10. trinn — alle oppgaver
Kunnskapsgrunnlag for KI-assistenter: alle 614 oppgaver i 10. trinn (Matematikk for ungdomstrinnet) fra matematikkoppgaver.no, samlet som markdown. Oppgavene er sortert fra nyeste eksamen. Matematikk er skrevet i LaTeX ($…$ og $$…$$).
Denne versjonen har ikke fasit eller løsningsforslag. Samme samling med løsningsforslag: https://matematikkoppgaver.no/10-trinn-raadata-losning/
Matematikk på tiende trinn avslutter grunnskolens matematikkfag, der elevene utforsker, løser problemer og bruker matematikk til å forstå mønstre og sammenhenger i samfunn og natur. Eksamen prøver kompetansen etter ungdomstrinnet, fra tall og algebra til funksjoner, geometri, statistikk og sannsynlighet.
## Om innholdet
- Eksamensoppgavene er offentlige og kommer fra Utdanningsdirektoratet (UDIR).
- Løsningsforslagene er laget for matematikkoppgaver.no og kan inneholde feil. Nettadressen under hver oppgave går til oppgavesiden med figurer og ferdige formler.
- Bilder står som markdown-bilder med bildetekst og nettadresse.
- Læreplan LK20: https://www.udir.no/lk20/mat01-05/kompetansemaal-og-vurdering/kv14?lang=nob
- Læreplan LK06 (utgått): https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget
- Sist generert: 2026-09-27
## Forklaring på feltene
- **Eksamen:** eksamensperioden og læreplanen (LK20 er gjeldende, LK06 er den forrige).
- **Del:** del 1 løses uten hjelpemidler, del 2 med hjelpemidler som digitale verktøy.
- **Nivå:** vanskegrad fra 1 (lett) til 3 (krevende), klassifisert av KI.
- **Kompetansemål:** mål fra læreplanen som oppgaven dekker, med kode i parentes.
---
## V2026 del 1 oppgave 1 — Arbeidsledige 15–24 år etter kjønn 2018–2024
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Diagram, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Lese av verdier og regne ut en nedgang i et linjediagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arbeidsledige-15-24-ar-etter-kjonn-2018-2024/
### Oppgavetekst
Diagrammet nedenfor viser antall arbeidsledige i Norge i aldersgruppen 15–24 år i perioden 2018–2024.
a) Omtrent hvor mange menn var arbeidsledige i 2021?
Svar:
b) Omtrent hvor stor var nedgangen i antallet arbeidsledige kvinner fra 2021 til 2022?
Svar:
---
## V2026 del 1 oppgave 2 — Høyttaler på tilbud og pris før rabatt
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentvis endring, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Finne rabatt i prosent og regne tilbake til opprinnelig pris fra ny pris og 40 % rabatt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hoyttaler-pa-tilbud-og-pris-for-rabatt/
### Oppgavetekst
Nora skal kjøpe en høyttaler. I en butikk finner hun dette tilbudet:
a) Hvor stor er rabatten i prosent?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 16 %
> - [x] 20 %
> - [ ] 25 %
> - [ ] 80 %
En annen butikk selger samme høyttaler med 40 % rabatt. Ny pris på høyttaleren er 660 kroner.
b) Hva kostet høyttaleren før rabatten ble trukket fra?
---
## V2026 del 1 oppgave 3 — Tallmønsteret 2, 6, 12, 20 med formel for tall n
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Mønstre, Tallfølger, Formler, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Fortsette tallmønsteret $2, 6, 12, 20$ og lage og kontrollere en formel for tall $n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallmonsteret-2-6-12-20-med-formel-for-tall-n/
### Oppgavetekst
a) Skriv inn de to neste tallene i tallmønsteret i tabellen nedenfor.
| Tall 1 | Tall 2 | Tall 3 | Tall 4 | Tall 5 | Tall 6 |
|:------:|:------:|:------:|:------:|:------:|:------:|
| 2 | 6 | 12 | 20 | | |
b) Lag en formel for tall $n$ i tallmønsteret, og vis at formelen stemmer for tall 4.
---
## V2026 del 1 oppgave 4 — Plantekasse dobbelt så lang og halvannen gang så bred
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Geometri, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Finne hvor mange ganger arealet øker når lengden dobles og bredden ganges med $1{,}5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plantekasse-dobbelt-sa-lang-og-halvannen-gang-sa-bred/
### Oppgavetekst
En plantekasse har form som et kvadrat. Det skal lages en ny plantekasse som skal bli dobbelt så lang og 1,5 ganger så bred.
Hvor mange ganger større blir arealet av den nye plantekassen?
---
## V2026 del 1 oppgave 5 — Billetter til fornøyelsesparken Lek og Smil
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse to likninger med to ukjente for barne- og voksenbillett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/billetter-til-fornoyelsesparken-lek-og-smil/
### Oppgavetekst
To familier kjøper billetter til fornøyelsesparken Lek og Smil.
Tre barn og to voksne betaler til sammen 2 850 kroner.
To barn og to voksne betaler til sammen 2 300 kroner.
Hvor mye koster én voksenbillett?
---
## V2026 del 1 oppgave 6 — Kalvens vekt og stigningstall
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Stigningstall, Lineære funksjoner, Graftolkning, Lineær vekst
- **Kort beskrivelse:** Bestemme stigningstallet fra to punkter på en rett linje og tolke det som vektøkning per måned.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kalvens-vekt-og-stigningstall/
### Oppgavetekst
En kalv veies hver måned fra den blir født til den er seks måneder gammel. Vekten er vist i diagrammet nedenfor.
Bestem stigningstallet til grafen ovenfor, og forklar hva stigningstallet forteller om kalvens vektøkning i perioden.
---
## V2026 del 1 oppgave 7 — Sjakkpartier mellom Leon og Magnus
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Komplementær sannsynlighet fra en tabell og produktsetningen for to uavhengige trekninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sjakkpartier-mellom-leon-og-magnus/
### Oppgavetekst
Leon og Magnus skal spille sjakk. Nedenfor ser du resultatstatistikken til Magnus fra tidligere partier mot Leon.
| Tidligere resultater | Magnus |
|:---------------------|:-------|
| Seier | 45 % |
| Remis (uavgjort) | 35 % |
| Tap | 20 % |
a) Finn sannsynligheten for at Magnus ikke taper neste parti mot Leon.
Svar:
De bestemmer hvem som skal begynne, ved å trekke hver sin bonde før hvert parti. De legger én hvit og én svart bonde i en pose. Den som trekker den hvite bonden, starter.
b) De skal spille to partier. Hva er sannsynligheten for at Leon trekker den hvite bonden begge gangene?
---
## V2026 del 1 oppgave 8 — Zaras spareprogram med vekstfaktor
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Vekstfaktor, Sparing, Eksponentiell vekst
- **Kort beskrivelse:** Tolke en while-løkke som ganger et sparebeløp med vekstfaktoren hvert år, og regne ut $6000 \cdot 1{,}10^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/zaras-spareprogram-med-vekstfaktor/
### Oppgavetekst
Zara skal spare penger i banken. Hun har laget programmet nedenfor for å utforske sparingen.
**Program i tekst:**
```python ln
sparebeløp = 6000
vekstfaktor = 1.10
år = 0
while år < 5:
sparebeløp = sparebeløp * vekstfaktor
år = år + 1
print(sparebeløp)
```
**Program i blokk:**
a) Forklar hva programmet regner ut.
b) Zara sparer 6 000 kroner med en vekstfaktor på 1,10 per år. Hvor mange kroner har hun etter to år?
---
## V2026 del 1 oppgave 9 — Husvegg på maleri av fotografi
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Forholdsregning, Formlike trekanter
- **Kort beskrivelse:** Finne forstørringsfaktoren fra $15 \mathrm{~cm}$ til $60 \mathrm{~cm}$ og bruke den på en lengde på $7 \mathrm{~cm}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/husvegg-pa-maleri-av-fotografi/
### Oppgavetekst
Elise skal lage et maleri av et fotografi hun har tatt. Fotografiet er 15 cm langt og 10 cm bredt. Maleriet skal være 60 cm langt og 40 cm bredt. Hun måler lengden av husveggen på fotografiet til 7 cm.
Hvor lang skal husveggen på maleriet til Elise være?
---
## V2026 del 1 oppgave 10 — Fem heltall med gitt gjennomsnitt, typetall, median og variasjonsbredde
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål, Statistikk, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Konstruere et datasett med fem heltall ut fra krav til gjennomsnitt, typetall, median og variasjonsbredde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fem-heltall-med-gitt-gjennomsnitt-typetall-median-og-variasjonsbredde/
### Oppgavetekst
Finn fem heltall som stemmer overens med påstandene nedenfor:
- Gjennomsnittet er 5
- Typetallet er 6
- Medianen er 6
- Variasjonsbredden er 5
---
## V2026 del 1 oppgave 11 — Uttrykk for arealet av trapeset ABCD
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Algebra, Geometri, Formler
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og forenkle et algebraisk uttrykk for arealet av et trapes med høyde $x-2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uttrykk-for-arealet-av-trapeset-abcd/
### Oppgavetekst
Lag et uttrykk for arealet til trapeset $ABCD$.
---
## V2026 del 2 oppgave 1 — Timer søvn i klasse 10 C
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål, Statistikk, Presentasjon av data, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Regne ut gjennomsnitt, median og variasjonsbredde for to datasett og presentere andeler i et diagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/timer-sovn-i-klasse-10-c/
### Oppgavetekst
Klasse 10 C undersøkte hvor mange timer elevene i klassen sov én natt. Tabellen nedenfor viser resultatene av undersøkelsen.
Table: Antall timer søvn i klasse 10 C
| | Observasjoner |
|:---------- |:--------------------------------------- |
| **Gutter** | 7, 4, 4, 10, 6, 9, 2, 10, 12, 8, 8 og 4 |
| **Jenter** | 7, 6, 11, 6, 10, 9, 8, 8, 8, 9, 9 og 5 |
a) Finn gjennomsnitt, median og variasjonsbredde for antall timer søvn til guttene og jentene. Sammenlign målene og forklar hva de sier om søvnen til guttene og jentene.
Anbefalt søvnmengde for en ungdom er 8 til 10 timer per natt. Elevene ønsker å finne ut hvor stor andel av klassen som sov
- mindre enn 8 timer
- 8 til 10 timer
- mer enn 10 timer
b) Presenter dataene fra tabellen ovenfor i et passende diagram, og bruk diagrammet til å vurdere om elevene i 10 C får nok søvn.
---
## V2026 del 2 oppgave 2 — Bleiepriser og tilbud i fire butikker
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi, Forholdsregning, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne fire tilbud ved å regne ut pris per bleie med mengderabatt, prosentrabatt og kronerabatt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bleiepriser-og-tilbud-i-fire-butikker/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det en oversikt over bleiepriser og tilbud i fire butikker.
| Butikk | Pris | Tilbud |
|:-------------|:------------------------------------------|:------------------------------------|
| **Butikk A** | Pris per pakke med 22 bleier: 75 kroner | Tilbud: to pakker til prisen for én |
| **Butikk B** | Pris per pakke med 42 bleier: 115 kroner | Tilbud: 40 % rabatt |
| **Butikk C** | Pris per pakke med 22 bleier: 65 kroner | Tilbud: fem pakker til prisen for tre |
| **Butikk D** | Pris per pakke med 120 bleier: 290 kroner | Tilbud: 50 kroner rabatt per pakke |
Hvilket tilbud ville du valgt? Vurder tilbudene og begrunn valget ditt ved å gjøre beregninger og sammenligne priser.
---
## V2026 del 2 oppgave 3 — Siljes tre lønnstilbud
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Grafisk framstilling, Modellering, Skjæringspunkt
- **Kort beskrivelse:** Tegne to lineære funksjoner og $f(x)=1\cdot 2^x$ i samme koordinatsystem og sammenligne dem ut fra skjæringspunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/siljes-tre-lonnstilbud/
### Oppgavetekst
Silje har fått et jobboppdrag. Hun vet ikke hvor lang tid jobben tar, men hun får betalt for maks tolv timer.
Silje får tre forskjellige lønnstilbud å velge mellom:
> **Tilbud 1:** 186 kroner i timen
> **Tilbud 2:** 1000 kroner ved oppmøte + 50 kroner i timen
> **Tilbud 3:** 1 krone ved oppmøte, og beløpet dobles hver time.
>
> Tilbudet kan uttrykkes ved funksjonsuttrykket $f(x) = 1 \cdot 2^x$
a) Lag en grafisk framstilling av de tre tilbudene i samme koordinatsystem.
b) Sammenlign tilbudene og forklar hvor mange timer Silje må jobbe for at hvert av tilbudene skal lønne seg.
---
## V2026 del 2 oppgave 4 — Kakestykker og boller fra elevbedriften
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likningssettet $x+y=131$ og $30x+20y=3210$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kakestykker-og-boller-fra-elevbedriften/
### Oppgavetekst
En elevbedrift solgte til sammen 131 kakestykker og boller for 3 210 kroner. Et kakestykke kostet 30 kroner, og en bolle kostet 20 kroner.
Lag et ligningssett og finn ut hvor mange kakestykker og hvor mange boller elevbedriften solgte.
---
## V2026 del 2 oppgave 5 — Festivaloverskudd og billettpris
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning, Overskudd, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Lese av overskudd i en lineær modell og lage et nytt funksjonsuttrykk med definisjonsområde for endret pris eller kapasitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/festivaloverskudd-og-billettpris/
### Oppgavetekst
Maiken og Magnus er med på å arrangere en festival for å tjene penger til en skoletur. De trenger et overskudd på minst 12 000 kroner. De lager en modell som viser billettinntekter, utgifter til leie av lokalet og mulig overskudd.
a) Bruk modellen nedenfor til å finne overskuddet dersom det kommer 200 personer.
Maiken og Magnus finner ut at det kun er plass til 150 personer i lokalet. For å få det ønskede overskuddet på minst 12 000 kroner må de gjøre noen justeringer.
> Maiken
> Hvis vi bare kan selge 150 billetter, og én billett koster 200 kroner, så går vi i null. Jeg tror vi må øke billettprisen til 300 kroner.
> Magnus
> Jeg tror at prisen på 200 kroner er høy nok. Vi bør heller finne et større lokale til en rimeligere pris. Jeg er sikker på at vi klarer å selge 200 billetter.
b) Vurder forslagene til Maiken og Magnus. Hvilket forslag mener du er best? Begrunn svaret ditt. Lag et nytt funksjonsuttrykk med et definisjonsområde som passer til forslaget du valgte.
---
## V2026 del 2 oppgave 6 — Geirs tallek som alltid gir 11
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Bevis, Utforskning, Mønstre
- **Kort beskrivelse:** Generalisere en regneoppskrift med to sifre $a$ og $b$ og vise at $\frac{11a+11b}{a+b}=11$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geirs-tallek-som-alltid-gir-11/
### Oppgavetekst
Geir leker seg med tall og følger denne framgangsmåten:
a) Forsøk med egne ensifrede tall og vis at du får det samme resultatet som Geir.
b) Generaliser framgangsmåten og vis hvorfor svaret alltid blir 11.
---
## V2025 del 1 oppgave 1 — Spisevaner blant elever på ungdomstrinnet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk, Prosentregning, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Lese av et stablet søylediagram og vurdere fire påstander med brøk og prosent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/spisevaner-blant-elever-pa-ungdomstrinnet/
### Oppgavetekst
Diagrammet nedenfor er fra en UngData-undersøkelse, og viser spisevaner til elever på ungdomstrinnet.
Vurder om påstandene nedenfor er sanne eller usanne.
| Påstand | Sann | Usann |
|:-------------------------------------------------------------|:-----------:|:-----------:|
| Nesten $\frac{2}{3}$ av elevene spiser lunsj på skolen 5 dager i uka. | | |
| Det er litt mer enn tre ganger så mange elever som spiser lunsj på skolen 5 dager i uka, enn de som spiser grønnsaker, frukt og bær på skolen 5 dager i uka. | | |
| 60 % av ungdommene spiser grønnsaker, frukt eller bær 3 dager eller mer i uka. | | |
| $\frac{1}{4}$ av elevene spiser lunsj på skolen 1-4 dager i uka. | | |
---
## V2025 del 1 oppgave 2 — Sanders skåringsprosent i håndballcupen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Regne ut skåringsprosenten av 11 av 20 skudd og finne hvor mange treff som må til for 60 % av 30 skudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sanders-skaringsprosent-i-handballcupen/
### Oppgavetekst
Sander spilte håndballcup.
I to kamper skåret han på 11 av 20 skudd.
a) Hvor mange prosent av skuddene skåret han på?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $11\,\%$
> - [ ] $20\,\%$
> - [x] $55\,\%$
> - [ ] $60\,\%$
Skåringsprosenten øker til 60 % etter ti nye skudd i den tredje kampen.
b) Hvor mange av de ti siste skuddene skåret Sander på?
---
## V2025 del 1 oppgave 3 — Pris på bagett og kyllingsalat i kantina
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Finne prisen på én bagett ut fra to salgsdager med ulikt antall salater og lik inntektsforskjell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-bagett-og-kyllingsalat-i-kantina/
### Oppgavetekst
Kantina selger bagetter og kyllingsalater på mandager.
En mandag selger kantina 30 salater og 40 bagetter. Da er inntekten 1600 kroner.
Neste mandag selger kantina 22 salater og 40 bagetter. Da er inntekten 1440 kroner.
Hvor mye koster én bagett?
---
## V2025 del 1 oppgave 4 — Stigningstall for bensinforbruket på mopeden
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut et negativt stigningstall ut fra to avlesninger på en synkende rett linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stigningstall-for-bensinforbruket-pa-mopeden/
### Oppgavetekst
Peter fyller opp bensintanken på mopeden sin. Diagrammet nedenfor viser gjennomsnittlig forbruk av bensin etter antall kjørte mil.
Bruk grafen ovenfor til å regne ut stigningstallet.
---
## V2025 del 1 oppgave 5 — Mål og volum for Fridas koffert
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Måleenheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Foreslå realistiske mål på et rett prisme og regne om volumet til liter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mal-og-volum-for-fridas-koffert/
### Oppgavetekst
Frida skal kjøpe seg en koffert til en reise. Kofferten har form som et prisme.
a) Foreslå mål på kofferten til Frida.
Lengde:
Bredde:
Høyde:
b) Regn ut hvor mange liter kofferten til Frida rommer.
> $1 \mathrm{~dm^3} = 1 \mathrm{~L}$
---
## V2025 del 1 oppgave 6 — Tallpar som gir produktet 36 og 24
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likninger, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Kontrollere et oppgitt tallpar i $(a+4)(b-4)=36$ og finne egne løsninger av $(a+2)(b-6)=24$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallpar-som-gir-produktet-36-og-24/
### Oppgavetekst
Mohamed undersøker ulike heltallsverdier av $a$ og $b$ som gjør at uttrykket nedenfor stemmer
$$
(a + 4)(b - 4) = 36
$$
Han finner tallparet $a = 2$ og $b = 10$
a) Vis at $a = 2$ og $b = 10$ stemmer for uttrykket $(a + 4)(b - 4) = 36$.
b) Finn et tallpar som gjør at uttrykket $(a + 2)(b - 6) = 24$ stemmer, og forklar hvorfor det finnes flere løsninger.
---
## V2025 del 1 oppgave 7 — Program som sjekker om en trekant er rettvinklet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Pytagoras, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Forklare et program som tester pytagorassetningen, og bruke det på en trekant med sidene 5 cm, 6 cm og 8 cm.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/program-som-sjekker-om-en-trekant-er-rettvinklet/
### Oppgavetekst
Alex har lagd programmet nedenfor.
**Programmet som tekst:**
```python ln
c = #skriv inn lengden av trekantens lengste side
a = #skriv inn lengden av en av de andre sidene i trekanten
b = #skriv inn lengden av den siste siden i trekanten
if c**2 == a**2 + b**2: #pytagoras' læresetning c^2=a^2+b^2
print ("Trekanten er rettvinklet")
else:
print("Trekanten er ikke rettvinklet")
```
**Programmet som blokk:**
a) Forklar hva som skjer når Alex kjører programmet?
b) Alex skal finne ut om en trekant med sidekantene 5 cm, 6 cm og 8 cm er rettvinklet. Hvilket svar vil Alex få fra programmet?
---
## V2025 del 2 oppgave 1 — Blå ramme rundt gule kvadrater
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Algebra, Regneark
- **Kort beskrivelse:** Utvide et figurmønster, sette opp antall blå, gule og totale kvadrater i regneark og lage en formel for rammen i figur $n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bla-ramme-rundt-gule-kvadrater/
### Oppgavetekst
Figurene nedenfor har form som kvadrater. Hvert kvadrat består av blå og gule små kvadrater. De blå kvadratene danner en ramme rundt de gule kvadratene.
a) Lag figur 5.
Julian og Rasmus utforsker hvordan rammen med de blå kvadratene utvikler seg.
> Vi kan lage en oversikt over de ti første figurene.
> Ja, hva med å lage en tabell i regneark?
> Kan vi se et mønster i hvordan de blå rammene utvikler seg?
b) Lag en tabell med en oversikt over antall blå, antall gule og totalt antall kvadrater i de ti første figurene.
c) Lag en formel for antall blå kvadrater i rammen til figur $n$, og bruk formelen til å regne ut antall blå kvadrater i rammen til figur 4.
---
## V2025 del 2 oppgave 2 — Fire tilbud på sokker
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Regne ut pris per par for fire ulike rabattformer og begrunne hvilket tilbud som er best.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-tilbud-pa-sokker/
### Oppgavetekst
Et par sokker koster 80 kroner til full pris. Nedenfor er fire tilbud:
| | |
|:------------------------------------------------|:---------------------------------------------|
| **Tilbud 1:** <br> 6 par for 299,- | **Tilbud 2:** <br> 25 % rabatt |
| **Tilbud 3:** <br> 3 par til prisen for 2 par | **Tilbud 4:** <br> 50 % på par nummer tre |
Vurder tilbudene ved å gjøre beregninger, sammenligne prisene og begrunne hvilket tilbud du ville ha valgt.
---
## V2025 del 2 oppgave 3 — Jonas sparer sommerjobbpengene i banken
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Sparing, Vekstfaktor, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Tolke tallene i $f(x) = 20\,000 \cdot 1{,}04^x$ og regne ut sparebeløpet etter 15 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jonas-sparer-sommerjobbpengene-i-banken/
### Oppgavetekst
Jonas vil spare 20 000 kroner han tjente på sommerjobben, og setter pengene i banken.
Jonas har funnet ut at han kan bruke funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 20\,000 \cdot 1{,}04^x
$$
for å regne ut hvor mye penger han vil ha i banken om $x$ år.
a) Forklar hva tallene 20 000 og 1,04, og variabelen $x$ betyr i sparingen til Jonas.
b) Bruk funksjonen og finn ut hvor mange kroner Jonas har i banken etter 15 år.
---
## V2025 del 2 oppgave 4 — Rettferdig fordeling med terning og baller
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Argumentasjon, Valgtre
- **Kort beskrivelse:** Vise at partall og oddetall på en terning er rettferdig, og at trekning av to av fire baller ikke er det.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettferdig-fordeling-med-terning-og-baller/
### Oppgavetekst
Masa og Agata er ordenselever. De avgjør hvem som skal gå ut med søpla ved å trille en terning.
> Jeg går ut med søpla hvis terningen viser partall, og du går ut hvis den viser oddetall.
a) Vis hvorfor det gir lik sannsynlighet for begge utfallene, og derfor er en rettferdig fordeling.
Dagen etter foreslår Masa at de skal bruke fire baller, to gule og to rosa. De legger ballene i en skål og trekker en ball hver.
> Hvis de to ballene har ulike farger, skal du gå ut med søpla. Hvis ballene har samme farge, skal jeg gå ut med søpla.
b) Vis at dette ikke gir lik sannsynlighet for begge utfallene, og derfor ikke er en rettferdig fordeling.
---
## V2025 del 2 oppgave 5 — Timer brukt på mobilen i klasse 10E
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål, Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Regne ut sentralmål og spredningsmål for to datasett og presentere undersøkelsen i et passende diagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/timer-brukt-pa-mobilen-i-klasse-10e/
### Oppgavetekst
I 10E ved Hus ungdomsskole har de samlet inn data om hvor mange timer hver elev bruker på mobilen i løpet av en gjennomsnittlig dag.
| Antall timer brukt på mobilen en gjennomsnittlig dag | |
|:-----------|:------------------------------------------------|
| **Jenter** | 2, 5, 1, 3, 3, 6, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 3 og 4 |
| **Gutter** | 3, 2, 1, 1, 2, 2, 7, 3, 3, 5, 2, 1, 6, 4 og 2 |
> Vi kan bruke tallene til å si noe om hva som er typisk for klassen vår.
> Tenker du på sentralmål og spredningsmål? Hvilke sentralmål kan vi bruke til å si noe om mobilbruken i klassen vår?
> Datasettet kan presenteres i ulike diagram. Hvilket diagram skal vi velge?
Bruk tabellen og samtalen mellom Yara og Tristan ovenfor til å si noe om sentralmål og spredningsmål og presenter undersøkelsen i et diagram.
---
## V2025 del 2 oppgave 6 — Tre tilbud på avslutningsfest for 10. trinn
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Grafisk løsning, Økonomi, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Framstille tre pristilbud grafisk i samme koordinatsystem og finne når hvert tilbud lønner seg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-tilbud-pa-avslutningsfest-for-10-trinn/
### Oppgavetekst
Elevrådet skal arrangere avslutningsfest for 10. trinn og undersøker pris for mat og drikke og leie av lokale. De har funnet tre tilbud:
| Tilbud 1 | Tilbud 2 | Tilbud 3 |
|:---------|:---------|:---------|
| 150 kroner per elev for mat, drikke og leie av lokale. | 75 kroner per elev for mat og drikke, pluss 3000 kroner i leie av lokale. | 7 000 kroner som dekker mat, drikke og lokale for inntil 70 elever. |
a) Lag en grafisk fremstilling av de tre tilbudene i samme koordinatsystem.
b) Sammenlign tilbudene, og finn ut når elevrådet bør velge de ulike tilbudene.
---
## V2025 del 2 oppgave 7 — Treningsvaner og behovet for ny idrettshall
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk, Modellering, Argumentasjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Beskrive treningsvaner ut fra et søylediagram og vurdere gyldigheten til to modeller laget av de samme dataene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/treningsvaner-og-behovet-for-ny-idrettshall/
### Oppgavetekst
a) Bruk diagrammet ovenfor til å beskrive treningsvaner gjennom tenårene.
Mira og Per har fått i oppgave av politikerne å vurdere behovet for en ny idrettshall. De har analysert elevers treningsvaner ved hjelp av data fra Ungdata-undersøkelsen 2024, presentert i diagrammet ovenfor. Basert på denne informasjonen, har de laget egne diagrammer som vist nedenfor som grunnlag for sine råd til politikerne.
> Mira sitt råd
> «Om noen år vil det være så få elever som er medlem av et idrettslag, at vi ikke trenger å bygge ny idrettshall.»
> Per sitt råd
> «Den nye idrettshallen bør bygges i tilknytning til ungdomsskolen, og ikke til den videregående skolen. Den største andelen av medlemmene i idrettslag er ungdomsskoleelever.»
b) Argumenter for om modellene Mira og Per lagde er gyldige, og vurder hvem av de to som gir et råd basert på en korrekt modell.
---
## V2025 del 2 oppgave 8 — Påstander om summen av oddetall og påfølgende heltall
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Bevis, Utforskning, Mønstre
- **Kort beskrivelse:** Undersøke tre påstander om summer av oddetall og påfølgende heltall, og generalisere dem med algebra.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-summen-av-oddetall-og-pafolgende-heltall/
### Oppgavetekst
| Påstand 1 | Påstand 2 | Påstand 3 |
|:----------|:----------|:----------|
| Summen av to oddetall er et partall. | Summen av to påfølgende heltall er et partall. | Summen av tre påfølgende heltall er et oddetall. |
a) Undersøk om påstandene ovenfor stemmer for ulike tall.
b) Vil påstandene alltid stemme, stemme noen ganger, eller aldri stemme?
c) Generaliser sammenhengene i påstandene.
> Påfølgende heltall er heltall som kommer rett etter hverandre. For eksempel er 3, 4 og 5 påfølgende heltall.
---
## V2024 del 1 oppgave 1 — Barnebillett på Berge Kino
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Finne prisen på én barnebillett ut fra to summer med voksen- og barnebilletter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/barnebillett-pa-berge-kino/
### Oppgavetekst
På Berge Kino koster billettene til sammen 400 kr for to voksne og et barn. Billettene for en voksen og et barn koster til sammen 260 kr.
Hvor mye koster én barnebillett? Vis hvordan du tenker.
---
## V2024 del 1 oppgave 2 — Rutefigurer med 2, 6, 12 og 20 ruter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Tegne figurene som mangler i et rutemønster og lage en formel for antall ruter i figur $n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rutefigurer-med-2-6-12-og-20-ruter/
### Oppgavetekst
a) Tegn Figur 1 og Figur 3 inn i tabellen.
b) Lag en formel for antall ruter i Figur $n$, og forklar hvordan du kom frem til formelen.
---
## V2024 del 1 oppgave 3 — Tid brukt på ulike medier i 2022
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk, Prosentregning, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av et stablet søylediagram og avgjøre om fire påstander om mediebruk er sanne eller usanne.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tid-brukt-pa-ulike-medier-i-2022/
### Oppgavetekst
Diagrammet nedenfor viser hvor mye tid ungdommer i gjennomsnitt brukte daglig på ulike medier i 2022.
Ta utgangspunkt i diagrammet ovenfor. Vurder om påstandene nedenfor er sanne eller usanne.
| Påstand | Sann | Usann |
|:-------------------------------------------------------------|:-----------:|:-----------:|
| Lese bøker er det ungdommer bruker mest tid på | | |
| Det er flere som spiller Dataspill/TV-spill enn som ser på TV | | |
| Nesten tre firedeler av ungdommene spiller på telefon/nettbrett | | |
| Omtrent 40 % av ungdommene bruker mindre enn en time daglig på sosiale medier | | |
---
## V2024 del 1 oppgave 4 — Stigningstall for Kristins høydevekst
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut stigningstallet til en rett linje ved å lese av to punkter i et diagram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stigningstall-for-kristins-hoydevekst/
### Oppgavetekst
Kristin har målt høyden sin fra hun var 10 til hun var 16 år. Veksten er vist i diagrammet nedenfor.
Bruk grafen til å regne ut stigningstallet.
---
## V2024 del 1 oppgave 5 — Vurder Rubens utregning av avslag på caps
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Argumentasjon, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Vurdere en gitt løsning der avslaget er regnet i prosent av tilbudsprisen i stedet for av opprinnelig pris.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vurder-rubens-utregning-av-avslag-pa-caps/
### Oppgavetekst
En caps koster 206,10 kr på tilbud. Opprinnelig pris var 229,00 kr. Hva var avslaget i prosent?
Vurder om løsningen til Ruben er riktig. Begrunn svaret ditt.
---
## V2024 del 1 oppgave 6 — Mål og volum for Lises matboks
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Modellering, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Foreslå realistiske sidekanter for et rett prisme og regne ut volumet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mal-og-volum-for-lises-matboks/
### Oppgavetekst
Lise skal ha en ny matboks til å ta med på skolen. Den skal ha form som et prisme.
Foreslå lengder på sidekantene, og finn volumet til den nye matboksen. Forklar valgene dine.
---
## V2024 del 1 oppgave 7 — Arealet av Thorvalds hytte uttrykt med a og b
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Areal og omkrets, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Dele opp en sammensatt figur og forklare at arealet kan skrives som $a^2 + 2ab$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealet-av-thorvalds-hytte-uttrykt-med-a-og-b/
### Oppgavetekst
Thorvald skal bygge en hytte med areal som vist nedenfor. Det grønne området er en gressplen.
Forklar at arealet av hytta kan skrives som $a^2 + 2ab$.
---
## V2024 del 2 oppgave 1 — Ida og Juans diagrammer over matvarepriser
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Presentasjon av data, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne to søylediagram med ulik skala på andreaksen og vurdere hvilket som gir best informasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ida-og-juans-diagrammer-over-matvarepriser/
### Oppgavetekst
Ida og Juan undersøker hva en ost, en pakke med skinke og et brød koster til sammen i fire forskjellige matbutikker.
De lager hvert sitt diagram som viser hva matvarene koster i de fire matbutikkene.
Gjør en vurdering av diagrammene ovenfor, og argumenter for hvilket diagram som gir best informasjon om matvareprisene.
---
## V2024 del 2 oppgave 2 — Tre funksjonsuttrykk og praktiske situasjoner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Lineære funksjoner, Omvendt proporsjonalitet, Graftegning
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafene til en lineær, en omvendt proporsjonal og en avtakende lineær funksjon, og knytte et uttrykk til en praktisk situasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-funksjonsuttrykk-og-praktiske-situasjoner/
### Oppgavetekst
Nedenfor er tre funksjonsuttrykk:
$$
\begin{aligned}
f(x) &= 200x + 40 \\[6pt]
g(x) &= \frac{1000}{x} + 80 \\[6pt]
h(x) &= -100x
\end{aligned}
$$
a) Tegn grafene til funksjonsuttrykkene, forklar hvilke typer funksjoner disse er og hva som kjennetegner dem.
b) Velg et av funksjonsuttrykkene og beskriv en praktisk situasjon som du mener passer til funksjonsuttrykket.
---
## V2024 del 2 oppgave 3 — Utsettelse av PC-lån og effektiv rente
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Lån, Rente, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Fullføre et regneark med månedlig rente og gebyr på et lån, og vise at årlig effektiv rente er omtrent 26 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utsettelse-av-pc-lan-og-effektiv-rente/
### Oppgavetekst
Trond trenger å kjøpe en ny PC, men da må han låne 7 500 kr. Han sjekker med banken og får et tilbud på hvor mye et lån med et års utsettelse vil koste.
Nedenfor er regnearket til Trond, med informasjon om lånet:
a) Fullfør regnearket ovenfor og vis hva utsettelsen vil koste.
b) Vis at årlig effektiv rente er omtrent 26 %.
> Effektiv rente er den totale prisen du betaler for lånet.
>
> Det er renten, i tillegg til etableringsgebyr, termingebyrer og andre kostnader forbundet med lånet.
---
## V2024 del 2 oppgave 4 — Fire skåler med røde og blå kuler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Regne ut sannsynligheten for to blå kuler uten tilbakelegging i fire skåler og sammenligne resultatene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-skaler-med-rode-og-bla-kuler/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det fire skåler med røde og blå kuler.
Forklar hvilken skål som gir størst sannsynlighet for å trekke ut to blå kuler, når kulene trekkes uten tilbakelegging.
---
## V2024 del 2 oppgave 5 — To modeller for Nikolines følgere
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Forklare forskjellen på en lineær og en eksponentiell modell for vekst i antall følgere.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-modeller-for-nikolines-folgere/
### Oppgavetekst
I løpet av seks måneder økte antall følgere Nikoline hadde på Instagram fra 30 til 30 000.
Nikoline lagde to modeller for å vise veksten i antall følgere.
Forklar de to modellene og hvordan de beskriver veksten av følgere.
---
## V2024 del 2 oppgave 6 — Program for volumet av to kuler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Volum, Kule, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Forklare et program som regner ut forholdet mellom volumet av to kuler, og hva som skjer med volumet når radius dobles.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/program-for-volumet-av-to-kuler/
### Oppgavetekst
Guro utforsker volumet til kuler og lager koden nedenfor.
**Koden som tekst:**
```python ln
radius_liten_kule = float(input("skriv ønsket radius for minste kule: "))
radius_stor_kule = float(input("skriv ønsket radius for største kule: "))
volum_liten_kule = (4 * 3.14 * radius_liten_kule ** 3)/3
volum_stor_kule = (4 * 3.14 * radius_stor_kule ** 3)/3
forhold_mellom_kulene = volum_stor_kule/volum_liten_kule
print("forholdet mellom kulene er: ", forhold_mellom_kulene)
```
**Koden som blokk:**
a) Forklar hva som skjer når koden kjøres.
Guro tester koden med å skrive inn en radius til to kuler og får dette resultatet:
b) Forklar hvordan volumet til en kule endres, når radius dobles.
---
## V2024 del 2 oppgave 7 — Differansen 5 i kvadrater i et talloppsett
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Mønstre, Utforskning, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Utforske diagonalproduktene i et 2 gange 2-kvadrat i en tallrute med fem tall per rad, og generalisere med algebra.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differansen-5-i-kvadrater-i-et-talloppsett/
### Oppgavetekst
> Jeg tok det røde kvadratet, multipliserte 13 med 17 og 12 med 18. Da jeg trakk det laveste produktet fra det høyeste, fikk jeg differansen 5.
> Jeg tok det blå kvadratet, multipliserte 5 med 9 og 4 med 10. Da jeg trakk det laveste produktet fra det høyeste, fikk jeg også differansen 5.
> Om jeg lager nye kvadrater inne i figuren, vil det da også stemme?
> Er det mulig å finne en generell sammenheng?
Bruk figuren og samtalen mellom de to jentene ovenfor til å utforske og finne sammenhenger. Beskriv det du finner ut ved å bruke algebra og hensiktsmessige representasjoner.
---
## V2024 del 2 oppgave 8 — Dusjvaner, vannforbruk og kostnader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål, Statistikk, Modellering, Økonomi, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Utforske dusjetid med sentralmål og spredningsmål, og modellere kostnaden ved vannforbruk og oppvarming av vann.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/dusjvaner-vannforbruk-og-kostnader/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> Informasjon om oppgave 8
> Her presenterer vi en situasjon med ulike problemstillinger der du skal bruke din kompetanse i matematikk til å:
>
> - utforske matematiske spørsmål som er knyttet til innholdet i oppgaven og løse problemer
> - lage modeller og vurdere gyldighet og avgrensninger
> - vise fremgangsmåter og resonnementer
> - argumentere for løsningene dine og gjøre kritiske vurderinger
> - bruke hensiktsmessige hjelpemidler
Emma og Lucas undersøker vannforbruk og kostnader. De gjennomfører en undersøkelse i klassen. Det de fant ut er presentert nedenfor.
> Hvor lang tid bruker elever på å dusje, og er det en forskjell mellom jenter og gutter?
> Vi spør klassen vår, vi har jo lært om sentralmål og spredningsmål.
**Spørreundersøkelse i klassen: Hvor mange minutter dusjer du i snitt per dusj?**
| | |
|:-----------|:-------------------------------------------------------|
| **Gutter** | 5, 8, 4, 5, 6, 16, 15, 9, 12, 18, 10, 18, 25 og 10 |
| **Jenter** | 6, 30, 15, 8, 17, 12, 5, 40, 10, 20, 15, 8, 15, 10 og 5 |
Emma og Lucas vil regne på kostnadene ved å dusje. De vil også modellere sammenhengen mellom vannforbruk og pris.
> Hva koster det å dusje?
> Det er mange ting å tenke på. For eksempel hvor ofte du dusjer, hvor mye vann det kommer per minutt, og temperaturen på vannet.
> I en husholdning brukes vann til mye forskjellig, for eksempel til vasking, dusjing, tannpuss, matlaging og mye mer.
>
> - Pris på vann: En liter vann fra kranen koster i snitt 2 øre.
> - I Norge bruker en person i snitt 140 L vann per døgn.
> - Vannet fra krana holder 10 grader celsius. I en varmtvannsbereder blir vannet varmet opp til 70 grader celsius.
> - I juni 2023 var prisen på elektrisitet for husholdninger i Norge 1,00 kr. per kWh.
**Pris for energi til oppvarming:**
Elektrisk energi måles i kilo-watt-timer (kWh). Mengden energi som kreves for å varme opp vann måles i joule (J).
Det trengs 4,2 kilojoule for å varme 1 kilogram vann 1 grad celsius. Det blir da 4,2 kJ/kg.
$$
\text{kg vann} \cdot \text{temperaturøkning} \cdot 4{,}2 \mathrm{~kJ/kg} = \text{Mengde kJ}
$$
$$
3\,600 \mathrm{~kJ} = 1 \mathrm{~kWh}
$$
Formelen for kostnad på strøm:
$$
\text{Pris} = \frac{\text{Mengde kJ}}{3\,600 \mathrm{~kJ}} \cdot x \text{ (pris per kWh)}
$$
Bruk informasjonen og samtalene til å utforske og finne sammenhenger.
---
## V2023 del 1 oppgave 1 — Pris på slikkepinne og sjokolade
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Trekke den ene likningen fra den andre og se at differansen på 12 kr svarer til to slikkepinner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-slikkepinne-og-sjokolade/
### Oppgavetekst
To slikkepinner og to sjokolader koster 32 kr.
Fire slikkepinner og to sjokolader koster 44 kr.
Hvor mye koster en slikkepinne?
---
## V2023 del 1 oppgave 2 — Figurtall med 5, 12 og 21 brikker
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Finne den kvadratiske formelen $n(n+4)$ ut fra tallfølgen 5, 12, 21 og tegne figur 1 og 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-5-12-og-21-brikker/
### Oppgavetekst
Figur 2 i et mønster ser slik ut:
| Figurnummer | Figur 1 | Figur 2 | Figur 3 |
|:-------------------------|:-------:|:-------:|:-------:|
| Antall brikker i figuren | 5 | 12 | 21 |
a) Tegn Figur 1 og Figur 3.
b) Lag en formel for antall brikker i Figur $n$, og forklar hvordan du kom fram til formelen.
---
## V2023 del 1 oppgave 3 — Arealet av kvadratet med side x + 2
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Areal og omkrets, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke arealmodellen til å vise at $(x+2)^2 = x^2 + 2x + 2x + 4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealet-av-kvadratet-med-side-x-2/
### Oppgavetekst
Erlend og Oline arbeider med areal av figurer.
Oline mener at arealet av kvadrat ABCD med sider $(x + 2)$
kan uttrykkes slik: $x^2 + 4x + 4$
Vis hvordan Oline kan forklare Erlend at det stemmer.
---
## V2023 del 1 oppgave 4 — Sentralmål for hastigheter i fartskontroll
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Regne ut gjennomsnitt, median og typetall for ti hastigheter, og begrunne hvilket sentralmål som beskriver farten best.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentralmal-for-hastigheter-i-fartskontroll/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hastigheter målt i en fartskontroll.
Alle hastighetene er mål i km/h.
<table class="grid">
<tr><td>62</td><td>20</td><td>62</td><td>18</td><td>55</td><td>62</td><td>65</td><td>54</td><td>62</td><td>60</td></tr>
</table>
a) Avgjør gjennomsnitt, median og typetall.
b) Begrunn hvilket av sentralmålene du ville valgt for å beskrive bilenes hastighet.
---
## V2023 del 1 oppgave 5 — Skoleskyss fordelt på fylke
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Prosentregning, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lese av en tabell med antall og prosentandel per fylke, og avgjøre om fire påstander om forholdstall og gjennomsnitt er sanne.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skoleskyss-fordelt-pa-fylke/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange elever som bruker skoleskyss fordelt på fylke.
| Fylke | Antall elever per fylke | Andel i % per fylke |
|:---------------------|------------------------:|--------------------:|
| Viken | 26 988 | 17,2 % |
| Oslo | 3 991 | 5,8 % |
| Innlandet | 14 889 | 37,7 % |
| Vestfold og Telemark | 10 281 | 21,2 % |
| Agder | 9 920 | 25,3 % |
| Rogaland | 8 190 | 12,7 % |
| Vestland | 20 265 | 26,4 % |
| Møre og Romsdal | 8 852 | 28,2 % |
| Trøndelag | 15 374 | 28,1 % |
| Nordland | 7 017 | 26,3 % |
| Troms og Finnmark | 8 293 | 31,4 % |
Vurder om påstandene nedenfor er sanne eller usanne. Kryss av i riktig rute.
| Påstand | Sann | Usann |
|:--------------------------------------------------------------------------------|:-----------:|:-----------:|
| Flere enn tre ganger så mange elever bruker skoleskyss i Innlandet som i Oslo. | | |
| Gjennomsnittlig er det 5000 elever som bruker skoleskyss per fylke. | | |
| I mer enn halvparten av fylkene er det under 25 % som bruker skoleskyss. | | |
| Viken har den største prosentandelen av elever som bruker skoleskyss. | | |
---
## V2023 del 1 oppgave 6 — Jennys kjøretur til hytta
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Stigningstall, Lineære funksjoner, Graftolkning, Fart
- **Kort beskrivelse:** Regne stigningstallet $54 : 0{,}9 = 60$ og tolke det som gjennomsnittsfart i km/h.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jennys-kjoretur-til-hytta/
### Oppgavetekst
Jenny kjørte fra hjemmet sitt til hytta. Nedenfor er en grafisk framstilling av sammenhengen mellom tiden (timer) og strekningen (km) for turen til Jenny.
Bestem stigningstallet til funksjonen, og forklar sammenhengen mellom stigningstallet og Jennys gjennomsnittsfart.
---
## V2023 del 1 oppgave 7 — Prosentvis rabatt på headset
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentvis endring, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne ut at 200 kr av 979 kr er omtrent 20 % ved å overslå $200 : 979 \approx 200 : 1000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentvis-rabatt-pa-headset/
### Oppgavetekst
Marco kjøpte et headset til 779 kr. Før rabatten på 200 kroner, kostet headsettet 979 kroner.
Marco fikk omtrent % i rabatt.
---
## V2023 del 2 oppgave 1 — Pris for leie av el-sparkesykkel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Økonomi, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Lese startpris og pris per minutt av to rette linjer, og tolke skjæringspunktet (100, 300).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-for-leie-av-el-sparkesykkel/
### Oppgavetekst
Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom tid (minutter) og hvor mye det koster å leie el-sparkesykkel hos de to utleiefirmaene Flex (blå graf) og Wheele (rød graf).
Bruk den grafiske fremstillingen til å forklare hva det koster å leie en sparkesykkel fra Flex og Wheele.
---
## V2023 del 2 oppgave 2 — Fire tilbud på smoothieflasker
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Regne om fire ulike kjøpstilbud til prosentvis rabatt og sammenlikne dem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-tilbud-pa-smoothieflasker/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det fire ulike tilbud på flasker med smoothie.
| Tilbud | Tekst |
|:---------|:-----------------------------------|
| Tilbud 1 | «Kjøp tre, og få to gratis» |
| Tilbud 2 | «25 % rabatt på hver flaske» |
| Tilbud 3 | «Kjøp en, og få 50 % på den neste» |
| Tilbud 4 | «Kjøp to, og få en gratis» |
Gjør beregninger, vurder og argumenter for hvilket tilbud kundene bør velge.
---
## V2023 del 2 oppgave 3 — Gjennomsnittlig ukelønn på 10. trinn
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk, Regneark, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Regne gjennomsnitt fra en frekvenstabell og resonnere baklengs om hvor mange elever som må ha kommet til for at snittet skal stige til 100 kr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-ukelonn-pa-10-trinn/
### Oppgavetekst
På 10. trinn ved Furutoppen skole ble det gjennomført en undersøkelse om ukelønnen til elevene på trinnet. Resultatet er presentert i regnearket nedenfor.
a) Bruk opplysningene i regnearket til å bestemme gjennomsnittlig ukelønn.
Da undersøkelsen ble gjennomført, var ikke alle elevene på skolen. De elevene som ikke var der, registrerte ukelønna si dagen etter. Etter at alle elevene hadde gjennomført undersøkelsen, økte gjennomsnittlig ukelønn til 100 kr.
b) Argumenter for hvor mange elever det kan være på 10. trinn ved Furutoppen skole.
---
## V2023 del 2 oppgave 4 — Halvors utregning av arealet til en halvsirkel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Areal og omkrets, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Avdekke at Halvor har halvert radien i stedet for arealet, og regne det riktige svaret $\pi \cdot 6^2 : 2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halvors-utregning-av-arealet-til-en-halvsirkel/
### Oppgavetekst
Nedenfor er en oppgave som Halvor fikk i en matematikktime.
> **Tips**
> Oppgave
> Bildet til høyre viser en sirkel, med en blå halvsirkel.
>
> Radius er 6.
>
> Bestem arealet til halvsirkelen.
Halvor løste oppgaven slik:
Vurder løsningen til Halvor, og argumenter for om løsningen gir et korrekt areal av halvsirkelen.
---
## V2023 del 2 oppgave 5 — Terningprogram og store talls lov
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Tolke ei løkke som trekker tilfeldige tall fra 1 til 6, og begrunne at mange kast trengs før frekvensene jevner seg ut.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningprogram-og-store-talls-lov/
### Oppgavetekst
Emira utforsker store talls lov ved å kaste terning med seks sider.
Hun lager et dataprogram som kaster terning for henne.
Nedenfor vises Emiras forslag til en kode til et dataprogram.
a) Forklar hva som skjer når dataprogrammet blir kjørt
Emira vil lage en tabell for å vise at det er like stor sannsynlighet for å få de ulike resultatene 1, 2, 3, 4, 5 og 6.
b) Hvilken verdi for *antall_terningkast* vil du anbefale Emira å velge? Begrunn svaret ditt.
---
## V2023 del 2 oppgave 6 — 10 000 kroner eller en krone som dobles
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Vekstfaktor, Argumentasjon, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne 10 000 kr med $2^{14} = 16\,384$ kr som kommer av at én krone dobles i 14 dager.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/10-000-kroner-eller-en-krone-som-dobles/
### Oppgavetekst
Nicolas får velge mellom 10 000 kroner en gang, eller 1 krone som dobler seg hver dag i to uker (14 dager). Hva bør han velge?
Argumenter for det mest lønnsomme valget.
Enten ti tusen kroner en gang.
Eller en krone som dobler seg hver dag i 14 dager:
- Før dag 1: 1 krone
- Etter den første dagen: 2 kroner
- Etter den andre dagen: 4 kroner
og så videre til og med dag 14.
---
## V2023 del 2 oppgave 7 — Blått område mellom to kvadrater
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Areal og omkrets, Utforskning, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Generalisere at $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ ut fra eksempelet $6^2 - 2^2 = 32$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/blatt-omrade-mellom-to-kvadrater/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> I denne oppgaven presenterer vi en situasjon eller en problemstilling der du selv skal undersøke og utforske. Vi vil se etter din kompetanse i å:
>
> - vurdere hva du vil utforske og formulere matematiske spørsmål knyttet til innhold i oppgaven
> - vise fremgangsmåte/resonnement og besvare de matematiske spørsmålene du formulerer
> - bruke hensiktsmessige hjelpemiddel
> - argumentere for løsningene dine og gjøre kritiske vurderinger
>
> Vi anbefaler å bruke omtrent 60 minutter på oppgave 7 og 8 til sammen.
Bruk figuren og samtalen nedenfor til å vise din kompetanse innen abstraksjon og generalisering.
Figuren viser et kvadrat i et større kvadrat.
> Arealet av hele figuren blir $6 \cdot 6 = 36$
> Arealet av det blå området er 32.
> La oss prøve med andre tall, for eksempel $(5 + 1)$ og $(5 - 1)$
> Jeg er sikker på at det finnes en generell løsning for arealet av det blå området!
---
## V2023 del 2 oppgave 8 — Thereses kjøp av brukt mopedbil
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Økonomi, Prosentregning, Vekstfaktor, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp et budsjett for kjøp og drift av mopedbil i to år med rente, verditap, drivstoff og inntekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/thereses-kjop-av-brukt-mopedbil/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> I denne oppgaven presenterer vi en situasjon eller en problemstilling der du selv skal undersøke og utforske. Vi vil se etter din kompetanse i å:
>
> - vurdere hva du vil utforske og formulere matematiske spørsmål knyttet til innhold i oppgaven
> - vise fremgangsmåte/resonnement og besvare de matematiske spørsmålene du formulerer
> - bruke hensiktsmessige hjelpemiddel
> - argumentere for løsningene dine og gjøre kritiske vurderinger
>
> Vi anbefaler å bruke omtrent 60 minutter på oppgave 7 og 8 til sammen.
Bruk tabellen og utsagnene nedenfor til å vise din kompetanse innen modellering og anvendelse.
Therese er 16 år, og skal kjøpe en brukt mopedbil. Hun planlegger å eie bilen i to år.
| Informasjon | Pris |
|:-------------------------------|:------------|
| Mopedbilen | 83 600 kr |
| Omregistrering | 600 kr |
| Ansvarsforsikring | 4 000 kr/år |
| Førerkort, minimumspakke | 11 990 kr |
| Ekstra kjøretime, pris per time | 850 kr |
| Veiavgift | 470 kr |
| Sparepenger | 41 827 kr |
| Forbruk | 0,3 L per mil |
> Sparepengene har stått på en konto i 3 år med 1,5 % årlig rente
> Bilen har et årlig verditap på 10 %
> På en vanlig uke kjører jeg omtrent 6,5 mil. Dieselprisen er omtrent 21 kr/L
> Therese har en deltidsjobb der hun tjener 3 000 kr hver måned
---
## V2022 del 1 oppgave 1 — Pris på sjokolade og vannflaske
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse to likninger med to ukjente ved eliminasjon eller innsetting for å finne prisen på én sjokolade.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-sjokolade-og-vannflaske/
### Oppgavetekst
To sjokolader og én vannflaske koster 40 kr.
Fire sjokolader og tre vannflasker koster 98 kr.
Hvor mye koster én sjokolade?
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Bremselengde på tørr asfalt
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Lese av en ikke-lineær graf og avgjøre om fire påstander om fart og bremselengde er korrekte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bremselengde-pa-torr-asfalt/
### Oppgavetekst
Grafen viser sammenhengen mellom fart og bremselengde for en bil på tørr asfalt.
Ta utgangspunkt i grafen. Vurder om påstandene er korrekte eller ikke.
| Påstand | Korrekt | Ikke korrekt |
|:-----------------------------------------------------|:--------:|:---------------:|
| Om farten er 40 km/h, er bremselengden omtrent 8 m | | |
| For at bremselengden skal være mindre enn 15 m, må farten være mindre enn 55 km/h | | |
| Om farten halveres, halveres også bremselengden | | |
| Om farten er over 70 km/h, er bremselengden over 30 m | | |
---
## V2022 del 1 oppgave 3 — Rektangel med lengde a og bredde 2a
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Velge egne tallverdier som oppfyller at bredden er dobbelt så stor som lengden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-med-lengde-a-og-bredde-2a/
### Oppgavetekst
Ett bestemt rektangel har lengde $a$ og bredde $2a$.
Hvilken lengde og bredde kan rektanglet ha?
Lengde:
Bredde:
---
## V2022 del 1 oppgave 4 — Eske brettet av et papirkvadrat
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Finne lengde, bredde og høyde i en eske brettet av et kvadrat med utklipte hjørner, og regne ut volumet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eske-brettet-av-et-papirkvadrat/
### Oppgavetekst
Kristian lager esker av papirkvadrater med sidelengde 10 cm.
I hvert hjørne klipper han bort et lite kvadrat med sidelengde 2,5 cm.
Deretter bretter han opp papiret langs de prikkete linjene og fester hjørnene med tape.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> Hvor stort er volumet til eska?
