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet av noen dager.
| Dag | Temperatur |
|-----|-----------|
| Mandag | $4 \degree\mathrm{C}$ |
| Tirsdag | $10 \degree\mathrm{C}$ |
| Onsdag | $12 \degree\mathrm{C}$ |
| Torsdag | $5 \degree\mathrm{C}$ |
| Fredag | $6 \degree\mathrm{C}$ |
| Lørdag | |
Hva må temperaturen være på lørdag dersom medianen av målingene skal bli $7 \degree\mathrm{C}$?
---
## V2015 del 1 oppgave 2 — Prisnedsettelse og opprinnelig pris
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når ny pris og prosent nedsettelse er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisnedsettelse-og-opprinnelig-pris/
### Oppgavetekst
En vare koster i dag 240 kroner. Prisen er da satt ned med 20 %.
Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned?
---
## V2015 del 1 oppgave 3 — Universets alder i sekunder på standardform
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Store tall
- **Kort beskrivelse:** Skrive 14 milliarder på standardform og multiplisere to tall på standardform for å finne universets alder i sekunder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/universets-alder-i-sekunder-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Forskere antar at universet er ca. 14 milliarder år gammelt.
a) Skriv 14 milliarder på standardform.
I ett år er det ca. 32 millioner sekunder.
b) Omtrent hvor mange sekunder gammelt er universet? Skriv svaret på standardform.
---
## V2015 del 1 oppgave 4 — Brøker med potenser av 3, 2 og 6a
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Potensregning, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Regne ut en tallbrøk med potenser (inkludert nullte potens) og forenkle en bokstavbrøk med negative eksponenter ved potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/broker-med-potenser-av-3-2-og-6a/
### Oppgavetekst
Regn ut
a)
$$
\frac{3^2 - 2^3}{2^0 \cdot 4}
$$
b)
$$
\frac{(6a)^2 \cdot b^2}{9a \cdot b^{-2}}
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 5 — Aldersfordeling for lærere med histogram og frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvensfordeling, lage histogram, og utvide tabell med relativ og kumulativ frekvens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-for-laerere-med-histogram-og-frekvens/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen for lærerne ved en skole.
| Alder | Frekvens |
|-------|----------|
| $[20, 30\rangle$ | 10 |
| $[30, 40\rangle$ | 20 |
| $[40, 50\rangle$ | 30 |
| $[50, 70\rangle$ | 40 |
a) Bestem gjennomsnittsalderen for lærerne ved skolen.
b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen for lærerne.
c) Utvid tabellen med en kolonne som viser relativ frekvens, og en kolonne som viser kumulativ frekvens.
---
## V2015 del 1 oppgave 5 — Elevtall ved skole med lineær og eksponentiell nedgang
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp en lineær modell ut fra to elevtall og en eksponentiell modell med vekstfaktor 0,995 for videre nedgang.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elevtall-ved-skole-med-lineaer-og-eksponentiell-nedgang/
### Oppgavetekst
Antall elever ved en skole har avtatt lineært de siste 10 årene. For 10 år siden var det 1 400 elever ved skolen. Nå er det 1 340 elever ved skolen.
a) Bestem en modell som viser utviklingen disse 10 årene.
De neste årene regner en med at antall elever vil avta med $0{,}5 \,\%$ per år.
b) Bestem en modell som viser hvor mange elever det vil være ved skolen om $x$ år.
---
## V2015 del 1 oppgave 6 — Ball kastet fra balkong med andregradsfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut tabell for $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$, tegne graf, og tolke funksjonsverdiene $h(0)$ og $h(3)$ praktisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ball-kastet-fra-balkong-med-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Karl står på balkongen og kaster en ball opp i lufta. Etter $t$ sekunder er ballen tilnærmet $h(t)$ meter over bakken, der
$$
h(t) = -5t^2 + 10t + 15
$$
a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.
| $t$ | 0 | $0{,}5$ | 1 | $1{,}5$ | 2 | $2{,}5$ | 3 |
|-----|---|---------|---|---------|---|---------|---|
| $h(t)$ | | $18{,}75$ | | $18{,}75$ | | $8{,}75$ | |
b) Tegn grafen til $h$.
c) Gi en praktisk tolkning av verdiene av $h(0)$ og $h(3)$.
---
## V2015 del 1 oppgave 7 — Syklist med konstant fart og lineær modell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær modell for avstand hjemmefra som funksjon av tid, og bestemme når distansen er null.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/syklist-med-konstant-fart-og-lineaer-modell/
### Oppgavetekst
Sigurd er 30 km fra hjemmet sitt. Han sykler hjemover med en konstant fart på $12 \mathrm{~km/h}$.
Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom antall timer og antall kilometer han er hjemmefra.
Hvor lang tid tar det før han kommer hjem?
---
## V2015 del 2 oppgave 1 — Lånetilbud til Per, Pål og Espen
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rente, Vekstfaktor, Prosentvis endring i flere perioder, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne tre lånetilbud over seks måneder ved å beregne tilbakebetalt beløp med vekstfaktor for månedlig rente og etableringsgebyr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lanetilbud-til-per-pal-og-espen/
### Oppgavetekst
Per, Pål og Espen skal låne 3 000 kroner hver. Lånene skal betales tilbake etter seks måneder. De får følgende betingelser:
- Per får tilbud om å betale tilbake 3 450 kroner etter seks måneder.
- Pål får tilbud om en månedlig rente på $2{,}2 \,\%$.
- Espen får tilbud om en månedlig rente på $1{,}8 \,\%$ og et etableringsgebyr på 100 kroner.
Gjør beregninger, og avgjør hvem som får det beste tilbudet.
---
## V2015 del 2 oppgave 2 — Kvinnelige studenter med lineær modell og prognose for 85 000
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Stigningstall, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon på antall kvinnelige studenter 2001–2013, tolke stigningstallet og bruke modellen til å finne når antallet passerer 85 000.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvinnelige-studenter-med-lineaer-modell-og-prognose-for-85-000/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall kvinnelige studenter i Norge noen utvalgte år.
| År | 2001 | 2003 | 2005 | 2007 | 2009 | 2011 | 2013 |
|----|------|------|------|------|------|------|------|
| Antall kvinnelige studenter | 53553 | 58237 | 59562 | 63292 | 62957 | 68391 | 73332 |
La $x = 0$ svare til år 2000, $x = 1$ til år 2001, og så videre.
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær modell som viser hvordan antall kvinnelige studenter har utviklet seg i denne perioden.
b) Hvor stor har økningen i antall kvinnelige studenter vært i gjennomsnitt per år i denne perioden?
Anta at denne utviklingen fortsetter i årene som kommer.
c) I hvilket år vil antall kvinnelige studenter passere 85 000?
---
## V2015 del 2 oppgave 2 — Temperaturstatistikk og råd om utearrangement
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for datasett med regneark, og bruke statistiske mål til å gi begrunnet anbefaling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturstatistikk-og-rad-om-utearrangement/
### Oppgavetekst
Tallene nedenfor viser temperaturen målt i grader celsius klokka 16 den 30. juni de siste 20 årene i by A.
$$
20 \quad 18 \quad 20 \quad 19 \quad 19 \quad 21 \quad 20 \quad 22 \quad 22 \quad 18 \quad 17 \quad 18 \quad 22 \quad 19 \quad 21 \quad 20 \quad 22 \quad 22 \quad 21 \quad 17
$$
a) Bruk regneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for datamaterialet.
Tilsvarende data er samlet inn i by B. Gjennomsnittet her er $20{,}8 \degree\mathrm{C}$, og standardavviket er $3{,}4 \degree\mathrm{C}$.
Noen planlegger et større utearrangement 30. juni neste år og er avhengige av varmt vær. Arrangementet skal finne sted enten i by A eller i by B.
b) Hvilket råd vil du gi arrangørene ut fra de oppgitte dataene?
---
## V2015 del 2 oppgave 5 — Figurtall med trekanter og andregradsregresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Regresjon, Mønstre, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Utforske mønster i figurtall (trekanter), lage regneark med de 20 første, bestemme andregradsuttrykk via regresjon og bruke det til å beregne $F_{20}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-trekanter-og-andregradsregresjon/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer $F_1$, $F_2$ og $F_3$. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
Antall linjestykker i figur $F_n$ kan skrives som et andregradsuttrykk.
a) Hvor mange linjestykker vil det være i $F_4$?
b) Forklar hvordan antall linjestykker endrer seg fra figur til figur, og lag et regneark som gir en oversikt over antall linjestykker i de 20 første figurene $F_1, F_2, \ldots, F_{20}$.
c) Bruk regresjon til å bestemme dette andregradsuttrykket.
d) Bruk andregradsuttrykket du fant i oppgave c) til å bestemme hvor mange linjestykker det vil være i $F_{20}$.
---
## V2015 del 2 oppgave 6 — Forsikringsverdi og eksponentiell avskrivning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Verdifall, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare modell $F(x) = (P-2000) \cdot 0{,}9^x$, beregne utbetaling, sette opp netto-modell med forsikringspremie, og vurdere påstand om oppsigelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forsikringsverdi-og-eksponentiell-avskrivning/
### Oppgavetekst
Du skal kjøpe ny sykkel, og du vil forsikre den. Dersom sykkelen blir stjålet, må du betale 2000 kroner i egenandel på forsikringen.
Anta at sykkelen koster $P$ kroner som ny. Dersom sykkelen blir stjålet før det har gått et år, vil du få utbetalt $(P - 2000)$ kroner i erstatning fra forsikringsselskapet. Erstatningen avtar med 10 % per år.
a) Forklar at $F(x) = (P - 2000) \cdot 0{,}9^x$ er en modell for mye du får utbetalt dersom sykkelen blir stjålet etter $x$ år.
Du velger å kjøpe en sykkel som koster 10 000 kroner.
b) Hvor mye får du utbetalt dersom sykkelen blir stjålet etter 7 år?
For å forsikre sykkelen må du betale 150 kroner i forsikringspremie per år. Anta at sykkelen blir stjålet etter $x$ år.
c) Sett opp en modell som viser hvor mye du totalt sitter igjen med når du tar hensyn til det du har betalt i forsikringspremie i løpet av disse $x$ årene.
Din venn Ronny mener at du bør si opp forsikringsavtalen etter 13 år.
d) Ta utgangspunkt i modellen du fant i oppgave c) og kommenter Ronnys utsagn.
---
## V2015 del 2 oppgave 7 — Havtemperatur som tredjegradsfunksjon på Sørlandet
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf til $f(x) = -0{,}0000028x^3 + 0{,}001x^2 - 0{,}025x + 3{,}8$, lese av ekstremverdier, beregne $f(100)$ og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/havtemperatur-som-tredjegradsfunksjon-pa-sorlandet/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -0{,}0000028x^3 + 0{,}001x^2 - 0{,}025x + 3{,}8 \qquad 0 \leq x \leq 300
$$
viser temperaturen $f(x)$ grader celsius i sjøen et sted på Sørlandet $x$ dager etter 31. desember 2013.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.
b) Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur.
c) Bestem $f(100)$ og den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 100$. Hva forteller disse svarene?
---
## V2015 del 2 oppgave 7 — Volum av boks med halvsirkelender og maksimalt volum
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Optimering, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Forklare volumformelen for en boks med halvsirkelender, uttrykke volumet med x og bruke graftegner til å finne bredden og det største volumet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-boks-med-halvsirkelender-og-maksimalt-volum/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du skal lage en boks. Bunnen og toppen av boksen skal være satt sammen av et rektangel og to halvsirkler og ha form som vist på figuren ovenfor. Sideflaten skal stå vinkelrett på topp og bunn. Sett bredden i rektanglet lik $x \mathrm{~cm}$, lengden lik $y \mathrm{~cm}$ og høyden lik $h \mathrm{~cm}$.
a) Forklar at volumet $V$ av boksen er gitt ved
$$
V = \left(\pi \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 + x \cdot y\right) \cdot h
$$
Summen av lengden og bredden i rektanglet skal være 10 cm, og summen av bredden og høyden skal være 5 cm.
b) Forklar at $y = 10 - x$ og $h = 5 - x$, og bruk dette til å sette opp et uttrykk for volumet av boksen uttrykt med $x$.
c) Bruk graftegner til å bestemme hvor bred boksen må være for at volumet skal bli størst mulig. Hvor stort blir volumet da?
---
## H2015 del 1 oppgave 1 — Prosentvis prisreduksjon og opprinnelig pris
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når varen er satt ned med 30 % og nåværende pris er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-prisreduksjon-og-opprinnelig-pris/
### Oppgavetekst
Prisen på en vare er satt ned med 30 %. I dag koster varen 280 kroner.
Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned?
---
## H2015 del 1 oppgave 2 — Standardform av produkt med potenser av ti
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Beregne $3{,}4 \cdot 10^9 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3}$ og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-av-produkt-med-potenser-av-ti/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
3{,}4 \cdot 10^9 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3}
$$
Regn ut og skriv svaret på standardform.
---
## H2015 del 1 oppgave 3 — Potensregnestykke med fire og to
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\frac{4^3 \cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}}$ ved hjelp av potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensregnestykke-med-fire-og-to/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
\frac{4^3 \cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}}
$$
Regn ut $\dfrac{4^3 \cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}}$.
---
## H2015 del 1 oppgave 4 — Leas Lotto-gevinst med rentes rente
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk $G \cdot 1{,}032^{10} = 500138$ for å finne startkapital ved gitt sluttbeløp og rente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leas-lotto-gevinst-med-rentes-rente/
### Oppgavetekst
For 10 år siden vant Lea i Lotto. Hun opprettet en konto i banken og satte inn hele gevinsten. Beløpet har stått urørt på kontoen siden. Renten har hele tiden vært $3{,}2 \,\%$ per år.
I dag har Lea 500 138 kroner på kontoen.
Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor stor gevinsten til Lea var.
---
## H2015 del 1 oppgave 5 — Antall personer rundt jordkloden ved ekvator
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Dele omkrets ($40\,000 \text{ km}$) på favnebredde ($1{,}6 \text{ m}$) etter enhetsomregning og skrive på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-personer-rundt-jordkloden-ved-ekvator/
### Oppgavetekst
Omkretsen av jordkloden ved ekvator er ca. $40\,000 \mathrm{~km}$. Tenk deg at voksne og barn står hånd i hånd og danner en ring rundt jordkloden. Hver person favner i gjennomsnitt $1{,}6 \mathrm{~m}$.
Omtrent hvor mange personer må stå hånd i hånd for å nå rundt jordkloden ved ekvator? Skriv svaret på standardform.
---
## H2015 del 1 oppgave 6 — Medianalder og gjennomsnittsalder i to bedrifter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme medianalder ved argumentasjon fra gruppert frekvensfordeling, og beregne gjennomsnitt med midtpunktsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/medianalder-og-gjennomsnittsalder-i-to-bedrifter/
### Oppgavetekst
Hver av de to bedriftene A og B har 100 ansatte. Tabellen ovenfor viser aldersfordelingen for de ansatte i bedriftene.
| Alder | Bedrift A Frekvens | Bedrift B Frekvens |
|:---|:---:|:---:|
| $[20, 40\rangle$ | 52 | 35 |
| $[40, 60\rangle$ | 36 | 45 |
| $[60, 70\rangle$ | 12 | 20 |
| Sum | 100 | 100 |
a) I hvilken bedrift er medianalderen lavest? Grunngi svaret.
b) Bestem gjennomsnittsalderen for de ansatte i bedrift B.
---
## H2015 del 1 oppgave 7 — Livs treningsminutter med lineær modell
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp en lineær modell ut fra to punkter avlest i et koordinatsystem og bruke den til å finne treningstiden i uke 40 i timer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/livs-treningsminutter-med-lineaer-modell/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet ovenfor har Liv markert hvor mange minutter hun trente i uke 1 og i uke 5. Liv har som mål at antall minutter hun trener, skal øke lineært for hver uke.
a) Bestem en modell som Liv kan bruke for å regne ut hvor mange minutter hun må trene hver uke framover.
b) Hvor mange timer må hun trene i uke 40 ifølge denne modellen?
---
## H2015 del 1 oppgave 8 — Bakteriekultur med eksponentiell nedgang fra graf
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av startverdi og halvveringstid fra graf for å bestemme vekstfaktor og sette opp $B(x) = 10000 \cdot k^x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakteriekultur-med-eksponentiell-nedgang-fra-graf/
### Oppgavetekst
Lars observerer en bakteriekultur. Fra han startet observasjonene, har antall bakterier avtatt eksponentielt. Se grafen til funksjonen $B$ nedenfor.
Bestem vekstfaktoren og sett opp uttrykket for $B(x)$.
---
## H2015 del 1 oppgave 9 — Karakterfordeling i to klasser med statistikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, vurdere standardavvik, kumulativ frekvens og relativ frekvens fra søylediagram for to klasser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-i-to-klasser-med-statistikk/
### Oppgavetekst
Diagrammene nedenfor viser hvordan karakterene i klasse 1A og 1B fordelte seg ved forrige matematikkprøve.
a) Bestem gjennomsnittskarakteren i hver av de to klassene.
b) I hvilken klasse er standardavviket for karakterfordelingen størst? Grunngi svaret.
c) Bestem den kumulative frekvensen for karakteren 3 i hver av de to klassene.
d) Bestem den relative frekvensen for karakteren 6 i hver av de to klassene.
---
## H2015 del 1 oppgave 10 — Temperaturvariasjoner i varmtvannstank om morgenen
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke temperaturgraf for varmtvannstank for å telle dusjere, lese av varighet og finne oppvarmingstid ved grafisk avlesning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturvariasjoner-i-varmtvannstank-om-morgenen/
### Oppgavetekst
Hos familien Vassdal er termostaten i varmtvannstanken satt til $70\degree \mathrm{C}$. Når familien bruker varmtvann fra tanken, renner kaldt vann inn, og gjennomsnittstemperaturen på vannet i tanken avtar. Varmeelementet slår seg da automatisk på, og vannet varmes opp igjen.
Grafen nedenfor viser hvordan temperaturen i tanken varierte en morgen. Det varme vannet ble bare brukt til å dusje.
a) Hvor mange familiemedlemmer dusjet denne morgenen?
Datteren Vanda var den som brukte lengst tid i dusjen.
b) Hvor lenge dusjet hun?
Da familien forlot hjemmet klokka 7.30, var temperaturen i varmtvannstanken $58\degree \mathrm{C}$.
c) Hvor lang tid tok det før temperaturen var steget til $70\degree \mathrm{C}$ igjen?
---
## H2015 del 2 oppgave 1 — Varmekilde for husstander i ulike deler av Norge
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Presentere data fra flervariabeltabell om varmekilde i regioner som ett oversiktlig diagram i regneark.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/varmekilde-for-husstander-i-ulike-deler-av-norge/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor gir en oversikt over de viktigste varmekildene for husstander i ulike deler av Norge.
| | Oslo | Østlandet for øvrig | Sør-Norge | Vestlandet | Midt-Norge | Nord-Norge |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **Elektriske ovner** | 59,7 % | 36,6 % | 30,4 % | 32,4 % | 34,2 % | 36,5 % |
| **Varmepumpe** | 8,3 % | 18,0 % | 25,5 % | 33,2 % | 33,8 % | 27,7 % |
| **Vannbåren varme** | 7,3 % | 9,3 % | 8,1 % | 6,4 % | 4,0 % | 5,0 % |
| **Sentralvarme** | 12,6 % | 4,8 % | 3,1 % | 2,8 % | 0,4 % | 7,5 % |
| **Vedfyring** | 5,3 % | 26,8 % | 28,3 % | 19,9 % | 19,6 % | 22,0 % |
| **Annet eller vet ikke** | 6,8 % | 4,5 % | 4,6 % | 5,3 % | 8,0 % | 1,3 % |
Bruk regneark til å lage **ett** diagram der du presenterer opplysningene i tabellen på en oversiktlig måte.
---
## H2015 del 2 oppgave 2 — Babyvekt til Geir og Janne med vektøkning og gjennomsnittlig vekstfart
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tredjegradsfunksjon, Graftolkning, Gjennomsnittlig vekstfart, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne to tredjegradsfunksjoner for babyvekt, finne vektøkning og doblingstid og tolke gjennomsnittlig vekstfart over to intervaller.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/babyvekt-til-geir-og-janne-med-vektokning-og-gjennomsnittlig-vekstfart/
### Oppgavetekst
Funksjonene $G$ og $J$ gitt ved
$$
\begin{aligned}
G(x) &= 0{,}0030x^3 - 0{,}088x^2 + 1{,}17x + 3{,}7 \qquad 0 \leq x \leq 12 \\
J(x) &= 0{,}0017x^3 - 0{,}057x^2 + 0{,}93x + 3{,}7 \qquad 0 \leq x \leq 12
\end{aligned}
$$
viser hvordan vekten til to babyer, Geir og Janne, utviklet seg det første leveåret.
Geir veide $G(x)$ kilogram, og Janne veide $J(x)$ kilogram $x$ måneder etter fødselen.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $G$ og grafen til $J$ i samme koordinatsystem.
b) Hvor mange kilogram la hver av de to babyene på seg i løpet av det første leveåret?
c) Hvor mange måneder gikk det før hver av de to babyene hadde doblet fødselsvekten sin?
d) Bestem $\dfrac{G(12) - G(0)}{12}$ og $\dfrac{G(2) - G(0)}{2}$. Hva forteller disse svarene om vekten til Geir?
---
## H2015 del 2 oppgave 3 — Eksponentiell modell for elbilsalg i Hordaland
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Bestemme eksponentiell modell fra to datapunkter, beregne prosentvis vekst per år og vurdere modellens gyldighet mot diagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-elbilsalg-i-hordaland/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange nye elbiler som ble solgt i Hordaland i 2010 og 2014.
| År | 2010 | 2014 |
|:---|:---:|:---:|
| Antall nye elbiler | 26 | 2962 |
a) La $x$ være antall år etter 2010. Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en eksponentiell modell $f(x)$ for elbilsalget i Hordaland.
b) Hvor mange prosent steg elbilsalget per år i perioden fra 2010 til 2014 ifølge modellen fra oppgave a)?
Diagrammet nedenfor viser utviklingen i salget av nye elbiler i Hordaland i perioden 2010–2014.
c) Gjør beregninger og vurder om modellen fra oppgave a) er en god modell for å beskrive denne utviklingen.
---
## H2015 del 2 oppgave 4 — Middelvind under ekstremværet Nina med regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lese av og systematisere vinddata fra kart for Vestlandet og Sør-Østlandet, beregne gjennomsnitt og standardavvik i regneark, og tolke resultatet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/middelvind-under-ekstremvaeret-nina-med-regneark/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser sterkeste middelvind ulike steder i Sør-Norge under ekstremværet «Nina» i januar 2015.
Vi lar den røde streken være skillet mellom Vestlandet og Sør-Østlandet.
a) Bruk regneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for sterkeste middelvind på Vestlandet og sterkeste middelvind på Sør-Østlandet.
b) Hva forteller svarene i oppgave a) om sterkeste middelvind på Vestlandet sammenliknet med sterkeste middelvind på Sør-Østlandet?