> - [ ] $25 \mathrm{~cm^3}$
> - [x] $62{,}5 \mathrm{~cm^3}$
> - [ ] $125 \mathrm{~cm^3}$
> - [ ] $250 \mathrm{~cm^3}$
---
## V2022 del 1 oppgave 5 — Arealmodell for 68 ganger 27
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Argumentasjon, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Dele opp et rektangel i fire delrektangler og bruke delarealene til å begrunne et multiplikasjonssvar.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealmodell-for-68-ganger-27/
### Oppgavetekst
Bruk figuren til å vise at $68 \cdot 27 = 1836$
---
## V2022 del 1 oppgave 6 — Billettinntekt for tre billettyper
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Formler
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen uttrykket der hver billettpris multipliseres med antallet av den billettypen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/billettinntekt-for-tre-billettyper/
### Oppgavetekst
Til en teaterforestilling blir det solgt tre ulike billettyper:
| Billettype | Pris |
|:-----------|:-------|
| Voksen | 315 kr |
| Honnør | 250 kr |
| Barn | 210 kr |
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> Hvilket av uttrykkene gir den totale billettinntekten, $B$, når det blir solgt $x$ antall voksenbilletter, $z$ antall honnørbilletter og $y$ antall barnebilletter?
> - [ ] $B = x + z + y$
> - [ ] $B = 775$
> - [ ] $B = x \cdot z \cdot y$
> - [x] $B = 315x + 250z + 210y$
---
## V2022 del 1 oppgave 7 — Bakterievekst med 10 prosent per dag
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfaktor, Eksponentiell vekst, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $15\,000 \cdot 1{,}10^2$ ved å bruke vekstfaktoren to ganger uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakterievekst-med-10-prosent-per-dag/
### Oppgavetekst
Selma skal dyrke bakterier. Hun starter med 15 000 bakterier i en skål.
Antallet bakterier vokser eksponentielt, og øker med 10 % hver dag.
Hvor mange bakterier vil det være i skålen etter to dager?
---
## V2022 del 1 oppgave 8 — Fire grafer og fire funksjonsuttrykk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen grafen til en lineær, en eksponentiell, en omvendt proporsjonal og en andregradsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-grafer-og-fire-funksjonsuttrykk/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til fire ulike funksjonsuttrykk.
$$
f(x) = 2x + 3 \qquad g(x) = 1{,}2^x \qquad h(x) = \frac{40}{x} \qquad i(x) = x^2 + 7x + 12
$$
Skriv riktig funksjonsuttrykk til hver graf.
---
## V2022 del 2 oppgave 1 — Hannas utgifter ved leie av festlokale
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Tolke konstantleddet som fast pris og stigningstallet som pris per gjest i $f(x) = 100x + 2500$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hannas-utgifter-ved-leie-av-festlokale/
### Oppgavetekst
Hanna planlegger en bursdagsfest.
Hun ønsker å leie et lokale til festen.
Hanna har laget et funksjonsuttrykk, $f(x)$, som viser utgiftene ved leie av lokalet:
$$
f(x) = 100x + 2500
$$
Bruk funksjonsuttrykket og si noe om utgiftene ved leie av lokalet.
---
## V2022 del 2 oppgave 2 — Stort kvadrat av fire kongruente rektangler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Argumentasjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Se at siden i det store kvadratet er summen av lengden og bredden i ett rektangel, slik at omkretsen blir det dobbelte av rektanglets.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stort-kvadrat-av-fire-kongruente-rektangler/
### Oppgavetekst
Figuren viser et stort kvadrat som er bygd opp av fire kongruente rektangler og et lite kvadrat.
Omkretsen til hvert rektangel er 30 cm.
Argumenter for at omkretsen til det store kvadratet er 60 cm.
---
## V2022 del 2 oppgave 3 — Partallssum ved trekking av to kort
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Systematisere de ti mulige kortparene og telle de fire som gir partallssum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partallssum-ved-trekking-av-to-kort/
### Oppgavetekst
På fem kort står tallene 1, 2, 3, 4 og 5.
Kortene blir lagt på et bord med tallsiden ned og blir deretter blandet.
Du trekker to tilfeldige kort og summerer tallene som står på kortene.
Argumenter for at det er 40 % sjanse for at summen av tallene på kortene du trekker blir et partall.
---
## V2022 del 2 oppgave 4 — Figurmønster gitt ved en eksplisitt formel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Gå motsatt vei av vanlig figurtalloppgave og tegne figurer med 3, 6 og 11 elementer ut fra $F_n = n^2 + 2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurmonster-gitt-ved-en-eksplisitt-formel/
### Oppgavetekst
Den eksplisitte formelen for figur $n$ i et mønster er:
$$
F_n = n^2 + 2
$$
Tegn figurer som kan være de tre første i dette mønsteret.
---
## V2022 del 2 oppgave 5 — Stigningstall 3 avlest fra graf
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Stigningstall, Lineære funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av to punkter på ei rett linje og vise at endringen i $y$ delt på endringen i $x$ blir 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stigningstall-3-avlest-fra-graf/
### Oppgavetekst
Studer grafen.
Argumenter for at stigningstallet til grafen er 3.
---
## V2022 del 2 oppgave 6 — Ahmads løsning av en likning
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Begrunne at man kan trekke fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet i $3x + 12 = 3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ahmads-losning-av-en-likning/
### Oppgavetekst
Bildet nedenfor viser hvordan Ahmad har løst en likning.
Argumenter for at det Ahmad har gjort i den blå rammen er korrekt.
---
## V2022 del 2 oppgave 7 — Venstres framstilling av klimautslipp
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Presentasjon av data, Graftolkning, Argumentasjon, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Vurdere en grafisk framstilling der $y$-aksen er avkortet, slik at en nedgang på omtrent 5 % ser dramatisk ut.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/venstres-framstilling-av-klimautslipp/
### Oppgavetekst
Venstre var støtteparti for den blågrønne regjeringen i perioden
2013–2017, og ble med i regjeringen fra januar 2018.
I en kampanje lagde partiet Venstre en grafisk framstilling som viste klimautslippene i perioden 2012–2018.
Gjør en kritisk vurdering av den grafiske framstillingen, og vurder om den gir et riktig bilde av utviklingen.
---
## V2022 del 2 oppgave 8 — Program som tegner en regulær mangekant
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Tolke ei løkke som gjentas 5 ganger med linjestykke 4 og dreining $360 : 5$, og tegne den regulære femkanten den gir.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/program-som-tegner-en-regulaer-mangekant/
### Oppgavetekst
Bildet viser et dataprogram.
a) Forklar hva som skjer når programmet blir kjørt.
b) Tegn figuren og sett riktige mål på figuren din.
---
## V2022 del 2 oppgave 9 — Kvadrattall skrevet som produkt pluss 1
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Bevis, Utforskning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Utforske og generalisere at $n^2 = (n+1)(n-1) + 1$, og avvise at $5^2 = (7 \cdot 3) + 1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadrattall-skrevet-som-produkt-pluss-1/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> I denne oppgaven vil du få presentert en situasjon eller en problemstilling som du selv må undersøke og utforske. Det er forventet at du:
>
> - vurderer hva du vil utforske og formulerer matematiske spørsmål knyttet til innhold i oppgaven, slik at du får vist kompetansen din
> - viser fremgangsmåte/resonnement og besvarer de matematiske spørsmålene du formulerer
> - bruker formålstjenlige hjelpemiddel
> - argumenterer for løsningene dine og gjør kritiske vurderinger
>
> Vi anbefaler å bruke cirka 45 minutter på denne oppgaven.
> **Tips**
> Fakta
> Et tall opphøyd i andre er tallet multiplisert med seg selv. Eks. $3^2 = 3 \cdot 3$
> Jeg har funnet ut at $3^2$ er det samme som $(4 \cdot 2) + 1$.
> Det stemmer for $5^2$ også. $5^2$ er det samme som $(6 \cdot 4) + 1$.
> Interessant! Vil dette alltid stemme?
> Vil dette bety at $5^2$ også kan skrives som $(7 \cdot 3) + 1$?
Bruk samtalen ovenfor som utgangspunkt for å vise din kompetanse innen abstraksjon og generalisering.
---
## V2022 del 2 oppgave 10 — Lottes valg av mobilabonnement
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Økonomi, Sentralmål, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne prisen på ulike datapakker mot Lottes forbruk over fire måneder og vurdere totalprisen over 24 måneder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lottes-valg-av-mobilabonnement/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> I denne oppgaven vil du få presentert en situasjon eller en problemstilling som du selv må undersøke og utforske. Det er forventet at du:
>
> - vurderer hva du vil utforske og formulerer matematiske spørsmål knyttet til innhold i oppgaven, slik at du får vist kompetansen din
> - viser fremgangsmåte/resonnement og besvarer de matematiske spørsmålene du formulerer
> - bruker formålstjenlige hjelpemiddel
> - argumenterer for løsningene dine og gjør kritiske vurderinger
>
> Vi anbefaler å bruke cirka 45 minutter på denne oppgaven.
Lotte og tre venner diskuterer hvilket mobilabonnement Lotte bør velge.
Oversikten viser priser for ulike mobilabonnement.
> Hvordan er dataforbruket ditt, og endres det når du skal flytte på hybel neste år?
> Lotte
> Jeg brukte 5,47 GB i februar, 4,10 GB i mars, 12,23 GB i april og 5,21 GB i mai. Hva bør jeg velge?
> Data du ikke bruker en måned får du med deg til neste måned.
> Noen andre selger telefonen du ønsker deg med et 7 GB-abonnement til 599 kr per måned i 24 måneder.
Bruk informasjonen ovenfor som et utgangspunkt til å vise din kompetanse innen modellering og anvendelse.
---
## E2022 del 1 oppgave 1 — Trekanter og kvadrater i figur nummer 10
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre
- **Kort beskrivelse:** Finne antall trekanter og kvadrater i figur nr. 10 ved å generalisere et figurmønster.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekanter-og-kvadrater-i-figur-nummer-10/
### Oppgavetekst
Bildet viser de tre første figurene i et mønster. Figurene er satt sammen av trekanter og kvadrater.
Hvor mange trekanter og kvadrater vil det være i figur nr. 10?
Trekanter:
Kvadrater:
---
## E2022 del 1 oppgave 2 — Tallpar som gjør at kvadratet av summen blir 16
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Sette inn fire tallpar i $(a+b)^2 = 16$ og avgjøre om likheten stemmer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallpar-som-gjor-at-kvadratet-av-summen-blir-16/
### Oppgavetekst
Vi har uttrykket $(a + b)^2 = 16$.
Vurder om alternativene nedenfor gjør at uttrykket stemmer.
| Alternativ | Ja | Nei |
|:---------------------------------------|:----:|:-----:|
| $a = 2$ og $b = 2$ | | |
| $a = 4$ og $b = 4$ | | |
| $a = 8$ og $b = 4$ | | |
| $a = 8$ og $b = 8$ | | |
---
## E2022 del 1 oppgave 3 — Ukjent faktor i 3 ganger 24 ganger 9
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Finne den ukjente faktoren $x$ i $3 \cdot 24 \cdot 9 = 4 \cdot 9 \cdot x$ uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-faktor-i-3-ganger-24-ganger-9/
### Oppgavetekst
$$
3 \cdot 24 \cdot 9 = 4 \cdot 9 \cdot x
$$
Hvilket tall tilsvarer $x$?
---
## E2022 del 1 oppgave 4 — Trines beskrivelse av en rett linje
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Velge funksjonsuttrykket som gir en rett linje med skjæringspunkt 2 på $y$-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trines-beskrivelse-av-en-rett-linje/
### Oppgavetekst
Trine beskriver grafen til en funksjon:
- Grafen er en rett linje.
- Grafen skjærer $y$-aksen i 2.
Hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor passer til Trines beskrivelse?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $y = x^2 + 2$
> - [ ] $y = 2x + 1$
> - [ ] $y = \frac{2}{x}$
> - [x] $y = x + 2$
---
## E2022 del 1 oppgave 5 — Snorres to betalingsalternativer for mobiltelefon
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut samlet avbetalingsbeløp over to år og sammenlikne det med kontantprisen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snorres-to-betalingsalternativer-for-mobiltelefon/
### Oppgavetekst
Snorre skal kjøpe ny mobiltelefon.
Ved betaling får han to alternativer:
- Alternativ 1: Betal 12 000 kr med en gang
- Alternativ 2: Betal 550 kr per måned i to år.
Snorre velger alternativ 2.
Hvor mye dyrere blir mobiltelefonen med alternativ 2 enn med alternativ 1?
---
## E2022 del 1 oppgave 6 — Kulevolum når radien tredobles
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kule, Volum, Formler
- **Kort beskrivelse:** Se hvordan $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ endrer seg når radien blir tre ganger så stor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kulevolum-nar-radien-tredobles/
### Oppgavetekst
Volumet ($V$) til ei kule kan regnes ut ved å bruke formelen:
$$
V = \frac{4}{3}\pi r^3
$$
Hvor mange ganger så stort blir volumet til kula, dersom radius blir tre ganger så stor?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $3$
> - [ ] $6$
> - [ ] $9$
> - [x] $27$
---
## E2022 del 1 oppgave 7 — Arne og fem søsken fordeler pengene likt
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Finne hvor mye hver av seks søsken skal ha, og hvor mye Arne må gi bort til hver av dem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arne-og-fem-sosken-fordeler-pengene-likt/
### Oppgavetekst
Arne har 120 kr, mens de fem søsknene hans har 30 kr hver.
Arne og søsknene skal fordele pengene slik at alle har like mye.
Hvor mange kroner må Arne gi til hver av søsknene sine?
---
## E2022 del 2 oppgave 1 — Olavs framgangsmåte for å forenkle en brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere om det er lov å stryke 2-tallet i teller og nevner i $\frac{6x^2+2}{2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/olavs-framgangsmate-for-a-forenkle-en-brok/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvordan Olav har forenklet uttrykket $\dfrac{6x^2 + 2}{2}$.
Argumenter for om framgangsmåten Olav har brukt for å forenkle er riktig.
---
## E2022 del 2 oppgave 2 — Oppstartspris og minuttpris hos tre sparkesykkelfirma
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Økonomi, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne tre lineære prismodeller og foreslå en fjerde som er billigst inntil 25 minutter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oppstartspris-og-minuttpris-hos-tre-sparkesykkelfirma/
### Oppgavetekst
Tabellen viser oppstarts- og minuttpris for leie av sparkesykkel hos tre ulike firma.
| Firma | Oppstartspris | Pris per minutt |
|:------|:--------------|:----------------|
| Trix | 10 kr | 2,50 kr |
| Kvikk | 0 kr | 3,00 kr |
| Lazy | 5 kr | 2,50 kr |
a) Sammenlikn prisene hos de ulike firmaene om du ønsker å leie sparkesykkel fra 0 til 30 minutter.
Et nytt firma skal starte opp med utleie av sparkesykkel. De ønsker å være det billigste firmaet om du leier sparkesykkel i inntil 25 minutter, men samtidig ønsker firmaet å tjene så mye som mulig.
b) Gi en anbefaling om hvilken oppstarts- og minuttpris du mener det nye firmaet bør ha.
---
## E2022 del 2 oppgave 3 — Avstanden mellom sentrum i to sirkler i et rektangel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for at to sirkler med radius $4{,}5$ i et $12 \times 9$-rektangel har sentrumsavstand 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstanden-mellom-sentrum-i-to-sirkler-i-et-rektangel/
### Oppgavetekst
$G$ og $H$ er sentrum i hver sin sirkel.
Hver sirkel tangerer tre sider i et rektangel. Rektanglet har lengde 12 og bredde 9.
Argumenter for at avstanden mellom $G$ og $H$ er 3.
---
## E2022 del 2 oppgave 4 — Tre tallpar som løser et produkt lik 8
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Finne tre tallpar $a$, $b$ som oppfyller $(4-a)(4+b) = 8$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-tallpar-som-loser-et-produkt-lik-8/
### Oppgavetekst
Vi har likningen $(4 - a)(4 + b) = 8$.
Det finnes flere tallverdier for $a$ og $b$ som gjør at denne likningen stemmer.
Finn tre løsninger til likningen.
---
## E2022 del 2 oppgave 5 — Algoritme som undersøker om en trekant er rettvinklet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Pytagoras, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Tolke et flytskjema som tester $a^2 + b^2 = c^2$, og gi eksempel på sidelengder som gir Output_1.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/algoritme-som-undersoker-om-en-trekant-er-rettvinklet/
### Oppgavetekst
Bildet viser en algoritme som kan programmeres.
Forklar hva algoritmen undersøker.
Gi eksempler på tallverdier for $a$, $b$ og $c$ som gir Output_1
---
## E2022 del 2 oppgave 6 — Eiriks graf for euro og norske kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Tolke $x$, $y$ og stigningstallet i modellen $y = 10{,}27x$ for veksling mellom euro og kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eiriks-graf-for-euro-og-norske-kroner/
### Oppgavetekst
Eirik har laget en graf som viser sammenhengen mellom euro og norske kroner på et bestemt tidspunkt.
Funksjonsuttrykket til grafen er $y = 10{,}27x$.
Forklar hva $x$, $y$ og $10{,}27$ betyr i funksjonsuttrykket.
---
## E2022 del 2 oppgave 7 — Likningssett for 51 pantede flasker
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et likningssett med to ukjente for 51 flasker og 109 kr i pant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssett-for-51-pantede-flasker/
### Oppgavetekst
Siden 2018 har pant på plastflasker vært 2 kr for små flasker og 3 kr for store flasker.
Ali har pantet flasker for 109 kr.
Til sammen pantet han 51 flasker.
Sett opp, forklar og løs et likningssett som vil gi svar på hvor mange små og store flasker Ali pantet.
---
## E2022 del 2 oppgave 8 — Kritisk vurdering av grafer om uføretrygd og sykemeldinger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Presentasjon av data, Diagram, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere kritisk to linjediagrammer med avkuttede $y$-akser hentet fra en avisartikkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kritisk-vurdering-av-grafer-om-uforetrygd-og-sykemeldinger/
### Oppgavetekst
De grafiske framstillingene ovenfor er hentet fra en artikkel i A-magasinet. De gir informasjon om hvordan andelen uføretrygdede og antallet sykemeldinger har utviklet seg i Norge.
Gjør en kritisk vurdering av de grafiske framstillingene, og argumenter for om de gir et godt bilde av utviklingen.
---
## E2022 del 2 oppgave 9 — Påstander om summer av påfølgende heltall
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Bevis, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Utforske og generalisere når summen av fem, seks og sju påfølgende heltall er delelig med antallet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-summer-av-pafolgende-heltall/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven får du presentert en situasjon eller en problemstilling som du selv må undersøke og utforske.
I denne oppgaven er det forventet at du:
- stiller relevante matematiske spørsmål som gjør at du får vist kompetansen din
- viser utregning og besvarer spørsmålene dine
- gjør kritiske vurderinger ut fra spørsmålene og beregningene dine
Vi anbefaler å bruke cirka 45 minutter på denne oppgaven.
> **Merk**
> Fakta
> Påfølgende heltall er heltall som kommer rett etter hverandre. For eksempel er 3, 4 og 5 tre påfølgende heltall.
> Summen av fem påfølgende heltall er alltid delelig med fem
> Summen av seks påfølgende heltall er aldri delelig med seks
> Summen av sju påfølgende heltall er noen ganger delelig med sju
Bruk påstandene ovenfor som et utgangspunkt for å vise din kompetanse innen abstraksjon og generalisering.
---
## E2022 del 2 oppgave 10 — Annes kostnader ved mopedlappen og kjøp av moped
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Modellering, Prosentvis endring, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Modellere samlede kostnader for førerkort, kjøp, drivstoff, forsikring og verditap på en moped.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annes-kostnader-ved-mopedlappen-og-kjop-av-moped/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven får du presentert en situasjon eller en problemstilling som du selv må undersøke og utforske.
I denne oppgaven er det forventet at du:
- stiller relevante matematiske spørsmål som gjør at du får vist kompetansen din
- viser utregning og besvarer spørsmålene dine
- gjør kritiske vurderinger ut fra spørsmålene og beregningene dine
Vi anbefaler å bruke cirka 45 minutter på denne oppgaven.
Anne er 15 år, og ønsker å ta førerkort for moped.
Hun skal kjøpe moped når hun blir 16 år.
Hun planlegger å selge den når hun blir 18 år.
**Følgende er obligatorisk opplæring når du skal ta førerkort for moped:**
| Obligatorisk opplæring | Pris |
|:---------------------------------|--------:|
| Grunnkurs moped – 3 timer | 1000,- |
| Trinnvurdering trinn 2 | 700,- |
| Sikkerhetskurs trafikk – 4 timer | 2040,- |
| Trinnvurdering trinn 3 | 700,- |
| Sikkerhetskurs vei – 4 timer | 2040,- |
Samlet pris: All obligatorisk opplæring + 3 kjøretimer: kr. 8800,-
**Gebyr førerkort moped:**
| Gebyr | Pris |
|:------------------------------|-------:|
| Gebyr teoriprøve | 660,- |
| Gebyr utstedelse av førerkort | 310,- |
| Fakturagebyr | 65,- |
> Mopeden bruker ca. $\frac{1}{3}$ L bensin per mil.
>
> En liter bensin koster ca. 15 kr.
> Anne bor 2 km fra skolen og fra fotballbanen.
> Anne har liten erfaring med moped, så hun trenger trolig flere kjøretimer.
> Verditapet til en ny moped er 25–30 % det første året, 20 % det andre året og så 10 % per år.
>
> Forsikring for mopeden koster 125 kr per måned.
Bruk informasjonen ovenfor til å vise din kompetanse innen modellering og anvendelse.
---
## V2021 del 1 oppgave 1 — Løpebane i kilometer og samlet pris på tre varer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om 6 runder à 400 meter til kilometer og summere tre varepriser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lopebane-i-kilometer-og-samlet-pris-pa-tre-varer/
### Oppgavetekst
En løpebane på en friidrettsbane er 400 meter.
Cornelia løper 6 runder.
a) Cornelia løper kilometer.
Philip vil kjøpe varene ovenfor.
b) Han må til sammen betale kroner.
---
## V2021 del 1 oppgave 2 — Regnerekkefølge med parentes og andrepotens
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $3(2+5)-3^2$ med riktig regnerekkefølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regnerekkefolge-med-parentes-og-andrepotens/
### Oppgavetekst
Regn ut $3(2+5)-3^2$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $2$
> - [x] $12$
> - [ ] $15$
> - [ ] $30$
---
## V2021 del 1 oppgave 3 — Plasser kvadratrot, brøk og pi på tallinja
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Brøk, Kvadratrøtter
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne og sortere $\sqrt{9}$, $3{,}1$, $\frac{32}{10}$ og $\pi$ på en tallinje mellom 2,9 og 3,3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plasser-kvadratrot-brok-og-pi-pa-tallinja/
### Oppgavetekst
Maia tenker på tallene $\sqrt{9}$, $3{,}1$, $\frac{32}{10}$ og $\pi$.
Plasser hvert av tallene Maia tenker på, i riktig rute på tallinjen nedenfor.
---
## V2021 del 1 oppgave 4 — Trekke bokstaven S i OSLO og konge eller ess
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Regne uniform sannsynlighet for én av fire lapper og for konge eller ess i en kortstokk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekke-bokstaven-s-i-oslo-og-konge-eller-ess/
### Oppgavetekst
De fire bokstavene i ordet OSLO blir skrevet på hver sin lapp. Deretter blir lappene brettet sammen og blandet. Så trekker Line tilfeldig en av lappene.
a) Hva er sannsynligheten for at hun trekker lappen med bokstaven S?
Svar:
Didrik trekker et kort fra en kortstokk som består av 52 kort.
Det er fire konger og fire ess i kortstokken.
b) Sannsynligheten for at Didrik trekker en konge eller et ess, er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\frac{1}{13}$
> - [x] $\frac{2}{13}$
> - [ ] $\frac{1}{8}$
> - [ ] $\frac{2}{11}$
---
## V2021 del 1 oppgave 5 — Amalie og Lukas på løpetur i gymtimen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Fart, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Vurdere seks påstander om avstand, pause og gjennomsnittsfart ut fra et avstand-tid-diagram med to grafer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/amalie-og-lukas-pa-lopetur-i-gymtimen/
### Oppgavetekst
Amalie og Lukas løper i gymtimen. De starter samtidig, de følger den samme ruten, og begge har en pause halvveis i løpeturen. Diagrammet nedenfor viser sammenhengen mellom tid og avstand fra skolen for hver av dem.
Nedenfor er det seks påstander om løpeturen. Kryss av for de påstandene som er korrekte.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] Løpeturen er 10 kilometer.
> - [ ] Lukas kommer tilbake til skolen før Amalie.
> - [x] Etter pausen løper de sammen i 10 minutter.
> - [ ] Begge har en pause i 10 minutter.
> - [x] Gjennomsnittsfarten til Amalie på hele løpeturen medregnet pause er 10 km/h.
> - [x] Amalie har høyere gjennomsnittsfart enn 10 km/h etter pausen.
---
## V2021 del 1 oppgave 6 — Antall koder med to bokstaver og fire siffer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Bruke produktregelen til å telle koder med to bokstaver fra 29 og fire siffer fra 10.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-koder-med-to-bokstaver-og-fire-siffer/
### Oppgavetekst
Det er 29 bokstaver i alfabetet vårt, og tallsystemet vi vanligvis bruker, har 10 siffer.
Du skal lage en kode med seks tegn. De to første skal være bokstaver, og de fire neste skal være siffer. En slik kode kan for eksempel være YA6505.
Hvor mange ulike koder er det mulig å lage?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $290$
> - [ ] $2320$
> - [ ] $4\,092\,480$
> - [x] $8\,410\,000$
---
## V2021 del 1 oppgave 7 — Prisavslag på skjorte fra 599 til 510 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Overslagsregning av prosentvis nedgang fra 599 kr til 510 kr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisavslag-pa-skjorte-fra-599-til-510-kroner/
### Oppgavetekst
Prisen på en skjorte blir satt ned fra 599 kroner til 510 kroner.
Omtrent hvor mange prosent blir prisen satt ned?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $10 \,\%$
> - [x] $15 \,\%$
> - [ ] $20 \,\%$
> - [ ] $85 \,\%$
---
## V2021 del 1 oppgave 8 — Elever og studenter i Norge 1955-2018
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Statistikk, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Lese av et linjediagram og anslå hvor stor brøkdel av 5,3 millioner de tre gruppene utgjør til sammen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elever-og-studenter-i-norge-1955-2018/
### Oppgavetekst
Diagrammet nedenfor viser antall elever i grunnskole og videregående opplæring
og antall studenter ved universitet og høgskoler i Norge fra 1955 til 2018.
a) Omtrent hvor mange elever gikk på grunnskolen i 2018?
Svar:
I 2018 var Norges befolkning ca. 5,3 millioner.
b) Omtrent hvor stor del av Norges befolkning gikk på grunnskolen, tok videregående opplæring eller studerte ved universitet og høgskole i 2018?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\frac{1}{10}$
> - [x] $\frac{1}{5}$
> - [ ] $\frac{1}{3}$
> - [ ] $\frac{2}{5}$
---
## V2021 del 1 oppgave 9 — Finn p i formelen n = 12p + 48
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Formler
- **Kort beskrivelse:** Løse den lineære likningen $120 = 12p + 48$ for $p$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finn-p-i-formelen-n-12p-48/
### Oppgavetekst
Sett $n = 120$ og bestem verdien av $p$ i formelen nedenfor.
$$
n = 12p + 48
$$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $6$
> - [ ] $14$
> - [ ] $60$
> - [ ] $72$
---
## V2021 del 1 oppgave 10 — Forenkling og innsetting i to algebraiske uttrykk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Forkorte $\frac{a+a+a+a}{4a}$ og sette inn negative verdier i $\frac{y^2-2xy}{y^2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-og-innsetting-i-to-algebraiske-uttrykk/
### Oppgavetekst
a) Skriv så enkelt som mulig $\dfrac{a+a+a+a}{4a}$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $1$
> - [ ] $\frac{a}{4}$
> - [ ] $\frac{3a}{4}$
> - [ ] $\frac{a^3}{4}$
b) Hvilken verdi har uttrykket $\dfrac{y^2-2xy}{y^2}$ dersom $x = 4$ og $y = -2$?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $-16$
> - [ ] $-5$
> - [x] $5$
> - [ ] $16$
---
## V2021 del 1 oppgave 11 — Kjørelengde på halvannen time i 80 km per time
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Fart, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut strekning som fart ganger tid når tida er oppgitt som 1 time og 30 minutter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjorelengde-pa-halvannen-time-i-80-km-per-time/
### Oppgavetekst
En bil kjører med en jevn fart på 80 km/h.
På 1 time og 30 minutter har bilen kjørt kilometer.
---
## V2021 del 1 oppgave 12 — Vinkel mellom side og diagonal i en regulær sekskant
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Bruke vinkelsummen i en sekskant og likebeint trekant til å regne ut vinkelen mellom en side og en diagonal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-mellom-side-og-diagonal-i-en-regulaer-sekskant/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser en regulær sekskant.
Bestem ved regning hvor mange grader $\angle v$ er.
---
## V2021 del 1 oppgave 13 — Volum og grunnflate av en pappeske
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Algebra, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Sette opp grunnflaten som $x \cdot 2x$ og løse $2x^3 = 128$ for å finne høyden i esken.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-og-grunnflate-av-en-pappeske/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en eske. Esken har form som et rett, firkantet prisme.
a) Arealet av grunnflaten i esken er:
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $2x^2$
> - [ ] $x^3$
> - [ ] $2x$
> - [ ] $3x$
b) Volumet av esken er $128 \mathrm{~dm^3}$. Hvor høy er esken?
Svar: dm
---
## V2021 del 1 oppgave 14 — Aldersfordeling i en sjakkturnering med 11 deltakere
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Spredningsmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Regne gjennomsnitt av fem aldre, bruke variasjonsbredden til å finne høyeste alder og resonnere ut fra medianen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersfordeling-i-en-sjakkturnering-med-11-deltakere/
### Oppgavetekst
Det er 11 deltakere med i en sjakkturnering. Alderen til de fem yngste deltakerne er:
10 år, 13 år, 25 år, 32 år og 45 år.
a) Hva er gjennomsnittsalderen til de fem yngste deltakerne?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $13 \text{~år}$
> - [ ] $20 \text{~år}$
> - [ ] $24 \text{~år}$
> - [x] $25 \text{~år}$
Variasjonsbredden er 65 år.
b) Hvor gammel er den eldste deltakeren?
Svar:
Medianalderen for de 11 deltakerne er 47 år.
c) Er det flest deltakere under eller over 50 år?
---
## V2021 del 1 oppgave 15 — Grafen til funksjonsuttrykket y = 0,5x - 2
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen stigningstall 0,5 og konstantledd $-2$ blant fire rette linjer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafen-til-funksjonsuttrykket-y-0-5x-2/
### Oppgavetekst
Hvilken graf representerer funksjonsuttrykket $y = 0{,}5x - 2$?
---
## V2021 del 1 oppgave 16 — Er AB lengre eller kortere enn 9 meter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne hypotenusen i en rettvinklet trekant med katetene 7,0 m og 6,0 m mot 9 m med pytagorassetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/er-ab-lengre-eller-kortere-enn-9-meter/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en rettvinklet trekant ABC.
Avgjør hvilken av påstandene som stemmer for lengden $AB$.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $AB$ er lengre enn $9 \mathrm{~m}$
> - [ ] $AB$ er kortere enn $9 \mathrm{~m}$
> - [ ] $AB$ er $9 \mathrm{~m}$
---
## V2021 del 1 oppgave 17 — Blande saft i forholdet én til ni
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut samlet mengde når 1 L saft blandes med ni deler vann.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/blande-saft-i-forholdet-en-til-ni/
### Oppgavetekst
Aya kjøper en flaske med 1 L saft. Saften skal blandes med vann.
Hun bruker én del saft til ni deler vann.
Hvor mange liter ferdigblandet saft får hun?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $9 \mathrm{~L}$
> - [x] $10 \mathrm{~L}$
> - [ ] $11 \mathrm{~L}$
> - [ ] $12 \mathrm{~L}$
---
## V2021 del 1 oppgave 18 — Likning og pris på voksenbillett hos Vy
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Likningssystem, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Løse $3x-8=6x-2$ og finne voksenprisen ut fra to togbestillinger som bare skiller seg i antall barn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-og-pris-pa-voksenbillett-hos-vy/
### Oppgavetekst
a) Løs likningen $3x-8=6x-2$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $x = -2$
> - [ ] $x = 2$
> - [ ] $x = -6$
> - [ ] $x = 6$
b) Nedenfor ser du to bestillinger som er gjort på VY-appen, for tog fra Halden til Oslo.
En voksenbillett koster kroner.
---
## V2021 del 1 oppgave 19 — Tenk på et tall - fem elevpåstander
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Argumentasjon, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Kontrollere en tallgåte som gir $3(x+8)-24-x = 2x$ og vurdere fem elevpåstander om den.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tenk-pa-et-tall-fem-elevpastander/
### Oppgavetekst
En klasse får denne oppgaven av læreren:
1. Tenk på et helt tall.
2. Adder 8.
3. Multipliser så med 3.
4. Subtraher deretter 24.
5. Subtraher til slutt det tallet du tenkte på i punkt 1.
Nedenfor finner du fem ulike elevsvar.
> Åsa
> Hvis jeg velger tallet −3, så får jeg tallet −6.
> Hanna
> Jeg valgte tallet 4 og fikk tallet 8.
> Carl
> Jeg valgte 3 og fikk svaret 9.
> Tonje
> Uansett hvilket tall jeg velger, så får jeg alltid det dobbelte.
> Fredrik
> Hvis jeg setter tallet lik x, så blir svaret 2x.
Vurder elevenes påstander, og kryss av i riktig boks.
| Elev | Stemmer | Stemmer ikke |
|:---------------------------------------|:------------:|:----------------:|
| Åsa | | |
| Hanna | | |
| Carl | | |
| Tonje | | |
| Fredrik | | |
---
## V2021 del 1 oppgave 20 — Areal uttrykt ved x og y i en likebeint trekant
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Algebra, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke arealet av et trapes som differansen mellom to likebeinte, rettvinklede trekanter med katetene $x$ og $y$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-uttrykt-ved-x-og-y-i-en-likebeint-trekant/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en likebeint trekant ABC. Trekant ABC er delt opp i en indre trekant og et fargelagt område.
Bestem arealet av det fargelagte området uttrykt ved x og y.
---
## V2021 del 2 oppgave 1 — CO2-utslipp per innbygger i seks land
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Spredningsmål, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lage diagram av seks tabellverdier, finne variasjonsbredden og regne prosentvis nedgang fra 9,27 til 8,3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-utslipp-per-innbygger-i-seks-land/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en tabell som viser $\mathrm{CO_2}$-utslippet per innbygger i noen land i 2014.
| Land | Tonn $\mathrm{CO_2}$ per innbygger |
|:----------|:----------------------------------:|
| Qatar | $43{,}86$ |
| USA | $16{,}50$ |
| Norge | $9{,}27$ |
| Brasil | $2{,}61$ |
| Egypt | $2{,}23$ |
| Indonesia | $1{,}82$ |
a) Presenter opplysningene i tabellen i et passende diagram.
b) Bestem variasjonsbredden for $\mathrm{CO_2}$-utslipp per innbygger i de seks landene.
Norge slapp i 2018 ut 8,3 tonn $\mathrm{CO_2}$ per innbygger.
c) Hvor mange prosent gikk $\mathrm{CO_2}$-utslippet per innbygger i Norge ned med fra 2014 til 2018?
---
## V2021 del 2 oppgave 2 — Plast i havet, pant og et tårn av bæreposer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Tallregning, Store tall
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om tonn per minutt til tonn per time, summere pant fra en tabell og sammenlikne 750 millioner poser à 0,05 mm med 2 469 m.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plast-i-havet-pant-og-et-tarn-av-baereposer/
### Oppgavetekst
Det skylles ut 15 tonn plast i verdenshavene hvert minutt.
a) Hvor mange tonn plast skylles ut i verdenshavene hver time?
I 2018 kom det nye pantesatser i Norge. Kari pantet flasker og bokser som hun hadde samlet inn. Se tabellen nedenfor.
| Emballasje | Pant i kroner | Antall |
|:-----------------|:-------------:|:------:|
| 0,33 liter boks | $2$ | $15$ |
| 0,5 liter flaske | $2$ | $50$ |
| 0,7 liter flaske | $3$ | $20$ |
| 1,5 liter flaske | $3$ | $65$ |
b) Hvor mange kroner fikk Kari til sammen i pant?
I Norge bruker vi 750 millioner bæreposer av plast i året. Vi antar at hver slik pose er 0,05 millimeter tykk. Se for deg at vi stabler posene i høyden.
c) Hvor mange ganger så høyt som Galdhøpiggen (2 469 moh.) vil et slikt plasttårn bli?
---
## V2021 del 2 oppgave 3 — Ekstrem fattigdom og norsk bistand til Indonesia
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Valuta, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne om dollar til kroner, finne hele befolkningen når 5,7 % er 15,048 millioner, og andelen 279 av 34 100 millioner kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ekstrem-fattigdom-og-norsk-bistand-til-indonesia/
### Oppgavetekst
Mennesker som lever under fattigdomsgrensen på 1,90 dollar om dagen, regnes som ekstremt fattige.
a) Hva tilsvarer 1,90 dollar i norske kroner (NOK) når 1 dollar = 9,1245 NOK?
| Land | Ekstremt fattige i 2017 | Bistand fra Norge i 2017 |
|:----------|:--------------------------:|:------------------------:|
| Indonesia | 15,048 millioner mennesker | 279 millioner kroner |
I 2017 var 5,7 % av Indonesias befolkning ekstremt fattige.
b) Hvor mange innbyggere var det totalt i Indonesia?
I 2017 ga Norge totalt 34,1 milliarder kroner i bistand.
c) Hvor stor andel av bistanden gikk til Indonesia?
---
## V2021 del 2 oppgave 4 — Budsjett for kantina ved Grantoppen ungdomsskole
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Økonomi, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp regnearkformler for inntekt, utgifter på 65 % og overskudd, og sammenlikne overskuddet med 40 % utgifter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/budsjett-for-kantina-ved-grantoppen-ungdomsskole/
### Oppgavetekst
Elevbedriften som driver kantinen ved Grantoppen ungdomsskole, har bestemt at overskuddet fra driften skal gå til vennskapsskolen i Indonesia.
Overskuddet er inntektene fra salget av produktene de har på menyen, minus utgiftene de har når de kjøper inn og lager maten. Beregninger viser at utgiftene er 65 % av inntektene fra hvert produkt.
I regnearket nedenfor har elevene begynt å sette opp et budsjett. Alle beløpene er i norske kroner.
a) Lag og fullfør budsjettet i et regneark. Vis også hvilke formler du har brukt.
Elevbedriften har som mål å kutte utgiftene fra 65 % av inntektene til 40 % av inntektene.
b) Hvor mye mer vil vennskapsskolen i Indonesia motta hver måned dersom elevene når målet sitt?
---
## V2021 del 2 oppgave 5 — Billettpris for konserten til Sceneskrekk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omvendt proporsjonalitet, Graftolkning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til $P(x)=\frac{13000}{x}$ med graftegner, lese av ved $P=150$ og regne overskuddet ved 145 solgte billetter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/billettpris-for-konserten-til-sceneskrekk/
### Oppgavetekst
Bandet Sceneskrekk skal holde konsert. De har beregnet utgiftene knyttet til konserten til 13 000 kroner. Bandet ønsker å dekke utgiftene ved å selge billetter til konserten.
Dersom de selger $x$ billetter, blir prisen $P(x)$ kroner per billett
$$
P(x) = \frac{13000}{x}
$$
a) Bruk graftegner, og tegn grafen til funksjonen $P$ for $20 \leq x \leq 150$.
Bandet har gjort en vurdering og bestemmer seg for en billettpris på 150 kroner.
b) Bestem grafisk hvor mange billetter de må selge for å få dekket utgiftene.
Etter konserten fant bandet ut at de hadde solgt 145 billetter.
c) Hvor stort ble overskuddet?
---
## V2021 del 2 oppgave 6 — Vindmøllepark på én kvadratkilometer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Målestokk, Fart, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Måle avstander i en plantegning med målestokk mot kravet 360 m, og regne banefarten til en vingespiss med omkretsen $2\pi \cdot 60 \mathrm{~m}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vindmollepark-pa-en-kvadratkilometer/
### Oppgavetekst
Et energiselskap vurderer å bygge en vindmøllepark.
Parken dekker et kvadratisk område på $1 \mathrm{~km^2}$.
Lengden til en vindmøllevinge er 60 meter. Avstanden mellom to vindmølletårn må være minst seks ganger lengden av en vindmøllevinge.
Nedenfor ser du hvordan energiselskapet har tenkt å plassere vindmøllene.
a) Gjør beregninger, og avgjør om vindmølleparken kan bygges som vist ovenfor.
Nedenfor ser du et bilde av en vindmølle. Vindmøllen har tre vinger som er 60 meter lange.
b) Bestem farten til den ytterste delen av vindmøllevingene dersom en vindmølle roterer 20 ganger per minutt. Oppgi farten i km/h.
---
## V2021 del 2 oppgave 7 — Konstruksjon av rettvinklet trekant med innskrevet sirkel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en rettvinklet trekant med katetene 8,0 og 6,0, halvere vinklene og tegne den innskrevne sirkelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-rettvinklet-trekant-med-innskrevet-sirkel/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor er en skisse av en rettvinklet trekant med en innskrevet sirkel.
Halveringslinjene til vinklene A, B og C skjærer hverandre i sentrum av sirkelen.
Tegn (dynamisk geometriprogram) **eller** konstruer (passer, linjal og blyant) figuren ovenfor ved hjelp av oppgitte mål og verdier.
Dersom du bruker dynamisk geometriprogram, må du oppgi hvilke nødvendige kommandoer/framgangsmåter som er brukt.
---
## V2021 del 2 oppgave 8 — Herons formel og radius i den innskrevne sirkelen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Geometri, Formler, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sette inn i Herons formel og vise at trekanten delt i tre deltrekanter med høyde $r$ gir $r = \frac{2A}{a+b+c}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/herons-formel-og-radius-i-den-innskrevne-sirkelen/
### Oppgavetekst
Heron av Alexandria var en ingeniør som fant en formel for sammenhengen mellom arealet av en trekant og lengden av de tre sidene i trekanten.
Herons formel:
$$
A = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}
$$
der
$$
s = \frac{a+b+c}{2}
$$
a) Sett $a = 10 \mathrm{~m}$, $b = 8 \mathrm{~m}$, $c = 6 \mathrm{~m}$, og bruk Herons formel til å regne ut arealet $A$ av figuren ovenfor.
b) Ta utgangspunkt i figuren ovenfor, og vis at radius i den innskrevne sirkelen på figuren ovenfor kan uttrykkes som $r = \dfrac{2A}{a+b+c}$
---
## E2021 del 1 oppgave 1 — Kjøretid gjennom Helltunnelen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Fart, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut kjøretid fra strekning $4 \mathrm{~km}$ og fart $80 \mathrm{~km/h}$ og gjøre svaret om til minutter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjoretid-gjennom-helltunnelen/
### Oppgavetekst
Helltunnelen utenfor Trondheim er 4 km lang.
En bil kjører i 80 km/h gjennom tunnelen.
Hvor lang tid vil bilen bruke gjennom tunnelen?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $2 \mathrm{~min}$
> - [x] $3 \mathrm{~min}$
> - [ ] $5 \mathrm{~min}$
> - [ ] $20 \mathrm{~min}$
---
## E2021 del 1 oppgave 2 — Trekanter og firkanter i figur nr. 10
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre
- **Kort beskrivelse:** Finne antall trekanter og firkanter i figur nr. 10 ved å generalisere et figurmønster.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekanter-og-firkanter-i-figur-nr-10/
### Oppgavetekst
Bildet viser de tre første figurene i et mønster. Figurene er satt sammen av trekanter og firkanter.
Hvor mange trekanter og firkanter vil det være i figur nr. 10?
Trekanter:
Firkanter:
---
## E2021 del 1 oppgave 3 — Finne ukjent faktor ved å sammenligne produkter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Finne $x$ i $3 \cdot 24 \cdot 9 = 4 \cdot 9 \cdot x$ ved å sammenligne faktorene på hver side.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finne-ukjent-faktor-ved-a-sammenligne-produkter/
### Oppgavetekst
$$
3 \cdot 24 \cdot 9 = 4 \cdot 9 \cdot x
$$
Hvilket tall tilsvarer $x$?
---
## E2021 del 1 oppgave 4 — Tallpar som gir kvadratet av a pluss b lik 16
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Sette inn fire tallpar i $(a + b)^2 = 16$ og avgjøre hvilket som gjør likheten sann.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallpar-som-gir-kvadratet-av-a-pluss-b-lik-16/
### Oppgavetekst
Vi har uttrykket $(a + b)^2 = 16$.
Vurder om alternativene nedenfor gjør at uttrykket stemmer.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $a = 2$ og $b = 2$
> - [ ] $a = 4$ og $b = 4$
> - [ ] $a = 8$ og $b = 4$
> - [ ] $a = 8$ og $b = 8$
---
## E2021 del 1 oppgave 5 — Funksjonsuttrykk til Trines rette linje
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen hvilket av fire funksjonsuttrykk som gir en rett linje med skjæringspunkt $(0, 2)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsuttrykk-til-trines-rette-linje/
### Oppgavetekst
Trine beskriver grafen til en funksjon:
Grafen er en rett linje.
Grafen skjærer $y$-aksen i 2.
Hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor passer til Trines beskrivelse?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $y = x^2 + 2$
> - [ ] $y = 2x + 1$
> - [ ] $y = \frac{2}{x}$
> - [x] $y = x + 2$
---
## E2021 del 1 oppgave 6 — Arne fordeler penger likt med fem søsken
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Finne gjennomsnittet av seks beløp og regne ut hvor mye Arne må gi bort til hver av de fem søsknene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arne-fordeler-penger-likt-med-fem-sosken/
### Oppgavetekst
Arne har 120 kroner, mens de fem søsknene hans har 30 kroner hver.
Arne og søsknene skal fordele pengene slik at alle har like mye.
Hvor mange kroner må Arne gi til hver av søsknene sine?
---
## E2021 del 2 oppgave 1 — Vurdering av Olavs forkorting av brøkuttrykk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for om det er gyldig å stryke 2-tallene i $\frac{6x^2 + 2}{2}$ ledd for ledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vurdering-av-olavs-forkorting-av-brokuttrykk/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvordan Olav har forenklet uttrykket $\frac{6x^2 + 2}{2}$.
Argumenter for om framgangsmåten Olav har brukt for å forenkle er gyldig.
---
## E2021 del 2 oppgave 2 — Tegne de tre første figurene til n i andre pluss 1
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre
- **Kort beskrivelse:** Lage et figurmønster som passer til formelen $F_n = n^2 + 1$ for $n = 1, 2, 3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tegne-de-tre-forste-figurene-til-n-i-andre-pluss-1/
### Oppgavetekst
Formelen for figur $n$ i et mønster er: $F_n = n^2 + 1$
Lag de tre første figurene i dette mønsteret.
---
## E2021 del 2 oppgave 3 — Sammenligne brøker ved å finne felles teller
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Utvide $\frac{2}{3}$ og $\frac{5}{7}$ til felles teller og sammenligne nevnerne.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligne-broker-ved-a-finne-felles-teller/
### Oppgavetekst
En måte å sammenligne størrelsene til brøkene $\frac{2}{3}$ og $\frac{3}{5}$ på, er å finne felles nevner.
Vi utvider da begge brøkene slik at de får lik nevner, og ser at $\frac{10}{15}$ er større enn $\frac{9}{15}$.
En annen måte å sammenligne brøker på, er å finne felles teller.
Sammenlign størrelsene til brøkene $\frac{2}{3}$ og $\frac{5}{7}$ ved å finne felles teller.
---
## E2021 del 2 oppgave 4 — Tre tallpar som løser en faktorisert likning
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Finne tre tallpar $(a, b)$ som gjør at $(4 - a)(4 + b) = 8$ blir gyldig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-tallpar-som-loser-en-faktorisert-likning/
### Oppgavetekst
Vi har likningen $(4 - a)(4 + b) = 8$
Det finnes flere tallpar som gjør at denne likningen blir gyldig.
Gi eksempler på tre slike tallpar.
---
## E2021 del 2 oppgave 5 — Flytskjema som tester om en trekant er rettvinklet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Pytagoras, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Tolke et flytskjema som sjekker om $k_1^2 + k_2^2 = h^2$, og gi eksempler på output.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flytskjema-som-tester-om-en-trekant-er-rettvinklet/
### Oppgavetekst
Bildet viser en algoritme som kan programmeres.
Vurder og kommuniser hva algoritmen undersøker.
Gi eksempler på *output* når $h$, $k1$ og $k2$ får forskjellige verdier.
---
## E2021 del 2 oppgave 6 — Vekslingskurs mellom euro og norske kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Forklare stigningstallet $10{,}27$ og den frie variabelen $x$ i $y = 10{,}27x$ for veksling euro til kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekslingskurs-mellom-euro-og-norske-kroner/
### Oppgavetekst
Eirik har laget en graf som viser sammenhengen mellom euro og norske kroner.
Funksjonsuttrykket til grafen er $y = 10{,}27x$.
Gi en forklaring på funksjonsuttrykket, der du forklarer hva $10{,}27$ og hva $x$ betyr.
---
## E2021 del 2 oppgave 7 — Likningssett for 51 pantede plastflasker
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likningssettet $x + y = 51$ og $2x + 3y = 109$ for små og store pantflasker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssett-for-51-pantede-plastflasker/
### Oppgavetekst
Siden 2018 har pant på plastflasker vært 2 kr for små flasker og 3 kr for store flasker.
Ali har pantet flasker for 109 kr.
Til sammen pantet han 51 flasker.
Hvor mange små og store plastflasker pantet Ali?
Sett opp, forklar og løs et likningssett som beskriver den praktiske situasjonen.
---
## E2021 del 2 oppgave 8 — Avisgrafer om uføretrygdede og sykemeldinger fra 2015 til 2019
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Presentasjon av data, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere to linjediagrammer kritisk der y-aksen ikke starter i null og skalaen overdriver endringen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avisgrafer-om-uforetrygdede-og-sykemeldinger-fra-2015-til-2019/
### Oppgavetekst
De grafiske framstillingene ovenfor er hentet fra en artikkel i A-magasinet om antall uføretrygde og sykemeldinger i Norge.
Gi en kritisk vurdering av de grafiske framstillingene.
---
## E2021 del 2 oppgave 9 — Summer av påfølgende heltall og delelighet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Argumentasjon, Algebra, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Undersøke og generalisere algebraisk om summen av fem, seks og sju påfølgende heltall er delelig med antallet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/summer-av-pafolgende-heltall-og-delelighet/
### Oppgavetekst
I de to siste oppgavene vil du få presentert en situasjon eller en problemstilling som du selv må undersøke og utforske.
I disse oppgavene er det forventet at du:
- stiller relevante matematiske spørsmål som gjør at du får vist kompetansen din
- viser utregning og besvarer spørsmålene dine
- gjør kritiske vurderinger ut fra spørsmålene og beregningene dine
Vi anbefaler å bruke cirka 30 minutter på hver av disse oppgavene.
> **Info**
> Fakta
> Påfølgende heltall er heltall som kommer rett etter hverandre. For eksempel er 3, 4 og 5 tre påfølgende heltall.
Tre elever kommer med hver sin påstand:
> Summen av fem påfølgende heltall er alltid delelig med fem
> Summen av seks påfølgende heltall er aldri delelig med seks
> Summen av sju påfølgende heltall er noen ganger delelig med sju
Bruk påstandene ovenfor som et utgangspunkt for å vise din kompetanse i abstraksjon og generalisering.
---
## E2021 del 2 oppgave 10 — Annes kostnader ved kjøp og drift av moped
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Økonomi, Prosentvis endring, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Modellere samlede kostnader for førerkort, kjøp, forsikring, bensin og verditap på en moped over to år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annes-kostnader-ved-kjop-og-drift-av-moped/
### Oppgavetekst
Dette er en utforskende oppgave. Det er forventet at du stiller relevante matematiske spørsmål som gjør at du får vist kompetansen din, viser utregning og besvarer spørsmålene dine, og gjør kritiske vurderinger ut fra spørsmålene og beregningene dine. Vi anbefaler å bruke cirka 30 minutter på oppgaven.
Anne er 15 år, og ønsker å ta førerkort for moped.
Hun skal kjøpe moped når hun blir 16 år.
Hun planlegger å selge den når hun blir 18 år.
**Følgende er obligatorisk opplæring når du skal ta førerkort for moped:**
| Obligatorisk opplæring | Pris |
|:---------------------------------|-------:|
| Grunnkurs moped – 3 timer | 1000,- |
| Trinnvurdering trinn 2 | 700,- |
| Sikkerhetskurs trafikk – 4 timer | 2040,- |
| Trinnvurdering trinn 3 | 700,- |
| Sikkerhetskurs vei – 4 timer | 2040,- |
Samlet pris: All obligatorisk opplæring + 3 kjøretimer: kr. 8800,-
**Gebyr førerkort moped:**
| Gebyr | Pris |
|:-------------------------------|------:|
| Gebyr teoriprøve | 660,- |
| Gebyr utstedelse av førerkort | 310,- |
| Fakturagebyr | 65,- |
**Forsikring:**
| Dekning | Kasko 125 kr/md |
|:--------------------------------|:---------------:|
| Ansvar | x |
| Ulykke | x |
| Brann | x |
| Tyveri | x |
| Utstyr og bagasje | x |
| Veihjelp | x |
| Utforkjøring, kollisjon og velt | x |
Anne har funnet denne annonsen:
**Peugeot Speedfight 4 Pure**
Pris: 16 000 kr
Fire personer kommer med opplysninger:
> Anne har liten erfaring med moped, så hun trenger trolig flere kjøretimer.
> Verditapet til en ny moped er 25–30 % det første året, 20 % det andre året og så 10 % per år.
> Mopeden bruker ca. $\frac{1}{3} \mathrm{~L}$ bensin per mil.
> Anne bor 2 km fra skolen og fra fotballbanen.
> En liter bensin koster ca. 15 kr.
Bruk opplysningene ovenfor til å vise din kompetanse innen modellering og anvendelse.
---
## V2020 del 1 oppgave 1 — Pris på tre liter brus og sykkelfart
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Fart, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Skalere pris fra 5 dL til 3 L og regne om 10 000 m på 30 minutter til km/h.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-tre-liter-brus-og-sykkelfart/
### Oppgavetekst
Regn ut:
a) 5 dL brus koster 21 kr.
3 liter brus koster kr.
b) Ingrid sykler 10 000 m på 30 minutter.
Gjennomsnittsfarten til Ingrid er km/h.
---
## V2020 del 1 oppgave 2 — Brøk pluss desimaltall og potensuttrykk med rot 81
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Addere $\frac{1}{4}$ og $0{,}25$, og regne ut $\frac{(3^3+3)^2}{\sqrt{81}}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brok-pluss-desimaltall-og-potensuttrykk-med-rot-81/
### Oppgavetekst
Regn ut:
a) $\dfrac{1}{4} + 0{,}25 =$
b) $\dfrac{(3^3+3)^2}{\sqrt{81}} =$
---
## V2020 del 1 oppgave 3 — Minst verdi av fire tall med rot og pi
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne verdien til $5$, $\sqrt{12}$, $\frac{36}{9}$ og $2\pi$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minst-verdi-av-fire-tall-med-rot-og-pi/
### Oppgavetekst
Hvilket av tallene har lavest verdi?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $5$
> - [x] $\sqrt{12}$
> - [ ] $\dfrac{36}{9}$
> - [ ] $2\pi$
---
## V2020 del 1 oppgave 4 — Idrett blant 300 elever på Solstranda ungdomsskole
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Brøk, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Finne brøkdel og prosentdel av 300 elever, og forklare hvorfor andelene kan summere til over 100 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/idrett-blant-300-elever-pa-solstranda-ungdomsskole/
### Oppgavetekst
På Solstranda ungdomsskole er det 300 elever. De driver med mange ulike idretter.
- $\dfrac{2}{5}$ av elevene spiller fotball.
- 30 % av elevene spiller håndball.
- Halvparten av elevene spiller innebandy.
a) Hvor mange elever spiller fotball?
Svar: elever.
b) Hvor mange elever spiller håndball?
Svar: elever.
c) I opplysningene over kan det se ut som om 120 % av elevene driver med idrett. Det kan umulig stemme, men likevel er opplysningene riktige. Hva er årsaken til dette?
---
## V2020 del 1 oppgave 5 — Antall måter fire elever kan sitte på rad
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle antall ordninger av fire personer på fire plasser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-mater-fire-elever-kan-sitte-pa-rad/
### Oppgavetekst
Kajsa, Nora, Veni og Florine skal sitte på en rad med fire pulter ved siden av hverandre.
På hvor mange måter kan de sitte ved siden av hverandre?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $4$
> - [ ] $16$
> - [x] $24$
> - [ ] $256$
---
## V2020 del 1 oppgave 6 — Terningkast med 5 eller 6 øyne og sum 10 med to terninger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Finne sannsynlighet ved gunstige over mulige for ett terningkast og for sum 10 med to terninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningkast-med-5-eller-6-oyne-og-sum-10-med-to-terninger/
### Oppgavetekst
Lise kaster én terning.
a) Sannsynligheten for at Lise får 5 eller 6 øyne på terningen, er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\dfrac{1}{6}$
> - [x] $\dfrac{2}{6}$
> - [ ] $\dfrac{5}{6}$
> - [ ] $\dfrac{6}{6}$
Thomas kaster to terninger.
b) Sannsynligheten for at terningene til Thomas viser til sammen 10 øyne, er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\dfrac{1}{36}$
> - [ ] $\dfrac{2}{36}$
> - [x] $\dfrac{3}{36}$
> - [ ] $\dfrac{10}{36}$
---
## V2020 del 1 oppgave 7 — Kjørelengde på 24 minutter i 50 kilometer i timen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Fart, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne strekning av fart og tid når tiden er gitt i minutter og farten i km/h.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjorelengde-pa-24-minutter-i-50-kilometer-i-timen/
### Oppgavetekst
Camilla kjører med en jevn fart på 50 km/h.
Hvor langt kjører hun på 24 minutter?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 10 km
> - [x] 20 km
> - [ ] 24 km
> - [ ] 50 km
---
## V2020 del 1 oppgave 8 — Bestem x i to likninger med og uten brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Løse en førstegradslikning og en likning med brøkledd ved å multiplisere bort fellesnevneren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-x-i-to-likninger-med-og-uten-brok/
### Oppgavetekst
Bestem verdien til $x$.
a)
$$
3x + 2 = 5x - 4
$$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $x = -3$
> - [ ] $x = -2$
> - [ ] $x = 0$
> - [ ] $x = 2$
> - [x] $x = 3$
b)
$$
\dfrac{x+7}{5} - \dfrac{x}{4} = x - 7
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 9 — Sektordiagram over favoritt sosiale medier i Halden
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Prosentregning, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Lese prosentandeler av et sektordiagram, gjøre om til brøk og regne prosent av 2500.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-over-favoritt-sosiale-medier-i-halden/
### Oppgavetekst
Elevene på de tre ungdomsskolene i Halden svarte på en undersøkelse om hvilket SoMe som var favoritten deres. Resultatene kan du se i sektordiagrammet under. (SoMe = sosiale medier)
a) Hvor stor del av elevene svarte at Instagram var favoritten? Oppgi svaret som brøk.
Svar:
b) 2500 elever svarte på undersøkelsen. Hvor mange elever svarte at YouTube var favoritten deres?
Svar:
---
## V2020 del 1 oppgave 10 — Lengden av AC i rettvinklet trekant med 6,0 cm og 8,0 cm
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Bruke Pytagoras' setning til å finne hypotenusen når katetene er 6,0 cm og 8,0 cm.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lengden-av-ac-i-rettvinklet-trekant-med-6-0-cm-og-8-0-cm/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en rettvinklet trekant.
Bestem lengden til $AC$.
---
## V2020 del 1 oppgave 11 — Blandingsforhold mellom saft og vann i saftis
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Forkorte forholdet mellom 2 dL saft og 6 dL vann.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/blandingsforhold-mellom-saft-og-vann-i-saftis/
### Oppgavetekst
Qusay lager saftis. Han bruker to desiliter saft og seks desiliter vann.
Hva blir blandingsforholdet mellom saft og vann i saftisene til Qusay?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $1:2$
> - [x] $1:3$
> - [ ] $1:6$
> - [ ] $2:4$
---
## V2020 del 1 oppgave 12 — Forenkle a(a+3) og brøken med x kvadrat minus 9
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere ut $a(a+3)-a^2$ og forkorte $\frac{x^2-9}{x+3}$ med konjugatsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-a-a-3-og-broken-med-x-kvadrat-minus-9/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
a)
$$
a(a+3) - a^2
$$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $5a - a^2$
> - [ ] $2a + 3 - a^2$
> - [ ] $3a - a^2$
> - [x] $3a$
b)
$$
\dfrac{x^2-9}{x+3}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 13 — Vinkel x i likebeint trekant med 38 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vinkler, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke vinkelsummen i en trekant og at en likebeint trekant har to like vinkler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-x-i-likebeint-trekant-med-38-grader/
### Oppgavetekst
Hvor stor er vinkel $x$ i den likebeinte trekanten?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $38\degree$
> - [x] $71\degree$
> - [ ] $91\degree$
> - [ ] $109\degree$
---
## V2020 del 1 oppgave 14 — Formuen til Jeff Bezos på standardform
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Skrive 156 000 000 000 på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formuen-til-jeff-bezos-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Jeff Bezos, verdens rikeste mann, er grunnleggeren av Amazon.com. I august 2018 hadde han en formue på 156 000 000 000 dollar.
Hvilket alternativ viser formuen på standardform?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $156 \cdot 10^{8}$ dollar
> - [ ] $1{,}56 \cdot 10^{12}$ dollar
> - [x] $1{,}56 \cdot 10^{11}$ dollar
> - [ ] $15{,}6 \cdot 10^{-12}$ dollar
---
## V2020 del 1 oppgave 15 — Gjennomsnitt av ti målte februartemperaturer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Negative tall, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Summere ti temperaturer med negative verdier og dele på antallet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-av-ti-malte-februartemperaturer/
### Oppgavetekst
Anders målte utetemperaturen 10 dager i februar.
Temperaturene ser du i tabellen nedenfor.
| Dato | Temperatur |
|:------|:---------------------:|
| 01.02 | $-8 \, \degree\mathrm{C}$ |
| 02.02 | $-2 \, \degree\mathrm{C}$ |
| 03.02 | $4 \, \degree\mathrm{C}$ |
| 04.02 | $8 \, \degree\mathrm{C}$ |
| 05.02 | $3 \, \degree\mathrm{C}$ |
| 06.02 | $0 \, \degree\mathrm{C}$ |
| 07.02 | $-2 \, \degree\mathrm{C}$ |
| 08.02 | $3 \, \degree\mathrm{C}$ |
| 09.02 | $6 \, \degree\mathrm{C}$ |
| 10.02 | $-2 \, \degree\mathrm{C}$ |
Bestem gjennomsnittet av de målte temperaturene.
---
## V2020 del 1 oppgave 16 — Pris på genser og sko fra to bildelikninger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse et likningssystem med to ukjente som er gitt som to bildelikninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-genser-og-sko-fra-to-bildelikninger/
### Oppgavetekst
En genser koster kr.
---
## V2020 del 1 oppgave 17 — Graf for vekten til et barn det første leveåret
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Lese konstantledd og stigningstall av en rett linje og sette opp funksjonsuttrykket.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/graf-for-vekten-til-et-barn-det-forste-levearet/
### Oppgavetekst
I diagrammet nedenfor ser du en graf som beskriver vekt i kilogram hos et barn i perioden fra 0 til 12 måneder.
a) Hvor mye veier barnet ved fødselen (0 måneder)? kg.
b) Hvor mye øker vekten per måned det første leveåret? kg.
c) Lag et funksjonsuttrykk for grafen. $f(x) =$
---
## V2020 del 1 oppgave 18 — Forholdet mellom volumet av terning og innskrevet kule
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Kule, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Sette $s = 2r$ i volumformlene og vise at forholdet mellom terning og kule er $\frac{6}{\pi}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forholdet-mellom-volumet-av-terning-og-innskrevet-kule/
### Oppgavetekst
En kule ligger i en terningformet boks. Kula tangerer alle veggene i boksen.
$$
V_{\text{terning}} = s^3 \qquad V_{\text{kule}} = \frac{4\pi r^3}{3}
$$
Vis at forholdet mellom volumet av boksen og volumet av kula er $\dfrac{6}{\pi}$.
---
## V2020 del 1 oppgave 19 — Veksle 350 euro til norske kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere 350 euro med vekslingskursen 9,90 kroner per euro.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/veksle-350-euro-til-norske-kroner/
### Oppgavetekst
Ole skal veksle norske kroner i euro. Han skal ha 350 euro.
1 euro = 9,90 kroner.
Hvor mange norske kroner trenger Ole?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 3 535 NOK
> - [ ] 35,35 NOK
> - [x] 3 465 NOK
> - [ ] 346,5 NOK
---
## V2020 del 1 oppgave 20 — Fyrstikktrekanter i mønster med figur n
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Finne antall fyrstikker i figur 6 og sette opp et generelt uttrykk for figur $n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fyrstikktrekanter-i-monster-med-figur-n/
### Oppgavetekst
Benedikte har laget disse tre figurene av fyrstikker:
Benedikte vil lage flere figurer etter samme mønster som figurene ovenfor.
a) Hvor mange fyrstikker trenger hun for å lage figur 6?
Figur 6: fyrstikker
b) Lag et uttrykk som forteller hvor mange fyrstikker hun trenger for å lage figur $n$.
---
## V2020 del 2 oppgave 1 — Innbyggertall i Europas fem største byer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Spredningsmål, Prosentvis endring, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage stolpediagram av en tabell, finne variasjonsbredde og regne prosentvis forskjell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innbyggertall-i-europas-fem-storste-byer/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser Europas fem største byer sortert etter innbyggertall.
| Navn på by | Innbyggertall |
|:-----------|--------------:|
| Moskva | 12 049 000 |
| Paris | 10 734 000 |
| London | 8 661 000 |
| Madrid | 6 221 000 |
| Barcelona | 5 277 000 |
a) Lag et stolpediagram som viser innbyggertallet i de fem byene.
b) Bestem variasjonsbredden for innbyggertallet i de fem byene.
c) Hvor mange prosent større er innbyggertallet i Moskva enn i Madrid?
---
## V2020 del 2 oppgave 2 — London Eye og Englands flagg
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Sirkel, Areal og omkrets, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Regne billettpris med valutakurs, finne diameter av omkrets og finne areal av flagg ut fra sideforhold.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/london-eye-og-englands-flagg/
### Oppgavetekst
London Eye er et pariserhjul.
Prisoversikt billetter til London Eye:
| Billett | Pris |
|:--------------------|:-----|
| Voksne (over 16 år) | £ 27 |
| Barn | £ 22 |
£ 1 (pund) koster $\approx 13$ NOK (norske kroner)
Fay og Fiona er over 16 år. Nazdar er 15 år, og Alessandro er 14 år.
a) Hvor mye må de fire til sammen betale for billettene? Oppgi svaret i norske kroner.
På én time går pariserhjulet to ganger rundt. Farten på hjulet er 750 meter per time.
b) Regn ut diameteren til pariserhjulet.
Englands flagg har form som et rektangel. Forholdet mellom lengde og høyde er $5:3$.
Flagget har et rødt kors. Bredden på de røde stripene i korset er $\dfrac{1}{5}$ av høyden til flagget.
c) Et flagg har røde striper som er 0,9 meter brede. Regn ut arealet av flagget.
---
## V2020 del 2 oppgave 3 — Eva og Peter padler til en øy
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Fart, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Lese avstand og tid av et tid–avstand-diagram og sammenligne gjennomsnittsfart for to personer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eva-og-peter-padler-til-en-oy/
### Oppgavetekst
Eva og Peter padler fra roklubben til en øy. Der går de i land sammen og tar en pause før de padler tilbake.
Diagrammet nedenfor viser sammenhengen mellom tid og avstand fra roklubben.
a) Hvor mange kilometer padlet de denne dagen?
b) Eva og Peter kom tilbake til roklubben klokken 14.40. Hva var klokken da de startet fra roklubben?
c) Sammenlign gjennomsnittshastigheten til Eva med gjennomsnittshastigheten til Peter etter pausen. Hva finner du ut?
---
## V2020 del 2 oppgave 4 — Handel på Bondens marked
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Likninger, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Summere priser fra en varetabell og løse en likning for antall blomkål ved et gitt totalbeløp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/handel-pa-bondens-marked/
### Oppgavetekst
På «Bondens marked» selger bonden varer direkte til kundene.
| Vare | Pris |
|:-----------------------------|--------------:|
| Poteter i løs vekt (1 kg) | 10,00 kroner |
| Poteter i sekk (5 kg) | 45,00 kroner |
| Blomkål (per stykk) | 12,50 kroner |
| Gulrøtter i løs vekt (1 kg) | 12,00 kroner |
| Gulrøtter i sekk (10 kg) | 90,00 kroner |
| Gårdsegg (1 brett med 20 egg)| 40,00 kroner |
Miryam kjøper 2,5 kg poteter i løs vekt, tre blomkåler og to brett med egg.
a) Hvor mye må Miryam betale til sammen for varene?
Mikael kjøpte tre brett med egg og noen blomkåler. Han betalte 195 kroner.
b) Hvor mange blomkåler kjøpte Mikael?
---
## V2020 del 2 oppgave 5 — Kvadrat med innskrevet sirkel og farget område
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Sirkel, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Konstruere kvadrat med innskrevet sirkel og finne arealet mellom kvadratet og sirkelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadrat-med-innskrevet-sirkel-og-farget-omrade/
### Oppgavetekst
a) Tegn eller konstruer figuren nedenfor.
b) Bestem arealet av kvadratet $ABCD$.
c) Bestem arealet av det fargede området.
---
## V2020 del 2 oppgave 6 — Regneark for salg av kjeks og snacks
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp formler for inntekt, sum og fortjeneste på 65 % i et regneark.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regneark-for-salg-av-kjeks-og-snacks/
### Oppgavetekst
Elevrådet ved Grantoppen ungdomsskole har bestemt at elevene skal selge kjeks, karameller, knekkebrød og drops.
Fortjenesten er 65 % av den totale inntekten.
Nedenfor ser du prisen på hvert produkt.
<table class="grid">
<tr><th>Produkt</th><th></th><th>Pris i kroner</th></tr>
<tr><td rowspan="2">Sjokoladekjeks</td><td>Liten</td><td>40</td></tr>
<tr><td>Stor</td><td>60</td></tr>
<tr><td rowspan="2">Karameller</td><td>Liten</td><td>40</td></tr>
<tr><td>Stor</td><td>60</td></tr>
<tr><td rowspan="2">Knekkebrød</td><td>Liten</td><td>30</td></tr>
<tr><td>Stor</td><td>50</td></tr>
<tr><td>Drops</td><td></td><td>60</td></tr>
</table>
Fyll inn prisene, og fullfør regnearket nedenfor.
---
## V2020 del 2 oppgave 7 — Inntekt og kostnad ved salg av mobildeksler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftegning, Andregradsfunksjon, Lineære funksjoner, Overskudd
- **Kort beskrivelse:** Tegne inntektsfunksjonen $i(x)=200x$ og kostnadsfunksjonen $k(x)=0{,}2x^2+32x+5000$ og finne når inntekten er størst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/inntekt-og-kostnad-ved-salg-av-mobildeksler/
### Oppgavetekst
En nettbutikk selger mobildeksler. Inntekten er gitt ved funksjonsuttrykket
$$
i(x) = 200x
$$
der $x$ er antall solgte mobildeksler og $i(x)$ er inntekt i kroner.
a) Hva er prisen per deksel?
b) Tegn grafen for $0 \leq x \leq 1000$.
Kostnaden for å produsere dekslene er gitt ved funksjonsuttrykket
$$
k(x) = 0{,}2x^2 + 32x + 5000
$$
c) Tegn grafen $k(x)$ i samme koordinatsystem og med samme definisjonsområde som $i(x)$, slik som vist på bildet nedenfor.
d) Når går nettbutikken med overskudd?
---
## V2020 del 2 oppgave 8 — Vis at h er lik summen av normalene i likesidet trekant
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Geometri, Areal og omkrets, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise Vivianis setning ved å dele den likesidete trekanten i tre trekanter og sammenligne arealene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-h-er-lik-summen-av-normalene-i-likesidet-trekant/
### Oppgavetekst
En likesidet trekant har høyden $h$ og sidene $s$.
Punktet P ligger inne i trekanten. Vi nedfeller normalene $a$, $b$ og $c$ fra P til hver av sidene i trekanten.
Bruk informasjonen, og vis at $h = a + b + c$.
---
## V2019 del 1 oppgave 1 — Melk til vafler og lengden på en Netflix-episode
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Måleenheter, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Doble en oppskriftsmengde og gjøre om dL til L, og regne gjennomsnittlig episodelengde i minutter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/melk-til-vafler-og-lengden-pa-en-netflix-episode/
### Oppgavetekst
Nicolai skal lage vafler.
I oppskriften står det at han trenger 6 dL melk til 4 personer.
a) Nicolai trenger L melk til 8 personer.
Seks episoder av en serie på Netflix varer i til sammen fem timer.
b) I gjennomsnitt varer en episode i min.
---
## V2019 del 1 oppgave 2 — Brøk pluss desimaltall og potensuttrykk delt på kvadratrot
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Brøk, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Addere brøk og desimaltall, og regne ut et potensuttrykk delt på en kvadratrot.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brok-pluss-desimaltall-og-potensuttrykk-delt-pa-kvadratrot/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $\dfrac{1}{5} + 0{,}8 =$
b) $\dfrac{(2^3 + 2)^2}{\sqrt{100}} =$
---
## V2019 del 1 oppgave 3 — Hvem har primtallsfaktorisert 84 riktig
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Primtallsfaktorisering, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen riktig primtallsfaktorisering av 84 blant fire alternativer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hvem-har-primtallsfaktorisert-84-riktig/
### Oppgavetekst
Anne, Birger, Camilla og Daniel skulle primtallsfaktorisere tallet 84.
Hvem av dem har gjort dette på riktig måte?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] Anne: $0 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$
> - [x] Birger: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$
> - [ ] Camilla: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$
> - [ ] Daniel: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
---
## V2019 del 1 oppgave 4 — Grønne, røde og gule epler i en kasse med 60 epler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne 20 % av 60 og finne resterende andel når 20 % og 7/12 er tatt bort.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gronne-rode-og-gule-epler-i-en-kasse-med-60-epler/
### Oppgavetekst
I en kasse ligger det 60 epler.
- 20 % av eplene er grønne.
- $\dfrac{7}{12}$ av eplene er røde.
- Resten av eplene er gule.
a) Hvor mange grønne epler ligger det i kassen?
Svar: epler
b) Hvor stor del av eplene er gule?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $\dfrac{13}{60}$
> - [ ] $\dfrac{5}{12}$
> - [ ] $\dfrac{1}{4}$
> - [ ] $\dfrac{1}{3}$
---
## V2019 del 1 oppgave 5 — Registreringsnummer med bokstavene EK
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Multiplikasjonsprinsippet for fem siffer der det første ikke kan være 0.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/registreringsnummer-med-bokstavene-ek/
### Oppgavetekst
Norske biler har registreringsnummer som består av to bokstaver og fem siffer.
Se eksempelet nedenfor. Det første av de fem sifrene kan ikke være 0.
Hvor mange norske biler kan ha registreringsnummer med bokstavene EK?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $0 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
> - [x] $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
> - [ ] $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
> - [ ] $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$
---
## V2019 del 1 oppgave 6 — Sannsynlighet for rødt og to gule på lykkehjulet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Uniform sannsynlighet på et lykkehjul med åtte felt, og produktsetningen for to uavhengige trekninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-rodt-og-to-gule-pa-lykkehjulet/
### Oppgavetekst
Et lykkehjul har 8 like store felt
- 2 røde
- 2 gule
- 2 blå
- 2 hvite
a) Bestem sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på et rødt felt.
Svar:
b) Bestem sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på et gult felt to ganger på rad.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\dfrac{2}{56}$
> - [ ] $\dfrac{4}{32}$
> - [ ] $\dfrac{4}{16}$
> - [x] $\dfrac{4}{64}$
---
## V2019 del 1 oppgave 7 — Avstanden fra jorda til sola på standardform
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Skrive 150 000 000 på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstanden-fra-jorda-til-sola-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Avstanden fra jorda til sola er omtrent 150 000 000 km.
Hvordan skriver vi denne avstanden på standardform?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $1{,}5 \cdot 10^8 \mathrm{~km}$
> - [ ] $150 \cdot 10^8 \mathrm{~km}$
> - [ ] $1{,}5 \cdot 10^6 \mathrm{~km}$
> - [ ] $15 \cdot 10^6 \mathrm{~km}$
---
## V2019 del 1 oppgave 8 — Deltakelse i fritidsorganisasjon på ungdomstrinnet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Prosentregning, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Tolke prosentandeler i et ringdiagram som brøk, og regne 21 % av 40 000.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deltakelse-i-fritidsorganisasjon-pa-ungdomstrinnet/
### Oppgavetekst
I en undersøkelse ble elever på ungdomstrinnet spurt om de er med i en fritids-
organisasjon nå, eller om de har vært med tidligere. Diagrammet nedenfor viser den
prosentvise fordelingen av svarene.
a) Omtrent hvor stor del av elevene er med i en fritidsorganisasjon nå?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\dfrac{3}{25}$
> - [ ] $\dfrac{2}{5}$
> - [ ] $\dfrac{3}{4}$
> - [x] $\dfrac{2}{3}$
b) 40 000 elever deltok i undersøkelsen.
Hvor mange elever sier at de ikke er med nå, men at de har vært med i en
fritidsorganisasjon tidligere?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 4 800
> - [x] 8 400
> - [ ] 13 200
> - [ ] 31 600
---
## V2019 del 1 oppgave 9 — Kjørelengde på 12 minutter i 40 km per time
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Fart, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne strekning av fart og tid når tida er gitt i minutter og farten i km/h.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjorelengde-pa-12-minutter-i-40-km-per-time/
### Oppgavetekst
Cecilie kjører med en jevn fart på 40 km/h.
Hvor langt kjører hun på 12 min?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] 8 km
> - [ ] 12 km
> - [ ] 20 km
> - [ ] 40 km
---
## V2019 del 1 oppgave 10 — Pris på bukse etter 30 prosent rabatt
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne ny pris etter 30 % rabatt med vekstfaktoren 0,7.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-bukse-etter-30-prosent-rabatt/
### Oppgavetekst
Adrian skal kjøpe ei bukse som før kostet 700 kroner. Han får 30 % i rabatt.
Hvor mye må Adrian betale for buksa?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 210 kroner
> - [ ] 400 kroner
> - [x] 490 kroner
> - [ ] 670 kroner
---
## V2019 del 1 oppgave 11 — Volum av kube, areal av kvadrat og forenkling
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Volum, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Volumformel for kube, andre kvadratsetning for $(a-3)^2$ og forkorting av en brøk ved faktorisering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-kube-areal-av-kvadrat-og-forenkling/
### Oppgavetekst
En kube (terning) har side $x$.
a) Volumet av kuben (terningen) kan uttrykkes som
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $12x$
> - [ ] $3x$
> - [ ] $6x^2$
> - [x] $x^3$
Et kvadrat har side $(a - 3)$.
b) Arealet av kvadratet kan uttrykkes som
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $a^2 - 6a + 9$
> - [ ] $a^2 - 6a - 9$
> - [ ] $a^2 - 9$
> - [ ] $a^2 + 9$
c) Skriv dette uttrykket så enkelt som mulig
$\dfrac{a^2 - 6a + 9}{a - 3} =$
---
## V2019 del 1 oppgave 12 — Glorias betaling for barnepass på lørdager
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Tolke et fastbeløp og en timelønn som en lineær funksjon, og lese av grafen ved $x = 6$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/glorias-betaling-for-barnepass-pa-lordager/
### Oppgavetekst
Gloria passer barna til naboen på lørdager. Hun får 80 kroner
for å møte opp. I tillegg får hun en timelønn på 50 kroner.
En lørdag fikk Gloria til sammen 180 kroner.
a) Hvor mange timer passet hun barna denne lørdagen?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 1 time
> - [x] 2 timer
> - [ ] 3 timer
> - [ ] 4 timer
b) En lineær funksjon som viser sammenhengen mellom hvor lenge Gloria passer barna
($x$ timer), og hvor mye hun får betalt ($y$ kroner), kan uttrykkes som
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $y = 50x$
> - [ ] $y = 80x$
> - [ ] $y = 2x + 80$
> - [x] $y = 50x + 80$
c) Bruk grafen nedenfor til å bestemme hvor mye Gloria får betalt til sammen en lørdag
når hun passer barna i 6 timer.
Svar: kroner
---
## V2019 del 1 oppgave 13 — Pris på iskrem og pinneis ut fra to bildelikninger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Løse et likningssystem med to ukjente som er framstilt med bilder av is.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-iskrem-og-pinneis-ut-fra-to-bildelikninger/
### Oppgavetekst
Prisen for **ett iskremkremmerhus** er kroner.
---
## V2019 del 1 oppgave 14 — Pris per kilogram for smågodt
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Måleenheter, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig regneoperasjon for å finne kilopris ut fra pris for 0,25 kg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-per-kilogram-for-smagodt/
### Oppgavetekst
0,25 kg smågodt koster 35 kroner.
Hvordan regner vi ut prisen per kilogram?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\dfrac{0{,}25 \mathrm{~kg}}{35 \mathrm{~kroner}}$
> - [ ] $0{,}25 \mathrm{~kg} \cdot 35 \mathrm{~kroner}$
> - [ ] $0{,}25 \mathrm{~kg} - 35 \mathrm{~kroner}$
> - [x] $\dfrac{35 \mathrm{~kroner}}{0{,}25 \mathrm{~kg}}$
---
## V2019 del 1 oppgave 15 — Vinkel i en femkantstjerne av regulær femkant og trekanter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Vinkler, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke vinkelsummen i en regulær femkant til å regne ut en nabovinkel i stjernefiguren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-i-en-femkantstjerne-av-regulaer-femkant-og-trekanter/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor er satt sammen av en regulær femkant og fem kongruente trekanter.
Bestem ved regning hvor mange grader $\angle v$ er.
---
## V2019 del 1 oppgave 16 — Areal av sirkel B når diameteren i A er radius i B
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Areal og omkrets, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Se at dobbelt radius gir fire ganger så stort sirkelareal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-sirkel-b-nar-diameteren-i-a-er-radius-i-b/
### Oppgavetekst
Diameteren til sirkel $A$ er lik radiusen til sirkel $B$.
Hva kan vi si om arealet til sirkel $B$ sammenliknet med arealet til sirkel $A$?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] Det er dobbelt så stort.
> - [ ] Det er tre ganger så stort.
> - [x] Det er fire ganger så stort.
> - [ ] Det er større, men vi kan ikke bestemme nøyaktig hvor mye større.
---
## V2019 del 1 oppgave 17 — Førstegradslikninger med flervalg og brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse to førstegradslikninger med x på begge sider, den ene med parentes og brøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forstegradslikninger-med-flervalg-og-brok/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
9x - 13 = 6x + 2
$$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $x = 4$
> - [x] $x = 5$
> - [ ] $x = 6$
> - [ ] $x = 7$
b)
$$
2(x - 1) = 1 + \dfrac{x}{2}
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 18 — Saft og vann i forholdet én til tre i 12 dL saftis
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Dele 12 dL i forholdet 1 : 3 og finne mengden saft.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/saft-og-vann-i-forholdet-en-til-tre-i-12-dl-saftis/
### Oppgavetekst
Ane lager saftis. Hun bruker *en* del saft og *tre* deler vann.
Hvor mye saft bruker hun til en blanding på til sammen 12 dL?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] 3 dL
> - [ ] 4 dL
> - [ ] 6 dL
> - [ ] 8 dL
---
## V2019 del 1 oppgave 19 — Korteste side i trekanten mellom kvadratene 64 og 100
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bruke Pytagoras i kvadratform: kateten er $\sqrt{100 - 64}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/korteste-side-i-trekanten-mellom-kvadratene-64-og-100/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser en rettvinklet trekant og tre kvadrater. Arealene av de to største
kvadratene er $64 \mathrm{~cm^2}$ og $100 \mathrm{~cm^2}$.
Bestem lengden av den korteste siden i trekanten.
---
## V2019 del 1 oppgave 20 — Vis at kula har samme volum som to kjegler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Kule, Bevis, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sette $h = 2r$ inn i kjegleformelen og vise at to kjegler til sammen gir $\frac{4}{3}\pi r^3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-kula-har-samme-volum-som-to-kjegler/
### Oppgavetekst
En kule har diameter lik $2r$. To kjegler har begge høyde $h$ lik $2r$.
Bruk formlene nedenfor, og vis at volumet til kulen er like stort som volumet av de to
kjeglene til sammen.
$$
V_{\text{Kule}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \qquad V_{\text{Kjegle}} = \frac{\pi r^2 h}{3} \qquad V_{\text{Kjegle}} = \frac{\pi r^2 h}{3}
$$
---
## V2019 del 2 oppgave 1 — Verdens fem største land etter areal
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Diagram, Spredningsmål, Prosentregning, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage stolpediagram av fem arealtall, finne variasjonsbredden og regne prosentvis forskjell mellom to tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdens-fem-storste-land-etter-areal/
### Oppgavetekst
Table: Verdens fem største land sortert etter areal {#tbl:10-v19-2-1-tabell-1}
| Land | Areal ($\mathrm{km^2}$) |
|:---------|---------------------------:|
| Russland | 17 098 240 |
| Canada | 9 984 670 |
| USA | 9 831 510 |
| Kina | 9 562 911 |
| Brasil | 8 515 770 |
a) Lag et stolpediagram som viser hvor stort areal hvert av de fem landene har.
b) Bestem variasjonsbredden for arealene til de fem landene.
c) Hvor mange prosent større er arealet av Russland enn arealet av Brasil?
---
## V2019 del 2 oppgave 2 — Marens flytur fra Oslo til New York via København
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Måleenheter, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Lese av strekning og vannrett parti på en strekning–tid-graf, og regne klokkeslett mellom tidssonene +1 og −5.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/marens-flytur-fra-oslo-til-new-york-via-kobenhavn/
### Oppgavetekst
Maren reiste med fly fra Oslo til New York. Hun mellomlandet i København.
Diagrammet nedenfor viser en grafisk fremstilling av turen hennes.
a) Omtrent hvor lang var hele flyturen fra Oslo til New York? Gi svaret i kilometer.
b) Hvor lenge var Maren i København?
Maren startet i Oslo klokka 06.00 og reiste i totalt 12 timer og 55 minutter.
c) Bruk kartet nedenfor til å avgjøre hva klokka var i New York da hun landet.
---
## V2019 del 2 oppgave 3 — London Eye, gjennomsnittsfart og Englands flagg
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Fart, Sammensatte måleenheter, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne billettpris med valutakurs, gjøre om 377 m per 30 min til km/h, og bruke forholdet 5 : 3 til å finne stripebredden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/london-eye-gjennomsnittsfart-og-englands-flagg/
### Oppgavetekst
London Eye er et pariserhjul.
| Billett | Pris |
|:--------------------|:-----|
| Voksne (over 16 år) | £ 27 |
| Barn | £ 22 |
1 £ (pund) $\approx$ 11 NOK (norske kroner)
Kari og Trude er over 16 år, mens Tomas er 14 år.
a) Hvor mye må de tre til sammen betale for billettene? Gi svaret i norske kroner.
Pariserhjulet har en omkrets på omtrent 377 m. En vogn bruker 30 min på en hel runde.
b) Bestem gjennomsnittsfarten til vognen. Gi svaret i kilometer per time (km/h).
Englands flagg har form som et rektangel. Forholdet mellom lengde og høyde er 5 : 3.
Flagget har et rødt kors. Bredden til de røde stripene i korset er $\dfrac{1}{5}$ av flaggets høyde.
c) Et flagg har en lengde på $7{,}5 \mathrm{~m}$. Hvor stor er bredden på de røde stripene?
---
## V2019 del 2 oppgave 4 — Thereses budsjett for ferietur til Tokyo
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Økonomi, Formler
- **Kort beskrivelse:** Sette opp et budsjett i regneark med formler for daglige utgifter og summer, og finne antall ekstra arbeidstimer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/thereses-budsjett-for-ferietur-til-tokyo/
### Oppgavetekst
Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark.
Therese lager et budsjett for en ferietur til Tokyo i høstferien. Ferieturen skal vare i 7 dager.
a) Lag og fullfør Therese sitt budsjett som er vist nedenfor.
Vis også hvilke formler du har brukt. Alle beløp er gitt i norske kroner.
b) Hvor mange flere timer må Therese jobbe i sommer for å få råd til å reise til Tokyo?
---
## V2019 del 2 oppgave 5 — Inntekt og kostnad for produksjon av T-skjorter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftegning, Lineære funksjoner, Andregradsfunksjon, Skjæringspunkt, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Tegne en lineær inntektsfunksjon og en andregrads kostnadsfunksjon i samme koordinatsystem og lese av hvor inntekten er størst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/inntekt-og-kostnad-for-produksjon-av-t-skjorter/
### Oppgavetekst
Denne oppgaven skal løses ved hjelp av digital graftegner.
En bedrift lager og selger inntil 2000 T-skjorter hver dag.
Dersom bedriften lager og selger $x$ T-skjorter, er inntektene $I(x)$ kroner, der
$$
I(x) = 60x
$$
a) Hva er prisen for en T-skjorte?
b) Tegn grafen til funksjonen $I$ for $0 \le x \le 2000$.
Kostnadene $K(x)$ kroner for å lage T-skjortene er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}02x^2 + 31x + 5000
$$
c) Tegn grafen til funksjonen $K$ for $0 \le x \le 2000$ i samme koordinatsystem som du
brukte i oppgave b).
d) Hvor mange T-skjorter må bedriften lage og selge en dag for at inntektene skal være
høyere enn kostnadene?
---
## V2019 del 2 oppgave 6 — Månens runder rundt jorda og omkretsen av banen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Tallregning, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Dele 365 på 29,5 og runde ned, og sette to store tall inn i en oppgitt omkretsformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/manens-runder-rundt-jorda-og-omkretsen-av-banen/
### Oppgavetekst
Månen bruker ca. 29,5 døgn på én runde rundt jorda. Et år regnes som 365 døgn.
a) Bestem hvor mange hele runder månen går rundt jorda i løpet av et år.
Månens bane rundt jorda danner en ellipse. Se figuren nedenfor.
Avstandene $a$ og $b$ er månens lengste og korteste avstand fra månen til jorda
målt i kilometer.
Vi kan bestemme omkretsen $O$ av månens bane ved å bruke formelen
$$
O = 2\pi \cdot \sqrt{0{,}5 \cdot (a^2 + b^2)}
$$
b) Bruk formelen ovenfor til å bestemme omkretsen $O$ av månens bane når
$a = 405\,000$ og $b = 363\,000$.
---
## V2019 del 2 oppgave 7 — Konstruksjon av likesidet trekant med innskrevet og omskrevet sirkel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en likesidet trekant med 60-graders vinkel og tegne innskrevet og omskrevet sirkel ut fra halveringslinjene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-likesidet-trekant-med-innskrevet-og-omskrevet-sirkel/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser en likesidet trekant $ABC$ med en innskrevet og en omskrevet sirkel
med sentrum i $S$. $SP$ er radius i den innskrevne sirkelen.
Konstruer eller tegn figuren. Du *kan* bruke en av framgangsmåtene nedenfor. Dersom du
bruker dynamisk geometriprogram, må du oppgi hvilke nødvendige kommandoer/
framgangsmåter som er brukt.
**Passer, linjal og blyant (konstruksjon):**
- Avsett $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$
- Konstruer $\angle A = 60\degree$
- Avsett $AC = 10{,}0 \mathrm{~cm}$
- Trekk $BC$
- Halver $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ og bestem skjæringspunktet $S$ mellom halveringslinjene
- Slå en sirkel med sentrum i $S$ gjennom $A$, $B$ og $C$
- Konstruer en normal på $AB$ gjennom $S$, normalen skjærer $AB$ i punktet $P$
- Slå en sirkel med sentrum i $S$ og radius $SP$
**Dynamisk geometriprogram (tegning):**
- Avsett $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$
- Lag en likesidet $\triangle ABC$
- Lag en sirkel gjennom $A$, $B$ og $C$
- Bestem sentrum $S$ i sirkelen
- Lag en normal på $AB$ gjennom $S$, normalen skjærer $AB$ i punktet $P$
- Lag en sirkel med sentrum i $S$ og radius $SP$
---
## V2019 del 2 oppgave 8 — Jordas omkrets ved ekvator og høyden til tre satellitter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Måleenheter, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om miles til km, finne radien av omkretsformelen, og bruke at omskrevet radius er dobbelt så stor som innskrevet i en likesidet trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jordas-omkrets-ved-ekvator-og-hoyden-til-tre-satellitter/
### Oppgavetekst
Omkretsen av jorda ved ekvator er $24\,901{,}5$ miles. $1 \mathrm{~mile} \approx 1{,}60934 \mathrm{~km}$.
a) Vis at omkretsen av jorda ved ekvator er omtrent $40\,075 \mathrm{~km}$.
b) Vis at radius til jorda ved ekvator er omtrent $6\,378 \mathrm{~km}$.
Skissen ovenfor viser jorda sett fra verdensrommet. Tre satellitter dekker til sammen hvert
punkt på ekvator. Satellittene former en likesidet trekant. Vi ser jorda som en innskrevet
sirkel i den likesidede trekanten, og satellittbanen er en omskrevet sirkel.
c) Hvor høyt over jordas overflate går satellittene i bane?
---
## V2019 del 2 oppgave 9 — Glasspyramiden ved Louvre
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Pytagoras, Areal og omkrets, Volum, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Finne grunnflatesiden av arealet, bruke Pytagoras til å finne høyden i sideflatene, og regne masse av volum og massetetthet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/glasspyramiden-ved-louvre/
### Oppgavetekst
Glasspyramiden som er inngangen til museet Louvre, er et verk av arkitekten Leoh Ming
Pei. Pyramiden har en kvadratisk grunnflate på $1225 \mathrm{~m^2}$. Pyramiden er $21{,}65 \mathrm{~m}$ høy.
a) Vis at siden i grunnflaten er $35 \mathrm{~m}$.
b) Vis at arealet av de fire sideflatene i pyramiden til sammen er omtrent $1950 \mathrm{~m^2}$.
Pyramiden er dekket av glass. Glasset er $21{,}52 \mathrm{~mm}$ tykt. Massetettheten til glasset er
$2400 \mathrm{~kg/m^3}$.
c) Bestem samlet masse av glasset i pyramiden.
---
## V2018 del 1 oppgave 1 — Vekt av jordbærkurver og Emmas gjennomsnittsfart
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Fart
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om gram til kilogram og regne gjennomsnittsfart i km/h.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekt-av-jordbaerkurver-og-emmas-gjennomsnittsfart/
### Oppgavetekst
a) En kurv med jordbær veier $500 \mathrm{~g}$.
6 kurver med jordbær veier til sammen kg
b) Emma løper $3 \mathrm{~km}$ på $20 \mathrm{~min}$.
Emmas gjennomsnittsfart er km/h
---
## V2018 del 1 oppgave 2 — Potensuttrykk med grunntall to
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $2^3-2$ og forenkle en brøk med potenser av 2.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-med-grunntall-to/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a) $2^3 - 2 =$
b) $\dfrac{2^2 \cdot 2^4}{2+2} =$
---
## V2018 del 1 oppgave 3 — Minste verdi av 7,5, kvadratrota av 64 og 3π
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne verdien av $7{,}5$, $\sqrt{64}$, $3\pi$ og $\frac{36}{4}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minste-verdi-av-7-5-kvadratrota-av-64-og-3/
### Oppgavetekst
Hvilket av tallene har **lavest** verdi?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $7{,}5$
> - [ ] $\sqrt{64}$
> - [ ] $3\pi$
> - [ ] $\dfrac{36}{4}$
---
## V2018 del 1 oppgave 4 — Brøkdeler av Adrians PlayStation-spill
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne resterende brøkdel som prosent og regne ut $\frac{1}{5}$ av 40 spill.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brokdeler-av-adrians-playstation-spill/
### Oppgavetekst
Adrian spiller PlayStation.
- $\frac{1}{5}$ av spillene hans er strategispill.
- $\frac{1}{4}$ av spillene hans er sportsspill.
- Resten av spillene hans er bilspill.
a) Hvor mange prosent av spillene er bilspill?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $45 \%$
> - [ ] $50 \%$
> - [x] $55 \%$
> - [ ] $60 \%$
b) Adrian har til sammen $40$ spill. Hvor mange strategispill har han?
Svar: strategispill
---
## V2018 del 1 oppgave 5 — Antall rekkefølger i en stafett med fire løpere
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle antall mulige rekkefølger av fire personer på et stafettlag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-rekkefolger-i-en-stafett-med-fire-lopere/
### Oppgavetekst
Thea, Eva, Anne og Caroline skal løpe hver sin del av en stafett.
Hvor mange ulike rekkefølger kan de stille seg opp i?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $4$
> - [ ] $16$
> - [x] $24$
> - [ ] $256$
---
## V2018 del 1 oppgave 6 — Sannsynlighet for farge i en Non Stop-pose
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Uniform sannsynlighet og komplementhendelse i en pose med 102 Non Stop.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-farge-i-en-non-stop-pose/
### Oppgavetekst
En Non Stop-pose inneholder disse $102$ sjokoladene:
- $11$ oransje
- $23$ gule
- $19$ røde
- $17$ grønne
- $20$ svarte
- $12$ brune
Du trekker tilfeldig én Non Stop.
a) Bestem sannsynligheten for at du trekker en gul Non Stop.
Svar:
Du trekker tilfeldig én Non Stop.
b) Bestem sannsynligheten for at du **ikke** trekker en svart Non Stop.
Svar:
---
## V2018 del 1 oppgave 7 — Antall mennesker på jorden på standardform
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Skrive tallet 7 500 000 000 på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-mennesker-pa-jorden-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Det er omtrent $7\ 500\ 000\ 000$ mennesker på jorden.
Skriv tallet på standardform.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $75 \cdot 10^9$
> - [ ] $7{,}5 \cdot 10^8$
> - [x] $7{,}5 \cdot 10^9$
> - [ ] $75 \cdot 10^{-8}$
---
## V2018 del 1 oppgave 8 — Hvor mye smågodt Lisa kjøper for 48,50 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Overslagsregning av antall hektogram smågodt når kiloprisen og totalbeløpet er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hvor-mye-smagodt-lisa-kjoper-for-48-50-kroner/
### Oppgavetekst
I en butikk koster smågodt $13{,}90$ kroner per hektogram. Lisa betaler $48{,}50$ kroner.
Omtrent hvor mye smågodt kjøper Lisa?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $2{,}5 \mathrm{~hg}$
> - [x] $3{,}5 \mathrm{~hg}$
> - [ ] $5{,}0 \mathrm{~hg}$
> - [ ] $7{,}0 \mathrm{~hg}$
---
## V2018 del 1 oppgave 9 — Vinklene 3y og y på et rett linjestykke
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vinkler, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $3y + y = 180\degree$ for å finne vinkelen $y$ ved et rett linjestykke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinklene-3y-og-y-pa-et-rett-linjestykke/
### Oppgavetekst
I figuren nedenfor er $AB$ et rett linjestykke.
Bestem ved regning hvor mange grader $\angle y$ er.
---
## V2018 del 1 oppgave 10 — Forenkle 3(a+2)-2a og en algebraisk brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen $3(a+2)-2a$ og forkorte $\frac{a^2+a}{2a+2}$ ved faktorisering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-3-a-2-2a-og-en-algebraisk-brok/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
3(a+2) - 2a
$$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $-a + 6$
> - [ ] $a + 2$
> - [ ] $3a$
> - [x] $a + 6$
b)
$$
\dfrac{a^2 + a}{2a + 2}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 11 — Løse 6x+3=17-x og likning med brøkledd
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse $6x+3=17-x$ og en likning med brøkledd ved å multiplisere med fellesnevneren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lose-6x-3-17-x-og-likning-med-brokledd/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
6x + 3 = 17 - x
$$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $x = 4$
> - [x] $x = 2$
> - [ ] $x = -2$
> - [ ] $x = -4$
b)
$$
x - \dfrac{x}{3} = \dfrac{x+1}{2}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 12 — Forholdet mellom espresso og melk i caffè latte
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Dele $6{,}0$ dL i forholdet $1 : 3$ mellom espresso og melk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forholdet-mellom-espresso-og-melk-i-caffe-latte/
### Oppgavetekst
Caffè latte er en kaffedrikk som lages av espresso og melk.
Forholdet mellom espresso og melk er vanligvis $1 : 3$
Hvor mange desiliter melk trenger du for å lage $6{,}0 \mathrm{~dL}$ caffè latte?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $3{,}5 \mathrm{~dL}$
> - [ ] $4{,}0 \mathrm{~dL}$
> - [x] $4{,}5 \mathrm{~dL}$
> - [ ] $6{,}0 \mathrm{~dL}$
---
## V2018 del 1 oppgave 13 — Davids lønn for avissalg som lineær funksjon
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftegning
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen $y = 5x + 50$ som modell for fastlønn pluss stykkpris, og tegne grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/davids-lonn-for-avissalg-som-lineaer-funksjon/
### Oppgavetekst
På lørdager selger David aviser.
Han har en fastlønn på $50$ kroner.
I tillegg får han $5$ kroner per avis han selger.
a) En lineær funksjon som viser sammenhengen mellom antall solgte aviser ($x$) og lønn ($y$), kan uttrykkes som
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $y = x + 50$
> - [x] $y = 5x + 50$
> - [ ] $y = 50x + 5$
> - [ ] $y = 55x$
b) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall solgte aviser ($x$) og lønn ($y$).
---
## V2018 del 1 oppgave 14 — Vinkelsummen i en regulær femkant
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Finne vinkelsummen i en regulær femkant ved å dele den i tre trekanter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkelsummen-i-en-regulaer-femkant/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det tegnet en regulær femkant.
Vinkelsummen i en regulær femkant er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $180\degree$
> - [ ] $360\degree$
> - [x] $540\degree$
> - [ ] $720\degree$
---
## V2018 del 1 oppgave 15 — Omkretsen til to sirkler der diameter er lik radius
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne omkretsen til to sirkler når diameteren i den ene er lik radien i den andre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkretsen-til-to-sirkler-der-diameter-er-lik-radius/
### Oppgavetekst
Diameteren til sirkel $A$ er lik radien til sirkel $B$.
Hva kan vi si om omkretsen til sirkel $B$ sammenliknet med omkretsen til sirkel $A$?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] Den er dobbelt så lang.
> - [ ] Den er tre ganger så lang.
> - [ ] Den er fire ganger så lang.
> - [ ] Den er lengre, men vi kan ikke bestemme hvor mye lengre.
---
## V2018 del 1 oppgave 16 — Pris på håndball og shorts fra to summer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse et likningssystem med to ukjente som er gitt som to bildelikninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-handball-og-shorts-fra-to-summer/
### Oppgavetekst
a) Prisen for én håndball er kroner
b) Prisen for ett par shorts er kroner
---
## V2018 del 1 oppgave 17 — Sektordiagram over skjermtid blant ungdommer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Brøk, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lese av prosent i et sektordiagram, skrive prosenten som brøk og regne ut 30 % av 63 600.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sektordiagram-over-skjermtid-blant-ungdommer/
### Oppgavetekst
Diagrammet nedenfor viser hvor mye tid ungdommer mellom 13 og 16 år i gjennomsnitt bruker foran en skjerm utenom skoletid en hverdag.
a) Hvor stor del av ungdommene bruker tre til fire timer i gjennomsnitt foran en skjerm utenom skoletid en hverdag? Skriv svaret som brøk.
Svar:
b) Det var $63\ 600$ ungdommer som deltok i undersøkelsen.
Hvor mange ungdommer sier at de bruker mer enn fire timer i gjennomsnitt foran en skjerm utenom skoletid en hverdag?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $19\ 080$
> - [ ] $19\ 800$
> - [ ] $21\ 200$
> - [ ] $44\ 520$
---
## V2018 del 1 oppgave 18 — Gjerde og areal rundt Noras hage
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bruke Pytagoras-setningen til å vise at $x = 5{,}0$ m, og regne omkrets og areal av en sammensatt figur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjerde-og-areal-rundt-noras-hage/
### Oppgavetekst
Nora har tegnet en skisse av hagen sin.
a) Bruk Pytagoras-setningen til å vise at $x = 5{,}0 \mathrm{~m}$
b) Nora vil sette opp et gjerde rundt hagen. Hvor mange meter vil gjerdet bli til sammen?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $32{,}0 \mathrm{~m}$
> - [x] $34{,}0 \mathrm{~m}$
> - [ ] $36{,}0 \mathrm{~m}$
> - [ ] $38{,}0 \mathrm{~m}$
c) Hvor stort areal har hagen til Nora?
---
## V2018 del 1 oppgave 19 — Arkimedes og sammenhengen mellom sylinder, kule og kjegle
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Volum, Bevis, Formler
- **Kort beskrivelse:** Vise algebraisk at $\pi r^2 \cdot 2r = \frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{\pi r^2 \cdot 2r}{3}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arkimedes-og-sammenhengen-mellom-sylinder-kule-og-kjegle/
### Oppgavetekst
En kule har diameter lik $2r$.
En kjegle og en sylinder har begge høyde lik $2r$.
Arkimedes viste at volumet av sylinderen er lik samlet volum av kulen og kjeglen.
Bruk formlene nedenfor, og vis at dette stemmer.
$$
V_{\text{Sylinder}} = \pi r^2 h \qquad V_{\text{Kule}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \qquad V_{\text{Kjegle}} = \frac{\pi r^2 h}{3}
$$
---
## V2018 del 2 oppgave 1 — Besøkstall for filmer på Oslo-kinoene
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage et passende diagram og regne median og gjennomsnitt for fem besøkstall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/besokstall-for-filmer-pa-oslo-kinoene/
### Oppgavetekst
Besøkstallene for de mest populære filmene på Oslo-kinoene en dag i januar 2018:
| Filmtittel | Besøkstall |
|:---------------------------|-----------:|
| Den 12. mann | $81\ 920$ |
| Ferdinand | $22\ 369$ |
| Insidious: The Last Key | $21\ 107$ |
| The Last Jedi | $19\ 026$ |
| Paddington 2 | $7\ 465$ |
a) Framstill besøkstallene på Oslo-kinoene i et passende diagram.
b) Bestem medianen og gjennomsnittet for besøkstallene.
c) Hvorfor er forskjellen mellom medianen og gjennomsnittet så stor?
---
## V2018 del 2 oppgave 2 — Padletur til øya med start klokka 10.30
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Fart
- **Kort beskrivelse:** Lese av avstand og tid i et avstand-tid-diagram og regne gjennomsnittsfart i km/h.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/padletur-til-oya-med-start-klokka-10-30/
### Oppgavetekst
Eva og Peter padler fra roklubben til en øy. Der går de i land sammen og tar en pause før de padler tilbake.
Diagrammet nedenfor viser sammenhengen mellom tid og avstand fra roklubben.
a) Hvor langt er det fra roklubben til øya?
b) Eva og Peter startet ved roklubben klokken 10.30.
Hva var klokken da de kom tilbake til roklubben?
c) Bestem gjennomsnittsfarten deres fra øya til roklubben.
---
## V2018 del 2 oppgave 3 — Basketballsko med rabatt, straffekast og ballvolum
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Sannsynlighet, Kule, Volum
- **Kort beskrivelse:** Regne pris etter 20 % rabatt, sannsynlighet for to uavhengige hendelser og volumet av en kule ut fra omkretsen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/basketballsko-med-rabatt-straffekast-og-ballvolum/
### Oppgavetekst
a) Michael skal kjøpe et par basketballsko og en basketballtrøye. Han får $20 \%$ rabatt.
Hvor mye må Michael betale til sammen for et par basketballsko og en basketballtrøye?
b) Sannsynligheten for at Adam skårer på et straffekast i basketball, er $0{,}90$.
Bestem sannsynligheten for at Adam skårer på to straffekast etter hverandre.
c) En bestemt basketball har en omkrets på $74{,}5 \mathrm{~cm}$.
Vis at volumet av denne basketballen er ca. $7 \mathrm{~L}$.
---
## V2018 del 2 oppgave 4 — Regneark for salgsinntekter til Norway Cup
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Økonomi, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lage regneark med formler for antall ganger pris, totalsum og 35 % av inntektene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regneark-for-salgsinntekter-til-norway-cup/
### Oppgavetekst
Frisk IL jenter 15 år skal samle inn penger for å kunne reise på Norway Cup. Jentene selger billetter, kioskvarer og parkeringsbevis på hjemmekampene til klubbens herrelag. For dette får jentene $35 \%$ av inntektene fra salget.
Nedenfor ser du en tabell som viser prisene for billetter, kioskvarer og parkeringsbevis.
| | |
|:--------------------|:------------|
| **Billetter** | |
| Voksen | $80$ kroner |
| Barn | $50$ kroner |
| **Kioskvarer** | |
| Kaffe | $25$ kroner |
| Brus | $30$ kroner |
| Pølse | $30$ kroner |
| **Parkeringsbevis** | |
| Per bil | $50$ kroner |
Bruk opplysningene ovenfor. Lag og fullfør regnearket som er vist ovenfor. Vis hvilke formler du har brukt.
---
## V2018 del 2 oppgave 5 — Andregradsfunksjon for et basketballkast
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Graftegning, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til $h(x) = -0{,}20x^2 + 1{,}19x + 2{,}00$ og lese av skjæring med y-aksen og toppunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-for-et-basketballkast/
### Oppgavetekst
Christian kaster en basketball mot en basketballkurv. En funksjon $h$ som beskriver kastet der basketballen lander i basketballkurven, er gitt ved
$$
h(x) = -0{,}20x^2 + 1{,}19x + 2{,}00
$$
Her viser $h(x)$ hvor mange meter basketballen er over bakken når basketballen er $x$ meter fra Christian, målt langs bakken. Se skissen nedenfor.
a) Tegn grafen for $0 \leq x \leq 5$
b) Bestem grafisk hvor høyt over bakken basketballen er idet den forlater hånden til Christian.
c) Bestem grafisk hvor høyt over bakken basketballen er i det høyeste punktet.