---
## H2015 del 2 oppgave 5 — BSU-sparing over åtte år med regneark
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Lage regneark for BSU-sparing med 25 000 kr per år og 4,7 % rente, beregne kontostand per år og total renteinntekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bsu-sparing-over-atte-ar-med-regneark/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du oppretter en BSU-konto 1. januar neste år og setter inn 25 000 kroner. Du setter inn 25 000 kroner 1. januar de neste sju årene også. Renten er $4{,}7 \, \%$ per år.
a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye du vil ha på kontoen ved slutten av **hvert år** disse åtte årene.
b) Hvor mye vil du få til sammen i renter i løpet av disse åtte årene?
---
## H2015 del 2 oppgave 6 — Annuitetslån på én million med terminbeløp og nedbetalingstid
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Lån, Formler, Grafisk løsning
- **Kort beskrivelse:** Sette inn i annuitetsformelen for terminbeløp, tegne T(x), regne ut terminbeløpet for 20 terminer og finne nedbetalingstiden ved 50 000 kroner per termin.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annuitetslan-pa-en-million-med-terminbelop-og-nedbetalingstid/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har lånt penger i banken og vil betale tilbake lånet med termin én gang i året.
Sett
- lånesummen lik $L$ kroner
- renten lik $p$ prosent per år, slik at vekstfaktoren blir $v = 1 + \dfrac{p}{100}$
Dersom du betaler tilbake lånet i løpet av $x$ terminer, er terminbeløpet $T(x)$ kroner gitt ved
$$
T(x) = \frac{L \cdot (v-1) \cdot v^x}{v^x - 1}
$$
Du tar opp et lån på 1 000 000 kroner med rente $3{,}5 \,\%$ per år.
a) Vis at terminbeløpet er gitt ved
$$
T(x) = \frac{35000 \cdot 1{,}035^x}{1{,}035^x - 1}
$$
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $T$ for $x \geq 1$
c) Bestem terminbeløpet dersom du vil betale tilbake lånet i løpet av 20 terminer.
d) Hvor lang tid vil det ta å betale tilbake lånet dersom du betaler 50 000 kroner hver termin?
---
## H2015 del 2 oppgave 8 — Figurtall med svarte og hvite kvadrater
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Andregradslikninger, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster for svarte og hvite kvadrater i figurtallserie og sette opp generelle uttrykk ved $n$ inkludert andregradsledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-svarte-og-hvite-kvadrater/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du de tre første figurene i en serie som kan fortsettes. De store kvadratene er sammensatt av hvite og svarte kvadrater. Hvert av de hvite kvadratene har areal lik 1. De svarte kvadratene har areal som øker i størrelse.
a) Bestem det totale arealet av de svarte kvadratene i den neste figuren, figur 4.
b) Sett opp et uttrykk som viser det totale arealet av de svarte kvadratene i figur $n$ uttrykt ved $n$.
Antall hvite kvadrater i den nederste raden i hver figur kan uttrykkes med et andregradssuttrykk $S(n)$
c) Bestem $S(n)$
d) Sett opp et uttrykk for det totale arealet av de hvite kvadratene i figur $n$ uttrykt ved $n$.
---
## V2014 del 1 oppgave 1 — Sentralmål og variasjonsbredde for snegler i hagen
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median og variasjonsbredde for et datasett med 10 verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-og-variasjonsbredde-for-snegler-i-hagen/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene.
$$
10 \quad 5 \quad 22 \quad 28 \quad 2 \quad 8 \quad 50 \quad 15 \quad 40 \quad 10
$$
Bestem gjennomsnittet, medianen og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
---
## V2014 del 1 oppgave 2 — Sortere potenser og brøker etter stigende verdi
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Standardform
- **Kort beskrivelse:** Beregne og sammenligne verdiene til fire uttrykk med negative eksponenter og brøker, deretter sortere stigende.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sortere-potenser-og-broker-etter-stigende-verdi/
### Oppgavetekst
Sorter uttrykkene nedenfor etter stigende verdi. Vis eller forklar hvordan du har tenkt.
$$
6 \cdot 2^{-3} \qquad \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \qquad \left(\frac{1}{4}\right)^{0} \qquad \frac{0{,}0016}{2 \cdot 10^{-3}}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 3 — M&M-sjokolader per innbygger på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Store tall
- **Kort beskrivelse:** Dele antall sjokolader på antall innbyggere og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/m-m-sjokolader-per-innbygger-pa-standardform/
### Oppgavetekst
I Norge er det ca. 5 millioner innbyggere. Hvert år produseres omtrent 150 milliarder M&M-sjokolader i verden. Tenk deg at disse sjokoladene ble delt likt mellom innbyggerne i Norge.
Omtrent hvor mange M&M-sjokolader ville hver innbygger ha fått? Skriv svaret på standardform.
---
## V2014 del 1 oppgave 4 — Forenkle algebrauttrykk med potensregler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\frac{(2a)^4 \cdot 2^{-1}}{8a^2}$ ved å bruke potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-algebrauttrykk-med-potensregler/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
\frac{(2a)^4 \cdot 2^{-1}}{8a^2}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 5 — Gjennomsnittlig poengsum i pilkastkonkurranse
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra gruppert frekvenstabell ved å bruke midtpunkter for hvert intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-poengsum-i-pilkastkonkurranse/
### Oppgavetekst
I tabellen nedenfor ser du resultatene fra en pilkastkonkurranse.
| Poeng | Antall spillere |
|:---:|:---:|
| $[0, 40\rangle$ | 60 |
| $[40, 80\rangle$ | 20 |
| $[80, 120\rangle$ | 16 |
| $[120, 180\rangle$ | 4 |
Bestem den gjennomsnittlige poengsummen for spillerne.
---
## V2014 del 1 oppgave 6 — Whisky fordamper med geometrisk vekst
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Eksponentialfunksjon, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk for eksponentiell nedgang (2 % per år) og forklare feil i additiv beregning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/whisky-fordamper-med-geometrisk-vekst/
### Oppgavetekst
Whisky lagres på tønner. En tønne på $500 \mathrm{~L}$ fylles opp og blir plassert på lager. Hvert år fordamper omtrent 2 % av innholdet i tønnen.
a) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor mange liter whisky det vil være igjen i tønnen etter 12 år.
b) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor mange liter whisky som vil ha fordampet fra tønnen etter 20 år.
En tønne har vært lagret i 25 år.
c) John påstår at halvparten av innholdet har fordampet, og at denne tønnen derfor nå inneholder 250 L. Dette begrunner han med at $25 \cdot 2\% = 50\%$
Forklar John hvorfor dette ikke er riktig.
---
## V2014 del 1 oppgave 7 — Lufttrykk i sykkeldekk i bar og psi
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Proporsjonalitet, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne proporsjonal linje gjennom to punkter (bar, psi) og bruke linjen til å konvertere trykkverdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lufttrykk-i-sykkeldekk-i-bar-og-psi/
### Oppgavetekst
Lufttrykk kan måles i bar eller psi. Lasse har en racersykkel der det anbefalte lufttrykket i dekkene er oppgitt både i bar og i psi. Se bildet ovenfor.
a) Tegn et koordinatsystem med lufttrykk målt i psi langs $x$-aksen og lufttrykk målt i bar langs $y$-aksen. Marker verdiene fra dekket på bildet som punkter i koordinatsystemet, og tegn en rett linje gjennom punktene.
Lasse har kjøpt ny terrengsykkel. På dekkene står det at lufttrykket bør være mellom 35 og 65 psi. Han lurer på hva dette tilsvarer målt i bar.
b) Bruk linjen i oppgave a) til å finne ut hvor høyt lufttrykk målt i bar Lasse bør bruke i dekkene på terrengsykkelen.
---
## V2014 del 1 oppgave 7 — Sektordiagram over studenter fra landsdeler på folkehøgskole
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Regne om antall studenter (60 totalt) til sektorgrader og tegne sektordiagram for hånd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-over-studenter-fra-landsdeler-pa-folkehogskole/
### Oppgavetekst
| Landsdel | Antall studenter |
|:---:|:---:|
| Nord-Norge | 5 |
| Trøndelag | 20 |
| Vestlandet | 10 |
| Østlandet | 15 |
| Sørlandet | 10 |
Studentene ved en folkehøgskole kommer fra ulike landsdeler i Norge.
Se tabellen ovenfor.
Gjør beregninger og lag et sektordiagram som viser fordelingen. Det skal gå klart fram hvor mange grader hver av sektorene i diagrammet er på.
---
## V2014 del 1 oppgave 8 — Tolke avstand-tid-graf for sykkelturen til Synnøve
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lese av og tolke en stykkevis lineær avstand-tid-graf med tre segmenter (fart, pause, ny fart).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolke-avstand-tid-graf-for-sykkelturen-til-synnove/
### Oppgavetekst
På fredag syklet Synnøve til skolen. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av sykkelturen.
Hva kan du si om sykkelturen ut fra grafen?
---
## V2014 del 2 oppgave 1 — Fremmedspråk på 8. trinn diagram og andeler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lage søylediagram og linjediagram fra tabelldata, og estimere totalt antall elever ut fra andeler og absolutte tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fremmedsprak-pa-8-trinn-diagram-og-andeler/
### Oppgavetekst
| Fremmedspråk | Antall gutter | Antall jenter |
|---|:---:|:---:|
| Tysk | 9 165 | 7 467 |
| Fransk | 3 729 | 5 515 |
| Spansk | 10 385 | 11 619 |
Tabell 1 viser hvor mange elever i Norge som valgte fremmedspråkene tysk, fransk og spansk på 8. trinn skoleåret 2012/2013.
a) Lag et passende diagram som illustrerer opplysningene gitt i tabell 1.
| Skoleår | Andel elever med tysk | Andel elever med fransk | Andel elever med spansk |
|---|:---:|:---:|:---:|
| 2002/2003 | 38,9 % | 21,5 % | 2,0 % |
| 2004/2005 | 33,6 % | 20,4 % | 6,3 % |
| 2006/2007 | 27,3 % | 17,1 % | 32,6 % |
| 2008/2009 | 26,5 % | 13,7 % | 33,1 % |
| 2010/2011 | 25,5 % | 15,5 % | 32,1 % |
| 2012/2013 | 26,4 % | 14,7 % | 34,9 % |
Tabell 2 viser andelen elever på 8. trinn som valgte tysk, andelen som valgte fransk, og andelen som valgte spansk som fremmedspråk noen skoleår i perioden 2002–2013.
b) Lag et kurvediagram (linjediagram) som illustrerer opplysningene gitt i tabell 2.
c) Omtrent hvor mange elever var det på 8. trinn skoleåret 2012/2013?
---
## V2014 del 2 oppgave 2 — Kvadratmeterpris for eneboliger i Stavanger med prognose for 2016
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon på kvadratmeterpriser, prognose for 2016, når en enebolig på 200 m² passerer 10 millioner og årlig vekst fra 20 % over tre år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadratmeterpris-for-eneboliger-i-stavanger-med-prognose-for-2016/
### Oppgavetekst
| År | 2002 | 2004 | 2006 | 2008 | 2010 | 2012 |
|---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Gjennomsnittspris per kvadratmeter (kroner) | 12 478 | 14 769 | 20 084 | 25 977 | 28 247 | 33 454 |
Tabellen ovenfor viser gjennomsnittspris per kvadratmeter for eneboliger i Stavanger noen år i perioden 2002–2012.
a) La $x$ være antall år etter 2002, og bestem den lineære modellen som passer best med de oppgitte verdiene.
b) Bruk modellen du fant i oppgave a), til å anslå gjennomsnittsprisen per kvadratmeter i 2016.
c) Når vil gjennomsnittsprisen for en enebolig i Stavanger på $200 \mathrm{~m^2}$ passere 10 millioner kroner dersom prisutviklingen fortsetter?
En eiendomsmegler antok i 2012 at prisen på eneboliger i Stavanger ville øke med 20 % i perioden 2012–2015.
d) Hvor stor prosentvis økning tilsvarer dette per år?
---
## V2014 del 2 oppgave 3 — Innbyggertall i Alvfjord og Brimsjø med eksponentiell og lineær vekst
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Lineær vekst, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Forklare og tegne $A(x) = 5000 \cdot 1{,}04^x$, finne når innbyggertallet passerer 10 000, og finne skjæringen med den lineære modellen $8400 + 200x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innbyggertall-i-alvfjord-og-brimsjo-med-eksponentiell-og-lineaer-vekst/
### Oppgavetekst
Bygda Alvfjord har i dag 5000 innbyggere. Man regner med at innbyggertallet vil øke med 4 % hvert år.
a) Forklar at funksjonen $A$ gitt ved $A(x) = 5000 \cdot 1{,}04^x$ kan brukes som modell for antall innbyggere i Alvfjord om $x$ år.
b) Tegn grafen til $A$ for $0 \leq x \leq 30$
c) Hvor mange innbyggere vil det være i Alvfjord om 10 år ifølge modellen i oppgave a)?
Når vil innbyggertallet i Alvfjord passere 10 000 ifølge modellen i oppgave a)?
Nabobygda Brimsjø har i dag 8400 innbyggere. Anta at innbyggertallet vil øke med 200 personer hvert år.
d) Bruk modellen i oppgave a) og antakelsen ovenfor til å anslå når det vil være like mange innbyggere i Alvfjord og Brimsjø.
---
## V2014 del 2 oppgave 4 — Maksimalt areal av gjerdet område langs mur
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp arealmodell $A(x)$ for rektangel med gitt total gjerdelengde og eksisterende mur, og maksimere arealet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maksimalt-areal-av-gjerdet-omrade-langs-mur/
### Oppgavetekst
Ola har 120 m gjerde. Han skal gjerde inn et område. Området skal ha form som et rektangel med lengde $x$ meter og bredde $y$ meter der $y > 20$. Langs den ene siden av området står det en mur. Muren er 20 m lang. Ola trenger ikke gjerde langs muren. Se skissen ovenfor.
a) Bestem en modell som viser sammenhengen mellom lengden $x$ og arealet $A(x)$ av området.
b) Bestem $x$ slik at arealet av området blir størst mulig.
Hvor stort blir området da?
---
## V2014 del 2 oppgave 6 — Izabela Duda håndball gjennomsnitt og kumulativ frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik fra rådata, sammenligne to spillere, og lese av kumulativ frekvenstabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/izabela-duda-handball-gjennomsnitt-og-kumulativ-frekvens/
### Oppgavetekst
Izabela Duda fra Oppsal ble toppskårer i Eliteserien i håndball for kvinner i sesongen 2012/2013. Nedenfor ser du hvor mange mål hun skåret i hver av de 22 kampene.
$$
6 \quad 1 \quad 4 \quad 8 \quad 8 \quad 17 \quad 7 \quad 12 \quad 1 \quad 8 \quad 4
$$
$$
7 \quad 10 \quad 13 \quad 14 \quad 7 \quad 9 \quad 7 \quad 11 \quad 12 \quad 7 \quad 4
$$
a) Hvor mange mål skåret hun i gjennomsnitt per kamp?
En annen spiller skåret i gjennomsnitt 5 mål per kamp i de 22 kampene. Standardavviket hennes for antall mål per kamp var 2,5.
b) Sammenlikn denne spillerens prestasjoner med Izabela Dudas.
Izabela Duda skåret noen av målene på straffekast. Tabellen viser kumulativ frekvens for antall mål hun skåret på straffekast i løpet av de 22 kampene.
| Antall mål på straffekast | Kumulativ frekvens |
|:---:|:---:|
| 0 | 8 |
| 1 | 14 |
| 2 | 17 |
| 3 | 21 |
| 4 | 22 |
c) I hvor mange kamper skåret hun tre mål på straffekast?
Hvor mange mål skåret hun på straffekast i løpet av de 22 kampene?
---
## V2014 del 2 oppgave 7 — Theas sjokoladefigurer figurtall og generell formel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Rekker, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Finne rekursivt mønster i figurtall, uttrykke $F_n$ generelt og løse ulikheten $F_n \leq 5000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/theas-sjokoladefigurer-figurtall-og-generell-formel/
### Oppgavetekst
Thea lager figurer av små sjokolader. Figurene ovenfor har hun kalt $F_2$, $F_3$ og $F_4$.
a) Hvor mange små sjokolader vil det være i figuren $F_5$?
Thea vil sette opp en modell som viser hvor mange små sjokolader hun trenger for å lage enda større figurer. Hun får en god idé og lager figuren $F_4$ på nytt.
Hun regner nå ut at antall små sjokolader i figuren $F_4$ er $3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 37$.
b) Vis hvordan Thea kan bestemme antall små sjokolader i $F_3$ og $F_5$ ved å regne på samme måte.
c) Hvor mange små sjokolader trenger hun for å lage figuren $F_{10}$?
Sett opp en modell som Thea kan bruke for å bestemme antall små sjokolader i figuren $F_n$ uttrykt ved $n$.
d) Hva er den største figuren $F_n$ Thea kan lage dersom hun har 5000 små sjokolader?
---
## H2014 del 1 oppgave 1 — Brøk med store tall på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne brøk med store og små tall og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brok-med-store-tall-pa-standardform/
### Oppgavetekst
$$
\frac{0{,}0003 \cdot 500\,000\,000}{0{,}002}
$$
Regn ut og skriv svaret på standardform.
---
## H2014 del 1 oppgave 2 — Opprinnelig pris etter prisøkning på 25 prosent
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris ved å dele ny pris på vekstfaktoren 1,25.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/opprinnelig-pris-etter-prisokning-pa-25-prosent/
### Oppgavetekst
Prisen for en vare er satt opp med 25 %. Nå koster varen 250 kroner.
Hva kostet varen før prisen ble satt opp?
---
## H2014 del 1 oppgave 3 — Antall ark i en bunke på 300 meter på standardform
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Proporsjonalitet, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne om 300 m til cm og bruke forholdet 500 ark per 6 cm til å finne antall ark, skrevet på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-ark-i-en-bunke-pa-300-meter-pa-standardform/
### Oppgavetekst
En bunke med 500 ark er 6 cm høy.
Hvor mange ark vil det være i en bunke som er 300 m høy?
Skriv svaret på standardform.
---
## H2014 del 1 oppgave 4 — Regneuttrykk med potenser og negative eksponenter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne uttrykk med potenser, nulleksponent og negativ eksponent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regneuttrykk-med-potenser-og-negative-eksponenter/
### Oppgavetekst
$$
\frac{2^3 \cdot 2^0}{2} - 8 \cdot 2^{-2}
$$
Regn ut.
---
## H2014 del 1 oppgave 5 — Lineær og eksponentiell modell for elevtall ved to skoler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp lineær modell fra to datapunkter, bruke den til å beregne fremtidig verdi, og tolke en gitt eksponentialfunksjon uten beregning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-for-elevtall-ved-to-skoler/
### Oppgavetekst
I 2014 er det 350 elever ved en skole. Anta at det vil være 275 elever ved skolen i 2029, og at antall elever avtar lineært i denne perioden.
a) Bestem en modell som viser hvor mange elever $A(x)$ det vil være ved skolen $x$ år etter 2014.
b) Hvor mange elever vil det være ved skolen i 2024 ifølge modellen i oppgave a)?
Ved en annen skole antar ledelsen at funksjonen $B$ gitt ved
$$
B(x) = 200 \cdot 1{,}03^x
$$
kan brukes som modell for antall elever ved skolen $x$ år etter 2014.
c) Hva kan du si, uten å gjøre beregninger, om antall elever ved denne skolen ut fra modellen?
---
## H2014 del 1 oppgave 6 — Mobilapplikasjon med geometrisk vekst
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk for geometrisk vekst — antall nedlastinger ved gitt tidspunkt og sum over flere måneder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mobilapplikasjon-med-geometrisk-vekst/
### Oppgavetekst
I september 2014 ble en mobilapplikasjon lastet ned 1500 ganger. Antall nedlastinger har økt med 8 % per måned det siste året, og vi antar at denne utviklingen vil fortsette.
a) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å bestemme hvor mange ganger mobilapplikasjonen vil bli lastet ned i desember 2014.
b) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å bestemme hvor mange ganger mobilapplikasjonen til sammen ble lastet ned i juli, august, september og oktober 2014.
---
## H2014 del 1 oppgave 7 — Histogram over aldersfordeling på kinoforestilling
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lese og tolke frekvenstabell-histogram (frekvens/klassebredde), forklare frekvens, beregne prosentandel og gjennomsnitt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/histogram-over-aldersfordeling-pa-kinoforestilling/
### Oppgavetekst
Histogrammet ovenfor viser aldersfordelingen blant de besøkende på en kinoforestilling.
a) Forklar at det var 30 besøkende mellom 30 og 50 år.
b) Hvor mange prosent av de besøkende var mellom 0 og 10 år?
c) Bestem gjennomsnittsalderen blant de besøkende.
---
## H2014 del 1 oppgave 8 — Padletur til Torsøy og tilbake med grafavlesning
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tolke avstand-tid-grafer for to padlere — lese av tidspunkt, opphold og fart fra stykkvise lineære grafer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/padletur-til-torsoy-og-tilbake-med-grafavlesning/
### Oppgavetekst
Torbjørn og Tore padler fra Flekkefjord til Torsøy. Der går de i land og tar en pause før de padler tilbake. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av padleturen til Torbjørn (blå graf) og padleturen til Tore (rød graf).
a) Hvem kommer først til Torsøy?
Hvor lenge er hver av de to guttene på Torsøy?
b) Hvor fort padler Tore på vei ut til Torsøy?
c) Hva kan du si om hjemturen ut fra grafene ovenfor?
---
## H2014 del 1 oppgave 9 — Ishockey-statistikk med gjennomsnitt og frekvens
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median, kumulativ frekvens og relativ frekvens fra frekvenstabell, og tolke svarene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ishockey-statistikk-med-gjennomsnitt-og-frekvens/
### Oppgavetekst
Oda spiller ishockey. Tabellen nedenfor viser hvor mange mål hun skåret per kamp i løpet av forrige sesong.
| Antall mål per kamp | Frekvens |
|:-------------------:|:--------:|
| 0 | 2 |
| 1 | 6 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 1 |
a) Bestem gjennomsnittet og medianen.
b) Bestem den kumulative frekvensen for to mål per kamp.
c) Bestem den relative frekvensen for tre mål per kamp.
d) Forklar hva svarene i b) og c) forteller om antall mål Oda skåret denne sesongen.
---
## H2014 del 2 oppgave 1 — Spydkast med gjennomsnitt og standardavvik
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for seks kastlengder, og sammenligne spredning for to utøvere.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/spydkast-med-gjennomsnitt-og-standardavvik/
### Oppgavetekst
I kroppsøvingstimen kastet Svein spyd seks ganger. Nedenfor ser du hvor langt han kastet i hvert av de seks kastene.
$23{,}5 \mathrm{~m}$   $26{,}1 \mathrm{~m}$   $18{,}4 \mathrm{~m}$   $22{,}8 \mathrm{~m}$   $25{,}1 \mathrm{~m}$   $20{,}3 \mathrm{~m}$
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket.
Kjell kastet også spyd seks ganger. Standardavviket for kastene til Kjell var $3{,}2 \mathrm{~m}$.
b) Hva kan du ut fra dette si om kastene til Kjell sammenliknet med kastene til Svein?