---
## V2018 del 2 oppgave 6 — Pulsslag og formel for makspuls
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Algebra, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Regne om pulsslag per 15 sekund til per minutt, sette inn i $M = 211 - 0{,}64 \cdot A$ og løse formelen for $A$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pulsslag-og-formel-for-makspuls/
### Oppgavetekst
a) Daniella teller $20$ pulsslag på $15 \mathrm{~s}$.
Hvor mange pulsslag har hun i løpet av $1 \mathrm{~min}$?
Makspuls er antall slag hjertet maksimalt kan slå per minutt.
En formel for tilnærmet makspuls $M$ til en person med alder $A$ er gitt ved
$$
M = 211 - 0{,}64 \cdot A
$$
b) Alderen til Monica er $25 \text{~år}$. Bruk formelen til å regne ut makspulsen til Monica.
c) Lag en formel for alder $A$ uttrykt ved makspuls $M$.
---
## V2018 del 2 oppgave 7 — Trekant innskrevet i sirkel med normal fra C
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Formlike trekanter, Rettvinklet trekant, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en rettvinklet trekant innskrevet i en sirkel, vise formlikhet og regne ut høyden $CD$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-innskrevet-i-sirkel-med-normal-fra-c/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser en $\triangle ABC$ som er innskrevet i en sirkel med sentrum i $S$. Normalen fra $C$ treffer $AB$ i punktet $D$.
a) Velg én av framgangsmåtene nedenfor til å konstruere **eller** tegne figuren.
**Passer, linjal og blyant:**
- Merk av et punkt $S$, og slå en sirkel med radius $5{,}0 \mathrm{~cm}$.
- Trekk diameter $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$ gjennom $S$.
- Konstruer $\angle A = 30\degree$ og finn punktet $C$. Trekk $BC$.
- Konstruer normalen fra $C$ til $AB$.
**Dynamisk geometriprogram:**
- Merk av et punkt $S$, og tegn en sirkel med radius $5{,}0 \mathrm{~cm}$.
- Tegn diameter $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$ gjennom $S$.
- Tegn $\angle A = 30\degree$ og finn punktet $C$. Tegn $BC$.
- Tegn normalen fra $C$ til $AB$.
I $\triangle ABC$ er $\angle BCA = 90\degree$.
b) Vis at $\triangle ADC \sim \triangle CDB$.
c) Bestem ved regning lengden av $CD$.
---
## V2018 del 2 oppgave 8 — Omkretsen av en fidget spinner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Areal og omkrets, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Regne ut samlet buelengde for tre sirkelbuer på $240\degree$ og tre på $120\degree$, og finne siden i en likesidet trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkretsen-av-en-fidget-spinner/
### Oppgavetekst
En fidget spinner er en leke som er laget med et sirkelformet kulelager i midten og med tre «armer».
Nedenfor ser du en del av en forenklet tegning av en fidget spinner.
$\triangle ABC$ (rød farge) er en likesidet trekant. Alle sirklene har radius lik $1{,}5 \mathrm{~cm}$.
a) Vis at omkretsen av fidget spinneren, markert med blå sirkelbuer, er $9\pi \mathrm{~cm}$.
b) Bestem ved regning omkretsen til $\triangle ABC$.
---
## V2018 del 2 oppgave 9 — Sum av naturlige tall med Gauss sin metode
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Mønstre, Formler, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke parvis addisjon til å summere tallene fra 1 til 1000 og lage formelen $\frac{n(n+1)}{2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sum-av-naturlige-tall-med-gauss-sin-metode/
### Oppgavetekst
Da den store matematikeren Carl Friedrich Gauss var ni år gammel, ga læreren han som oppgave å addere de naturlige tallene fra og med 1 til og med 100.
$$
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + 50 + 51 + \ldots + 97 + 98 + 99 + 100
$$
Gauss kom fram til riktig svar etter veldig kort tid ved å bruke parvis addisjon.
Dermed fikk Gauss at $50 \cdot 101 = 5050$
a) Bestem summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med 1000 ved å bruke metoden til Gauss.
b) Lag en formel for summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med $n$. Kontroller om formelen stemmer for $n = 100$.
---
## V2017 del 1 oppgave 1 — Regn ut 657 + 468 og 52 · 48
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon av tresifrede tall og multiplikasjon av to tosifrede tall uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regn-ut-657-468-og-52-48/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $657 + 468 =$
b) $52 \cdot 48 =$
---
## V2017 del 1 oppgave 2 — Jordbærkurver i kilo og saftflasker i desiliter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom gram og kilogram og mellom liter og desiliter i to korte tekstoppgaver.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jordbaerkurver-i-kilo-og-saftflasker-i-desiliter/
### Oppgavetekst
a) En kurv med jordbær veier 500 g.
12 kurver veier totalt kg
b) 12 L saft skal helles over på flasker som hver rommer 4 dL.
Da trenger vi flasker.
---
## V2017 del 1 oppgave 3 — Lavest verdi blant fire uttrykk med toerpotenser
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Negative tall, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut fire uttrykk med toerpotenser, negative tall og $2^0$ og sammenlikne verdiene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lavest-verdi-blant-fire-uttrykk-med-toerpotenser/
### Oppgavetekst
Hvilket uttrykk har den **laveste** verdien?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $(-2)^2 \cdot 2^0$
> - [x] $-2^2 \cdot 2^1$
> - [ ] $-(2 - 2^2)$
> - [ ] $\dfrac{2 \cdot (-2)}{2 + 2}$
---
## V2017 del 1 oppgave 4 — Brøksum og desimalbrøk skrevet så enkelt som mulig
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addere $\frac{1}{6} + \frac{1}{3}$ med fellesnevner og forkorte en brøk med desimaltall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/broksum-og-desimalbrok-skrevet-sa-enkelt-som-mulig/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
a) $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} =$
b) $\dfrac{0{,}2 \cdot 0{,}4}{0{,}16} =$
---
## V2017 del 1 oppgave 5 — Speiling av ABCD om y-aksen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Speiling
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen hvilken av fire figurer som viser en riktig speiling av en firkant om y-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/speiling-av-abcd-om-y-aksen/
### Oppgavetekst
$\Box ABCD$ skal speiles om $y$-aksen til $\Box A'B'C'D'$.
I hvilken figur nedenfor er dette gjort riktig?
---
## V2017 del 1 oppgave 6 — Sannsynlighet for tre eller fem øyne på én terning
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Finne sannsynligheten for to av seks like gunstige utfall ved ett terningkast.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-tre-eller-fem-oyne-pa-en-terning/
### Oppgavetekst
Vi kaster én terning.
Sannsynligheten for at terningen vil vise 3 eller 5 øyne, er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\dfrac{1}{6}$
> - [x] $\dfrac{2}{6}$
> - [ ] $\dfrac{3}{6}$
> - [ ] $\dfrac{5}{6}$
---
## V2017 del 1 oppgave 7 — Tre mynter viser alle mynt eller alle kron
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle gunstige utfall blant de åtte mulige utfallene ved kast med tre mynter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-mynter-viser-alle-mynt-eller-alle-kron/
### Oppgavetekst
Vi har tre forskjellige mynter som hver viser mynt eller kron når vi kaster dem.
Vi kaster de tre myntene én gang.
Bestem sannsynligheten for at alle myntene viser mynt eller at alle myntene viser kron.
---
## V2017 del 1 oppgave 8 — Overslag fra britiske pund til kroner for hodetelefoner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Overslagsregning av valutaveksling ved å runde 88,95 pund til 90 pund og kursen til 10 kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-fra-britiske-pund-til-kroner-for-hodetelefoner/
### Oppgavetekst
Christian kjøpte nye hodetelefoner da han var i England. Han betalte £ 88,95 (engelske pund) for hodetelefonene.
Kurs: £ $1 = 10{,}21$ norske kroner.
Omtrent hvor mye betalte Christian i norske kroner?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] ca. 10 kroner
> - [ ] ca. 90 kroner
> - [ ] ca. 800 kroner
> - [x] ca. 900 kroner
---
## V2017 del 1 oppgave 9 — Åtte personer på åtte stoler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen produktregelen for antall ombyttinger av åtte elementer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/atte-personer-pa-atte-stoler/
### Oppgavetekst
På hvor mange ulike måter kan åtte personer sette seg på åtte stoler?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $8$
> - [ ] $8 + 8$
> - [ ] $8^8$
> - [x] $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
---
## V2017 del 1 oppgave 10 — Uttrykk høyden h fra formelen for trekantareal
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Formler
- **Kort beskrivelse:** Snu formelen $A = \frac{gh}{2}$ slik at $h$ står alene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uttrykk-hoyden-h-fra-formelen-for-trekantareal/
### Oppgavetekst
Hvis $A = \dfrac{gh}{2}$, da er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $h = \dfrac{Ag}{2}$
> - [ ] $h = \dfrac{A}{2g}$
> - [x] $h = \dfrac{2A}{g}$
> - [ ] $h = 2A - g$
---
## V2017 del 1 oppgave 11 — Forkorting av algebraiske brøker med konjugatsetningen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Forkorte $\frac{a+a+a}{a}$ og faktorisere telleren med konjugatsetningen i $\frac{a^2-b^2}{a-b}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forkorting-av-algebraiske-broker-med-konjugatsetningen/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
\dfrac{a + a + a}{a}
$$
b)
$$
\dfrac{a^2 - b^2}{a - b}
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 12 — Likning med x på begge sider og likning med brøker
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Løse en lineær likning med x på begge sider og en likning med brøker og fellesnevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-med-x-pa-begge-sider-og-likning-med-broker/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
4x - 4 = 11 - x
$$
b)
$$
\dfrac{x}{6} - \dfrac{2 - x}{4} = 2
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 13 — Avstanden til månen på standardform
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Skrive 384 000 000 m på standardform og velge riktig tierpotens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstanden-til-manen-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Avstanden fra jorda til månen er ca. $384\,000\,000 \mathrm{~m}$.
Avstanden skrevet på standardform er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $3{,}84 \cdot 10^{-8} \mathrm{~m}$
> - [ ] $3{,}84 \cdot 10^{6} \mathrm{~m}$
> - [x] $3{,}84 \cdot 10^{8} \mathrm{~m}$
> - [ ] $38{,}4 \cdot 10^{8} \mathrm{~m}$
---
## V2017 del 1 oppgave 14 — Målestokk 1 til 15 000 på kart
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne om 3,0 cm på et kart med målestokk 1 : 15 000 til meter i virkeligheten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malestokk-1-til-15-000-pa-kart/
### Oppgavetekst
Et kart har målestokken 1 : 15 000. Avstanden mellom to steder er 3,0 cm på kartet.
Hvor langt er det mellom stedene i virkeligheten?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $50 \mathrm{~m}$
> - [x] $450 \mathrm{~m}$
> - [ ] $4\,500 \mathrm{~m}$
> - [ ] $5\,000 \mathrm{~m}$
---
## V2017 del 1 oppgave 15 — Koordinater til punkt A og uttrykket for den fallende linja
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lese av koordinatene til et punkt på en rett linje og velge funksjonsuttrykket ut fra stigningstall og konstantledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koordinater-til-punkt-a-og-uttrykket-for-den-fallende-linja/
### Oppgavetekst
a) Skriv koordinatene til punktet $A$.
$A ($ $,$ $)$
b) Hvilken funksjon passer med grafen i koordinatsystemet?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $y = -2x - 4$
> - [x] $y = -2x + 4$
> - [ ] $y = -4x + 4$
> - [ ] $y = 2x + 2$
---
## V2017 del 1 oppgave 16 — Prisen på pandabamse og tigerbamse
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Finne prisen på to bamser fra to bildelikninger som til sammen utgjør et likningssystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisen-pa-pandabamse-og-tigerbamse/
### Oppgavetekst
a) Prisen for én pandabamse er kroner
b) Prisen for én tigerbamse er kroner
---
## V2017 del 1 oppgave 17 — Overslag over 20 prosent avslag på sko til 990 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Overslagsregning av 20 % av 990 kroner ved å regne 20 % av 1 000 kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-over-20-prosent-avslag-pa-sko-til-990-kroner/
### Oppgavetekst
Et par sko kostet 990 kroner. Prisen ble satt ned med 20 %.
Omtrent hvor mange kroner ble prisen satt ned med?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] ca. 20 kroner
> - [ ] ca. 50 kroner
> - [ ] ca. 150 kroner
> - [x] ca. 200 kroner
---
## V2017 del 1 oppgave 18 — Pytagoras med katetene 6,0 cm og 8,0 cm
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Regne ut hypotenusen i en rettvinklet trekant med katetene 6,0 cm og 8,0 cm.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pytagoras-med-katetene-6-0-cm-og-8-0-cm/
### Oppgavetekst
Bruk Pytagoras-setningen til å regne ut lengden $AB$ i $\triangle ABC$ nedenfor.
---
## V2017 del 1 oppgave 19 — Blandingsforhold 1 til 5 mellom saft og vann
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Finne hvilken blanding med 2 dL saft som gir forholdet 1 : 5 mellom saft og vann.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/blandingsforhold-1-til-5-mellom-saft-og-vann/
### Oppgavetekst
I hver mugge nedenfor har vi blandet 2 dL saft med vann. Volumet av blandingen er skrevet på hver mugge.
I hvilken mugge er blandingsforholdet mellom saft og vann 1 : 5?
---
## V2017 del 1 oppgave 20 — Hjuldiagram over hvordan 39 elever kom seg til skolen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Brøk, Prosentregning, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lese av et hjuldiagram og regne ut en del som brøk og en del som prosent av 39 elever.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hjuldiagram-over-hvordan-39-elever-kom-seg-til-skolen/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du et hjuldiagram som viser hvordan 39 elever på en skole kom seg til skolen en dag.
a) Hvor stor del av elevene syklet eller gikk til skolen?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\dfrac{1}{2}$
> - [x] $\dfrac{1}{3}$
> - [ ] $\dfrac{1}{13}$
> - [ ] $\dfrac{1}{39}$
b) Hvor mange prosent av elevene tok bussen til skolen?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] ca. 10 %
> - [ ] ca. 20 %
> - [x] ca. 30 %
> - [ ] ca. 40 %
---
## V2017 del 1 oppgave 21 — Formlike trekanter ABC og DEF
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 21
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formlike trekanter, Geometri, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Bruke forholdet mellom samsvarende sider i to formlike trekanter til å finne AB.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formlike-trekanter-abc-og-def/
### Oppgavetekst
På figuren nedenfor er $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (formlike trekanter).
Regn ut lengden $AB$.
---
## V2017 del 1 oppgave 22 — Perspektivlinjer og forsvinningspunkter til en eske
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 22
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Perspektivtegning, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Forlenge kantene i en perspektivtegning av en eske for å finne forsvinningspunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/perspektivlinjer-og-forsvinningspunkter-til-en-eske/
### Oppgavetekst
Tegn perspektivlinjer for å finne forsvinningspunktene til figuren nedenfor.
---
## V2017 del 1 oppgave 23 — Sylinder eller prisme med størst volum
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 23
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne volumet av en sylinder med radius 3,0 cm og et prisme med grunnflate 3,0 cm ganger 9,0 cm når høyden er den samme.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sylinder-eller-prisme-med-storst-volum/
### Oppgavetekst
En rett sylinder og et rett, firkantet prisme har samme høyde $h$.
Hvilken av romfigurene har størst volum? Bruk $\pi \approx 3{,}14$
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] Prismet
> - [ ] De har like stort volum
> - [x] Sylinderen
> - [ ] Det er umulig å avgjøre fordi vi ikke kjenner høyden $h$
---
## V2017 del 1 oppgave 24 — Overflaten til sylinderen og prismet med høyde 5,0 cm
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 24
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Areal og omkrets, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Vise at overflaten blir 174,0 kvadratcentimeter for prismet og 150,72 kvadratcentimeter for sylinderen når høyden er 5,0 cm.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overflaten-til-sylinderen-og-prismet-med-hoyde-5-0-cm/
### Oppgavetekst
En rett sylinder og et rett, firkantet prisme har samme høyde $h$. Vi setter $h = 5{,}0 \mathrm{~cm}$ for høyden i sylinderen og prismet.
Vis at vi får følgende overflate til de to romfigurene:
Prisme: $174{,}0 \mathrm{~cm}^2 \qquad$ Sylinder: $150{,}72 \mathrm{~cm}^2$
---
## V2017 del 1 oppgave 25 — Fyrstikkfigurer av trekanter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 25
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Algebra, Formler
- **Kort beskrivelse:** Finne antall fyrstikker i figur 5 og sette opp en formel for figur n i et mønster av trekanter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fyrstikkfigurer-av-trekanter/
### Oppgavetekst
Benedikte har laget disse tre figurene av fyrstikker:
Benedikte vil lage flere figurer etter samme mønster som figurene ovenfor.
a) Hvor mange fyrstikker trenger hun for å lage figur 5?
Figur 5: fyrstikker
b) Lag en formel som forteller hvor mange fyrstikker hun trenger for å lage figur $n$.
---
## V2017 del 2 oppgave 1 — Antall personer i 30 personbiler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage diagram av en frekvenstabell og bestemme typetall, median og gjennomsnitt for 30 observasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-personer-i-30-personbiler/
### Oppgavetekst
Noen elever i klasse 10 A registrerer hvor mange personer som sitter i hver personbil som kjører forbi skolen.
Elevene teller antall personer i de 30 første personbilene og får følgende resultat:
| Antall personer | Frekvens |
|:---------------:|:--------:|
| 1 | 13 |
| 2 | 5 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 3 |
| 6 | 2 |
| **Sum** | **30** |
a) Framstill antall personer i personbilene med et passende diagram.
b) Bruk tabellen ovenfor til å bestemme typetall og median.
c) Regn ut gjennomsnittet for antall personer i personbilene.
---
## V2017 del 2 oppgave 2 — Sykkeltur fra Moss sentrum til Nordre Jeløy
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Fart, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Lese av veilengde og pausetid i et tid-veilengde-diagram og regne ut gjennomsnittsfart på returen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkeltur-fra-moss-sentrum-til-nordre-jeloy/
### Oppgavetekst
Mari og David er på sykkelferie. En av turene deres går fra Moss sentrum til Nordre Jeløy og tilbake til Moss sentrum.
Diagrammet nedenfor viser sammenhengen mellom tid og veilengde på denne turen.
a) Hvor lang er veien fra Moss sentrum til Nordre Jeløy ifølge diagrammet?
b) Hvor stor del av sykkelturen har Mari og David pause?
c) Hvor stor gjennomsnittsfart har de fra Nordre Jeløy til Moss sentrum?
---
## V2017 del 2 oppgave 3 — Bensinfylling, jerrykanne og forholdet mellom diesel og bensin
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Volum, Forholdsregning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne pris for påfylt bensin, volumet av et rett prisme i liter og fordele 28 000 L etter forholdet 3 : 5.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bensinfylling-jerrykanne-og-forholdet-mellom-diesel-og-bensin/
### Oppgavetekst
a) Georg stopper på en bensinstasjon når bilen har $16{,}5 \mathrm{~L}$ bensin igjen på tanken. Bensintanken rommer $60 \mathrm{~L}$. Prisen for bensin er $14{,}30$ kroner per liter. Hvor mye må Georg betale for å fylle opp tanken?
b) Kathrine fyller bensin i en jerrykanne med en form som er tilnærmet lik et rett, firkantet prisme. Bruk målene på figuren ovenfor. Hvor mange hele liter rommer jerrykannen?
c) Bensinstasjonen solgte en dag til sammen $28\,000 \mathrm{~L}$ diesel og bensin. Forholdet mellom antall liter diesel og antall liter bensin var $3 : 5$. Hvor mange liter diesel, og hvor mange liter bensin solgte bensinstasjonen denne dagen?
---
## V2017 del 2 oppgave 4 — Regneark for salg og rabatt i Bike Shop
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Prosentregning, Økonomi, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Lage et regneark med formler for samlet pris, rabatt i kroner, salgsinntekt etter rabatt og totalsum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regneark-for-salg-og-rabatt-i-bike-shop/
### Oppgavetekst
Oversikten nedenfor viser:
- hvilke sykkelprodukter Bike Shop solgte en dag
- pris (i kroner) per stykk før rabatt
- hvor mange av hvert produkt som ble solgt
- hvor mange prosent rabatt som ble gitt til kundene for hvert produkt
| Produkt | Sykkel Terreng | Sykkel Racer | Sykkelsko (par) | Sykkelhjelm |
|:-----------------------------|:----------:|:----------:|:----------:|:---------:|
| Pris per stykk før rabatt | 12 000,00 | 15 500,00 | 1 500,00 | 750,00 |
| Antall solgte produkter | 3 | 2 | 4 | 5 |
| Rabatt | 23 % | 32 % | 50 % | 23 % |
Lag et regneark som vist nedenfor. Bruk formler til å regne ut det som mangler i de grå cellene i regnearket. Vis hvilke formler du har brukt.
---
## V2017 del 2 oppgave 5 — CO2-utslipp som andregradsfunksjon av farten
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Graftolkning, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til $f(x) = 0{,}046x^2 - 6{,}7x + 386$ og finne fart ved gitt utslipp og bunnpunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-utslipp-som-andregradsfunksjon-av-farten/
### Oppgavetekst
Antall gram $\mathrm{CO_2}$ (karbondioksid) som en bestemt bil slipper ut per kilometer, er gitt ved funksjonen
$$
f(x) = 0{,}046x^2 - 6{,}7x + 386
$$
der $x$ er farten til bilen målt i kilometer per time.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $x$-verdier fra og med 20 km/h til og med 110 km/h.
b) $\mathrm{CO_2}$-utslippet til bilen er 180 g/km. Hvor stor fart kan bilen ha?
c) Hvilken fart vil gi minst $\mathrm{CO_2}$-utslipp per kilometer? Hvor mange gram $\mathrm{CO_2}$ slipper bilen ut per kilometer da?
---
## V2017 del 2 oppgave 6 — Bremselengde på tørr og våt asfalt
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Fart, Formler, Likninger, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Bruke $s = \frac{v^2}{19{,}62 f}$ begge veier: regne ut bremselengden og løse formelen for farten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bremselengde-pa-torr-og-vat-asfalt/
### Oppgavetekst
a) En bil har en gjennomsnittsfart på 60 km/h. Hvor langt kan bilen kjøre på 1,5 h?
Bremselengden $s$ målt i meter for en bil er gitt ved formelen
$$
s = \frac{v^2}{19{,}62 \cdot f}
$$
- $v$ er farten til bilen målt i meter per sekund (m/s)
- $f$ er et friksjonstall, dette avhenger av veidekket
b) En bil kjører på tørr asfalt. Da er $f = 0{,}9$. Farten er 21 m/s. Så bremser bilen.
Bruk formelen ovenfor og vis at bremselengden til bilen er ca. 25 m.
c) En bil kjører på våt asfalt. Da er $f = 0{,}6$. Så bremser bilen, og bremselengden er 15 m.
Bruk formelen ovenfor til å bestemme farten til bilen.
---
## V2017 del 2 oppgave 7 — Trekant innskrevet i sirkel med AB som diameter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Konstruksjon, Sirkel, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en trekant innskrevet i en sirkel, begrunne den rette vinkelen med Thales og regne ut et fargelagt areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-innskrevet-i-sirkel-med-ab-som-diameter/
### Oppgavetekst
Figur 1 nedenfor viser en $\triangle ABC$ som er innskrevet i en sirkel med sentrum i $S$. $AB$ er diameteren i sirkelen. Figur 2 viser figur 1 som delvis fargelagt.
a) Velg én av framgangsmåtene nedenfor til å konstruere **eller** tegne figur 1.
**Med passer, linjal og blyant:**
- Konstruer $\triangle ABC$ med $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$, $\angle A = 60\degree$ og $AC = 5{,}0 \mathrm{~cm}$.
- Konstruer midtnormalen til $AB$. Midtnormalen skjærer $AB$ i punktet $S$.
- Slå en sirkel om $S$ gjennom punktene $A$, $B$ og $C$.
**Med dynamisk geometriprogram:**
- Tegn $\triangle ABC$ med $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$, $\angle A = 60\degree$ og $AC = 5{,}0 \mathrm{~cm}$.
- Tegn midtnormalen til $AB$. Midtnormalen skjærer $AB$ i punktet $S$.
- Tegn en sirkel om $S$ gjennom punktene $A$, $B$ og $C$.
b) Forklar kort hvorfor $\angle ACB = 90\degree$ uten å måle vinkelen.
c) Bestem arealet av den delen av sirkelflaten som er blå på figur 2.
---
## V2017 del 2 oppgave 8 — Tower Bridge med klaffer hevet 60 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Pytagoras, Rettvinklet trekant, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Forklare åpningsbredden mellom to hevede brooklaffer og regne ut høyden over vannet med trigonometri eller Pytagoras.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tower-bridge-med-klaffer-hevet-60-grader/
### Oppgavetekst
Tower Bridge er en klaffebro over Themsen i London. Avstanden mellom tårnene er 60 m. Broen har to like store klaffer som kan heves for å la båter kjøre forbi.
På et tidspunkt er det 8 m fra lukket bro til vannoverflaten. Så blir begge klaffene hevet $60\degree$ for å la en seilbåt kjøre forbi. Se figuren nedenfor.
a) Forklar at bredden $AB$ på åpningen mellom klaffene er 30 m.
b) Bestem ved regning avstanden fra $A$ til vannoverflaten.
---
## V2017 del 2 oppgave 9 — Ada Lovelaces formler for likningssystem med to ukjente
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra, Bevis, Formler
- **Kort beskrivelse:** Løse et likningssystem med to ukjente på vanlig måte, med ferdige formler og generelt med bokstavkoeffisienter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ada-lovelaces-formler-for-likningssystem-med-to-ukjente/
### Oppgavetekst
a) Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned}
5x + 4y &= 9 \\
6x + 7y &= 13
\end{aligned}
$$
> Ada Lovelace
> Ada Lovelace (1815 – 1852) regnes som verdens første dataprogrammerer. Hun skrev programmer for en stor, planlagt regnemaskin som skulle hete *Den analytiske maskinen*.
>
> I 1979 fikk dataprogrammeringsspråket Ada navn etter Ada Lovelace.
Et likningssystem med to ukjente, $x$ og $y$, kan skrives på formen
$$
\begin{aligned}
ax + by &= c \\
dx + ey &= f
\end{aligned}
$$
der $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ og $f$ er konstanter.
Ada Lovelace laget formler for løsning av et likningssystem med to ukjente:
$$
x = \frac{ce - bf}{ae - bd} \qquad \text{og} \qquad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
$$
b) Bruk formlene til Ada Lovelace ovenfor til å løse likningssystemet
$$
\begin{aligned}
5x + 4y &= 9 \\
6x + 7y &= 13
\end{aligned}
$$
c) Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned}
ax + by &= c \\
dx + ey &= f
\end{aligned}
$$
og vis at du får formlene til Ada Lovelace som løsninger.
---
## V2016 del 1 oppgave 1 — Fire regnestykker med tresifrede tall
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med tresifrede tall uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-regnestykker-med-tresifrede-tall/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $856 + 173 =$
b) $701 - 129 =$
c) $102 \cdot 98 =$
d) $624 : 3 =$
---
## V2016 del 1 oppgave 2 — Gjør om millimeter til meter og kilogram til gram
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om 4 550 mm til meter og 0,8 kg til gram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjor-om-millimeter-til-meter-og-kilogram-til-gram/
### Oppgavetekst
Gjør om
a) $4\,550 \mathrm{~mm} =$ m
b) $0{,}8 \mathrm{~kg} =$ g
---
## V2016 del 1 oppgave 3 — Uttrykket med lavest verdi blant fire potensuttrykk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne verdien av fire uttrykk med kvadrater, brøk og negative tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uttrykket-med-lavest-verdi-blant-fire-potensuttrykk/
### Oppgavetekst
Hvilket uttrykk har den **laveste** verdien?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $(-3)^2$
> - [ ] $\dfrac{20}{2+3}$
> - [ ] $2 + 2^2$
> - [x] $-2^2 + 6$
---
## V2016 del 1 oppgave 4 — Brøkregning med sjettedeler og desimaltall
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addere to brøker med lik nevner og trekke et desimaltall fra en brøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brokregning-med-sjettedeler-og-desimaltall/
### Oppgavetekst
Regn ut, og skriv svaret som en mest mulig forkortet brøk:
a) $\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} =$
b) $\dfrac{4}{5} - 0{,}4 =$
---
## V2016 del 1 oppgave 5 — Hvilket desimaltall er størst
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne fire desimaltall med ulikt antall desimaler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hvilket-desimaltall-er-storst/
### Oppgavetekst
Hvilket tall har den **høyeste** verdien?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $0{,}9$
> - [ ] $0{,}10$
> - [ ] $0{,}89$
> - [ ] $0{,}1980$
---
## V2016 del 1 oppgave 6 — Elektronmassen skrevet på standardform
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tierpotenser
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig standardform med negativ tierpotens for et svært lite desimaltall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elektronmassen-skrevet-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Massen til et elektron er ca. 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg
På standardform skriver vi dette tallet som
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $91 \cdot 10^{-33} \mathrm{~kg}$
> - [ ] $91 \cdot 10^{32} \mathrm{~kg}$
> - [ ] $9{,}1 \cdot 10^{31} \mathrm{~kg}$
> - [x] $9{,}1 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg}$
---
## V2016 del 1 oppgave 7 — Funksjonsuttrykk til to rette linjer i koordinatsystem
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Lese av stigningstall og konstantledd for to rette linjer og skrive funksjonsuttrykkene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsuttrykk-til-to-rette-linjer-i-koordinatsystem/
### Oppgavetekst
Skriv funksjonsuttrykket til $f$ og $g$.
$f(x) =$
$g(x) =$
---
## V2016 del 1 oppgave 8 — Sykkel til 3500 kroner med 20 prosent rabatt
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne ut pris etter 20 % rabatt på 3 500 kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkel-til-3500-kroner-med-20-prosent-rabatt/
### Oppgavetekst
En sykkel koster 3 500 kroner. Du får 20 % rabatt (prisavslag).
Hvor mye koster sykkelen etter at rabatten er trukket fra prisen?
---
## V2016 del 1 oppgave 9 — Sannsynlighet for fem eller seks øyne med én terning
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Uniform sannsynlighet med to gunstige av seks mulige utfall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-fem-eller-seks-oyne-med-en-terning/
### Oppgavetekst
Vi skal kaste én terning.
Sannsynligheten for at terningen vil vise 5 eller 6 øyne, er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\dfrac{1}{6}$
> - [x] $\dfrac{2}{6}$
> - [ ] $\dfrac{5}{6}$
> - [ ] $\dfrac{6}{6}$
---
## V2016 del 1 oppgave 10 — Sannsynlighet for ti øyne med to terninger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle gunstige utfall for sum 10 blant 36 mulige utfall med to terninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-ti-oyne-med-to-terninger/
### Oppgavetekst
Vi skal kaste to terninger.
Sannsynligheten for at terningene vil vise til sammen 10 øyne, er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\dfrac{1}{36}$
> - [ ] $\dfrac{2}{36}$
> - [x] $\dfrac{3}{36}$
> - [ ] $\dfrac{10}{36}$
---
## V2016 del 1 oppgave 11 — To likninger med brøk og x på begge sider
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse en lineær likning med x på begge sider og en likning med brøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-likninger-med-brok-og-x-pa-begge-sider/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
4x - 3 = x
$$
b)
$$
\dfrac{x-1}{2} - x = 3
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 12 — Forenkle bokstavuttrykk og trekke sammen to brøker
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen like ledd og subtrahere to brøker med bokstavuttrykk i nevneren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-bokstavuttrykk-og-trekke-sammen-to-broker/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
-a + 2a + 3a
$$
b)
$$
\dfrac{1}{a-1} - \dfrac{1}{a+1}
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 13 — Hvor lenge varer seks kilo hundekjeks
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Måleenheter, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Dividere 6 kg på 0,2 kg per dag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hvor-lenge-varer-seks-kilo-hundekjeks/
### Oppgavetekst
En pose inneholder 6 kg hundekjeks. En hund spiser i gjennomsnitt 0,2 kg hundekjeks per dag.
Hvor mange dager varer posen med hundekjeks? Vis utregningen din.
---
## V2016 del 1 oppgave 14 — Påstander om trekantene ABC og DEF
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Formlike trekanter, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Bruke vinkelsummen i trekanter til å avgjøre om to trekanter er formlike.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-trekantene-abc-og-def/
### Oppgavetekst
Hvilken påstand er riktig om trekantene som er tegnet?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\triangle ABC$ er en likesidet trekant
> - [ ] $\triangle DEF$ er en likebent trekant
> - [ ] $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (kongruente trekanter)
> - [x] $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (formlike trekanter)
---
## V2016 del 1 oppgave 15 — Reisetid for nattoget fra Oslo til Trondheim
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut tidsdifferansen fra kl. 22.46 til kl. 06.34 neste morgen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/reisetid-for-nattoget-fra-oslo-til-trondheim/
### Oppgavetekst
Et tog går fra Oslo kl. 22.46. Toget er framme i Trondheim kl. 06.34 morgenen etter.
Da har toget brukt h min
---
## V2016 del 1 oppgave 16 — Konstruksjon av firkant med 135 graders vinkel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en firkant med passer og linjal der en vinkel er 135 grader og to sider er like lange.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-firkant-med-135-graders-vinkel/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en hjelpefigur med følgende mål:
$AB = 6{,}0 \mathrm{~cm}$, $AD = 9{,}5 \mathrm{~cm}$, $\angle ABD = 90\degree$, $\angle ABC = 135\degree$ og $BC = CD$.
Hjelpefigur:
Konstruer figuren.
---
## V2016 del 1 oppgave 17 — Løs formelen for arealet av en trekant for h
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Snu arealformelen for en trekant slik at h står alene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-formelen-for-arealet-av-en-trekant-for-h/
### Oppgavetekst
Hvis $A = \dfrac{g \cdot h}{2}$, da er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $h = 2 \cdot A \cdot g$
> - [ ] $h = \dfrac{2 \cdot g}{A}$
> - [ ] $h = \dfrac{A}{2 \cdot g}$
> - [x] $h = \dfrac{2 \cdot A}{g}$
---
## V2016 del 1 oppgave 18 — Badevakt som løper og svømmer til person i nød
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant, Fart, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Pytagoras i en 30-40-50-trekant og forholdet mellom to farter regnet ut fra lengde og tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/badevakt-som-loper-og-svommer-til-person-i-nod/
### Oppgavetekst
En badevakt løper fra $A$ til $B$ og svømmer videre fra $B$ til $C$ for å hjelpe en person i nød. Se skissen nedenfor.
a) Vis ved regning at $BC = 50 \mathrm{~m}$.
b) Badevakten løper i 20 s og svømmer i 1 min. Regn ut forholdet mellom farten han har når han løper, og farten han har når han svømmer.
---
## V2016 del 1 oppgave 19 — Karakterfordeling i en klasse med 18 elever
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 2.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lese typetall av et søylediagram, regne ut sektorvinkler og finne gjennomsnittskarakteren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/karakterfordeling-i-en-klasse-med-18-elever/
### Oppgavetekst
På en matematikkprøve fordeler karakterene seg slik i en klasse med 18 elever:
a) Typetallskarakteren er
b) Gjør beregninger, og fyll inn det som mangler i tabellen nedenfor. Lag ferdig sektordiagrammet som viser karakterfordelingen i klassen.
| Karakter | Grader for sektor |
|:--------:|:-----------------:|
| 1 | $40\degree$ |
| 2 | $60\degree$ |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 | |
| 6 | |
c) Gjennomsnittskarakteren er
---
## V2016 del 1 oppgave 20 — Målestokk for kart med avstanden Bergen-Oslo
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Finne målestokken når 2,0 cm på kartet svarer til 300 km i virkeligheten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malestokk-for-kart-med-avstanden-bergen-oslo/
### Oppgavetekst
Den korteste avstanden mellom Bergen og Oslo er ca. 300 km (i luftlinje).
På et kart er denne avstanden 2,0 cm.
Målestokken for dette kartet er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 1 : 30 000
> - [ ] 1 : 150 000
> - [ ] 1 : 3 000 000
> - [x] 1 : 15 000 000
---
## V2016 del 1 oppgave 21 — Overflaten av en hermetikkboks formet som sylinder
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 21
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Areal og omkrets, Sirkel, Formler
- **Kort beskrivelse:** Regne ut overflaten av en sylinder med diameter 20,0 cm og høyde 24,0 cm med pi tilnærmet lik 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overflaten-av-en-hermetikkboks-formet-som-sylinder/
### Oppgavetekst
En hermetikkboks har tilnærmet form som en sylinder (med topp og bunn).
Regn ut overflaten av hermetikkboksen.
Du kan bruke at $\pi \approx 3$.
---
## V2016 del 2 oppgave 1 — Veksling av eurosedler til norske kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Valuta, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Summere seks eurosedler og gange med kursen, og finne kursen ved divisjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/veksling-av-eurosedler-til-norske-kroner/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven ser vi bort fra vekslingsgebyr.
En familie skal reise til Italia. En dag kjøper familien disse eurosedlene i en norsk bank:
1 € (euro) koster 9,3165 norske kroner i banken.
a) Hvor mange norske kroner betaler familien for eurosedlene?
En valutakalkulator på Internett viser at du får 1389,78 € for 13 000 norske kroner.
b) Hvor mye koster 1 € ifølge valutakalkulatoren?
---
## V2016 del 2 oppgave 2 — Kodelås og volum av håndbagasje
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Volum, Romgeometri, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Antall firesifrede koder, systematisk opplisting av permutasjoner av 7733, volum av to rette prismer og prosentvis nedgang.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kodelas-og-volum-av-handbagasje/
### Oppgavetekst
a) Familien bruker kofferter med kodelås. Koden består av fire sifre fra 0 til 9. Hvor mange forskjellige koder kan familien lage med en slik kodelås?
b) Far har glemt koden til sin kodelås. Han husker at to av sifrene er 7, og at de to andre sifrene er 3, men han husker ikke rekkefølgen. Skriv opp de ulike kombinasjonene.
c) I framtiden kan målene på tillatt håndbagasje på fly bli mindre. Bestem volumet av håndbagasjen etter framtidens mål og etter dagens mål.
d) Avisen Aftenposten skriver at endringen av målene betyr at største tillatte volum for håndbagasje vil bli nesten 40 % mindre enn i dag. Kontroller om det stemmer.
---
## V2016 del 2 oppgave 3 — Bensinforbruk og billeie på kjøretur i Italia
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Måleenheter, Likninger, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Regne ut bensinkostnad i euro fra forbruk per mil og løse 640 + 0,35x = 948 for antall kilometer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bensinforbruk-og-billeie-pa-kjoretur-i-italia/
### Oppgavetekst
Familien leier en bil i Venezia, og planlegger å kjøre disse tre strekningene i Italia:
| Strekning | Lengde |
|:----------------|-------:|
| Venezia–Firenze | 287 km |
| Firenze–Pisa | 83 km |
| Pisa–Roma | 371 km |
a) Bilen bruker i gjennomsnitt 0,45 L bensin per mil. Bensinprisen er 1,65 € per liter. Hvor mange euro koster bensinen til sammen hvis familien bare kjører de tre strekningene som er vist ovenfor?
b) Familien kjører mer enn de tre strekningene. Leie av bilen koster 640 € pluss 0,35 € per kilometer. Når ferien er slutt, betaler familien til sammen 948 € for leie av bilen. Hvor mange kilometer har familien faktisk kjørt?
---
## V2016 del 2 oppgave 4 — Regneark for Ginas lønn av varmrettsalg
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp regneark med salgsinntekt og lønnsprosent for tre varmretter og gjenbruke det med nye salgstall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regneark-for-ginas-lonn-av-varmrettsalg/
### Oppgavetekst
I Firenze møter familien Gina, som er servitør på en restaurant. En del av lønnen hennes er bestemt av hvor mye hun selger av tre typer varmretter. For hver av disse tre varmrettene får Gina en viss prosent av salgsinntekten som lønn.
Nedenfor ser du
- pris per porsjon
- antall porsjoner som Gina selger
- hvor mange prosent av salgsinntektene Gina får i lønn for hver av de tre varmrettene en bestemt dag
a) Bruk regneark til å vise at Gina får til sammen 60,18 € i lønn for salget av varmrettene denne dagen. **Vis hvilke formler du har brukt.**
b) En annen dag selger Gina 14 porsjoner penne arrabiata, 25 porsjoner pasta bolognese og 21 porsjoner stracotto. Prisene og prosentene er uendret. Bruk regnearket til å bestemme hvor mye Gina får i lønn til sammen denne dagen.
---
## V2016 del 2 oppgave 5 — Perspektivlinjer og kroppsmål hos Leonardo da Vinci
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Forholdsregning, Utforskning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Tegne perspektivlinjer og finne forsvinningspunktet, og måle kroppsdeler for å kontrollere fire forholdspåstander.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/perspektivlinjer-og-kroppsmal-hos-leonardo-da-vinci/
### Oppgavetekst
I nærheten av Firenze ble kunstneren og vitenskapsmannen Leonardo da Vinci født.
To av hans mange berømte kunstverk er
- «Det siste måltid»
- «Den vitruviske mann»
a) Bruk vedlegg 1. Tegn perspektivlinjer. Marker hvor forsvinningspunktet på kunstverket er.
b) Bruk vedlegg 2. Ta mål av mannen når han står med bena samlet og armene rett ut, og avgjør om disse påstandene er riktige:
1\. Lengden fra langfingertupp til langfingertupp (armspennet) er lik høyden til mannen.
2\. Lengden av en hånd er lik $\dfrac{1}{10}$ av høyden til mannen.
3\. Lengden fra albuen til langfingertuppen er lik $\dfrac{1}{5}$ av høyden til mannen.
4\. Forholdet mellom lengden av en fot og høyden til mannen er $1 : 7$.
---
## V2016 del 2 oppgave 6 — Fritt fall fra Det skjeve tårn i Pisa
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Andregradsfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Løse likningen 4,9t^2 = 44,4 og finne differansen mellom falt strekning etter 3 s og etter 2 s.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fritt-fall-fra-det-skjeve-tarn-i-pisa/
### Oppgavetekst
Familien stopper ved Det skjeve tårn i Pisa.
Det blir fortalt at Galileo slapp tunge blykuler fra den laveste siden av tårnet.
Hele fallhøyden er 44,4 m. Se figuren nedenfor.
Hvis vi slipper en kule fra toppen og ser bort fra luftmotstanden, vil kulen falle $h$ meter på $t$ sekunder. Galileo viste at
$$
h = 4{,}9t^2
$$
a) Vi setter $h = 44{,}4 \mathrm{~m}$. Vis ved regning at det tar ca. 3 s fra vi slipper kulen, til den treffer bakken.
b) Vis ved regning at kulen faller ca. 25 m i løpet av det siste sekundet.
---
## V2016 del 2 oppgave 7 — Banen til en kanonkule som parabel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Graftegning, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tegne parabelen h(x) = −0,01x^2 + x + 20 i graftegner og lese av toppunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/banen-til-en-kanonkule-som-parabel/
### Oppgavetekst
Galileo viste at kanonkuler går i en bane som vi kaller en parabel. Se skissen nedenfor.
Banen til en kanonkule kan beskrives ved hjelp av funksjonen $h$ gitt ved
$$
h(x) = -0{,}01x^2 + x + 20
$$
Her viser $h(x)$ hvor mange meter kanonkulen er over havet når den har kommet $x$ meter fra kanonen, målt langs havoverflaten.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $h$ for $x$-verdier fra og med 0 til og med 120.
b) Bruk graftegner til å bestemme hvor høyt over havet kanonkulen er på sitt høyeste.
---
## V2016 del 2 oppgave 8 — Fibonacci-tallene og en tallfølge med a og b
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Mønstre, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Fortsette Fibonacci-følgen og generalisere det samme mønsteret til en følge med leddene a og b.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fibonacci-tallene-og-en-tallfolge-med-a-og-b/
### Oppgavetekst
Fibonacci-tallene har fått navn etter Leonardo Fibonacci fra Pisa (ca. 1170–ca. 1250).
Fibonacci-tallene er en tallfølge der de to første tallene er 1. Hvert av de neste tallene er summen av de to tallene foran:
$1 + 1 = 2$, $1 + 2 = 3$, $2 + 3 = 5$, $3 + 5 = 8$ og så videre.
De åtte første Fibonacci-tallene er
$$
1 \,,\; 1 \,,\; 2 \,,\; 3 \,,\; 5 \,,\; 8 \,,\; 13 \,,\; 21
$$
a) Skriv opp de neste fire Fibonacci-tallene i tallfølgen ovenfor.
I tallfølgen nedenfor er de to første leddene $a$ og $b$. Hvert av de neste leddene er summen av de to leddene foran.
$$
a \,,\; b \,,\; a + b \,,\; a + 2b \,,\; 2a + 3b \,,\; 3a + 5b \,,\; \ldots
$$
b) Skriv opp de fire neste leddene i denne tallfølgen.
---
## V2016 del 2 oppgave 9 — Radius i sirkel som tangerer tre halvsirkler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Pytagoras, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp Pytagoras i trekanten ABC og løse for radien i sirkelen som tangerer tre halvsirkler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/radius-i-sirkel-som-tangerer-tre-halvsirkler/
### Oppgavetekst
Bildet ovenfor viser en del av bygningen *Palazzo Vendramin-Calergi* i Venezia. Nedenfor ser du en skisse av den øvre delen av vinduene. Skissen viser tre halvsirkler og én sirkel. Sirkelen tangerer alle de tre halvsirklene.
- Punktet $B$ er sentrum i den store halvsirkelen.
- Punktet $A$ er sentrum i en av de små halvsirklene.
- Punktet $C$ er sentrum i sirkelen.
- Linjestykket $r$ er radius i sirkelen.
Regn ut lengden av radien $r$.
---
## V2015 del 1 oppgave 1 — Fire regnestykker med 395, 572, 102 og 81
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med hele tall og desimaltall uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-regnestykker-med-395-572-102-og-81/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $395 + 1988 =$
b) $572 - 479 =$
c) $102 \cdot 98 =$
d) $81 : 0{,}27 =$
---
## V2015 del 1 oppgave 2 — Enhetsomgjøring med 98 km og 800 mL
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Omgjøring mellom kilometer og mil, kilogram og hektogram, milliliter og liter, og minutter og timer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetsomgjoring-med-98-km-og-800-ml/
### Oppgavetekst
Gjør om
a) $98$ km $=$ mil
b) $12{,}3$ kg $=$ hg
c) $800$ mL $=$ L
d) $4$ h $12$ min $=$ h
---
## V2015 del 1 oppgave 3 — Standardform for 435 000 og primtallsfaktorer i 105
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Primtallsfaktorisering
- **Kort beskrivelse:** Skrive 435 000 på standardform og faktorisere 105 i primtallsfaktorer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-for-435-000-og-primtallsfaktorer-i-105/
### Oppgavetekst
a) Skriv på standardform: $435\,000 =$
b) Faktoriser med primtall: $105 =$
---
## V2015 del 1 oppgave 4 — Fire brøkuttrykk med nevnerne 10, 12, 9 og 15
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addere, subtrahere, multiplisere og dividere brøker med ulike nevnere og forkorte svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-brokuttrykk-med-nevnerne-10-12-9-og-15/
### Oppgavetekst
Regn ut og forkort
a) $\dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{10} =$
b) $\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{3} =$
c) $\dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} =$
d) $\dfrac{4}{5} : \dfrac{6}{15} =$
---
## V2015 del 1 oppgave 5 — Løs likningene 6x = 4x + 8 og en brøklikning
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Løse en enkel førstegradslikning og en likning med brøk ved å multiplisere med fellesnevneren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-likningene-6x-4x-8-og-en-broklikning/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
6x = 4x + 8
$$
b)
$$
\dfrac{x}{2} - \dfrac{x-2}{3} = 1
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 6 — Virkelig avstand mellom A og B med målestokk 1 til 50 000
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gange kartavstanden 4,5 cm med målestokktallet 50 000 og gjøre om fra centimeter til kilometer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/virkelig-avstand-mellom-a-og-b-med-malestokk-1-til-50-000/
### Oppgavetekst
Målestokken på et kart er $1 : 50\,000$. Avstanden mellom et punkt $A$ og et punkt $B$ på kartet er $4{,}5$ cm. Avstanden mellom punktene er i virkeligheten
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $2\,250\,000$ km
> - [ ] $22\,500$ km
> - [ ] $22{,}5$ km
> - [x] $2{,}25$ km
---
## V2015 del 1 oppgave 7 — Prisavslag på 20 prosent mot to ganger 10 prosent
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne ett avslag på 20 % med to avslag på 10 % ved hjelp av vekstfaktorer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisavslag-pa-20-prosent-mot-to-ganger-10-prosent/
### Oppgavetekst
En vare koster 100 kroner både i butikk A og i butikk B.
- I butikk A blir prisen satt ned med 20 % på fredag.
- I butikk B blir prisen først satt ned med 10 % på fredag, og deretter ned med 10 % til på lørdag.
I hvilken butikk er varen billigst etter prisreduksjonene?
---
## V2015 del 1 oppgave 8 — Forenkling av 2 minus 2(2a + 1) og en algebraisk brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Løse opp parentes med negativt fortegn og forkorte en algebraisk brøk ved å faktorisere teller og nevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-2-minus-2-2a-1-og-en-algebraisk-brok/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
2 - 2(2a + 1)
$$
b)
$$
\dfrac{(2a - 2b)(a + b)}{2a + 2b}
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 9 — Sannsynlighet for å trekke Gravity blant fire filmer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Uniform sannsynlighet ved trekning av én film, og sannsynligheten for at en bestemt film er med når to av fire trekkes.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-a-trekke-gravity-blant-fire-filmer/
### Oppgavetekst
Thomas har disse 4 filmene: *Avatar*, *Hobbiten*, *Gravity* og *Hunger Games*.
Thomas trekker tilfeldig én film.
a) Bestem sannsynligheten for at Thomas trekker *Avatar*.
Svar:
Thomas trekker tilfeldig 2 av de 4 filmene og tar dem med til Markus. Markus sier: «Jeg så *Gravity* i går, så jeg håper du ikke tok med den filmen.»
b) Bestem sannsynligheten for at Thomas har tatt med *Gravity*.
---
## V2015 del 1 oppgave 10 — Løs kjeglens volumformel for høyden h
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Algebra, Volum
- **Kort beskrivelse:** Snu formelen for volumet av en kjegle slik at høyden $h$ står alene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-kjeglens-volumformel-for-hoyden-h/
### Oppgavetekst
Formelen for volumet av en rett kjegle er $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$
Formelen for høyden $h$ i kjeglen er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $h = \dfrac{V \pi r^2}{3}$
> - [ ] $h = 3V \pi r^2$
> - [ ] $h = \dfrac{\pi r^2}{3V}$
> - [x] $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$
---
## V2015 del 1 oppgave 11 — Alderen til Marius, Gabriel og Andreas til sammen 53 år
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likningen $x + \tfrac{x}{2} + (x+3) = 53$ for tre aldre uttrykt ved hverandre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/alderen-til-marius-gabriel-og-andreas-til-sammen-53-ar/
### Oppgavetekst
Marius er halvparten så gammel som Gabriel. Andreas er tre år eldre enn Gabriel. Til sammen er de tre guttene 53 år.
Lag en likning, og bruk denne til å regne ut hvor gammel hver av guttene er.
---
## V2015 del 1 oppgave 12 — Gjennomsnitt og median for vekten til fire fotballspillere
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Regne ut gjennomsnitt og median av fire vekter, der medianen er gjennomsnittet av de to midterste.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-median-for-vekten-til-fire-fotballspillere/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du vekten til 4 av spillerne i Chelsea Football Club.
| Spiller | Ivanovic | Drogba | Fàbregas | Terry |
|:--------|:--------:|:------:|:--------:|:-----:|
| Vekt | 91 kg | 91 kg | 74 kg | 90 kg |
a) Gjennomsnittsvekten for de 4 spillerne er kg
b) Medianvekten for de 4 spillerne er kg
---
## V2015 del 1 oppgave 13 — Likningssystemet 2x + y = 5 og x − y = −2
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Grafisk løsning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Løse et lineært likningssystem med to ukjente ved regning og deretter grafisk som skjæringspunkt mellom to linjer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystemet-2x-y-5-og-x-y-2/
### Oppgavetekst
$$
\begin{aligned}
2x + y &= 5 \\
x - y &= -2
\end{aligned}
$$
a) Løs likningssystemet ovenfor ved regning.
b) Løs likningssystemet ovenfor grafisk. Marker løsningen i koordinatsystemet.
---
## V2015 del 1 oppgave 14 — Konstruksjon av trapes med 30 og 45 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en likebeint trekant med toppvinkel $30\degree$ og utvide den til et trapes med $\angle ACD = 45\degree$ og $AD \parallel BC$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-trapes-med-30-og-45-grader/
### Oppgavetekst
Konstruer $\triangle ABC$ der $\angle A = 30\degree$, $AB = 7{,}0$ cm og $AC = 7{,}0$ cm.
$\triangle ABC$ er en del av firkanten $ABCD$ der $\angle ACD = 45\degree$ og $AD \parallel BC$.
Konstruer trapeset $ABCD$.
Lag hjelpefigur og skriv en kort konstruksjonsforklaring.
---
## V2015 del 1 oppgave 15 — Beiteområde med 180 m gjerde som kvadrat eller sirkel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Sirkel, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne arealet av et kvadrat og en sirkel med samme omkrets 180 m når $\pi \approx 3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/beiteomrade-med-180-m-gjerde-som-kvadrat-eller-sirkel/
### Oppgavetekst
En bonde har 180 m gjerde. Med det vil han lage et beiteområde. Bonden vil gi beiteområdet form som et **kvadrat** eller en **sirkel**.
Bonden ønsker at beiteområdet skal ha størst mulig areal.
Bestem ved regning hvilken av disse to formene på beiteområdet han bør velge. Bruk at $\pi \approx 3$
---
## V2015 del 1 oppgave 16 — Arealet av et likesidet trekantet beiteområde med 180 m gjerde
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Pytagoras, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Finne høyden i en likesidet trekant med side 60 m ved Pytagoras og vise at arealet blir $900\sqrt{3}$ m².
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealet-av-et-likesidet-trekantet-beiteomrade-med-180-m-gjerde/
### Oppgavetekst
Bonden tenker også på å bruke gjerdet på 180 m til å lage et beiteområde med form som en likesidet trekant.
Vis at arealet til beiteområdet kan skrives som $A = 900\sqrt{3}$ m²
Hint: $\sqrt{2700} = 30\sqrt{3}$
---
## V2015 del 2 oppgave 1 — Handel med poteter, blomkål og gulrøtter på Bondens marked
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tekstoppgave, Likninger, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne ut samlet pris fra en prisliste og finne antall kilogram ut fra et kjent totalbeløp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/handel-med-poteter-blomkal-og-gulrotter-pa-bondens-marked/
### Oppgavetekst
På «Bondens marked» selger bonden varer direkte til kundene.
| Vare | Pris |
|:-----|:-----|
| Poteter, løs vekt (1 kg) | 10,00 kroner |
| Poteter, sekk (5 kg) | 45,00 kroner |
| Blomkål (per stk.) | 12,50 kroner |
| Gulrøtter, løs vekt (1 kg) | 12,00 kroner |
| Gulrøtter, sekk (10 kg) | 90,00 kroner |
| Gårdsegg (1 brett med 20 egg) | 40,00 kroner |
Miriam kjøper 3,5 kg poteter i løs vekt, 2 stk. blomkål og 1 sekk med 10 kg gulrøtter.
a) Regn ut hva Miriam må betale til sammen for disse varene.
Mikael kjøper gulrøtter (i løs vekt) og 1 brett med gårdsegg. Han betaler i alt 100,00 kroner.
b) Regn ut hvor mange kilogram gulrøtter (i løs vekt) Mikael kjøper.
---
## V2015 del 2 oppgave 2 — Omkrets og diameter på traktorhjul målt i tommer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Forholdsregning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut omkretsen av en sirkel med diameter i tommer, og bruke at like lang veistrekning gir omvendt forhold mellom omkrets og antall omdreininger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkrets-og-diameter-pa-traktorhjul-malt-i-tommer/
### Oppgavetekst
Forhjulet på en traktor har diameter $d = 24''$ (tommer). $1'' \approx 2{,}54$ cm.
a) Regn ut omkretsen til forhjulet. Oppgi svaret i centimeter.
Når forhjulet har gått 3,0 ganger rundt, har bakhjulet gått 1,7 ganger rundt.
b) Regn ut diameteren til bakhjulet. Oppgi svaret i tommer.
---
## V2015 del 2 oppgave 3 — Serielån på 3,6 millioner kroner i regneark
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Lån, Rente, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Sette opp nedbetalingsplanen for et serielån med fast avdrag i regneark, lage diagram over terminbeløpene og sammenlikne samlede renteutgifter for 10 og 8 terminer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/serielan-pa-3-6-millioner-kroner-i-regneark/
### Oppgavetekst
Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt.
Isak vil bygge et kyllingfjøs og får et serielån i banken. Lånebeløpet er 3 600 000 kroner. Han vil betale ned lånet med én termin per år i 10 år. Renten er 4,0 % per år. Nedenfor ser du et oppsett for nedbetalingsplanen fra banken. Alle beløp er oppgitt i kroner.
a) Fullfør nedbetalingsplanen i et regneark.
b) Framstill terminbeløp for hvert år i et passende diagram.
Isak vurderer å betale ned lånet i løpet av 8 år med én termin per år. Renten er fortsatt 4,0 % per år.
c) Hvor mye mindre betaler Isak i renteutgifter totalt ved å redusere antall terminer til 8?
---
## V2015 del 2 oppgave 4 — Vekten til et lam gitt ved V(x) = 0,28x + 5
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftegning, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke konstantledd og stigningstall i en lineær modell, tegne grafen med graftegner og lese av verdier begge veier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekten-til-et-lam-gitt-ved-v-x-0-28x-5/
### Oppgavetekst
I oppgave b), c) og d) skal du bruke graftegner på datamaskin.
En modell som kan vise hvordan vekten til et lam øker etter fødselen, er gitt ved funksjonen
$$
V(x) = 0{,}28x + 5
$$
$V(x)$ er vekten til et lam målt i kilogram $x$ dager etter fødselen.
a) Hvor mye veier et nyfødt lam?
Hvor mye øker vekten til et lam per dag?
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $V$ når $0 \leq x \leq 150$.
c) Bestem grafisk hvor mye et lam veier når det er 75 dager gammelt.
Et lam slaktes når det veier mer enn 45 kg.
d) Bestem grafisk hvor mange dager gammelt et lam minst må være når det slaktes.
---
## V2015 del 2 oppgave 5 — Høyden til et tre målt med vinkel, skygge og brudd
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rettvinklet trekant, Formlike trekanter, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Finne høyden til et tre med tangens, deretter med formlike trekanter og skyggelengder, og til slutt med Pytagoras på et knekt tre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hoyden-til-et-tre-malt-med-vinkel-skygge-og-brudd/
### Oppgavetekst
Christian skal hugge ned et tre som står loddrett på et flatt område. Christian står og ser mot treet fra et punkt $B$ til et punkt $A$ på treet. Toppen av treet kaller vi punkt $C$. Se skisse 1.
a) Regn ut høyden til treet ved hjelp av opplysningene i skisse 1.
Neste dag skinner solen. Vi antar at solstrålene er parallelle. Christian vil kontrollere utregningen sin ved å regne ut høyden til treet på en annen måte. Skyggen til treet er 14,5 m. Skyggen til Christian er 1,5 m. Se skisse 2.
b) Regn ut høyden til treet ved hjelp av opplysningene i skisse 2.
Et annet tre på samme område knekker i en kraftig storm. En del av treet blir hengende slik skisse 3 viser. Tretoppen berører bakken.
Christian vet at dette treet var 18,0 m høyt før det knakk. Avstanden mellom tretoppen på bakken og trestammen er 4,2 m.
c) Regn ut hvor høyt over bakken treet knakk.
---
## V2015 del 2 oppgave 6 — Volum og høyde av en silo med sylinder og kjegle
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Formler, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut volumet av en kjegle, finne sylinderhøyden når totalvolumet er kjent, og utlede forholdet mellom høydene når volumforholdet er 6 til 1.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-og-hoyde-av-en-silo-med-sylinder-og-kjegle/
### Oppgavetekst
En silo er satt sammen av en rett sylinder og en rett kjegle. Radien $r = 1{,}05$ m er den samme i både sylinderen og kjeglen. Høyden i kjeglen er 1,8 m. Se skissen nedenfor.
a) Regn ut volumet av kjeglen.
Volumet av hele siloen er $14{,}5 \mathrm{~m}^3$.
b) Regn ut høyden av hele siloen.
I en liknende silo er radien i både sylinderen og kjeglen lik $r$. Høyden i sylinderen er $h_1$. Høyden i kjeglen er $h_2$. Forholdet mellom volumet av sylinderen og volumet av kjeglen er $6 : 1$.
c) Regn ut forholdet mellom $h_1$ og $h_2$.
---
## V2015 del 2 oppgave 7 — Sideflater, hjørner og sidekanter i platonske romlegemer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Mønstre, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Telle sideflater, hjørner og sidekanter i tetraeder, heksaeder og oktaeder og finne Eulers regel $F + H - K = 2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sideflater-hjorner-og-sidekanter-i-platonske-romlegemer/
### Oppgavetekst
Platon (ca. 428 f.Kr.–ca. 347 f.Kr.) var en berømt gresk filosof. Han var også matematiker og grunnla et berømt akademi i Athen. Fra Platon har vi navnet på de *platonske romlegemene*.
I et platonsk romlegeme er alle sideflatene regulære mangekanter og helt like (kongruente). Antall sideflater i romlegemet er $F$, antall hjørner er $H$ og antall sidekanter er $K$.
Nedenfor ser du tre av de platonske romlegemene.
a) Skriv av tabellen nedenfor, og fyll inn tallene som mangler.
| | Antall sideflater $F$ | Antall hjørner $H$ | Antall sidekanter $K$ |
|:-----------|:---------------------:|:------------------:|:---------------------:|
| Tetraeder | 4 | 4 | 6 |
| Heksaeder | | | |
| Oktaeder | | | |
b) Regn ut $F + H - K$ for hvert av romlegemene. Lag en regel.
---
## V2015 del 2 oppgave 8 — Kvadratet BEFD med dobbelt areal av ABCD
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Geometri, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare at arealet firedobles når siden i et kvadrat fordobles, og vise at kvadratet på diagonalen har dobbelt så stort areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadratet-befd-med-dobbelt-areal-av-abcd/
### Oppgavetekst
Platon forteller om filosofen Sokrates og Menons slave, som diskuterer hvordan de kan gjøre arealet av et kvadrat dobbelt så stort.
a) Et kvadrat har side 1,0 cm. Dersom siden i kvadratet fordobles, hva skjer da med arealet? Forklar.
b) Bruk figuren nedenfor og vis at arealet av kvadratet $BEFD$ er dobbelt så stort som arealet av kvadratet $ABCD$.
---
## V2015 del 2 oppgave 9 — Platons formel for pytagoreiske tripler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Pytagoras, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Sette inn i Platons formel for pytagoreiske tripler, finne $n$ ut fra et gitt trippel og vise likheten ved å regne ut begge sider.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/platons-formel-for-pytagoreiske-tripler/
### Oppgavetekst
Et pytagoreisk trippel er tre hele tall $a$, $b$ og $c$ der $a^2 + b^2 = c^2$. Platons formel for å finne slike pytagoreiske tripler ser du nedenfor.
**Platons formel**
$$
(n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = (n^2 + 1)^2 \qquad \text{når } n = 2, 3, 4, \ldots
$$
**Eksempel når $n = 2$:**
$$
\begin{aligned}
(2^2 - 1)^2 + (2 \cdot 2)^2 &= (2^2 + 1)^2 \\
3^2 + 4^2 &= 5^2
\end{aligned}
$$
Dermed er $(3, 4, 5)$ et pytagoreisk trippel.
a) Regn ut hvilket pytagoreisk trippel du får dersom $n = 6$.
b) Tallene $(120, 22, 122)$ er et pytagoreisk trippel. Hva er verdien av $n$ i dette tilfellet?
c) Vis at $(n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = (n^2 + 1)^2$ ved å regne ut venstre side og høyre side i likningen.
---
## E2015 del 1 oppgave 1 — Fire regnestykker med 987 og 8643
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med desimaltall uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-regnestykker-med-987-og-8643/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $987 + 589 =$
b) $8643 - 4789 =$
c) $345 \cdot 678 =$
d) $32 : 0{,}64 =$
---
## E2015 del 1 oppgave 2 — Omgjøring av minutter milligram milliliter og kvadratmeter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom minutter og timer, milligram og kilogram, milliliter og liter, kvadratmeter og dekar.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omgjoring-av-minutter-milligram-milliliter-og-kvadratmeter/
### Oppgavetekst
Gjør om
a) $205 \mathrm{~min} =$ $\mathrm{h}$ $\mathrm{min}$
b) $8000 \mathrm{~mg} =$ $\mathrm{kg}$
c) $750 \mathrm{~mL} =$ $\mathrm{L}$
d) $11\,500 \mathrm{~m^2} =$ $\mathrm{daa}$ (dekar)
---
## E2015 del 1 oppgave 3 — Regn ut tre tideler ganger 15 og 6 delt på tre firedeler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Brøk
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere brøk med heltall og dividere heltall med brøk, og forkorte svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regn-ut-tre-tideler-ganger-15-og-6-delt-pa-tre-firedeler/
### Oppgavetekst
Regn ut, og forkort brøken hvis mulig
a) $\dfrac{3}{10} \cdot 15 =$
b) $6 : \dfrac{3}{4} =$
---
## E2015 del 1 oppgave 4 — Regnerekkefølge med parenteser og potenser
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Negative tall
- **Kort beskrivelse:** Regne ut uttrykk med parentes, kvadrat, negative tall og brøk i riktig rekkefølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regnerekkefolge-med-parenteser-og-potenser/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $1 + 2 \cdot (3-4)^2 =$
b) $-5 \cdot (-2+4)^2 - \dfrac{2^3}{4} =$
---
## E2015 del 1 oppgave 5 — Likning med fellesnevner 6, 4 og 3
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Løse en lineær likning og en brøklikning med fellesnevner 12.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-med-fellesnevner-6-4-og-3/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
x + 3 = -3x + 7
$$
b)
$$
\dfrac{x}{6} - \dfrac{2-x}{4} = \dfrac{x}{3} + 1
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 6 — Omkrets av figur med Pytagoras og sidene 6,0 m og 3,0 m
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Pytagoras, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Finne den skrå siden med Pytagoras og summere sidene i en firkant med to rette vinkler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkrets-av-figur-med-pytagoras-og-sidene-6-0-m-og-3-0-m/
### Oppgavetekst
Se skissen nedenfor.
Regn ut omkretsen av figuren.
---
## E2015 del 1 oppgave 7 — Prosent avslag i tilbudet ta tre betal for to
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentvis endring, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Finne prosentvis avslag når du betaler for to av tre varer, og for to av fem varer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosent-avslag-i-tilbudet-ta-tre-betal-for-to/
### Oppgavetekst
Tilbudet **TA 3, BETAL FOR 2** betyr at du får kjøpt tre varer, men betaler bare for to varer.
a) Én T-skjorte koster 100 kroner. Hvor mange prosent avslag vil du få ved å benytte deg av tilbudet **TA 3, BETAL FOR 2**?
Nedenfor har Pondus tolket tilbudet annerledes.
b) Hvor mange prosent avslag fikk Pondus?
---
## E2015 del 1 oppgave 8 — Celsius og fahrenheit ved 86 grader F
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Algebra, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Sette inn i formelen for celsius og snu den slik at F står alene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/celsius-og-fahrenheit-ved-86-grader-f/
### Oppgavetekst
Formelen $C = \dfrac{5}{9}(F - 32)$ gir antall grader celsius ($C$) uttrykt ved antall grader fahrenheit ($F$).
a) En dag er det $86\degree \mathrm{F}$ i New York i USA. Hvor mange grader celsius tilsvarer dette?
Svar: $\degree \mathrm{C}$
b) Lag en formel for $F$ uttrykt ved $C$.
---
## E2015 del 1 oppgave 9 — Forkorte rasjonale uttrykk med konjugatsetningen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Forkorte en potensbrøk og faktorisere teller og nevner med konjugatsetningen før forkorting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forkorte-rasjonale-uttrykk-med-konjugatsetningen/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
\dfrac{4x^2}{2x}
$$
b)
$$
\dfrac{5x + 25}{x^2 - 25}
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 10 — Sammenligne femmer på én terning med sum seks på to
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne $1/6$ med antall gunstige utfall av 36 for sum lik 6 med to terninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenligne-femmer-pa-en-terning-med-sum-seks-pa-to/
### Oppgavetekst
Hvilken av hendelsene A eller B er mest sannsynlig å få?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] A og B er like sannsynlige
> - [ ] B er mest sannsynlig
> - [ ] Det er umulig å sammenligne A og B
> - [x] A er mest sannsynlig
---
## E2015 del 1 oppgave 11 — Typetall median og gjennomsnitt for fire Chelsea-spillere
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Finne typetall, median (gjennomsnitt av de to midterste) og gjennomsnitt for fire høyder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/typetall-median-og-gjennomsnitt-for-fire-chelsea-spillere/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du høyden til 4 av spillerne på Chelsea FC.
| Spiller | Ivanovic | Drogba | Willian | Fabregas |
|:--------|:--------:|:------:|:-------:|:--------:|
| Høyde | 185 cm | 189 cm | 175 cm | 175 cm |
a) Bestem typetallshøyden for de 4 spillerne: cm
b) Bestem medianhøyden for de 4 spillerne: cm
c) Bestem gjennomsnittshøyden for de 4 spillerne: cm
---
## E2015 del 1 oppgave 12 — Lengden BC i formlike trekanter med 4,0 km og 4,5 km
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formlike trekanter, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke formlikhet mellom to rettvinklede trekanter med toppvinkler i B til å finne BC.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lengden-bc-i-formlike-trekanter-med-4-0-km-og-4-5-km/
### Oppgavetekst
Se skissen nedenfor.
Regn ut lengden av $BC$.
---
## E2015 del 1 oppgave 13 — Målestokk når 2,5 km blir 5,0 cm på kartet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om 2,5 km til centimeter og dele på 5,0 cm for å finne målestokken.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malestokk-nar-2-5-km-blir-5-0-cm-pa-kartet/
### Oppgavetekst
Avstanden i luftlinje mellom to steder er 2,5 km. Avstanden på et kart mellom de to stedene er 5,0 cm. Målestokken på kartet er da
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $1 : 500\,000$
> - [ ] $1 : 125\,000$
> - [ ] $1 : 75\,000$
> - [x] $1 : 50\,000$
---
## E2015 del 1 oppgave 14 — Konstruksjon av firkant ABCD med vinklene 45 og 60 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 2.5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Konstruere 45°, 60°, 30° og 75° med passer og linjal og sette sammen trekanten ABC til firkanten ABCD.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-firkant-abcd-med-vinklene-45-og-60-grader/
### Oppgavetekst
Konstruer $\triangle ABC$ der $AB = 9{,}0 \mathrm{~cm}$, $\angle A = 45\degree$ og $\angle B = 60\degree$.
$\triangle ABC$ er en del av firkanten $ABCD$ der $\angle CAD = 30\degree$ og $\angle ACD = 75\degree$.
Konstruer ferdig firkanten $ABCD$.
Ta med hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.
---
## E2015 del 1 oppgave 15 — Taxiutgifter med startavgift 50 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 2.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftegning, Graftolkning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne ut og tolke funksjonsverdier, tegne den lineære grafen og lese av begge veier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/taxiutgifter-med-startavgift-50-kroner/
### Oppgavetekst
En taxi tar 50 kroner i startavgift og 10 kroner per kilometer.
Utgiftene ved å kjøre $x$ km med taxi kan vi skrive som
$$
T(x) = 10x + 50
$$
a) Regn ut $T(0)$ og $T(15)$. Hva betyr svarene?
b) Tegn grafen til $T$ for $0 \le x \le 40$ i koordinatsystemet nedenfor.
Marker på grafen hvor langt vi kan kjøre for 250 kroner. Svar: km
Marker på grafen hvor store utgiftene er når vi kjører 35 km. Svar: kroner
---
## E2015 del 1 oppgave 16 — Yin og Yang-symbolet med fire like arealer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Areal og omkrets, Bevis, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise med sirkelarealformelen at hver av de fire delene av en sirkel med radius $2r$ er $\pi r^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/yin-og-yang-symbolet-med-fire-like-arealer/
### Oppgavetekst
På Sør-Koreas flagg finner vi Yin og Yang-symbolet. Se figur &fig:10-e15-1-16-1.
Symbolet er laget av tre sirkler. De to små sirklene har radius $r$ og den store sirkelen har radius $2r$. Se figur &fig:10-e15-1-16-2.
Vis ved regning at områdene 1, 2, 3 og 4 har samme areal.
---
## E2015 del 2 oppgave 1 — Fotballutstyr med rabatter og frakt i regneark
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp et regneark med pris, antall, prosentrabatt, kronerabatt og frakt, og endre antallene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fotballutstyr-med-rabatter-og-frakt-i-regneark/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> I oppgave 1 skal du bruke regneark. Vis hvilke formler du har brukt.
Anne kjøper fotballutstyr via Internett. Nedenfor ser du hvilken type varer hun kjøper, de opprinnelige prisene på varene og eventuelle rabatter.
Anne kjøper 4 fotballer og 2 pumper, 1 par fotballsko, 1 par keeperhansker og 1 hettegenser.
Anne må betale til sammen 99 kroner i frakt uansett hvor mye hun kjøper.
a) Lag en oppstilling der du tar med varetype, pris, antall varer, eventuelle rabatter og frakt.
Hvor mye må Anne betale til sammen etter at rabatter er trukket fra og frakt er lagt til?
Før Anne bekrefter kjøpet, vil hun endre antallet på noen av varene. Hun vil kjøpe 3 fotballer, 3 pumper. I tillegg kjøper hun 4 par fotballsko, 2 par keeperhansker og 4 hettegensere.
b) Gjør nødvendige endringer i oppstillingen din.
Hvor mye må Anne betale til sammen etter at rabatter er trukket fra og frakt er lagt til?
---
## E2015 del 2 oppgave 2 — Diagram over vekten til sju Liverpool-spillere
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Diagram, Presentasjon av data, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Lage søylediagram i regneark av sju vekter og begrunne hvorfor linjediagram er uegnet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diagram-over-vekten-til-sju-liverpool-spillere/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> I oppgave 2 skal du bruke regneark.
Nedenfor ser du vekten til 7 av spillerne på Liverpool FC per 13. september 2014.
| Spiller | Sturridge | Gerrard | Skrtel | Balotelli | Saez | Enrique | Mignolet |
|:--------|:---------:|:-------:|:------:|:---------:|:----:|:-------:|:--------:|
| Vekt | 76 kg | 83 kg | 81 kg | 80 kg | 70 kg| 76 kg | 87 kg |
a) Lag et passende diagram som viser vekten til disse 7 spillerne.
b) Forklar hvorfor et linjediagram ikke viser vekten til disse 7 spillerne på en god måte.
---
## E2015 del 2 oppgave 3 — Kombinasjoner av fotballtrøyer bukser strømper og sko
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Bruke multiplikasjonsprinsippet på 4 trøyer, 4 bukser og 3 sammenhørende par, og telle uordnede par av 4 trøyer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kombinasjoner-av-fotballtroyer-bukser-stromper-og-sko/
### Oppgavetekst
Daniel har følgende samling av fotballtrøyer, fotballbukser, fotballstrømper og fotballsko.
Parene med fotballstrømper og fotballsko hører sammen og kan ikke blandes.
a) På hvor mange måter kan Daniel kle seg med én fotballtrøye, én fotballbukse, ett par fotballstrømper og ett par fotballsko?
Daniel velger tilfeldig to av fotballtrøyene og legger dem i en bag.
b) Hvor mange forskjellige kombinasjoner av fotballtrøyer kan det finnes i bagen til Daniel?
---
## E2015 del 2 oppgave 4 — Volum og overflate av fotball med omkrets 67 cm
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kule, Volum, Romgeometri, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Finne radius fra omkretsen av en sirkel og bruke formlene for volum og overflate av en kule, begge veier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-og-overflate-av-fotball-med-omkrets-67-cm/
### Oppgavetekst
a) En fotball med størrelse 5 betyr at volumet er omtrent 5 L. Vis at dette stemmer når omkretsen av fotballen er ca. 67 cm.
b) Regn ut arealet av overflaten til en fotball som har volum 5 L.
c) Arealet av overflaten til en annen fotball er ca. $10 \mathrm{~dm^2}$. Regn ut størrelsen på denne fotballen.
---
## E2015 del 2 oppgave 5 — Sportsdrikk med forholdet 1 til 2 mellom næringsstoff og vann
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Dele 2 L i forholdet 1 : 2 og finne hvor mye vann som må tilsettes for å få forholdet 1 : 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sportsdrikk-med-forholdet-1-til-2-mellom-naeringsstoff-og-vann/
### Oppgavetekst
Anne skal lage en sportsdrikk der forholdet mellom næringsstoff og vann er $1 : 2$.
a) Hvor mange liter av næringsstoffet, og hvor mange liter vann er det i en ferdigblandet sportsdrikk på 2 L?
Anne har 2 L ferdigblandet sportsdrikk. Hun ønsker å tilsette mer vann slik at forholdet mellom næringsstoff og vann skal bli $1 : 3$.
b) Hvor mye ekstra vann må hun da tilsette?
---
## E2015 del 2 oppgave 6 — Skudd mot fotballmål med 30 graders vinkel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rettvinklet trekant, Pytagoras, Geometri, Fart
- **Kort beskrivelse:** Bruke 30-60-90-trekanten og Pytagoras i en rettvinklet trekant, og regne ut gjennomsnittsfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skudd-mot-fotballmal-med-30-graders-vinkel/
### Oppgavetekst
Henrik skal skyte en fotball mot et mål fra et punkt $A$. Målet har høyde $DE = 2{,}44 \mathrm{~m}$.
Tverrliggeren er $EF$. $\angle CAB = 30\degree$. Se skissen nedenfor.
a) Forklar at $AC = 16{,}0 \mathrm{~m}$.
b) Vis ved regning at $AB \approx 13{,}85 \mathrm{~m}$.
Henrik skyter fotballen i en tilnærmet rett linje fra $A$ til tverrliggeren i punkt $E$. Fotballen bruker 0,8 s fra $A$ til $E$.
c) Regn ut gjennomsnittsfarten til fotballen fra $A$ til $E$
---
## E2015 del 2 oppgave 7 — Firkanten ABCD og linjer gjennom B og C
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall, Geometri, Grafisk framstilling
- **Kort beskrivelse:** Tegne en firkant fra fire koordinater, finne likningen for en linje gjennom to punkter og bruke at vinkelrette linjer har produkt av stigningstall lik −1.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/firkanten-abcd-og-linjer-gjennom-b-og-c/
### Oppgavetekst
René Descartes (1596 – 1650) var en fransk filosof og matematiker.
Koordinatsystemet har sitt navn etter Descartes, og han knyttet geometri til algebra.
Han brukte også bokstaver som ukjente tall i likninger.
*Cogito ergo sum* (Jeg tenker, altså er jeg). — René Descartes
a) Punktene $A(-3,\, -4)$, $B(3,\, -4)$, $C(1,\, 2)$ og $D(-3,\, 2)$ er hjørner i firkanten $ABCD$. Tegn firkanten $ABCD$ i et koordinatsystem. Hva slags geometrisk figur er $ABCD$?
b) Vis at likningen til linjen gjennom $B$ og $C$ er $y = -3x + 5$. Tegn grafen til linjen $y = \dfrac{1}{3}x - 5$ som går gjennom $B$.
> En regel sier at dersom produktet av stigningstallene til to lineære funksjoner er lik $-1$, skjærer linjene hverandre vinkelrett.
c) På linjen $y = \dfrac{1}{3}x - 5$ ligger det et punkt $E$ slik at $\triangle BEC$ er rettvinklet og likebeint. Bestem koordinatene til punktet $E$.
---
## E2015 del 2 oppgave 8 — Svømmekonkurranse mellom Kine og Mina
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Argumentasjon, Fart
- **Kort beskrivelse:** Lese to avstand-tid-grafer og beskrive vendepunkt, ledelse og fart i en svømmekonkurranse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/svommekonkurranse-mellom-kine-og-mina/
### Oppgavetekst
Kine og Mina har deltatt i en svømmekonkurranse. Nedenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av svømmeturen til Kine (blå graf) og svømmeturen til Mina (rød graf).
Ta utgangspunkt i grafene ovenfor og forklar hvordan Kine og Mina svømte i forhold til hverandre.
---
## E2015 del 2 oppgave 9 — Klinkekuler til Marius og Kathrine som likningssystem
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra, Grafisk løsning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp et likningssystem fra to utsagn, løse det grafisk med graftegner og ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klinkekuler-til-marius-og-kathrine-som-likningssystem/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> I oppgave 9 b) skal du bruke graftegner på datamaskin.
Marius har $x$ klinkekuler. Kathrine har $y$ klinkekuler.
> Marius
> Gi meg 10 klinkekuler, så har vi like mange!
> Kathrine
> Hvis du i stedet gir meg 10 klinkekuler, så vil jeg ha dobbelt så mange som deg.
a) Vis at vi ut fra utsagnene til Marius og Kathrine kan stille opp følgende likningssystem
$$
\begin{aligned}
x - y &= -20 \\
2x - y &= 30
\end{aligned}
$$
b) Bruk graftegner til å bestemme hvor mange klinkekuler Marius har, og hvor mange klinkekuler Kathrine har.
c) Bestem ved regning hvor mange klinkekuler Marius har, og hvor mange klinkekuler Kathrine har.
---
## E2015 del 2 oppgave 10 — Størst mulig areal med 140 meter gjerde
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Modellering, Areal og omkrets, Graftegning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp arealfunksjonen $A(x) = -x^2 + 70x$ for et rektangel med omkrets 140 m og finne toppunktet med graftegner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/storst-mulig-areal-med-140-meter-gjerde/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> I oppgave 10 c) skal du bruke graftegner på datamaskin.
En bonde vil lage et rektangulært område av et 140 m langt gjerde.
Han vil at arealet av området skal bli størst mulig.
Først tenker bonden seg to ulike måter å lage området på:
a) Regn ut arealet av område 1 og område 2.
Bonden vil bruke gjerdet til å lage et nytt rektangulært område der to parallelle sider er $x$ m.
b) Forklar at lengden av de to andre parallelle sidene da må være $(70 - x) \mathrm{~m}$.
Vis at arealet av dette området kan beskrives av en funksjon $A$ gitt ved
$$
A(x) = -x^2 + 70x
$$
Hvilke verdier kan $x$ ha?
c) Bruk graftegner til å tegne grafen til $A$. Bestem den $x$-verdien som gir størst areal for dette området. Hvor stort er dette største arealet? Hvilken form har dette største området?
---
## V2014 del 1 oppgave 1 — Regn ut 831 + 1196 og 1620 delt på 120
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon med desimaltall og divisjon uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regn-ut-831-1196-og-1620-delt-pa-120/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $831 + 1196 =$
b) $987 - 789 =$
c) $14{,}2 \cdot 3{,}1 =$
d) $1620 : 120 =$
---
## V2014 del 1 oppgave 2 — Enhetsomgjøring av 3,25 h og 36 km per time
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom timer og minutter, tonn og kilogram, kubikkcentimeter og liter, og km/h og m/s.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetsomgjoring-av-3-25-h-og-36-km-per-time/
### Oppgavetekst
Gjør om
a) $3{,}25 \mathrm{~h} =$ min
b) $9{,}3 \mathrm{~t} =$ kg
c) $2400 \mathrm{~cm}^3 =$ L
d) $36 \mathrm{~km/h} =$ m/s
---
## V2014 del 1 oppgave 3 — Standardform for 62 000 og potens med minus tre
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Skrive et tall på standardform og regne ut et potensuttrykk med negativ grunntall og eksponenten null.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-for-62-000-og-potens-med-minus-tre/
### Oppgavetekst
a) Skriv på standardform: $62\,000 =$
b) Regn ut: $\left((-3)^2\right)^2 - 3^0 =$
---
## V2014 del 1 oppgave 4 — Brøkregning med femdeler, tredeler og firedeler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addere, subtrahere, multiplisere og dividere brøker og forkorte svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brokregning-med-femdeler-tredeler-og-firedeler/
### Oppgavetekst
Regn ut, og forkort brøken hvis det er mulig
a) $\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} =$
b) $\dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{3} =$
c) $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{4} =$
d) $4 : \dfrac{2}{3} =$
---
## V2014 del 1 oppgave 5 — Løs likningene 3x = x + 8 og (x+2)^2 = x^2 + 6
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse en enkel lineær likning og en likning der andregradsleddene faller bort etter kvadratsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-likningene-3x-x-8-og-x-2-2-x2-6/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
3x = x + 8
$$
b)
$$
(x + 2)^2 = x^2 + 6
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 6 — Kveldstillegg på 25 prosent for Mads
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Finne lønn for fire timer når timelønnen på 130 kroner økes med 25 prosent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kveldstillegg-pa-25-prosent-for-mads/
### Oppgavetekst
Mads tjener 130 kroner per time. Hvis han jobber om kvelden, får han et tillegg i lønnen på 25 %.
Hvor mye tjener Mads hvis han jobber 4 timer om kvelden?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 590 kroner
> - [ ] 620 kroner
> - [x] 650 kroner
> - [ ] 680 kroner
---
## V2014 del 1 oppgave 7 — Forenkling av bokstavbrøker med a og b
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Forkorte en potensbrøk og dividere to rasjonale uttrykk ved faktorisering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-bokstavbroker-med-a-og-b/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
\dfrac{6a^3}{2a^2}
$$
b)
$$
\dfrac{6a - 6}{12b^2} : \dfrac{a - 1}{4b^3}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 8 — Sannsynlighet for røde kuler i en eske med fem kuler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Finne sannsynligheten for én rød kule og for to røde kuler uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-rode-kuler-i-en-eske-med-fem-kuler/
### Oppgavetekst
I en eske ligger det to grå kuler og tre røde kuler.
a) Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig én rød kule.
Svar:
Du legger kulen tilbake i esken.
b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig to røde kuler når den første kulen ikke legges tilbake i esken før du trekker den andre kulen.
Svar:
---
## V2014 del 1 oppgave 9 — Pris på skolebrød og vannflaske
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et likningssystem med to ukjente ut fra to handlekurver med kjent totalpris.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-skolebrod-og-vannflaske/
### Oppgavetekst
Hva koster ett skolebrød, og hva koster én vannflaske?
---
## V2014 del 1 oppgave 10 — Målestokk når 2 cm på kartet er 100 km
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Finne målestokken når 2 cm på kartet svarer til 100 km i virkeligheten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malestokk-nar-2-cm-pa-kartet-er-100-km/
### Oppgavetekst
På et kart er avstanden mellom to byer 2 cm. I virkeligheten er avstanden (i luftlinje) mellom byene 100 km.
Målestokken på kartet er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $1 : 20\,000$
> - [ ] $1 : 200\,000$
> - [ ] $1 : 50\,000$
> - [x] $1 : 5\,000\,000$
---
## V2014 del 1 oppgave 11 — Tid for å fylle 100 kubikkmeter vann i et basseng
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Skalere opp en fylletid fra 1 kubikkmeter til 100 kubikkmeter og gjøre om minutter til timer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tid-for-a-fylle-100-kubikkmeter-vann-i-et-basseng/
### Oppgavetekst
Et basseng fylles med $1 \mathrm{~m}^3$ vann på 10 min.
Hvor lang tid tar det å fylle $100 \mathrm{~m}^3$ vann i bassenget?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 1 h 40 min
> - [ ] 10 h 0 min
> - [ ] 16 h 6 min
> - [x] 16 h 40 min
---
## V2014 del 1 oppgave 12 — Formel for skostørrelse ut fra fotlengde
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette inn i formelen $S = (3F+5)/2$ og løse den samme formelen for $F$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formel-for-skostorrelse-ut-fra-fotlengde/
### Oppgavetekst
Vi beregner skostørrelse etter denne formelen:
$$
S = \frac{3F + 5}{2}
$$
- $S$ er skostørrelse
- $F$ er fotlengde (cm)
Håkons fot er 25 cm lang.
a) Hvilken skostørrelse bruker han?
Svar:
Kathrine bruker skostørrelse 37.
b) Hvor lange er føttene hennes?
Svar: cm
---
## V2014 del 1 oppgave 13 — Verditabell og grafer for 2x - 1 og 6 delt på x
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Omvendt proporsjonalitet, Graftegning, Skjæringspunkt
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut verditabeller, tegne grafene til en lineær og en omvendt proporsjonal funksjon og lese av skjæringspunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verditabell-og-grafer-for-2x-1-og-6-delt-pa-x/
### Oppgavetekst
a) Fyll ut det som mangler i verditabellen for funksjonene $f$ og $g$ gitt ved
$$
f(x) = 2x - 1 \qquad \qquad g(x) = \frac{6}{x}
$$
| $x$ | $f(x)$ | Koordinater |
|:-----:|:------:|:-----------:|
| $0$ | $-1$ | $(0,\ -1)$ |
| $1$ | | |
| $2$ | $3$ | |
| $3$ | | |
| $x$ | $g(x)$ | Koordinater |
|:-----:|:------:|:-----------:|
| $1$ | | $(1,\ 6)$ |
| $2$ | $3$ | |
| $3$ | | |
| $4$ | | $(4,\ 1{,}5)$ |
| $5$ | $1{,}2$ | |
b) Tegn grafene til $f$ og $g$ i koordinatsystemet nedenfor.
c) Skjæringspunktet mellom grafene til $f$ og $g$ er ( , )
---
## V2014 del 1 oppgave 14 — Konstruksjon av likesidet trekant med omskrevet sirkel og tangent
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en likesidet trekant, midtnormalene, den omskrevne sirkelen og en tangent i et av hjørnene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-likesidet-trekant-med-omskrevet-sirkel-og-tangent/
### Oppgavetekst
Konstruer $\triangle ABC$ der $AB = BC = AC = 7{,}0 \mathrm{~cm}$.
En sirkel går gjennom punktene i $\triangle ABC$. Sentrum $S$ i sirkelen er punktet der midtnormalene på de tre sidene i $\triangle ABC$ skjærer hverandre.
Konstruer sentrum $S$ og slå sirkelen om $S$. Konstruer en tangent til sirkelen i $C$.
Ta med hjelpefigur og en kort konstruksjonsforklaring.
---
## V2014 del 1 oppgave 15 — Formlike trekanter med 6 m, 8 m og 2 m
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formlike trekanter, Geometri, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Bruke Pytagoras til å finne $AB$ og forholdet mellom formlike trekanter til å finne $BE$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formlike-trekanter-med-6-m-8-m-og-2-m/
### Oppgavetekst
På skissen er $\triangle DBA \sim \triangle ECB$ (formlike). En rett linje går gjennom punktene $A$, $B$ og $C$.
a) Regn ut $AB$.
b) Regn ut $BE$.
---
## V2014 del 1 oppgave 16 — Arealuttrykk for kvadrat med sidene a minus 2 og 4
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Areal og omkrets, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Sette opp et algebraisk uttrykk for arealet av et kvadrat satt sammen av to kvadrater og to rektangler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealuttrykk-for-kvadrat-med-sidene-a-minus-2-og-4/
### Oppgavetekst
Et stort kvadrat $ABCD$ består av to mindre kvadrater og to rektangler.
Skriv et uttrykk for arealet til det store kvadratet $ABCD$.
---
## V2014 del 2 oppgave 1 — Billettpriser og klippekort i Badeland
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Prosentregning, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Lese priser fra en tabell, regne prosentvis besparelse på klippekort og finne gjennomsnittlig pris per besøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/billettpriser-og-klippekort-i-badeland/
### Oppgavetekst
**Inngangsbilletter**
| Alder | Enkeltbillett, pris (i kroner) | Klippekort 10 klipp, pris (i kroner) | Klippekort 25 klipp, pris (i kroner) |
|:-----------------------|-----------------:|-----------------:|-----------------:|
| Voksen (fra 16 år) | 125 | 1 150 | 2 665 |
| Ungdom (10–15 år) | 105 | 910 | 2 060 |
| Barn (3–9 år) | 95 | 710 | 1 485 |
| Barn (0–2 år) | 50 | | |
Anne (18 år), Eva (15 år) og Charles (14 år) går sammen til Badeland. Alle kjøper enkeltbillett.
a) Hvor mye må Anne, Eva og Charles betale til sammen?
For å spare penger vil Anne kjøpe klippekort.
b) Regn ut hvor mange prosent Anne sparer dersom hun kjøper klippekort (25 klipp) i stedet for 25 enkeltbilletter.
I løpet av et år kjøpte Charles ett klippekort med 25 klipp og ett klippekort med 10 klipp. I tillegg kjøpte han 12 enkeltbilletter.
c) Regn ut hva Charles betalte i gjennomsnitt hver gang han var i svømmehallen dette året.
---
## V2014 del 2 oppgave 2 — Oppstilling på åtte svømmebaner og forsprang i bassenget
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Fart
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $8!$ for antall oppstillinger og finne forspranget i meter ut fra to svømmetider.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oppstilling-pa-atte-svommebaner-og-forsprang-i-bassenget/
### Oppgavetekst
Et svømmebasseng har 8 baner.
a) På hvor mange ulike måter kan 8 svømmere stille seg opp på de 8 banene?
Anne og Eva skal svømme 100 m og starter samtidig. Anne bruker 1 min 20 s. Eva bruker 1 min 40 s.
b) Med hvor mange meter vinner Anne?
---
## V2014 del 2 oppgave 3 — Regneark med besøkstall i Badeland
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Statistikk, Prosentvis endring, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Summere og finne gjennomsnitt i regneark, lage linjediagram og beregne en ny kolonne med 5 prosent nedgang.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regneark-med-besokstall-i-badeland/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> Oppgave 3 skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt. Ta utskrift.
I tabellen nedenfor ser du besøkstallet hos Badeland for hver måned i 2013.
| Måned | 2013 | 2014 |
|:-----------------------------|-----------:|-----------:|
| Januar | 12 235 | |
| Februar | 12 470 | |
| Mars | 13 325 | |
| April | 11 313 | |
| Mai | 10 582 | |
| Juni | 8 790 | |
| Juli | 15 781 | |
| August | 9 303 | |
| September | 9 509 | |
| Oktober | 11 779 | |
| November | 11 126 | |
| Desember | 8 312 | |
| **Totalt besøkstall** | | |
| **Gjennomsnittlig besøkstall per måned** | | |
a) Lag en tilsvarende tabell i et regneark. Regn ut totalt besøkstall for 2013. Regn ut gjennomsnittlig besøkstall per måned for 2013.
b) Framstill besøkstallet for hver måned i 2013 i et linjediagram.
Badeland må spare penger. Derfor skal de holde stengt hver mandag i 2014. De regner med at stengingen vil redusere besøkstallene med 5 % fra 2013 til 2014.
c) Lag en ny kolonne for 2014 med nye besøkstall for hver måned, totalt besøkstall og gjennomsnittlig besøkstall per måned.
---
## V2014 del 2 oppgave 4 — Svømmebasseng med skråplan og to dybder
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Volum, Areal og omkrets, Målestokk, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Målestokktegning, Pytagoras for skråplanet, volum av sammensatt prisme og synkende vannstand ved tapping.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/svommebasseng-med-skraplan-og-to-dybder/
### Oppgavetekst
Overflaten i svømmebassenget i Badeland har form som et rektangel. Svømmebassenget har to ulike dybder. Mellom de to dybdene er det et skråplan $ABCD$ med form som et rektangel.
Se skissen nedenfor.
a) Tegn overflaten av svømmebassenget sett rett ovenfra i målestokk $1 : 250$
b) Regn ut $AB$ og arealet av skråplanet $ABCD$.
c) Vis ved regning at volumet av svømmebassenget er ca. $645 \mathrm{~m}^3$ ($645\,000$ L).
Svømmebassenget er helt fullt av vann. Vannet i svømmebassenget skal tappes ut med 300 L per minutt.
d) Hvor mange centimeter har vannstanden sunket etter 60 min?
---
## V2014 del 2 oppgave 5 — Tømming av svømmebasseng med 18 000 liter per time
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftegning, Grafisk løsning
- **Kort beskrivelse:** Forklare en lineær modell for vannmengden, finne nullpunktet ved regning og lese av grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tomming-av-svommebasseng-med-18-000-liter-per-time/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> I oppgave 5 kan du spare tid og arbeid ved å bruke en datamaskin med graftegner.
Svømmebassenget i Badeland på $645\,000$ L skal tømmes for vann. Det tappes ut $18\,000$ L per time.
a) Forklar at antall liter $V(x)$ som er igjen i svømmebassenget etter $x$ timer, kan beskrives av funksjonen $V$ gitt ved $V(x) = -18000x + 645000$
b) Bestem ved regning når svømmebassenget er tomt for vann.
c) Tegn grafen til $V$.
d) Bestem grafisk når det er $285\,000$ L igjen i svømmebassenget.
---
## V2014 del 2 oppgave 6 — Jordas radius og omkrets etter Eratosthenes
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Kule, Romgeometri, Standardform, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut radius og omkrets av jorda, finne vinkelen som en femtidel av 360 grader, gjøre om stadion til kilometer og finne 71 prosent av kuleoverflaten på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jordas-radius-og-omkrets-etter-eratosthenes/
### Oppgavetekst
Eratosthenes (ca. 276–194 f.Kr.) var matematiker, astronom og geograf. Han var leder for det berømte biblioteket i Aleksandria i Egypt.
Eratosthenes hevdet at jorda var kuleformet.
Han regnet ut omkretsen av jorda – en av de store vitenskapelige prestasjonene i antikken.
Vi regner med at jorda har tilnærmet form som en kule. Jordas diameter er 12 756 km.
a) Regn ut jordas radius og omkrets.
Eratosthenes beregnet jordas omkrets ut fra måling av skygger i to byer, Aleksandria og Syene. Aleksandria lå nord for Syene.
Da sola sto høyest på himmelen en dag i Aleksandria, laget solstrålene en skygge fra en loddrett søyle. Samtidig skinte solstrålene rett ned i en loddrett brønn i byen Syene.
Eratosthenes fant at vinkelen mellom søylen og solstrålene var $\dfrac{1}{50}$ av $360\degree$.
b) Regn ut hvor mange grader vinkelen mellom søylen og solstrålene var.
Avstanden mellom Aleksandria og Syene var 5 000 egyptiske stadion. 1 stadion = 157,5 m.
c) Regn ut hvor mange kilometer det var mellom Aleksandria og Syene.
Vi regner med at 71 % av jordas overflate er dekket med vann. Overflaten $O$ av en kule er gitt ved formelen $O = 4\pi r^2$.
d) Hvor stort er arealet av jordas overflate som er dekket med vann? Oppgi svaret ditt på standardform.
---
## V2014 del 2 oppgave 7 — Vinkler og jordas omkrets i Eratosthenes sin skisse
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Argumentasjon, Forholdsregning, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Begrunne at to vinkler er like ved parallelle solstråler og regne ut jordas omkrets fra 5 000 stadion og en femtidel av en hel sirkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkler-og-jordas-omkrets-i-eratosthenes-sin-skisse/
### Oppgavetekst
Eratosthenes beregnet omkretsen av jorda ut fra måling av skygger i Aleksandria og Syene. Avstanden mellom de to byene var 5 000 egyptiske stadion, og vinkelen mellom søylen i Aleksandria og solstrålene var $\dfrac{1}{50}$ av $360\degree$. 1 stadion = 157,5 m.
Nedenfor ser du en skisse som viser solstrålene, søylen i Aleksandria, brønnen i Syene, avstanden mellom Aleksandria og Syene og jordas radius og sentrum.
Siden sola er så langt borte, antar vi at alle solstrålene som treffer jorda, er parallelle.
a) Begrunn hvorfor $\angle A = \angle B$.
b) Eratosthenes kom fram til at jordas omkrets var 250 000 stadion (39 375 km). Vis dette ved regning.
---
## V2014 del 2 oppgave 8 — Avstand mellom to byer ut fra solvinkler på 18 og 26 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Forholdsregning, Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Finne sentralvinkelen som summen av 18 og 26 grader og regne ut buelengden som en andel av jordas omkrets.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstand-mellom-to-byer-ut-fra-solvinkler-pa-18-og-26-grader/
### Oppgavetekst
Vi regner med at jorda har tilnærmet form som en kule med diameter 12 756 km.
Byen A ligger nord for byen B. Byene ligger langs samme lengdegrad. På et tidspunkt er det $18\degree$ mellom en stolpe og solstrålene i byen A. På samme tid er det en vinkel på $26\degree$ mellom en stolpe og solstrålene i byen B.
Regn ut hvor mange kilometer det er mellom byen A og byen B.
---
## V2013 del 1 oppgave 1 — Regnestykker med 1292, 954 og 1206
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon med desimaltall og divisjon uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regnestykker-med-1292-954-og-1206/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $1292 + 576 =$
b) $954 - 428 =$
c) $4{,}3 \cdot 7{,}5 =$
d) $1206 : 3 =$
---
## V2013 del 1 oppgave 2 — Gjør om 218 minutter og 4500 millimeter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom minutter og timer, hektogram og kilogram, millimeter og meter, og kvadratdesimeter og kvadratmeter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjor-om-218-minutter-og-4500-millimeter/
### Oppgavetekst
Gjør om
a) $218 \mathrm{~min} =$ h min
b) $8 \mathrm{~hg} =$ kg
c) $4\ 500 \mathrm{~mm} =$ m
d) $50 \mathrm{~dm^2} =$ m²
---
## V2013 del 1 oppgave 3 — Potensregning med negative tall og nullte potens
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Negative tall, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut potensuttrykk med parentes, negativ base og nullte potens, og dele på en potens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensregning-med-negative-tall-og-nullte-potens/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $(4-2)^2 + 2^3 =$
b) $\dfrac{-2^2 \cdot (-2) \cdot 2^0}{2^2} =$
---
## V2013 del 1 oppgave 4 — Brøkregning med fjerdedeler og tredjedeler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addere, subtrahere, multiplisere og dividere brøker, og forkorte svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brokregning-med-fjerdedeler-og-tredjedeler/
### Oppgavetekst
Regn ut, og forkort brøken hvis mulig
a) $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} =$
b) $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} =$
c) $\dfrac{2}{3} \cdot 12 =$
d) $\dfrac{4}{3} : \dfrac{2}{3} =$
---
## V2013 del 1 oppgave 5 — To likninger med x på begge sider
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Løse en enkel lineær likning og en likning med parentes og brøk på begge sider av likhetstegnet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-likninger-med-x-pa-begge-sider/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
4x - 1 = 3x
$$
b)
$$
\dfrac{4}{5}(x-1) = 1 + \dfrac{x}{2}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 6 — Pris for seks flasker vann og to kilo druer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Gjøre overslag med 14,90 kroner per flaske og 48,20 kroner per kilogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-for-seks-flasker-vann-og-to-kilo-druer/
### Oppgavetekst
Omtrent hvor mange kroner må du betale for 6 flasker vann og 2 kg druer?
---
## V2013 del 1 oppgave 7 — Lesebrett satt ned 25 prosent til 3000 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Finne opprinnelig pris når prisen er satt ned 25 % til 3000 kroner (flervalg).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lesebrett-satt-ned-25-prosent-til-3000-kroner/
### Oppgavetekst
Prisen for et lesebrett er satt ned med 25 % og koster nå 3 000 kroner.
Før prisen ble satt ned, kostet lesebrettet
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 2 250 kroner
> - [ ] 3 750 kroner
> - [x] 4 000 kroner
> - [ ] 5 000 kroner
---
## V2013 del 1 oppgave 8 — Sum og gjennomsnitt av ti matematikkarakterer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Statistikk, Sentralmål
- **Kort beskrivelse:** Regne ut sum og gjennomsnitt fra en frekvenstabell med ti karakterer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sum-og-gjennomsnitt-av-ti-matematikkarakterer/
### Oppgavetekst
På en matematikkprøve fikk 10 elever disse karakterene:
| Karakter | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|:------------------|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Frekvens (antall) | 1 | 0 | 1 | 3 | 3 | 2 |
a) Summen av alle karakterene for de 10 elevene ble
b) Gjennomsnittskarakteren for de 10 elevene ble
---
## V2013 del 1 oppgave 9 — Forenkle bokstavuttrykk med a, x og y
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Løse opp parentes med minus foran og forkorte en algebraisk brøk ved å faktorisere telleren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-bokstavuttrykk-med-a-x-og-y/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
a - (a - 2a)
$$
b)
$$
\dfrac{x^2y^2 + xy^2}{xy^2}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 10 — Sekser med én terning eller to like med to terninger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne sannsynligheten for sekser med én terning og for to like med to terninger (flervalg).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sekser-med-en-terning-eller-to-like-med-to-terninger/
### Oppgavetekst
Hva er mest sannsynlig å få?
**A:** En sekser når du kaster én terning
**ELLER**
**B:** To like når du kaster to terninger
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] A er mest sannsynlig
> - [ ] B er mest sannsynlig
> - [ ] Det er umulig å sammenligne A og B
> - [x] A og B er like sannsynlige
---
## V2013 del 1 oppgave 11 — Sondre kjøper epler og bananer for 80 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Tekstoppgave, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse en likning der antall epler er dobbelt så stort som antall bananer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sondre-kjoper-epler-og-bananer-for-80-kroner/
### Oppgavetekst
Sondre kjøper dobbelt så mange epler som bananer. Han betaler til sammen 80 kroner.
Regn ut hvor mange epler og hvor mange bananer Sondre kjøper.
---
## V2013 del 1 oppgave 12 — Kartavstand ved målestokk 1 til 1 000 000
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne om 25 km i terrenget til avstand på kart med målestokk 1 : 1 000 000 (flervalg).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kartavstand-ved-malestokk-1-til-1-000-000/
### Oppgavetekst
Avstanden i luftlinje mellom to steder er 25 km. På et kart er målestokken $1 : 1\ 000\ 000$
Avstanden på kartet mellom de to stedene er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 0,25 cm
> - [x] 2,5 cm
> - [ ] 25 cm
> - [ ] 250 cm
---
## V2013 del 1 oppgave 13 — Kjørelengde med 60 km per time i 2,5 timer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Fart, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut strekning som fart ganger tid med 60 km/h i 2,5 h (flervalg).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjorelengde-med-60-km-per-time-i-2-5-timer/
### Oppgavetekst
En bil kjører med farten 60 km/h. På 2,5 h kjører bilen
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 54 km
> - [ ] 90 km
> - [ ] 125 km
> - [x] 150 km
---
## V2013 del 1 oppgave 14 — Verditabell og grafer for x pluss 2 og x i andre
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 2.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftegning, Lineære funksjoner, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut verditabeller for $f(x)=x+2$ og $g(x)=x^2$, tegne grafene for hånd og lese av skjæringspunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verditabell-og-grafer-for-x-pluss-2-og-x-i-andre/
### Oppgavetekst
a) Fyll ut det som mangler i verditabellen for funksjonene $f(x) = x + 2$ og $g(x) = x^2$
| $x$ | $f(x)$ | Koordinater |
|:------:|:------:|:----------------:|
| $-2$ | | |
| $-1$ | $1$ | $(-1,\ 1)$ |
| $0$ | $2$ | $(0,\ 2)$ |
| $1$ | | |
| $2$ | $4$ | $(2,\ 4)$ |
| $x$ | $g(x)$ | Koordinater |
|:------:|:------:|:----------------:|
| $-2$ | | |
| $-1$ | | |
| $0$ | $0$ | $(0,\ 0)$ |
| $1$ | $1$ | $(1,\ 1)$ |
| $2$ | $4$ | $(2,\ 4)$ |
b) Tegn grafene til $f$ og $g$ i koordinatsystemet nedenfor.
c) Skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$ er ( , ) og ( , )
---
## V2013 del 1 oppgave 15 — Konstruksjon av trapes ABCD med 30 og 45 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en rettvinklet trekant med 30° og utvide den til et trapes med 45°, med hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-trapes-abcd-med-30-og-45-grader/
### Oppgavetekst
Konstruer $\triangle ABC$ der $AB = 8{,}0 \mathrm{~cm}$, $\angle B = 90\degree$ og $\angle A = 30\degree$.
$\triangle ABC$ er en del av trapeset $ABCD$ der $\angle CAD = 45\degree$.
Konstruer trapeset $ABCD$.
Ta med hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.
---
## V2013 del 1 oppgave 16 — Grus og gjerde rundt rektangel og rettvinklet trekant
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Volum, Pytagoras, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut areal av et sammensatt område og grusvolum, og finne omkretsen ved å bruke Pytagoras på hypotenusen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grus-og-gjerde-rundt-rektangel-og-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Et område har form som et rektangel og en rettvinklet trekant. Se skissen nedenfor.
Vi skal legge et 10 cm tykt lag med grus jevnt utover hele området.
a) Regn ut hvor mange kubikkmeter grus vi trenger til dette området.
Vi skal sette opp et gjerde rundt området.
b) Vis ved regning at vi trenger 180 m gjerde.
---
## V2013 del 1 oppgave 17 — Tre kuler og en sylinder med samme volum
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Kule, Formler, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Sette volumet av tre kuler lik volumet av en sylinder og løse ut høyden $h$ uttrykt ved $r$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-kuler-og-en-sylinder-med-samme-volum/
### Oppgavetekst
Tre like store kuler har alle radius $r$. En sylinder har samme radius $r$ som kulene og høyde $h$. Sylinderen skal ha like stort volum som de tre kulene til sammen.
Formelen for volumet av en kule er $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
Bruk formler og bestem høyden $h$ i sylinderen uttrykt ved $r$.