---
## H2014 del 2 oppgave 2 — Giftkonsentrasjon i innsjø etter tankbilulykke
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke eksponentialfunksjon for giftkonsentrasjon — startverdi, prosentvis nedgang per døgn, gjennomsnittlig avtak per uke og finne tidspunkt der konsentrasjonen er under grenseverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/giftkonsentrasjon-i-innsjo-etter-tankbilulykke/
### Oppgavetekst
En tankbil med gift har vært innblandet i en ulykke. Noe av giften har havnet i en innsjø. Innsjøen brukes som drikkevannskilde.
Giftkonsentrasjonen $f(x)$ mg/L i drikkevannet $x$ døgn etter ulykken er gitt ved
$$
f(x) = 1{,}42 \cdot 0{,}87^x
$$
a) Bestem giftkonsentrasjonen i drikkevannet rett etter ulykken.
Hvor mange prosent avtar giftkonsentrasjonen i drikkevannet per døgn?
b) Hvor mye avtok giftkonsentrasjonen i drikkevannet i gjennomsnitt per døgn den første uken etter ulykken?
Når giftkonsentrasjonen kommer under $0{,}40 \mathrm{~mg/L}$, er det ikke lenger farlig å drikke vannet.
c) Hvor mange døgn tar det før vannet igjen kan drikkes?
---
## H2014 del 2 oppgave 3 — Sparekonto ved konfirmasjon med rentes rente
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Sparing, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Beregne kontoverdi og prosentvis økning etter rentes rente i 10 år, og sammenligne to ulike innskuddsstrategier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparekonto-ved-konfirmasjon-med-rentes-rente/
### Oppgavetekst
Da Mads og Malin ble konfirmert, opprettet de hver sin konto i banken. Begge satte inn 25 000 kroner. Renten er 2,25 % per år.
a) Hvor mye vil Mads ha på kontoen 10 år etter konfirmasjonen dersom han lar pengene stå urørt?
Hvor mange prosent har beløpet på kontoen hans til sammen økt i denne perioden?
Malin lar pengene stå urørt i 5 år. Så setter hun inn 25 000 kroner til på kontoen sin.
b) Hvor mye vil Malin ha på kontoen 10 år etter konfirmasjonen?
---
## H2014 del 2 oppgave 4 — Perlefigurer med mønster og formel for Fn
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Tegne neste figur i mønster, sette opp algebraisk formel for antall perler i $F_n$ og bruke den til å beregne $F_{50}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/perlefigurer-med-monster-og-formel-for-fn/
### Oppgavetekst
Ole lager figurer av runde perler. Ovenfor ser du tre figurer, $F_1$, $F_2$ og $F_3$.
a) Følg samme mønster, og tegn figuren $F_4$.
b) Sett opp en modell som viser hvor mange perler det vil være i figur $F_n$ uttrykt ved $n$.
c) Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler det vil være i figuren $F_{50}$.
---
## H2014 del 2 oppgave 5 — Fuglebur av hønsenetting langs mur – optimalt volum
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Volum, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bevise overflateformel og høydeformel for rektangulært prisme langs mur, og maksimere volumet $V(x) = 4x^2 h(x)$ ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fuglebur-av-honsenetting-langs-mur-optimalt-volum/
### Oppgavetekst
Du skal lage et fuglebur av hønsenetting. Buret skal ha form som et rett, firkantet prisme. Buret skal bygges langs en mur slik at muren utgjør den ene veggen. Buret skal stå på bakken og trenger ikke bunn.
Sett bredden av buret lik $x$ meter og høyden lik $h$ meter. Buret skal være fire ganger så langt som det er bredt. Se skissen ovenfor.
a) Vis at overflaten $O(x) \mathrm{~m^2}$ som skal lages av hønsenetting, er gitt ved
$$
O(x) = 4x^2 + 6hx
$$
Du skal bruke $40 \mathrm{~m^2}$ hønsenetting.
b) Vis at høyden $h$ meter av buret da er gitt ved
$$
h = \frac{40 - 4x^2}{6x}
$$
c) Hvordan må du lage buret for at volumet skal bli størst mulig?
---
## H2014 del 2 oppgave 6 — Melkeforbruk i Norge med lineær og andregradsfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Andregradsfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lineær og andregradsfunksjon fra regresjon på søylediagram-data, tegne grafene, og bruke begge modellene til å beregne fremtidig forbruk og endring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/melkeforbruk-i-norge-med-lineaer-og-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser hvor mange liter melk hver person i Norge drakk i gjennomsnitt hvert år i perioden 2007–2013.
Sett $x = 0$ i 2007, $x = 1$ i 2008 og så videre.
a) Bruk opplysningene i diagrammet til å bestemme
- en lineær funksjon som viser hvordan forbruket av melk har endret seg i denne perioden
- en andregradsfunksjon som viser hvordan forbruket av melk har endret seg i denne perioden
b) Tegn grafene til funksjonene du fant i oppgave a) i et koordinatsystem for $0 \le x \le 25$.
c) Hvor mange liter melk vil hver person i Norge i gjennomsnitt drikke hvert år om ti år ifølge hver av de to funksjonene?
d) Hvor mange liter vil forbruket per person avta med per år om ti år ifølge hver av de to funksjonene?
---
## H2014 del 2 oppgave 7 — Reell fart på tredemølle med regresjon og modellvalg
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Lineære funksjoner, Proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Beregne reell fart fra antall runder, velge mellom lineær og potensfunksjon som modell ved regresjon, bruke valgt modell til å finne innstilt fart og lage praktisk oppslag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/reell-fart-pa-tredemolle-med-regresjon-og-modellvalg/
### Oppgavetekst
I displayet på en tredemølle kan farten justeres mellom 0 km/h og 20 km/h. Det er mistanke om at båndet på tredemøllen går for fort i forhold til farten som angis i displayet (angitt fart). En gruppe 2P-elever får i oppgave å undersøke dette.
Elevene måler at løpebåndet på tredemøllen er 3,25 meter langt. Når båndet har gått én runde, har man altså løpt 3,25 meter. For å undersøke sammenhengen mellom angitt fart og reell fart teller elevene antall runder båndet går i løpet av ett minutt ved ulike fartsangivelser.
| Angitt fart $x$ km/h | Antall runder i løpet av ett minutt | Reell fart $f(x)$ km/h |
|:--------------------:|:-----------------------------------:|:----------------------:|
| 2,5 | 18 | 3,51 |
| 5,0 | 35 | |
| 10,0 | 65 | |
| 15,0 | 95 | |
| 20,0 | 124 | |
a) Skriv av tabellen ovenfor i besvarelsen din, gjør beregninger, og fyll inn verdiene for reell fart i kolonnen til høyre.
Elevene vil lage en modell som viser den reelle farten $f(x)$ km/h som funksjon av den angitte farten $x$ km/h.
b) Bestem den lineære funksjonen som passer best som modell for denne sammenhengen.
Bestem den potensfunksjonen som passer best som modell for denne sammenhengen.
Hvilken av disse to modellene mener du elevene bør velge? Begrunn svaret.
Henrik vil løpe i 15 km/h.
c) Hvilken fart bør han angi i displayet på tredemøllen ifølge modellen du valgte i oppgave b)?
Elevene vil lage et oppslag som skal henge ved siden av tredemøllen, slik at de som løper, kan finne den reelle farten.
d) Lag et forslag til oppslag.
---
## V2013 del 1 oppgave 1 — Taxisjåfør – sentralmål og frekvenstabell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Bestem median, gjennomsnitt og typetall for datasett, og sett opp frekvenstabell med kumulativ frekvens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/taxisjafor-sentralmal-og-frekvenstabell/
### Oppgavetekst
En kveld kjørte en taxisjåfør 10 turer.
Nedenfor ser du hvor mange passasjerer han hadde med på hver av turene.
$$
1 \quad 5 \quad 3 \quad 3 \quad 5 \quad 2 \quad 1 \quad 4 \quad 1 \quad 2
$$
a) Bestem medianen, gjennomsnittet og typetallet for dette datamaterialet.
b) Sett opp en tabell som viser frekvens og kumulativ frekvens for antall passasjerer på turene.
---
## V2013 del 1 oppgave 2 — Produkt på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne $0{,}075 \cdot 2\,000\,000$ og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produkt-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
0{,}075 \cdot 2\,000\,000
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 3 — Sammenligne brøker med potenser
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne og sammenligne verdien av to brøker med negative potenser for å avgjøre hvilken som er størst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligne-broker-med-potenser/
### Oppgavetekst
Hvilken av de to brøkene $A$ og $B$ nedenfor har størst verdi?
$$
A: \quad \frac{15 \cdot 5^{-1}}{2^2}
$$
$$
B: \quad \frac{1}{6^{-2} \cdot 3 \cdot 15}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 4 — Sigvalds ukelønntilbud – lineære modeller
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graf
- **Kort beskrivelse:** Sette opp to lineære funksjoner for ukentlig lønn som funksjon av antall oppvask, skissere grafene og tolke skjæringspunktet for å gi råd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sigvalds-ukelonntilbud-lineaere-modeller/
### Oppgavetekst
Sigvald får følgende tilbud fra foreldrene sine:
| **TILBUD 1** | **TILBUD 2** |
|---|---|
| Du får 100 kroner i fast ukelønn. I tillegg får du 5 kroner hver gang du tar oppvasken. | Du får 50 kroner i fast ukelønn. I tillegg får du 10 kroner hver gang du tar oppvasken. |
a) Sett opp et matematisk uttrykk som kan være en modell for tilbud 1, og et matematisk uttrykk som kan være en modell for tilbud 2.
b) Skisser grafen til hver av modellene, og gi Sigvald råd om hvilket tilbud han bør velge.
---
## V2013 del 1 oppgave 5 — Tallsystemer grunntall 2 og 10
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Bits og bytes
- **Kort beskrivelse:** Konvertere $101011_2$ til grunntall 10 og $26$ til grunntall 2 ved hjelp av plassverdisystemet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallsystemer-grunntall-2-og-10/
### Oppgavetekst
Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger, og fyll inn det som mangler.
| Plassverdisystem med grunntall 10 | Plassverdisystem med grunntall 2 |
|:---:|:---:|
| | $101011_2$ |
| 26 | |
---
## V2013 del 1 oppgave 6 — Eksponentiell nedgang i bilverdi
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp eksponentiell funksjon for 10 % årlig verdifall, og identifisere korrekt graf blant tre alternativer med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-nedgang-i-bilverdi/
### Oppgavetekst
Stian har kjøpt en bruktbil. Bilen kostet $100\,000 \mathrm{~kr}$.
Anta at verdien vil avta med $10 \,\%$ per år.
a) Sett opp en modell $f$ som Stian kan bruke for å regne ut verdien av bilen i årene som kommer.
b) Hvilken av grafene nedenfor er grafen til $f$? Begrunn svaret ditt.
---
## V2013 del 1 oppgave 7 — Gjennomsnittsinntekt i borettslag
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnittsinntekt fra gruppert frekvenstabell ved å bruke midtpunkt i hvert intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittsinntekt-i-borettslag/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser inntektene til personene i et borettslag.
| Inntekt (i 1000 kroner) | Antall personer |
|:---:|:---:|
| $\left[300, 400\right\rangle$ | 20 |
| $\left[400, 500\right\rangle$ | 20 |
| $\left[500, 700\right\rangle$ | 10 |
Bestem gjennomsnittsinntekten for personene i borettslaget.
---
## V2013 del 1 oppgave 8 — Vinkelsum i mangekanter delt i trekanter
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Mønstre, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Dele mangekanter i trekanter for å finne vinkelsummen, generalisere til $(n-2) \cdot 180\degree$ og finne antall kanter når vinkelsummen er $1800\degree$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkelsum-i-mangekanter-delt-i-trekanter/
### Oppgavetekst
Vinkelsummen i en trekant er $180\degree$.
a) Bruk figurene ovenfor til å bestemme vinkelsummen i en firkant og i en femkant.
b) Bestem vinkelsummen i en sekskant og i en åttekant.
Trekanter, firkanter, femkanter og så videre kalles mangekanter.
c) I en mangekant er vinkelsummen $1800\degree$. Hvor mange kanter har denne mangekanten?
---
## V2013 del 2 oppgave 1 — Diagrammer for Stortinget 2009–2013
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage sektordiagram for partifordeling og passende diagram for kjønnsfordeling per parti fra to tabeller med Stortingsdata.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diagrammer-for-stortinget-2009-2013/
### Oppgavetekst
| Stortinget ved starten av perioden 2009–2013 | |
|---|---|
| **Parti** | **Antall representanter** |
| Arbeiderpartiet | 64 |
| Fremskrittspartiet | 41 |
| Høyre | 30 |
| Sosialistisk Venstreparti | 11 |
| Senterpartiet | 11 |
| Kristelig Folkeparti | 10 |
| Venstre | 2 |
a) Lag et sektordiagram som illustrerer opplysningene gitt i tabellen ovenfor.
| Stortinget ved starten av perioden 2009–2013 | | |
|---|---|---|
| **Parti** | **Antall kvinner** | **Antall menn** |
| Arbeiderpartiet | 32 | 32 |
| Fremskrittspartiet | 10 | 31 |
| Høyre | 9 | 21 |
| Sosialistisk Venstreparti | 3 | 8 |
| Senterpartiet | 7 | 4 |
| Kristelig Folkeparti | 4 | 6 |
| Venstre | 2 | 0 |
b) Lag et passende diagram som illustrerer opplysningene gitt i tabellen ovenfor.
---
## V2013 del 2 oppgave 2 — Leiebil med lineær kilometerpris
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Finne lineær modell $y = ax + b$ fra to punkter i en pristabell, regne ut pris for 300 km og tolke stigningstall og konstantledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leiebil-med-lineaer-kilometerpris/
### Oppgavetekst
Familien din er på ferie og skal leie en bil. Tabellen nedenfor viser hvor mye det koster å leie bilen hvis dere kjører $100 \mathrm{~km}$, og hvor mye det koster hvis dere kjører $150 \mathrm{~km}$.
| Antall kilometer | 100 | 150 |
|---|:---:|:---:|
| Pris (kroner) | 500 | 625 |
Det er en lineær sammenheng mellom antall kilometer og pris.
a) Hva vil det koste å leie bilen dersom dere skal kjøre $300 \mathrm{~km}$?
Dersom dere kjører $x \mathrm{~km}$, må dere betale $y$ kroner.
b) Bestem en modell på formen $y = ax + b$ som viser sammenhengen mellom $x$ og $y$.
c) Gi en praktisk tolkning av tallene $a$ og $b$ i denne oppgaven.
---
## V2013 del 2 oppgave 3 — Kjedebrev på e-post som dobles hver dag
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Tallfølger, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Modellere antall mottakere som $2^n$ når antallet dobles hver dag, og finne første dag antallet overstiger én milliard.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjedebrev-pa-e-post-som-dobles-hver-dag/
### Oppgavetekst
Petter vil sende en e-post med en matematikkoppgave til to personer 1. januar. Anta at hver av de to personene sender e-posten videre til to nye personer dagen etter, at hver av de fire som da får den, også sender den videre til to nye personer dagen etter at de mottok den, og at e-posten fortsetter å spres på samme måte i dagene framover.
a) Hvor mange personer vil motta e-posten 6. januar?
b) På hvilken dato vil antall mottatte e-poster på én dag for første gang bli større enn én milliard?
---
## V2013 del 2 oppgave 3 — Skøyteresultater OL 1968 og 2010
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne prosentvis endring i vinnertid, gjennomsnitt og standardavvik for to datasett, og tolke forskjellen i spredning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skoyteresultater-ol-1968-og-2010/
### Oppgavetekst
Tabellene nedenfor viser resultatene for de åtte beste utøverne på $1500 \mathrm{~m}$ skøyter for menn under OL i 1968 og under OL i 2010.
**OL 1968**
| Plass | Utøver | Land | Tid (sekunder) |
|:---:|---|---|:---:|
| 1 | Kees Verkerk | Nederland | 123,4 |
| 2 | Ivar Eriksen | Norge | 125,0 |
| 2 | Ard Schenk | Nederland | 125,0 |
| 4 | Magne Thomassen | Norge | 125,1 |
| 5 | Johnny Höglin | Sverige | 125,2 |
| 6 | Bjørn Tveter | Norge | 125,2 |
| 7 | Svein-Erik Stiansen | Norge | 125,5 |
| 8 | Eduard Matusevitsj | Sovjetunionen | 126,1 |
**OL 2010**
| Plass | Utøver | Land | Tid (sekunder) |
|:---:|---|---|:---:|
| 1 | Mark Tuitert | Nederland | 105,57 |
| 2 | Shani Davis | USA | 106,10 |
| 3 | Håvard Bøkko | Norge | 106,13 |
| 4 | Ivan Skobrev | Russland | 106,42 |
| 5 | Mo Tae-bum | Korea | 106,47 |
| 6 | Chad Hedrick | USA | 106,69 |
| 7 | Simon Kuipers | Nederland | 106,76 |
| 8 | Mikael Flygind Larsen | Norge | 106,77 |
a) Hvor mange prosent sank vinnertiden med fra 1968 til 2010?
b) Bestem gjennomsnittstiden for de åtte beste i 1968 og for de åtte beste i 2010.
c) Bestem standardavviket for de to tallmaterialene.
Hvorfor er standardavviket større i 1968 enn i 2010?
---
## V2013 del 2 oppgave 4 — Lineær regresjon for dorulldiameter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Modellering, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Plotte datapunkter for dorulldiameter, finne lineær regresjonsmodell, ekstrapolere til tom dorull og sammenligne med opplysninger fra pakken.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-regresjon-for-dorulldiameter/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom diameteren til en dorull og hvor mange meter papir som er brukt av dorullen.
| Antall meter papir som er brukt av dorullen | 0 | 2 | 6 | 10 | 12 |
|---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Dorullens diameter (millimeter) | 102 | 96 | 83 | 72 | 67 |
a) Tegn et koordinatsystem med meter som enhet langs $x$-aksen og millimeter som enhet langs $y$-aksen. Marker verdiene fra tabellen ovenfor som punkter i koordinatsystemet.
b) Bruk regresjon til å bestemme en lineær funksjon som passer godt med punktene fra oppgave 4 a). Tegn grafen til funksjonen i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave 4 a).
En tom dorull har en diameter på $38 \mathrm{~mm}$.
c) Hvor mange meter papir er det på en ny dorull ifølge modellen i oppgave 4 b)?
På pakken med doruller står det at hver dorull inneholder 160 ark.
Hvert ark er $14 \mathrm{~cm}$ langt.
d) Hvordan stemmer modellen i oppgave 4 b) med dette?
---
## V2013 del 2 oppgave 5 — Lineær og eksponentiell modell for bilverdi
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lineær og eksponentiell modell for bilverditap fra gitte data, og sammenligne prediksjonene for et fremtidig år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-for-bilverdi/
### Oppgavetekst
I 2011 kjøpte Helene en bruktbil. Hun fant da tabellen nedenfor på Internett.
Alle beløp er oppgitt i kroner.
| | |
|---|---:|
| Bilmerke | Volvo |
| Bilmodell | V50 |
| Nybilpris i 2006 | 299 990 |
| Antatt verdi i 2011 | 171 000 |
| Verditap | 128 900 |
| Verditap årlig | 25 780 |
a) Forklar at det årlige verditapet på bilen er beregnet ved hjelp av en lineær modell og bestem denne modellen.
Helene lurer på om det vil være mer realistisk å bruke en eksponentiell modell.
b) Bestem en eksponentiell modell som totalt gir samme verditap på bilen fra 2006 til 2011 som den lineære modellen.
c) Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den lineære modellen?
Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den eksponentielle modellen?
---
## H2013 del 1 oppgave 1 — Elevfravær – sentralmål og valg mellom gjennomsnitt og median
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Bestemme gjennomsnitt, median og typetall for 20 fraværstall med ekstreme verdier, og begrunne valg av median som sentralmål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elevfravaer-sentralmal-og-valg-mellom-gjennomsnitt-og-median/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et skoleår.
$$
0 \quad 3 \quad 2 \quad 7 \quad 2 \quad 0 \quad 0 \quad 11 \quad 4 \quad 3 \quad 28 \quad 1 \quad 0 \quad 3 \quad 2 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 32
$$
a) Bestem gjennomsnitt, median og typetall for elevenes fravær dette skoleåret.
b) Dersom du skulle presentere et sentralmål for klassens fravær dette skoleåret, ville du da brukt gjennomsnitt eller median? Forklar hvorfor.
---
## H2013 del 1 oppgave 2 — Produkt av tall på standardform
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere $3{,}2 \cdot 10^8$ og $4{,}0 \cdot 10^{-3}$ og skrive resultatet på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produkt-av-tall-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
3{,}2 \cdot 10^8 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3}
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 3 — Forenkle potensuttrykk med grunntall 2, 3 og 4
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle potensuttrykk med potens av potens, negative eksponenter og brøk ved å skrive om til felles grunntall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-potensuttrykk-med-grunntall-2-3-og-4/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
(2^2)^{-3} \cdot 4^4
$$
b)
$$
\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \dfrac{(2^3)^2 \cdot 3^{-1}}{6}
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 4 — Rente på bankinnskudd over fem år
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk for samlet rente på $200\,000 \mathrm{~kr}$ med $4{,}65\,\%$ rente over 5 år ved hjelp av vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rente-pa-bankinnskudd-over-fem-ar/
### Oppgavetekst
Per satte inn 200 000 kroner i banken 1. januar 2008. Renten har vært $4{,}65 \,\%$ per år.
Sett opp et uttrykk som viser hvor mye penger Per har fått i rente i løpet av de fem årene fra 1. januar 2008 til 1. januar 2013.
---
## H2013 del 1 oppgave 5 — Lineær modell for barns ordforråd
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne linje gjennom to punkter, lese av verdi og bestemme funksjonsuttrykk med gyldighetsområde for lineær modell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-barns-ordforrad/
### Oppgavetekst
Ifølge en undersøkelse kan et 20 måneder gammelt barn i gjennomsnitt 300 ord. Et 50 måneder gammelt barn kan i gjennomsnitt 2100 ord.
a) Framstill opplysningene ovenfor som punkter i et koordinatsystem med måneder som enhet langs $x$-aksen og ord som enhet langs $y$-aksen. Trekk en rett linje gjennom punktene.
Linjen i oppgave a) kan brukes som modell for sammenhengen mellom et barns alder og hvor mange ord barnet kan.
b) Bruk linjen til å anslå hvor mange ord et 35 måneder gammelt barn i gjennomsnitt kan.
c) Bestem et matematisk uttrykk for modellen. Kommenter modellens gyldighetsområde.
---
## H2013 del 1 oppgave 6 — Gjennomsnittlige lommepenger fra klassedelt tabell
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Grupperte data
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt fra klassedelt materiale ved å bruke klassemidtpunktene som representative verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlige-lommepenger-fra-klassedelt-tabell/
### Oppgavetekst
| Lommepenger (kroner) | Antall elever |
|:---:|:---:|
| $\left[0, 300\right\rangle$ | 30 |
| $\left[300, 600\right\rangle$ | 15 |
| $\left[600, 900\right\rangle$ | 5 |
Tabellen ovenfor viser hvor mye lommepenger elevene ved en skole får en måned.