---
## V2013 del 2 oppgave 1 — Tannlegeregning med 75 prosent ungdomsrabatt
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Summere priser fra en prisliste og trekke fra 75 % rabatt med vekstfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tannlegeregning-med-75-prosent-ungdomsrabatt/
### Oppgavetekst
Live trenger denne behandlingen hos tannlegen:
| Behandlingen til Live |
|:----------------------|
| Undersøkelse |
| Bedøvelse |
| Røntgen (4 bilder) |
| 3 tannfyllinger |
Nedenfor ser du prisene (i kroner) for de ulike behandlingene hos tannlegen. Live får 75 % rabatt fordi hun er mellom 18 og 20 år.
| Behandling | Pris |
|:--------------------|-----:|
| Undersøkelse | 480 |
| Bedøvelse | 145 |
| Røntgen (per bilde) | 95 |
| 1 tannfylling | 550 |
| 2 tannfyllinger | 750 |
| 3 tannfyllinger | 950 |
Regn ut hvor mye Live må betale totalt for behandlingen hos tannlegen.
---
## V2013 del 2 oppgave 2 — Valg av tannbørste, tannkrem og tanntråd
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Bruke multiplikasjonsprinsippet på 11, 10 og 8 valgmuligheter og finne sannsynligheten for ett bestemt par.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/valg-av-tannborste-tannkrem-og-tanntrad/
### Oppgavetekst
I butikken kan Live velge mellom 11 typer tannbørste, 10 typer tannkrem og 8 typer tanntråd.
a) På hvor mange ulike måter kan Live velge én type tannbørste, én type tannkrem og én type tanntråd?
Tannlegen anbefalte Live å kjøpe en bestemt type tannbørste og en bestemt type tanntråd som de har i butikken. Men Live har glemt hva tannlegen anbefalte, og velger tilfeldig én type tannbørste og én type tanntråd.
Live velger tannbørsten og tanntråden som vist nedenfor.
b) Bestem sannsynligheten for at dette er de typene som tannlegen anbefalte.
---
## V2013 del 2 oppgave 3 — Munnskyllevann blandet i forholdet 1 til 3
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Tekstoppgave, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne ut hvor lenge 300 mL konsentrat varer når det blandes 1 : 3 og det brukes 40 mL to ganger per dag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/munnskyllevann-blandet-i-forholdet-1-til-3/
### Oppgavetekst
En flaske munnskyllevann inneholder 300 mL. Live vil blande det ut med vann i forholdet $1 : 3$ (1 del munnskyllevann og 3 deler vann).
Hun bruker 40 mL ferdig utblandet munnskyllevann to ganger per dag.
Regn ut hvor mange dager en flaske med munnskyllevann vil vare for Live.
---
## V2013 del 2 oppgave 4 — Volumet av et plastbeger til munnskylling
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Formler, Romgeometri, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Sette inn $R = 3{,}3$ cm, $r = 2{,}3$ cm og $h = 8{,}0$ cm i en oppgitt formel for volumet av en kjeglestubb.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volumet-av-et-plastbeger-til-munnskylling/
### Oppgavetekst
Live bruker et plastbeger til munnskylling. Plastbegeret med innvendige mål ser du nedenfor.
Formelen for volumet av et slikt plastbeger er $V = \dfrac{\pi \cdot h}{3}(R^2 + r \cdot R + r^2)$
Bruk formelen og vis at volumet av plastbegeret er ca. 2 dL.
---
## V2013 del 2 oppgave 5 — Nedbetalingsplan for tannlån i regneark
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Lån, Rente, Økonomi, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lage nedbetalingsplan for et serielån på 10 000 kroner i regneark, framstille terminbeløpene i stolpediagram og sammenligne to rentesatser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nedbetalingsplan-for-tannlan-i-regneark/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> Oppgave 5 skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt.
Live skal få satt inn en ny tann. Behandlingen koster 10 000 kroner. Hun får tilbud om et lån som skal nedbetales i løpet av 10 måneder med avdrag på 1 000 kroner per måned. Renten er 2 % per måned. Alle beløp er i kroner.
a) Bruk formler og lag ferdig nedbetalingsplanen for Live. Ta med formelutskrift.
b) Framstill terminbeløpene for lånet i et stolpediagram.
En annen bank tilbyr Live et lån med en rente på 1,5 % per måned. Lånene er ellers like.
c) Hvor mye sparer Live totalt på å velge dette lånet? Du trenger ikke ta ny formelutskrift.
---
## V2013 del 2 oppgave 6 — Motorsykkelhopp i X-Fighters modellert med andregradsfunksjon
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Modellering, Graftegning, Grafisk løsning
- **Kort beskrivelse:** Sette inn $x = 10$ i $h(x) = -0{,}05x^2 + x + 2$, tegne grafen for $0 \le x \le 20$ og lese av grafisk når høyden er 4 m.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/motorsykkelhopp-i-x-fighters-modellert-med-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
I X-Fighters hopper motorsykkelen fra rampe 1 til rampe 2. En forenklet modell som beskriver et slikt hopp, er funksjonen $h$ gitt ved
$$
h(x) = -0{,}05x^2 + x + 2
$$
Her viser $h(x)$ hvor mange meter motorsykkelen er over bakken når den er $x$ meter fra rampe 1, målt langs bakken. Se skissen av hoppet nedenfor.
a) Motorsykkelen er høyest over bakken 10 m fra rampe 1, altså når $x = 10$. Bruk funksjonsuttrykket, og vis ved regning at motorsykkelen da er 7 m over bakken.
b) Tegn grafen til $h$ når $0 \leq x \leq 20$
c) Bestem grafisk hvor langt motorsykkelen har flyttet seg fra rampe 1, målt langs bakken, når motorsykkelen er 4 m over bakken.
---
## V2013 del 2 oppgave 7 — Halvsirklene ACB og AEC i Hippokrates-figuren
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Pytagoras, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Begrunne at $OC$ er radius, finne $AC$ med Pytagoras og regne ut arealet av halvsirkelen $ACB$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halvsirklene-acb-og-aec-i-hippokrates-figuren/
### Oppgavetekst
Hippokrates fra Khios (ca. 470–410 f.Kr.) var trolig den første greske matematikeren som skrev en lærebok i geometri, 100 år før Euklid.
Grekerne forsøkte å konstruere et kvadrat som hadde like stort areal som en sirkel (*sirkelens kvadratur*).
*Hippokrates-månen* (i blå farge nedenfor) var en del av dette forsøket.
Kilde: Proclus, *Kommentar til Euklid I*
- $ACB$ er halvsirkelen med sentrum i $O$ og med diameter $AB$.
- $AEC$ er halvsirkelen med sentrum i $D$ og med diameter $AC$.
a) Forklar at $OC = 5{,}0 \mathrm{~cm}$. Vis ved regning at $AC = \sqrt{50} \mathrm{~cm}$
b) Vis at arealet til halvsirkelen $ACB$ er $12{,}5\pi \mathrm{~cm}^2 \approx 39{,}25 \mathrm{~cm}^2$ (Bruk at $\pi \approx 3{,}14$)
---
## V2013 del 2 oppgave 8 — Omkrets av Hippokrates-figuren med to kvadrater
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Sette sammen to halvsirkelbuer og to kvadratsider til omkretsen av den sammensatte figuren $AGHBCEA$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkrets-av-hippokrates-figuren-med-to-kvadrater/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser halvsirkelen $ACB$ med sentrum i $O$ og diameter $AB$, og halvsirkelen $AEC$ med diameter $AC$. Her er $AO = OB = 5{,}0 \mathrm{~cm}$.
Figuren er utvidet slik at to kvadrater, $AFBC$ og $AGHB$, kommer fram.
Regn ut omkretsen av figuren, det vil si $AGHBCEA$ (markert med blå farge).
---
## V2013 del 2 oppgave 9 — Forholdet mellom halvsirkler og kvadrater hos Hippokrates
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Regne ut arealet av halvsirkelen $AEC$ og vise at forholdet mellom halvsirkelarealene er lik forholdet mellom kvadratarealene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forholdet-mellom-halvsirkler-og-kvadrater-hos-hippokrates/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser halvsirkelen $ACB$ med sentrum i $O$ og diameter $AB$, og halvsirkelen $AEC$ med diameter $AC$, sammen med kvadratene $AFBC$ og $AGHB$. Her er $AO = OB = 5{,}0 \mathrm{~cm}$, $AC = \sqrt{50} \mathrm{~cm}$, og arealet av halvsirkelen $ACB$ er $12{,}5\pi \mathrm{~cm}^2$.
Hippokrates fant at
$$
\frac{\text{Areal av halvsirkel } AEC}{\text{Areal av halvsirkel } ACB} = \frac{\text{Areal av kvadrat } AFBC}{\text{Areal av kvadrat } AGHB}
$$
Med figurer vil dette se slik ut:
a) Vis at arealet av halvsirkelen $AEC$ er $6{,}25\pi \mathrm{~cm}^2 \approx 19{,}625 \mathrm{~cm}^2$ (Bruk at $\pi \approx 3{,}14$)
b) Bruk blant annet opplysningene ovenfor og i oppgave a), og vis ved regning at
$$
\frac{\text{Areal av halvsirkel } AEC}{\text{Areal av halvsirkel } ACB} = \frac{\text{Areal av kvadrat } AFBC}{\text{Areal av kvadrat } AGHB}
$$
---
## V2013 del 2 oppgave 10 — Hippokrates-månen har samme areal som trekanten AOC
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Vise generelt at arealet av månen mellom de to halvsirkelbuene er $\dfrac{r^2}{2}$, like stort som arealet av $\triangle AOC$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hippokrates-manen-har-samme-areal-som-trekanten-aoc/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser halvsirkelen $ACB$ med sentrum i $O$ og radius $r$, og halvsirkelen $AEC$ med diameter $AC$. *Hippokrates-månen* er det blå området mellom de to buene $AEC$ og $AC$.
Vis ved regning at *Hippokrates-månen* har samme areal som $\triangle AOC$, det vil si $\dfrac{r^2}{2}$.
Tips: Vis først at $AC = \sqrt{2} \cdot r$
---
## H2013 del 1 oppgave 1 — Regnestykker med 333 + 679 og 24 delt på 0,3
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon med desimaltall og divisjon med desimaltall uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regnestykker-med-333-679-og-24-delt-pa-0-3/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $333 + 679 =$
b) $859 - 378 =$
c) $7{,}4 \cdot 3{,}6 =$
d) $24 : 0{,}3 =$
---
## H2013 del 1 oppgave 2 — Enhetsomgjøring av 78 dL, 1,3 mil og 12 000 kvadratcentimeter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom desiliter og liter, mil og meter, tonn og kilogram, kvadratcentimeter og kvadratmeter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetsomgjoring-av-78-dl-1-3-mil-og-12-000-kvadratcentimeter/
### Oppgavetekst
Gjør om
a) $78 \mathrm{~dL} =$ L
b) $1{,}3 \text{ mil} =$ m
c) $2{,}5 \mathrm{~t} =$ kg
d) $12\ 000 \mathrm{~cm}^2 =$ $\mathrm{m}^2$
---
## H2013 del 1 oppgave 3 — Regnerekkefølge med negative tall og andrepotenser
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Negative tall
- **Kort beskrivelse:** Regnerekkefølge med parentes, andrepotens og negative tall, blant annet uttrykket $-1^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regnerekkefolge-med-negative-tall-og-andrepotenser/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $(-3 + 2^2) \cdot 3 =$
b) $-1^2 - (-6 + 3)^2 =$
---
## H2013 del 1 oppgave 4 — Fire brøkregnestykker med tredeler og firedeler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addere, subtrahere, multiplisere og dividere brøker og forkorte svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-brokregnestykker-med-tredeler-og-firedeler/
### Oppgavetekst
Regn ut, og forkort brøken hvis det er mulig
a) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} =$
b) $\dfrac{9}{4} - \dfrac{1}{2} =$
c) $\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{9} =$
d) $6 : \dfrac{3}{4} =$
---
## H2013 del 1 oppgave 5 — Lineære likninger med brøkledd og negativ parentes
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse to lineære likninger, den ene med brøkledd og negativ parentes.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaere-likninger-med-brokledd-og-negativ-parentes/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
5x + 3 = 2x + 6
$$
b)
$$
\dfrac{2x}{3} + x = -(x - 2)
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 6 — Avstand mellom to byer på kart med målestokk 1 til 50 000
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne om 2 cm på et kart med målestokk 1 : 50 000 til avstand i kilometer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstand-mellom-to-byer-pa-kart-med-malestokk-1-til-50-000/
### Oppgavetekst
På et kart er den korteste avstanden mellom to byer 2 cm.
Kartet har en målestokk på 1 : 50 000.
Avstanden mellom byene (i luftlinje) er km i virkeligheten.
---
## H2013 del 1 oppgave 7 — Gjennomsnitt og median for ti tall mellom 1 og 8
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Regne ut gjennomsnitt og finne median for ti tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-median-for-ti-tall-mellom-1-og-8/
### Oppgavetekst
Bestem gjennomsnitt og median for disse tallene:
$$
2 \quad 4 \quad 6 \quad 1 \quad 2 \quad 8 \quad 3 \quad 4 \quad 2 \quad 2
$$
Gjennomsnitt:
Median:
---
## H2013 del 1 oppgave 8 — Overslag over prisavslag på bukse og genser
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Gjøre overslag over 38 % prisavslag på til sammen 1 099 kroner og 899 kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-over-prisavslag-pa-bukse-og-genser/
### Oppgavetekst
En bukse koster til vanlig 1 099 kroner, og en genser koster til vanlig 899 kroner.
Anne kjøper både buksa og genseren og får totalt 38 % prisavslag.
Gjør overslag, og bestem omtrent hvor mye Anne må betale.
---
## H2013 del 1 oppgave 9 — Antall mulige PIN-koder med fire sifre
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Multiplikasjonsprinsippet for antall firesifrede koder med ti mulige sifre per plass.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-mulige-pin-koder-med-fire-sifre/
### Oppgavetekst
PIN-koder på mobiltelefoner består av 4 sifre.
Hvert siffer kan være et tall fra og med 0 til og med 9.
Hvor mange ulike PIN-koder er det mulig å lage?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $10$
> - [ ] $100$
> - [x] $10\ 000$
> - [ ] $100\ 000$
---
## H2013 del 1 oppgave 10 — Ulikhet med negativ koeffisient som flervalgsoppgave
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse ulikheten $-2x + 1 < 3$ og snu ulikhetstegnet ved divisjon med negativt tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ulikhet-med-negativ-koeffisient-som-flervalgsoppgave/
### Oppgavetekst
Dersom $-2x + 1 < 3$, da er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $x < -1$
> - [ ] $x < 1$
> - [ ] $x < 4$
> - [x] $x > -1$
---
## H2013 del 1 oppgave 11 — Omkrets av likesidet trekant og sirkel med radius 2 meter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Geometri, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne omkretsen av en likesidet trekant med side 4 m og omkretsen av en sirkel med radius 2 m.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkrets-av-likesidet-trekant-og-sirkel-med-radius-2-meter/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en skisse av en trekant og en sirkel.
Bestem ved regning om det er trekanten eller sirkelen som har størst omkrets.
---
## H2013 del 1 oppgave 12 — Forenkling av bokstavuttrykk med parentes og brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen $4a - (a + 2a)$ og forkorte brøken $\dfrac{a^2 + a}{a}$ før subtraksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-bokstavuttrykk-med-parentes-og-brok/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
4a - (a + 2a)
$$
b)
$$
\dfrac{a^2 + a}{a} - a
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 13 — Løs ut høyden av arealformelen for et trapes
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Algebra, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Snu arealformelen for et trapes og løse den ut med hensyn på høyden $h$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-ut-hoyden-av-arealformelen-for-et-trapes/
### Oppgavetekst
Formelen for arealet til et trapes er $A = \dfrac{(a + b)}{2} \cdot h$
Lag en ny formel for høyden $h$ i trapeset.
---
## H2013 del 1 oppgave 14 — Pascal-linjen i en sirkel med radius 5
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Lineære funksjoner, Skjæringspunkt
- **Kort beskrivelse:** Markere seks punkter på en sirkel, konstruere tre skjæringspunkter og finne funksjonsuttrykket til linjen gjennom dem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascal-linjen-i-en-sirkel-med-radius-5/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet nedenfor er det tegnet en sirkel med sentrum i origo og radius 5,0 cm.
- Marker disse punktene på sirkelen: $A(-3, 4)$, $B(0, -5)$, $C(4, 3)$, $D(-4, -3)$, $E(0, 5)$ og $F(3, -4)$
- Trekk linjene $AB$ og $DE$. Marker skjæringspunktet $G$ mellom disse linjene.
- Trekk linjene $AF$ og $CD$. Marker skjæringspunktet $H$ mellom disse linjene.
- Trekk linjene $EF$ og $BC$. Marker skjæringspunktet $K$ mellom disse linjene.
- Trekk linjen gjennom $G$, $H$ og $K$. Denne linjen kalles *Pascal-linjen*.
Bestem funksjonsuttrykket til *Pascal-linjen*: $y =$
---
## H2013 del 1 oppgave 15 — Likningssystem for pris på bjørkeved og granved
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et likningssystem med to ukjente ut fra to samlede vedbestillinger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-for-pris-pa-bjorkeved-og-granved/
### Oppgavetekst
3 paller bjørkeved og 6 paller granved koster 6 600 kroner til sammen.
4 paller med bjørkeved og 7 paller med granved koster 8 200 kroner til sammen.
Hva koster 1 pall med bjørkeved, og hva koster 1 pall med granved?
---
## H2013 del 1 oppgave 16 — Konstruksjon av parallellogram med vinkel 75 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en trekant med gitt vinkel på 75 grader og utvide den til et parallellogram, med hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-parallellogram-med-vinkel-75-grader/
### Oppgavetekst
Konstruer $\triangle ABC$ der $AB = 7{,}0 \mathrm{~cm}$, $\angle ABC = 75\degree$ og $BC = 5{,}0 \mathrm{~cm}$.
$\triangle ABC$ er en del av parallellogrammet $ABCD$.
Lag hjelpefigur og konstruer parallellogrammet $ABCD$.
Ta med en kort konstruksjonsforklaring.
---
## H2013 del 1 oppgave 17 — Volum og overflate av trekantet prisme med sider 6,0 og 8,0 dm
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Volum, Areal og omkrets, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Regne ut volum og overflate av et rett trekantet prisme som står på en kvadratisk flate med side 6,0 dm og har høyden 8,0 dm.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-og-overflate-av-trekantet-prisme-med-sider-6-0-og-8-0-dm/
### Oppgavetekst
Et rett, trekantet prisme har en grunnflate med form som et kvadrat med side 6,0 dm. Høyden er 8,0 dm.
Se fargelagt skisse.
a) Regn ut volumet av det trekantede prismet.
b) Regn ut overflaten av det trekantede prismet.
---
## H2013 del 2 oppgave 1 — Ingredienser til fire og fem brød
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Forholdsregning, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Summere mengder i kilogram, gram og liter og skalere en oppskrift fra fire til fem brød.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ingredienser-til-fire-og-fem-brod/
### Oppgavetekst
Espen bruker disse ingrediensene for å bake 4 like store brød:
- $1{,}8 \mathrm{~kg}$ hvetemel
- $600 \mathrm{~g}$ grovt mel
- $50 \mathrm{~g}$ gjær
- $150 \mathrm{~g}$ havregryn
- $100 \mathrm{~g}$ havrekli
- $100 \mathrm{~g}$ olje
- $1{,}5 \mathrm{~L}$ vann ($1{,}0 \mathrm{~L}$ vann veier $1{,}0 \mathrm{~kg}$)
a) Hvor mye veier ingrediensene til sammen?
En annen dag vil Espen bake 5 brød. Han bruker samme mengde gjær som til 4 brød.
b) Hvor mye av hver ingrediens må Espen ha for å bake disse 5 brødene?
---
## H2013 del 2 oppgave 2 — Regneark med familieutgifter og Sivs handleliste
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Diagram, Prosentregning, Mva
- **Kort beskrivelse:** Sektordiagram i regneark, totalpris med 5 % rabatt og pris uten 15 % merverdiavgift.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regneark-med-familieutgifter-og-sivs-handleliste/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> Bruk regneark. Ta utskrift. Vis hvilke formler du har brukt.
Nedenfor ser du noen av utgiftene (i kroner) som en familie har en måned.
| Kategori | Utgift |
|:---------|-------:|
| Mat og drikke | 7 590 |
| Klær og sko | 2 600 |
| Personlig pleie | 1 610 |
| Lek og fritid | 3 240 |
a) Bruk regneark og lag et sektordiagram som viser fordelingen av utgiftene.
Siv har kjøpt varer i butikken. Alle prisene er i kroner. Merverdiavgiften på 15 % er inkludert i prisene.
b) Butikken har «superlørdag» og gir 5 % rabatt på alle varer. Bruk regneark og regn ut hvor mye Siv må betale totalt for alle varene hun har kjøpt.
c) Bruk regneark og regn ut prisen på hver enkelt vare uten merverdiavgift.
---
## H2013 del 2 oppgave 3 — Pris og energi for bjørkeved og granved per kubikkmeter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Forholdsregning, Sammensatte måleenheter, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne pris per kubikkmeter fra pris per 40 liter og sammenlikne kilowattimer per krone.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-og-energi-for-bjorkeved-og-granved-per-kubikkmeter/
### Oppgavetekst
a) Hva koster $1 \mathrm{~m}^3$ bjørkeved, og hva koster $1 \mathrm{~m}^3$ granved?
- $1 \mathrm{~m}^3$ bjørkeved gir energi tilsvarende $2\ 715 \mathrm{~kWh}$ når vi brenner veden i ovnen.
- $1 \mathrm{~m}^3$ granved gir energi tilsvarende $2\ 150 \mathrm{~kWh}$ når vi brenner veden i ovnen.
b) Bestem ved regning om det er bjørkeveden eller granveden som gir mest energi per krone.
---
## H2013 del 2 oppgave 4 — Varmemengde gjennom et glassvindu
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Modellering, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Sette inn areal, tid og temperaturer i formelen $V = 10{,}5 \cdot A \cdot T \cdot (I - U)$ og tolke negativ verdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/varmemengde-gjennom-et-glassvindu/
### Oppgavetekst
Vi kan regne ut varmemengden som forsvinner ut gjennom et glassvindu, med formelen nedenfor.
$$
V = 10{,}5 \cdot A \cdot T \cdot (I - U)
$$
- $V$: varmemengden målt i kilojoule (kJ)
- $A$: arealet av vinduet målt i kvadratmeter ($\mathrm{m}^2$)
- $T$: antall timer som målingen varer
- $I$: gjennomsnittstemperatur inne målt i celsiusgrader ($\degree\mathrm{C}$)
- $U$: gjennomsnittstemperatur ute målt i celsiusgrader ($\degree\mathrm{C}$)
Et døgn var gjennomsnittstemperaturen inne $20\degree\mathrm{C}$ og gjennomsnittstemperaturen ute $1\degree\mathrm{C}$.
a) Hvor stor varmemengde $V$ forsvant ut gjennom glassvinduet dette døgnet?
b) Hva betyr det i praksis at verdien til $V$ blir negativ?
---
## H2013 del 2 oppgave 5 — Overflate og volum av et pyramidekort
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Pytagoras, Volum, Formlike trekanter
- **Kort beskrivelse:** Pytagoras for sidehøyden og pyramidehøyden i en kvadratisk pyramide, og formlikhet for hullet i rammen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overflate-og-volum-av-et-pyramidekort/
### Oppgavetekst
Miriam vil lage et pyramidekort. Grunnflaten i pyramidekortet er et kvadrat. Sideflatene i pyramidekortet er likebeinte trekanter. Se skisse på figur &fig:10-h13-2-5-1.
a) Vis ved regning at høyden $h$ i de fire likebeinte trekantene er ca. $16{,}2 \mathrm{~cm}$. Bruk dette til å regne ut overflaten til pyramidekortet.
b) Vis ved regning at høyden $H$ i pyramidekortet er ca. $15{,}4 \mathrm{~cm}$. Regn ut volumet av pyramidekortet.
Hullet i rammen som blir tredd over kortet, er et kvadrat.
Hullet skal være så stort at rammen blir liggende $10{,}0 \mathrm{~cm}$ over grunnflaten i pyramidekortet. Se skisse på figur &fig:10-h13-2-5-2.
c) Regn ut hvor stort hullet i rammen må være.
---
## H2013 del 2 oppgave 6 — Sesongkort og dagskort i alpinanlegget
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omvendt proporsjonalitet, Graftegning, Graftolkning, Funksjoner, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til $f(x) = \frac{3600}{x}$ for $1 \leq x \leq 30$ og lese av når sesongkortet lønner seg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sesongkort-og-dagskort-i-alpinanlegget/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> Du kan spare mye tid og arbeid ved å bruke en digital graftegner.
Et alpinanlegg har to ulike heiskort.
- Sesongkortet koster 3 600 kroner.
- Dagskortet koster 295 kroner.
Kari kjøper et sesongkort og står på slalåmski $x$ dager i løpet av vinteren.
Når Kari bruker sesongkortet, er prisen per dag gitt ved funksjonen
$$
f(x) = \frac{3600}{x}
$$
a) Tegn grafen til funksjonen $f$ når $1 \leq x \leq 30$.
b) Bestem grafisk hvor mange hele dager Kari må bruke sesongkortet for at dette kortet skal lønne seg sammenliknet med dagskortet.
---
## H2013 del 2 oppgave 7 — Sannsynlighet for sum sju og primtallsum med to terninger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle gunstige utfall i utfallsrommet til to terninger for sum 7 og for primtallsummer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-sum-sju-og-primtallsum-med-to-terninger/
### Oppgavetekst
Blaise Pascal (1623–1662) var en fransk matematiker, fysiker, filosof og kristen skribent.
Pascal la grunnlaget for den moderne sannsynlighetsregningen.
Svært kjent er også «Pascals talltrekant».
Vi kaster 2 terninger. Utfallsrommet består av 36 mulige utfall.
a) Bestem sannsynligheten for at summen av øynene på terningene blir 7.
b) Bestem sannsynligheten for at summen av øynene på terningene blir et primtall.
---
## H2013 del 2 oppgave 8 — Pascals talltrekant og likningssystem med x og y
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pascals trekant, Mønstre, Potenser, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut rad 4–7 i Pascals talltrekant, skrive radsummene som potenser av 2 og løse et likningssystem fra tre rader.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-talltrekant-og-likningssystem-med-x-og-y/
### Oppgavetekst
Blaise Pascal (1623–1662) var en fransk matematiker og fysiker. Svært kjent er «Pascals talltrekant».
Nedenfor ser du en del av Pascals talltrekant. Den er bygget opp slik at summen av to nabotall i en rad er lik et tall i raden nedenfor.
a) Bruk arbeidsarket nedenfor.
- Skriv tallene som mangler på rad 4, 5, 6 og 7 i Pascals talltrekant.
- Skriv summene av tallene på hver rad.
- Skriv hver sum som en potens med grunntall 2.
Figuren nedenfor viser et utsnitt av tre påfølgende rader i Pascals talltrekant.
b) Bruk figuren til å bestemme $x$ og $y$ ved å sette opp og løse et likningssystem.
---
## H2013 del 2 oppgave 9 — Algebra-kuben og åtte prismer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Romgeometri, Volum, Pascals trekant, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke volumet av åtte delprismer i en kube med side $a+b$ og knytte $(a+b)^n$ til Pascals talltrekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/algebra-kuben-og-atte-prismer/
### Oppgavetekst
En kube har side $a + b$. Se figur &fig:10-h13-2-9-1.
Kuben kan deles opp i åtte nummererte, rette prismer. Se figur &fig:10-h13-2-9-2.
Prisme 1 har volum $a^2 b$, prisme 2 har volum $a^3$ og så videre.
a) Bestem et uttrykk for volumet av hvert av de åtte nummererte, rette prismene. Skriv summen av de åtte prismene så enkelt som mulig.
b) Regn ut $(a + b)^n$ når $n = 0$, $1$, $2$ og $3$. Hvilken sammenheng mellom utregningene dine og Pascals talltrekant finner du?
---
## V2012 del 1 oppgave 1 — Regn ut 334 + 465 og 4,3 · 74
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med hele tall og desimaltall uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regn-ut-334-465-og-4-3-74/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $334 + 465 =$
b) $854 - 328 =$
c) $4{,}3 \cdot 74 =$
d) $664 : 40 =$
---
## V2012 del 1 oppgave 2 — Enhetsomgjøring med milliliter, tonn og dekar
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom mL og L, tonn og kg, mm og dm, og kvadratmeter og dekar.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetsomgjoring-med-milliliter-tonn-og-dekar/
### Oppgavetekst
Gjør om
a) $1\ 500 \mathrm{~mL} =$ L
b) $4{,}7 \mathrm{~t}$ (tonn) $=$ kg
c) $4\ 500 \mathrm{~mm} =$ dm
d) $25\ 000 \mathrm{~m^2} =$ daa (dekar)
---
## V2012 del 1 oppgave 3 — Regnerekkefølge med parenteser og negative kvadrater
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Negative tall
- **Kort beskrivelse:** Regne ut uttrykk med parentes, potens og negativt fortegn i riktig rekkefølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regnerekkefolge-med-parenteser-og-negative-kvadrater/
### Oppgavetekst
Regn ut
a) $3 + 3(3 - 2)^2 =$
b) $-3^2(-3 + 2)^2 =$
---
## V2012 del 1 oppgave 4 — Brøkregning med åttedeler, seksdeler og femdeler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addere, subtrahere, multiplisere og dividere brøker og forkorte svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brokregning-med-attedeler-seksdeler-og-femdeler/
### Oppgavetekst
Regn ut, og forkort brøkene
a) $\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} =$
b) $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} =$
c) $\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{3}{6} =$
d) $3 : \dfrac{3}{5} =$
---
## V2012 del 1 oppgave 5 — Likningen 9x − 13 = 6x + 2 og en likning med brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse lineære likninger med ukjent på begge sider og med brøkledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningen-9x-13-6x-2-og-en-likning-med-brok/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
9x - 13 = 6x + 2
$$
b)
$$
2(x - 1) = 1 + \dfrac{x}{2}
$$
---
## V2012 del 1 oppgave 6 — Målestokk når 3 cm på kartet er 3 km i virkeligheten
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme målestokken til et kart når 3 cm på kartet svarer til 3 km i virkeligheten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malestokk-nar-3-cm-pa-kartet-er-3-km-i-virkeligheten/
### Oppgavetekst
På et kart er den korteste avstanden mellom to steder 3 cm. I virkeligheten er avstanden 3 km (i luftlinje).
Målestokken til kartet er $1 :$
---
## V2012 del 1 oppgave 7 — Overslag av pris før 40 prosent rabatt på jakke
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Gjøre overslag over prisen før rabatt når 475 kroner svarer til 60 % av opprinnelig pris.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-av-pris-for-40-prosent-rabatt-pa-jakke/
### Oppgavetekst
Du betaler 475 kroner for en jakke etter at du har fått 40 % rabatt.
Omtrent hvor mye kostet jakken før du fikk rabatt?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] ca. 300 kroner
> - [ ] ca. 500 kroner
> - [x] ca. 800 kroner
> - [ ] ca. 1 200 kroner
---
## V2012 del 1 oppgave 8 — Pris på hårspray i tre størrelser med likt forholdstall
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne ut pris for 600 mL og 100 mL når 400 mL koster 140 kroner og forholdet skal være likt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-harspray-i-tre-storrelser-med-likt-forholdstall/
### Oppgavetekst
En hårspray selges i tre ulike størrelser.
«Normal» koster 140 kroner.
Hva koster «Biggie» og «Mini» dersom forholdet mellom pris og antall milliliter skal være likt for de tre hårsprayene?
Mini koster kroner.
Biggie koster kroner.
---
## V2012 del 1 oppgave 9 — Forenkle 4a − (a + 2a) og et algebraisk brøkuttrykk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen $4a - (a + 2a)$ og forkorte brøken $\dfrac{x^2y + xy^2}{xy}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-4a-a-2a-og-et-algebraisk-brokuttrykk/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
4a - (a + 2a)
$$
b)
$$
\dfrac{x^2 y + x y^2}{xy}
$$
---
## V2012 del 1 oppgave 10 — Trekke kosedyr fra lekekassen til Lillebror
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Uniform sannsynlighet ved trekking av ett og av to kosedyr blant fem, uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekke-kosedyr-fra-lekekassen-til-lillebror/
### Oppgavetekst
Lillebror har fem kosedyr i lekekassen sin. To av dem er Solan Gundersen og Ludvig.
a) Lillebror trekker tilfeldig ett kosedyr opp av lekekassen.
Bestem sannsynligheten for at Lillebror trekker Solan Gundersen.
Svar: (brøk) $=$ (prosent)
b) Lillebror trekker tilfeldig to kosedyr opp av lekekassen.
Bestem sannsynligheten for at Lillebror trekker Solan Gundersen og Ludvig.
Svar:
---
## V2012 del 1 oppgave 11 — Snu formelen fra fahrenheit til celsius
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig omformet formel fra celsius til fahrenheit ut fra $C = \dfrac{F - 32}{1{,}8}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snu-formelen-fra-fahrenheit-til-celsius/
### Oppgavetekst
Formelen fra grader fahrenheit ($\degree\mathrm{F}$) til grader celsius ($\degree\mathrm{C}$) er
$$
C = \frac{F - 32}{1{,}8}
$$
Formelen fra grader celsius ($\degree\mathrm{C}$) til grader fahrenheit ($\degree\mathrm{F}$) blir da
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $F = 1{,}8C - 32$
> - [ ] $F = \dfrac{C - 1{,}8}{32}$
> - [ ] $F = \dfrac{C - 32}{1{,}8}$
> - [x] $F = 1{,}8C + 32$
---
## V2012 del 1 oppgave 12 — Pris på flaske vann og eple fra to handlekurver
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Tekstoppgave, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Finne prisen på ett vann og ett eple fra to handlekurver, som et likningssystem med to ukjente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-flaske-vann-og-eple-fra-to-handlekurver/
### Oppgavetekst
Hvor mye koster én flaske vann?
Hvor mye koster ett eple?
---
## V2012 del 1 oppgave 13 — Median og gjennomsnitt av høyden til Barcelona-spillere
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Finne median av sju høyder og gjennomsnittet av fire av dem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-gjennomsnitt-av-hoyden-til-barcelona-spillere/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du høyden på noen av fotballspillerne på spanske FC Barcelona, som vant Champions League-finalen 2011:
| Spiller | Xavi | Messi | Iniesta | Mascherano | Alves | Puyol | Villa |
|:--------|:-----|:------|:--------|:-----------|:------|:------|:------|
| Høyde | 170 cm | 169 cm | 170 cm | 174 cm | 173 cm | 178 cm | 175 cm |
a) Medianhøyde for alle fotballspillerne ovenfor: cm
b) Gjennomsnittshøyde for Xavi, Messi, Iniesta og Villa: cm
---
## V2012 del 1 oppgave 14 — Er (5, 12, 13) et pytagoreisk talltrippel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Tallregning, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Kontrollere om $5^2 + 12^2 = 13^2$ for å avgjøre om tallene er et pytagoreisk talltrippel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/er-5-12-13-et-pytagoreisk-talltrippel/
### Oppgavetekst
På en leirtavle fra Mesopotamia (ca. 1 800 f.Kr.) finner vi «pytagoreiske talltripler».
De tre tallene $(3, 4, 5)$ er et pytagoreisk talltrippel fordi $3^2 + 4^2 = 5^2$
Avgjør om tallene $(5, 12, 13)$ er et pytagoreisk talltrippel.
---
## V2012 del 1 oppgave 15 — Overslag over prisen på fem planker
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tekstoppgave, Måleenheter, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Gjøre overslag over samlet pris for fem planker oppgitt i centimeter til 9,95 kroner per meter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-over-prisen-pa-fem-planker/
### Oppgavetekst
På enden av fem planker står det et tall som viser hvor mange centimeter hver planke er.
Plankene koster 9,95 kroner per meter.
Gjør overslag, og regn ut omtrent hvor mye de fem plankene koster.
---
## V2012 del 1 oppgave 16 — Konstruksjon av trekant med 45 og 60 grader og firkanten ABCD
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en trekant av én side og to vinkler, utvide til firkant og skrive konstruksjonsforklaring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-trekant-med-45-og-60-grader-og-firkanten-abcd/
### Oppgavetekst
I $\triangle ABC$ er $AB = 7{,}0 \mathrm{~cm}$, $\angle A = 45\degree$ og $\angle B = 60\degree$
Konstruer $\triangle ABC$
$\triangle ABC$ er en del av firkanten $ABCD$ der $\angle CAD = 75\degree$ og $AD = 4{,}0 \mathrm{~cm}$
Konstruer firkanten $ABCD$
Lag hjelpefigur, og skriv en kort konstruksjonsforklaring.
---
## V2012 del 1 oppgave 17 — Finn hvilken funksjon som passer til grafene A, B, C og D
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Funksjoner, Lineære funksjoner, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen grafene til to lineære funksjoner, en andregradsfunksjon og en omvendt proporsjonalitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finn-hvilken-funksjon-som-passer-til-grafene-a-b-c-og-d/
### Oppgavetekst
Bestem hvilken funksjon nedenfor som passer til hver av grafene A, B, C og D.
$y = -x^2 + 2$ passer til graf
$y = 2x + 2$ passer til graf
$y = \dfrac{2}{x}$ passer til graf
$y = -2x + 2$ passer til graf
---
## V2012 del 1 oppgave 18 — Areal, volum og overflate av et rett trekantet prisme
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 2.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Volum, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Regne ut arealet av en rettvinklet trekant, volumet av prismet og overflaten til prismet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-volum-og-overflate-av-et-rett-trekantet-prisme/
### Oppgavetekst
Skissen viser et rett, trekantet prisme.
a) Arealet av $\triangle ABC$ er $\mathrm{cm^2}$
b) Volumet av prismet er $\mathrm{cm^3}$
c) Regn ut overflaten til prismet.
---
## V2012 del 1 oppgave 19 — Vis at vinkel B ikke er 60 grader i rettvinklet trekant
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise ved regning at vinkelen ikke er 60 grader i en rettvinklet trekant med katetene 7,0 m og 4,0 m.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-vinkel-b-ikke-er-60-grader-i-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Skissen viser en rettvinklet $\triangle ABC$
Vis ved regning at $\angle B \neq 60\degree$
---
## V2012 del 2 oppgave 1 — Frisørpriser, hårfarger og rabatt på hårvoks
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tekstoppgave, Kombinatorikk, Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne to prislister, telle kombinasjoner av fire farger og seks frisyrer, og finne pris etter 30 % rabatt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/frisorpriser-harfarger-og-rabatt-pa-harvoks/
### Oppgavetekst
Far og fire barn skal klippe seg. De undersøker prisene hos to frisører.
| Frisør *Hårfin* | Frisør *På håret* |
|:----------------|:------------------|
| Far: 220 kroner | Far: 250 kroner |
| Barn: 190 kroner | Barn: 170 kroner |
a) Regn ut hos hvilken frisør det koster minst å klippe seg for far og de fire barna.
Mor skal farge håret og ha ny frisyre. Hun kan velge blant fire hårfarger og seks hårfrisyrer.
b) Hvor mange ulike kombinasjoner av hårfarge og hårfrisyre kan mor velge?
Far kjøper hårvoks. Han får 30 % rabatt. Rabatten tilsvarer 45 kroner.
c) Hva betaler far for hårvoksen?
---
## V2012 del 2 oppgave 2 — Blandingsforhold for blonderingspulver og vannstoff
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Måleenheter, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Bruke blandingsforholdet 2 deler pulver til 3 deler vannstoff til å finne mengde og antall behandlinger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/blandingsforhold-for-blonderingspulver-og-vannstoff/
### Oppgavetekst
Frisøren lager et blekemiddel når kundene skal bleke håret. Blekemiddelet består av 2 deler blonderingspulver og 3 deler vannstoff (hydrogenperoksid).
For én behandling bruker frisøren $40 \mathrm{~g}$ blonderingspulver.
a) Regn ut hvor mange gram vannstoff frisøren må tilsette for å få riktig blandingsforhold.
Frisøren har igjen $0{,}25 \mathrm{~kg}$ blonderingspulver og $240 \mathrm{~g}$ vannstoff.
b) Hvor mange behandlinger med hårbleking kan frisøren gi?
---
## V2012 del 2 oppgave 3 — Frisørutgifter og klippemaskin for Stefan
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftegning, Grafisk løsning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp $y = 225x$, tegne grafen for $0 \leq x \leq 12$ og lese av når klippemaskinen er spart inn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/frisorutgifter-og-klippemaskin-for-stefan/
### Oppgavetekst
Stefan betaler 225 kroner per hårklipp hos frisøren.
a) Sett opp en funksjon som viser Stefans frisørutgifter $y$ etter $x$ hårklipp.
b) Tegn grafen til $y$ på papir eller med digital graftegner for $0 \leq x \leq 12$
Stefan kjøper seg en klippemaskin til 990 kroner og bruker denne i stedet for å gå til frisøren.
c) Bruk grafen til å bestemme hvor mange ganger Stefan må klippe seg med klippemaskinen før han har spart den inn. Marker avlesningen på grafen.
---
## V2012 del 2 oppgave 4 — Lønnsbudsjett for seks frisører i regneark
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Økonomi, Prosentregning, Diagram
- **Kort beskrivelse:** Lage lønnsbudsjett i regneark med formler for skattetrekk, endre skattesatsen, lage diagram og finne gjennomsnitt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lonnsbudsjett-for-seks-frisorer-i-regneark/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> Oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Ta utskrifter. Vis hvilke formler du har brukt. Ta formelutskrift.
En frisørsalong skal lage et lønnsbudsjett for juni 2012 for sine seks frisører. Alle seks frisører trekkes 36 % i skatt. Alle beløp er i kroner.
a) Lag ferdig lønnsbudsjettet til frisørsalongen for juni 2012, og ta en utskrift.
Endre skattetrekket til 38 %, og finn nå ny total månedslønn etter skatt. Ta en ny utskrift.
b) Framstill fordelingen av månedslønn før skatt for den enkelte frisør i et passende diagram.
c) Bestem gjennomsnittlig månedslønn før skatt for de seks frisørene.
---
## V2012 del 2 oppgave 5 — Stabel med hårvoksbokser og formel for kvadrattall
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Formler
- **Kort beskrivelse:** Summere kvadrattall i en stabel, kontrollere med formelen $N = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$ og finne resten etter fem etasjer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stabel-med-harvoksbokser-og-formel-for-kvadrattall/
### Oppgavetekst
Robbie stabler bokser med hårvoks. Antall bokser i hver etasje er et kvadrattall. For eksempel er det $5^2 = 25$ bokser i første etasje av stabelen på bildet ovenfor.
a) Regn ut totalt antall bokser i stabelen på bildet ovenfor.
For å regne ut totalt antall bokser $N$ med $n$ etasjer i en slik stabel kan vi bruke denne formelen:
$$
N = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}
$$
b) Bruk denne formelen til å regne ut totalt antall bokser i stabelen på bildet ovenfor.
Robbie har laget en ny stabel med 11 etasjer. Etter noen dager har kundene kjøpt alle boksene i de fem øverste etasjene av stabelen.
c) Regn ut totalt antall bokser som er igjen i denne stabelen.
---
## V2012 del 2 oppgave 6 — Volum og diameter av sylinderformede hårvoksbokser
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut sylindervolum, finne diameteren når volumet dobles med samme høyde, og skalere boksen proporsjonalt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-og-diameter-av-sylinderformede-harvoksbokser/
### Oppgavetekst
En boks med hårvoks har tilnærmet form som en rett sylinder. Innvendige mål ser du på bildet nedenfor.
a) Regn ut det innvendige volumet av boksen.
Produsenten av hårvoksen vil lage en ny type boks som har samme høyde som boksen på bildet ovenfor, men med 100 % mer volum.
b) Regn ut den innvendige diameteren i denne nye boksen.
Produsenten skal lage enda en ny type boks som skal ha en innvendig diameter på $10{,}0 \mathrm{~cm}$. Forholdet mellom høyde og diameter skal være det samme som i boksen på bildet ovenfor.
c) Regn ut det innvendige volumet i denne nye boksen.
---
## V2012 del 2 oppgave 7 — Gjør om mellom timer, minutter og sekunder
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom timer, minutter og sekunder i sekstitallssystemet, også for et klokkeslettintervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjor-om-mellom-timer-minutter-og-sekunder/
### Oppgavetekst
**Matematikken i Mesopotamia**
Mesopotamia (ca. 3 000–0 f.Kr.) inkluderte blant annet det som i dag er landet Irak. Her finner vi ikke bare «sivilisasjonens vugge», men også «matematikkens vugge»:
- 60-tallssystemet
- 10-tallssystemet
- inndeling av sirkelen i $360\degree$
- de første kalenderne, kunnskap om planeter og stjerner
- historiens første likninger, algebra, måling og geometri
- «Pytagoras-setningen»
60-tallssystemet fra Mesopotamia bruker vi ennå i dag når vi deler inn tiden.
Skriv av tabellen nedenfor.
Gjør om, og fyll inn det som mangler:
| Tid | h | min | s |
|:----------------------------|:-----|:-----|:-----|
| 2,5 h | 2 | 30 | 0 |
| 4,60 h | 4 | | 0 |
| 4565 s | | | 5 |
| 64,55 min | | | |
| Fra kl. 09.50 til kl. 11.37 | | | |
---
## V2012 del 2 oppgave 8 — Kvadratroten av 2 på leirtavle og innskrevet kvadrat
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Areal og omkrets, Argumentasjon, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Regne ut babylonernes sekstitallstilnærming til $\sqrt{2}$ og begrunne areal og omkrets for et innskrevet kvadrat.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadratroten-av-2-pa-leirtavle-og-innskrevet-kvadrat/
### Oppgavetekst
På leirtavlen fra Mesopotamia ovenfor står det at
$$
\sqrt{2} = 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3}
$$
a) Bestem verdien av $\sqrt{2}$ med 7 desimaler med en kalkulator. Bestem også verdien av $\sqrt{2}$ på leirtavla ovenfor. Hvor stor differanse er det mellom svarene fra kalkulatoren og regnemetoden fra Mesopotamia ovenfor?
Et kvadrat er innskrevet i et større kvadrat. Siden i det minste kvadratet er 1.
b) Hvor stort er arealet av det største kvadratet? Begrunn svaret ditt.
c) Forklar at omkretsen av det største kvadratet er $4 \cdot \sqrt{2}$
---
## V2012 del 2 oppgave 9 — Omskrevet sirkel om likebeint trekant fra Mesopotamia
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Pytagoras, Sirkel, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Konstruere den omskrevne sirkelen om en likebeint trekant og regne ut radien med Pytagoras-setningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omskrevet-sirkel-om-likebeint-trekant-fra-mesopotamia/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor er fra en leirtavle fra Mesopotamia (ca. 1 700 f.Kr.).
a) Velg én av framgangsmåtene nedenfor til å konstruere/tegne denne figuren.
**Med passer, linjal og blyant:**
> - Konstruer en likebeint $\triangle ABC$ med $AB = 60 \mathrm{~mm}$ og $AC = BC = 50 \mathrm{~mm}$
> - Konstruer midtnormalene til sidene i trekanten.
> - Marker skjæringspunktet mellom midtnormalene, og kall punktet for $O$.
> - Slå en sirkel om $O$ gjennom $A$, $B$ og $C$.
> - Trekk linjestykkene $AO$, $BO$ og $CO$.
> - Disse tre linjestykkene er radius $r$ i sirkelen.
**Med dynamisk geometriprogram:**
> - Tegn en likebeint $\triangle ABC$ med $AB = 60 \mathrm{~mm}$ og $AC = BC = 50 \mathrm{~mm}$
> - Tegn midtnormalene til sidene i trekanten.
> - Marker skjæringspunktet mellom midtnormalene, og kall punktet for $O$.
> - Slå en sirkel om $O$ gjennom $A$, $B$ og $C$.
> - Trekk linjestykkene $AO$, $BO$ og $CO$.
> - Disse tre linjestykkene er radius $r$ i sirkelen.
>
> Ta utskrift av tegning og av konstruksjonsforklaring fra geometriprogrammet.
Babylonerne regnet ut radius $r$ i sirkelen ovenfor ved å bruke Pytagoras-setningen. Dette er trolig verdens eldste bruk av Pytagoras-setningen, ca. 1 200 år før Pytagoras selv levde!
b) Regn ut radius $r$ i sirkelen.
---
## V2011 del 1 oppgave 1 — De fire regneartene med 269, 753, 23 og 22,4
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addere, subtrahere, multiplisere og dividere flersifrede tall og desimaltall uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/de-fire-regneartene-med-269-753-23-og-22-4/
### Oppgavetekst
Regn ut:
a) $269 + 179 =$
b) $753 - 129 =$
c) $23 \cdot 45 =$
d) $22{,}4 : 7 =$
---
## V2011 del 1 oppgave 2 — Omgjøring av 240 minutter, 20 000 meter og 50 cL
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom minutt og time, meter og kilometer, centiliter og liter og kvadratdesimeter og kvadratmeter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omgjoring-av-240-minutter-20-000-meter-og-50-cl/
### Oppgavetekst
Gjør om:
a) $240 \mathrm{~min} =$ $\mathrm{h}$
b) $20\,000 \mathrm{~m} =$ $\mathrm{km}$
c) $50 \mathrm{~cL} =$ $\mathrm{L}$
d) $200 \mathrm{~dm^2} =$ $\mathrm{m^2}$
---
## V2011 del 1 oppgave 3 — Regnerekkefølge og negative potenser med 3 og 2
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Negative tall
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $3+2\cdot 5+2^3$ og $-3^2\cdot(-3)^2$ med riktig regnerekkefølge og fortegn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regnerekkefolge-og-negative-potenser-med-3-og-2/
### Oppgavetekst
Regn ut:
a) $3 + 2 \cdot 5 + 2^3 =$
b) $-3^2 \cdot (-3)^2 =$
---
## V2011 del 1 oppgave 4 — Brøkregning med sjudeler, firedeler og seksdeler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addere, subtrahere, multiplisere og dividere brøker og forkorte svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brokregning-med-sjudeler-firedeler-og-seksdeler/
### Oppgavetekst
Regn ut og forkort brøken hvis det er mulig:
a) $\frac{2}{7} + \frac{4}{7} =$
b) $\frac{3}{2} - \frac{3}{4} =$
c) $\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} =$
d) $\frac{5}{6} : \frac{10}{6} =$
---
## V2011 del 1 oppgave 5 — Førstegradslikninger med 3x minus 5 og 4 ganger x pluss 3
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse $3x-5=19$ og $4(x+3)=7x+3$ ved å løse opp parentes og samle ledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forstegradslikninger-med-3x-minus-5-og-4-ganger-x-pluss-3/
### Oppgavetekst
Løs likningene:
a)
$$
3x - 5 = 19
$$
b)
$$
4(x + 3) = 7x + 3
$$
---
## V2011 del 1 oppgave 6 — Overslag om Anne fyller bensin eller diesel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Økonomi, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Gjøre overslag ved å dele 509,62 kroner på 41,5 liter og sammenlikne med literprisene på skiltet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-om-anne-fyller-bensin-eller-diesel/
### Oppgavetekst
Anne fyller $41{,}5 \mathrm{~L}$ drivstoff og betaler $509{,}62$ kroner.
På bildet ser du prisen per liter for bensin (95) og diesel (D).
Gjør overslag og finn ut om Anne kjører en bil som bruker bensin (95), eller en bil som bruker diesel (D).
---
## V2011 del 1 oppgave 7 — Prosentandel jenter blant 30 gutter og 45 jenter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut hvor mange prosent 45 jenter utgjør av 75 elever.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentandel-jenter-blant-30-gutter-og-45-jenter/
### Oppgavetekst
På en skole er det $30$ gutter og $45$ jenter.
Hvor mange prosent av elevene er jenter?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $45 \, \%$
> - [x] $60 \, \%$
> - [ ] $75 \, \%$
> - [ ] $150 \, \%$
---
## V2011 del 1 oppgave 8 — Antall måter å plassere fem kosedyr på hylle
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle antall rekkefølger av fem ulike gjenstander med multiplikasjonsprinsippet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-mater-a-plassere-fem-kosedyr-pa-hylle/
### Oppgavetekst
Lillebror har fem kosedyr. Han vil sette dem ved siden av hverandre på en hylle.
På hvor mange ulike måter kan han plassere kosedyrene?
Svar: måter
---
## V2011 del 1 oppgave 9 — Standardform for tallet 35 400
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen riktig skrivemåte på standardform for 35 400.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-for-tallet-35-400/
### Oppgavetekst
Vi skriver tallet $35\,400$ på standardform slik:
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $3540 \cdot 10^1$
> - [ ] $354 \cdot 10^2$
> - [ ] $35{,}4 \cdot 10^3$
> - [x] $3{,}54 \cdot 10^4$
---
## V2011 del 1 oppgave 10 — Likningssett med minus 2x pluss y lik 7 og prøve
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse likningssettet med innsettingsmetoden og sette prøve på svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssett-med-minus-2x-pluss-y-lik-7-og-prove/
### Oppgavetekst
Vi har likningssettet
$$
\begin{aligned}
-2x + y &= 7 \\
y &= 5x - 5
\end{aligned}
$$
Løs likningssettet ved regning. Sett prøve på svaret.
---
## V2011 del 1 oppgave 11 — Skål A og skål B med gule og blå kuler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne sannsynlighetene $\frac{2}{3}$ og $\frac{3}{5}$ for å trekke en gul kule.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skal-a-og-skal-b-med-gule-og-bla-kuler/
### Oppgavetekst
Du trekker tilfeldig én kule fra én av skålene A og B.
- Skål A: $2$ gule kuler og $1$ blå kule
- Skål B: $3$ gule kuler og $2$ blå kuler
Hvilken skål gir størst sannsynlighet for å trekke én gul kule?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] Skål A gir størst sannsynlighet
> - [ ] Skål B gir størst sannsynlighet
> - [ ] Skål A og skål B gir like stor sannsynlighet
> - [ ] Det er umulig å regne ut
---
## V2011 del 1 oppgave 12 — Konstruksjon av trapes ABCD med 60 og 30 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en trekant med vinklene 60 og 30 grader og utvide den til et trapes med rett vinkel i A.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-trapes-abcd-med-60-og-30-grader/
### Oppgavetekst
I $\triangle ABC$ er $AB = 8{,}0 \mathrm{~cm}$, $\angle A = 60\degree$ og $\angle B = 30\degree$
$\triangle ABC$ er en del av trapeset $ABCD$ der $\angle BAD = 90\degree$
Konstruer $\triangle ABC$.
Konstruer trapeset $ABCD$.
Lag hjelpefigur og skriv konstruksjonsforklaring.
---
## V2011 del 1 oppgave 13 — Skjæringspunkt og funksjonsuttrykk for y1 og y2 i koordinatsystem
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Lese av skjæringspunktet mellom to rette linjer og finne stigningstall og konstantledd i begge uttrykkene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skjaeringspunkt-og-funksjonsuttrykk-for-y1-og-y2-i-koordinatsystem/
### Oppgavetekst
a) Hva er koordinatene til skjæringspunktet til grafene?
Svar:
b) Skriv funksjonsuttrykket til $y_1$ og $y_2$
$y_1 =$
$y_2 =$
---
## V2011 del 1 oppgave 14 — Forenkling av 2 ganger b pluss 4a og brøk med 4a i andre
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse opp parenteser og trekke sammen, og forkorte en bokstavbrøk ved å faktorisere teller.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-2-ganger-b-pluss-4a-og-brok-med-4a-i-andre/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
a)
$$
2(b + 4a) - (b + a)
$$
b)
$$
\frac{4a^2 - 2a}{2a}
$$
---
## V2011 del 1 oppgave 15 — Areal av trapes med parallelle sider 5 m og 8 m
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Regne ut arealet av et trapes med parallelle sider 5 m og 8 m og høyde 4 m.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-trapes-med-parallelle-sider-5-m-og-8-m/
### Oppgavetekst
Bruk målene på skissen ovenfor, og regn ut arealet av trapeset.
---
## V2011 del 1 oppgave 16 — Diagonal på dataskjerm med bredde 16 tommer og høyde 10 tommer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Bruke Pytagoras' setning på en skjerm som er 16 tommer bred og 10 tommer høy.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diagonal-pa-dataskjerm-med-bredde-16-tommer-og-hoyde-10-tommer/
### Oppgavetekst
Størrelsen på en dataskjerm er lengden av diagonalen på skjermen.
Bredden på skjermen er $16$ tommer ($16''$).
Høyden på skjermen er $10$ tommer ($10''$).
Hva er størrelsen på skjermen?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] ca. $16$ tommer
> - [ ] ca. $17$ tommer
> - [x] ca. $19$ tommer
> - [ ] ca. $20$ tommer
---
## V2011 del 1 oppgave 17 — Graf for sammenhengen mellom omkrets og radius i sirkel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Graftolkning, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen at $O = 2\pi r$ gir en rett linje gjennom origo blant fire grafer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/graf-for-sammenhengen-mellom-omkrets-og-radius-i-sirkel/
### Oppgavetekst
Hvilken av grafene nedenfor viser sammenhengen mellom omkrets og radius til en sirkel?
---
## V2011 del 1 oppgave 18 — Avstand fra A til B på kart i målestokk 1 til 10 000
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Måle avstanden mellom to poster på et orienteringskart og regne om med målestokken 1 til 10 000.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstand-fra-a-til-b-pa-kart-i-malestokk-1-til-10-000/
### Oppgavetekst
Målestokken på kartet er $1 : 10\,000$
Hvor langt (i luftlinje) er det fra $A$ til $B$ i virkeligheten?
Svar: $\mathrm{m}$
---
## V2011 del 1 oppgave 19 — Omforming av arealformelen A lik g ganger h delt på 2
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse formelen $A=\frac{g\cdot h}{2}$ med hensyn på $h$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omforming-av-arealformelen-a-lik-g-ganger-h-delt-pa-2/
### Oppgavetekst
Hvis $A = \frac{g \cdot h}{2}$, da er
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $h = 2 \cdot A \cdot g$
> - [x] $h = \frac{2 \cdot A}{g}$
> - [ ] $h = \frac{A}{2 \cdot g}$
> - [ ] $h = \frac{2 \cdot g}{A}$
---
## V2011 del 1 oppgave 20 — Kilopris for 2,5 kg appelsiner til 60 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Dele 60 kroner på 2,5 kg for å finne prisen per kilogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kilopris-for-2-5-kg-appelsiner-til-60-kroner/
### Oppgavetekst
$2{,}5 \mathrm{~kg}$ appelsiner koster $60$ kroner.
Regn ut prisen per kilogram for appelsinene.
---
## V2011 del 1 oppgave 21 — Typetall, median og gjennomsnitt for ti mopedelever
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 21
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Finne tre manglende verdier i en sortert tabell når typetall, median og gjennomsnitt er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/typetall-median-og-gjennomsnitt-for-ti-mopedelever/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall dager i uken som $10$ elever kjører moped til skolen.
Det mangler opplysninger for $3$ av elevene. Alle tallene skal stå i stigende rekkefølge.
For de $10$ elevene vet vi at typetallet er $2$ ganger i uken, medianen er $3$ ganger i uken og gjennomsnittet er $3{,}2$ ganger i uken.
Bruk opplysningene ovenfor, og finn hvor mange dager i uken elev D, F og G kjører moped til skolen. Skriv svarene inn i tabellen nedenfor.
| Elev | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
|:-------------|:--:|:--:|:--:|:-----------:|:--:|:-----------:|:-----------:|:--:|:--:|:--:|
| Antall dager | $2$ | $2$ | $2$ | | $3$ | | | $4$ | $5$ | $5$ |
---
## V2011 del 2 oppgave 1 — Hannes scooter med prisøkning, gjennomsnittsfart og bensinforbruk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Fart, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne prisøkning med vekstfaktor 1,12, finne kjøretid av 10 km og 30 km/h, og bensinforbruk av 0,2 L per mil.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hannes-scooter-med-prisokning-gjennomsnittsfart-og-bensinforbruk/
### Oppgavetekst
Hanne kjøpte en scooter som kostet $26\,990$ kroner i 2009. Prisen på scooteren økte med $12 \, \%$ fra 2009 til 2010.
a) Hva kostet scooteren i 2010?
En dag kjørte Hanne $10 \mathrm{~km}$ med scooteren. Gjennomsnittsfarten var $30 \mathrm{~km/h}$.
b) Hvor mange minutter tok turen?
I juni kjørte Hanne $600 \mathrm{~km}$ med scooteren. Scooteren brukte ca. $0{,}2 \mathrm{~L}$ bensin per mil.
c) Hvor mange liter bensin brukte scooteren i juni?
---
## V2011 del 2 oppgave 2 — Pipestørrelser i brøk og volum av motorsylinder
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Volum, Romgeometri, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Sortere seks brøker etter størrelse og regne med volumformelen for en sylinder begge veier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pipestorrelser-i-brok-og-volum-av-motorsylinder/
### Oppgavetekst
Vi har seks piper som vi skrur muttere med. Størrelsen på disse pipene er oppgitt i tommer. $11/16 = \frac{11}{16}$ og så videre.
$$
11/16 \qquad 19/32 \qquad 1/2 \qquad 3/8 \qquad 3/4 \qquad 15/32
$$
a) Skriv brøkene i stigende rekkefølge.
En lett motorsykkel har en motorsylinder med innvendig volum på maksimalt $125{,}0 \mathrm{~cm^3}$.
b) Regn ut volumet av motorsylinderen på skissen ovenfor. Oppgi svaret i kubikkcentimeter.
Etter en skade i motoren trenger sylinderen reparasjon. Verkstedet ønsker å utvide diameteren, men volumet av motorsylinderen skal fortsatt være maksimalt $125{,}0 \mathrm{~cm^3}$.
c) Regn ut hvor stor diameteren til sylinderen maksimalt kan være. Oppgi svaret i millimeter med én desimal.
---
## V2011 del 2 oppgave 3 — Serielån på 200 000 kroner over ti år i regneark
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Lån, Rente, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Fullføre betalingsplanen for et serielån med faste avdrag og 8 prosent rente i regneark.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/serielan-pa-200-000-kroner-over-ti-ar-i-regneark/
### Oppgavetekst
Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt.
Synne kjøper ny motorsykkel og får et serielån i banken. Lånebeløpet er $200\,000$ kroner. Hun betaler ned lånet med én termin per år i $10$ år. Renten er $8 \, \%$ per år. Nedenfor ser du begynnelsen på betalingsplanen fra banken.
Fullfør betalingsplanen i et regneark.
---
## V2011 del 2 oppgave 4 — Diagram og gjennomsnitt for skadde i mopedulykker 2003 til 2009
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Presentasjon av data, Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Lage et passende diagram av sju årstall og regne ut gjennomsnittet av antall skadde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diagram-og-gjennomsnitt-for-skadde-i-mopedulykker-2003-til-2009/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall skadde personer i ulykker på moped i Norge fra 2003 til 2009:
| År | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 |
|:-------------------------|:------:|:------:|:------:|:------:|:------:|:------:|:------:|
| Antall skadde personer | $585$ | $715$ | $613$ | $577$ | $537$ | $494$ | $494$ |
a) Lag et passende diagram som viser antall skadde personer i ulykker på moped per år i denne perioden.
b) Finn gjennomsnittlig antall skadde personer i ulykker på moped per år i denne perioden.
---
## V2011 del 2 oppgave 5 — Motorsykkeltur fra Sarpsborg til Ås avlest fra avstandsgraf
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Fart, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Lese av opphold, knekkpunkt og stigning i en avstand-tid-graf og regne ut gjennomsnittsfarten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/motorsykkeltur-fra-sarpsborg-til-as-avlest-fra-avstandsgraf/
### Oppgavetekst
Diagrammet nedenfor viser sammenhengen mellom tid og avstand på en motorsykkeltur som Peder kjørte fra Sarpsborg til Ås og tilbake igjen.
a) Hvor lenge var Peder i Ås?
På veien til Ås måtte Peder kjøre saktere i $5 \mathrm{~km}$, fordi det var kø.
b) Hvor langt fra Sarpsborg begynte køen?
c) Hvor stor var gjennomsnittsfarten fra Sarpsborg til Ås?
---
## V2011 del 2 oppgave 6 — Bremselengde for scooter som andregradsfunksjon av farten
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Graftegning, Modellering, Fart
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut en verditabell, bestemme k i $y=k\cdot x^2$, tegne grafen og finne farten når bremselengden er 10,0 m.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bremselengde-for-scooter-som-andregradsfunksjon-av-farten/
### Oppgavetekst
En scooter blir kjørt med farten $8{,}0 \mathrm{~m/s}$. Så bremser føreren maksimalt til scooteren står stille. I løpet av oppbremsingen beveger scooteren seg $8{,}0 \mathrm{~m}$. Dette kaller vi bremselengden.
Under ellers like forhold gjelder dette om fart og bremselengde:
1. Hvis farten blir dobbelt så stor, blir bremselengden fire ganger så stor.
2. Hvis farten blir tre ganger så stor, blir bremselengden ni ganger så stor.
a) Skriv av tabellen nedenfor. Bruk opplysningene 1) og 2) i ruten ovenfor til å fylle ut de tomme rutene i tabellen.
| Fart (m/s) | $4{,}0$ | $8{,}0$ | $12{,}0$ |
|:-----------------|:------------:|:------------:|:------------:|
| Bremselengde (m) | $2{,}0$ | | |
Vi skriver sammenhengen mellom fart og bremselengde slik:
$$
y = k \cdot x^2
$$
der
- $x$: fart (m/s)
- $y$: bremselengde (m)
- $k$: et tall for veiforholdene
b) Sett inn $x = 4{,}0$ og $y = 2{,}0$ i formelen ovenfor, og vis at $k = 0{,}125$
c) Tegn grafen til funksjonen $y = 0{,}125x^2$ for $x$-verdier fra og med $0$ til og med $12$.
d) Finn grafisk og ved regning farten på scooteren når bremselengden er $10{,}0 \mathrm{~m}$
---
## V2011 del 2 oppgave 7 — Kheopspyramidens grunnflate, høyde, volum og overflate
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Volum, Areal og omkrets, Formlike trekanter
- **Kort beskrivelse:** Regne areal og omkrets av en kvadratisk grunnflate, finne høyden med formlike trekanter og regne volum og overflate.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kheopspyramidens-grunnflate-hoyde-volum-og-overflate/
### Oppgavetekst
Thales fra Milet (ca. 625 - 545 f.Kr.) regnes for å være den første greske filosofen, matematikeren og vitenskapsmannen. Thales skal blant annet ha funnet høyden på Kheopspyramiden i Egypt.
Kheopspyramiden har en grunnflate $G$ som er kvadratisk.
a) Regn ut arealet av grunnflaten $G$, og regn ut omkretsen av grunnflaten $G$.
> Plutarkos, en gresk historiker, forteller
> "[...] Thales satte opp en stav der pyramidens skygge sluttet og fikk to [formlike] trekanter fra [de parallelle] solstrålene."
>
> Plutarkos, *Septem sapientium convivium* 147
b) Bruk målene på skissen ovenfor. Vis ved regning at $h = 145{,}6 \mathrm{~m}$
c) Regn ut volumet av Kheopspyramiden.
Kheopspyramiden har fire sideflater med form som likebeinte trekanter. Se skissen øverst.
d) Regn ut overflaten til Kheopspyramiden.
---
## V2011 del 2 oppgave 8 — Thales' setning og vinkel C i innskrevet trekant
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Vinkler, Argumentasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Begrunne Thales' setning ved å bruke at trekantene ASC og BSC er likebeinte og at vinkelsummen er 180 grader.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/thales-setning-og-vinkel-c-i-innskrevet-trekant/
### Oppgavetekst
Den greske historikeren Diogenes forteller at "[...] Thales var den første som innskrev en rettvinklet trekant i en sirkel."
I dag kaller vi dette for *Thales' setning*.
> Thales' setning
> I $\triangle ABC$ er $AB$ diameter i en sirkel med sentrum $S$, og $C$ ligger på sirkelperiferien. Da er $\angle C = 90\degree$
>
> Diogenes Laertios, *The Lives and Opinions of Eminent Philosophers*, I. Thales 3 (C.D.Yonge overs.)
Se skissen ovenfor. Vi lar $\angle CBS = 50\degree$
Forklar at $\angle C = 90\degree$
Tips: Forklar først at $\triangle BSC$ er likebeint.
---
## V2011 del 2 oppgave 9 — Thales beregner avstanden fra land til skip
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formlike trekanter, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke formlike trekanter med målene 30 m, 45 m og 50 m til å finne avstanden x ut til skipet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/thales-beregner-avstanden-fra-land-til-skip/
### Oppgavetekst
> Proklos, en gresk filosof, forteller
> "[...] Thales skal ha beregnet avstanden fra land til skip ute på havet [...]"
>
> Proklos, *Kommentar til Euklids Elementer Bok I*
På skissen ovenfor er
- $AB \parallel DE$
- $AC \perp DE$
- $AC \perp AB$
Regn ut avstanden $x$ fra land og ut til skipet.
---
## V2010 del 1 oppgave 1 — Regn ut 334 + 465, 854 − 328, 4,3 · 7 og 264 delt på 4
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon med desimaltall og divisjon uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regn-ut-334-465-854-328-4-3-7-og-264-delt-pa-4/
### Oppgavetekst
Regn ut:
a) $334 + 465 =$
b) $854 - 328 =$
c) $4{,}3 \cdot 7 =$
d) $264 : 4 =$
---
## V2010 del 1 oppgave 2 — Gjør om 2,5 timer, 4,7 mil, 2,3 liter og 6250 gram
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Omgjøring mellom timer og minutter, mil og km, liter og desiliter, gram og kilogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjor-om-2-5-timer-4-7-mil-2-3-liter-og-6250-gram/
### Oppgavetekst
Gjør om:
a) $2{,}5$ t = min
b) $4{,}7$ mil = km
c) $2{,}3$ L (liter) = dL (desiliter)
d) $6250$ g = kg
---
## V2010 del 1 oppgave 3 — Regnerekkefølge med 3 i andre og minus 2 i tredje
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regnerekkefølge med potenser, parentes og negative tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regnerekkefolge-med-3-i-andre-og-minus-2-i-tredje/
### Oppgavetekst
Regn ut:
a) $3^2 + 2(5 - 4) =$
b) $-1^2 \cdot 3(-2)^3 =$
---
## V2010 del 1 oppgave 4 — Brøkregning med trettendeler, sjettedeler og nideler
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med brøk, med fellesnevner i to av deloppgavene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brokregning-med-trettendeler-sjettedeler-og-nideler/
### Oppgavetekst
Regn ut:
a) $\dfrac{8}{13} + \dfrac{4}{13} =$
b) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3} =$
c) $\dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{1}{2} =$
d) $6 : \dfrac{3}{10} =$
---
## V2010 del 1 oppgave 5 — Løs ligningen 4x + 7 = 47 og en ligning med brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse en lineær ligning og en ligning der den ukjente står i brøk med nevnerne 2 og 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-ligningen-4x-7-47-og-en-ligning-med-brok/
### Oppgavetekst
Løs ligningene:
a)
$$
4x + 7 = 47
$$
b)
$$
\dfrac{x}{2} = \dfrac{x}{3} + 1
$$
---
## V2010 del 1 oppgave 6 — Overslag over prisen på en iPod til 348 euro
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Valuta, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Overslagsregning med valutakursen 8,732 kroner per euro.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-over-prisen-pa-en-ipod-til-348-euro/
### Oppgavetekst
Teresa var i Tyskland. Der kjøpte hun en iPod som kostet $348$ € (euro).
Kursen på $1$ € var $8{,}732$.
Omtrent hva kostet iPod-en i norske kroner?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] ca. $2000$ kroner
> - [x] ca. $3000$ kroner
> - [ ] ca. $4000$ kroner
> - [ ] ca. $5000$ kroner
---
## V2010 del 1 oppgave 7 — Symmetriakser i en likesidet trekant
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri
- **Kort beskrivelse:** Tegne inn de tre symmetriaksene i en likesidet trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/symmetriakser-i-en-likesidet-trekant/
### Oppgavetekst
Tegn inn symmetriaksene på den likesidede trekanten nedenfor.
---
## V2010 del 1 oppgave 8 — Overflaten av en sylinder med radius 5 cm og høyde 10 cm
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sylinder, Areal og omkrets, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Regne ut overflaten av en sylinder som summen av to sirkler og et rektangel, med $\pi \approx 3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overflaten-av-en-sylinder-med-radius-5-cm-og-hoyde-10-cm/
### Oppgavetekst
En sylinder har radius $r = 5 \mathrm{~cm}$ og høyde $h = 10 \mathrm{~cm}$.
Regn ut overflaten av sylinderen. Bruk $\pi \approx 3$.
---
## V2010 del 1 oppgave 9 — Løs ligningssettet x + y = 3 og 2x + 3y = 8
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse et lineært ligningssett med to ukjente ved innsettings- eller addisjonsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-ligningssettet-x-y-3-og-2x-3y-8/
### Oppgavetekst
$$
\begin{aligned}
\mathrm{I} \quad && x + y &= 3 \\
\mathrm{II} \quad && 2x + 3y &= 8
\end{aligned}
$$
Løs ligningsettet ovenfor ved regning.
---
## V2010 del 1 oppgave 10 — Målestokken på et norgeskart med Oslo og Bergen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Finne målestokken på et kart ved å måle avstanden Oslo–Bergen og sammenlikne med 300 km.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malestokken-pa-et-norgeskart-med-oslo-og-bergen/
### Oppgavetekst
Avstanden fra Oslo til Bergen er ca. $300 \mathrm{~km}$ i luftlinje.
Bruk kartet ovenfor. Hva er målestokken for dette kartet?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] 1:30 000
> - [ ] 1:150 000
> - [ ] 1:3 000 000
> - [x] 1:15 000 000
---
## V2010 del 1 oppgave 11 — Konstruksjon av trekant ABC og parallellogrammet ABCD
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en trekant av $AB = 7$ cm med vinklene 45° og 60°, og utvide den til et parallellogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-trekant-abc-og-parallellogrammet-abcd/
### Oppgavetekst
a) Konstruer en trekant $ABC$ der $AB$ er $7 \mathrm{~cm}$, $\angle A = 45\degree$ og $\angle B = 60\degree$.
b) Trekanten $ABC$ er en del av parallellogrammet $ABCD$. Konstruer parallellogrammet. Ta med hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.
---
## V2010 del 1 oppgave 12 — Finn funksjonsuttrykket til den tegnede rette linja
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Lese av konstantledd og stigningstall på en rett linje og velge riktig funksjonsuttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finn-funksjonsuttrykket-til-den-tegnede-rette-linja/
### Oppgavetekst
Hva er funksjonsuttrykket til grafen ovenfor?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $y = x - 1$
> - [ ] $y = 2x + \dfrac{1}{2}$
> - [ ] $y = -x + 2$
> - [ ] $y = 2x - 1$
---
## V2010 del 1 oppgave 13 — Ti prosent rabatt på en mobiltelefon til 2990 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne ut 10 % av 2990 kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ti-prosent-rabatt-pa-en-mobiltelefon-til-2990-kroner/
### Oppgavetekst
I en butikk koster en mobiltelefon $2990$ kroner.
Hvis du kjøper den på Internett, får du 10 % rabatt.
Hvor mange kroner får du i rabatt?
Svar: kroner
---
## V2010 del 1 oppgave 14 — Sannsynlighet for svart lomme i et amerikansk ruletthjul
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Finne antall utfall i utfallsrommet og sannsynligheten for svart lomme som brøk og prosent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-svart-lomme-i-et-amerikansk-ruletthjul/
### Oppgavetekst
Rulett er et sjansespill. Et amerikansk ruletthjul har $18$ røde lommer, $19$ svarte lommer og $1$ grønn lomme.
Hjulet snurres rundt. En kule trilles rundt i motsatt retning og stopper i én av lommene.
a) Utfallsrommet har utfall.
b) Hva er sannsynligheten for at kula stopper i en svart lomme?
Svar: (brøk) = % (prosent)
---
## V2010 del 1 oppgave 15 — Forsvinningspunkter for en eske på en horisontlinje
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Perspektivtegning, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Forlenge kantene på en eske til de treffer horisontlinja og finne de to forsvinningspunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forsvinningspunkter-for-en-eske-pa-en-horisontlinje/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du et bilde av en eske og en horisontlinje. Esken har to forsvinningspunkter på horisontlinja.
Vis hvordan du finner de to forsvinningspunktene.
---
## V2010 del 1 oppgave 16 — Volumet av en eske med lengde 20 cm og bredde 15 cm
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Regne ut volumet av et rett prisme som lengde ganger bredde ganger høyde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volumet-av-en-eske-med-lengde-20-cm-og-bredde-15-cm/
### Oppgavetekst
En eske har lengde $20 \mathrm{~cm}$, bredde $15 \mathrm{~cm}$ og høyde $10 \mathrm{~cm}$.
Hva er volumet av esken?
Svar: $\mathrm{cm^3}$
---
## V2010 del 1 oppgave 17 — Typetall, median og gjennomsnitt for antall mobiltelefoner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Finne typetall, median og gjennomsnitt i et uordnet datasett med ti observasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/typetall-median-og-gjennomsnitt-for-antall-mobiltelefoner/
### Oppgavetekst
$10$ personer ble spurt om hvor mange mobiltelefoner de hadde hatt i løpet av de tre siste årene. De svarte slik:
$$
1 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 5 \quad 3 \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 1
$$
a) Typetallet er
b) Medianen er
c) Gjennomsnittet er
---
## V2010 del 1 oppgave 18 — Areal og hypotenus i en rettvinklet trekant med 8 m og 6 m
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Regne ut arealet av en rettvinklet trekant og finne hypotenusen med Pytagoras-setningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-hypotenus-i-en-rettvinklet-trekant-med-8-m-og-6-m/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en skisse av en rettvinklet trekant.
a) Arealet av trekanten er $\mathrm{m^2}$
b) Regn ut lengden av $x$ ved hjelp av Pytagoras-setningen.
---
## V2010 del 1 oppgave 19 — Tiden radiosignaler bruker fra månen til jorda
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Sammensatte måleenheter, Fart
- **Kort beskrivelse:** Overslag med tall på standardform — dele $3{,}84 \cdot 10^8$ m på lysets hastighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tiden-radiosignaler-bruker-fra-manen-til-jorda/
### Oppgavetekst
Avstanden fra månen til jorda er $3{,}84 \cdot 10^8$ meter.
Radiosignaler fra en astronaut på månen går med lysets hastighet, det vil si 300 000 000 m/s.
Omtrent hvor mange sekunder bruker radiosignalene fra månen til jorda?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] ca. $0{,}1 \mathrm{~s}$
> - [x] ca. $1 \mathrm{~s}$
> - [ ] ca. $10 \mathrm{~s}$
> - [ ] ca. $100 \mathrm{~s}$
---
## V2010 del 1 oppgave 20 — Ventetid på bussen fra klokka 07.38 til 09.19
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tidsregning, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Tidsregning der ventetiden regnes fra fem minutter etter 07.38 fram til 09.19.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ventetid-pa-bussen-fra-klokka-07-38-til-09-19/
### Oppgavetekst
Sondre tar en buss til skolen. Bussen går klokka 07.38 hver morgen. En dag kommer han $5$ minutter for sent til denne bussen. Neste buss går ikke før klokka 09.19.
Hvor lenge må Sondre vente på neste buss?
Svar: t min
---
## V2010 del 1 oppgave 21 — Faktorisering av 6a + 3b og andre kvadratsetning
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 21
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Faktorisering, Algebra, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Sette felles faktor utenfor parentes og kjenne igjen første kvadratsetning baklengs.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisering-av-6a-3b-og-andre-kvadratsetning/
### Oppgavetekst
Faktoriser uttrykkene:
a) $6a + 3b =$
b) $a^2 + 2ab + b^2 =$
---
## V2010 del 1 oppgave 22 — Hvor mange ganger større blir kulevolumet når radien fordobles
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 22
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kule, Volum, Formler, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sette inn $2r$ i volumformelen for kule og sammenlikne med volumet for radius $r$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hvor-mange-ganger-storre-blir-kulevolumet-nar-radien-fordobles/
### Oppgavetekst
Volumet av en kule med radius $r$ er gitt ved
$$
V = \frac{4\pi r^3}{3}
$$
Hvor mange ganger større blir volumet av en kule når radien fordobles fra $r$ til $2r$? Vis med formelregning.
---
## V2010 del 2 oppgave 1 — Mobiltelefon med ekstrautstyr for mellom 1300 og 1600 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Prosentregning, Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sette sammen priser innenfor et intervall, regne prosentvis rabatt, telle kombinasjoner og finne sannsynlighet uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mobiltelefon-med-ekstrautstyr-for-mellom-1300-og-1600-kroner/
### Oppgavetekst
Maria skal kjøpe ny mobiltelefon med ekstrautstyr. Se bilder og priser nedenfor.
a) Maria skal bruke mellom $1300$ og $1600$ kroner på mobiltelefonen og ekstrautstyr. Gi to eksempler på hva hun kan kjøpe.
b) Maria får tilbud om å kjøpe mobiltelefonen, minnekort, handsfree og mobilveske for $1600$ kroner. Hvor mange prosent rabatt får hun da?
Terese vil kjøpe én mobiltelefon, én mobilveske og ett minnekort. Hun velger mellom det du ser på bildene nedenfor.
c) Hvor mange ulike kombinasjoner av én mobiltelefon, én mobilveske og ett minnekort kan Terese velge mellom?
I butikken er det en kurv med $15$ mobilvesker. To av mobilveskene har en feil som ikke er synlig i pakningen. Først kjøper Maria en mobilveske fra kurven. Like etterpå kjøper Terese en annen mobilveske fra kurven.
d) Hva er sannsynligheten for at begge to kjøper en mobilveske med feil?
---
## V2010 del 2 oppgave 2 — Diagonal og areal på en mobilskjerm målt i tommer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter, Areal og omkrets, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Måle diagonalen i målestokk 1:2, gjøre om cm til tommer og finne arealet av en kvadratisk skjerm ut fra diagonalen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diagonal-og-areal-pa-en-mobilskjerm-malt-i-tommer/
### Oppgavetekst
Med størrelsen på en mobilskjerm mener vi lengden av diagonalen på skjermen, målt i tommer. Se diagonalen $d$ på bildet ovenfor.
a) Mobiltelefonen ovenfor er avbildet i målestokk 1:2. Mål diagonalen $d$ på bildet og regn ut den virkelige lengden av diagonalen på skjermen. Oppgi lengden i centimeter med én desimal.
b) Gjør om den virkelige lengden av diagonalen fra centimeter til tommer. 1 tomme = $2{,}54 \mathrm{~cm}$.
En annen mobiltelefon har en kvadratisk skjerm. Diagonalen på denne skjermen er $2{,}5$ tommer.
c) Finn arealet av skjermen. Oppgi svaret i $\mathrm{cm^2}$.
---
## V2010 del 2 oppgave 3 — Mobilabonnementene Snakkis, Talkis og Pratis
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Økonomi, Graftegning, Omvendt proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og tegne lineære kostnadsmodeller, finne skjæringspunktet og regne ut kostnad per ringeminutt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mobilabonnementene-snakkis-talkis-og-pratis/
### Oppgavetekst
**PRISOVERSIKT FOR MOBILABONNEMENT**
| PRISER \* | Snakkis | Talkis | Pratis |
|:-------------------------------|:--------:|:--------:|:---------:|
| Pris per måned (kroner) | 49 | 139 | 229 |
| Pris per ringeminutt (kroner) | 0,99 | 0,29 | 0 \*\* |
\* Vi ser bort fra oppstartspris på samtalene i denne oppgaven.
\*\* Gjelder inntil 500 ringeminutter i måneden.
Nikolai har ett av de tre abonnementene ovenfor. Han betaler $49$ kroner per måned og $0{,}99$ kroner per ringeminutt.
a) Hvilket abonnementet har Nikolai?
b) $x$ er antall ringeminutter per måned, og $y$ er samlet kostnad per måned målt i kroner.
1\) Forklar at funksjonsuttrykket for samlet kostnad per måned til Snakkis-abonnementet er $y = 0{,}99x + 49$
2\) Sett opp funksjonsuttrykket for samlet kostnad per måned til Talkis-abonnementet.
c) Tegn grafene til de to funksjonsuttrykkene i oppgave b) i samme koordinatsystem.
d) Hvor mange ringeminutter må Nikolai ha hver måned for at det skal lønne seg å bytte abonnement fra Snakkis til Talkis?
Alexandra har et Pratis-abonnement. Det betyr at jo mer Alexandra ringer, jo lavere blir samlet kostnad per ringeminutt.
e) Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn det som mangler.
| Antall ringeminutter per måned | 10 | 50 | 150 | 250 | 350 | 500 |
|:-------------------------------|:-----:|:--:|:---:|:---:|:---:|:----:|
| Samlet kostnad per ringeminutt | 22,90 | | | | | 0,46 |
f) Hvor mange ringeminutter må Alexandra ha i løpet av en måned for at samlet kostnad per ringeminutt skal bli $0{,}79$ kroner?
---
## V2010 del 2 oppgave 4 — Regneark med ringeminutter for June, Christoffer og Hanna
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Diagram, Sentralmål, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Lage diagram og gjennomsnitt i regneark og sammenlikne tre abonnementspriser med formler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regneark-med-ringeminutter-for-june-christoffer-og-hanna/
### Oppgavetekst
**Oppgave a), b) og c) skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt.**
Vi bruker prisene i denne oversikten:
| PRISER | Snakkis | Talkis | Pratis |
|:-------------------------------|:--------:|:--------:|:-------:|
| Pris per måned (kroner) | 49 | 139 | 229 |
| Pris per ringeminutt (kroner) | 0,99 | 0,29 | 0 |
Hver av de tre vennene June, Christoffer og Hanna har et mobilabonnement. Christoffer har disse ringeminuttene fra januar til juni:
| Måned | Januar | Februar | Mars | April | Mai | Juni |
|:--------------|:------:|:-------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
| Ringeminutter | 254,5 | 220,9 | 208,3 | 204,7 | 205,4 | 223,2 |
a) Lag et passende diagram over Christoffers ringeminutter fra januar til juni.
b) Hvor mange ringeminutter har Christoffer i gjennomsnitt per måned fra januar til juni?
June har i gjennomsnitt $281{,}2$ ringeminutter per måned, mens Hanna har i gjennomsnitt $124{,}5$ ringeminutter per måned. Se tabellen nedenfor. Kolonnene Snakkis, Talkis og Pratis viser samlet kostnad i kroner.
| Navn | Ringeminutter i gjennomsnitt per måned | Snakkis | Talkis | Pratis |
|:----------------|:--------------------------------------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| Christoffer | | | | 229,00 |
| June | 281,2 | | | 229,00 |
| Hanna | 124,5 | | | 229,00 |
c) Lag tabellen ovenfor i et regneark. Sett inn svaret fra oppgave b) i tabellen. Bruk prisoversikten ovenfor og regn ut hva abonnementene Snakkis og Talkis vil koste for hver av de tre vennene. Vis hvilke formler du har brukt i regnearket.
d) I dag har Christoffer abonnementet Talkis, June har abonnementet Snakkis, og Hanna har abonnementet Pratis. Kan noen av vennene spare penger på å skifte abonnement?
---
## V2010 del 2 oppgave 5 — Teano og det gylne snitt i iPod-er og kredittkort
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Geometri, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Måle sider og sammenlikne forholdet lengde delt på bredde med 1,618, og regne ut den lengste siden i et gyllent rektangel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/teano-og-det-gylne-snitt-i-ipod-er-og-kredittkort/
### Oppgavetekst
Teano (500-tallet f.Kr.) var gift med den berømte Pytagoras.
Teano er en av de første kvinnelige matematikerne vi vet om. Hun tilhørte den pytagoreiske skolen i Hellas og skrev om «det gylne snitt».
Det gylne snitt er et forholdstall som vi finner i naturen, kunsten, arkitekturen og i teknologi og design. Dette forholdstallet er tilnærmet lik $1{,}618$.
I et gyllent rektangel er
$$
\frac{\text{lengde}}{\text{bredde}} \approx 1{,}618
$$
a) Ta mål og avgjør hvilken av iPod-ene nedenfor som har en form som likner mest på et gyllent rektangel.
b) Et kredittkort er et tilnærmet gyllent rektangel. Den korteste siden på kredittkortet er $5{,}4 \mathrm{~cm}$. Regn ut den lengste siden på kredittkortet.
---
## V2010 del 2 oppgave 6 — Fibonacci-kvadrater og Fibonacci-spiralen rundt punktet P
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Mønstre, Figurtall, Forholdsregning, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Utvide Fibonacci-tallfølgen, tegne kvadrat og spiral i rutenett og finne når forholdet lengde delt på bredde blir 1,618.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fibonacci-kvadrater-og-fibonacci-spiralen-rundt-punktet-p/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du hvordan vi kan sette sammen kvadrater $K_1, K_2, K_3, K_4, K_5$ og $K_6$ i flere trinn rundt punktet $P$.
$s_1$ er lengden av siden i kvadratet $K_1$, $s_2$ er lengden av siden i kvadratet $K_2$ og så videre.
Du ser at $s_1 = 1$, $s_2 = 1$, $s_3 = 2$, $s_4 = 3$, $s_5 = 5$ og $s_6 = 8$.
Tallene ovenfor er en del av den såkalte Fibonacci-tallfølgen $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$
a) Hva er de to neste tallene i Fibonacci-tallfølgen?
b) Bruk rutenettet nederst i oppgaven og tegn kvadrat $K_7$ og kvadrat $K_8$.
Dersom vi tegner kvartsirkler inne i kvadratene med start i punktet $P$, får vi en såkalt Fibonacci-spiral som vi kan oppdage i naturen. Se figuren nedenfor.
c) Bruk rutenettet nederst i oppgaven og tegn Fibonacci-spiralen ferdig til og med kvadrat $K_8$. Bruk passer.
Hver gang vi legger til et nytt kvadrat, danner kvadratene til sammen et rektangel. Jo flere kvadrater vi tar med, jo nærmere kommer vi til et gyllent rektangel.
d) Hvor mange kvadrater må vi minst ta med for at lengde delt på bredde i rektanglet skal bli $1{,}618$ når vi runder av til tre desimaler?
**Rutenett til oppgave b) og c):**
---
## V2010 del 2 oppgave 7 — Konstruksjon av et gyllent rektangel med sider på 7 cm
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Bevis, Argumentasjon, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Konstruere et gyllent rektangel med passer og linjal, og vise ved regning at forholdet blir $(\sqrt{5}+1)/2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-et-gyllent-rektangel-med-sider-pa-7-cm/
### Oppgavetekst
Det gylne snitt deler et linjestykke slik at
$$
\frac{A}{B} = \frac{A+B}{A} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}618
$$
Fra et linjestykke som er delt på den måten, kan vi lage et gyllent rektangel.
a) Du skal nå konstruere et gyllent rektangel slik de greske matematikerne gjorde det. Bruk framgangsmåten og hjelpefiguren nedenfor.
**Framgangsmåte:**
- Konstruer et kvadrat $ABCD$ med sider på $7 \mathrm{~cm}$.
- Konstruer midtpunktet $E$ på linjestykket $AB$.
- Forleng linjestykkene $AB$ og $DC$.
- Sett passerspissen i $E$. Slå en bue fra $C$. Buen treffer forlengelsen av $AB$ i $F$.
- Konstruer normalen fra $F$ til $G$.
- Rektangelet $AFGD$ er nå et gyllent rektangel.
b) Vi skal se på en figur med samme form som i oppgave a) og med samme navn på punktene. Men her i oppgave b) skal lengden av sidene i kvadratet $ABCD$ være $2$.
Vi har altså at:
- $ABCD$ er et kvadrat der $AB = 2$
- $AFGD$ er et rektangel
- $E$ er midtpunktet på $AB$
- $CE = EF$
Vis ved regning at $\dfrac{AF}{AD} = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
---
## V2009 del 1 oppgave 1 — Fire regnestykker med 287, 467, 34 og 460
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med hele tall uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-regnestykker-med-287-467-34-og-460/
### Oppgavetekst
Regn ut:
a) $287 + 97 =$
b) $467 - 138 =$
c) $34 \cdot 9 =$
d) $460 : 4 =$
---
## V2009 del 1 oppgave 2 — Enhetsomgjøring med 46 dl og 4,25 kg
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Tidsregning
- **Kort beskrivelse:** Omgjøring av tid til minutter, meter til kilometer, desiliter til liter og kilogram til gram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetsomgjoring-med-46-dl-og-4-25-kg/
### Oppgavetekst
Gjør om:
a) $1$ t $17$ min $=$ min
b) $25\,000$ m $=$ km
c) $46$ dl $=$ l (liter)
d) $4{,}25$ kg $=$ g
---
## V2009 del 1 oppgave 3 — Gjennomsnitt og typetall for ti filmseere
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Regne ut gjennomsnitt og finne typetall i et datasett med ti observasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-og-typetall-for-ti-filmseere/
### Oppgavetekst
10 personer på gaten ble spurt om hvor mange filmer de hadde sett i løpet av en uke.
De svarte slik:
$$
1 \quad 2 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 0 \quad 2 \quad 13 \quad 2 \quad 1
$$
Finn gjennomsnitt (middelverdi) og typetall.
a) Gjennomsnitt:
b) Typetall:
---
## V2009 del 1 oppgave 4 — Potensuttrykk som er lik 4
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Skille mellom $-2^2$ og $(-2)^2$ og regne ut enkle potensuttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensuttrykk-som-er-lik-4/
### Oppgavetekst
Hvilket av uttrykkene er lik 4?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $-2^2$
> - [ ] $2(2-2)$
> - [ ] $(-2)^2$
> - [ ] $2^3$
---
## V2009 del 1 oppgave 5 — Sammentrekning med bokstavuttrykk og kvadratsetninger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen like ledd og multiplisere ut $(a-b)^2 + (a+b)^2$ med kvadratsetningene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammentrekning-med-bokstavuttrykk-og-kvadratsetninger/
### Oppgavetekst
Trekk sammen uttrykkene:
a)
$$
7b + 8a + 2a - b
$$
b)
$$
(a-b)^2 + (a+b)^2
$$
---
## V2009 del 1 oppgave 6 — Løs ligningen 6x + 2 = 9x - 13
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse en førstegradslikning med ukjent på begge sider av likhetstegnet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-ligningen-6x-2-9x-13/
### Oppgavetekst
Løs ligningen: $6x + 2 = 9x - 13$
---
## V2009 del 1 oppgave 7 — Massetettheten til Hierons gullkrone
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sammensatte måleenheter, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig massetetthet ved å dele masse på volum og vurdere størrelsen på svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/massetettheten-til-hierons-gullkrone/
### Oppgavetekst
Arkimedes fra Syrakus (ca. 287–212 f.Kr.) hjalp kong Hieron å avsløre en gullsmed som hadde brukt for lite gull da han laget kongens krone.
Arkimedes brukte massetettheten til gullet for å avsløre gullsmeden.
Vekten til en gullkrone er 500,01 g.
Volumet av kronen er 25,88 cm$^3$.
Hva er massetettheten til gull, målt som g/cm$^3$?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $12{,}29$
> - [x] $19{,}32$
> - [ ] $25{,}88$
> - [ ] $43{,}47$
---
## V2009 del 1 oppgave 8 — Volum og overflate av en terning med side 5 cm
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Areal og omkrets, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Regne ut volum og overflate av en kube med sidekant 5 cm.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-og-overflate-av-en-terning-med-side-5-cm/
### Oppgavetekst
Figuren til høyre viser en terning (kube).
a) Volumet av terningen er cm$^3$
b) Overflaten av terningen er cm$^2$
---
## V2009 del 1 oppgave 9 — Symmetrilinjer i et vindu i stortingsbygningen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Mønstre
- **Kort beskrivelse:** Tegne alle symmetrilinjene i en sirkel med et innskrevet kvadrat og fire like felt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/symmetrilinjer-i-et-vindu-i-stortingsbygningen/
### Oppgavetekst
I stortingsbygningen finner vi slike vinduer:
Tegn alle symmetrilinjene på figuren nedenfor.
---
## V2009 del 1 oppgave 10 — Sant eller usant om rutetabellen til Flytoget
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tidsregning, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Lese avgangstider i en rutetabell med minutter over hver hele time og regne ut reisetider.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sant-eller-usant-om-rutetabellen-til-flytoget/
### Oppgavetekst
Flytoget starter fra Asker og går til Oslo Lufthavn Gardermoen.
Avgjør om påstandene er sanne eller usanne ved å sette ett kryss for hver påstand.
| Påstand | Sann | Usann |
|:-------------------------------------------------------------------------------|:-------------:|:-------------:|
| Flytoget har første avgang fra Asker kl. 04:38. | | |
| Flytoget bruker 49 minutter fra Asker til Oslo Lufthavn. | | |
| Når flytoget starter i Asker kl. 04:58, er toget på Skøyen kl. 05:19. | | |
| For å være på Oslo Lufthavn kl. 05:47, må du ta toget senest kl. 05:11 fra Lysaker. | | |
---
## V2009 del 1 oppgave 11 — Antall utfall når du kaster to terninger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle antall mulige utfall ved kast med to terninger som $6 \cdot 6$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-utfall-nar-du-kaster-to-terninger/
### Oppgavetekst
Du kaster en svart og en hvit terning.
På bildet ser du ett mulig utfall: 2 og 5.
Hvor mange utfall er det mulig å få?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $2$
> - [ ] $6$
> - [ ] $12$
> - [x] $36$
---
## V2009 del 1 oppgave 12 — Massen til et elektron på standardform
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tierpotenser
- **Kort beskrivelse:** Skrive et desimaltall med 30 nuller etter komma på standardform med negativ tierpotens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/massen-til-et-elektron-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Massen til et elektron er ca 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg
På standardform (normalform) kan dette tallet skrives som
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $91 \cdot 10^{-32}$
> - [x] $9{,}1 \cdot 10^{-31}$
> - [ ] $9{,}1 \cdot 10^{31}$
> - [ ] $91 \cdot 10^{32}$
---
## V2009 del 1 oppgave 13 — Konstruksjon av trekant med 30 og 90 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en trekant med passer og linjal ut fra én side og de to hosliggende vinklene $30\degree$ og $90\degree$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-trekant-med-30-og-90-grader/
### Oppgavetekst
Konstruer en trekant $ABC$ der $AB = 5{,}0$ cm, $\angle A = 30\degree$ og $\angle B = 90\degree$.
---
## V2009 del 1 oppgave 14 — Løs ulikheten 2(x - 1) > 3
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse en førstegradsulikhet med parentes og oppgi løsningsmengden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-ulikheten-2-x-1-storre-enn-3/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten: $2(x - 1) > 3$
---
## V2009 del 1 oppgave 15 — Finn funksjonsuttrykket til linja i koordinatsystemet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Lese av konstantledd og stigningstall til en fallende rett linje og velge riktig funksjonsuttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finn-funksjonsuttrykket-til-linja-i-koordinatsystemet/
### Oppgavetekst
Hvilket funksjonsuttrykk passer med grafen i koordinatsystemet?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $y = -x + 0{,}5$
> - [x] $y = -2x + 1$
> - [ ] $y = 2x + 1$
> - [ ] $y = -x + 1$
---
## V2009 del 1 oppgave 16 — Funksjonsuttrykk for folketall og utgift per elev
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Omvendt proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Velge lineær modell for folketall som vokser med 150 per år, og omvendt proporsjonal modell for utgift per elev.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsuttrykk-for-folketall-og-utgift-per-elev/
### Oppgavetekst
a) I en kommune er det i dag 8 000 innbyggere. En rapport viser at folketallet ($y$) kommer til å øke med 150 mennesker per år.
Hvilket funksjonsuttrykk for folketallet etter $x$ år passer til denne situasjonen?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [x] $y = 150x + 8000$
> - [ ] $y = \frac{8000}{x} + 150$
> - [ ] $y = 8000x^2 + 150$
> - [ ] $y = -150x + 8000$
b) En skoletur koster 9000 kroner i alt.
Denne utgiften må fordeles på antallet elever ($x$) som skal være med på turen.
Vi lar $y$ være utgiften per elev.
Hvilket funksjonsuttrykk for utgiften per elev passer til denne situasjonen?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $y = x^2 + 9000$
> - [ ] $y = \frac{x}{9000}$
> - [x] $y = \frac{9000}{x}$
> - [ ] $y = 9000x$
---
## V2009 del 1 oppgave 17 — Skraver like stor andel av trekanten som av rektanglet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Finne at 3 av 8 ruter i rektanglet tilsvarer 6 av 16 småtrekanter, og skravere like stor andel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skraver-like-stor-andel-av-trekanten-som-av-rektanglet/
### Oppgavetekst
Skraver en like stor andel av trekanten som den blå andelen av rektanglet:
---
## V2009 del 1 oppgave 18 — Prosentavslag ved tilbudet kjøp 3 betal for 2
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentvis endring, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne ut at avslaget er 100 kr av 300 kr, og oppgi prosenten med én desimal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentavslag-ved-tilbudet-kjop-3-betal-for-2/
### Oppgavetekst
I butikker kan du ofte få tilbud av typen "Kjøp 3, betal for 2". Du får altså tre varer til prisen for to. En klesbutikk hadde et slikt tilbud på T-skjorter. Der kostet hver T-skjorte 100 kroner.
Hvor mange prosent avslag vil du få ved å benytte deg av tilbudet "Kjøp 3, betal for 2"?
Oppgi prosenten med én desimal.
---
## V2009 del 1 oppgave 19 — Spilletid for Hanne etter en tredel av fotballkampen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tidsregning
- **Kort beskrivelse:** Finne to tredeler av 90 minutter ved å regne med brøkdel av en total tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/spilletid-for-hanne-etter-en-tredel-av-fotballkampen/
### Oppgavetekst
En fotballkamp varer i 2 x 45 minutter.
Etter $\frac{1}{3}$ av kampen bytter treneren ut Kari med Hanne, som spiller resten av kampen.
Hvor lenge får Hanne spille?
Svar:
---
## V2009 del 1 oppgave 20 — Pris på fotball og shorts ut fra to tilbud
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse likningssystemet $f + s = 500$ og $2f + 3s = 1200$ og begrunne svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-pa-fotball-og-shorts-ut-fra-to-tilbud/
### Oppgavetekst
Én fotball og én shorts koster 500 kroner. To fotballer og tre shortser koster 1 200 kroner.
Hva koster en fotball, og hva koster en shorts? Begrunn svaret.
---
## V2009 del 1 oppgave 21 — Finn målestokken på arkitektens husfasade
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 21
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Måle husets høyde på tegningen med linjal og finne forholdet til 6 meter i virkeligheten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finn-malestokken-pa-arkitektens-husfasade/
### Oppgavetekst
En arkitekt har tegnet et hus som i virkeligheten er 6 meter høyt fra bakken til toppen av det høyeste taket (pipen er ikke regnet med).
Finn målestokken som arkitekten har brukt.
Svar:
---
## V2009 del 1 oppgave 22 — Sammenlikn farten til tre speedbåter med ulike enheter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 22
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Fart, Måleenheter, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om 65 knop og 30 m/s til km/t og sammenlikne med 100 km/t.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenlikn-farten-til-tre-speedbater-med-ulike-enheter/
### Oppgavetekst
3 speedbåter har forskjellig fart.
1 knop $=$ 1,852 km/t og 1 m/s $=$ 3,6 km/t
- Båt A: 65 knop
- Båt B: 100 km/t
- Båt C: 30 m/s
Hvilken båt går raskest? Begrunn svaret.
---
## V2009 del 2 oppgave 1 — Plasser og seksjoner i stortingssalen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Lese av et kart over stortingssalen og regne ut brøkdel, antall ombyttinger og sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plasser-og-seksjoner-i-stortingssalen/
### Oppgavetekst
Stortinget, Norges nasjonalforsamling, består av 169 representanter fra hele landet.
Representantene kommer fra forskjellige politiske partier. Partiene får tildelt plasser på Stortinget etter resultatet av et stortingsvalg.
Plassene som representantene sitter på, er inndelt i seksjoner fra A til U.
Hver plass har et nummer.
På kartet nedenfor ser du seksjonene og nummereringen på stortingsplassene.
Representantene sitter samlet etter fylke, ikke etter parti.
Stortingssalen har 188 plasser. 169 av disse plassene tilhører representantene, resten av plassene tilhører Regjeringen.
a) Hvor mange plasser har Regjeringen?
For å endre Grunnloven må minst $\frac{2}{3}$ av alle de 169 representantene være til stede.
b) Hvor mange representanter må minst være til stede for å endre Grunnloven?
Representantene fra Sogn og Fjordane sitter på disse plassene:
| Plass | Representant | Parti |
|:-----:|:-------------|:------|
| 120 | Reidar Sandal | Arbeiderpartiet (AP) |
| 121 | Erling Sande | Senterpartiet (SP) |
| 122 | Åge Starheim | Fremskrittspartiet (FRP) |
| 123 | Ingrid Heggø | Arbeiderpartiet (AP) |
| 124 | Gunvald Ludvigsen | Venstre (V) |
c) Bruk kartet ovenfor, og finn ut hvilke seksjoner representantene fra Sogn og Fjordane sitter i.
På bildet nedenfor ser du de fire plassene til representantene fra Aust-Agder.
d) På hvor mange ulike måter kan de fire representantene fra Aust-Agder plasseres på disse fire plassene?
De 169 representantene sitter på plassene fra 1 til 169.
e) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt representant sitter i seksjon L?
Bruk kartet ovenfor, og oppgi svaret som brøk, desimaltall og prosent.
---
## V2009 del 2 oppgave 2 — Stolpediagram over stortingsplasser etter valget i 2005
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lese av tall i et sektordiagram og lage et stolpediagram av dem i regneark.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stolpediagram-over-stortingsplasser-etter-valget-i-2005/
### Oppgavetekst
Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark.
Figuren ovenfor viser hvor mange stortingsplasser de ulike partiene fikk etter valget i 2005.
Partier som i dag har plasser på Stortinget, er
- AP: Arbeiderpartiet
- SV: Sosialistisk Venstreparti
- SP: Senterpartiet
- V: Venstre
- KRF: Kristelig Folkeparti
- H: Høyre
- FRP: Fremskrittspartiet
Lag et stolpediagram som viser fordelingen av stortingsplassene for disse partiene.
---
## V2009 del 2 oppgave 3 — Fordeling av stortingsplasser i Hedmark i regneark
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Systematisering, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp Sainte-Laguës delingstall i regneark og plukke ut de sju største kvotientene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fordeling-av-stortingsplasser-i-hedmark-i-regneark/
### Oppgavetekst
Når det er stortingsvalg, er hvert fylke et valgdistrikt.
Ved stortingsvalget 2005 hadde Finnmark 4 stortingsplasser som skulle fordeles mellom partiene ut fra antallet stemmer de fikk ved valget.
Fordelingen skjer slik: Antall stemmer for hvert parti blir først delt på 1,4. Deretter deles det samme antallet stemmer på oddetallene 3, 5, 7 osv. Man fortsetter å dele til man har funnet de 4 største tallene. Nedenfor ser du beregningen for Finnmark:
| Parti som stilte til valg i Finnmark i 2005 | Antall stemmer | Deling på 1,4 | Deling på 3 | Deling på 5 |
|:--------------------------------------------|---------------:|--------------:|------------:|------------:|
| Rød Valgallianse (RV) | 303 | 216 | 101 | 60 |
| Sosialistisk Venstreparti (SV) | 4 768 | **3 405** | 1 589 | 953 |
| Arbeiderpartiet (AP) | 14 937 | **10 669** | **4 979** | 2 987 |
| Senterpartiet (SP) | 2 263 | 1 616 | 754 | 452 |
| Kristelig Folkeparti (KRF) | 1 495 | 1 067 | 498 | 299 |
| Venstre (V) | 826 | 590 | 275 | 165 |
| Høyre (H) | 3 439 | 2 456 | 1 146 | 687 |
| Fremskrittspartiet (FRP) | 6 564 | **4 688** | 2 188 | 1 312 |
| Kystpartiet (KP) | 1 605 | 1 146 | 535 | 321 |
| Samefolkets parti (SFP) | 659 | 470 | 219 | 131 |
| Andre partier | 188 | 134 | 62 | 37 |
De 4 største tallene etter at vi har delt antall stemmer på 1,4 og 3 og 5, er markert med fet skrift og grå farge i tabellen ovenfor. Hvert av de markerte tallene svarer til en stortingsplass. Dette betyr at stortingsplassene til Finnmark fordelte seg slik:
| Parti | Antall stortingsplasser |
|:------|:-----------------------:|
| Arbeiderpartiet (AP) | 2 |
| Fremskrittspartiet (FRP) | 1 |
| Sosialistisk Venstreparti (SV) | 1 |
| **Totalt** | **4** |
Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt.
Ved stortingsvalget i 2005 hadde Hedmark 7 stortingsplasser som skulle fordeles mellom partiene.
Nedenfor ser du en tabell som viser antallet stemmer som de ulike partiene fikk.
| Parti som stilte til valg i Hedmark i 2005 | Antall stemmer | Deling på 1,4 | Deling på 3 | Deling på 5 | Deling på 7 | Deling på 9 |
|:--------------------------------------------|---------------:|:-------------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|
| Sosialistisk Venstreparti (SV) | 9 650 | | | | | |
| Arbeiderpartiet (AP) | 50 484 | | | | | |
| Senterpartiet (SP) | 11 304 | | | | | |
| Kristelig Folkeparti (KRF) | 3 519 | | | | | |
| Venstre (V) | 3 965 | | | | | |
| Høyre (H) | 8 845 | | | | | |
| Fremskrittspartiet (FRP) | 18 717 | | | | | |
| Andre partier | 3521 | | | | | |
Regn ut hvordan stortingsplassene for Hedmark ble fordelt mellom partiene.
Bruk metoden som er beskrevet ovenfor.
| Parti | Antall stortingsplasser |
|:------|:-----------------------:|
| | |
| | |
| | |
| | |
| **Totalt** | **7** |
---
## V2009 del 2 oppgave 4 — Halvsirkler og sirkel i et stortingsvindu
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Pytagoras, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for radiene i en figur av halvsirkler, bruke Pytagoras på $CD$ og begrunne vinklene i trekanten $DEF$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halvsirkler-og-sirkel-i-et-stortingsvindu/
### Oppgavetekst
Bildet ovenfor viser et vindu i stortingsbygningen.