Hvor mye får elevene ved skolen i gjennomsnitt i lommepenger denne måneden?
---
## H2013 del 1 oppgave 7 — Praktisk situasjon for eksponentiell nedgang fra 300 000
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke startverdi og vekstfaktor i $f(x) = 300\,000 \cdot 0{,}9^x$ og beskrive en praktisk situasjon med 10 % årlig nedgang.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/praktisk-situasjon-for-eksponentiell-nedgang-fra-300-000/
### Oppgavetekst
Beskriv en praktisk situasjon der funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = 300\,000 \cdot 0{,}9^x$ kan brukes som modell.
---
## H2013 del 1 oppgave 8 — Totallsystem og tretallsystem
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Konvertere tall til totallsystem, formulere doble-regel og bruke plassverdier i tretallsystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/totallsystem-og-tretallsystem/
### Oppgavetekst
a) Skriv tallene 11, 22 og 44 i totallsystemet.
b) Formuler en regel for hvordan vi dobler et tall i totallsystemet.
Tallene $121_3$ og $120010_3$ er skrevet i tretallsystemet.
c) Hvilket tall i tretallsystemet er tre ganger så stort som tallet $121_3$? Hvilket tall i tretallsystemet er en tredjedel av tallet $120010_3$?
---
## H2013 del 2 oppgave 1 — Utenlandske spillere i Eliteserien
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for antall utenlandske spillere i Eliteserien 2000–2012 fra infografisk fremstilling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utenlandske-spillere-i-eliteserien/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du hvor mange utenlandske spillere som spilte i den norske eliteserien hvert år i perioden 2000–2012.
Bestem gjennomsnitt og standardavvik for dette datamaterialet.
---
## H2013 del 2 oppgave 2 — Sektordiagram for transportmidler til skolen
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage sektordiagram fra frekvenstabell med fem kategorier for transportmiddel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-for-transportmidler-til-skolen/
### Oppgavetekst
| | Antall elever |
|---|---|
| Går | 4 |
| Sykler | 7 |
| Kjører privat bil | 3 |
| Tar buss | 10 |
| Tar tog | 6 |
I tabellen ovenfor ser du hvordan elevene i en klasse kommer seg til og fra skolen.
Bruk et sektordiagram til å presentere datamaterialet fra tabellen.
---
## H2013 del 2 oppgave 3 — Energi frigitt i atomkraftverk med E = mc²
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Formler
- **Kort beskrivelse:** Anvende $E = mc^2$ med $c = 3{,}0 \cdot 10^8$ for å beregne frigitt energi og løse for masse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/energi-frigitt-i-atomkraftverk-med-e-mc2/
### Oppgavetekst
I et atomkraftverk omdannes radioaktive atomkjerner. I omdanningen forsvinner noe av massen fra atomkjernene, og energi blir frigitt.
Når massen $m$ kilogram forsvinner fra atomkjernene, er den frigitte energien, $E$ Joule (J), gitt ved
$$
E = m \cdot c^2
$$
Konstanten $c$ har verdien $3{,}0 \cdot 10^8$
a) Hvor mye energi blir frigitt når en masse på $0{,}010 \mathrm{~kg}$ forsvinner fra atomkjernene?
En norsk husholdning har et årlig energiforbruk på $9{,}0 \cdot 10^{10} \mathrm{~J}$
b) Hvor mye masse må forsvinne for å gi nok energi til en norsk husholdning i et år?
---
## H2013 del 2 oppgave 4 — Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lineær og eksponentiell regresjonsmodell, bruke modellene til prognose og finne når andelen blir lavere enn 5 %, og kommentere gyldighetsområde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andel-mannlige-roykere-1985-2010-lineaer-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
| Årstall | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2010 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prosent mannlige røykere | 42 | 37 | 34 | 31 | 25 | 19 |
Tabellen ovenfor viser hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år som røykte hver dag noen år i perioden 1985–2010.
Sett $x = 0$ i 1985, $x = 5$ i 1990 og så videre, og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme
a) 1) en lineær modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg
2\) en eksponentiell modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg
b) Hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år vil være røykere i 2020 ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?
c) Når vil andelen mannlige røykere bli lavere enn 5 % ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?
d) Kommenter modellenes gyldighetsområde.
---
## H2013 del 2 oppgave 5 — Bakteriekultur som dobles hver sjette time
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp eksponentiell modell for bakterier som dobles hver sjette time, finne vekstfaktor per time og løse $f(t) = 50\,000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakteriekultur-som-dobles-hver-sjette-time/
### Oppgavetekst
Runar observerer en bakteriekultur i to døgn. Når han begynner observasjonene, er det 1000 bakterier i bakteriekulturen. Det viser seg at antall bakterier dobles hver sjette time. Etter $6 \mathrm{~h}$ er det 2000 bakterier i bakteriekulturen, etter $12 \mathrm{~h}$ er det 4000 bakterier i bakteriekulturen, osv.
a) Hvor mange bakterier vil det være i bakteriekulturen etter $24 \mathrm{~h}$?
b) Sett opp en modell som viser hvordan antall bakterier endrer seg i løpet av de to døgnene.
c) Hvor mange prosent øker antall bakterier med per time?
d) Hvor mange bakterier vil det være i bakteriekulturen etter $40 \mathrm{~h}$?
Etter hvor mange timer vil det være 50 000 bakterier i bakteriekulturen?
---
## H2013 del 2 oppgave 6 — Klassedelt materiale for reisetid til skolen
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lage klassedelt materiale med bredde 10, beregne gjennomsnitt fra klassedelt materiale og avgjøre andel under 60 min.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klassedelt-materiale-for-reisetid-til-skolen/
### Oppgavetekst
I en undersøkelse ble 30 elever spurt om hvor lang tid de bruker på å komme seg til og fra skolen hver dag. Elevene oppga tiden i minutter. Resultatet av undersøkelsen er vist nedenfor.
$28 \quad 56 \quad 12 \quad 16 \quad 34 \quad 78 \quad 64 \quad 18 \quad 10 \quad 21$
$32 \quad 26 \quad 54 \quad 62 \quad 64 \quad 70 \quad 50 \quad 44 \quad 70 \quad 86$
$16 \quad 20 \quad 38 \quad 14 \quad 80 \quad 24 \quad 20 \quad 32 \quad 14 \quad 10$
a) Lag et klassedelt materiale av tallene ovenfor. La den første klassen starte i 10, og la alle klassene ha klassebredde 10.
b) Ta utgangspunkt i det klassedelte materialet i oppgave a), og bestem gjennomsnittet.
c) Bruk det klassedelte materialet til å avgjøre hvor stor andel av elevene som trenger mindre enn 60 min på å komme seg til og fra skolen.
---
## H2013 del 2 oppgave 7 — Poengberegning ved opptak til Politihøgskolen
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Regne ut opptakspoeng fra karaktersnitt og tilleggspoeng, finne nødvendig snitt for 50,7 poeng og antall fag som må forbedres.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/poengberegning-ved-opptak-til-politihogskolen/
### Oppgavetekst
Ved opptak til Politihøgskolen rangeres søkerne etter poeng.
Reglene for poengberegningen er:
- Gjennomsnittet av karakterene fra videregående skole multipliseres med 10.
- Fullført førstegangstjeneste gir 2 poeng.
- Det gis ekstrapoeng for realfag/språkfag, maksimalt 4 poeng.
- Det gis også alderspoeng, 2 poeng for hvert år etter fylte 20 år, maksimalt 8 poeng.
Poengene til søkeren er summen av poengene fra de fire punktene ovenfor.
Mathias er 22 år. Han har fullført førstegangstjenesten.
Nedenfor ser du karakterene til Mathias fra videregående skole.
$$
2 \quad 2 \quad 2 \quad 3 \quad 3 \quad 3 \quad 3 \quad 3 \quad 3 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 6
$$
Mathias får $1{,}5$ ekstrapoeng for realfag/språkfag.
Mathias søker Politihøgskolen.
a) Hvor mange poeng har han ifølge reglene ovenfor?
Mathias kom ikke inn på Politihøgskolen i Oslo. Der var poenggrensen $47{,}7$
For å være sikker på å komme inn neste år vil Mathias prøve å forbedre karakterene i noen fag, slik at han til sammen får $50{,}7$ poeng neste år.
b) Hva må gjennomsnittet av karakterene til Mathias være neste år for at han til sammen skal ha $50{,}7$ poeng?
Mathias regner med at han skal klare å gå opp én karakter i de fagene han velger å ta opp igjen.
c) Hvor mange fag må han da ta opp igjen for å klare $50{,}7$ poeng?
---
## V2012 del 1 oppgave 1 — Datamaskiner hjemme, trekantomkrets, kroneverdi og mørkt sirkelareal
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 17
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Standardform, Geometri, Prisindeks, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sentralmål fra frekvenstabell, standardform, vekstfaktor ved verdifall, omkrets av trekanter, kroneverdi, areal i sirkel og krysstabell med betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/datamaskiner-hjemme-trekantomkrets-kroneverdi-og-morkt-sirkelareal/
### Oppgavetekst
| Antall datamaskiner | Antall elever |
|:-------------------:|:-------------:|
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 6 |
| 5 | 2 |
| 6 | 2 |
20 elever blir spurt om hvor mange datamaskiner de har hjemme. Se tabellen ovenfor.
a) Finn variasjonsbredden, typetallet, medianen og gjennomsnittet.
b) Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\dfrac{5{,}0 \cdot 10^5 \cdot 6{,}0 \cdot 10^6}{2{,}5 \cdot 10^{-4}}
$$
c) En bil koster 250 000 kroner. Bilens verdi avtar med 15 % per år.
Forklar hvilket av regnestykkene nedenfor som kan brukes for å finne hvor mye bilen er verd etter 10 år.
1\)
$$
250\,000 - 10 \cdot \dfrac{250\,000 \cdot 15}{100}
$$
2\)
$$
250\,000 \cdot 0{,}15^{10}
$$
3\)
$$
250\,000 \cdot 0{,}85^{10}
$$
d) Gjør beregninger og finn ut hvilken av trekantene ovenfor som har størst omkrets.
e) I februar 2009 var kroneverdien $0{,}8$. En vare kostet 100 kroner i basisåret.
Hvor mye svarte dette til i februar 2009?
f) Til høyre ser du en sirkel med sentrum $S$ og radius $4{,}0$.
Sett $\pi \approx 3{,}0$ og finn ut omtrent hvor stort arealet av det mørke området på figuren er.
g) I klasse 1A er det 20 elever. 15 av elevene spiller fotball, og 10 spiller håndball. Én elev spiller verken fotball eller håndball.
1\) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Fra klassen velger vi tilfeldig én av elevene som spiller fotball.
2\) Bestem sannsynligheten for at denne eleven i tillegg spiller håndball.
---
## V2012 del 1 oppgave 2 — Koble tall mellom titallssystemet og andre plassverdisystemer
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Konvertere tall mellom titallssystemet og grunntall 2, 3, 4 eller 5; koble like verdier og forklare fremgangsmåten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koble-tall-mellom-titallssystemet-og-andre-plassverdisystemer/
### Oppgavetekst
I rammen til venstre nedenfor har vi skrevet fire tall i titallssystemet. I rammen til høyre har vi skrevet de samme tallene i plassverdisystemer med grunntall 2, 3, 4 eller 5.
**Titallssystemet**
| |
|:---:|
| 24 |
| 4 |
| 31 |
| 41 |
---
**Andre plassverdisystemer**
| |
|:---:|
| 120 |
| 131 |
| 1011 |
| 100 |
Tegn av rammene og kobl sammen tallene som har samme verdi.
Forklar hvordan du kommer fram til svarene.
---
## V2012 del 1 oppgave 3 — Energiinnhold i Maarud Proviant potetskiver
- **Fag:** 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Proporsjonalitet, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Regne ut energiinnhold i en pose ut fra 150 kcal per 30 g, og løse $E = (P+K) \cdot 4 + F \cdot 9$ for karbohydratmengden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/energiinnhold-i-maarud-proviant-potetskiver/
### Oppgavetekst
En pose Maarud Proviant inneholder $150 \mathrm{~g}$ potetskiver.
Energiinnholdet i potetskivene er gitt på forsiden av posen som vist på bildet til høyre.
a) Torbjørn spiser hele posen. Hvor mange kcal får han i seg?
Formelen
$$
E = \left(P + K\right) \cdot 4 + F \cdot 9
$$
viser energiinnholdet $E$ kcal i mat som inneholder $P$ gram proteiner, $K$ gram karbohydrater og $F$ gram fett.
Det er ca. $2 \mathrm{~g}$ proteiner og ca. $8 \mathrm{~g}$ fett i $30 \mathrm{~g}$ potetskiver.
b) Bruk formelen ovenfor til å finne ut omtrent hvor mange gram karbohydrater det er i $30 \mathrm{~g}$ potetskiver.
---
## V2012 del 2 oppgave 4 — Andregradsfunksjon for vekt og alder på griser
- **Fag:** 2P-Y, 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf for $f(x) = -0{,}05x^2 + 2{,}60x + 0{,}50$, avlese startverdi, løse $f(x)=20$ og beregne gjennomsnittlig vekst per måned.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-for-vekt-og-alder-pa-griser/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -0{,}05x^2 + 2{,}60x + 0{,}50
$$
viser sammenhengen mellom alder og vekt for en type griser.
Her er $f(x)$ vekten til en gris målt i kilogram når grisen er $x$ måneder gammel.
a) Tegn grafen til $f$ for $0 \leq x \leq 25$
Hvor mye veier en gris ved fødselen?
b) Hva er alderen til en gris når vekten passerer $20 \mathrm{~kg}$?
Hvor mye øker vekten i gjennomsnitt per måned fram til da?
---
## V2012 del 2 oppgave 4 — Egenkapital og verdiøkning for leilighet til Sofie og Christer
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Vise lånebeløp når egenkapitalen er 20 % av kjøpesummen, og regne verdien av leiligheten etter ett og ti år med vekstfaktor $1{,}07$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/egenkapital-og-verdiokning-for-leilighet-til-sofie-og-christer/
### Oppgavetekst
Sofie og Christer skal kjøpe leilighet og må låne penger i banken. Banken vil bare gi lån på 80 % av kjøpesummen. Resten av pengene må de skaffe selv, såkalt egenkapital.
Sofie og Christer har en egenkapital på 230 000 kroner.
a) Vis at de kan låne 920 000 kroner i banken.
Leiligheten koster 1 150 000 kroner, og vi antar at verdiøkningen vil være på 7,0 % per år.
b) Hva vil verdien av leiligheten være etter ett år?
Hva vil verdien av leiligheten være etter ti år?
---
## V2012 del 2 oppgave 6 — Sannsynlighet for sokker i ulike fargekombinasjoner
- **Fag:** 2P-Y, 2P, 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter ved utvalg uten tilbakelegging fra 10 sokker i 5 farger; to rosa, én rosa + én annen, to like farge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-sokker-i-ulike-fargekombinasjoner/
### Oppgavetekst
Karen har 2 brune, 2 røde, 2 blå, 2 hvite og 2 rosa sokker i en skuff.
En dag tar hun tilfeldig to sokker fra skuffen.
a) Bestem sannsynligheten for at hun tar to rosa sokker.
b) Bestem sannsynligheten for at hun tar én rosa sokk og én sokk i en annen farge.
c) Bestem sannsynligheten for at hun tar to sokker med samme farge.
---
## V2012 del 2 oppgave 7 — Lineær modell for pris på billass med sand
- **Fag:** 2P-Y, 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$ og $b$ i $y = ax + b$ fra to punkter, og gi praktisk tolkning av stigningstall og konstantledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-pris-pa-billass-med-sand/
### Oppgavetekst
Leon vil bestille sand for å gjøre badestranden utenfor hytta finere. Han ønsker å få sanden tilkjørt med lastebil. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom prisen for et billass med sand og antall tonn sand på lasset.
| Antall tonn sand | 10 | 16 |
|:---|---:|---:|
| Pris for billasset | 2300 | 3200 |
Denne sammenhengen kan beskrives ved hjelp av likningen $y = ax + b$, der $x$ tonn er mengden sand og $y$ kroner er prisen for billasset.
a) Bestem tallene $a$ og $b$.
b) Gi en praktisk tolkning av tallene $a$ og $b$ i denne oppgaven.
---
## V2012 del 2 oppgave 8 — Gjennomsnitt og standardavvik for falltidsmålinger med utligertest
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt og standardavvik for seks målinger, teste utliger mot 1,4 standardavvik, og vurdere effekten av å forkaste verdien.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-standardavvik-for-falltidsmalinger-med-utligertest/
### Oppgavetekst
En dag gjorde klasse 1A et forsøk i naturfagtimen. Seks elever slapp hver sin stålkule fra $1 \mathrm{~m}$ høyde og målte tiden det tok før kulen traff bakken.
Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
| Elev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Tid (sekunder) | $0{,}46$ | $0{,}45$ | $0{,}47$ | $0{,}44$ | $0{,}52$ | $0{,}46$ |
a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for måleresultatene.
Klassen la merke til at elev nummer 5 målte en større falltid enn de andre. Mange mente at dette resultatet måtte skyldes målefeil, og at det derfor burde forkastes.
Da ga fysikklærer Strøm dem denne regelen:
> «Når vi har seks målinger, kan vi forkaste et måleresultat dersom det ligger mer enn $1{,}4$ standardavvik fra gjennomsnittet.»
b) Finn ut om måleresultatet til elev nummer 5 kan forkastes dersom vi bruker regelen ovenfor.
c) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for de fem andre måleresultatene.
Hvordan har gjennomsnitt og standardavvik endret seg? Virker dette rimelig? Forklar.
---
## V2012 del 2 oppgave 9 — Lineær regresjon for konsumprisindeksen fra 1998 til 2011
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Prisindeks, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon på konsumprisindeksen 1998–2011, prognose for 2030 og sammenlikning med 2,5 % årlig vekst fra 2001.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-regresjon-for-konsumprisindeksen-fra-1998-til-2011/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen i Norge i perioden fra 1998 til 2011.
| Årstall | Konsumprisindeks |
|:-------:|:----------------:|
| 1998 | $100$ |
| 1999 | $102{,}3$ |
| 2000 | $105{,}5$ |
| 2001 | $108{,}7$ |
| 2002 | $110{,}1$ |
| 2003 | $112{,}8$ |
| 2004 | $113{,}3$ |
| 2005 | $115{,}1$ |
| 2006 | $117{,}7$ |
| 2007 | $118{,}6$ |
| 2008 | $123{,}1$ |
| 2009 | $125{,}7$ |
| 2010 | $128{,}8$ |
| 2011 | $130{,}4$ |
a) Marker verdiene fra tabellen som punkter i et koordinatsystem der $x$-aksen viser antall år etter 1998 (1998 tilsvarer $x = 0$) og $y$-aksen viser konsumprisindeksen.
Bruk regresjon til å finne en rett linje som passer med punktene i koordinatsystemet.
b) Hva vil konsumprisindeksen bli i 2030 ifølge modellen i a)?
Myndighetene har siden 2001 hatt som mål at konsumprisindeksen skal stige med 2,5 % per år.
c) Hva ville konsumprisindeksen ha blitt i 2030 dersom den hadde steget med 2,5 % per år fra 2001 til 2030?
---
## V2012 del 2 oppgave 10 — Pyramidekort med kvadratisk grunnflate og ramme
- **Fag:** 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Pytagoras, Romgeometri, Formlike trekanter
- **Kort beskrivelse:** Pytagoras for høyden i sidetrekantene og i pyramiden, overflate av kvadratisk pyramide og formlikhet for hullet i en ramme 10 cm over grunnflaten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramidekort-med-kvadratisk-grunnflate-og-ramme/
### Oppgavetekst
Mary har laget et pyramidekort. Grunnflaten i kortet er et kvadrat. Sidene i pyramiden er likebeinte trekanter. Til høyre ser du mønsteret hun brukte.
I tillegg til selve pyramiden har hun laget en kvadratisk ramme, som hun kan tre ned over pyramiden for å holde den sammen.
a) Vis ved regning at høydene i de fire likebeinte trekantene på figuren til høyre er ca. $16 \mathrm{~cm}$, og bruk dette til å regne ut overflaten til pyramidekortet. (Vi ser her bort fra rammen som er tredd over kortet.)
b) Vis at pyramidekortet er ca. $15 \mathrm{~cm}$ høyt.
Hullet i rammen som tres over kortet, er et kvadrat. Hullet skal være så stort at rammen blir liggende $10 \mathrm{~cm}$ over grunnflaten i pyramiden.
c) Regn ut hvor stort hullet i rammen må være.
---
## H2012 del 1 oppgave 1 — Sentralmål for turgåere på Pollfjell
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median, typetall og variasjonsbredde for et datasett med 12 verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-for-turgaere-pa-pollfjell/
### Oppgavetekst
Alle som går på tur til Pollfjell, skriver navnet sitt i boka som ligger i postkassen på toppen av fjellet. Nedenfor ser du hvor mange som har skrevet seg inn i boka hver uke de 12 siste ukene.
$6 \quad 12 \quad 20 \quad 4 \quad 10 \quad 15 \quad 5 \quad 12 \quad 8 \quad 12 \quad 18 \quad 10$
Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.
---
## H2012 del 1 oppgave 2 — Vekstfaktor for bilverdi over tid
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp uttrykk med vekstfaktor for eksponentiell verdifall fremover og bakover i tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekstfaktor-for-bilverdi-over-tid/
### Oppgavetekst
Vi regner at verdien av en bil har avtatt med 15 % per år siden den var ny. I dag er bilen verdt 100 000 kroner.
Sett opp et uttrykk som du kan bruke for å regne ut
a) hvor mye bilen vil være verdt om seks år
b) hvor mye bilen var verdt for seks år siden
---
## H2012 del 1 oppgave 3 — Produkt av 0,0003 og 0,00000015 på standardform
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere $0{,}0003 \cdot 0{,}00000015$ ved å skrive faktorene på standardform og legge sammen eksponentene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produkt-av-0-0003-og-0-00000015-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
0{,}0003 \cdot 0{,}00000015
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 4 — Potensuttrykk med negative eksponenter
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\frac{(a^3)^{-2} \cdot a^5}{a^{-3} \cdot a^0}$ ved hjelp av potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-med-negative-eksponenter/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{\left(a^3\right)^{-2} \cdot a^5}{a^{-3} \cdot a^0}
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 5 — Potenser med null og negativ eksponent som helt tall
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $\left(2^3\right)^2 \cdot 2^0$ og $\left(\frac{1}{3^{-2}}\right)^2$ med potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potenser-med-null-og-negativ-eksponent-som-helt-tall/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret som et helt tall
a)
$$
\left(2^3\right)^2 \cdot 2^0
$$
b)
$$
\left(\dfrac{1}{3^{-2}}\right)^2
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 6 — Plassverdisystem med grunntall 3 og 9
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regne om mellom plassverdisystemer med grunntall 10, 3 og 9 og fylle ut tabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plassverdisystem-med-grunntall-3-og-9/
### Oppgavetekst
Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10.