Nedenfor har vi laget en figur av øverste del av vinduet.
Figuren består av
- en stor halvsirkel med sentrum i B
- to like halvsirkler, den ene har sentrum i A
- en sirkel med sentrum i C
a) Forklar at $BC = 40$ cm
b) Forklar at $AC = 50$ cm
c) Regn ut lengden $CD$.
d) Hvor store er vinklene i trekanten $DEF$? Begrunn svaret.
---
## V2009 del 2 oppgave 5 — Volum av kule og sylinder med samme radius
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Kule, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sette inn $r = 5$ cm i volumformlene for sylinder og kule og vise at kula er to tredeler av sylinderen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-kule-og-sylinder-med-samme-radius/
### Oppgavetekst
Arkimedes var fra byen Syrakus på Sicilia i Italia. Han levde fra ca. 287 til 212 f.Kr.
Han gjorde mange viktige oppdagelser og oppfinnelser innenfor fysikk og matematikk.
Mange mener at Arkimedes var antikkens største vitenskapsmann og matematiker.
På figuren til høyre ser du en kule i en sylinder.
Kula og sylinderen har samme radius $r$.
Høyden $h$ i sylinderen er lik diameteren i kula, dvs. at $h = 2r$
La $r = 5$ cm
a) Finn volumet av sylinderen.
b) Finn volumet av kula.
Arkimedes fant at volumet av kula var $\frac{2}{3}$ av volumet av sylinderen.
c) Vis at dette stemmer med det du regnet ut i a) og b).
---
## V2009 del 2 oppgave 6 — Omkrets og areal av skomakerkniven til Arkimedes
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Sirkel, Formler, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Regne ut omkrets og areal av en arbelos av tre halvsirkler, og generalisere arealet til en formel med radius $r$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkrets-og-areal-av-skomakerkniven-til-arkimedes/
### Oppgavetekst
Arkimedes studerte en geometrisk figur som lignet en skomakerkniv.
Se det blå området av figuren nedenfor.
Det blå området er avgrenset av
- en halvsirkel fra A til B, med sentrum i C
- en halvsirkel fra A til C og en halvsirkel fra B til C
$AC = BC = 10$ cm
a) Finn omkretsen av skomakerkniven til Arkimedes (det blå området).
b) Finn arealet av skomakerkniven til Arkimedes (det blå området).
c) Finn en formel for arealet av skomakerkniven til Arkimedes (det blå området).
Bruk at $r$ er radius i hver av de små halvsirklene.
---
## E2009 del 1 oppgave 1 — Primtallsfaktorisering av tallet 18
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Primtallsfaktorisering, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Skrive 18 som et produkt av primtall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/primtallsfaktorisering-av-tallet-18/
### Oppgavetekst
Faktoriser tallet ved hjelp av primtall.
$18 =$
---
## E2009 del 1 oppgave 2 — Utbetalt lønn etter 14 455 kroner i skatt
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Subtrahere skatt fra bruttolønn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utbetalt-lonn-etter-14-455-kroner-i-skatt/
### Oppgavetekst
Kari tjente kr 35 000 i løpet av en måned. Hun betalte kr 14 455 i skatt.
Hvor mye fikk Kari utbetalt?
Svar: kroner.
---
## E2009 del 1 oppgave 3 — Hvilken brøk har samme verdi som 0,6
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen brøken som tilsvarer desimaltallet 0,6.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hvilken-brok-har-samme-verdi-som-0-6/
### Oppgavetekst
Hvilken av brøkene har samme verdi som desimaltallet $0{,}6$?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\frac{1}{6}$
> - [x] $\frac{3}{5}$
> - [ ] $\frac{0}{6}$
> - [ ] $\frac{2}{5}$
---
## E2009 del 1 oppgave 4 — Verdien av a i tredje minus 2a når a er 3
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Sette inn $a = 3$ i uttrykket $a^3 - 2a$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdien-av-a-i-tredje-minus-2a-nar-a-er-3/
### Oppgavetekst
Hvilken verdi har uttrykket $a^3 - 2a$ når $a = 3$?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $1$
> - [ ] $3$
> - [ ] $10$
> - [x] $21$
---
## E2009 del 1 oppgave 5 — Det minste tallet av 1 hundredel, 2 promille og 0,025
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Brøk, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne brøk, tierpotens, desimaltall og promille.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/det-minste-tallet-av-1-hundredel-2-promille-og-0-025/
### Oppgavetekst
Sett kryss ved det minste tallet.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\frac{1}{100}$
> - [ ] $2 \cdot 10^{-2}$
> - [ ] $0{,}025$
> - [x] $2$ ‰
---
## E2009 del 1 oppgave 6 — Medianen i tallmaterialet 5, 15, 10, 15, 5
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Sortere ti observasjoner og finne medianen som snittet av de to midterste.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/medianen-i-tallmaterialet-5-15-10-15-5/
### Oppgavetekst
Finn medianen i tallmaterialet: $5$, $15$, $10$, $15$, $5$, $10$, $10$, $20$, $25$, $15$.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $10$
> - [x] $12{,}5$
> - [ ] $15$
> - [ ] Der er ingen median
---
## E2009 del 1 oppgave 7 — Musikksjangere blant Jørgens medelever
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Statistikk, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Lese av et delt søylediagram og avgjøre om fire påstander er sanne.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/musikksjangere-blant-jorgens-medelever/
### Oppgavetekst
Jørgen spurte medelevene sine *hvilken* musikksjanger de likte best. Han fremstilte resultatet i diagrammet nedenfor.
Bruk diagrammet når du krysser av for om påstandene nedenfor er sanne eller usanne:
| Påstand | Sant | Usant |
|:------------------------------------------------------|:------:|:-------:|
| Flere gutter enn jenter deltok i undersøkelsen. | | |
| Pop er den type musikk som flest elever liker. | | |
| Rock har like mange tilhengere som pop. | | |
| Det er 3 % av elevene som foretrekker klassisk musikk. | | |
---
## E2009 del 1 oppgave 8 — Skravert del av rutefigur og 60 prosent skravering
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme skravert andel av 15 ruter og utvide skraveringen til 60 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skravert-del-av-rutefigur-og-60-prosent-skravering/
### Oppgavetekst
a) Hvor stor del av figuren er skravert?
Svar:
b) Skraver videre på figuren slik 60 % av figuren blir skravert.
---
## E2009 del 1 oppgave 9 — Ren saft i 10 liter saftblanding med forhold 1 til 4
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Dele 10 liter i forholdet 1 : 4 og finne saftdelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ren-saft-i-10-liter-saftblanding-med-forhold-1-til-4/
### Oppgavetekst
På en saftflaske står det at blandingsforholdet er 1 : 4, dvs. 1 del saft og 4 deler vann. Til et selskap laget Kathrine 10 liter saftblanding etter dette blandingsforholdet.
Hvor mye av saftblandingen var ren saft?
Svar: liter ren saft.
---
## E2009 del 1 oppgave 10 — Femmer på én terning og sum sju med to terninger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Uniform sannsynlighet med én terning og gunstige utfall for sum 7 med to terninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/femmer-pa-en-terning-og-sum-sju-med-to-terninger/
### Oppgavetekst
a) Du kaster én terning. Hva er sannsynligheten for å få en 5-er på terningen?
Svar:
b) Du kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen av terningøynene er lik 7?
Svar:
---
## E2009 del 1 oppgave 11 — Funksjonsuttrykk til fallende linje og areal av trekanten
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Lese av konstantledd og stigningstall fra grafen og regne ut arealet av trekanten mellom grafen og aksene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsuttrykk-til-fallende-linje-og-areal-av-trekanten/
### Oppgavetekst
a) Kryss av for funksjonsuttrykket til grafen i koordinatsystemet.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $y = 3x + 6$
> - [ ] $y = 0{,}5x + 3$
> - [x] $y = -0{,}5x + 3$
> - [ ] $y = -3x + 6$
b) Finn arealet av trekanten som er avgrenset av grafen og de to aksene. En enhet på aksene tilsvarer 1 cm.
Svar: cm$^2$
---
## E2009 del 1 oppgave 12 — Gjør om mellom minutter, kilometer, liter og kvadratmeter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom tid, lengde, volum og areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjor-om-mellom-minutter-kilometer-liter-og-kvadratmeter/
### Oppgavetekst
Gjør om:
a) 1 t 13 min = min
b) 30 000 m = km
c) 450 cm$^3$ = liter
d) 1 km$^2$ = m$^2$
---
## E2009 del 1 oppgave 13 — Sorter 2 i tredje, kvadratrota av 25 og 16 delt på 4
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regne ut potens, kvadratrot og brøk og sortere tallene i stigende rekkefølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-2-i-tredje-kvadratrota-av-25-og-16-delt-pa-4/
### Oppgavetekst
$$
2^3 \qquad \sqrt{25} \qquad 7 \qquad \frac{16}{4} \qquad 12
$$
Sett tallene i ruten ovenfor i rekkefølge med det minste tallet først.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| | | | | |
---
## E2009 del 1 oppgave 14 — 42 pantede flasker til 1 krone og 2,50 kroner
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et likningssystem med to ukjente fra antall og total pant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/42-pantede-flasker-til-1-krone-og-2-50-kroner/
### Oppgavetekst
Yousif pantet 42 flasker, og fikk totalt 57 kroner ifølge pantelappen.
Noen av flaskene ga 1 krone i pant, de andre ga 2,50 kroner i pant.
Hvor mange flasker pantet Yousif av hver sort?
---
## E2009 del 1 oppgave 15 — Prosentandel jenter på Bergtoppen skole
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut hvor mange prosent 45 jenter utgjør av 75 elever.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentandel-jenter-pa-bergtoppen-skole/
### Oppgavetekst
På Bergtoppen skole er det 30 gutter og 45 jenter.
Hvor mange prosent av elevene er jenter?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $80 \, \%$
> - [x] $60 \, \%$
> - [ ] $45 \, \%$
> - [ ] $30 \, \%$
---
## E2009 del 1 oppgave 16 — Forenkle uttrykk med parentes og med brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Løse opp parentes og trekke sammen, og subtrahere to brøkuttrykk med fellesnevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-uttrykk-med-parentes-og-med-brok/
### Oppgavetekst
Forenkle uttrykkene nedenfor mest mulig.
a)
$$
-3a + 2(6 + 2a) - 10
$$
b)
$$
\frac{a+2}{2} - \frac{a-2}{3}
$$
---
## E2009 del 1 oppgave 17 — Diameteren i en sirkel med omkrets 5
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Areal og omkrets, Formler
- **Kort beskrivelse:** Løse $O = \pi d$ for $d$ når omkretsen er 5.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diameteren-i-en-sirkel-med-omkrets-5/
### Oppgavetekst
Hva er diameteren i en sirkel med omkrets $5$?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $\frac{2{,}5}{\pi^2}$
> - [ ] $\frac{2{,}5}{\pi}$
> - [ ] $\frac{5}{\pi^2}$
> - [x] $\frac{5}{\pi}$
---
## E2009 del 1 oppgave 18 — Overslag over total spilletid på et CD-cover
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Overslag, Måleenheter, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Avrunde elleve spilletider på formen min:sek og legge dem sammen som overslag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-over-total-spilletid-pa-et-cd-cover/
### Oppgavetekst
På baksiden av et CD-cover står det en oversikt over musikksporene.
| Spor | Spilletid |
|:-----------------------------|:---------:|
| the ghost of tom joad | 4:23 |
| straight time | 3:25 |
| highway 25 | 3:39 |
| youngstown | 3:52 |
| sinaloa cowboys | 3:51 |
| the line | 5:14 |
| dry lightning | 3:30 |
| the new timer | 5:45 |
| across the border | 5:24 |
| galveston bay | 5:04 |
| my best was never good enough | 2:00 |
Hva er total spilletid for musikken på CD-en? Gjør et overslag.
Svar: Omtrent minutter.
---
## E2009 del 1 oppgave 19 — Antall syltetøyglass på 0,30 liter av 6 liter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Dividere 6 liter på 0,30 liter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-syltetoyglass-pa-0-30-liter-av-6-liter/
### Oppgavetekst
Sara hadde kokt 6 liter jordbærsyltetøy.
Hun fylte syltetøy på glass som rommet 0,30 liter hver.
Hvor mange syltetøyglass ble fylt?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $6$
> - [ ] $12$
> - [ ] $18$
> - [x] $20$
---
## E2009 del 1 oppgave 20 — Faktoriser uttrykket 4a i andre minus 6a
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Sette den felles faktoren $2a$ utenfor parentes.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktoriser-uttrykket-4a-i-andre-minus-6a/
### Oppgavetekst
Faktoriser uttrykket:
$4a^2 - 6a =$
---
## E2009 del 1 oppgave 21 — De tre andre vinklene i et parallellogram med 60 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 21
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Bruke at motstående vinkler er like og nabovinkler er supplementære i et parallellogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/de-tre-andre-vinklene-i-et-parallellogram-med-60-grader/
### Oppgavetekst
Hvis en vinkel i et parallellogram er $60\degree$, hvor store er da de andre tre vinklene?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $60\degree, 60\degree, 60\degree$
> - [ ] $30\degree, 60\degree, 90\degree$
> - [x] $60\degree, 120\degree, 120\degree$
> - [ ] $60\degree, 120\degree, 150\degree$
---
## E2009 del 1 oppgave 22 — Farten til passasjerene i London Eye
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 22
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Fart, Sammensatte måleenheter, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Regne ut fart som omkrets delt på omløpstid og gjøre om til hensiktsmessig enhet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/farten-til-passasjerene-i-london-eye/
### Oppgavetekst
«London Eye» er verdens tredje største pariserhjul.
Det har en omkrets på ca 360 meter.
Hjulet bruker 30 minutter på en runde.
Hvor stor fart har passasjerene i en av sittekapslene?
---
## E2009 del 1 oppgave 23 — Speil firkanten ABCD om linjen l
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 23
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Speiling
- **Kort beskrivelse:** Speile fire punkter om en skrå linje i et rutenett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/speil-firkanten-abcd-om-linjen-l/
### Oppgavetekst
Speil firkanten $ABCD$ om linjen $l$.
---
## E2009 del 1 oppgave 24 — Standardform for tykkelsen og antallet hårstrå
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 24
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Skrive 0,00005 og 300 000 på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-for-tykkelsen-og-antallet-harstra/
### Oppgavetekst
Skriv disse tallene på normalform (standardform):
Tykkelsen på et hårstrå er ca $0{,}00005 =$ meter
og vi har ca $300\,000 =$ hårstrå på hodet.
---
## E2009 del 1 oppgave 25 — Omkretsen av en femkant med side n pluss 2
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 25
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere uttrykket $n+2$ med 5 og trekke sammen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkretsen-av-en-femkant-med-side-n-pluss-2/
### Oppgavetekst
Gitt en femkant med like lange sider. Hvis den ene siden er $n + 2$, da er omkretsen til femkanten
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $5n+2$
> - [x] $5n+10$
> - [ ] $n+10$
> - [ ] $10n$
---
## E2009 del 1 oppgave 26 — Ulikheten x delt på 3 pluss 3 større enn x minus 7
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 26
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse en lineær ulikhet med brøk ved å gange opp og samle ledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ulikheten-x-delt-pa-3-pluss-3-storre-enn-x-minus-7/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten: $\frac{x}{3} + 3 > x - 7$
---
## E2009 del 1 oppgave 27 — Konstruer trekant ABC med 45 og 60 grader
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 27
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Konstruere 45- og 60-gradersvinkler med passer og linjal på en gitt grunnlinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruer-trekant-abc-med-45-og-60-grader/
### Oppgavetekst
Konstruer en trekant $ABC$ der $AB = 4{,}5$ cm, $\angle A = 45\degree$ og $\angle B = 60\degree$.
---
## E2009 del 1 oppgave 28 — Antall mulige koder med fire sifre
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 28
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Bruke multiplikasjonsprinsippet på fire uavhengige siffervalg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-mulige-koder-med-fire-sifre/
### Oppgavetekst
En kode består av 4 sifre, f.eks. 1-3-6-4 og 0-3-3-7.
Hvor mange slike koder er det mulig å lage?
Svar: koder.
---
## E2009 del 1 oppgave 29 — Malingsspann til to strøk på soverommet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 29
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Romgeometri, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Regne ut veggareal minus dør og vindu, doble for to strøk og runde opp antall spann.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/malingsspann-til-to-strok-pa-soverommet/
### Oppgavetekst
Du skal pusse opp soverommet og skal bl.a. male veggene med to strøk. Du lager en skisse og tar nødvendige mål. Se tegning nedenfor. Rommet har én dør og ett vindu. I interiørbutikken selger de veggmaling, men de selger bare hele malingsspann.
Hvert malingsspann inneholder 2,7 liter, og anbefalt forbruk er 8–10 m$^2$ per liter.
Hvor mange slike malingsspann trenger du for å male rommet ditt med to strøk?
---
## E2009 del 2 oppgave 1 — Billettpriser for familien Hansen på Tusenfryd
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Tekstoppgave, Tabeller og diagrammer
- **Kort beskrivelse:** Finne riktig dagtype i en fargelagt kalender og summere billettpriser etter høyde og alder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/billettpriser-for-familien-hansen-pa-tusenfryd/
### Oppgavetekst
Tusenfryd er en fornøyelsespark som ligger utenfor Oslo.
Familien Hansen var på Tusenfryd 8. juni i 2007.
Familien består av:
| Navn | Høyde | Alder |
|:----------------|:------:|:-----:|
| Bestemor Helga | 164 cm | 67 år |
| Far Erik | 185 cm | 45 år |
| Mor Liv | 170 cm | 45 år |
| Marius | 175 cm | 15 år |
| Rebekka | 133 cm | 11 år |
| Maria | 100 cm | 4 år |
Oversikt over billettpriser juni 2007:
<table class="grid">
<tr><th></th><th>Over 120 cm</th><th>Under 120 cm</th><th>Under 95 cm</th><th>60 år og eldre</th></tr>
<tr><th>Gul dag</th><td>290 kr</td><td>240 kr</td><td>Gratis</td><td>100 kr</td></tr>
<tr><th>Grønn dag</th><td>195 kr</td><td>150 kr</td><td>Gratis</td><td>100 kr</td></tr>
<tr><th>Hvit dag</th><td colspan="4">Parken er stengt</td></tr>
</table>
Bruk tabellen ovenfor og finn ut
- hvor mye det kostet for bestemor Helga å komme inn på Tusenfryd og
- hvor mye hele familien måtte betale til sammen for å komme inn.
---
## E2009 del 2 oppgave 2 — Aktiviteter på Tusenfryd for Marius, Rebekka eller Maria
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tabeller og diagrammer, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Lese en fargekodet høydetabell og liste attraksjonene én bestemt person kan delta på.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aktiviteter-pa-tusenfryd-for-marius-rebekka-eller-maria/
### Oppgavetekst
Familien Hansen var på fornøyelsesparken Tusenfryd. Marius er 175 cm, Rebekka er 133 cm og Maria er 100 cm.
Nedenfor ser du en oversikt over noen av aktivitetene i fornøyelsesparken:
Velg en av personene Marius, Rebekka eller Maria. Skriv opp de aktivitetene din person kan være med på.
---
## E2009 del 2 oppgave 3 — Lykkehjul med tolv tall og tre satsinger
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Brøk, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Uniform sannsynlighet med tre gunstige av tolv utfall, og produktsetningen for to uavhengige spill.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lykkehjul-med-tolv-tall-og-tre-satsinger/
### Oppgavetekst
Rebekka og Maria prøver lykken på et lykkehjul der tallene går fra 1 til 12. Bare ett tall gir gevinst i hver spilleomgang.
Maria spiller en gang og satser på tre tall.
a) Hvor stor sannsynlighet er det for at Maria får premie? Skriv svaret på brøk-, desimal- og prosentform.
Rebekka satser på det samme tallet i to spilleomganger.
b) Hva er sannsynligheten for at hun får premie begge gangene?
---
## E2009 del 2 oppgave 4 — Volum av eske med 48 Supersandwich-iskremer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Volum av rett prisme multiplisert med 48, og finne mål på en eske som rommer dem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-eske-med-48-supersandwich-iskremer/
### Oppgavetekst
I kiosken kan du kjøpe iskremen *Supersandwich* som består av kjeks og is. Iskremen har form som et rett prisme. Prismets sidekanter er 14,0 cm, 6,0 cm og 2,0 cm (medregnet kjeksen). Se bildet nedenfor.
Kiosken får levert slike sandwicher i esker på 48 stk. Eskene er helt fulle.
a) Finn ut hvor stort volum en slik eske må ha for å romme alle 48 iskremene.
b) Finn mål på en eske som sandwichene kan være pakket i. Tegn esken.
---
## E2009 del 2 oppgave 5 — Farten i berg- og dalbanen gitt ved 1 pluss rota av 20x
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftegning, Fart, Formler
- **Kort beskrivelse:** Sette inn i $y = 1 + \sqrt{20x}$, fylle ut verditabell og tegne grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/farten-i-berg-og-dalbanen-gitt-ved-1-pluss-rota-av-20x/
### Oppgavetekst
En av bakkene i berg- og dalbanen ser slik ut når den tegnes fra siden:
Farten som toget får når det kjører ned bakken, kan regnes ut etter denne formelen:
$$
y = 1 + \sqrt{20x}
$$
$y$ = farten målt i m/s.
$x$ = loddrett avstand mellom midterste vogn og toppen av bakken.
a) Hvor stor er farten til toget når den midterste vogna er 10 meter under toppen av bakken?
b) Lag en verditabell og tegn en graf som viser sammenhengen mellom farten til toget og loddrett avstand fra toppen. Hva er togets største fart?
| $x$ | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 15 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $y$ | | | | 12,0 | | | | | 18,3 |
---
## E2009 del 2 oppgave 6 — Mest brus per krone og volumet av det store brusbegeret
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Forholdsregning, Formler
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne liter per krone for tre begre og sette inn i volumformelen for en avkortet kjegle.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mest-brus-per-krone-og-volumet-av-det-store-brusbegeret/
### Oppgavetekst
Du er tørst og vil ha noe å drikke i kiosken. Du får tre forskjellige brusbegre å velge mellom til tre forskjellige priser. Se tegning nedenfor.
a) Du tenker at du vil gjerne ha mest brus per krone. Hvilket beger velger du da? Begrunn svaret ditt.
På tegningen nedenfor ser du målene på det store begeret. Bunnen og toppen er sirkelflater med ulik radius, $r$ og $R$.
Volumet av begeret er
$$
V = \frac{\pi \cdot h}{3}(R^2 + Rr + r^2)
$$
b) Sett inn tallene for $h$, $R$ og $r$ i formelen og finn volumet av begeret. Kommenter svaret som du får.
c) Hvilken form får begeret hvis $r = 0$? Forklar og lag en tegning.
---
## E2009 del 2 oppgave 7 — Gjennomsnittlig besøkstall og omsetning på Tusenfryd
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Sentralmål, Diagram, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Regne gjennomsnitt i regneark og lage og kommentere et diagram over omsetningen 1995–2005.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-besokstall-og-omsetning-pa-tusenfryd/
### Oppgavetekst
Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Ta utskrift av regnearket. Vis hvilke formler du har brukt.
På Tusenfryds hjemmeside står det følgende:
| Årstall | Omsetning i millioner | Besøkende i tusen |
|:-------:|:---------------------:|:-----------------:|
| 1995 | 73,6 | 463 |
| 1996 | 76,4 | 444 |
| 1997 | 74,7 | 408 |
| 1998 | 89,5 | 421 |
| 1999 | 86,6 | 394 |
| 2000 | 98,8 | 435 |
| 2001 | 158,7 | 538 |
| 2002 | 130,9 | 445 |
| 2003 | 141,9 | 481 |
| 2004 | 137,0 | 445 |
| 2005 | 142,6 | 435 |
a) Finn gjennomsnittet (middelverdien) av antall besøkende i denne perioden.
b) Presenter utviklingen av omsetningen i et diagram. Kommenter diagrammet.
---
## E2009 del 2 oppgave 8 — Anes handel i svenske og danske kroner omgjort til norske
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Forholdsregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Omregne beløp i SEK og DKK til NOK med oppgitte kurser og summere i regneark.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/anes-handel-i-svenske-og-danske-kroner-omgjort-til-norske/
### Oppgavetekst
Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Ta utskrift av regnearket. Vis hvilke formler du har brukt.
Du treffer Ane på Tusenfryd. Hun har vært på ferie og handlet varer i norske, svenske og danske kroner.
| Vareslag | SEK | DKK | NOK |
|:---------|:-------:|:-------:|:------:|
| Bukse | 345,00 | | |
| Veske | | 459,00 | |
| Sko | 1345,00 | | |
| Parfyme | | | 320,00 |
| Genser | | 379,50 | |
| Klokke | | 786,00 | |
| Kursinformasjon | NOK |
|:-------------------|:------:|
| 100 danske kroner | 107,81 |
| 100 svenske kroner | 85,58 |
Bruk regneark og finn ut hvor mange norske kroner Ane har handlet for totalt.
---
## E2009 del 2 oppgave 9 — Overslag over arealet av Tusenfryds tomt i dekar
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Overslag, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bruke målestokken på et kart til å anslå et uregelmessig areal og gjøre om til dekar.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-over-arealet-av-tusenfryds-tomt-i-dekar/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du et kart som viser tomten som Tusenfryd leier. Fornøyelsesparken kan bruke det lysegrønne området samt områdene merket 1, 2 og 3.
Bruk målestokken på kartet og gjør et overslag over hvor mange mål (dekar) Tusenfryd kan bruke.
---
## E2009 del 2 oppgave 10 — Stigen på 2,5 meter mot husveggen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Finne den ene kateten når hypotenusen er 2,5 m og den andre kateten 1,1 m.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stigen-pa-2-5-meter-mot-husveggen/
### Oppgavetekst
**FAKTARUTE**
Selv om babylonerne/assyrerne i Mesopotamia (dagens Irak) kjente til «Pytagoras-setningen» allerede 1800 f.Kr., og kanskje egypterne også, var det trolig Pytagoras og hans hemmelige samfunn som var de første som fant et bevis for denne berømte setningen omkring 500 f.Kr.:
Når $a^2 + b^2 = c^2$, er trekanten rettvinklet, og i en rettvinklet trekant gjelder $a^2 + b^2 = c^2$
$$
\text{katet}^2 + \text{katet}^2 = \text{hypotenus}^2
$$
«Katet» betyr «loddlinje» og «hypotenus» betyr å «strekke ut under».
Øyvind skal opp under taket og bruker en stige som er 2,5 meter.
På bakken står stigen 1,1 meter fra husveggen.
Hvor langt opp på husveggen når stigen?
---
## E2009 del 2 oppgave 11 — Høyden på masten til en engelsk lastebåt fra 1840
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Rettvinklet trekant, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Finne kateten fra hypotenus 22 fot og katet 7 fot, legge til 2 fot og gjøre om til meter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hoyden-pa-masten-til-en-engelsk-lastebat-fra-1840/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du en engelsk lastebåt fra 1840:
1 fot = 30,48 cm
På tegningen har vi satt på målene mellom masten og baugen (spissen på båten) som er 7 fot og linen på 22 fot som er festet fra baugen til masten. Legg også merke til avstanden på 2 fot mellom der linen er festet og toppen av masten.
Hvor høy er masten, målt i meter?
---
## E2009 del 2 oppgave 12 — Pytagoreiske tripler med oddetallsmetoden
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Utforskning, Mønstre
- **Kort beskrivelse:** Følge en oppskrift som lager pytagoreiske tripler fra et oddetall, og fylle inn en manglende verdi i et trippel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pytagoreiske-tripler-med-oddetallsmetoden/
### Oppgavetekst
Et pytagoreisk trippel er en samling av tre hele tall som passer inn i den pytagoreiske læresetningen. Mest kjent er $(3,4,5)$, som passer fordi $3^2 + 4^2 = 5^2$.
En slik samling av tre tall er ofte vanskelig å finne ved å prøve seg frem. En metode er beskrevet i ruta nedenfor.
> 1. Velg et oddetall større enn 1 som den ene katetens lengde $a$.
> 2. Regn ut kvadratet av denne kateten.
> 3. Trekk deretter fra 1.
> 4. Del så resultatet på 2.
> 5. Da får du lengden av den andre kateten $b$.
> 6. Legg til 1.
> 7. Da får du hypotenusen $c$.
a) Kan du finne et annet pytagoreisk trippel med denne metoden? Vis utregningen og at tallene stemmer i ligningen $a^2 + b^2 = c^2$.
b) Gitt et talltrippel $(8, x, 17)$. Hva må da $x$ være for at trippelet skal være pytagoreisk?
---
## E2009 del 2 oppgave 13 — Bevis for Pytagoras med trapes av tre trekanter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Pytagoras, Areal og omkrets, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Regne trapesarealet på to måter og forenkle likningen til $a^2 + b^2 = c^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-for-pytagoras-med-trapes-av-tre-trekanter/
### Oppgavetekst
På figuren nedenfor ser du et trapes som består av 3 rettvinklede trekanter.
Finn arealet av figuren på to forskjellige måter.
Sett uttrykkene for arealet av figuren lik hverandre, og forenkle mest mulig.
Hva oppdager du?
---
## E2009-2 del 1 oppgave 1 — Fire handleregnestykker med Per, Samira, Teresa og Ante
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Divisjon, subtraksjon, addisjon av desimaltall og multiplikasjon i fire korte handlesituasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-handleregnestykker-med-per-samira-teresa-og-ante/
### Oppgavetekst
a) Per og de 3 kameratene hans har nettopp fått 1200 kroner for en jobb de gjorde for naboen. De deler pengene likt mellom seg. Hvor mye får Per?
Svar: kroner.
b) Samira kjøper et par sko som koster 525 kroner. Hun oppdager en feil på dem, og butikken tilbyr et avslag i prisen på 60 kroner. Hvor mye må Samira betale for skoene hvis hun godtar tilbudet?
Svar: kroner.
c) Teresa kjøper en bluse til 325,50 kroner og en bukse til 595,50 kroner. Hvor mye har Teresa brukt til sammen?
Svar: kroner.
d) Ante kjøper 3 CD-er. Hver CD koster 129 kroner. Hvor mye må Ante betale totalt for de 3 CD-ene?
Svar: kroner.
---
## E2009-2 del 1 oppgave 2 — Skyggelagt brøkdel av rektangel og sirkel
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Anslå hvor stor brøkdel av et rutet rektangel som er skyggelagt, og kjenne igjen samme brøkdel i en sirkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skyggelagt-brokdel-av-rektangel-og-sirkel/
### Oppgavetekst
Hvilken av sirklene nedenfor har omtrent samme brøkdel skyggelagt som rektangelet ovenfor?
---
## E2009-2 del 1 oppgave 3 — Verdien av uttrykket 2b^3 – b
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Sette inn $b = 2$ i uttrykket $2b^3 - b$ og regne ut verdien.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdien-av-uttrykket-2b3-b/
### Oppgavetekst
Hvilken verdi har uttrykket $2b^3 - b$ når $b = 2$?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $6$
> - [ ] $10$
> - [x] $14$
> - [ ] $21$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 4 — Sammentrekning med potens, kvadratrot og brøk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Regne ut $0{,}5 + 2^3 + \sqrt{36} - \frac{3}{2}$ og vise framgangsmåten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammentrekning-med-potens-kvadratrot-og-brok/
### Oppgavetekst
Vis hvordan du vil trekke sammen disse tallene: $0{,}5 + 2^3 + \sqrt{36} - \dfrac{3}{2}$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 5 — Finne funksjonsuttrykket til linja som skjærer y-aksen i 3
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Lese av stigningstall og konstantledd på en rett graf og skrive funksjonsuttrykket.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finne-funksjonsuttrykket-til-linja-som-skjaerer-y-aksen-i-3/
### Oppgavetekst
Finn funksjonen til grafen i koordinatsystemet.
Svar: $y =$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 6 — De to neste tallene i Fibonacci-tallfølgen
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Mønstre
- **Kort beskrivelse:** Finne mønsteret i Fibonacci-tallfølgen og skrive de to neste tallene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/de-to-neste-tallene-i-fibonacci-tallfolgen/
### Oppgavetekst
Skriv de to neste tallene i Fibonacci-tallfølgen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ,
---
## E2009-2 del 1 oppgave 7 — Sannsynlighet med en sekssidet og en åttesidet terning
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Regne ut uniform sannsynlighet for ett utfall og for to utfall ved terningkast.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-en-sekssidet-og-en-attesidet-terning/
### Oppgavetekst
Birgit har to terninger. Den ene terningen har seks sider, som er nummerert fra 1 til 6. Den andre terningen har åtte sider, som er nummerert fra 1 til 8.
a) Du kaster terningen med seks sider én gang. Hva er sannsynligheten for at du får en 3-er?
Svar:
b) Du kaster terningen med åtte sider én gang. Hva er sannsynligheten for at du får 1 *eller* 2?
Svar:
---
## E2009-2 del 1 oppgave 8 — Avstanden til månen i kilometer på standardform
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Store tall
- **Kort beskrivelse:** Skrive 384 000 km på standardform og velge riktig alternativ.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstanden-til-manen-i-kilometer-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Avstanden mellom jorden og månen er ca. 384 000 km.
Hvordan skriver du dette tallet på standardform?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $3{,}84 \cdot 10^4$
> - [ ] $384 \cdot 10^2$
> - [x] $3{,}84 \cdot 10^5$
> - [ ] $38{,}4 \cdot 10^4$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 9 — Antall valg av popkornpose med og uten smør
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Bruke multiplikasjonsprinsippet på 3 størrelser og 3 smørvalg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-valg-av-popkornpose-med-og-uten-smor/
### Oppgavetekst
På en kino selges det popkornposer i 3 størrelser (liten, medium og stor). For hver størrelse har du 3 mulige valg av smør (uten smør, med smør og med ekstra smør).
Hvor mange forskjellige popkornposer har du å velge mellom?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $3$
> - [ ] $6$
> - [x] $9$
> - [ ] $27$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 10 — Finne tallet som mangler for at gjennomsnittet skal bli 3
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Finne det ukjente tallet i en gjennomsnittsbrøk med fire tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finne-tallet-som-mangler-for-at-gjennomsnittet-skal-bli-3/
### Oppgavetekst
Sett inn det tallet som mangler i ruten for at gjennomsnittet av tallene skal bli riktig:
$$
\frac{\boxed{\phantom{88}} + 4 + 2 + 4}{4} = 3
$$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 11 — Prosentavslag ved tilbudet Ta tre, betal for to
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Regne ut hvor mange prosent avslag tilbudet gir, og tolke en annen forståelse av det samme tilbudet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prosentavslag-ved-tilbudet-ta-tre-betal-for-to/
### Oppgavetekst
I butikker ser en ofte tilbud av typen ”Ta tre, betal for to”. Du får tre varer til prisen for to.
a) En klesbutikk har et slikt tilbud på T-skjorter. Én T-skjorte koster 100 kroner i butikken. Hvor mange prosent avslag får du ved å benytte deg av tilbudet ”Ta tre, betal for to”?
Svar: %
I tegneseriestripen nedenfor har Pondus tolket tilbudet annerledes.
b) Hvor mange prosent avslag fikk han?
Svar: %
---
## E2009-2 del 1 oppgave 12 — Punktet (–x, –y) i koordinatsystemet
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Negative tall, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Finne koordinatene til $(-x,\, -y)$ når $x = 3$ og $y = 2$, og kjenne igjen punktet i et koordinatsystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/punktet-x-y-i-koordinatsystemet/
### Oppgavetekst
Hvis $x = 3$ og $y = 2$, hvilket punkt på figuren ovenfor representerer punktet $(-x,\, -y)$?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $P$
> - [ ] $Q$
> - [ ] $R$
> - [x] $S$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 13 — Løse likningene 4x + 3 = 11 og 2x – 2 – 3(x + 3) = 9x – 1
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse en enkel førstegradslikning og en førstegradslikning med parentes.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lose-likningene-4x-3-11-og-2x-2-3-x-3-9x-1/
### Oppgavetekst
Løs likningene:
a)
$$
4x + 3 = 11
$$
b)
$$
2x - 2 - 3(x + 3) = 9x - 1
$$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 14 — Michael Jordans høyde i fot og tommer omgjort til meter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Forholdsregning
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om 6 fot og 6 tommer til centimeter og videre til meter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/michael-jordans-hoyde-i-fot-og-tommer-omgjort-til-meter/
### Oppgavetekst
Michael Jordan (USA) var kanskje den beste basketballspilleren i verden da han spilte i den amerikanske basketballserien (NBA).
Hans høyde er 6 fot og 6 tommer.
1 amerikansk fot = 30,48 cm
1 amerikansk tomme = 2,54 cm
Omtrent hvor høy er Michael Jordan målt i meter?
Svar: Omtrent meter.
---
## E2009-2 del 1 oppgave 15 — Trekke sammen 4b + 10a – 3b – 9b og 4(3a – 2b) – (b + 3a)
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 1.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen like ledd, og løse opp parenteser med minustegn foran.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekke-sammen-4b-10a-3b-9b-og-4-3a-2b-b-3a/
### Oppgavetekst
Trekk sammen:
a)
$$
4b + 10a - 3b - 9b
$$
b)
$$
4(3a - 2b) - (b + 3a)
$$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 16 — Løse ulikheten 2x – 3 mindre enn –2(x – 1) – 1
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 16
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse en førstegradsulikhet med parentes og negativ faktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lose-ulikheten-2x-3-mindre-enn-2-x-1-1/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten $2x - 3 < -2(x - 1) - 1$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 17 — Omgjøring mellom liter, mil, hektogram og meter per sekund
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 17
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Måleenheter, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om mellom liter og desiliter, meter og mil, kilogram og hektogram, og km/t og m/s.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omgjoring-mellom-liter-mil-hektogram-og-meter-per-sekund/
### Oppgavetekst
Gjør om:
a) 1,5 liter = dl
b) 5100 m = mil
c) 0,4 kg = hg
d) 10 km/t = m/s
---
## E2009-2 del 1 oppgave 18 — Overslag over volumet av en kjegle med diameter 4 meter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 18
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Volum, Romgeometri, Formler
- **Kort beskrivelse:** Sette inn radius og høyde i kjegleformelen og gjøre et overslag med $\pi \approx 3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overslag-over-volumet-av-en-kjegle-med-diameter-4-meter/
### Oppgavetekst
Volumet av en kjegle er gitt ved
$$
V = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}
$$
der $r$ er radius i grunnflaten og $h$ er høyden.
Diameteren i grunnflaten i en bestemt kjegle er 4 meter. Høyden i kjeglen er 5 meter.
Gjør et overslag over volumet av denne kjeglen, målt i kubikkmeter. Bruk at $\pi \approx 3$.
Svar: Volumet av kjeglen er ca. $\mathrm{m^3}$.
---
## E2009-2 del 1 oppgave 19 — Det minste tallet blant 2 ganger 10 opphøyd i minus 1, en tidel, 0,250 og 0,14
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 19
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne tall skrevet som potens, brøk og desimaltall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/det-minste-tallet-blant-2-ganger-10-opphoyd-i-minus-1-en-tidel-0-250-og-0-14/
### Oppgavetekst
Sett kryss ved det minste tallet:
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] $2 \cdot 10^{-1}$
> - [x] $\dfrac{1}{10}$
> - [ ] $0{,}250$
> - [ ] $0{,}14$
---
## E2009-2 del 1 oppgave 20 — Median og typetall for antall TV-dager hos ti personer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 20
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sentralmål, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Finne median og typetall i et datasett med ti observasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/median-og-typetall-for-antall-tv-dager-hos-ti-personer/
### Oppgavetekst
I en spørreundersøkelse ble 10 personer spurt om hvor mange dager de så på TV i løpet av en uke. De svarte slik:
$$
5 \qquad 3 \qquad 7 \qquad 6 \qquad 6 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 3 \qquad 0 \qquad 2
$$
a) Hva er medianen?
Svar:
b) Hva er typetallet?
Svar:
---
## E2009-2 del 1 oppgave 21 — Rekker 170 kroner til handlelista på åtte varer
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 21
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Tekstoppgave, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Summere åtte varepriser og vurdere om 170 kroner strekker til, med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rekker-170-kroner-til-handlelista-pa-atte-varer/
### Oppgavetekst
Du er på butikken og handler. Du vil kjøpe følgende varer:
| Vare | Pris |
|:------------------------------|---------:|
| 1 avis | kr 10,00 |
| 1 pizza | kr 24,90 |
| 1 melkesjokolade | kr 19,00 |
| 1 brus | kr 9,90 |
| Smågodt | kr 32,50 |
| 2 lettmelk à kr 10,95 | kr 21,90 |
| 1 grovbrød | kr 11,50 |
| 2 kg epler til kr 14,00 per kg | kr 28,00 |
Du vet at du har 170 kroner igjen på betalingskortet.
Er det nok til å betale for varene?
---
## E2009-2 del 1 oppgave 22 — Finne forsvinningspunktet til en kube i perspektiv
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 22
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Perspektiv
- **Kort beskrivelse:** Forlenge dybdelinjene i en perspektivtegnet kube til de møtes på horisontlinja.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finne-forsvinningspunktet-til-en-kube-i-perspektiv/
### Oppgavetekst
Vis hvordan du finner forsvinningspunktet til figuren nedenfor. Bruk linjal og blyant.
---
## E2009-2 del 1 oppgave 23 — Løse likningssettet 2x – y = –3 og 3x + 2y = –1
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 23
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse to likninger med to ukjente ved innsetting eller addisjonsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lose-likningssettet-2x-y-3-og-3x-2y-1/
### Oppgavetekst
Vi har likningssettet
$$
\begin{aligned}
2x - y &= -3 \\
3x + 2y &= -1
\end{aligned}
$$
Løs likningssettet.
---
## E2009-2 del 1 oppgave 24 — Bilselgerens påstand om fordobling av bilsalget
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 24
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diagram, Argumentasjon, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Vurdere en påstand om fordobling når søylediagrammet har avkuttet y-akse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bilselgerens-pastand-om-fordobling-av-bilsalget/
### Oppgavetekst
En bilselger viser diagrammet nedenfor og sier:
”Vi har hatt en fordobling av antall solgte biler fra 2006 til 2007.”
Gir bilselgeren en rimelig tolkning av diagrammet?
---
## E2009-2 del 1 oppgave 25 — Fra brøkdeler til prosent i WWF-artikkel om miljømerking
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 25
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Gjøre om brøkdelene 4 av 5, 3 av 4 og 2 av 10 til prosent, og finne hvor mange av x som svarer til 60 prosent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fra-brokdeler-til-prosent-i-wwf-artikkel-om-miljomerking/
### Oppgavetekst
På hjemmesiden til WWF, World Wide Fund for Nature, stod det en artikkel om miljø.
Fyll inn det som mangler:
**4 av 5 nordmenn ønsker miljømerking**
Hele 4 av 5, dvs. % av nordmennene vil ha en miljømerkeordning for forbruksvarer.
Videre viser det seg at
- 3 av 4, dvs. % er villige til å redusere eget forbruk.
- 2 av 10, dvs. % får dårlig samvittighet på grunn av julehandelen.
- Rundt 60 prosent, dvs. 6 av sier at de er bekymret eller svært bekymret for klimaendringene.
---
## E2009-2 del 1 oppgave 26 — Matche fire situasjoner med grafene A til F
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 26
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen lineær vekst, lineær nedgang, andregradsfunksjon og parabelbane blant seks grafer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/matche-fire-situasjoner-med-grafene-a-til-f/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det beskrevet 4 ulike situasjoner. Målestokken på $y$-aksen kan variere fra situasjon til situasjon.
1\) I Fossefjell kommune er det i dag 9 000 innbyggere. En matematisk modell for utviklingen i kommunen sier at folketallet kommer til å synke med 150 mennesker per år. Én av grafene viser folketallet om $x$ år ifølge modellen.
2\) Enok jobber som jordbærplukker og tjener 10 kr per kurv. Han plukker $x$ kurver. Én av grafene viser inntekten hans som funksjon av $x$.
3\) Én av grafene viser arealet av et kvadrat som funksjon av siden $x$ i kvadratet.
4\) Du kaster en ball loddrett oppover. I det øyeblikket du slipper ballen, er den 1,8 meter over bakken. $x$ sekunder etter at du slapp den, er ballens høyde over bakken (i meter) lik $-4{,}9x^2 + 12x + 1{,}8$. Én av grafene viser denne høyden som funksjon av $x$.
Velg blant grafene A, B, C, D, E og F, og finn en graf som beskriver hver av situasjonene.
Situasjon 1 beskrives av graf
Situasjon 2 beskrives av graf
Situasjon 3 beskrives av graf
Situasjon 4 beskrives av graf
---
## E2009-2 del 1 oppgave 27 — Avstand mellom to fjelltopper på kart i målestokk 1 til 50 000
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 27
- **Poeng:** 0.5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Målestokk, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne om 6 cm på et kart i målestokk 1 til 50 000 til virkelig avstand i kilometer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstand-mellom-to-fjelltopper-pa-kart-i-malestokk-1-til-50-000/
### Oppgavetekst
På et kart med målestokken 1 : 50 000 er avstanden mellom to like høye fjelltopper 6 cm.
Hvor langt er det mellom toppene i luftlinje?
---
## E2009-2 del 2 oppgave 1 — Geometriske figurer i dekket på en oljeplattform
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri
- **Kort beskrivelse:** Kjenne igjen og navngi rektangel, trekant, trapes og halvsirkel i en sammensatt figur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometriske-figurer-i-dekket-pa-en-oljeplattform/
### Oppgavetekst
Tegningen nedenfor viser en del av dekket på en oljeplattform.
Hvilke geometriske figurer ser du på tegningen?
---
## E2009-2 del 2 oppgave 2 — Egenskaper til trekantene AFE og BCG i plattformdekket
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Rettvinklet trekant, Vinkler
- **Kort beskrivelse:** Beskrive egenskapene til en rettvinklet likebeint trekant og en rettvinklet trekant med 30 graders vinkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/egenskaper-til-trekantene-afe-og-bcg-i-plattformdekket/
### Oppgavetekst
Tegningen nedenfor viser en del av dekket på en oljeplattform.
Hvilke egenskaper har $\triangle AFE$ og $\triangle BCG$ på tegningen?
---
## E2009-2 del 2 oppgave 3 — Konstruere plattformdekket i målestokk 1 cm for 2 meter
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Målestokk
- **Kort beskrivelse:** Konstruere en sammensatt figur med 45 og 30 graders vinkler i målestokk, med konstruksjonsforklaring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruere-plattformdekket-i-malestokk-1-cm-for-2-meter/
### Oppgavetekst
Tegningen nedenfor viser en del av dekket på en oljeplattform.
La 1,0 cm svare til 2,0 m, og konstruer den delen av dekket som tegningen viser. Husk konstruksjonsforklaring.
---
## E2009-2 del 2 oppgave 4 — Diameteren BG og omkretsen av plattformdekket
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Rettvinklet trekant, Areal og omkrets, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Vise at diameteren i halvsirkelen er 16,2 meter, og regne ut omkretsen av hele figuren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diameteren-bg-og-omkretsen-av-plattformdekket/
### Oppgavetekst
Tegningen nedenfor viser en del av dekket på en oljeplattform.
a) Vis at diameteren $BG$ i halvsirkelen er 16,2 meter.
b) Hvor stor omkrets har den delen av dekket som tegningen viser?
---
## E2009-2 del 2 oppgave 5 — Vekten av plattformdekket i 20 mm jernplater
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Volum, Måleenheter, Sammensatte måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Finne arealet av den sammensatte figuren, gange med platetykkelsen og bruke tettheten 7,8 tonn per kubikkmeter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekten-av-plattformdekket-i-20-mm-jernplater/
### Oppgavetekst
Tegningen nedenfor viser en del av dekket på en oljeplattform.
Dekket på denne delen av oljeplattformen er laget av 20 mm tykke jernplater. Tettheten til jern er 7,8 tonn per kubikkmeter.
Hvor mange tonn veier den delen av dekket som tegningen viser?
---
## E2009-2 del 2 oppgave 6 — Arealet av det gule feltet på et helikopterdekk
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Sirkel, Fart, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Finne arealet av en sirkelring med bredde 1 meter, og gjøre om 60 knop til kilometer per time.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealet-av-det-gule-feltet-pa-et-helikopterdekk/
### Oppgavetekst
En oljeplattform har også et helikopterdekk. Nedenfor har vi laget en skisse av et symmetrisk helikopterdekk med nødvendige mål.
a) Finn arealet av det gule feltet.
b) Et helikopter kan lande på dekket i en vindstyrke opptil 60 knop. Hvor mange km per time er det?
---
## E2009-2 del 2 oppgave 7 — Oljefat i gallon og høyden på en 200-liters beholder
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forholdsregning, Volum, Romgeometri, Måleenheter
- **Kort beskrivelse:** Regne om 200 liter til gallon med forholdstall, og finne høyden i en sylinder med kjent volum og diameter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oljefat-i-gallon-og-hoyden-pa-en-200-liters-beholder/
### Oppgavetekst
Du har kanskje hørt på nyhetene at oljeprisen har vært for eksempel 108,33 dollar per fat (10. september 2008).
Et fat olje er 159 liter olje. 159 liter er det samme som 42 amerikanske gallon.
I Norge fyller vi oljen på sylinderformede beholdere som rommer 200 liter. Beholderne fylles bare med 159 liter olje.
a) Hvor mange gallon er 200 liter?
Diameteren på beholderen som rommer 200 liter, er ca. 55 cm.
b) Hvor høy er da beholderen?
---
## E2009-2 del 2 oppgave 8 — Diagram og gjennomsnitt for norsk oljeproduksjon 1994–2004
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Diagram, Sentralmål, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Lage diagram i regneark av elleve årstall med produksjonstall, og regne ut gjennomsnittet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diagram-og-gjennomsnitt-for-norsk-oljeproduksjon-1994-2004/
### Oppgavetekst
**Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark.**
Nedenfor ser du en oversikt over den samlede norske produksjonen av råolje på oljefeltene i Nordsjøen fra 1994 til 2004. Tallene er oppgitt i 1 000 tonn.
| Årstall | Produksjon i 1000 tonn |
|:-------:|:----------------------:|
| 1994 | 127 067 |
| 1995 | 136 838 |
| 1996 | 154 795 |
| 1997 | 157 174 |
| 1998 | 150 082 |
| 1999 | 150 717 |
| 2000 | 156 805 |
| 2001 | 159 008 |
| 2002 | 152 011 |
| 2003 | 145 383 |
| 2004 | 141 071 |
Framstill tallene i tabellen ved hjelp av et diagram, og finn gjennomsnittlig oljeproduksjon per år i perioden.
---
## E2009-2 del 2 oppgave 9 — Liter av hvert oljeprodukt i ett fat olje
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Prosentregning, Presentasjon av data
- **Kort beskrivelse:** Regne ut prosentdeler av 159 liter i regneark og presentere resultatet i en tabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/liter-av-hvert-oljeprodukt-i-ett-fat-olje/
### Oppgavetekst
**Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark.**
Fra oljen utvinner man flere produkter. Fordelingen er slik:
- Flytende petroleumsgass: 3,1 %
- Nafta: 6,5 %
- Superbensin: 11,25 %
- Vanlig bensin: 3,75 %
- Mellomdestillater: 37,5 %
- Brennolje: 31,0 %
- Raffineribrennstoff og svinn: 6,1 %
- Asfalt: 0,8 %
Bruk regneark og beregn hvor mange liter av hvert oljeprodukt man får ut av ett fat olje (1 fat = 159 liter). Framstill tallene i en tabell.
---
## E2009-2 del 2 oppgave 10 — Oljeprisen i kroner per fat og per liter i september 2008
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Vekstfaktor, Forholdsregning, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Regne om dollarpris til kroner, finne literpris og regne baklengs med vekstfaktor etter 53 prosent økning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oljeprisen-i-kroner-per-fat-og-per-liter-i-september-2008/
### Oppgavetekst
10\. september 2008 var prisen på Nordsjøolje på råvarebørsen i London 108,33 amerikanske dollar per fat. Samtidig var kursen på amerikanske dollar 5,72.
a)
1\) Hva var oljeprisen per fat i norske kroner?
2\) Beregn prisen i norske kroner på 1 liter olje 10. september 2008.
b) Fra begynnelsen av året til 10. september 2008 steg oljeprisen med 53 %. Hva var oljeprisen (målt i amerikanske dollar) i begynnelsen av året?
---
## E2009-2 del 2 oppgave 11 — Eratosthenes' metode for å finne primtall opp til 100
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Primtall, Tallregning, Mønstre, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Gjennomføre Eratosthenes' sil på tallene fra 2 til 100 og beskrive egenskapen til tallene som står igjen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eratosthenes-metode-for-a-finne-primtall-opp-til-100/
### Oppgavetekst
Eratosthenes (276–194 f.Kr.) var en gresk matematiker. Han er i dag kjent bl.a. for sitt arbeid med tallteori. Eratosthenes hadde en metode for å finne noen helt spesielle tall. Teksten nedenfor beskriver denne metoden for hele tall fra og med 2 til og med 100.
1. Start med tallet 2 og sett ring rundt dette tallet. Stryk så alle tall som 2 går opp i.
2. Gå til tallet 3 og sett ring rundt dette tallet. Stryk så alle tall som 3 går opp i.
3. Gå til tallet 5 og sett ring rundt dette tallet. Stryk så alle tall som 5 går opp i.
4. Gå til tallet 7 og sett ring rundt dette tallet. Stryk så alle tall som 7 går opp i.
5. Sett ring rundt alle tall som står igjen.
Nedenfor ser du en del av en tabell som består av hele tall fra og med 2 til og med 100. Vi har begynt å bruke Eratosthenes' metode:
Bruk tabellen nedenfor og fullfør metoden på de hele tallene fra og med 2 til og med 100. De tallene du setter ring rundt, har alle en felles egenskap. Hvilken egenskap er det?
---
## E2009-2 del 2 oppgave 12 — Goldbachs antakelse om partall som sum av to primtall
- **Fag:** 10. trinn
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Primtall, Argumentasjon, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Skrive gitte partall som sum av to primtall og undersøke hvor mange slike summer 24 har.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/goldbachs-antakelse-om-partall-som-sum-av-to-primtall/
### Oppgavetekst
En matematiker som het Goldbach, antok i 1742 at alle partall som er 4 eller større, kan skrives som summen av to primtall.
For eksempel kan vi skrive $8 = 3 + 5$ og $16 = 3 + 13$ eller $16 = 5 + 11$
a) Vis at hvert av partallene 6, 14, 50 og 72 kan skrives som summen av to primtall.
b)
1\) På hvor mange måter kan du skrive 24 som summen av to primtall?
2\) Velg et partall over 100, og skriv tallet som summen av to primtall.
> Goldbachs antakelse er ikke blitt bevist så langt. Det er heller ingen som har kunnet vise at antakelsen er feil.
>
> I år 2000 ble det utgitt en roman om Goldbachs antakelse. I forbindelse med utgivelsen utlovet den britiske forleggeren Tony Faber en belønning på \$1 000 000 hvis noen kunne bevise antakelsen før april 2002.
>
> Ingen gjorde krav på belønningen …