Det finnes også plassverdisystemer med andre grunntall.
Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger, og fyll inn det som mangler.
| Plassverdisystem med grunntall 10 | Plassverdisystem med grunntall 3 | Plassverdisystem med grunntall 9 |
|:---------------------------------:|:--------------------------------:|:--------------------------------:|
| $10$ | | $11_9$ |
| | $10201_3$ | $121_9$ |
| $200$ | | |
---
## H2012 del 1 oppgave 7 — Gjennomsnitt og median for kantinebruk i 2P-gruppe
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Grupperte data
- **Kort beskrivelse:** Gjennomsnitt med klassemidtpunkter og medianklasse for gruppert datamateriale, og avgjøre om gjennomsnittet er større enn medianen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-median-for-kantinebruk-i-2p-gruppe/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mye penger hver av de 10 elevene i en 2P-gruppe bruker i kantinen i løpet av en uke.
| Kroner | Antall elever |
|:------:|:-------------:|
| $[0, 50\rangle$ | 1 |
| $[50, 100\rangle$ | 5 |
| $[100, 150\rangle$ | 1 |
| $[150, 200\rangle$ | 3 |
Gjør beregninger og avgjør om gjennomsnittet er større enn medianen for dette datamaterialet.
---
## H2012 del 1 oppgave 8 — Grafisk fremstilling av fallskjermhopp
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graf, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne stykkevis lineær graf for fart som funksjon av tid gjennom fire faser i et fallskjermhopp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafisk-fremstilling-av-fallskjermhopp/
### Oppgavetekst
Et fallskjermhopp kan deles inn i fire faser. I hver fase ser vi på farten fallskjermhopperen har loddrett nedover.
Fase 1: Fallskjermhopperen forlater flyet. Etter tre sekunder er farten $25 \mathrm{~m/s}$, og etter åtte sekunder har fallskjermhopperen nådd den maksimale farten, som er $50 \mathrm{~m/s}$.
Fase 2: Fallskjermhopperen faller med maksimal fart i fire sekunder.
Fase 3: Fallskjermen løses ut, og i løpet av ett sekund minker farten til $5 \mathrm{~m/s}$.
Fase 4: Fallskjermhopperen fortsetter med konstant fart $5 \mathrm{~m/s}$ i åtte sekunder før han når bakken.
Lag en grafisk framstilling som viser hvordan farten til fallskjermhopperen varierer med tiden i løpet av hoppet.
---
## H2012 del 1 oppgave 9 — Figurtall med perler
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster i figurtall, sette opp generell formel for $f_n$ og løse likning for maksimalt $n$ ved 1000 perler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-perler/
### Oppgavetekst
Siri lager figurer av runde perler. Figurene ovenfor har hun kalt $f_1$, $f_2$ og $f_3$.
a) Følg samme mønster, og tegn figuren $f_4$.
Hvor mange perler vil det være i figuren $f_5$ og i figuren $f_6$?
b) Sett opp en modell som viser antall perler i figuren $f_n$, uttrykt ved $n$.
Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler Siri trenger for å lage figuren $f_{36}$.
c) Hva er den største figuren $f_n$ Siri kan lage dersom hun har 1000 perler?
---
## H2012 del 2 oppgave 1 — Lineær modell for eplekurv
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme fast kostnad og kilopris fra tabell, sette opp lineær funksjon og løse for ukjent mengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-eplekurv/
### Oppgavetekst
Camilla vil kjøpe en kurv med epler. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom hvor mange kilogram epler hun fyller i kurven, og hva hun må betale for kurven med eplene.
| Antall kilogram epler | 3 | 7 | 10 |
|:---|:---:|:---:|:---:|
| Pris for kurv med epler (kroner) | 210 | 290 | 350 |
a) Hvor mye koster selve kurven, og hva er kiloprisen for eplene?
b) Bestem den lineære modellen som viser sammenhengen mellom antall kilogram epler og prisen for kurven med eplene.
Camilla betaler 320 kroner for kurven med eplene.
c) Hvor mange kilogram epler har hun fylt i kurven?
---
## H2012 del 2 oppgave 2 — Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Konvertere tall mellom babylonsk sekstitallssystem og titallssystem, og finne pytagoreisk trippel ved å løse $a^2 + 112^2 = 113^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/babylonsk-tallsystem-og-pytagoreisk-trippel/
### Oppgavetekst
De gamle babylonerne brukte et plassverdisystem med 60 som grunntall. Symbolet $\mathsf{|}$ betydde 1 og symbolet $\mathsf{<}$ betydde 10.
For eksempel svarer de to babylonske tegngruppene vist ovenfor til tallet $11 \cdot 60 + 12 \cdot 1 = 672$ i titallssystemet.
a) Skriv tallet vist med de tre babylonske tegngruppene ovenfor (to enere, tre tiere og en tier med en ener) i titallssystemet.
Et pytagoreisk talltrippel er tre hele tall som oppfyller Pytagoras' læresetning.
For eksempel er de tre tallene 3, 4 og 5 et pytagoreisk talltrippel, siden $3^2 + 4^2 = 5^2$.
b) Bestem $a$ slik at $a$, 112 og 113 blir et pytagoreisk talltrippel, og skriv de tre tallene i det babylonske tallsystemet.
---
## H2012 del 2 oppgave 4 — Jan Åge Fjørtofts landskamper og mål
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
- **Kort beskrivelse:** Gjennomsnittlig antall mål per kamp over flere år, året med flest mål per kamp, og frekvenstabell med kumulativ frekvens for mål per år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jan-age-fjortofts-landskamper-og-mal/
### Oppgavetekst
| År | 1986 | 1987 | 1988 | 1989 | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Antall kamper per år | 1 | 2 | 4 | 10 | 9 | 6 | 4 | 9 | 11 | 11 | 4 |
| Antall mål per år | 0 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 0 | 5 | 1 | 4 | 0 |
Tabellen ovenfor viser hvor mange landskamper Jan Åge Fjørtoft spilte, og hvor mange mål han skåret per år i perioden 1986–1996.
a) Hvor mange mål skåret Fjørtoft i gjennomsnitt per kamp i denne perioden?
I hvilket år skåret han flest mål per kamp?
b) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, og fyll inn tallene som mangler.
Hva er den kumulative frekvensen for to mål per år, og hva forteller dette svaret?
| Antall mål per år | Frekvens | Kumulativ frekvens |
|:-----------------:|:--------:|:------------------:|
| 0 | | |
| 1 | | |
| 2 | | |
| 3 | | |
| 4 | | |
| 5 | | |
---
## H2012 del 2 oppgave 5 — Statistikk for lengdehopp verdenstopp
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lage sektordiagram for fordeling på verdensdeler, beregne gjennomsnitt og standardavvik, og tolke standardavvik for sammenligningsgruppe.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-lengdehopp-verdenstopp/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du verdensstatistikken fra 2010 for øvelsen lengdehopp for menn.
a) Lag et sektordiagram som viser hvordan de 20 utøverne fordeler seg mellom de ulike verdensdelene.
b) Finn gjennomsnittslengden og standardavviket for resultatene til de 20 utøverne.
Sondre har funnet resultatene for utøverne som står som nummer 21–40 på verdensstatistikken. Standardavviket for resultatene til disse 20 utøverne er tilnærmet lik $0{,}0258$.
c) Hva forteller dette om resultatene til utøverne som står som nummer 21–40, i forhold til resultatene til de 20 beste utøverne?
---
## H2012 del 2 oppgave 6 — Pølsesalg modellert med kubikkfunksjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Plotte datapunkter, bruke tredjegradsregresjon til å bestemme modell, og bruke modellen med prosentvis økning til å finne måneder over terskel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polsesalg-modellert-med-kubikkfunksjon/
### Oppgavetekst
| Måned | Januar | Mars | Juni | Juli | August | Desember |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Antall kilogram pølser | 45 | 144 | 299 | 328 | 336 | 36 |
Tabellen ovenfor viser antall kilogram pølser som ble solgt i en butikk noen måneder i 2011.
a) Framstill datamaterialet i tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem der $x$-aksen viser måned og $y$-aksen viser antall kilogram pølser.
(La $x = 1$ svare til januar, $x = 2$ til februar, $x = 3$ til mars, osv.)
b) Bruk regresjon til å bestemme en modell på formen $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ som kan brukes for å beskrive antall kilogram pølser som ble solgt per måned i løpet av dette året.
Tegn grafen til $f$ i samme koordinatsystem som du brukte i a).
Butikken regner med at pølsesalget vil være 20 % høyere hver måned i 2012 sammenliknet med tilsvarende måned i 2011.
c) I hvilke måneder i 2012 vil butikken da selge mer enn 300 kg pølser per måned dersom vi tar utgangspunkt i modellen i b)?
---
## H2012 del 2 oppgave 7 — Guris banksparing fra graf
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Sparing, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av startverdi og vekstfaktor fra eksponentialvekst-graf og bruke modellen til å beregne fremtidig beløp og finne tidspunkt for terskelverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/guris-banksparing-fra-graf/
### Oppgavetekst
Guri setter et pengebeløp i banken. Grafen ovenfor viser hvordan beløpet vokser de 15 første årene. Vi antar at renten er den samme hvert år.
a) Sett opp et matematisk uttrykk som kan være en modell for hvor mye penger Guri har i banken etter $x$ år.
b) Hvor mye penger vil Guri ha i banken etter 20 år ifølge modellen du satte opp i a)?
Når vil beløpet hun har i banken, passere 50 000 kroner ifølge modellen?
---
## H2012 del 2 oppgave 7 — Pyramidetall med hermetikkbokser
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Formler
- **Kort beskrivelse:** Forklare at pyramidetall er summen av kvadrattall, kontrollere formelen $P_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ for $n = 6$ og finne største pyramide med 1000 bokser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramidetall-med-hermetikkbokser/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du en pyramide av hermetikkbokser. Det antallet bokser vi trenger for å bygge pyramider på denne måten, kaller vi pyramidetall.
Det første pyramidetallet er $P_1 = 1$. Da er det én boks i «pyramiden». Det neste pyramidetallet er $P_2 = 5$. Da har pyramiden fire bokser i det nederste laget og én på toppen.
a) Forklar at pyramidetall nummer $n$ er gitt ved summen $1 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2$ og bruk dette til å finne de tre pyramidetallene, $P_3$, $P_4$ og $P_5$.
I en lærebok står det en formel for pyramidetall. Ifølge denne formelen er pyramidetall nummer $n$ gitt ved
$$
P_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
b) Vis at formelen i læreboka er riktig for $P_6$.
Bjarni har 1000 bokser. Han vil lage en pyramide.
c) Hvor mange bokser må han begynne med i det nederste laget dersom han skal bruke så mange som mulig av boksene i pyramiden?
Hvor mange bokser har han til overs når han er ferdig med pyramiden?
---
## V2011 del 1 oppgave 1 — Standardform, fotballmål, aktivitetsdag og tallsystemer
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 20
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Vekstfaktor, Potenser, Statistikk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Standardform, vekstfaktor, potensregning, sentralmål og kumulativ frekvens, sektordiagram, prosentvis endring, gruppert gjennomsnitt og tallsystemer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-fotballmal-aktivitetsdag-og-tallsystemer/
### Oppgavetekst
a) Skriv på standardform
1\)
$$
36\,200
$$
2\)
$$
0{,}000\,642
$$
3\) 53 millioner
4\)
$$
0{,}034 \cdot 10^{-2}
$$
b) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din og fyll inn det som mangler.
| Prosentvis endring | Vekstfaktor |
|:------------------:|:-----------:|
| $+2\ \%$ | |
| $-68\ \%$ | |
| | $0{,}25$ |
| | $2$ |
c) Regn ut
1\)
$$
a^4 \cdot \left(a^2\right)^{-3} \cdot a^0
$$
2\)
$$
\dfrac{2^{-3} \cdot 4^3}{8^2}
$$
Nedenfor ser du hvor mange mål som ble scoret i fotballkampene mellom Rosenborg og Brann i Eliteserien i årene fra 2005 til 2009:
$$
5 \quad 5 \quad 0 \quad 4 \quad 3 \quad 5 \quad 2 \quad 0 \quad 2 \quad 2
$$
d)
1\) Finn gjennomsnittet og medianen for dette datamaterialet.
2\) Sett opp resultatene i en tabell. Tabellen skal vise frekvens og kumulativ frekvens.
3\) Hva er den kumulative frekvensen for to mål, og hva betyr dette?
Ved en skole er det 120 elever. Elevrådet skal arrangere aktivitetsdag, og elevene kan melde seg på én av fire turer.
Elevene fordeler seg slik:
| Tur | Antall elever |
|:----|:-------------:|
| Tur 1 (Robåt) | 15 |
| Tur 2 (Sykkel) | 30 |
| Tur 3 (Høgfjell, kort løype) | 40 |
| Tur 4 (Høgfjell, lang løype) | 35 |
e) Gjør beregninger og lag et sektordiagram som viser fordelingen. Det skal gå klart fram hvor mange grader hver av sektorene i diagrammet er på.
En vare selges i to forskjellige butikker. Prisen er den samme i begge butikkene. I butikk A settes prisen opp med 20 %. I butikk B settes prisen først opp med 10 % og så etter noen dager med 10 % til.
Marit påstår at prisen da fremdeles er den samme i begge butikkene.
f) Forklar Marit hvorfor dette ikke er riktig. Bruk gjerne et eksempel når du forklarer.
I en 2P-gruppe er det 10 elever. Læreren har undersøkt hvor mye tid elevene bruker på matematikkleksene i løpet av en uke.
Resultatene er gitt i tabellen nedenfor.
| Antall minutter | Antall elever |
|:---------------:|:-------------:|
| $[0, 30\rangle$ | 1 |
| $[30, 60\rangle$ | 3 |
| $[60, 120\rangle$ | 5 |
| $[120, 240\rangle$ | 1 |
g) Finn gjennomsnittet for dette grupperte datamaterialet.
I tallsystemet som vi vanligvis bruker, er grunntallet 10. I totallsystemet er grunntallet 2. Det finnes også tallsystemer med andre grunntall.
h) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger og fyll inn det som mangler.
| Tallsystem med grunntall 10 | Tallsystem med grunntall 2 | Tallsystem med grunntall 4 |
|:---------------------------:|:--------------------------:|:--------------------------:|
| $27$ | | $123_4$ |
| | $101010_2$ | |
---
## V2011 del 1 oppgave 2 — Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking
- **Fag:** 2P, 1P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Avlese sammenhørende verdier for fahrenheit og celsius på en gradestokk, plotte punktene og lese av celsius for $350 \degree\mathrm{F}$ på en rett linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gradestokk-med-celsius-og-fahrenheit-for-kakesteking/
### Oppgavetekst
Stig har fått en kakeoppskrift fra tante Mathilde i Amerika. I oppskriften står det at kaken skal stekes på $350 \degree\mathrm{F}$. Han lurer på hvor mange grader celsius dette tilsvarer.
Stig har en gradestokk utenfor kjøkkenvinduet som viser både celsiusgrader og fahrenheitgrader. Se bildet til høyre.
a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk gradestokken til høyre og fyll ut tabellen.
| $\degree\mathrm{F}$ | $0$ | | $100$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $\degree\mathrm{C}$ | | $10$ | |
b) Tegn et koordinatsystem med grader fahrenheit langs $x$-aksen og grader celsius langs $y$-aksen. Marker verdiene fra tabellen i a) som punkter i koordinatsystemet.
c) Tegn en rett linje som går gjennom punktene. Bruk linjen til å finne ut hvor mange grader celsius Stig skal steke kaken på.
---
## V2011 del 2 oppgave 3 — Antibiotika i kroppen med tablett hver åttende time
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell nedgang med vekstfaktor $0{,}89$ per time, gjentatte doser hver åttende time og skisse av graf for første døgn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antibiotika-i-kroppen-med-tablett-hver-attende-time/
### Oppgavetekst
Vibeke har fått en bakterieinfeksjon og tar tabletter med antibiotika. En tablett inneholder $220 \mathrm{~mg}$ antibiotika. Antall milligram antibiotika i kroppen reduseres med 11 % hver time.
a) Vibeke tar en tablett. Hvor mange milligram antibiotika er det igjen i kroppen hennes
1\) etter én time?
2\) etter åtte timer?
Vibeke tar en tablett hver åttende time.
b) Hvor mange milligram antibiotika har hun i kroppen rett etter at hun har tatt sin
1\) andre tablett?
2\) tredje tablett?
c) Skisser grafen som viser hvor mange milligram antibiotika Vibeke til enhver tid har i kroppen det første døgnet etter at hun begynte å ta tablettene.
---
## V2011 del 2 oppgave 4 — Fartskontroller på veistrekninger med fartsgrense 50 og 80
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Stolpediagram, andel over grense, gjennomsnitt fra klassemidtpunkter og prosentvis avvik for to grupperte fartsmålinger, og sammenligning av lovlydighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fartskontroller-pa-veistrekninger-med-fartsgrense-50-og-80/
### Oppgavetekst
Politiet har gjennomført fartskontroller på to veistrekninger. Den ene veistrekningen har fartsgrense $50 \mathrm{~km/h}$ og den andre $80 \mathrm{~km/h}$. Nedenfor ser du resultatene fra hver av de to kontrollene.
**Fartsgrense $50 \mathrm{~km/h}$**
| Fart | Antall biler |
|:----:|:------------:|
| $[45, 50\rangle$ | 25 |
| $[50, 55\rangle$ | 26 |
| $[55, 60\rangle$ | 23 |
| $[60, 65\rangle$ | 3 |
| $[65, 70\rangle$ | 2 |
| $[70, 75\rangle$ | 1 |
---
**Fartsgrense $80 \mathrm{~km/h}$**
| Fart | Antall biler |
|:----:|:------------:|
| $[70, 75\rangle$ | 7 |
| $[75, 80\rangle$ | 43 |
| $[80, 85\rangle$ | 17 |
| $[85, 90\rangle$ | 8 |
| $[90, 95\rangle$ | 0 |
| $[95, 125\rangle$ | 5 |
a) Presenter dataene fra tabellene ovenfor i hvert sitt stolpediagram.
b) Hvor mange prosent av bilførerne kjører 10 % eller mer over fartsgrensen i hver av de to kontrollene?
c) Finn gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene.
d) Hvor mange prosent over fartsgrensen er gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene?
e) Bruk svarene i a), b), c) og d) til å vurdere om bilførerne kjører mest lovlydig på veistrekningen med fartsgrense $50 \mathrm{~km/h}$ eller på veistrekningen med fartsgrense $80 \mathrm{~km/h}$.
---
## V2011 del 2 oppgave 5 — Kinesiske og norske skostørrelser
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Formler, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lineære formler for skolengde ut fra kinesisk og norsk skostørrelse, omregning mellom størrelsene og lineær sammenheng mellom dem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kinesiske-og-norske-skostorrelser/
### Oppgavetekst
Rebecca er på ferie i Kina. Hun vil kjøpe sko til kjæresten, Isak, hjemme i Oslo. Kinesiske skostørrelser er annerledes enn det hun er vant med fra Norge.
Nedenfor ser du hva Rebecca finner ut om kinesiske herresko.
- Den minste størrelsen er 20. Sko i størrelse 20 er $21{,}5 \mathrm{~cm}$ lange.
- Når størrelsen øker med 1, øker skolengden med $5 \mathrm{~mm}$.
- Kineserne bruker halvstørrelser, slik at for eksempel $37{,}5$ er en mulig skostørrelse.
Rebecca vil sammenlikne norske og kinesiske skostørrelser. Hun setter opp tabellen nedenfor.
| | Minste skostørrelse | Økning i lengde per størrelse | Halvstørrelser |
|:--|:--|:--|:--|
| Kina | 20 (lengde $21{,}5 \mathrm{~cm}$) | $5 \mathrm{~mm}$ | Ja |
| Norge | 32 (lengde $21{,}75 \mathrm{~cm}$) | $6{,}6 \mathrm{~mm}$ | Nei |
a) Hvor lang er en sko som har norsk skostørrelse 40?
b)
1\) Forklar at $y = (x-20) \cdot 0{,}5 + 21{,}5$ er en formel for å regne ut skolengden, $y$, når du kjenner den kinesiske skostørrelsen, $x$.
2\) Sett opp en tilsvarende formel for å regne ut skolengden når du kjenner den norske skostørrelsen.
c) Isak bruker norsk skostørrelse 43. Hvilken kinesisk skostørrelse tilsvarer dette?
Det er en lineær sammenheng mellom norske og kinesiske skostørrelser.
| Norsk skostørrelse | Kinesisk skostørrelse |
|:------------------:|:---------------------:|
| 32 | |
| 43 | |
| | 39 |
d) Tegn av tabellen til høyre i besvarelsen din. Fyll ut tabellen og finn den lineære sammenhengen.
---
## V2011 del 2 oppgave 6 — Egyptisk multiplikasjon med toerpotenser
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Skrive 29 som sum av toerpotenser, utføre $29 \cdot 25$ med fordoblingstabell og forklare hvorfor egypternes metode virker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/egyptisk-multiplikasjon-med-toerpotenser/
### Oppgavetekst
Når egypterne i oldtiden skulle multiplisere to tall (for eksempel 26 og 33), skrev de det første tallet som en sum av toerpotenser ($26 = 2^4 + 2^3 + 2^1 = 16 + 8 + 2$). Så laget de en tabell med to kolonner, én med toerpotenser (1, 2, 4, …) og én med det andre tallet og fordoblinger av dette (33, 66, 132 …).
De satte \* ved de toerpotensene som til sammen blir lik det første tallet. Til slutt summerte de tallene i andre kolonne fra radene i tabellen merket med \* $(66 + 264 + 528 = 858)$.
$26 \cdot 33$ blir altså 858.
| | |
|---:|---:|
| 1 | 33 |
| \*2 | 66 |
| 4 | 132 |
| \*8 | 264 |
| \*16 | 528 |
| | $= \underline{858}$ |
a) Skriv 29 som en sum av toerpotenser.
b) Utfør multiplikasjonen $29 \cdot 25$ slik egypterne i oldtiden ville gjort det.
c) Forklar hvorfor egypternes metode kan brukes til å multiplisere to tall.
---
## V2011 del 2 oppgave 7 — Potensregresjon for diameter og volum til kuler
- **Fag:** 2P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Potensfunksjon, Kule, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Potensregresjon som gir $f(x) = 0{,}52 \cdot x^{3{,}0}$, løse $f(x) = 1000$ og sammenlikne med kuleformelen $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ uttrykt ved diameteren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensregresjon-for-diameter-og-volum-til-kuler/
### Oppgavetekst
Per prøver å finne en sammenheng mellom diameteren og volumet til kuler.
Han måler diameter og volum for noen kuler av ulik størrelse. Se tabellen nedenfor.
| Diameter ($\mathrm{cm}$) | $3{,}0$ | $6{,}0$ | $10{,}0$ | $16{,}0$ | $26{,}0$ |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Volum ($\mathrm{cm^3} = \mathrm{mL}$) | $14$ | $113$ | $525$ | $2\,145$ | $9\,200$ |
a)
1\) Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = 0{,}52 \cdot x^{3{,}0}$ er en god modell for sammenhengen mellom diameteren, $x$, og volumet, $f(x)$, til kuler.
2\) Tegn grafen til funksjonen $f$.
b) Finn diameteren til en kule med volum $1000 \mathrm{~mL}$.
Per lærte allerede i grunnskolen at formelen for volumet av en kule er $V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$, der $r$ er radius i kulen.
c) Stemmer resultatet fra a) med denne formelen? Forklar.
---
## V2010 del 1 oppgave 1 — Drivstoffoverslag, standardform, formlike trekanter og tankgraf
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 20
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Standardform, Vekstfaktor, Statistikk, Formlike trekanter, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Samleoppgave uten hjelpemidler med overslag, potenser, standardform, vekstfaktor, frekvenstabell, formlike trekanter og grafavlesning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drivstoffoverslag-standardform-formlike-trekanter-og-tankgraf/
### Oppgavetekst
Kilde: Utdanningsdirektoratet
Liv fyller 41,5 liter drivstoff på bilen sin. Hun betaler 509,62 kroner.
a) Bruk informasjonen på bildet. Gjør overslag og finn ut om Liv har en bil som bruker bensin (95) eller diesel (D).
b) Regn ut
$$
5 - 2^4 \cdot (4 - 3)^3 \cdot 2^{-3}
$$
c) Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{2{,}7 \cdot 10^8}{3{,}0 \cdot 10^4}
$$
For noen år siden kjøpte Stian seg en bil. I dag er bilen verdt 240 000 kroner. Bilens verdi avtar med 14 % per år.
d) Sett opp et uttrykk som Stian kan bruke til å regne ut hvor mye bilen vil være verdt om 3 år.
I fjor kom alle elevene i en matematikkgruppe opp til eksamen i 2P. De oppnådde disse resultatene:
$$
1, 6, 5, 4, 3, 2, 5, 5, 2, 4, 2, 2, 6, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 5
$$
e)
1\) Lag en tabell som viser frekvens og kumulativ frekvens.
2\) Finn medianen og gjennomsnittet for datamaterialet.
Figuren viser to trekanter og en rett linje som går gjennom punktene $A$, $B$ og $C$.
f) Bruk målene som er gitt på figuren, og regn ut
1\) avstanden fra $A$ til $B$
2\) avstanden fra $B$ til $E$
Sebastian har en tank som han fyller med vann. Grafen viser høyden $h$ dm til vannoverflaten i tanken som funksjon av tiden $t$ minutter.
g)
1\) Hva er høyden til vannoverflaten etter 2 minutter?
2\) Hvor mange minutter og sekunder tar det før høyden til vannoverflaten er $6{,}0 \mathrm{~dm}$?
---
## V2010 del 1 oppgave 2 — Proporsjonale og omvendt proporsjonale utsagn fra Per, Kari og Grete
- **Fag:** 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Proporsjonalitet, Omvendt proporsjonalitet, Lineære funksjoner, Graf
- **Kort beskrivelse:** Skissere grafer til tre hverdagsutsagn og avgjøre hvilke som beskriver proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/proporsjonale-og-omvendt-proporsjonale-utsagn-fra-per-kari-og-grete/
### Oppgavetekst
Tre elever kommer med hvert sitt utsagn. Se boblene ovenfor.
a) Skisser grafer som illustrerer de tre utsagnene. Lag én graf for hvert utsagn.
b) Hvilket utsagn beskriver størrelser som er proporsjonale, og hvilket utsagn beskriver størrelser som er omvendt proporsjonale? Begrunn svarene dine.
---
## V2010 del 2 oppgave 3 — Laksefangst i Gaula – tabell, diagram og statistikk
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne manglende tabellverdier, lage diagram og finne gjennomsnitt og standardavvik for totalvekt av laks fanget i Gaula.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/laksefangst-i-gaula-tabell-diagram-og-statistikk/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange laks, totalvekten av laksen og gjennomsnittsvekten for laksen som er fanget i elva Gaula i Sør-Trøndelag de siste ti årene.
| År | Antall laks | Totalvekten av laksen (kg) | Gjennomsnittsvekten for laksen (kg) |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 2000 | 3447 | 14550 | 4,22 |
| 2001 | 5694 | 24218 | 4,25 |
| 2002 | 3142 | 1) | 5,51 |
| 2003 | 4401 | 22425 | 5,10 |
| 2004 | 2928 | 17979 | 2) |
| 2005 | 5783 | 28144 | 4,87 |
| 2006 | 6507 | 26695 | 4,10 |
| 2007 | 3555 | 21074 | 5,93 |
| 2008 | 4782 | 28903 | 6,04 |
| 2009 | 3916 | 24361 | 6,22 |
Kilde: Fangstrapportering av laks, www.gaula.no (01.12.2009)
a) Hvilke tall skal stå i tabellfeltene som er merket 1) og 2)?
b) Lag et passende diagram som viser hvor mange laks som er fanget i Gaula per år de siste ti årene.
c) Finn gjennomsnittet av og standardavviket for totalvekten av laksen fanget i Gaula per år de siste ti årene.
---
## V2010 del 2 oppgave 4 — Sylinderformet lagertank for dieselolje – høyde, volum og maling
- **Fag:** 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Volum, Areal og omkrets, Målestokk
- **Kort beskrivelse:** Anslå høyden på en sylindertank ut fra en person på bildet, og beregne volum og overflate ut fra omkretsen 48 m.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sylinderformet-lagertank-for-dieselolje-hoyde-volum-og-maling/
### Oppgavetekst
Kilde: Utdanningsdirektoratet
Bildet ovenfor viser en sylinderformet lagertank for dieselolje. Omkretsen til tanken er 48 meter. Personen på bildet er 184 cm høy.
a) Omtrent hvor høy er tanken?
b) Omtrent hvor stort volum har tanken?
Tanken skal males utvendig. Det går med 1 liter maling til $10 \mathrm{~m^2}$.
c) Omtrent hvor mange liter maling går det med til å male tanken?
---
## V2010 del 2 oppgave 5 — CO₂-mengde med lineær regresjon og utslipp som avtar med 1,8 prosent
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon på CO₂-mengde i atmosfæren med prognose for 2050, og graf for utslipp som avtar eksponentielt med 1,8 % per år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-mengde-med-lineaer-regresjon-og-utslipp-som-avtar-med-1-8-prosent/
### Oppgavetekst
| Årstall | x-verdi | Mengde $\text{CO}_2$ (målt i gigatonn karbon) |
|:---:|:---:|:---:|
| 1960 | 0 | 676 |
| 1970 | 10 | 694 |
| 1980 | 20 | 722 |
| 1990 | 30 | 755 |
| 2000 | 40 | 788 |
| 2005 | 45 | 810 |
Kilde: http://www.carboeurope.org/education/experiments.php (05.01.2010)
Tabellen viser mengden $\text{CO}_2$ i atmosfæren for noen utvalgte år i perioden fra 1960 til 2005. $\text{CO}_2$-verdiene er målt i gigatonn karbon.
a) Sett verdiene fra tabellen inn i et koordinatsystem der x-aksen viser antall år etter 1960.
b) Bruk regresjon til å finne den lineære funksjonen som passer best med datamaterialet.
I oppgave c) skal du bruke funksjonen fra b) som en modell for utvikling.
c) Hvor mye $\text{CO}_2$ vil det være i atmosfæren i 2050 ifølge denne modellen?
Mengden $\text{CO}_2$ i atmosfæren påvirkes av flere faktorer. Grafen til høyre viser de globale $\text{CO}_2$-utslippene fra fossilt brensel de siste 50 årene. Her viser y-aksen $\text{CO}_2$-utslipp i gigatonn karbon per år.
---
Anta at $\text{CO}_2$-utslippene fra fossilt brensel vil gå ned med 1,8 % per år fra og med 2010.
d) Tegn en graf som viser de årlige $\text{CO}_2$-utslippene fra fossilt brensel fra 2010 til 2050.
---
## V2010 del 2 oppgave 7 — Konsum og husholdningsavfall i indeksdiagram fra 1997
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prisindeks, Prosentregning, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av indekstall i diagram med indeks 1997 = 1 og bruke dem til å finne prosentvis økning og avfallsmengden i 2001.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konsum-og-husholdningsavfall-i-indeksdiagram-fra-1997/
### Oppgavetekst
Kilde: http://www.ssb.no/emner/01/05/10/avfkomm/ (02.10.09)
Diagrammet viser hvordan konsum og avfall fra private husholdninger endret seg i perioden 1997–2008.
a) Hvor mange prosent økte avfallsmengden med fra 1997 til 2008?
I 1997 var avfallsmengden 1 900 000 tonn.
b) Hvor stor var avfallsmengden i 2001?
---
## V2010 del 2 oppgave 7 — Utdanningsnivå i kommune – sannsynlighet fra toveis tabell
- **Fag:** 2P-Y, 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lese av totaltall og beregne sannsynligheter for utdanningsnivå fra toveis frekvenstabell for menn og kvinner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utdanningsniva-i-kommune-sannsynlighet-fra-toveis-tabell/
### Oppgavetekst
En kommune har kartlagt utdanningsnivået blant innbyggerne i aldersgruppen 30–39 år. Tabellen viser høyeste fullførte utdanning for disse innbyggerne.
<table class="grid">
<tr>
<td></td>
<th>Kvinner</th>
<th>Menn</th>
<th>Totalt</th>
</tr>
<tr>
<th>Grunnskole</th>
<td>166</td>
<td>253</td>
<td>419</td>
</tr>
<tr>
<th>Videregående skole</th>
<td>385</td>
<td>654</td>
<td>1039</td>
</tr>
<tr>
<th>Universitet eller høyskole</th>
<td>517</td>
<td>493</td>
<td>1010</td>
</tr>
<tr>
<th>Totalt</th>
<td>1068</td>
<td>1400</td>
<td>2468</td>
</tr>
</table>
a) Hvor mange personer i aldersgruppen 30–39 år bor det i kommunen?
b) Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen bare har fullført grunnskoleutdanning?
Du møter en tilfeldig valgt mann mellom 30 og 39 år fra denne kommunen.
c) Hvor stor er sannsynligheten for at han ikke har fullført universitets- eller høyskoleutdanning?
Du møter en tilfeldig valgt kvinne og en tilfeldig valgt mann mellom 30 og 39 år fra denne kommunen.
d) Hva er sannsynligheten for at begge to bare har fullført grunnskoleutdanning?
---
## V2010 del 2 oppgave 8-I — Bedriftens daglige overskudd – toppunkt og nullpunkter
- **Fag:** 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8-I
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Økonomi, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til $O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000$ og finne toppunkt og området der overskuddet ikke er negativt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bedriftens-daglige-overskudd-toppunkt-og-nullpunkter/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
Hvis en bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag, er overskuddet $O(x)$ per dag i kroner gitt ved
$$
O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000
$$
a) Tegn grafen til $O$. Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for at overskuddet skal bli størst mulig?
b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for å ikke gå med underskudd?
---
## V2010 del 2 oppgave 8-II — Mønster av regulære tikanter, femkanter, stjerner og romber
- **Fag:** 2P, 1P
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8-II
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Mønstre, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Finne vinklene i regulær tikant, regulær femkant, stjerne og rombe i et mønster der alle sidene er like lange, og utvide mønsteret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/monster-av-regulaere-tikanter-femkanter-stjerner-og-romber/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
Mønsteret ovenfor er sammensatt av regulære tikanter, regulære femkanter, stjerner og romber. Alle disse fire figurene har sider med samme lengde.
a) Regn ut hvor store vinklene i hver av de fire figurene som inngår i mønsteret, er.
b) Tenk deg at du skal utvide mønsteret. Hvor kan du sette inn nye tikanter?
---
## H2010 del 1 oppgave 1 — Bordlengder, twistbiter, trappeformel, KPI og ettpunktsperspektiv
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 15
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Standardform, Sannsynlighet, Likninger, Prisindeks, Graftolkning, Perspektivtegning
- **Kort beskrivelse:** Samleoppgave uten hjelpemidler med overslag, standardform, sannsynlighet, trappeformel, KPI og reallønn, graftolkning og ettpunktsperspektiv.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bordlengder-twistbiter-trappeformel-kpi-og-ettpunktsperspektiv/
### Oppgavetekst
Andersen kjøper fem bord. I enden av hvert bord står det et tall som forteller hvor mange centimeter bordet er. Se bildet til høyre.
---
Kilde: Utdanningsdirektoratet
a) Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mye Andersen må betale når bordene koster 8,95 kroner per meter.
b) Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
6{,}0 \cdot 10^7 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-3}
$$
I en twistpose er det 30 twistbiter. Per liker 18 av disse. Vi trekker tilfeldig én twistbit fra posen.
c)
1\) Finn sannsynligheten for at Per liker denne twistbiten.
Sannsynligheten for at Ola liker en tilfeldig valgt twistbit fra posen, er $0{,}4$.
2\) Hvor mange av twistbitene i posen liker Ola?
For at en trapp skal være behagelig å gå i, bør ett inntrinn pluss to opptrinn være omtrent 630 mm.
d) Hvor høyt bør opptrinnet i en trapp være dersom inntrinnet skal være 340 mm?
Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for de tre siste årene.
| År | 2007 | 2008 | 2009 |
|:---:|:-----:|:-----:|:-----:|
| KPI | 118,6 | 123,1 | 125,7 |
I 2008 hadde Sondre en reallønn på 1 000 000 kroner.
e) Hvor mye måtte Sondre hatt i nominell lønn i 2009 hvis han skulle beholdt samme kjøpekraft som i 2008?
Jens og far har løpt 100-meteren. Far fikk starte tre sekunder før Jens. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av løpet til Jens og av løpet til far.
f) Hva kan du si om de to løpene ut fra den grafiske framstillingen ovenfor?
g) Tenk deg at du ser en kasse skrått ovenfra. Tegn kassen i ettpunktsperspektiv. Forsvinningspunkt og perspektivlinjer skal være med på tegningen.
---
## H2010 del 1 oppgave 2 — Konvertering mellom tallsystemer med grunntall 2, 3 og 10
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Bits og bytes
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut en tabell ved å konvertere tall mellom titallsystemet, totallsystemet og tretallsystemet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvertering-mellom-tallsystemer-med-grunntall-2-3-og-10/
### Oppgavetekst
I tallsystemet som vi vanligvis bruker, er grunntallet 10. I totallsystemet er grunntallet 2. Det finnes også tallsystemer med andre grunntall.
| Tallsystem med grunntall 10 | Tallsystem med grunntall 2 | Tallsystem med grunntall 3 |
|:---:|:---:|:---:|
| 4 | | $11_3$ |
| | $1011_2$ | |
| | | $221_3$ |
Tegn av tabellen ovenfor i besvarelsen din, gjør beregninger og fyll inn det som mangler.
---
## H2010 del 1 oppgave 3 — Klassefest og høyrentekonto med matematiske modeller
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp matematisk modell for kostnad per elev ved klassefest (omvendt proporsjonalitet) og for sparing med rente (eksponentiell vekst).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klassefest-og-hoyrentekonto-med-matematiske-modeller/
### Oppgavetekst
> Håkon
> Vi skal arrangere klassefest. Det vil koste 6 300 kroner. Utgiftene skal deles likt mellom elevene som blir med.
a)
1\) Hvor mange elever må bli med på klassefesten dersom hver elev ikke skal måtte betale mer enn 300 kroner?
2\) Sett opp en matematisk modell som Håkon kan bruke for å regne ut hvor mye hver elev må betale dersom utgiftene deles likt og $x$ elever deltar på festen.
> Mette
> Jeg setter inn 10 000 kroner på en høyrentekonto. Jeg regner med å få 4 % rente per år.
b)
1\) Hvor mye vil Mette ha på kontoen etter ett år?
2\) Sett opp en matematisk modell som Mette kan bruke for å regne ut hvor mye penger hun har på kontoen etter $x$ år.
---
## H2010 del 2 oppgave 4 — Bilpakke med kjøretimer hos trafikkskole
- **Fag:** 2P, 1P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Økonomi, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Beregne totalpris for kjøreopplæring med pakkepris og tillegg per ekstra time, og finne antall timer ut fra totalprisen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bilpakke-med-kjoretimer-hos-trafikkskole/
### Oppgavetekst
> Byens beste bilpakke – Pakkepris: 16 900 kroner
> Pakken består av:
>
> - 13 kjøretimer
> - sikkerhetskurs på bane
> - sikkerhetskurs på vei
> - 2 veiledningstimer
> - leie av bil på 1 førerprøve
>
> Kjøretimer utover pakken koster 550 kroner per time.
På nettsidene til en trafikkskole fant Anne og Jon tilbudet ovenfor. Begge benyttet seg av tilbudet.
a) Anne hadde til sammen 21 kjøretimer. Hvor mye betalte hun for kjøreopplæringen?
b) Jon betalte 29 000 kroner for kjøreopplæringen. Hvor mange kjøretimer hadde han?
---
## H2010 del 2 oppgave 5 — Aksjeverdier med månedlig vekst og fall over ett år
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Eksponentialfunksjon, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Beregne aksjeverdi etter månedlig prosentvis vekst/fall med sammensatte vekstfaktorer, og finne antall måneder til verdi er tilbake til utgangspunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aksjeverdier-med-manedlig-vekst-og-fall-over-ett-ar/
### Oppgavetekst
Verdien av aksjene i et firma har steget med 5 % per måned det siste året. Berit kjøper derfor aksjer for 10 000 kroner i dette firmaet.
Berit håper at verdien av aksjene vil fortsette å stige med 5 % per måned det neste året.
a)
1\) Hvor mye vil aksjene til Berit være verdt etter én måned hvis det går som hun håper?
2\) Hvor mye vil aksjene til Berit være verdt etter ett år hvis det går som hun håper?
I ettertid viste det seg at verdien av aksjene til Berit steg med 5 % per måned i fire måneder. Deretter steg verdien med 3 % per måned i tre måneder. Så sank verdien med 3 % per måned de neste fem månedene.
b) Finn ut hvor mye verdien av aksjene steg, både i kroner og prosent, i løpet av dette året.
Verdien av aksjene fortsatte å synke med 3 % per måned det neste året.
c) Hvor mange måneder gikk det før Berits aksjer igjen var verdt 10 000 kroner?
---
## H2010 del 2 oppgave 6 — Ballbinge i idrettslag og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y, 1T, 2P, 1P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut en tohensikts-frekvenstabell, beregne sannsynlighet og betinget sannsynlighet, og løse likning for antall nye medlemmer som kreves for å oppnå 75 % andel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ballbinge-i-idrettslag-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Fotballgruppa i et idrettslag ønsker seg en ny ballbinge. De gjennomfører en spørreundersøkelse for å finne ut hva medlemmene i idrettslaget mener om dette.
- Alle de 240 medlemmene i idrettslaget blir spurt.
- 45 % av medlemmene er kvinner.
- 63 av mennene ønsker ballbinge.
- Til sammen 110 av medlemmene ønsker ikke ballbinge.
| | Mann | Kvinne | Totalt |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Ønsker ballbinge | | | |
| Ønsker ikke ballbinge | | | |
| Totalt | | | |
a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk opplysningene ovenfor og fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene.
b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem i idrettslaget ønsker ballbinge.
Et medlem blir valgt tilfeldig. Det viser seg at dette medlemmet ønsker ballbinge.
c) Finn sannsynligheten for at dette medlemmet er en mann.
Styret i idrettslaget setter som krav at minst 75 % av medlemmene må ønske ballbinge dersom de skal godkjenne planene.
Fotballgruppa prøver å verve nye medlemmer som ønsker ballbinge.
d) Hvor mange slike medlemmer må fotballgruppa verve for at kravet fra styret skal innfris?
---
## H2010 del 2 oppgave 7 — Treets høyde og eksponentiell regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Framstille måldata i koordinatsystem, beregne prosentvis endring for å velge modelltype, utføre regresjon og tegne modell, og vurdere modellens gyldighetsområde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/treets-hoyde-og-eksponentiell-regresjon/
### Oppgavetekst
Jon har i flere år målt høyden til et tre. Se tabellen nedenfor. Første gang han målte, var treet 1,00 m høyt.
| Antall år etter første måling | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Treets høyde (målt i $\mathrm{m}$) | 1,00 | 1,25 | 1,55 | 1,94 | 2,46 | 3,04 | 3,83 |
a) Framstill datamaterialet fra tabellen ovenfor i et koordinatsystem.
Jon vil finne en matematisk modell som viser treets høyde. Han er usikker på hvilken type modell som passer best. Han legger til en ekstra rad i tabellen. Se nedenfor.
| Antall år etter første måling | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Treets høyde (målt i $\mathrm{m}$) | 1,00 | 1,25 | 1,55 | 1,94 | 2,46 | 3,04 | 3,83 |
| Prosentvis endring fra året før | | | | | | | |
b) Tegn av denne tabellen i besvarelsen din. Fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene. Bruk disse tallene til å begrunne hvilken type modell Jon bør velge.
c) Bruk for eksempel regresjon til å finne modellen. Tegn grafen til modellen i samme koordinatsystem som du brukte i a).
d) Denne modellen er laget på grunnlag av data fra en periode på seks år. Vurder om modellen kan brukes til å si noe om treets vekst før og etter denne perioden.
---
## H2010 del 2 oppgave 8 — Leksetimer for jenter og gutter sammenlignet med sentralmål
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Beregne og tolke ulike sentral- og spredningsmål for to datasett, og bruke dem til å sammenligne jenter og gutters arbeidsvaner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leksetimer-for-jenter-og-gutter-sammenlignet-med-sentralmal/
### Oppgavetekst
I klasse 1A er det 12 jenter og 12 gutter. Nedenfor ser du hvor mange timer de bruker på lekser hver uke.
Jentene: 7, 5, 5, 7, 7, 6, 8, 8, 5, 4, 6, 10
Guttene: 2, 5, 6, 7, 9, 6, 4, 9, 12, 2, 13, 3
Bruk ulike sentral- og spredningsmål og gjør rede for hva dette datamaterialet viser om jentenes og guttenes arbeidsvaner i denne klassen.
---
## H2010 del 2 oppgave 9-I — Kvadrat og rektangel med sider endret med 10 prosent
- **Fag:** 2P, 1P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9-I
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Areal og omkrets, Algebra, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Undersøke arealforholdet når to sider i et kvadrat økes med 10 % og to minskes med 10 %, generalisere med side a og bruke resultatet på en mur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadrat-og-rektangel-med-sider-endret-med-10-prosent/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
Trine tegner et kvadrat der sidene er 8 cm lange. Hun tegner også et rektangel. To av sidene i rektangelet er 10 % lengre enn sidene i kvadratet, og to av sidene er 10 % kortere enn sidene i kvadratet.
Hun regner ut arealet av kvadratet og arealet av rektangelet. Så finner hun forholdet mellom de to arealene. Resultatene setter hun opp i en tabell. Se nedenfor.
<table class="grid">
<tr>
<th>Side i kvadrat</th>
<th>Areal av kvadrat</th>
<th colspan="2">Side i rektangel</th>
<th>Areal av rektangel</th>
<th>Areal rektangel / Areal kvadrat</th>
</tr>
<tr>
<td>8</td>
<td>64</td>
<td>8,8</td>
<td>7,2</td>
<td>63,36</td>
<td>0,99</td>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
<tr>
<td>$a$</td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
</table>
a) Tegn av tabellen. Velg to ulike kvadrater som er forskjellige fra kvadratet til Trine. For hvert av kvadratene skal du gjøre de samme beregningene som Trine gjorde. Skriv resultatene på de to neste radene i tabellen.
b) Gjør tilsvarende beregninger for et kvadrat der sidene er $a$ cm lange, og fyll ut siste rad i tabellen. Kommenter resultatet.
Øyvind har bygget en mur. Planen var at muren skulle være like høy som den var lang, men under byggingen bestemte Øyvind seg for å redusere høyden med 10 % og øke lengden med 10 %. Arealet av sideflaten til muren han bygget, ble $8{,}91 \mathrm{~m^2}$.
c) Hvor lang og hvor høy ble muren?
---
## H2010 del 2 oppgave 9-II — Sylinderformet ost med skorpe og sirkelsektor
- **Fag:** 2P, 1P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9-II
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Volum, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Beregne volumet av en sylinderformet ost, hvor stor andel en 2 mm tykk skorpe utgjør, og vinkelen i et ostestykke formet som sirkelsektor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sylinderformet-ost-med-skorpe-og-sirkelsektor/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
En ost har form som en sylinder. Den er 34,0 cm i diameter og 4,0 cm høy. Osten veier 3,0 kg.
a) Finn volumet av osten.
Osten har en 2 mm tykk hvit skorpe.
b) Hvor stor del av osten utgjør skorpen?
Gunnar kjøper 250 g ost. Han får et ostestykke formet som en sirkelsektor.
c) Hvor mange grader er denne sirkelsektoren?
---
## V2009 del 1 oppgave 1 — Avstand Oslo-Tromsø, tau til stolpe og Sofies verden
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Potenser, Standardform, Prisindeks, Proporsjonalitet, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Kortoppgaver med målestokk på kart, potensregler og standardform, prisindeks, proporsjonalitet, Pytagoras og overslag med store tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstand-oslo-tromso-tau-til-stolpe-og-sofies-verden/
### Oppgavetekst
a) Avstanden i luftlinje mellom Oslo og Bergen er ca. 300 km. Bruk kartet nedenfor til å anslå avstanden i luftlinje mellom Oslo og Tromsø.
b) Skriv så enkelt som mulig
1\)
$$
\dfrac{2^8 \cdot 2^{-4}}{2^5}
$$
2\)
$$
2{,}0 \cdot 10^6 \cdot 8{,}4 \cdot 10^4
$$
c) En vare kostet 360 kr i 2004. Indeksen for denne varen var da 120. Hva kostet varen i basisåret 1998?
d) Strekningen $s$ meter som en radiostyrt bil har tilbakelagt, er proporsjonal med tiden $t$ sekunder. Tegn av tabellen nedenfor på arket ditt. Gjør beregninger, og fyll ut det som mangler i tabellen.
| $s$ | $3$ | $5$ | | |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $t$ | $0{,}6$ | | $1{,}8$ | $12$ |
Frode har satt opp en 7 meter høy stolpe. Et tau skal gå fra toppen av stolpen til et festepunkt nede på bakken. Festepunktet ligger 5 meter fra stolpen, og vinkelen mellom stolpen og underlaget er $90\degree$. Se figuren nedenfor.
e) Frode har et 9 meter langt tau. Finn ut om dette tauet er langt nok til at han kan bruke det her.
I 1991 ble boken *Sofies verden* av Jostein Gaarder utgitt. Boken ble en bestselger. Det er solgt ca. 30 millioner eksemplarer over hele verden. Boken er på ca. 500 sider, altså 250 ark. Hvert ark i boken er omtrent $0{,}10 \mathrm{~mm}$ tykt.
f)
1\) Tenk deg at du ville sette alle de 30 millioner eksemplarene i en bokhylle. Gjør et overslag, og finn ut omtrent hvor lang denne bokhyllen måtte ha vært.
Fra det nordligste til det sørligste punktet i Norge er det ca. 1700 km.
2\) Gjør et overslag, og finn ut omtrent hvor mange eksemplarer av *Sofies verden* man måtte ha hatt for å fylle en bokhylle på 1700 km.
---
## V2009 del 1 oppgave 2 — Pengeforbruk på sommerleir
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut manglende verdier i frekvenstabell, lage diagram, beregne gjennomsnitt fra grupperte data med $\bar{x} = \sum m \cdot s$, og forklare at median er lavere enn gjennomsnitt ved hjelp av kumulativ frekvens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pengeforbruk-pa-sommerleir/
### Oppgavetekst
Sommeren 2007 var 175 skoleelever på sommerleir. Etter leiren ble de spurt om hvor mye penger de hadde brukt på brus, is og godteri. Resultater fra undersøkelsen er vist i skjemaet nedenfor.
| Penger brukt (kr) | Klassemidtpunkt $m$ | Frekvens Hyppighet $f$ | Relativ frekvens $s$ | Produkt $m \cdot s$ |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Fra og med 0 til 40 | 20 | 21 | $0{,}12$ | $2{,}4$ |
| Fra og med 40 til 80 | 60 | 70 | 2) | $24{,}0$ |
| Fra og med 80 til 120 | 100 | 49 | $0{,}28$ | $28{,}0$ |
| Fra og med 120 til 160 | 140 | 21 | $0{,}12$ | $16{,}8$ |
| Fra og med 160 til 200 | 180 | 1) | $0{,}08$ | $14{,}4$ |
| Totalt | | 175 | $1{,}00$ | $85{,}6$ |
a) Hvilke tall skal stå i feltene som ikke er fylt ut, og som er merket 1) og 2)?
b) Framstill dataene over pengeforbruket i et egnet diagram.
c) Hvor mye penger brukte i gjennomsnitt hver av de 175 elevene?
Kristian påstår at han med én gang kan si at for dette datamaterialet er medianen lavere enn gjennomsnittet.
d) Forklar hvordan Kristian kan se dette direkte ut fra tabellen ovenfor.
---
## V2009 del 2 oppgave 3 — Lineær modell for hageslange og vogn
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likningssystem for å bestemme $a$ og $b$ i $y = ax + b$ fra to datapunkter, og tolke koeffisientene i praktisk kontekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-hageslange-og-vogn/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom prisen for en vogn med hageslange og lengden av hageslangen.
| Lengden av slangen (meter) | 25 | 50 |
|:---|:---:|:---:|
| Prisen for vogn med slange (kroner) | 250 | 375 |
Denne sammenhengen kan beskrives ved hjelp av uttrykket $y = ax + b$, der $x$ meter er lengden av slangen, og $y$ kr er prisen for vogna med hageslange.
*Kilde: Utdanningsdirektoratet*
a) Finn tallene $a$ og $b$.
b) Gi en praktisk tolkning av tallene $a$ og $b$ i denne oppgaven.
---
## V2009 del 2 oppgave 3 — Sekunder til timer og babylonsk 60-tallsystem
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om sekunder til timer, minutter og sekunder, og skrive et tall i babylonernes 60-tallsystem ved gjentatt divisjon med potenser av 60.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sekunder-til-timer-og-babylonsk-60-tallsystem/
### Oppgavetekst
a) Gjør 7502 sekunder om til timer, minutter og sekunder.
Mer enn 2000 år f.Kr. utviklet babylonerne et tallsystem med potenser av 60.
I dette 60-tallsystemet kan tallet 11284 skrives som **3 8 4** siden
$$
11284 = \mathbf{3} \cdot 60^2 + \mathbf{8} \cdot 60^1 + \mathbf{4} \cdot 60^0
$$
b) Skriv tallet 29049 i 60-tallsystemet.
---
## V2009 del 2 oppgave 4 — Sannsynlighet for rødt lys ved fotgjengeroverganger
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for uavhengige hendelser ved to fotgjengeroverganger med ulike lyssykluser, inkludert begge røde og nøyaktig én rød.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-rodt-lys-ved-fotgjengeroverganger/
### Oppgavetekst
Tone går til jobben hver dag. På veien gjennom byen må hun på to ulike steder over en fotgjengerovergang som har lysregulering. Hun er irritert fordi hun mener at hun alltid må vente på grønt lys. Hun ringer trafikketaten for å høre hvordan dette kan henge sammen, og får da opplyst følgende:
- Ved første fotgjengerovergang er det rødt lys i 20 sekunder og grønt i 30 sekunder.
- Ved andre fotgjengerovergang er periodene med rødt og grønt lys like lange.
- Lysene virker uavhengig av hverandre.
*Kilde: Utdanningsdirektoratet*
a) Forklar at sannsynligheten for å få rødt lys ved første fotgjengerovergang er $\dfrac{2}{5}$ og at sannsynligheten for å få rødt lys ved andre fotgjengerovergang er $\dfrac{1}{2}$.
b) Hva er sannsynligheten for at Tone vil få rødt lys ved begge fotgjengerovergangene?
c) Hva er sannsynligheten for at Tone får rødt lys på nøyaktig en av fotgjengerovergangene?
---
## V2009 del 2 oppgave 6 — Bikube med regulære sekskanter og areal per omkrets
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Pytagoras, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vinkler i regulære mangekanter og flatefylling, areal av regulær trekant med Pytagoras, og sammenligning av omkrets/areal for trekant, kvadrat og sekskant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bikube-med-regulaere-sekskanter-og-areal-per-omkrets/
### Oppgavetekst
Figuren til høyre viser et utsnitt av en bikube. Som du kanskje ser, er den bygd opp av regulære sekskanter. Hvorfor bruker bien sekskanten? Det skal vi prøve å belyse i denne oppgaven.
*Kilde: www.honningsalg.com*
Det er mulig å fylle en flate med bare regulære trekanter, firkanter eller sekskanter. Se figuren nedenfor. Vinkelen i en regulær $n$-kant er gitt ved formelen $180\degree - \dfrac{360\degree}{n}$
a) Hvorfor er det ikke mulig å fylle en flate med bare regulære 5-kanter?
I resten av denne oppgaven ser vi på regulære trekanter, firkanter og sekskanter som alle har omkrets 12.
b) Vis at arealet av en regulær trekant som har sidekanter med lengde 4, er $2\sqrt{12} \approx 6{,}9$
c) Skriv av og fyll ut følgende tabell:
| $n$ (antall sider i mangekanten) | 3 | 4 | 6 |
|:---|:---:|:---:|:---:|
| Omkrets | 12 | 12 | 12 |
| Lengden av en sidekant | 4 | 3 | 2 |
| Areal | $6{,}9$ | | |
| $\dfrac{\text{Omkrets}}{\text{Areal}}$ | | | |
d) Dersom sidene i mangekantene skulle vært laget av et slags materiale, i hvilken mangekant brukes minst materiale i forhold til det arealet omkretsen omslutter? Mener du dette kan hjelpe oss å forstå hvorfor bien bruker sekskanten? Forklar.
---
## V2009 del 2 oppgave 6-I — Teatersal med stolrader og billettpriser
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Modellering, Andregradslikninger, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Aritmetisk tallfølge for antall plasser i radene i en teatersal, med billettpriser som synker bakover, og optimering av total billettpris per rad.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/teatersal-med-stolrader-og-billettpriser/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge* ***enten*** *alternativ I* ***eller*** *alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
Denne oppgaven handler om en teatersal. På første stolrad er det 10 plasser. På andre rad er det 12 plasser, og på tredje rad er det 14 plasser.
Slik fortsetter det å øke med to plasser for hver rad bakover i salen.
a)
1\. Hvor mange plasser er det på rad 6 og på rad 10?
2\. Forklar at det på rad $n$ vil være $(8 + 2n)$ plasser.
Bakerste rad har 48 plasser.
b) Hvor mange stolrader er det i salen?
På første rad er billettprisen 360 kroner. Billettprisen synker med 10 kroner for hver rad bakover i salen. På andre rad er billettprisen altså 350 kroner, på tredje rad 340 kroner og på rad $n$ er billettprisen $(370 - 10n)$ kroner.
c)
1\. Hva koster billettene til sammen på rad 8?
2\. Forklar at billettene på rad $n$ til sammen koster $(8 + 2n) \cdot (370 - 10n)$ kroner.
d) På hvilken rad koster billettene mest til sammen?
---
## V2009 del 2 oppgave 6-II — Bedriftsoverskudd med regresjon og optimering
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Andregradslikninger, Optimering, Økonomi, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke regresjon til å finne en andregradsmodell for et bedriftsoverskudd, og optimere og vurdere to tiltak som endrer modellen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bedriftsoverskudd-med-regresjon-og-optimering/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge* ***enten*** *alternativ I* ***eller*** *alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare hver dag. Bedriftens ledelse har funnet ut følgende:
- Overskuddet $O(x)$ er størst når bedriften produserer og selger 55 enheter per dag. Overskuddet er da 20 250 kroner.
- Produksjon og salg av 40 eller 70 enheter per dag gir et overskudd på 18 000 kr.
- Dersom produksjon og salg kommer ned i 10 enheter per dag, blir overskuddet 0 kr.
a) Bruk regresjon til å vise at funksjonen $O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000$ er en god modell for bedriftens overskudd ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag.
b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for å oppnå et overskudd på 14 000 kr?
Bedriften ligger i en kommune som sliter med fraflytting, blant annet på grunn av mangel på arbeidsplasser. For å sysselsette flere personer har ledelsen vurdert å øke produksjonen.
c) Hvor mange enheter kan de maksimalt produsere og selge hver dag, dersom de skal gå med overskudd?
For å øke sysselsettingen ytterligere vurderer ledelsen, i samarbeid med kommunen, to ulike tiltak som vil endre modellen for overskuddet, $O(x)$.
**Tiltak 1**
Ledelsen kan sette opp prisen på varene med $b$ kroner per enhet. Den nye modellen for bedriftens overskudd vil da bli $O(x) = -10x^2 + 1100x + bx - 10000$
**Tiltak 2**
Kommunen kan gi bedriften et tilskudd på $c$ kroner per dag. Da vil den nye modellen for overskuddet bli $O(x) = -10x^2 + 1100x - 10000 + c$
d) Du skal vurdere de to ulike tiltakene.
1\. Dersom ledelsen velger å sette i verk Tiltak 1, hva må konstanten $b$ være for at bedriften skal kunne produsere og selge 200 enheter uten å tape penger?
2\. Dersom ledelsen velger å sette i verk Tiltak 2, hva må konstanten $c$ være for at bedriften skal kunne produsere og selge 200 enheter uten å tape penger?
---
## H2009 del 1 oppgave 1 — Standardform, badebasseng, skattesystem og halvsirkel
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning, Volum, Sannsynlighet, Formler, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Kortoppgaver med standardform, totallsystem, forhold, volum og fyllingstid for basseng, sannsynlighet, skatteformel og areal i halvsirkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-badebasseng-skattesystem-og-halvsirkel/
### Oppgavetekst
a) Skriv tallene 32 000 000 og 0,000 678 på standardform.
b) Hvilket tall er størst av tallet 70 i titallsystemet og tallet 1001001 i totallsystemet?
c) Forholdet mellom $n$ og $p$ er lik 140. Hvor stor er $p$ dersom $n$ er 70?
Et badebasseng har form som et rett firkantet prisme med lengde 6,0 meter, bredde 4,0 meter og høyde 1,5 meter.
d)
1\) Hvor stort volum har bassenget?
For å fylle bassenget med vann brukes en vannpumpe som gir 300 liter vann per minutt.
2\) Hvor lang tid tar det å fylle bassenget?
e) I en klasse er det 25 elever. 10 av jentene og 5 av guttene har arbeid i tillegg til skolen. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i denne klassen har arbeid i tillegg til skolen?
I et land er skattesystemet slik at de første 100 000 kronene du tjener, er skattefrie, mens du må betale 50 % skatt av det du tjener over 100 000 kroner.
f)
1\) Du tjener 500 000 kroner. Hvor stor blir lønnen etter at skatten er trukket fra?
La $B$ kroner være lønnen før skatt og $N$ kroner lønnen etter at skatten er trukket fra.
Formelen $N = 0{,}50 \cdot B + 50\,000$ gir oss en sammenheng mellom disse størrelsene.
(Her forutsetter vi at $B$ er større enn 100 000.)
2\) Finn en formel for $B$, og bruk denne til å finne ut hvor mye du må tjene for å sitte igjen med 350 000 kroner etter at skatten er trukket fra.
g) Figuren nedenfor viser en halvsirkel med sentrum i $S$. I halvsirkelen har vi tegnet inn en likebeint trekant $ABC$. $A$, $B$ og $C$ ligger på sirkelbuen. Er arealet av trekanten mer enn dobbelt så stort som arealet av det røde området? Begrunn svaret ditt.
---
## H2009 del 1 oppgave 2 — Eske i topunktsperspektiv og trafikklys i trepunktsperspektiv
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Perspektivtegning
- **Kort beskrivelse:** Fullføre en eske i topunktsperspektiv og finne de tre forsvinningspunktene til et trafikklys tegnet i trepunktsperspektiv med hjelpelinjer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eske-i-topunktsperspektiv-og-trafikklys-i-trepunktsperspektiv/
### Oppgavetekst
Per skal tegne en eske i topunktsperspektiv. Han har begynt som vist på figuren ovenfor.
a) I vedlegget bak i eksamensoppgaven finner du den samme tegningen. Fullfør tegningen i vedlegget.
**TA UT VEDLEGGET PÅ SIDE 21 OG LEVER DET SAMMEN MED BESVARELSEN AV DEL 1.**
Bildene nedenfor viser et trafikklys som er tegnet i trepunktsperspektiv.
*Kilde: http://4.bp.blogspot.com/_eKW3lMZyb9U/R2ZVSqf5WyI/AAAAAAAACJk/Te7bH0aNo04/s1600-h/gse_multipart54453.jpg (22.04.09)*
b) I vedlegget bak i eksamensoppgaven finner du en tegning av et liknende trafikklys. Bruk tegningen i vedlegget til å lage hjelpelinjer og finne de tre forsvinningspunktene.
**TA UT VEDLEGGET PÅ SIDE 21 OG LEVER DET SAMMEN MED BESVARELSEN AV DEL 1.**
**Vedlegg 1**
---
## H2009 del 2 oppgave 3 — Volum av Voss-flaske og karamellpuddingkartong
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Volum av sylinder og rett prisme, vannhøyde i sylinder ut fra gitt volum, og literpris i kroner med valutakurs.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-voss-flaske-og-karamellpuddingkartong/
### Oppgavetekst
*Kilde: Vosswater.com (10.05.09)*
*Kilde: http://www.tine.no/page?id=26&key=5948&cat=609 (10.05.09)*
Bildet til venstre viser en flaske Voss-vann. Flasken er 18,3 cm høy og har en diameter på 5,1 cm. Bildet til høyre viser en kartong med karamellpudding. Kartongen er 21,5 cm høy, og grunnflaten er et rektangel med sider på 11,0 cm og 4,4 cm.
a) Regn ut volumet av kartongen med karamellpudding og volumet av flasken med Voss-vann.
I en flaske Voss-vann med samme størrelse som den ovenfor er det igjen 250 ml vann.
b) Hvor høyt i flasken står vannet?
Peder kjøpte en flaske med 800 ml Voss-vann på en restaurant i Barcelona. Der kostet den 10 euro.
c) Hvor mange norske kroner koster 1 liter Voss-vann når 1 euro er verdt 8,73 norske kroner?
---
## H2009 del 2 oppgave 4 — Karakterfordeling med to diagrammer og samlet gjennomsnitt
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lage to diagrammer, beregne prosentandel og gjennomsnitt fra frekvenstabell, og finne og forklare samlet (vektet) gjennomsnitt for to årskull.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-med-to-diagrammer-og-samlet-gjennomsnitt/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser karakterfordelingen på en matematikkeksamen et år.
| Karakter | Elever |
|:--------:|:------:|
| 1 | 12 |
| 2 | 47 |
| 3 | 49 |
| 4 | 57 |
| 5 | 13 |
| 6 | 3 |
a) Framstill dataene i tabellen ved hjelp av to ulike diagrammer.
b)
1\) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 1?
2\) Hva var gjennomsnittskarakteren?
Året etter var det 234 elever som hadde eksamen. Gjennomsnittskarakteren dette året var 3,42.
c) Hva var gjennomsnittskarakteren dersom vi ser disse to årene under ett?
Forklar hvordan du kom fram til svaret.
---
## H2009 del 2 oppgave 5 — Siris studentbudsjett og kjøpekraft fra Lånekassen
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Prisindeks, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp et månedsbudsjett, sammenligne kjøpekraft i 1990 og 2008 med konsumprisindeks, og regne ut stipendandel i prosent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/siris-studentbudsjett-og-kjopekraft-fra-lanekassen/
### Oppgavetekst
Siri er student. Hun får utbetalt 8 290 kroner per måned fra Lånekassen.
Hver måned betaler hun 3 200 kroner i husleie. En måned regner hun i tillegg med å få disse utgiftene: 850 kroner til læremateriell, 600 kroner til reise, 350 kroner til telefon, 1 800 kroner til mat, 800 kroner til klær og 600 kroner til annet.
a) Lag et månedsbudsjett for Siri denne måneden.
Tabellen nedenfor viser hvor mye en student fikk utbetalt fra Lånekassen hver måned i 1990 og i 2008.
| År | Lån | Stipend | Utbetalt |
|:---|:---|:---|:---|
| 1990 | 4 580 kroner | 600 kroner | 5 180 kroner |
| 2008 | 4 970 kroner | 3 320 kroner | 8 290 kroner |
Konsumprisindeksen var 83,7 i 1990 og 123,1 i 2008.
Mads var student i 2008. Matematikklæreren hans var student i 1990. Begge måtte klare seg med de pengene de fikk fra Lånekassen.
b) Hvem av de to hadde størst kjøpekraft i studietiden?
c) Hvor stor andel utgjør stipendet av den månedlige utbetalingen fra Lånekassen for Mads? Finn tilsvarende andel for matematikklæreren og kommenter svaret.
---
## H2009 del 2 oppgave 6 — Snorres og farfars bankkontoer
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Sparing, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Lese av startverdi og rente fra $f(x) = 18\,000 \cdot 1{,}0425^x$, beregne fremtidig verdi, finne ukjent rente og bruke GeoGebra til å finne når to kontoer samlet passerer en grense.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snorres-og-farfars-bankkontoer/
### Oppgavetekst
Da Snorre ble født, satte mormor inn penger på en ny bankkonto. Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 18\,000 \cdot 1{,}0425^x
$$
viser hvor mye penger det er på kontoen etter $x \text{ år}$.
a) 1) Hvor mye penger satte mormor inn på kontoen? Hvor stor er den årlige renten?
2\) Hvor mye penger er det på kontoen etter 18 år?
b) Hvor mange år vil det gå før beløpet på kontoen passerer 30 000 kroner?
Farfar opprettet også en konto da Snorre ble født. Han satte inn 10 000 kroner på kontoen. Etter 5 år stod det 11 592,70 kroner på kontoen.
c) Hvor stor er den årlige renten på denne kontoen?
d) Etter hvor mange år vil beløpene på de to kontoene til sammen passere 50 000 kroner?
---
## H2009 del 2 oppgave 7-I — Potensuttrykk og maksimal skilengde for skihoppere
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Formler, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensuttrykk med to variabler, og løse formelen $s = 0{,}9 \cdot h + 1{,}5 \cdot v$ med hensyn på høyden $h$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-og-maksimal-skilengde-for-skihoppere/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge* ***enten*** *alternativ I* ***eller*** *alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
a) Skriv så enkelt som mulig
$$
\dfrac{(a^3)^4 \cdot ab^2}{2ab^3}
$$
Professor Helge Nørsterud ved NTNU har utviklet en formel for hvor lange ski en skihopper kan ha. Denne formelen er grunnlaget for de reglene som gjelder i dag.
Dersom høyden til hopperen er $h$ centimeter, og vekten er $v$ kilogram, er maksimal skilengde $s$, målt i centimeter, gitt ved følgende formel
$$
s = 0{,}9 \cdot h + 1{,}5 \cdot v
$$
b) En skihopper veier 68 kg og har ski som er 265 cm lange. Hvor høy må han minst være for å ha lov til å bruke disse skiene?
---
## H2009 del 2 oppgave 7-II — Lengste rette linje i L-formet rom
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Geometri, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Finne den lengste rette linjen innenfor et L-formet rom ved å vurdere mulige diagonaler og bruke Pytagoras.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lengste-rette-linje-i-l-formet-rom/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge* ***enten*** *alternativ I* ***eller*** *alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
Figuren ovenfor viser en skisse av grunnflaten i et rom.
Hvor lang er den lengste rette linjen som kan trekkes langs gulvet innenfor rommets vegger?
---
## V2008 del 1 oppgave 1 — Stolkostnad, appelsinjuice og forsvinningspunkt på Abbey Road
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Tallregning, Sannsynlighet, Formler, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Avlese kostnadsgraf, standardform, regnerekkefølge, sannsynlighet med 12-sidet terning, løse formel for ukjent og finne forsvinningspunkt i perspektivbilde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stolkostnad-appelsinjuice-og-forsvinningspunkt-pa-abbey-road/
### Oppgavetekst
a) Grafen viser hva det koster for en fabrikk å produsere $x$ stoler. Hva blir kostnadene *per stol* dersom bedriften produserer 50 stoler?
b) Skriv tallet $2{,}46 \cdot 10^{-4}$ som desimaltall.
c) Regn ut: $\dfrac{81}{9} - 2^4 + 12 \cdot 5 + \sqrt{9}$
d) Figuren over viser en 12-sidet terning der tallene 1, 2, 3, … ,12 er skrevet på sidene. De 12 mulige utfallene er like sannsynlige.
1\) Hva er sannsynligheten for å få 12 når du kaster terningen én gang?
2\) Du kaster terningen to ganger. Hva er sannsynligheten for å få 12 begge gangene?
3\) Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på terningene er mindre enn 6 dersom du kaster terningen to ganger?
Formelen $E = (P + K) \cdot 4 + F \cdot 9$ gir energiinnholdet $E$ i appelsinjuice målt i kcal. $P$ er antall gram proteiner, $K$ er antall gram karbohydrater og $F$ er antall gram fett.
Siri har kjøpt en kartong med appelsinjuice. På kartongen finner hun følgende oversikt:
En flekk dekker det siste tallet. Derfor klarer ikke Siri å se hvor mange gram fett det er per 100 g juice.
e) Bruk opplysningene i teksten ovenfor og finn ut hvilket tall som skjuler seg under flekken.
Nedenfor ser du bildet som ble brukt på omslaget til platen ”Abbey Road” av The Beatles.
f) Bruk vedlegg 1 og tegn inn linjer slik at du finner forsvinningspunktet og horisonten.
*Kilde: Beatles.com*
---
## V2008 del 1 oppgave 2 — Graftyper for ulike situasjoner
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineær vekst, Eksponentialfunksjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Matche fire beskrevne situasjoner (lineær nedgang, eksponentiell nedgang, kvadratisk vekst, parabelformet ballbane) mot seks grafer og begrunne valgene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/graftyper-for-ulike-situasjoner/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det beskrevet 4 ulike situasjoner. Velg blant grafene A, B, C, D, E og F på Figur 1, og finn en graf som best beskriver hver av situasjonene. Målestokken på y-aksen kan variere fra situasjon til situasjon. Husk å begrunne valgene dine.
1. I Fossefjell kommune er det i dag 9 000 innbyggere. En matematisk modell for utviklingen i kommunen sier at folketallet kommer til å synke med 150 mennesker per år. Én av grafene viser folketallet om $x$ år ifølge modellen.
2. En bil blir kjøpt for 300 000 kroner. Vi regner med at verdien av bilen synker med 15 % per år. Én av grafene viser verdien av bilen $x$ år etter at den blir kjøpt.
3. Én av grafene viser arealet av et kvadrat som funksjon av siden $x$ i kvadratet.
4. Du kaster en ball loddrett oppover. I det øyeblikket du slipper ballen, er den 1,8 meter over bakken, og den har farten 12 meter per sekund. $x$ sekunder etter at du slapp den, er ballens høyde over bakken (i meter) lik $-4{,}9x^2 + 12x + 1{,}8$. Én av grafene viser denne høyden som funksjon av $x$.
Velg riktig graf for hver av de fire situasjonene ovenfor og begrunn valgene dine.
---
## V2008 del 2 oppgave 3 — Aldersfordeling i leilighetskompleks
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lese frekvenstabeller, tegne søylediagram, forklare median i klassedelt materiale og beregne gjennomsnitt med klasseintervallmidtpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-i-leilighetskompleks/
### Oppgavetekst
Et nytt leilighetskompleks, UTSIKTEN, er fylt opp med nye beboere. En oversikt viser følgende aldersfordeling:
| Alder | 0–19 år | 20–39 år | 40–59 år | 60–79 år |
|:-----:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| Frekvens | 17 | 29 | 51 | 23 |
a) Hvor mange personer bor i leilighetskomplekset?
b) Tegn et søylediagram som viser aldersfordelingen.
c) Forklar hvorfor medianen må ligge i intervallet 40–59 år.
d) Regn ut gjennomsnittsalderen ut fra det klassedelte materialet.
---
## V2008 del 2 oppgave 4 — Tilbudet ta tre betal for to
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne ut prosentvis avslag ved tilbudet «ta tre, betal for to» og ved Pondus' tolkning av tilbudet i en tegneserie.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tilbudet-ta-tre-betal-for-to/
### Oppgavetekst
I butikker ser en ofte tilbud av typen ”Ta tre, betal for to”.
Du får altså tre varer til prisen for to.
a) En klesbutikk hadde et slikt tilbud på T-skjorter. Der kostet én T-skjorte 129 kroner. Hvor mange prosent avslag vil du få ved å benytte deg av tilbudet ”Ta tre, betal for to”?
b) I tegneseriestripen nedenfor har Pondus tolket tilbudet annerledes. Hvor mange prosent avslag fikk han?
*Gjengitt med tillatelse fra Strand&Øverli, distr: strandoverli@yahoo.com*
---
## V2008 del 2 oppgave 5 — Nettolønn og bruttolønn for Anne og Roald
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Regne ut skattetrekk og utbetalt lønn etter prosentvise trekk før skatt, og regne baklengs fra utbetalt lønn til bruttolønn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nettolonn-og-bruttolonn-for-anne-og-roald/
### Oppgavetekst
Anne jobber i resepsjonen på et hotell og har en brutto månedslønn på 22 800 kroner.
Av denne betaler hun 2 % i pensjonsinnskudd og 1,2 % i fagforeningskontingent før hun trekkes 29 % i skatt.
a) Hvor mye trekkes hun i skatt, og hvor mye får hun utbetalt hver måned?
Roald får utbetalt 20 000 kr hver måned. Han betaler også 2 % i pensjonsinnskudd og 1,2 % i fagforeningskontingent, før han trekkes 29 % i skatt.
b) Hvor stor er Roalds brutto månedslønn?
---
## V2008 del 2 oppgave 6-I — Lån uten avdrag og effektiv rente
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Rente
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjeld etter 12 år med renters rente, utlede eksponentialfunksjonen $f(x) = 75\,000 \cdot 1{,}198^x$, tegne grafen og forklare sammenhengen mellom effektiv årsrente og månedlig rente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lan-uten-avdrag-og-effektiv-rente/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
Martin låner $75\,000$ kroner til $19{,}8$ prosent effektiv rente per år. Han betaler verken rente eller avdrag de første 12 årene.
a) Hvor stor vil gjelda hans være etter 12 år?
b) Forklar at gjelda til Martin etter $x$ år kan skrives ved funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 75\,000 \cdot 1{,}198^x
$$
c) Tegn grafen til $f$. Bruk $x$-verdier fra 0 til 12.
d) Forklar hvorfor $19{,}8$ prosent rente per år er tilnærmet det samme som $1{,}5$ prosent rente per måned.
---
## V2008 del 2 oppgave 6-II — Solsikke-vekst og eksponentiell regresjon
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon fra tre målinger med ekstrapolering til uke 8, tolke vekstfaktor som prosentvis ukentlig økning, finne bedre modell ved ny sluttverdi og vurdere modellens begrensninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/solsikke-vekst-og-eksponentiell-regresjon/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
I TV-programmet *Sommeråpent* var en matematikkekspert gjest hos Anne Grosvold. Der sto en solsikke i en blomsterpotte. Man lurte på hvor høy denne solsikken ville bli etter 8 uker.
Lesernes tips varierte mye. Én hadde til og med gjettet $12{,}5$ meter, noe som garantert ville ha gitt solsikken plass i Guiness Rekordbok!
Grosvold fikk eksperten til å måle solsikken etter én, to og tre uker. Målene ser du i tabellen nedenfor.
| Etter $x$ uker | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:--------------:|:--:|:--:|:----:|:----:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| Høyde i cm | | 16 | $24{,}8$ | $36{,}5$ | | | | | |
Eksperten sa at han regnet med at solsikkens høyde fulgte en modell for eksponentiell vekst. Han regnet med, ut fra tidligere erfaring, at den ville bli ca. $108 \mathrm{~cm}$ etter 8 uker.
a) Finn ved regresjon en formel han i så fall kan ha brukt.
b) Hvor mange prosent økte solsikkens høyde hver uke etter denne modellen?
Det viste seg at solsikken ble $117 \mathrm{~cm}$ etter 8 uker.
c) Finn en formel som passer bedre med veksten til solsikken enn den i a).
d) Hva ville høyden til solsikken ha vært etter 12 uker dersom modellen i c) gjelder? Si litt om modellens begrensninger.
---
## V2008 del 2 oppgave 7-I — Trefigurer i snekkerverksted og blandingsforhold for maling
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Pytagoras, Areal og omkrets, Proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Pytagoras og trigonometri i rettvinklet trekant, areal av sammensatt figur med halvsirkel og blandingsforhold for maling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trefigurer-i-snekkerverksted-og-blandingsforhold-for-maling/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
Stians snekkerverksted har fått i oppdrag å produsere trefigurer med form som vist på figuren ovenfor. Figuren er sammensatt av et rektangel og en rettvinklet trekant. På venstre side av figuren er det skåret bort en halvsirkel. $AC = 1{,}0 \mathrm{~m}$, $AB = 60 \mathrm{~cm}$ og $BD = 40 \mathrm{~cm}$.
a) Regn ut lengdene av sidene $BC$ og $CD$. Hvor store er vinklene $u$ og $v$?
Stian lager 100 slike figurer. Hver figur skal males på den ene siden.
b) Hvor mye maling trenger han hvis 1 liter maling er nok til å dekke $3 \mathrm{~m^2}$?
Stian blander rød og gul maling i forholdet 1 : 5. Han får da til sammen 9 liter oransje maling.
c) Hvor mye rød og hvor mye gul maling blandet han?
Da Stian var ferdig med å blande, så han at det ble altfor mye gult i den oransje fargen. Han ringte en fargehandler for å få råd. Han fikk beskjed om at forholdet mellom rødt og gult burde ha vært 1 : 3.
d) Hvor mye rød maling må han tilsette til den oransje blandingen for at blandingsforholdet skal bli riktig?
---
## H2008 del 1 oppgave 1 — Overslag, potenser, brøk, totallsystem og drosjetakst
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Brøk, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Overslagsregning med valuta og volum, potensregning, brøk mellom to tall, totallsystemet og lineær modell for drosjetakst fra to punkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-potenser-brok-totallsystem-og-drosjetakst/
### Oppgavetekst
a) Bruk overslagsregning til å løse oppgavene nedenfor.
1\) På flyplassen i Amsterdam koster en mp3-spiller 210 euro. En euro koster 8,33 norske kroner. Gjør et overslag over hvor mye mp3-spilleren koster i norske kroner.
2\) En tilhenger har følgende mål: lengde 3,2 m, bredde 1,9 m og høyde 45 cm. Gjør et overslag over hvor mange $\mathrm{m^3}$ tilhengeren rommer.
b) Skriv uttrykkene så enkelt som mulig:
1\)
$$
3 \cdot (31 - 29)^2 - (5 - 3^2)
$$
2\)
$$
(2^3)^3 \cdot (2^{-1})^3
$$
c) Finn en brøk som ligger mellom $\dfrac{3}{4}$ og $1$.
d) Skriv tallet $27$ i totallssystemet.
e) Kari er på forretningsreise og tar samme drosje to ganger. Den ene drosjeturen er på 22 km og koster 270 kr. Den andre drosjeturen er på 38 km og koster 430 kr.
1\) Lag et koordinatsystem der $x$-aksen har benevningen *km* og $y$-aksen *kroner*. Merk av et punkt i koordinatsystemet for hver av de to drosjeturene, og trekk en rett linje mellom de to punktene.
Når du tar drosje, betaler du en startavgift. I tillegg betaler du et fast beløp for hver km du kjører.
2\) Hvor mye betalte Kari i startavgift, og hvor mye betalte hun for hver km hun kjørte?
---
## H2008 del 1 oppgave 2 — Sannsynlighet i skibakken
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Betinget sannsynlighet og produktregel uten tilbakelegging for trekning fra endelig populasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-i-skibakken/
### Oppgavetekst
Lærer Hansen er i skitrekket med klassen sin. Det er 13 gutter og 17 jenter i klassen. Elevene tar skiheisen opp, og Hansen blir igjen nede. Han lurer på om det er en gutt eller en jente som kommer først ned bakken. Vi antar at elevene kommer ned i tilfeldig rekkefølge.
a) Hva er sannsynligheten for at den første eleven som kommer ned, er en gutt?
b) Hva er sannsynligheten for at den andre eleven som kommer ned, er en jente når den første var en gutt?
Den andre gangen elevene tar heisen opp, er det bare 9 gutter og 6 jenter som er med.
c) Hva er sannsynligheten for at de to første som kommer ned denne gangen, er jenter?
*Kilde: www.aadneram-skitrekk.no*
---
## H2008 del 2 oppgave 3 — TV-studio i målestokk og kameravinkel
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Trigonometri, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Tegne rom i målestokk 1 til 50 og finne avstanden fra kamera til nyhetspult når opptaksvinkelen på 60° akkurat dekker pulten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tv-studio-i-malestokk-og-kameravinkel/
### Oppgavetekst
Et TV-studio skal innredes. Rommet, sett ovenfra, er rektangulært med sider 7,5 m og 5,1 m. På den ene kortveggen er der en 90 cm bred dør. Den er 1,5 m fra den ene langveggen.
a) Lag en tegning av studioet i målestokken 1 : 50.
Studioet skal innredes med en nyhetspult som har bredde 1,0 m og lengde 2,0 m. Det skal stå et kamera midt foran langsiden til nyhetspulten. Opptaksvinkelen til kameraet er $60\degree$, og denne skal dekke hele nyhetspulten akkurat. Se figuren nedenfor.
b) Hvor langt fra nyhetspulten må kameraet stå?
c) Tegn inn nyhetspulten og punktet hvor kameraet kan stå. Bruk tegningen du laget i a).
---
## H2008 del 2 oppgave 4 — Statistikk for lengdehopp Anna og Petra
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnitt, median, variasjonsbredde og standardavvik for to datasett, og bruke resultatene til å argumentere for et valg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/statistikk-for-lengdehopp-anna-og-petra/
### Oppgavetekst
Lengdehopp er en gren av friidrett som går ut på å hoppe så langt man kan i et hopp. I konkurranser har man som regel tre hopp, der det beste hoppet teller.
Anna og Petra konkurrerer om å kvalifisere seg til lengdehoppkonkurransen i et friidrettsstevne. De får ti hopp hver, og den beste av dem er kvalifisert til konkurransen. Her er resultatene (oppgitt i meter) fra kvalifiseringen:
| Hopp | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|-------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| Anna | 5,10 | 5,45 | 5,92 | 4,10 | 5,23 | 5,32 | 5,89 | 4,91 | 4,37 | 5,42 |
| Petra | 5,44 | 5,80 | 5,67 | 5,74 | 5,72 | 5,04 | 5,73 | 5,53 | 5,59 | 5,83 |
a) Finn gjennomsnitt og median for hver av de to jentenes resultater.
b) Finn variasjonsbredde og standardavvik for hver av de to jentenes resultater.
c) Foreta en vurdering av jentenes resultater og det du fant i a) og b), og argumenter for hvem du synes skal bli kvalifisert.
*Kilde: Erlend Aas/Scanpix*
---
## H2008 del 2 oppgave 5 — Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer
- **Fag:** 2P-Y, 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lineær og eksponentiell regresjon på antall nordmenn over 100 år (1975–2006), prognose for 2030 og kritisk vurdering av modellenes egnethet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-og-eksponentiell-modell-for-hundrearinger/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall nordmenn over 100 år for utvalgte år i perioden 1975–2006.
| År | 1975 | 1980 | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2006 |
|----|------|------|------|------|------|------|------|------|
| Antall nordmenn over 100 år | 115 | 158 | 243 | 300 | 405 | 414 | 511 | 533 |
a) Merk av verdiene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem der du på $x$-aksen lar $x = 0$ svare til år 1975.
b) Lag en lineær modell som passer til dataene i tabellen ovenfor. Hvor mange nordmenn over 100 år vil det være i år 2030 ifølge denne modellen?
c) Lag en eksponentiell modell som passer til dataene i tabellen ovenfor. Hvor mange nordmenn over 100 år vil det være i år 2030 ifølge denne modellen?
En prognose sier at antallet nordmenn over 100 år vil tredobles i løpet av de neste 20–25 årene.
d) Vurder hvordan denne prognosen passer med de to modellene i b) og c).
*Kilde: www.bokn.kommune.no*
---
## H2008 del 2 oppgave 6-I — Volum og overflate av kvadratisk prisme og sylinder
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Areal og omkrets, Romgeometri, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Regne volum, overflate og forholdet volum/overflate for et kvadratisk prisme med sidekant 2r og en sylinder med radius r, numerisk og uttrykt ved r og h.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-og-overflate-av-kvadratisk-prisme-og-sylinder/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ I**
Gitt et prisme med kvadratisk grunnflate, og en sylinder. Begge har samme høyden, $h$. Sidekanten i prismet er $2r$, der $r$ er radius i sylinderen. Se figurene nedenfor.
a) I tabellen nedenfor har vi regnet ut volumet og overflaten av prismet og sylinderen når $r = 1{,}0 \mathrm{~cm}$ og $h = 3{,}0 \mathrm{~cm}$.
Vi har også regnet ut forholdet $\dfrac{\text{Volum}}{\text{Overflate}}$ for prismet og for sylinderen.
1\) Kontroller svarene i tabellen.
2\) Tegn av tabellen på arket ditt. Gjør beregninger, og fyll ut det som mangler i tabellen. Finner du noen sammenheng? Kommenter.
| Radius, $r$ | $1{,}0 \mathrm{~cm}$ | $4{,}0 \mathrm{~cm}$ | $3{,}0 \mathrm{~cm}$ |
|:--|:--:|:--:|:--:|
| Høyde, $h$ | $3{,}0 \mathrm{~cm}$ | $2{,}0 \mathrm{~cm}$ | $8{,}0 \mathrm{~cm}$ |
| Volumet av prismet ($\mathrm{cm^3}$) | $12$ | | |
| Overflaten av prismet ($\mathrm{cm^2}$) | $32$ | | |
| Forholdet Volum/Overflate for prismet ($\mathrm{cm}$) | $3/8 = 0{,}375$ | | |
| Volumet av sylinderen ($\mathrm{cm^3}$) | $3\pi \approx 9{,}42$ | | |
| Overflaten av sylinderen ($\mathrm{cm^2}$) | $8\pi \approx 25{,}1$ | | |
| Forholdet Volum/Overflate for sylinderen ($\mathrm{cm}$) | $3/8 = 0{,}375$ | | |
b) Finn volumet og overflaten av prismet uttrykt ved $r$ og $h$, og finn et uttrykk for forholdet $\dfrac{\text{Volum}}{\text{Overflate}}$ for prismet.
c) Finn volumet og overflaten av sylinderen uttrykt ved $r$ og $h$, og finn et uttrykk for forholdet $\dfrac{\text{Volum}}{\text{Overflate}}$ for sylinderen.
d) Kommenter de resultatene du fant i a), b) og c).
---
## H2008 del 2 oppgave 6-II — Skatteberegning, nettolønn og konsumprisindeks for Per
- **Fag:** 2P
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Prosentregning, Prisindeks, Reallønn
- **Kort beskrivelse:** Beregne inntektsskatt, trygdeavgift og toppskatt etter en forenklet skattemodell, prosentvis endring i nettolønn og reallønn med konsumprisindeks.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skatteberegning-nettolonn-og-konsumprisindeks-for-per/
### Oppgavetekst
*I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.*
**Alternativ II**
Nedenfor er en skisse over hvordan skatt kan beregnes.
**Enkel skatteberegning**
| Noen viktige tall: | |
|:--|:--|
| Alminnelig inntekt: | Personinntekt minus 63 800 kr |
| Grunnlaget for toppskatt: | Personinntekt minus 400 000 kr (\*) |
| Nettolønn: | Personinntekt minus skatt |
| Skatteberegning: | |
|:--|:--|
| Inntektsskatt | 28 % av alminnelig inntekt |
| Trygdeavgift | 7,8 % av personinntekt |
| Toppskatt | 9 % av grunnlaget for toppskatt |
| **Skatt totalt** | **Summen av de tre skattene ovenfor** |
(\*) Grunnlaget for toppskatt settes til 0 hvis personinntekten er lavere enn 400 000 kr.
a) Per hadde i 2006 en personinntekt på 450 000 kr. Vis at nettolønnen i 2006 var 302 264 kr.
I 2007 økte personinntekten med 5,5 %.
b) Hvor stor var nettolønnen i 2007?
c) Hvor mange % økte nettolønnen med fra 2006 til 2007?
I 2006 var konsumprisindeksen 117,7. I 2007 var den 118,6.
d) Gjør nødvendige beregninger, og vurder om Per hadde mer eller mindre penger å handle for i 2007 enn i 2006.
e) Hvor stor personinntekt måtte Per ha hatt i 2007 dersom han skulle ha like mye å handle for som i 2006?